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Peschel · Nennewitz · Nutsch · Schulzig · Seifert · Strechel Tabellenbuch Holztechnik Bearbeitet von Lehrern an berufsbildenden Schulen und von Ingenieuren Lektorat: Peter Peschel, Oberstudiendirektor 8. neu bearbeitete Auflage 2014 VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten Europa-Nr.: 41814 EUROPA-FACHBUCHREIHE für Holztechnik Bauphysik Grundlagen Holz und Holzwerkstoffe Werkstoffe Technisches Zeichnen Konstruktionen Fertigungs- mittel Betriebs- organisation Tabellen – Formeln – Regeln – Bestimmungen

Tabellenbuch Holztechnik Technisches Zeichnen...Technisches Zeichnen Konstruktionen Fertigungs- mittel Betriebs- organisation Tabellen – Formeln – Regeln – Bestimmungen Titel

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  • Peschel · Nennewitz · Nutsch · Schulzig · Seifert · Strechel

    Tabellenbuch Holztechnik

    Bearbeitet von Lehrern an berufsbildenden Schulenund von Ingenieuren

    Lektorat: Peter Peschel, Oberstudiendirektor

    8. neu bearbeitete Auflage 2014

    VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KGDüsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten

    Europa-Nr.: 41814

    EUROPA-FACHBUCHREIHEfür Holztechnik

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    Tabellen – Formeln – Regeln – Bestimmungen

    Titel 2014_Titel-Ei 2007 28.07.14 11:05 Seite 1

  • 2

    Autoren des Tabellenbuches Holztechnik

    Peschel, Peter Oberstudiendirektor GöttingenNennewitz, Ingo Tischlermeister, Lehrmeister BremerhavenNutsch, Wolfgang Dipl.-Ing (FH), Studiendirektor a.D. StuttgartSchulzig, Sven Studienrat KasselSeifert, Gerhard Dipl.-Ing (FH), Studiendirektor a.D. EhingenStrechel, Tim Studienrat Bremerhaven

    Lektorat

    Peter Peschel

    Bildbearbeitung

    Verlag Europa-Lehrmittel, Bildbearbeitung, 73760 Ostfildern

    Diesem Buch wurden die neuesten Ausgaben der DIN-Blätter sowie anderer Bestimmun-gen und Richtlinien zugrunde gelegt (Redaktionsschluss 31.10.2013). Verbindlich sind jedoch nur die DIN-Blätter und jene Bestimmungen selbst.Die DIN-Blätter können von der Beuth-Verlag GmbH, Burggrafenstraße 6, 10787 Berlin,bezogen werden.

    8. neu bearbeitete Auflage 2014Druck 5 4 3 2 1Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind.

    ISBN 978-3-8085-4188-3

    Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.

    © 2014 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten© 2005 by http://www.europa-lehrmittel.de

    Umschlaggestaltung: Blick Kick Kreativ KG, 42653 SolingenSatz: rkt, 42799 Leichlingen, www.rktypo.comDruck: M.P. Media-Print Informationstechnologie GmbH, 33100 Paderborn

    Titel 2014_Titel-Ei 2007 28.07.14 11:05 Seite 2

  • 3

    Das „Tabellenbuch Holztechnik“ erweitert die bewährte Europa-Fachbuchreihe fürHolzberufe. Es kann jedoch seines eigenständigen Charakters wegen sowohl alleine als auch in Verbindung mit anderen Lehrbüchern in der Aus- und Weiterbildung wie inder beruflichen Praxis verwendet werden. Es enthält sowohl Tabellen, Formeln, DIN-Normen, Regeln und Bestimmungen von Behörden und Institutionen als auch vieleStoffwerte und Konstruktionsgrößen. Die Auswahl der technologischen, mathemati-schen, zeichnerischen und arbeitsplanerischen Inhalte dieser Sammlung erfolgte unterweitgehender Berücksichtigung der Rahmenlehrpläne der Bundesländer für die Berufeim Berufsfeld Holztechnik und der Inhalte der bewährten Lehrbücher. Gleichfalls wurdean die Erfordernisse der Praxis und Weiterbildung gedacht. Das Tabellenbuch eignetsich als Nachschlagewerk für Auszubildende, Schülerinnen und Schüler der Berufs-schule, der Berufsfachschule, der Fachoberschule und der Berufsoberschule. Es ist dar-über hinaus auch als Informationsquelle bei praktischen Ausbildungsmaßnahmen, beider Fortbildung in Meister- und Technikerschulen und der Berufspraxis geeignet. Das Tabellenbuch ist eingeteilt in die Abschnitte

    Mathematische und naturwissenschaftliche Grundlagen 1Holz und Holzwerkstoffe 2Werkstoffe 3Technisches Zeichnen 4Konstruktionen 5Bauphysik 6Fertigungsmittel 7Betriebsorganisation 8

    Ein schneller Zugriff wurde durch das Daumen-Griffregister ermöglicht. Großer Wertwurde auf die Übersichtlichkeit der Darstellung gelegt. Neben dem Inhaltsverzeichnishilft ein umfangreiches Sachwortverzeichnis beim schnellen Finden einzelner Begriffeund Fakten. Das Inhaltsverzeichnis am Anfang des Tabellenbuches wird durch Teilin-haltsverzeichnisse vor dem jeweiligen Hauptkapitel ergänzt. Das Sachwortverzeichnisam Schluss ist besonders ausführlich gehalten und enthält neben den deutschen auchdie wichtigsten englischen Bezeichnungen.

    Die jetzt vorliegende 8. Auflage wurde als Mehrfarbendruck neu gestaltet. Der be-währte Aufbau ist dabei weiterhin berücksichtigt worden. Für den Bereich Holzhan-del sowie Möbel-, Küchen- und Umzugsservice wurden neue Inhalte aufgenommen.Im Kapitel „Betriebsorganisation“ wurden die Teilkapitel „Tisch lerei-Betrieb alsDienstleis ter“ und „Präsen tationstechniken“ ergänzt.Die starke technische Entwicklung und die Europäisierung der Normen erforderteneine grundlegende Überarbeitung. Die wichtigsten Normen und Regelwerke sowieeine Auswahl der einschlägigen Literatur sind jeweils vor den Hauptkapiteln be-nannt.

    Allen, die durch ihre Anregungen zur Entwicklung des Tabellenbuches beigetragen haben – insbesondere den im Quellenverzeichnis genannten Firmen, Institutionen undVerlagen – sei an dieser Stelle herzlich gedankt. Für Anregungen zur Weiterentwick-lung, Verbesserungsvorschläge und Fehlerhinweise sind wir jederzeit dankbar. Sie können dafür unsere Adresse [email protected] nutzen.

