2 Tensoralgebra

Tensoren1 ) sind multilineare Funktionen mehrerer Veränderlicher. Inso­fern als ihre Argumente Vektoren und Linearformen sind, werden sie in die Theorie der linearen Vektorräume eingebunden. Aus den verschiedenen Verknüpfungen von Tensoren, der Addition und namentlich der Multipli­kation, entwickelt sich die Tensoralgebra.

2.1 Tensoren

Für das Folgende sei V ein N-dimensionaler reeller Vektorraum, V* be­zeichne wie üblich den Dualraum. Basen in V werden mit ß = {eI, ... , eN}, B = {eI, ... , eN}, ... bezeichnet, die zugehörigen dualen Basen in V* erhal­ten als Kennzeichen das hochgestellte Symbol * wie in ß* = {cl, ... , cN} und B * = {tl, ... , t N }. Den Beziehungen zwischen den Vektoren zweier Basen ß und B bzw. ihrer dualen Basen ß* und B* liegen die Gleichungen (1.24) und (1.26) zugrunde. Wenn im folgenden von einem Basiswechsel die Rede ist, soll stets der Übergang ß ~ B in V und gleichzeitig der Übergang ß* ~ B* in V* gemeint sein.

Eine multilineare Funktion a: vn ~ IR heißt ein kovarianter Tensor n­ter Stufe. Sind Xl, X2, ••• , X n beliebige Vektoren in V mit den Koordinaten xI, xL ... , x~, so gilt auf Grund der Multilinearität

N N N

a(xI,x2, ... ,Xn ) = L L ... L X11X~2 ... X~na(eillei2,···,eiJ. i1 =1 i2 =1 in=l

Die Nn reellen Zahlen

heißen die Koordinaten des Tensors a bezüglich der Basis ß. Da diese sich bei einem Basiswechsel analog dem Transformationsgesetz (1.67) wie

1) Die Bezeichnung "Tensor" kommt aus dem Lateinischen - es bedeutet "tendo" (tetendi, tentus od. tensus) soviel wie spannen, straff anziehen, dehnen. Das erstmalige Auftreten dieses Begriffs in der Kontinuumsmechanik, nämlich der sogenannte Spannungstensor im Dehnungs-Spannungsgesetz, hat zur Namensge­bung Tensor für alle Objekte dieser Art geführt.

H. J. Dirschmid, Tensoren und Felder© Springer-Verlag/Wien 1996

52 2 Tensoralgebra

kovariante Koordinaten, nämlich nach der Vorschrift

N N N

a(eiu eil,· .. ,ei,J = L L ... L a;: a;~ ... a;: a( eiu ei2 ,· •• ,ein) il=l i 2=1 in=l

beziehungsweise

N N N

Aid2 ... in = L L ... L a;: a~~ ... a~: Aili2 ... in (2.1) il=l i 2 =1 in=l

transformieren, nennt man a einen "kovarianten" Tensor. Man sagt, die (tiefgestellten ) Koordinaten-Indizes eines kovarianten Tensors transformie­ren sich kogredient und spricht auch von kovarianten Indizes.

Eine multilineare Funktion ß : V*m -t IR heißt ein kontravarianter Tensor m-ter Stufe. Sind e, e, ... , em beliebige Vektoren in V* mit den K d· t ~l ~2 ~m ·lt oor ma en ci , Ci' ... , Ci , so gl

Die Nm Zahlen

heißen die Koordinaten des Tensors ß bezüglich der Basis B*j sie trans­formieren sich bei einem Basiswechsel analog dem Transformationsgesetz (1.66) für kontravariante Koordinaten,

N N N

ß(;;-il,;;-il, ... , ;;-i=) = " " ... " vii vil vi= ß( i l i 2 i=) <- <- <- ~ ~ ~ ail ai2 ... ai= e, e , ... , e

beziehungsweise

(2.2)

Man sagt, die (hochgestellten) Koordinaten-Indizes des Tensors ß transfor­mieren sich kontragredient und spricht auch von kontravarianten Indizes.

Sind n und m natürliche Zahlen, so nennt man eine multilineare Funk­tion I : V*m x vn -t IR einen gemischten Tensor (n + m )-ter Stufe, und zwar einen n-fach kovarianten und m-fach kontravarianten Tensor. Sind e, e, ... , em E V* und Xl, X2, ••• , X n E V beliebige n + m Vektoren, so ist

N N

L L ,;;,1 ,;;,m Xil X in lo....Ii1 ••• lo....Iim. 1 ... n

i 1 , ... ,im.=1 il,o .. ,;n=l

X ( il im. ) I e , ... , e ,eil' ... ,ein .

2.1 Tensoren 53

Die Nn+m Größen

Cil ... im ( i l im ) h ... in =7 e , ... ,e ,fil,···,fin

heißen die Koordinaten des Tensors 7; sie transformieren sich bei emem Basiswechsel gemäß

C-il ... im (-il -im - - ) h ... in =7 e , ... ,e ,fill···,fin

N

L (2.3)

Bezüglich der ersten m (hochgestellten) Indizes transformieren sich die Ko­ordinaten des Tensors 7 kontragredient, bezüglich der letzten n (tiefgestell­ten ) Indizes transformieren sie sich kogredient.

Gemischte Tensoren dieser Art sind gewissermaßen der "Standard­Typ"; neben diesem gibt es eine Vielzahl anderer Typen gemischter Ten­soren. Als "Definitionsbereich" tritt jedesmal ein kartesisches Produkt der Vektorräume V und V* auf wie in

7 : V* x ... x V* x V x ... x V x ... x V* x ... x V* x V x ... X V - IR.. ~ ~ "'-..-' ~ ,

ml mal mpmal

dies ist ein ml + ... +mp=m-fach kontravarianter und nl + .. ·+np=n-fach kovarianter gemischter Tensor mit den Koordinaten

( il i ml k l km ) 7 e , ... , e , fil ... , finl ' ... ,e , ... , e p , fh ... , fl np •

Gemischte Tensoren dieser allgemeinen Bauart lassen sich jedoch in den Standard-Typ verwandeln, indem man zum Tensor i : V*m x vn - IR. übergeht, der durch die Festsetzung

i( e , ... , em , Xl , .•. , x n ) := 7( e , ... , emt, Xl , ... , em , •.• , x n )

eingeführt wird. Er entsteht gewissermaßen durch "Umordnung" der Fak­toren im Definitionsbereich von 7, und er hat auch dieselben Werte wie der Tensor 7, wenn auf die Reihenfolge der Argumente bei dieser Umord­nung Rücksicht genommen wird. Man kann sich daher, wenn von einem gemischten Tensor die Rede ist, auf den Standard-Typ beschränken, was im folgenden auch geschehen soll. Gelegentlich ist es aber dennoch erforder­lich, auf einen speziellen Typus Rücksicht zu nehmen; in derartigen Fällen soll durch eine adäquate Indizierung der Koordinaten auf den jeweiligen Typus hingewiesen werden.