    Göttingen, im Sommer 2014 Autoren und Verlag

    Vorwort

    Titel 2014_Titel-Ei 2007 28.07.14 11:05 Seite 3

  • 1 Mathematische und natur-wissenschaftliche Grundlagen . . . . . 7

    1.1 Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . 81.2 Mathematische Grundlagen . . . . . . . 111.3 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Dreisatzrechnen und

    Mischungsrechnen . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Prozentrechnen und

    Zinsrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Dreiecksberechnung und

    Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 221.9 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10 Funktionen und grafische

    Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.11 Kohäsion und Adhäsion . . . . . . . . . . 321.12 Masse, Dichte, Kräfte . . . . . . . . . . . . 331.13 Gleichförmige und

    beschleunigte Bewegung . . . . . . . . . 361.14 Arbeit, Energie, Leistung,

    Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.15 Einfache Maschinen und Antriebe . 381.16 Grundlagen der Statik

    und Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . 411.17 Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . 471.18 Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.19 Chemische Grundlagen . . . . . . . . . . . 531.20 Wärmetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.21 Grundlagen der Akustik . . . . . . . . . . 60

    2 Holz und Holzwerkstoffe . . . . . . . . . 61

    2.1 Aufbau und Schnitte . . . . . . . . . . . . . 632.2 Holzarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.1 Nadelholz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.2 Laubholz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.3 Kennwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3 Holzfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.4 Holzschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.4.1 Schutz vor Insekten und Pilzen . . . . . 782.4.2 Brandschutz für Holzbauteile . . . . . . 802.5 Holzfeuchte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.6 Holz als Handelsware . . . . . . . . . . . . 862.7 Furniere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.8 Parkett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.9 Holzwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.9.1 Sperrholz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.9.2 Holzspanwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . 1192.9.3 Holzfaserwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . 1222.9.4 Melaminbeschichtete Platten . . . . . . 1242.9.5 Leichtbau-Verbundwerkstoffe . . . . . 125

    3 Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    3.1 Mineralische Plattenwerkstoffe . . . . 1293.1.1 Gipskartonplatten und Gipsplatten . 1293.1.2 Faserzementplatten . . . . . . . . . . . . . . 1303.1.3 Gipsfaserplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.1.4 Holzwolleplatten . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.2 Glas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.2.1 Glasarten und Glaserzeugnisse . . . . 1313.2.2 Flachglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.2.3 Mehrscheiben-Isolierglas . . . . . . . . . 1333.3 Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.3.1 Bezeichnungssysteme für Stähle

    durch Werkstoffnummern . . . . . . . . . 1353.3.2 Bezeichnungssysteme für Stähle

    durch Kurznamen . . . . . . . . . . . . . . . 1353.3.3 Einteilung der Stähle . . . . . . . . . . . . . 1363.3.4 Eisen-Gusswerkstoffe . . . . . . . . . . . . 1373.3.5 Stahl-Fertigerzeugnisse . . . . . . . . . . . 1383.3.6 Nichteisenmetalle . . . . . . . . . . . . . . . 1393.3.7 Hartmetalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.3.8 Korrosion und Korrosionsschutz . . . 1413.4 Verbindungsmittel . . . . . . . . . . . . . . . 1423.4.1 Drahtstifte und Klammern . . . . . . . . 1423.4.2 Holzschrauben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.4.3 Gewindeschrauben . . . . . . . . . . . . . . 1463.4.4 Muttern und Unterlegscheiben . . . . 1473.4.5 Gewinde, Bohrung, Senkung . . . . . . 1483.4.6 Blechschrauben, Bohrschrauben

    und Blindniete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.4.7 Holzdübel, Federn und

    Einschraubmuttern . . . . . . . . . . . . . . 1503.4.8 Befestigungsmittel Dübel . . . . . . . . . 1513.5. Kunststoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.6 Klebstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.7 Oberflächenmittel . . . . . . . . . . . . . . . 1673.7.1 Mittel zur Vorbehandlung . . . . . . . . . 1673.7.2 Beizmittel und Färbemittel . . . . . . . . 1683.7.3 Beschichtungsstoffe . . . . . . . . . . . . . 1693.7.4 Auftragstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.7.5 Haftungsprüfung und

    Beanspruchungsgruppen . . . . . . . . . 1753.8 Schleifmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773.9 Umwelt- und Arbeitsschutz . . . . . . . 1813.9.1 Vorschriften und Begriffe . . . . . . . . . 1813.9.2 Gefahrstoffe in der Holztechnik . . . . 1823.9.3 Löse- und Verdünnungsmittel . . . . . 1843.9.4 Holzstaub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

    4

    Inhaltsverzeichnis

    Titel 2014_Titel-Ei 2007 28.07.14 11:05 Seite 4

  • 5

    3.9.5 Arbeitsplatzgrenzwerte, TRGS 900 . 1873.9.6 Betriebsanweisung . . . . . . . . . . . . . . 1883.9.7 Sicherheitsdatenblätter,

    H-Sätze und P-Sätze . . . . . . . . . . . . . 1893.9.8 Werte von ausgewählten Stoffen . . . 1913.9.9 Kennzeichnung von Gefahrstoffen . 1923.9.10 Sicherheitskennzeichnung . . . . . . . . 193

    4 Technisches Zeichnen . . . . . . . . . . . . 195

    4.1 Zeichengeräte und Materialien . . . . 1964.2 Normschrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984.3 Maßstäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984.4 Grundkonstruktionen . . . . . . . . . . . . 1994.4.1 Geometrische

    Grundkonstruktionen . . . . . . . . . . . . 1994.4.2 Rechtwinklige Parallelprojektion . . . 2074.4.3 Austragungen und wahre Größen . . 2094.4.4 Parallelprojektionen . . . . . . . . . . . . . . 2124.5 Perspektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2134.5.1 Übereck-Perspektive . . . . . . . . . . . . . 2144.5.2 Zentralperspektive . . . . . . . . . . . . . . . 2154.6 Grundlagen der Gestaltung . . . . . . . 2164.7 Linienarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2194.8 Bemaßung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.9 Toleranzen und Passungen . . . . . . . 2264.9.1 Holz-Toleranzreihen (HT) . . . . . . . . . . 2274.9.2 Eintragen von Toleranzen . . . . . . . . . 2274.9.3 Maßänderungen durch Quellen

    und Schwinden . . . . . . . . . . . . . . . . . 2284.9.4 Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2304.9.5 Passsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.10 Darstellung von Werkstoffen

    und Beschlägen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.11 Oberflächenzeichen . . . . . . . . . . . . . . 2354.12 Schraffuren von Baustoffen

    und Bauteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2354.13 Maßordnung im Hochbau . . . . . . . . 236

    4.14 Symbole in Ausführungs-zeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

    5 Konstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

    5.1 Möbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2415.1.1 Möbelarten und Gestaltung . . . . . . . 2415.1.2 Möbelteile und Möbelbeschläge . . . 2435.2 Türen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525.2.1 Innentüren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525.2.2 Außentüren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

    5.3 Fenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

    5.3.1 Öffnungsarten, Konstruktionenund Fensterprofile . . . . . . . . . . . . . . . 261

    Fenstersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

    Profilquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . 264

    5.3.2 Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

    5.3.3 Bemessung von Rahmen-querschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

    5.3.4 Befestigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

    5.3.5 Maße am Fenster . . . . . . . . . . . . . . . . 272

    5.3.6 Anschlussbildung Fenster – Baukörper . . . . . . . . . . . . . . 273

    5.3.7 Windlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

    5.3.8 Wärmedämmung, Schallschutz, Einbruchschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

    5.3.9 Beschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

    5.3.10 Oberflächenbeschichtung . . . . . . . . . 282

    5.3.11 Verglasung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

    5.3.12 Gebrauchsklassen für Holzfenster . . 289

    5.4 Innenausbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

    5.4.1 Einbauschränke . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

    5.4.2 Wände – Nichttragende Trennwände . . . . . . . 292

    5.4.3 Wandverkleidungen . . . . . . . . . . . . . . 295

    5.4.4 Deckenverkleidungen . . . . . . . . . . . . 296

    5.4.5 Holzfußböden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

    5.5 Treppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

    5.5.1 Treppenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

    5.5.2 Maßbegriffe und Bezeichnungen . . . 299

    5.5.3 Maßliche Anforderungen . . . . . . . . . 300

    5.5.4 Verziehen von gewendelten Treppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

    5.6 Küchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

    6 Bauphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

    6.1 Dämm-, Dichtungs- und Sperrstoffe 313

    Bemessungswerte . . . . . . . . . . . . . . . 315

    6.2 Wärmeschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

    6.2.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . 318

    6.2.2 Wärmetechnische Mindestanforderungen . . . . . . . . . . . 319

    6.2.3 Wärmebrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

    6.2.4 Anforderungern an denWärmeschutz im Sommer . . . . . . . . 325

    6.2.5 Energieeinsparverordnung . . . . . . . . 326

    Inhaltsverzeichnis

    Titel 2014_Titel-Ei 2007 28.07.14 11:05 Seite 5

  • 6.3 Feuchteschutz und Tauwasserschutz . . . . . . . . . . . . . . . . 335

    6.3.1 Klimabedingter Feuchtigkeitsschutz 3356.3.2 Feuchteschutztechnische

    Rechenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3366.3.3 Schutzmaßnahmen gegen

    Tauwasserbildung . . . . . . . . . . . . . . . 3386.4 Schallschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3426.5 Brandschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3476.6 Bauen im Bestand . . . . . . . . . . . . . . . 356

    7 Fertigungsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . 359

    7.1 Hobelbank und Bankwerkzeuge . . . 3617.2 Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3667.2.1 Standmaschinen

    einschl. Musterbetriebsanweisung . 3667.2.2 CNC-Bearbeitungszentren . . . . . . . . 3697.2.3 Handmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3707.2.4 Elektromotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 3717.3 Maschinenwerkzeuge . . . . . . . . . . . . 3727.3.1 Schneidstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3727.3.2 Schnittrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . 3727.3.3 Werkzeugbegriffe und Schneiden-

    geometrie, Berechnungen . . . . . . . . 3737.3.4 Kreissägeblätter . . . . . . . . . . . . . . . . . 3767.3.5 Fräswerkzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3787.3.6 Maschinenbohrer . . . . . . . . . . . . . . . . 3797.3.7 Bandsägen, Streifenhobelmesser

    und Fräsketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3797.4 Pneumatik und Hydraulik . . . . . . . . . 3807.5 Funktionspläne und

    Funktionsdiagramme . . . . . . . . . . . . 3847.6 CNC-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

    Programmaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . 387Programmschlüssel . . . . . . . . . . . . . . 388Werkstattorientierte Programmierung (WOP) . . . . . . . . . . 392

    7.7 Informationstechnik . . . . . . . . . . . . . 394Struktur des Mikrocomputers . . . . . 395Schnittstellen, Steckverbinder . . . . . 396Vernetzung, Internet . . . . . . . . . . . . . 397Software, Betriebssysteme . . . . . . . . 398

    8 Betriebsorganisation . . . . . . . . . . . . . 399

    8.1 Tischlerei-Betrieb als Dienstleister . 400Aufgaben und Ausführung . . . . . . . . 400Qualitätssicherung . . . . . . . . . . . . . . . 402Ablauf- und Terminplanung . . . . . . . 403

    8.2 Begriffe der Auftrags- und Belegungszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 406

    8.3 Kalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408Lohnarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410Lohn- und Materialkosten . . . . . . . . . 411

    8.4 Vergabe- und Vertragsordnung für Bauleistungen (VOB) . . . . . . . . . . . . . 414

    8.5 Bauregelliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4178.6 Präsentationstechniken . . . . . . . . . . 420

    Internetverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

    Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . 425 … 440

    In den Umschlaginnenseiten

    vorne:SI-BasiseinheitenAbgeleitete physikalische GrößenSI-VorsätzeGriechisches Alphabet

    hinten:Physikalische Größen, Formelzeichen,SI-Einheiten, besondere Einheiten und Namen

    6

    Inhaltsverzeichnis

    Titel 2014_Titel-Ei 2007 28.07.14 11:05 Seite 6

  • 1 Mathematische und naturwissenschaftliche Grundlagen

    Inhaltsverzeichnis

    7

    1

    1.1 Größen und Einheiten 81.2 Mathematische Grundlagen 11

    � Rechenarten, Bruchrechnung, Klammerrechnung 11� Potenzen, Wurzeln, Binomische Formeln 12

    1.3 Gleichungen 131.4 Dreisatz und Mischungsrechnen 141.5 Prozentrechnen und Zinsrechnen 151.6 Längen 161.7 Flächen 17

    � Flächeninhalt, Umfang, Schwerpunkte 201.8 Dreiecksberechnungen und Winkelfunktionen 22

    � Lehrsatz des Pythagoras 22� Lehrsatz des Euklid, Winkelfunktionen 22� Trigonometrische Funktionen 23� Schiefwinklige Dreiecke 25

    1.9 Körper 261.10 Funktionen und grafische Darstellungen 28

    � Diagramme 29� Nomogramme 30� Taschenrechner 31

    1.11 Kohäsion und Adhäsion 321.12 Masse, Dichte, Kräfte 331.13 Gleichförmige und beschleunigte Bewegung 361.14 Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad 371.15 Einfache Maschinen und Antriebe 38

    � Drehmoment und Hebel 38� Riementriebe, Zahnrädertriebe, Kettentriebe 39

    1.16 Grundlagen der Statik und Festigkeitslehre 41� Statische Systeme 41� Gleichgewichtsbedingungen 41� Aktionskräfte und Reaktionskräfte 41� Belastungsfälle 42� Beanspruchungsarten 43� Knickung von Stäben 43� Einwirkungen auf Tragwerke 45� Tragwerksplanung 45� Statische Festigkeit 46� Sicherheitskonzept 46

    1.17 Flüssigkeiten und Gase 471.18 Elektrotechnik 48

    � Ohmsches Gesetz 48� Elektrische Leistung und Arbeit 49� Schutzmaßnahmen 51

    1.19 Chemische Grundlagen 53� Chemische Grundbegriffe 53� Periodensystem 54� Atomaufbau, Elemente, Chemische Bindungen 55� Organische und makromolekulare Verbindungen 56� Oxide, Chemie des Wassers 57� Säuren, Laugen, Salze 58

    1.20 Wärmetechnik 591.21 Grundlagen der Akustik 60

    3 0 0523 0 052 4 87

    abc

    b2

    c2

    a2

    Grad

    0 0,000 0 0,000 0 901 0,017 5 0,017 5 892 0,0349 0,0349 88

    0° … 45°

    sin tan

    s

    F

    A ö

    f

    B

    q

    0 1 2 3 4 5

    s

    30

    20

    10

    0

    t

    m

    v =5 —

    s

    Weg-Zeit-Schaubild

    m

    v=

    20 —

    s

    s

    m

    Terephtalsäure(Benzol-1,4-dicarbonsäure) Ethandiol

    …+ HO–C– –C– OH + H O–C–C–OH +…

    O O H H

    H H

    Mathematik

    Technische Physik

    Chemie

    Technische Physik

    01 (007 – 029) 2014_ 01 (007 – 027) 2007 28.07.14 11:26 Seite 7

  • 1.1 Größen und Einheiten

    Zeiteinheiten(Jahr) 1 a = 365 d (Monat) 1 m = (1/12) a (Tag) 1 d = 24 h

    (Stunde) 1 h = 60‘ (Minute) 1‘ = 60‘‘ (Sekunde) 1‘‘ = (1/60)‘

    8

    1Im Internationalen Einheitensystem (SI) sind die Einheiten im Messwesen festgelegt. Von den sieben Grundeinheiten (Basiseinheiten) sind weitere Einheiten abgeleitet.