So ist eine Funktion a : V X V' X V ----> IR ein zweifach kovarianter und einfach kontravarianter Tensor dritter Stufe; seine Koordinaten sind die Zahlen AJk = a(e;,ei,ek) in

N N N

a(x,e,y) = LLLA;ikX;Siyk. ;=1 i=1 k=1

In A;ik ist der erste Index tiefgestellt und damit als "kovarianter" Index ausge­wiesen, entsprechend dem ersten "Faktor" V im Definitionsbereich von a, der

54 2 Tensoralgebra

zweite hingegen hochgestellt und damit "kontravariant", weil der zweite Faktor der Dualraum V' ist; der dritte Index ist wieder tiefgestellt und daher kovariant, womit auf den dritten Faktor V im Definitionsbereich hingewiesen wird. Damit folgt man der Übereinkunft, mit tiefgestellten kovarianten Indizes auf die Basis­vektoren in V - entsprechend der Art ihrer Numerierung - hinzuweisen, und mit hochgestellten kontravarianten Indizes auf die Basisvektoren in V·. Bezüglich der kontravarianten Indizes transformieren sich die Koordinaten kontragredient, bezüglich der kovarianten Indizes transformieren sie sich kogredient,

N N N

A/k = a(ei,t;,ek) = L L L a7a{ak' Ah'm. h=1 '=1 m=1

Der Übergang zum Standard-Typus führt zum Tensor 0: : V' X V2 --4 :IR mit den Koordinaten Aik' die sich nach der Vorschrift

N N N

Ai!: = LL L a{a7ak'A~m h=1 '=1 m=1

transformieren. Die Werte des Tensors 0: sind N N N

o:(e,z,y) = a(z,e,y) = LLLAi!:3;Xiy!:. i=1 ;=1 k=1

Eine lineare Funktion a : V ~ IR., also ein Element a E V*, ist em kovarianter Tensor erster Stufe. Seine Kordinaten

Ai = a{ei) = (a,ei)

transformieren sich nach der Regel (1.67) für die kovarianten Koordinaten eines Vektors. Ein kontravarianter Tensor erster Stufe ist eine Linear­form auf V*, also ein Vektor in V**. Da die Vektorräume V und V** auf Grund des zwischen ihnen bestehenden natürlichen Isomorphismus identifi­ziert werden, repräsentiert jeder Vektor b E V einen kontravarianten Tensor erster Stufe. Seine Koordinaten sind (vgl. (1.27))

Bi = b{ei ) = (b,e i )* = (ei,b);

sie transformieren sich nach der Regel (1.66). Man nennt daher die Vek­toren in V kontravariante Tensoren erster Stufe; die kovarianten Tensoren erster Stufe sind die Linearformen in V* .2)

Die Elemente des Grundkörpers IR. der Vektorräume V und V* bezeich­net man als Tensoren nullter Stufe. Sie werden auch Invarianten genannt, da sie sich bei einem Basiswechsel nicht ändern, im Gegensatz zu den Ko­ordinaten eines Tensors mit einer Stufe, die größer als Null ist.

Die Koordinaten eines Tensors n-ter Stufe sind die Werte des Tensors auf den geordneten n-tupeln von Basisvektoren in V, wenn es sich um einen kovarianten Tensor handelt, bzw. in V* im Falle eines kontravarianten Ten­sors, bzw. in V und V*, wenn der in Rede stehende Tensor vom gemischten

2) Die Bezeichnungen "kontravarianter Vektor" und "kontravarianter Tensor erster Stufe" haben also dieselbe Bedeutung. Ebenso ist der "kovariante Vektor" ein Synoym für den "kovarianten Tensor erster Stufe".

2.1 Tensoren 55

Typ ist. Selbstverständlich beinhaltet die Angabe des Definitionsbereiches und der Werte der multilinearen Funktion alle Informationen hinsichtlich seiner Merkmale als kovarianter bzw. kontravarianter bzw. gemischter Ten­sor. Eine Alternative zu derartigen Angaben, die mitunter etwas schlep­pend sein können, ist die folgende - nicht ganz exakte - Sprechweise, deren Bündigkeit manchmal die Übersicht erhöht. Man spricht vom Ten­sor A i1 ... in anstelle von Cl : vn ---t IR und meint mit den Zahlen Ai1 ... in die Koordinaten des Tensors Cl unter Bezugnahme auf eine gerade aktuelle Basis ß in V - an die Stelle des Funktionssymbols tritt also die Angabe der Koordinaten bezüglich einer festen Basis. Die Stufe des Tensors wird dabei durch die Anzahl der Indizes ausgewiesen, auch kann der Hinweis darauf entfallen, daß es sich um einen kovarianten Tensor handelt, denn dieses Merkmal kann daran abgelesen werden, daß die Koordinaten-Indizes tiefgestellt sind. Bezüglich der Vektoren der festen Basis ß sind also die Größen

die Werte des Tensors Cl auf den Basisvektoren von ß in V. Sind jetzt Xl,

X2, ••• , X n beliebige Vektoren in V, die bezüglich der Basis ß die Koordi­naten X~l, X;2, ... , X~n haben, so findet man, weil eben die Funktion Cl

multilinear ist,

N

( ) " A X ilXi2 Xin Cl X1,X2, .. ·,Xn = L...J i 1 i 2 ... i n 1 2'" n'

i11···,in=1

Diese Übereinkunft läßt sich auf kontravariante Tensoren ausdehnen. Man spricht einfach vom Tensor mit den Koordinaten Bi1i2 .. ·im und meint da­mit die Werte eines Tensors ß: V*m ---t IR auf den geordneten m-tupeln der Vektoren einer festgewählten Basis ß* in V*. Die Stufe des Tensors liefert wieder die Anzahl der Indizes; daß es sich dabei um einen kontravarianten Tensor handelt, ist jetzt an den hochgestellten Koordinaten-Indizes zu er­kennen. Den Wert des Tensors ß für ein System von Vektoren e, e, ... , ~m . V* d' b .. li h d B . ß* d' K d' t ~1 ~2 ~m h b In , le ezug c er aSlS le oor lna en t!i1' t!i2' ... , t!im a en, liefert

N

L it, .. ·,im=l

Sinngemäß weist die Angabe cl11 ..... 1: auf einen n-fach kovarianten und m­

fach kontravarianten gemischten Tensor, : V*m X vn ---t IR vom Standard­Typus hin. Der Typus gemischter Tensoren wie Cl: V* X V2 X V* ---t IR oder ß : V2 X V*2 ---t IR wird durch die Position und die Stellung der Indizes in A iik I und Bi/I kenntlich gemacht.

Abschließend sei darauf hingewiesen, daß ein Tensor durch seine Ko­ordinaten, bezogen auf ein Paar dualer Basen in ß und ß*, vollständig festgelegt ist - die Koordinaten sind ja die Werte des Tensors für ein System von Basisvektoren in V und V*. Deshalb ist durch jedes Schema

56 2 Tensoralgebra

von Zahlen, wenn diese als Werte eines Tensors auf einem System von Basisvektoren aufgefaßt werden, ein Tensor vollständig bestimmt, solange hinzugefügt wird, welche Basis dabei zugrundegelegt worden ist. Wenn z.B. N 2 Zahlen Aii gegeben sind, deren Indizierung im Hiblick auf einen gemischten Tensor zweiter Stufe vorgenommen wurde, so wird durch die Setzung

auch wirklich ein gemischter Tensor zweiter Stufe definiert. Da erst durch die Fixierung einer Basis B, welche der Definition des Tensors zugrundege­legt wird, der Übergang zu einer anderen Basis B vollzogen werden kann, sind

N _0 "hO k A/ = L...J ai a~Ah

h,k=l

die Koordinaten des Tensors 0: bezüglich der Basis B. Ohne die Bezug­nahme auf eine feste Basis ist es sinnlos, von N 2 Zahlen eines gegebenen Schemas als den Koordinaten eines Tensors zu sprechen, genauso wie die Feststellung: "Diese drei Zahlen sind die Koordinaten eines Vektors" ohne die Ergänzung, auf welche Basis dabei Bezug genommen wird, keinen In­formationsgehalt hat.