    Basisgrößen und BasiseinheitenGröße Länge Masse Zeit Elektrische Temperatur Stoffmenge Lichtstärke

    StromstärkeEinheit Meter Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Mol Candela

    Zeichen m kg s A K mol cdAbgeleitete Einheiten, die aus den Grundeinheiten mit dem Faktor 1 oder mit PotenzenEinheiten abgeleitet werden, z.B. 1 N = 1 kg m/s2

    Nicht abgeleitete Einheiten, die durch eine anderen Faktor umgerechnet wurden, Einheiten z.B. 1 min = 60 s

    VorsätzeFaktor 1012 109 106 103 102 101 10–1 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12

    Vorsatz Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano PikoZeichen T G M k h da d c m μ n pvergrößernd ← → verkleinernd

    ZehnerpotenzenWerte über 1 mit positiven Exponenten, Werte unter 1 mit negativen ExponentenWert 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000Potenz 10–3 10–2 10–1 100 101 102 103 104 105 106

    Aufrunden und AbrundenVorgang Beispiel

    Aufrunden wenn die nächste Stelle eine 5 oder größer ist 3,1415 → 3,142Abrunden wenn die nächste Stelle eine 4 oder kleiner ist 3,1415 → 3,14 (auf Hundertstel)

    Länge, Fläche, Volumen, WinkelFormel- Einheit

    Größe zeichen Zeichen Bedeutung Beziehungen zwischen den EinheitenDIN 1304Länge ¢ m Meter 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm

    1 mm = 1 000 µm1 km = 1 000 m1 inch = 1 Zoll = 25,4 mm

    Fläche A, S m2 Quadratmeter 1m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2a Ar 1 a = 100 m2 (für Grundstücksflächen)

    ha Hektar 1 ha = 100 a = 10 000 m21 km2 = 100 ha

    Volumen V m3 Kubikmeter 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3¢ Liter 1 ¢ = 1 dm3

    1 ml = 1 cm3

    Winkel, å, ß, ©, … ° Grad 1° = 60‘eben ‘ Minute 1‘ = 60‘‘

    ‘‘ Sekunde 1‘‘rad Radiant 1 rad = 1 m/m = (180/π)° = 57,2957°

    1° = π / 180 rad = 60‘

    01 (007 – 029) 2014_ 01 (007 – 027) 2007 28.07.14 11:26 Seite 8

  • 1.1 Größen und Einheiten

    9

    1Formel- Einheit

    Größe zeichenZeichen Bedeutung

    Beziehungen zwischen den EinheitenDIN 1304

    ZeitgrößenZeit t s Sekunde

    min Minute 1 min = 60 sh Stunde 1 h = 60 min = 3 600 sd Tag 1 d = 24 h

    Geschwindigkeit √ m/s Meter/Sekunde 1m/s = 60 m/min = 3,6 km/hWinkel- ø 1/s 1/SekundegeschwindigkeitBeschleunigung a m/s2 Meter/Sekunde2

    g Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s2

    Frequenz f Hz Hertz 1 Hz = 1/s1 Hz = 1 Schwingung/s

    Drehzahl n 1/min 1/Minute 1/min = 1 min–11/s 1/Sekunde 1/s = 60/min = 60 min–1

    Mechanische GrößenMasse m kg Kilogramm 1 kg = 1 000 g

    g Gramm 1 g = 1 000 mgt Tonne 1 t = 1 000 kg

    Dichte œ kg/m3 Kilogramm/ 1 000 kg/m3 = 1 kg/dm3 = 1 t/m3Meter3

    Kraft F N Newton 1 N = 1 kg m/s2 = 1 J/mGewichtskraft G, FgDrehmoment M Nm Newtonmeter 1 kNm = 100 daNm = 1 000 NmDruck p Pa Pascal 1 Pa = 1 N/m2

    1 bar = 100 000 Pa = 105 bar = 10 N/cm21 mbar = 1 hPa

    Mechanische ‚ N/m2 Newton/Meter2 1 MN/m2 = 1 N/mm2 = 1 MPaSpannung †Trägheits- Û cm4 Zentimeter4 Flächenmoment 2. Gradesmoment

    Temperatur und WärmeTemperatur T K Kelvin 0 K = – 273 °Cthermodynamisch 0 °C = 273 K

    t, ñ °C Grad Celsius Temperaturdifferenz 1 K = 1 °CWärmemenge Q J Joule 1 J = 1 Nm = 1 Ws

    3 600 kJ = 1 kWhSpezifischer H J/kg Joule/Heizwert Kilogramm

    Elektrische GrößenStromstärke Û A AmpereSpannung U V VoltWiderstand R Ø Ohm 1 Ø = 1 V/ASpezifischer œ Øm Ohmmeter œ = 1/ΔWiderstandLeitfähigkeit Δ S/m Siemens/MeterArbeit W Ws Wattsekunde 1 Ws = 1 J, 1 kWh = 3,6 � 106 WsLeistung P W Watt 1 W = 1 Nm/s = 1 J/s = 1 VA

    01 (007 – 029) 2014_ 01 (007 – 027) 2007 28.07.14 11:26 Seite 9

  • 1.1 Größen und Einheiten

    Mathematische Symbole

    Darstellung und Umwandlung der ZahlensystemeDezimalsystem DualsystemDezimalzahl z10 350 Dualzahl z2 1101

    Stelle 102 = 100 101 = 101 100 = 1 Stelle 23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1Wert 3 · 100 5 · 10 0 · 1 Wert 1 ·8 = 8 1 ·4 = 4 0 ·2 = 0 1 ·1 = 1Gesamt- Gesamt-wert, 300 + 50 + 0 = 350 wert, 8 + 4 + 0 + 1 = 13dezimal dezimal

    Hexadezimalsystem

    Umwandlung inDezimalzahl Dualzahl

    B3E B3E

    Stelle 162 = 256 161 = 16 160 = 1 Ziffernwert 11 3 14Wert 11 · 256 3 · 16 14 · 1 Gruppe von 4 Bit 1011 0011 1110Gesamt- 2816 + 48 + 14 = 2878 Dualzahl: 1011 0011 1110wert:

    ZahlensystemeArt Basis Zeichenvorrat

    Dualzahlen 2 0 1Dezimalzahlen 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Hexadezimalzahlen 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F(Sedezimalzahlen)

    10

    1

    Zeichen Bedeutung

    A⎯

    B⎯

    Strecke AB

    ( ), [ ] Klammern{ }

    � parallelH H gleichsinnig parallelH h gegensinnig parallel� senkrecht auf

    rechter Winkela Winkel

    DreieckKreis

    ≅ kongruent zuΔx Delta x (Differenz)

    ln natürlicherLogarithmus

    log Logarithmuslg dekadischer

    Logarithmus

    % Prozent, von Hundert‰ Promille, von Tausend

    sin Sinuscos Kosinustan Tangenscot Kotangens

    Zeichen Bedeutung

    = gleich≠ ungleichv entspricht� ungefähr, etwa< kleiner als> größer als≤ kleiner oder gleich≥ größer oder gleich… und so weiter bis

    + plus– minus± plus-minus

    �, · multipliziert, mal/, :, –– dividiert, Bruchstrich

    ∑ Summe von …π pi = 3,141…� proportional

    an potenziert

    ;a� Quadratwurzeln;a� n-te Wurzel§ LängeA FlächeV Volumen

    Griechische Buchstabengroß/klein Name

    Å, å Alpha‹, ∫ BetaÌ, © Gamma¤, ∂ Delta‰, ™ Epsilonˇ, Ω ZetaÓ, ª Etaı, º ThetaÛ, ⁄ Jota

    ˆ, Δ Kappafl, ¬ Lambda˘, μ My›, ~ NyÙ, ≈ XiØ, ø Omikron∏, π Pi¸, ® RhoÍ, ‚ Sigma˝, † TauÁ, ¨ YpsilonÏ, ƒ PhiÇ, ç Chi‡, ¥ Psi„, ∑ Omega

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  • 1.2 Mathematische Grundlagen

    11

    1RechenartenArt BezeichnungAddition a, b Summanda + b = c c SummenwertSubtraktion a Minuend, b Subtrahenda – b = c c DifferenzwertMultipikation a, b Faktora �b = c c ProduktwertDivision a Dividend, b Divisora : b = c c Quotientwert

    Art BezeichnungPotenzierung a Basisab = c b Exponent

    c PotenzwertRadizierung a Radikandb;a� = c b Wurzelexponent

    c WurzelwertLogarithmierung a Logarithmand, b Basislogba = c c Logarithmuswert

    VorzeichenregelRegel Beispiel Regel BeispielZwei Faktoren mit gleichen 3 � 6 = 18 Dividend und Divisor mit 10/2 = 5Vorzeichen ergeben (–x) (–y) = xy gleichen Vorzeichen ergeben

    �––

    ba� = �

    ba

    �ein positives Ergebnis einen positiven QuotientenZwei Faktoren mit ungleichen (– 4) � 7 = – 28 Dividend und Divisor mit 16/– 4 = – 4Vorzeichen ergeben x � (– y) = – xy ungleichen Vorzeichen ergeben

    �–ba� = – �

    ba

    �ein negatives Ergebnis einen negativen QuotientenPunktrechnungen müssen vor Strichrechnungen erfolgen

    KlammerrechnungRegel BeispielAuflösen einer Klammer mit Plus vor der Klammer: x + (y – z ) = x + y – z– Klammer kann entfallenAuflösen einer Klammer mit Minus vor der Klammer: 5 – (10 – 4) = 5 – 10 + 4 = – 1– Klammer kann entfallen,

    Vorzeichen in der Klammer werden umgekehrtFaktor vor einem Klammerausdruck: 4 (x – y + z) = 4x – 4y + 4z– jedes Glied der Klammer wird mit dem Faktor multipliziert

    BruchrechnungBegriffe Bruchart Kennzeichen Beispiel

    Positive Brüche > 0 3/4Brüche sind Negative Brüche < 0 – 2/5Teile Echte Brüche < 1, Zähler < Nenner 4/15eines Ganzen Unechte Brüche > 1, Zähler > Nenner 7/3

    Gleichnamige Brüche gleiche Nenner 3/8, 5/8, 7/8Ungleichnamige Brüche ungleiche Nenner 3/12, 4/5, 2/9Scheinbruch Nenner = 1 6/1

    Rechen- Regel Beispieloperation

    Erweitern Zähler und Nenner werden mit �23

    � = �23

    ��

    22

    � = �46

    � �xy�

    = �xy��

    zz�

    = �xyzz�der gleichen Zahl multipliziert

    Kürzen Zähler und Nenner werden mit�24

    42� = �1

    221�der gleichen Zahl dividiert

    Addieren, Brüche müssen�12

    � + �35

    � = �5

    1+0

    6� = �1

    110� = 1 �

    110�

    Subtrahieren gleichnamig sein

    Multiplizieren Zähler mit Zähler und Nenner�25

    � � �37

    � = �365�

    mit Nenner multiplizieren

    Dividieren Bruch mit Kehrwert des�25

    � : �34

    � = �25

    ��

    43

    � = �185�

    anderen Bruches multiplizieren

    01 (007 – 029) 2014_ 01 (007 – 027) 2007 28.07.14 11:26 Seite 11

  • Klammerrechnung (Fortsetzung)

    1.2 Mathematische Grundlagen

    12

    1

    Regel Beispiel

    Multiplizieren von Klammerausdrücken: (a + b) � (c – d) = ac – ad + bc – bd– jedes Glied der einen Klammer wird mit jedem Glied

    der anderen Klammer multipliziert

    Klammerausdruck durch Divisor:– jedes Glied der Klammer wird durch den Divisor dividiert �18 a

    3– 12 b� = �18

    3a

    � – �123

    b� = 6 a – 4 b

    – Ein Bruchstrich ersetzt eine Klammer

    Auflösen von Klammern: 6 x – [ x + y (y – a) + y2] – Bei Klammern von innen nach außen auflösen = 6 x – [x + y2 – ay + y2]– Bei gemischten Punkt- und Strichrechnungen zuerst = 6 x – x – 2 y2 + ay = 5 x – 2 y2 + ay

    Klammer auflösen, danach Punkt- vor Strichrechnung

    Gemeinsamer Faktor: bx – 2 ax + 3 x + cx – ein gemeinsamer Faktor in einem Term wird vor = x (b – 2 a + 3 + c)

    die Klammer gesetzt

    PotenzenRegel BeispielPotenzen mit dem Exponenten Null haben den Wert 1 100 = 1, (x + y)0 = 1

    Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis: a2 � a3 = a5; am � an = am + n– Exponenten werden addiert

    Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis:�aa

    m

    n� = am – n

    – Exponenten werden subtrahiert

    Potenzen mit negativen Exponenten sind gleich dem x–n = �x1n�reziproken Wert der gleichen Potenz

    WurzelnRegel Beispiel

    Wurzeln können als Potenzen geschrieben werden. ;2� = 2�12�,

    3;x� = x �

    13�

    Radikant als Produkt: ;5� �� 5� = ;2�5� = 5Wurzel kann entweder aus dem Produkt oder ;a� �� b� = ;a� ;b�aus jedem Faktor gezogen werden.

    Radikand als Summe oder Differenz: ;2�0� +� 1�6� = ;3�6� = 6, ;x� –� y� = ;(x� –� y� )�(Wurzel kann nur aus dem Ergebnis gezogen werden)

    Binomische Formeln

    (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2 ab + b2

    (a – b)2 = (a – b) (a – b) = a2 – 2 ab + b2

    (a + b) (a – b) = a2 – b2

    Höhere Potenzen

    (a ± b)3 = a3 ± 3 a2b + 3 ab2 ± b3

    (a ± b)4 = a4 ± 4 a3b + 6 a2b2 ± 4 ab3 + b4

    Sonderfälle

    a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

    a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

    a4 – b4 = (a2 + b2) (a2 – b2)

    Logarithmenloga b = c, wenn ac = b für a > 0 und b > 0Dekadischer Logaritmus lg a = log10 aNatürlicher Logaritmus ln a = loge a

    e = 2,711828…Sonderfälle lg 1 = 0, ln 1 = 0

    loga 1 = 0, loga a = 1lg 10 = 1, ln e = 1

    Gesetze log (ab) = log a + log blog a/b = log a – log blog (bn) = n log blog

    n;b� = �

    n1

    � log b

    Umrechnungen ln a = ln 10 � lg alg a = lg e � ln alg e = M = 0,4343…

    ln 10 = �M1

    � = 2,3026…

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  • 1.3 Gleichungen

    13

    1GleichungsartenBegriff Erklärung BeispielGleichung Verbindung von zwei 3 m + 4 m = 7 m

    gleichwertigen Termen durch ein Gleichheitszeichen

    Zahlengleichung enthalten nur Zahlen 20 – 5 = 3 � 5

    Einheitengleichung enthalten nur Einheiten N = kg � m/s2

    Verhältnisgleichung Quotienten sind einander gleich ¢1 : ¢2 = 3 m : 5 m

    Größengleichung enthalten Größen (200 g + 100 g)/3 = 100 g

    Bestimmungsgleichung enthalten unbekannte Größen 5 a � b = c(Variable)

    Ungleichung ungleiche Terme sind durch 2 � 5 + 4 > 10,< oder > verbunden b < 1

    Gleichung:1. Grades linear a + 10 = c

    2. Grades quadratisch x2 – ax = y

    Formeln Gesetzmäßigkeiten aus Technik s = v � tund Naturwissenschaften

    Gleichungen umstellenRegel Beispiel

    Gesuchter Wert allein auf linker Seite: a – 4 + 4 = 8 x + y – y = zDurch Addition bzw. Subtraktion des gleichen a – 4 + 4 = 8 + 4 x + y – y = z – yWertes auf beiden Seiten a – 4 + a = 12 x + y – x = z – y

    Gesuchter Wert allein auf linker Seite: 4 � a = 12 �a3

    � = 5 b

    Durch Division bzw. Multiplikation des gleichen �4

    4� a� = �1

    42� = 3 �a

    3� 3� = 5 b � 3 = 15 b

    Wertes auf beiden Seiten

    Gesuchter Wert allein auf linker Seite: ;a� = 5 c2 = a + b

    Durch Potenzieren bzw. Radizieren auf beiden (;a� )2 = 52 ;c2� = ;a� +� b�

    Seiten. a = 25 c = ± ;a� +� b�

    Verhältnisgleichung, ProportionenZwei Verhältnisse mit gleichen Werten können gleichgesetzt werden und als Gleichung geschrieben werden.