2.2 Addition und Multiplikation

Funktionen mit demselben Definitionsbereich und Werten in einem Zah­lenkörper können addiert werden. Dies gilt notabene für Tensoren gleicher Art und gleicher Stufe. Sind 0: : Vn --t IR und ß : vn --t IR zwei kovariante Tensoren n-ter Stufe, so ist ihre Summe 'Y = 0: + ß der kovariante Tensor

(0: + ß) (Xl, X2,· •• , X n ) := 0: (Xl, X2, ••• , X n ) + ß (Xl, X2, ••• , X n ) ,

dessen Koordinaten durch elementweise Addition aus den Koordinaten der Summanden hervorgehen,

Ci1 i 2 oooin = Ai1 i 2 oooin + Bi1i 2 oooin •

Analoges gilt für kontravariante Tensoren 0: : V*n --t IR und ß : V*n --t IR, deren Summe 'Y = 0: + ß der kontravariante Tensor n-ter Stufe

(o:+ß)(e,e,· .. ,C) :=o:(e,e, ... ,C) +ß(e,e, ... ,C) mit den Koordinaten

ist. Sind schließlich 0: und ß zwei gemischte Tensoren vom Standard-Typus, die in ihrer kovarianten und kontravarianten Stufe übereinstimmen, so ist ihre Summe der gemischte Tensor

(0: + ß)( e , ... , tm , Xl , ... , x n ) :

= o:(e, ... , tm , Xl, ... , X n ) + ß(e, ... , tm , Xl,···, X n )

2.2 Addition und Multiplikation 57

mit den Koordinaten

Was die gemischten Tensoren mit speziellem Typus anlangt, so genügt jetzt nicht die Gleichheit der kovarianten und kontravarianten Stufen, es muß auch der Definitionsbereich übereinstimmen. So können die beiden ge­mischten Tensoren dritter Stufe a: V X V* X V ----7 IR und ß: V X V* X V ----7 IR addiert werden, der Summentensor 'Y = a + ß hat die Koordinaten

Ciik = AJk + Biik .

Hingegen ist die Summenbildung von a oder ß mit dem gemischten Tensor Ö : V* X V2 ----7 IR, dessen Koordinaten entsprechend Diik zu indizieren sind, nicht möglich, obwohl ö, wie die beiden Tensoren a und ß, ein einfach kontravarianter und zweifach kovarianter Tensor ist. Geht man aber zum Standard-Typus über, so sind

A1k + D1k die Koordinaten des Summentensors.

Die Addition und die Multiplikation mit Zahlen aus dem Grundkörper sind die elementaren Rechenoperationen in linearen Vektorräumen. Das Produkt eines beliebigen Tensors a mit einer Zahl>' E IR ist der Tensor

( >.a ) ( ... ) : = >.a( . .. ) gleicher Stufe und Art wie der Tensor a. Die Koordinaten des Produkt­tensors >.a sind einfach die Produkte der Koordinaten des Tensors a mit der Zahl >.. Wenn z.B. a der gemischte Tensor a : V*m X vn ----7 IR mit den Koordinaten A1~::t: ist, so sind die Größen >'A{~:::1:: die Koordinaten des Produkttensors >'a.

Die gleichartigen Tensoren, für die auf diese Weise eine Addition und eine Multiplikation mit Zahlen aus dem Grundkörper eingeführt ist, haben damit die Struktur eines Vektorraumes. Der Vektorraum der gemischten n-fach kovarianten und rn-fach kontravarianten Tensoren auf einem Vek­torraum V werde mit Tnm(V) bezeichnet; für rn = 0 ist Tn(V) der Vek­torraum der n-fach kovarianten, für n = 0 ist Tm(V) der Vektorraum der rn-fach kontravarianten Tensoren. Man kommt dabei überein, mit To°(V) den Grundkörper des Vektorraumes V zu bezeichnen. Auch die gemischten Tensoren von speziellem Typus haben Vektorraumstruktur.

Im Gegensatz zur Addition, die nur für gleichartige Tensoren defi­niert ist, läßt sich ein Produkt für Tensoren erklären, und zwar ohne Ein­schränkung der Faktoren hinsichtlich ihrer Stufe und Art. Sind a E Tnm(V) und ß E :J;,q(V) zwei gemischte Tensoren, so heißt der Tensor 'Y E Tn~~q(V),

'Y(e,···,em +q ,Xl' ... Xn +p ) :

= a(e, ... ,em,Xl, ... ,xn)ß(em+1, ... ,em+q,Xn+l, ... ,xn+p) ,

das Produkt der Tensoren a und ß, symbolisch

'Y=a®ß·

58 2 Tensoralgebra

Die Koordinaten dieses Tensors sind die Produkte cit ... imh .. .Iq _ Ait ... jm B h .. .Iq

it ... i n kt ... kp - it ... i n kt ... kp •

Für m = q = 0 sind darin die Produkte kovarianter, für n = p = 0 die Produkte kontravarianter Tensoren enthalten. Das Produkt kovarianter Tensoren ist wieder ein kovarianter Tensor, ebenso ist das Produkt kontra­varianter Tensoren wieder ein kontravarianter Tensor.

Das Produkt eines Tensors n-ter Stufe mit einem Tensor m-ter Stufe, das auch Tensorprodukt oder tensorielles Produkt genannt wird, ist ein Ten­sor (n + m )-ter Stufe. Das tensorielle Produkt ist assoziativ und distributiv gegenüber der Tensor-Addition, es ist aber nicht kommutativ. Sind z.B. 0: : V ---t IR und ß : V ---t IR zwei kovariante Tensoren erster Stufe, so ist das Produkt 0: ® ß der kovariante Tensor, dessen Werte

(0: ®ß)(x,y) = a(x)ß(y)

von denen des Tensor ß ® 0:,

(ß ® o:)(x,y) = ß(x)o:(y) ,

i.a. verschieden sind.

Das Produkt eines kontravarianten Tensors 0: mit einem kovarianten Tensor ß ist der gemischte Tensor

(0: ® ß)(C, ... ,em,XI'" ,xn) = o:(C, ... ,em)ß(XI, ... ,xn),

und in umgekehrter Reihenfolge

(ß ® o:)(C, ... , em, Xl,···, Xn) = ß(XI, ... , xn)o:(C, ... ,em).

Wenn daher in einem Produkt o:®ß einer der Faktoren ein kontravarianter und der andere ein kovarianter Tensor ist, so gilt

o:®ß=ß®o:, (2.4)

im Sinne der Überführung gemischter Tensoren in den Standard-Typ.

Das Produkt ).0: eines Tensors 0: : V' ---t IR mit einer Zahl ). E IR erscheint auf diese Weise als das Tensorprodukt ). ® 0: : V' ---t IR des Tensors nullter Stufe). und des Tensors 0:. Dieses Produkt ist kommutativ.

2.3 Darstellung der Tensoren

Die Vektoren ei einer Basis ß in V sind kontravariante Tensoren erster Stufe. Ihre Werte für die Vektoren ei der dualen Basis ß* in V* sind die Skalarprodukte (vgl. (1.17) und (1.27))

( i ) ( i ) (i ) d {I für i = j, ei e = ei, e * = e ,ei = Vi = 0 f" . -1- • ur Z I J. (2.5)

2.3 Darstellung der Tensoren 59

Aus diesen Beziehungen ergibt sich für einen beliebigen Vektor e E V*

N N

ei(e) = L Biei(ci ) = L Bi ol = Bi , (2.6) i=1 i=1

d.h. der kontravariante Tensor ei ordnet einem Vektor in V* seine i-te Koordinate bezüglich der dualen Basis B* zu. Man beachte dabei, daß kontravariante Tensoren erster Stufe, wie der Basisvektor ei, eigentlich Li­nearformen auf V*, d.h. Elemente des Vektorraumes V** sind, der mit dem Vektorraum V identifiziert wird.

Die Vektoren ci der dualen Basis B* sind dagegen kovariante Tensoren erster Stufe. Ihre Werte auf der Basis B von V bestimmen sich zu

ci ( ei) = (ci, ei) = 01 .

Der Tensor ci ordnet somit einem Vektor x E V seme i-te Koordinate bezüglich der Basis B zu,

N N

ci(x) = LXici(ei) = L Xiol = Xi. (2.7) i=1 i=1

Bildet man jetzt mit Hilfe der Vektoren der Basis B das tensorielle Produkt

das ein kontravarianter Tensor n-ter Stufe ist, so erhält man für ein Vektor­system e, e, ... , en in V*

n

(eil ® ei2 ® ... ® ein)( el, e , ... , C) = II eik (e) = B;l B~2 ... Bin' k=1

Ist dann a ein kontravarianter Tensor n-ter Stufe mit den Koordinaten Ail ... in bezüglich der Basis B* und

N

2: so erhält man durch Einsetzen aus der darüberstehenden Gleichung

N

a( e , e , ... , C) = L A il ... i n (eil ® ei2 ® ... ® eiJ( e , e, ... ,C) i t , ... ,in =l

und somit, da diese Gleichung für alle Vektorsysteme e, e, ... , en gültig ist, die Darstellung

N

a = 2: Ail ... in eil ® ... ® ein' i 1 , ... ,in ==1

(2.8)

60 2 Tensoralgebra

Bei einem Basiswechsel (1.24), (1.26) ergibt sich

i> , ... ,jn=l

N N

" ( " aV~l aAnAi1 ... in)e. iO. ... iO.e. L..J L..J'1 . .. 'n ]1 10' 10' 3n

j1, ... ,jn=1 i1, ... ,in=1

N

L Ai> ... jn e' ® ... ® e' ]1 ]n

j1, ... ,jn=1

und damit neuerlich das Transformationsgesetz (2.2) für kontravariante Tensoren.

Aus den Gleichungen (2.6) folgt durch eine analoge Betrachtung, daß ein kovarianter Tensor m-ter Stufe ß, der bezüglich der Basis B die Koor­dinaten Bj1 ... jm hat, in der Form

N

ß= L (2.9) i>, ... ,jm=l

dargestellt werden kann. Wie oben für kontravariante Tensoren findet man jetzt für kovariante Tensoren

N N

ß = L B i1 ... im L a1~ ... a1: i 1 ® ... ® tim

il1···,;m.=1 i 1 , ... ,im.=1

N N

L ( L a1~ ... a{: Bj1 ... jm )ti1 ® ... ® tim

i t1 ···,im.=1 jt, ... ,jm.=l

N

L Dies ist wieder das Transformationsgesetz (2.1) für kovariante Tensoren.

Darstellungen dieser Art gibt es natürlich auch für gemischte Tensoren. Für solche vom Standard-Typus findet man auf dieselbe Weise

N N

"(= L L (2.10) i 1 , ... ,in =l il , ... ,jm,=l

Das Produkt zweier gemischter Tensoren führt auf diese Weise wieder zu ei­

nem gemischten Tensor. Sind A{~:::!:: und B;ll.::i~q zwei gemischte Tensoren und setzt man für den Augenblick zur Abkürzung

ek1 ... km = ek1 ® ... ® ekm , ti1 ... in = ti1 ® ... ® tin,

so ist wegen (2.4)

2.3 Darstellung der Tensoren 61

und folglich N N

a®ß= L L i 1 , ... ,in.=1 i1, ... .im=1

N N " "A~l ... ~m Bh ... 1q e' . .Q\ei1 ... in .Q\e .Q\ek1 ... kp L..J L..J 11 ••• 1n k 1 ••• kp 31 "'3m \()I \()I h .. .Iq \()I

i1, ... ,in=1 k1, ... ,kp=1 h,···,im=l 11, ... ,lq =1

i1, ... ,in=1 k1, ... ,kp=1 h,···,im=l h, ... ,lq =l

Was die speziellen Typen gemischter Tensoren anlangt, so möge aus Gründen der Vielfalt an Hand eines Beispiels auf die denkbaren Fälle hin­gewiesen werden. Jedes der insgesamt 3N Produkte

ei ® ei ® ek

ist ein zweifach kontravarianter und einfach kovarianter Tensor

(ei ® ei ® ek)(e,X,l1) = ei(e)ei (x)ek(l1) = BiXiHk ;

ist a : V* X V X V* -t IR. ein gemischter Tensor mit den Koordinaten Ai/

bezüglich der dualen Basen Bund B*, so erhält man N N

a(e,X,l1)= L Ai/BiXiHk = L Ai/(ei®ei ®ek)(e,X,l1), i,i,k=l i,i,k=l

also die Darstellung N

a= L i,i,k=l

Die Gleichungen (2.8), (2.9) und (2.10) lassen erkennen, daß die Vek­torräume :TTn(V), :Tn(V) und :TnTn(V) endlichdimensional sind, denn es bilden die Tensorprodukte der Basisvektoren ei bzw. ei eine Basis des jeweiligen Vektorraumes. Die Darstellungen (2.8) bis (2.10) sind Linearkombinatio­nen dieser Basisvektoren, deren Koeffizienten die Koordinaten des jeweili­gen Tensors sind. Da es insgesamt (dim V)Tn Produkte eh ® ... ® eim und (dimV)n Produkte ei1 ®···®ein gibt, ist dim:TnTn(V) = (dimV)n+Tn . Darin ist für n = 0 die Dimension des Vektorraumes der kontravarianten und für m = 0 die Dimension des Vektorraumes der kovarianten Tensoren enthalten.