    Außenglieder Eine Verhältnisgleichung kann als Produkten-|———————| gleichung geschrieben werden.a : b = 3 : 4 oder �

    ba

    � = �34

    � a : b = 3 : 4|———| 3 b = 4 a

    Innenglieder Bruchgleichung Innenglied � Innenglied = Außenglied � Außenglied

    Gleichungen 1. Grades mit Gleichungen 2. Grades � S. 28zwei Unbekannten (quadratische Gleichungen)Zur Bestimmung von zwei unbekannten Wer-ten sind verschiedene Gleichungen notwen-dig. Aus ihnen stellt man bei der Auflösungeine dritte Gleichung mit nur einer Unbekann-ten her. Durch die Einsetzungs-, Gleichset-zungs- oder Additionsmethode wird die zweiteUnbekannte ermittelt.

    rein quadratisch: x2 = 16; x = ;1�6� = ± 4gemischt-quadratisch x2 + ax + b = 0oder mit p und q x2 + px + q = 0

    Lösungsformel: x1,2 = – �p2

    � ± s�(�p2�)� 2�–�q�

    (p,q-Formel)

    01 (007 – 029) 2014_ 01 (007 – 027) 2007 28.07.14 11:26 Seite 13

  • 1.4 Dreisatzrechnen und Mischungsrechnen

    14

    1Verhältnisse beim DreisatzSatz direkt indirekt1. Aussagesatz x ⇒ y x ⇒ y

    2. Einheitsatz 1 ⇒ �yx

    � 1 ⇒ y � x

    3. Schlusssatz x1 ⇒ �y �

    xx1� x1 ⇒ �

    yx�

    1

    x�

    Dreisatz mit geradem Verhältnis (direkt)Beispiel 4,50 m3 Eichenholz kosten 7 875,00 €.

    Wieviel kosten 3,00 m3?

    1. 4,50 m3 Eichenholz kosten 7 875 €

    2. 1,00 m3 Eichenholz kosten �787

    45,5,000 €

    3. 3,00 m3 Eichenholz kosten

    = 5 250,00 €

    7 875,00 € � 3,00���

    4,50

    Dreisatz mit umgekehrtem Verhältnis (indirekt)Beispiel 5 Schreiner benötigen für eine Montagearbeit

    80 Stunden. Wie lange dauert die Montage, wenn 8 Schreiner zur Verfügung stehen?

    1. 5 Schreiner benötigen 80 h

    2. 1 Schreiner benötigt 5 · 80 h

    3. 8 Schreiner benötigen �5 � 88

    0 h� = 50 h

    Zusammengesetzter (doppelter) DreisatzBeispiel 6 Parkettleger verlegen bei 8-stündiger Arbeitszeit pro Tag

    210 m2 Parkett. Wie viel m2 Parkett verlegen 5 Parkettleger bei einer Arbeitszeit von 9 h/Tag?

    1. Dreisatz: 6 Parkettleger verlegen in 8 h 210 m2

    1 Parkettleger verlegt in 8 h �2106

    m2�

    5 Parkettleger verlegen in 8 h �210 m6

    2 � 5�

    2. Dreisatz: 5 Parkettleger verlegen in 1 h �2106

    m� 8

    2 � 5�

    5 Parkettleger verlegen in 9 h �210 m6

    2

    � 8� 5 � 9� = 196,875 m2

    Es werden 3 Größengegen übergestellt.Die gesuchte Größewird stufenweise errechnet. In jederStufe wird nur eineGröße verändert.

    MischungsrechnenRegel nach Massenteilen nach Raumteilen nach Prozent

    Mischungsverhältnis= A : B : C : …

    Gesamtmenge= A + B + C + …

    Grundmenge GM(Teil 1)

    = �GesaTmetimle

    enge�

    Beispiel2 ¢ Mischung aus StoffA und B im Verhältnis 2 : 3.

    GM = �22+¢3

    � = 0,4 ¢

    A = 2 � 0,4 ¢ = 0,8 ¢

    B = 3 � 0,4 ¢ = 1,2 ¢

    Beispiel10%ige Lösung ausSäure und 2 ¢ Wasser.

    Säure:Wasser = 10 : 100

    Säure = �2 ¢9�010

    = 0,222 ¢

    Beispiel5 kg Leimpulver zuStreckmittel, wie 15 : 3.

    Streck- = �5 k1g5

    � 3� = 1 kgmittel

    GM = �(51+5

    1+)3kg

    GM = 0,33 kg

    8000

    4000

    2000

    00 1 2 3 m3 5

    Ko

    sten

    Volumen

    Schreiner

    Stu

    nd

    en

    200

    150

    100

    50

    0 0 2 4 6 8 10

    01 (007 – 029) 2014_ 01 (007 – 027) 2007 28.07.14 11:26 Seite 14

  • 1.5 Prozentrechnen und Zinsrechnen

    15

    1

    Zinseszinsrechnung

    Zinsrechnen

    Rechnen mit vermehrtem Grundwert

    Rechnen mit vermindertem Grundwert

    ProzentrechnenRechnen mit reinem Grundwert

    ● Prozent % v 1/100

    ● Grundwert G

    ● Prozentwert PW

    ● Prozentsatz p (%)

    G = �PW ·p100%�

    PW = �1G00

    ·%p

    p = �PW ·G100%�

    ● Verminderter Grundwert GminGmin = G – PW

    G = Gmin · 100%��100% – p

    ● Vermehrter Grundwert GmehrGmehr = G + PW

    G = Gmehr · 100%��100% + p

    ● Kapital K (€)

    ● Zinsen Z (€)

    ● Zinssatz p (%/Jahr)

    ● Laufzeit t (Jahre)

    ● 1 Zinsjahr 360 Tage

    ● 1 Zinsmonat 30 Tage

    Mit dem Zinssatz werden die Zinsenfür ein Jahr berechnet.

    K = �Z ·p1·0t0%

    Z = �K1·00

    p%· t

    p = �Z ·K1·00

    t%

    t = �Z ·K1·0p0%

    Die Zinsen werden dem Kapi-tal zugerechnet und mitver-zinst.