Anschließend an die Bemerkungen am Ende des §1 sei diesen ergänzend hinzugefügt, daß die Vorgabe eines Paares dualer Basen Bund B* sowie eines (beliebigen) Systems indizierter Größen Ai einen gemischten Tensor

N

Cl = L Aiej®ei

auf eindeutige Weise festlegt.

62 2 Tensoralgebra

2.4 Tensoren in euklidischen Vektorräumen

Ein linearer Vektorraum erhält durch ein inneres Produkt eine zusätzliche Struktur. Dies ist nicht ohne Einfluß auf die Algebra der Tensoren.

Ist in einem Vektorraum [ durch eine symmetrische nicht-ausgeartete bilineare Funktion 9 : [ X [ -t lR ein inneres Produkt (x, y) = 9 (x, y) gegeben, so ist 9 definitionsgemäß ein kovarianter Tensor zweiter Stufe. Seine Koordinaten sind die in (1.51) eingeführten Größen

gii = g(ei,ei) = (ei,ei)' Sie transformieren sich bei einem Basiswechsel (1.24) gemäß dem Transfor­mationsgesetz (2.1) für kovariante Tensoren zweiter Stufe (vgl. (1.68))

N

- "k I gii = L...J ai aigkl . k,l=l

Das in [* induzierte innere Produkt (vgl. (1.44)) bestimmt eine bilineare Funktion 9 : [*2 -t lR,

g(e,1J):= (e,1J)* = ("-le,,,-l1J), worin" : [ -t [* der natürliche Isomorphismus der Vektorräume [ und [* ist. Deshalb ist 9 als bilineare Funktion auf dem Produkt [* x [* ein kontravarianter Tensor zweiter Stufe mit den Koordinaten (vgl. (1.52))

gii = (c;i,c;i)*.

Diese transformieren sich bei einem Basiswechsel gemäß dem Transforma­tionsgesetz (2.2) für kontravariante Tensoren zweiter Stufe (vgl. (1.70))

N -ii "vi vi kl 9 = L...J akalg .

k,l=l

Auch das Skalarprodukt (0,0) der Vektorräume [* und [ ist eine bilineare Funktion, demnach ein gemischter Tensor zweiter Stufe mit den Koordina­ten

i (i ) .i {I füri=j, gi = c;, ei = vi = 0 für i -I- j.

Wechselt man die Basis, so transformieren sich die Koordinaten dieses Ten­sors nach dem Transformationsgesetz (2.3),

N N -i "vi I k "vi k .i i gi = L...J akaig I = L...J akai = vi = gi .

k,l=l k=l Sie ändern sich bei einem Basiswechsel nicht, und zwar deshalb, weil die Transformationsmatrizen {a{} und {a{} zueinander invers sind. Schließlich ist auch das Skalarprodukt (0,0)* der Vektorräume [** und [* ein gemisch­ter Tensor zweiter Stufe, dessen Koordinaten bezüglich der Basen Bund B* durch

9ii = (ei, c;i)* = (c;i, ei) = gii

gegeben sind. Auch diese bleiben von einem Basiswechsel unberührt.

2.4 Tensoren in euklidischen Vektorräumen 63

In einem euklidischen oder pseudo-euklidischen Vektorraum E besteht auf Grund des Isomorphismus /, ein enger Zusammenhang zwischen einem Vektor x E E und dem Vektor /,x E E*. Diese Verwandtschaft war Anlaß dafür, die beiden Vektoren in einer Familie zueinander (durch den Isomor­phismus /,) assoziierter Vektoren zusammenzufassen. Innerhalb dieser Fa­milie unterscheidet man sie, indem man vom kontravarianten Vektor x und vom kovarianten Vektor /,x spricht, nach außen erhalten sie einen gemein­samen "Familiennamen", indem man ihren Koordinaten ein und dasselbe Grundsymbol zuweist und sie nur durch die Stellung der Indizes auseinan­derhält; so sind Xi die kontravarianten Koordinaten (die Koordinaten des Vektors x bezüglich der Basis B) und Xi die kovarianten Koordinaten (die Koordinaten des Vektors /,x bezüglich der zu B dualen Basis B*). Vor ei­ner ähnlichen Situation steht man nun angesichts der vier durch das innere Produkt in E hervorgehen Tensoren

g(x,y) = (x,y),

g(e,TJ) = (e,TJ)* = (/,-le,/,-l TJ ) = g(/,-le,/,-l TJ ) ,

§(e,y) = (e,y) = (/,-le,y) = g(/,-le,y) ,

g(x,O = (x,e)* = (x,/,-10 = g(x,/,-le). Man faßt diese vier Tensoren zu einer Familie assoziierter Tensoren zusam­men, unterscheidet den kovarianten Tensor g, den kontravarianten Tensor 9 und die gemischten Tensoren § und g. Ihren Koordinaten liegt ein gemein­sames Symbol - der Buchstabe 9 - zugrunde, man spricht vom kovarian­ten Tensor mit den Koordinaten 9ij, vom kontravarianten Tensor mit den Koordinaten 9ij und von den beiden gemischten Tensoren mit den Koordi­naten 9ij = 9i j = 91. Dieser aus dem inneren Produkt in Ehervorgehende zweistufige Tensor 9 heißt der Fundamentaltenaor auf E.

Die Beziehungen zwischen den Koordinaten des Fundamentaltensors sind analog denen eines Tensors erster Stufe. Es gilt auf Grund der Glei­chungen (1.53) und (1.54)

N N i ( -1 i ) '" ik ( ) '" ik 9j=9/' C:,ej =L...J9 gek,ej =L...J9 9kj

k=l k=l (vgl. (1.55)); ferner ist

N N

9ij = g(ei,ej) = §(/,ei,ej) = L9ik§(c:k ,ej) = L9ik9j k=l k=l

und N

L 9ih9jk9(c:h,c:k ) = h,k=l h,k=l

Umgekehrt erhält man

h,k=l h,k=l

64 2 Tensoralgebra

und N N

9ii = g(ei ,L-1ei ) = L9ik g(ei ,ek) = L9ik9~' k=1 k=1

Eine ähnliche Situation findet man nun auch bei beliebigen Tensoren vor. So ist beispielsweise durch einen zweifach kontravarianten und einfach kovarianten Tensor a : [*2 X [ ~ IR der Stufe drei mit den Koordinaten Aiik = a(e\ei,ek) ein rein kontravarianter Tensor dritter Stufe

bestimmt; seine Koordinaten sind die Zahlen

N

Aiik = ä(ei,ei,ek ) = a(ei ,ei ,L-1ek) = a(ei,ei , L9k1e l) 1=1

N N " kl (' " ) "kl" " = L...J9 a e',e', el = L...J9 A"I. 1=1 1=1

Dem Tensor a ist aber auch der zweifach kovariante und einfach kontrava­riante Tensor a : [* X [2 ~ IR,

a(e,x,y):= a(e,Lx,y),

zugeordnet. Dessen Koordinaten bestimmen sich aus denen des Tensors a zu

N N

A i A ( i ) ( i" 1 ) " Ail ik = a e ,ei, ek = a e 'L...J 9ile ,ek = L...J 9il k . 1=1 1=1

Ein hinsichtlich der kovarianten und kontravarianten Stufe gleichartiger Tensor wie a, der ebenfalls aus dem Tensor a hervorgeht, ist der Tensor 0: : [ X [*2 ~ IR,

o:(x,e,TJ) := a(LX,e,L-1TJ)

mit den Koordinaten "k " k "1 k

Ai' = o:(ei,e',e ) = a(Lei,e',L- e ) N N

" kl h" " kl h" = L...J 9ih9 a(e ,e', el) = L...J 9ih9 A'I. h,I=1 h,I=1

Schließlich kann dem Tensor a auch der rein kovariante Tensor

a(x,y,z) := a(Lx,LY,Z)

zugeordnet werden; seine Koordinaten berechnen sich aus denen des Ten­sors a zu

N N

A iik = a( ei, ei' ek) = a(Lei, Lej, ek) = L L 9ih9ilAhik . h=11=1

2.4 Tensoren in euklidischen Vektorräumen 65

Alle diese Tensoren bilden eine Familie zueinander "assoziierter" Tensoren; sie haben einen gemeinsamen "Familiennamen" , indem ihren Koordinaten dasselbe Buchstabensymbol zugeordnet wird, ohne daß deshalb aber auf ihre Individualität verzichtet wird. Die Größen A ijk sind die Koordina­ten des kovarianten, die Größen Aijk die Koordinaten des kontravarianten Familienmitgliedes; neben diese treten die gemischten Tensoren Aijk ,Ai/,

Aijk, A i /, Aijk und A ijk . Die Umrechnung vom Tensor Aijk auf den Tensor Aijk ist nach der Formel

N

" " "I A'jk = L..J gjlA' k

1=1

zu bewerkstelligen, man spricht vom Herunterziehen des zweiten Index. Formal ist dabei folgendermaßen vorzugehen: Ist l das Symbol für den herunterzuziehenden kontravarianten Index, so ist mit gjl zu multiplizieren und über l zu summieren; dadurch wird der Index l heruntergezogen und gleichzeitig auf j umbenannt. Um zurückzurechnen ist in Aijk der kovari­ante Index j hinaufzuziehen: Dies geschieht durch Multiplikation mit glj

und anschließende Summation über j,

N "I "I"" A' k = L..J 9 JA 'j k ;

j=l

der hinaufzuziehende Index wird dabei zu lumbenannt. Der Übergang von den Koordinaten Ai jk zu den Koordinaten A i/ erfolgt durch Hinaufziehen des ersten und Herunterziehen des zweiten Index, erfordert also die Multi­plikation mit gih (Hinaufziehen des ersten Index i und Umbenennung auf h) und gjl (Herunterziehen des zweiten Index j und Umbenennung auf l) und Summation über i und j,

N

A h1k = L gihgjlAijk .

i,j=l

Das Hinauf- und Herunterziehen von Indizes erfordert es, auf die In­dividualität des jeweiligen Tensors einzugehen, namentlich dann, wenn der in Rede stehende Tensor ein gemischter Tensor vom Standard-Typ ist. Sei

N "i" k 1 a = L..J A~lei ® ej ® e ® e i,j,k,l=l

ein solcher Tensor mit den Koordinaten A~. Das Herunterziehen des Index j verlangt, die Stelle anzugeben, die von diesem Index eingenommen werden soll. Hiefür ist der Tensor a als Standardisierung eines gemischten Tensors, z.B.

N

a= L i,j,k,l=l

66 2 Tensoralgebra

anzusehen, sofern die wahre Natur des Tensors a nicht von vornherein feststeht. Jetzt führt das Herunterziehen des Index j auf den Tensor

ti(e,x,y,z) = ä(X,LY,Z)

mit den Koordinaten

Dabei kann natürlich auch die Reihenfolge der Argumente verändert wer­den, wie im Falle

a(e,x,y,z) = ä(e,y,LX,Z).

Dies hat die Wirkung, daß die betroffenen Indizes vertauscht werden, denn die Koordinaten des Tensora a sind die Zahlen Aijkl = Aikjl .

Der Bedeutung des Hinauf- und Herunterziehen von Indizes ,als Ten­soroperation möge die folgende Zusammenfassung gerecht werden.

Der Übergang von Koordinaten A:::i ::: zu A::: j ::: wird durch Multi­plikation mit 9ji und Summation über den nunmehr doppelt - einmal hochgestellt, einmal tiefgestellt - auftretenden Index i erreicht,

X·· ... " X·· i .. . ... j ... = L...J9ji ...... , (2.11)

wobei er auf j umbenannt wird. Beim Hinaufziehen eines Index i ist mit 9 ij

zu multiplizieren und über den nummehr doppelt auftretenden Index, der dann einmal hochgestellt und einmal tiefgestellt aufscheint, zu summieren,

X··j··· =" ji A··· : .. ... ... L...J9 ...•... (2.12)

Zu beachten ist dabei, wie wohl aus den obigen Betrachtungen auch her­vorgeht, daß beim Hinauf- und Herunterziehen von Indizes die Position der betroffenen Indizes erhalten bleibt, verändert wird nur ihre Stellung.

2.5 Verjüngung

Neben dem Hinauf- und Herunterziehen von Indizes innerhalb einer Familie zueinander assoziierter Tensoren ist eine weitere Tensoroperation grundle­gender Bestandteil der Tensoralgebra, nämlich die Verjüngung von Tenso­ren. Der zugrundeliegende Vektorraum kann dabei beliebig sein, ein inneres Produkt wird für den Prozeß der Verjüngung von Tensoren nicht benötigt.

Sei a:V*m xVn ----) IR ein m-fach kontravarianter und n-fach kovarianter gemischter Tensor (n + m)-ter Stufe mit den Koordinaten

2.5 Verjüngung 67

Greift man eine kontravariante Position heraus, z.B. die m-te, desgleichen eine kovariante Position, z.B. die n-te, so entsteht, wenn in

a(e , e, ... , em , Xl, X2, ... , xn )

die Argumente e, ... , em - 1 und Xl, ... , Xn -1 festgehalten werden, em = e und X n = X gesetzt wird, eine bilineare Funktion X : V* x V ---t ffi., nämlich

X(e,x) = a(e\···,em - 1,e,X1, ... ,Xn _1,X), Diese Bilinearform läßt sich nun mit Hilfe des Skalarproduktes ausdrücken,

x(e,X) = (e,y), worin der Vektor y E V eindeutig durch das Argument X E V bestimmt ist. Folglich definiert die bilineare Funktion X eine Abbildung T : V ---t V, die eine vom Tensor a und den festgehaltenen Argumenten e, ... , em - 1 und Xl, ... , Xn -1 abhängige lineare Transformation ist. Die Spur der linearen Transformation T ist offenbar eine multilineare Funktion auf v*m-1 X vn-1

und deshalb ein (m - 1)-fach kontravarianter und (n - 1)-fach kovarianter Tensor der Stufe n + m - 2. Ist {t{} die Matrix der Transformation T

bezüglich einer Basis ß, so ist

X(e, x) = a(e, ... ,em - 1 ,e, Xl,···, Xn -1, X) N

L i 1 , •.. ,im - 1 =1 i,j=l jl, ... ,jn-l=l

i,j,k=l

(vgl. (1.13)) und somit N

Daher ist

L i 1 , ... ,i1'n_l=1 it,···,jn-l=l

N

spurT = t~ = L i 1 , ... ,i1n - 1 ==1 i=l it,···,jn-l=l

i,j=l

(vgl. (1.37)) ein Tensor a der Stufe n + m - 2 mit den Koordinaten

N jFl ... i.m-l = " Ai.1 ... i.m-l ~ .