    ● Anzahl der Jahre n

    Kapital nachn Jahren:

    Kn = K (1 � �1p00�)n

    BeispielEin Kunde bezahlt wegen man -gelhafter Arbeit nur 10% des Brutto-preises und überweist 16 500,00 €.Wie hoch war der Bruttopreis?Lösung

    G =

    G = 18 333,33 €

    16 500,00 € � 100%���

    100% – 10%

    BeispielEiche hat einen tangentialen Schwind-verlust von 8,9%. Um wie viel mmschwindet ein Seitenbrett mit einerBreite b = 320 mm?Lösung

    PW = �320 m1m00%

    � 8,9 %� = 28,48 mm

    BeispielEin Arbeiter erhält nach der Lohn -erhöhung von 3,5% einen Stunden-lohn von 13,40 €. Errechnen Sie den vorherigen Lohn?Lösung

    G = �1130,400%

    +·31,050%%

    � = 12,95 €

    BeispielEin Betrieb erhät eine Kredit über 40 000,00 € mit einem Zinssatz von8,5%.a) Berechnen Sie die Zinsen für

    2 Jahre.b) Wie hoch wäre der Zinssatz, wenn

    bei gleicher Laufzeit 7 400,00 € Zinsen anfallen würden?

    Lösung

    Z =

    Z = 6 800,00 €

    p = = 9,25%7 400,00 € � 100%���40 000,00 € � 2

    40 000,00 € � 8,5% � 2���

    100%

    Beispiel Ein Schreiner legt bei einerBank 5000,00 € festverzinslich an. Wiehoch ist sein Kapital nach 10 Jahren?LösungK10= 5000,00 € · (1� �140,50%%�)

    10

    K10= 7764,85 €

    100 % = Grundwert (G )

    VerminderterGrundwert

    Prozentwert(PW )

    100 % – p % p %

    Grundwert(G )

    100 % + p % = vermehrter Grundwert

    Prozentwert(PW )

    100 % p %

    Kapitalwert (K ) (Z )

    01 (007 – 029) 2014_ 01 (007 – 027) 2007 28.07.14 11:26 Seite 15

  • Teilen der Gesamtlänge in gleiche Abstände mit Unterbrechungen

    Teilen der Gesamtlänge in gleiche Abstände mit Randabstand

    LängenteilungTeilen der Gesamtlänge in gleiche Abstände

    1.6 Längen

    16

    1

    e e e e e

    ö

    e = �n +¢

    1�

    z = n + 1

    ¢ Gesamtlänge, Teilungsstreckee Länge der Abständen Anzahl der Teilungselementez Anzahl der Abstände

    e = �¢ –n(a–

    +1

    b)�

    e = �¢ – (b1

    n+–…1

    + bn)�

    a, b Randabstände

    b1, … , bn Unterbrechungene Abstandn gleiche Abstände

    Goldener Schnitt

    M = �G2

    � (;5� – 1)

    M = G · 0,618

    m = M · 0,618m = G · 0,382

    G Gesamtstrecke

    M Major

    m minor

    � Kapitel 4.4

    Steigung

    m = �h¢�= tan å

    m% = �h · 1¢00%�

    n = �m1

    � = �h¢�

    m Steigungsverhältnish Höhe¢ Längea Steigungswinkelm% Steigung in Prozentn Verhältniszahl der Steigung

    Strahlensätze

    =

    = S�B�1�B�1�B�2�

    S�A�1�A�1�A�2�

    S�B�1�S�B�2�

    S�A�1�S�A�2�

    Werden zwei Strahlen von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl wie die gleichliegenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.

    =

    = S�B�1�S�B�2�

    A�1�B�1�A�2�B�2�

    S�A�1�S�A�2�

    AA�1�B�1�A�2�B�2�

    Werden zwei Strahlen von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Ab-schnitte auf den Parallelen zu ein ander,wie die vom Scheitel aus gemessenenzugehörenden Strahlenabschnitte.

    e

    a b

    e e e

    ö

    e e e e

    ö

    b1 b2 b3 b4 b5

    G

    G –– 2

    M m

    ö

    s

    h1:n

    a

    A2

    B2

    S

    A1

    B1

    A1

    B1

    S

    A2

    B2

    01 (007 – 029) 2014_ 01 (007 – 027) 2007 28.07.14 11:26 Seite 16

  • 1.7 Flächen

    17

    1Quadrat A = ¢2

    U = 4 · ¢

    e = ;2� · ¢

    A FlächeU Umfang¢ Seitenlängee Diagonale

    Beispiel¢ = 75 cmA = ¢2 = (75 cm)2 = 5 625 cme = ;2� � ¢ = ;2� � 75 cm = 106,07 cm

    Raute (Rhombus) A = ¢ · b

    U = 4 · ¢

    A FlächeU Umfang¢ Seitenlängeb Breite

    Beispiel¢ = 4,5 m; b = 3,0 mA = ¢ � b = 4,5 m � 3,0 m = 13,5 m2

    Rechteck A = ¢ · b

    U = 2 · (¢ + b)

    e = ;¢ 2� +� b� 2�

    A Fläche ¢ LängeU Umfang b Breitee Diagonale

    Beispiel¢ = 120 mm; b = 80 mmA = ¢ � b = 120 mm � 80 mm = 9 600 m2

    e = ;¢2� +� b�2� = ;(1�2�0� m�m�)2� +� (� 8�0� m�m�)2�= 144,2 mm

    Parallelogramm (Rhomboid) A = ¢ · b

    U = 2 · (¢1 + ¢2)

    A FlächeU Umfang¢ (¢1) Länge¢2 Seitenlängeb Breite

    Beispiel¢ = 80 cm; b = 65 cmA = ¢ � b = 80 cm � 65 cm = 5 200 cm2

    Trapez A = · b

    U = ¢1 + ¢2 + ¢3 + ¢4

    ¢m = �¢1 +2¢2�

    ¢1 + ¢2�2

    A Fläche ¢1 große LängeU Umfang ¢2 kleine Längeb Breite ¢3, ¢4 Seitenlänge

    Beispiel¢1 = 2,6 m; ¢2 = 2,0 m; b = 1,8 m

    A = �¢1 +2¢2� � b = �2,6 m +

    22,0 m

    �� 1,8 m

    = 4,14 m2

    DreieckA = �¢ ·

    2b

    U = ¢1 + ¢2 + ¢3

    A Fläche ¢ LängeU Umfang b Breite (Höhe)¢1, ¢2, ¢3 Seitenlängen

    Beispiel¢ = 72 mm; b = 31 mm

    A = �¢ �2b

    � = �72 mm2� 31 mm� = 1116 mm2

    � Rechtwinklige Dreiecke S. 22

    ö

    b

    ö

    ö

    b

    e

    (ö1)

    b

    ö 2

    ö

    ö1

    b

    ö2

    öm

    ö

    b

    ö1

    ö 3

    ö2

    öö

    e

    01 (007 – 029) 2014_ 01 (007 – 027) 2007 28.07.14 11:26 Seite 17

  • 1.7 Flächen

    18

    1Dreieck Heronische

    Dreiecks-Formel

    s = �12

    � (¢1 + ¢2 + ¢2)

    A = ;s�·�(s� –� ¢�1)� ·� (�s�–�¢2�)�·�(s� –��¢3)�

    A Fläches halber Umfang¢1, ¢2, ¢3 Seitenlängen

    Beispiel ¢1 = 72 cm, ¢2 = 50 cm,¢3 = 42 cm

    s = �12

    � (72 + 50 + 42) cm = 82 cm

    A = 1024,5 cm2

    Unregelmäßiges Vieleck A = ∑ aller Teilflächen

    A = A1 + A2 + … + An

    Regelmäßiges VieleckA = n · �¢ ·

    4d

    ¢ = D · sin (�18n0°�)d = ;D� 2�–�¢2�

    ö1

    ö3

    ö 2

    b2

    b1

    ö1 = ö2

    A1

    A2

    ö

    d D

    A GesamtflächeA1, A2, … , An Teilflächen¢1, ¢2 … Längeb1, b2 … Breite

    Beispiel ¢1 = ¢2 = 110 cmb1 = 50 cm, b2 = 45 cm

    A1 = �¢1 �

    2b1� = 2 750 cm2

    A2 = �¢2 �

    2b2� = 2 475 cm2

    A = A1 + A2 = 5 225 cm2

    A Fläche n Anzahl der Ecken¢ Seitenlänged InkreisdurchmesserD Umkreisdurchmesser

    Beispiel Achteck mit D = 60 cm

    ¢ = 60 cm �sin (�1880°�) = 22,96 cmd = ;(6�0� c�m�)2� –� (�2�2�,9�6� c�m�)2�

    = 55,43 cm

    A = 8 �

    = 2 545,3 cm2

    22,96 cm � 55,43 cm���

    4

    Berechnung regelmäßiger VieleckeAnzahl Fläche Seitenlänge Inkreis- Umkreis-

    der durchmesser durchmesserEcken A ¢ d D

    aus ¢ aus d aus D aus d aus D aus ¢ aus D aus ¢ aus d

    ¢2 mal d 2 mal D 2 mal d mal D mal ¢ mal D mal ¢ mal d mal3 0,433 1,299 0,325 1,732 0,867 0,578 0,500 1,154 2,0004 1,000 1,000 0,500 1,000 0,707 1,000 0,707 1,414 1,4145 1,721 0,908 0,595 0,727 0,588 1,376 0,809 1,702 1,2366 2,598 0,866 0,649 0,577 0,500 1,732 0,866 2,000 1,1558 4,828 0,829 0,707 0,414 0,383 2,414 0,924 2,614 1,08210 7,694 0,812 0,735 0,325 0,309 3,078 0,951 3,236 1,05212 11,196 0,804 0,750 0,268 0,259 3,732 0,966 3,864 1,035

    Beispiel Achteck mit D = 60 cm

    A = D2 � 0,707 = (60 cm)2 � 0,707 = 2 545,2 cm2, d = D � 0,924 = 60 cm � 0,924 = 55,44 cm¢ = D � 0,383 = 60 cm � 0,383 = 22,98 cm

    01 (007 – 029) 2014_ 01 (007 – 027) 2007 28.07.14 11:26 Seite 18

  • 1.7 Flächen

    19

    1Kreis A = = π · r2

    U = π · d = π · 2 · r

    �π4

    � = 0,785

    π · d2�

    4

    Kreisausschnitt A = �π ·4d 2� · �

    36å0°�

    A = �¢£2· r�

    ¢£ = �π3·6d0·°å

    Kreisabschnitt A = �π ·4d 2� · �

    36å0°� – �¢ · (r

    2– h)�

    Näherungsformel:

    A $ �23

    � · ¢ · h

    ¢ = 2 · r · sin �å2

    ¢ = 2 · ;h� (�2� ·� r� –� h�)�

    Kreisring A = �4π

    � · (D2 – d2)

    A = π · dm · s

    Kreisringausschnitt A = �4π· 3

    ·6å0°

    � · (D2 – d2)

    U = �π · å360°� · (D + d) + (D – d)

    A FlächeD großer DurchmesserU Umfangd kleiner Durchmesserå Mittelpunktswinkel

    Beispiel D = 75 cm, d = 20 cm, å = 230°

    A = �π �4 ·

    230°360°� (752 – 202) cm2 = 2621,8 cm2

    EllipseA = �π · D

    4· d

    U $ �π2

    � (D + d )

    d

    da

    r

    ö

    ö

    ar

    d

    h

    dD

    s

    dm

    a

    D

    d

    D

    d

    A FlächeU Umfangd Durchmesserr Radius

    Beispiel d = 80 mm

    A = �π �4d 2� = �π � (80

    4mm)2� = 5 026,5 mm2

    U = π � d = π � 80 mm = 251,3 mm

    A Fläche r Radiusd Durchmesser ¢£ Bogenlängeå Mittelpunktswinkel

    Beispiel d = 52 mm, å = 80 °

    ¢£ = �π3�6d0

    �°å

    � = �π � 523m60

    � 80°�

    ¢ = 36,3 mm

    A = �¢£2� r� =

    A = 471,9 mm2

    36,3 mm � 26 mm���

    2

    A Fläche r Radiusd Durchmesser ¢ Sehnenlängeå Mittelpunktswinkel h Höhe

    Beispiel ¢ = 52 mm, h = 15,1 mm

    A ;�23

    � � ¢ � h = �23

    � � 52 mm � 15,1 mm

    A = 523,5 mm2

    A Fläche s BreiteD großer Durchmesserd kleiner Durchmesserdm mittlerer Durchmesser

    Beispiel D = 75 cm, d = 20 cm

    A = �4π� � (D2 – d2) = ��

    4π� � ((75 cm)2 – (20 cm)2)

    A = 4 103,7 cm2

    A Fläche U UmfangD großer Durchmesserd kleiner DurchmesserBeispiel D = 65 cm, d = 40 cm

    A = �π � D4

    � d� =

    A = 2 042 cm2

    π � 65 cm � 40 cm��

    4

    01 (007 – 029) 2014_ 01 (007 – 027) 2007 29.07.14 14:29 Seite 19

  • Flächenmomente, Widerstandsmomente

    1.7 Flächen

    Querschnitt e A Ûy

    b

    h

    e

    y

    z

    S �h2

    h

    e

    h

    y

    z

    S y2 · h�

    2

    zb

    e

    y

    hS�2

    3· h�

    b · h

    h2

    �b

    2· h�

    �2

    3· h� �

    b2· h�

    π · r2

    �π ·

    4d2�

    �π

    2· r2�

    �π ·

    8d2�

    �π

    4· r2�

    �π

    1·6d2�

    π · (R2 – r2)

    �π4

    � · (D2 – d2)

    �b

    1·2h3�

    �1h24�

    �b

    3·6h3�

    �b

    3·6h3�

    �π ·

    4r4

    �π

    6·4d4�

    ��π8� – �98π�� · r 4

    0,1098 r 4

    �π4

    � · (R4 – r 4)

    �6π4� · (D4 – d 4)

    �h

    1·2b 3�

    �h12

    4�

    �h

    4·8b 3�

    �h

    3·6b 3�

    �π ·

    4r 4�

    �π

    6·4d 4�

    �π ·

    8r 4�

    �π1·2d8

    4�

    ��1π6� – �94π�� · r 4

    0,0549 r 4

    ��1π6� – �94π�� · r 4

    0,0549 r 4

    �π4

    � · (R4 – r 4)

    �6π4� · (D4 – d4)

    0

    0

    0

    – �h2

    7·2b 2

    0

    0

    – ��94π� – �18�� · r 4

    – 0,0165 r 4

    0

    �b ·

    6h2�

    y2 · h3�

    12

    Wyo = �b2·4h2�

    Wyu = �b

    1·2h2�

    �π ·

    4r 3�

    �π

    3·2d 3�

    Wyo = 0,1907 r3

    Wyu = 0,2586 r3

    Wyo = 0,0953 r3

    Wyu = 0,1293 r3

    �4πR� · (R4 – r 4)

    �32π

    D� · (D4 – d4)

    zb

    e

    y

    hS

    z

    e

    y d

    rS r

    �d2

    z

    e

    y

    r

    d

    S �1 – �34π�� · r

    0,5756 r

    z

    e

    y

    r

    r

    S �1 – �34π�� · r

    0,5756 r

    z

    e

    Sy d

    rR D

    R

    �D2

    Ûz Ûyz Wy

    20

    1

    In nachfolgender Übersicht sind die Schwerpunkte S, die Flächen A, die Flächenmomente Ûy, Ûz, Ûyzund die Widerstandsmomente Wy von häufig vorkommenden Flächen dargestellt.Die allgemeine Berechnung erfolgt auf Seite 21.

    1

    2

    3

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    5

    6

    7

    8

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