31 ... Jn-l L...J ]1···3n-l' i=l

(2.13)

Der Tensor a entsteht aus dem Tensor a, indem man in den Koordinaten A~~:::~:: des Tensors a den kontravarianten Index im mit dem kovarianten Index Jn identifiziert, d.h. gleichsetzt, und über diesen Indez summiert.

68 2 Tensoralgebra

Man sagt, der Tensor a entsteht durch Verjüngung des Tensors 0: in der kontravarianten Stelle em und der kovarianten Stelle Zn.

Die Verjüngung von Tensoren ist also eine Vorschrift V, die einem p-fach kovarianten und q-fach kontravarianten gemischten Tensor 0: einen Tensor V 0: zuordnet, der (p-1 )-fach kovariant und (q-1 )-fach kontravariant ist. Wegen (1.34) ist eine Verjüngung V mit der Addition von Tensoren und der Multiplikation mit Zahlen aus dem Grundkörper vertauschbar,

V(>'o: + J.Lß) = >'Vo: + J.LVß. (2.14)

Wie die obige Ableitung zeigt, kann die Operation der Verjüngung eines Tensors nur an gemischten Tensoren ausgeführt werden; sie liefert dann stets einen Tensor mit einer um 2 verminderten Stufenzahl. Aus ei­nem einfach kontravarianten Tensor einer Stufe größer als 2 entsteht durch Verjüngung ein rein kovarianter Tensor, aus einem einfach kovarianten Ten­sor, dessen Stufe größer als zwei ist, geht durch Verjüngung ein rein kontra­varianter Tensor hervor. Die Verjüngung eines gemischten Tensors 0: der Stufe 2 führt auf einen Tensor nullt er Stufe, d.h. auf eine Invariante. Sind A{ die Koordinaten dieses Tensors, so ist

N

Vo: = LA~ i=l

diese durch Verjüngung entstehende Invariante. Sind dagegen Aij die Koor­dinaten eines kovarianten Tensors zweiter Stufe, so kann wohl der Ausdruck

N

L:Aii

i=l

gebildet werden, er stellt jedoch keine Invariante dar, denn ein Basiswechsel ergibt

N N N N

L:Aii = L:o:(ei,ed = L a{a: Ajk -# L:Ajj .

i=l i=l i,j,k=l j=l

Einen Tensor nullter Stufe erhält man aber, wenn man zunächst einen Index hinaufzieht (hiefür wird allerdings ein euklidischer Vektorraum benötigt),

N i "ik A j = 6 g Akj ,

k=l

und anschließend verjüngt, N N

LA~= L i=l i,k=l

Jedem Index in den Koordinaten eines gemischten Tensors kommt eine gewisse Stellung und Positionsnummer zu. Im Zusammenhang mit dem Prozeß der Verjüngung besteht aber doch eine gewisse Bewegungsfreiheit, was die Positionen der zur Verjüngung kommenden Argumente anlangt.

2.5 Verjüngung 69

In einem gemischten Tensor kann ein kovarianter Index hinaufgezogen und gleichzeitig ein kontravarianter Index heruntergezogen werden. Am Beispiel eines gemischten Tensors dritter Stufe mit den Koordinaten Aijk

sieht dies folgendermaßen aus. Hinaufziehen des ersten Index liefert

N

Aijk = L gih Ahjk,

h=1

Herunterziehen des zweiten N

A i /k = Lg/jAijk = j=1

N

L j,h=1

Durch Verjüngung in den ersten beiden Indizes entsteht jetzt der kovariante Tensor erster Stufe mit den Koordinaten

N N N N

L A iik = L gijgih Ahjk = L gj Ahjk = L A/k .

i=1 i,j,h=1 j,h=1 j=1

Verjüngt man also Aijk in den ersten beiden Indizes, so ist das Ergebnis dasselbe, wenn man den Tensor A ijk in den ersten beiden Indizes verjüngt.

Beim Prozeß der Verjüngung kann also einer der beiden Indizes hin­aufgezogen werden, wenn gleichzeitig der andere heruntergezogen wird,

" X·· i ... : .. = " X·· :··i··· L...t 0.·· .,1.,.. L...t .. ,1., •. 0 .. , (2.15)

koordinatenfrei ausgedrückt

V 0:( ... , e, ... , x, ... ) = V 0:( ... , ~ -1 e, ... , ~x, ... ) . Die Verjüngung eines Tensors ist auch in mehreren Positionen möglich,

indem eine Reihe einzelner Verjüngungen in einem Schritt vollzogen wird. Sind A~k/ die Koordinaten emes Tensors fünfter Stufe, so sind in einer ersten Verjüngung

N

B~k = LA~kj j=1

die Koordinaten eines gemischten Tensors dritter Stufe und und in einer zweiten

N N

eh = LB~i = L A~ij i=1 i,j=1

die Koordinaten eines kovarianten Tensors erster Stufe.

Die Produktbildung zweier Tensoren mit anschließender Verjüngung nennt man Überschiebung. Z.B. entsteht aus dem kovarianten Tensor 0: mit den Koordinaten Aij und dem gemischten Tensor ß mit den Koordi­naten B~/ durch Multiplikation der Tensor 'Y = 0: ® ß mit den Koordinaten

70 2 Tensoralgebra

Ci~hl = AijB~I' durch Verjüngung der Tensor dritter Stufe S = V(a ® ß) mit den Koordinaten

N

Dihl = L AijBtl .

j=l

2.6 Tensorkoordinaten und indizierte Größen

Viele der fundamentalen Gesetze der Physik werden in Form von "Ten­sorgleichungen" formuliert, z.B. in einer Gleichung 9 = /'i,T, worin 9 und T Tensoren gleicher Art sind und /'i, eine Invariante ist. Da der Tensor 9 und ebenso der Tensor T bekannt ist, wenn seine Koordinaten bezüglich irgendeiner Basis vorliegen, kann man eine solche Tensorgleichung gen au­sogut in der Form Gij = /'i,Tij schreiben, was mitunter bequemer ist, z.B. wenn aus den Koordinaten Gij gewisse Größen herauszurechnen sind; in ei­ner anderen Basis lautet die Tensorgleichung dann eben Gij = /'i,'t j . Genau darin liegt nun ein wesentlicher Unterschied zu indizierten Zahlensystemen, die einem gewissen Transformationsgesetz unterliegen mögen, bei denen es sich aber nicht um die Koordinaten von Tensoren handelt. In diesem Fall nämlich braucht die Gleichung Gij = /'i,Tij in einer anderen Basis nicht zu gelten! Oder anders ausgedrückt: Ist A ij nicht das Koordinatenschema ei­nes Tensors a bezüglich einer festen Basis, so folgt aus den in dieser Basis für alle Indizes-Paare gültigen Gleichungen Aij = 0 nicht notwendigerweise die Gültigkeit aller Gleichungen Äij = 0 in einer anderen Basis. Handelt es sich aber um die Koordinaten eines Tensors, so gilt A ij = 0 in allen Basen, wenn die Gleichungen A ij = 0 in einer einzigen Basis gültig sind -es bedeutet ja A ij = 0 dasselbe wie a = o.

Die Frage, ob es sich bei einem gegebenen System von Zahlen um die Koordinaten eines Tensors handelt, ist sinnlos, solange nicht auf Basen Be­zug genommen wird, genauso wie eine Variable nicht der Wert einer Funk­tion sein kann. Entweder man definiert durch ein System indizierter Größen einen Tensor, indem man die Zahlen dieses Systems als Werte des Tensors auf einer an sich beliebigen, aber fest gewählten Basis erklärt und dann die Werte des Tensors bezüglich einer anderen Basis über das entsprechende Transformationsgesetz bestimmt, oder es liegt überhaupt ein Transforma­tionsgesetz für dieses System indizierter Größen vor, in welchem Fall es sich um eines der Transformationsgesetze für Tensoren handeln muß, um die Frage positiv beantworten zu können. Andernfalls handelt es sich mit Sicherheit nicht um einen Tensor.

Sehr oft steht man vor der Situation, daß indizierte Größen in Form von Gleichungen mit Koordinaten von Tensoren verknüpft sind. In solchen Fällen kann die Entscheidung, ob es sich bei dem fraglichen System um die Koordinaten eines Tensors handelt, nur auf Grund einer Untersuchung über die Gültigkeit des entsprechenden Transformationsgesetzes herbeigeführt werden.

2.6 Tensorkoordinaten und indizierte Größen 71

Um mit dem einfachsten Fall zu beginnen: Zahlenschemata, die durch Summation, Subtraktion und Multiplikation der Koordinaten von Tensoren hervorgehen, sind Koordinaten von Tensoren, denn Summe, Differenz und Produkt von Tensoren sind Tensoren. In weiterer Folge ist alles, was daraus durch Verjüngung entsteht, ein Tensor.

Hievon gilt die Umkehrung i.a. nicht. Sind z.B. A(i) und B(i) indi­zierte Größen und steht von der Summe A( i) + B( i) fest, daß es sich um die Koordinaten Ci eines z.B. kontravarianten Tensors I handelt, so kann dar­aus nicht der Schluß gezogen werden, daß auch die Größen A( i) und B( i) die Koordinaten von Tensoren sind. Damit die Frage nach dem Tensorcha­rakter der beiden Systeme überhaupt Substanz hat, muß feststehen, welche Werte diese Systeme in welcher Basis annehmen. Wenn also die auf eine ~asis B be~ogenen Größen A( i) und B( i) in einer anderen Basis ß die Werte A(i) und B(i) annehmen, so gilt auf Grund des Transformationsgesetzes

N N N N

Ci = L a;Cj = La; [A(j) + B(j)] = L a;A(j) + L a;B(j) j=l j=l j=l j=l

= A(i) + B(i),

doch kann daraus keineswegs auf die Gültigkeit der Gleichungen

N N

A(i) = L a~A(j), B(i) = L a~B(j) j=l j=l

geschlossen werden, was zur Erkennung des Tensorcharakters erforderlich wäre. Erst wenn eines der beiden Systeme als Tensor erkannt ist, wenn also z.B. feststeht, daß die Größen A( i) die Koordinaten eines Tensors a sind, so ist auch der Tensorcharakter des anderen Systems gesichert, denn die Zahlen B( i) sind ja dann die Koordinaten der Differenz von I und a.

Ähnlich verhält es sich, wenn von einem Produkt zweier indizierter Größen feststeht, daß es sich um die Koordinaten Cij = A( i)B(j) eines z.B. kontravarianten Tensors I handelt. Ohne weitere Informationen kann kein Rückschluß dahingehend gezogen werden, daß es sich bei den "Faktoren" um die Koordinaten von Tensoren handelt, denn aus der Gleichung

N N N N

Cij = L a~a{Cki = L a~a{A(k)B(l) = L a~A(k) L a{B(l) k,l=l k,l=l

= A(i)B(j) ,

kann auf die Tensor-Transformationsgesetze

N

k=l

N

A(i) = La1A(k), B(j) = La: B(l) k=l 1=1

1=1

nicht geschlossen werden. Wenn allerdings die Gültigkeit eines dieser bei­den Gleichungssysteme feststeht, dann folgt automatisch auch die Gültig­keit des anderen, beide Faktoren sind als kontravariante Tensoren erkannt.

72 2 Tensoralgebra

Wenn jedoch eine Verjüngung mit im Spiel ist, so gilt auch diese Regel nicht mehr. Es möge z.B. A(i,j) ein zweifach indiziertes System von Größen sein, von dem bekannt ist, daß die mit einen gewissen kontravarianten Tensor Bi gebildeten Summen

N

Ci = L A(i,j)Bi (2.16) i=l

die Koordinaten eines kovarianten Tensors bezüglich einer gewissen Basis ß sind, wobei ein Basiswechsel diese Beziehungen in

N

Ci = L A(i,j)fJi

i=l

überführt. Da Ci und Bi die Koordinaten von Tensoren sind, genügen sie einem Transformationsgesetz,

N - "k Ci = L...J ai Ck , k=l

Setzt man daraus oben ein, so erhält man N N N

Ci = LafCk = L afA(k,l)BI = L A(i,j)a{BI , k=l k,l=l i,l=l

also N N

L af A(k, l)BI = L A(i,j)at BI k,l=l i,l=l

oder N N N

L BI (L af A(k, l) - L A(i,j)af) = O. (2.17) 1=1 k=l j=l

Um aus dieser Gleichung auf den Tensorcharakter der Größen A(i,j) schlie­ßen zu können, müßte feststehen, daß die Klammerausdrücke in der obigen Summe verschwinden, denn dann würde man unter Berücksichtigung des Umstandes, daß die Matrizen {a{} und {a{} reziprok sind, die Gleichung

N

A(i,j) = L afa;A(k,l) k,l=l

erhalten, also das Transformationsgesetz für einen kovarianten Tensor zwei­ter Stufe. Dieses Transformationsgesetz, auf das es allein ankommt, geht aber aus der Gleichung (2.17) i.a. nicht hervor; erst wenn die Gültigkeit der Gleichung (2.16) für jeden kontravarianten Tensor Bi verlangt wird, müssen die Klammerausdrücke verschwinden. Dies bedeutet also, daß die Größen A(i,j) in (2.16) die Koordinaten eines kovarianten Tensors zweiter Stufe sind, wenn durch die Summen (2.16) für jeden beliebigen kontravarianten Tensor Bi ein kovarianter Tensor Ci hervorgehen soll.

2.6 Tensorkoordinaten und indizierte Größen

Wenn aber von dem in doppelter Verjüngung gebildeten Ausdruck N

73

L A(i,j)Ai A; (2.18) i,;=l

selbst für einen beliebigen Vektor Ai feststeht, daß es sich dabei um eine Invariante handelt, so ist der Tensorcharakter des Größensystems A( i, j) trotzdem keineswegs gesichert. Hat dieses z.B. die Symmetrieeigenschaft A(i,j) = -A(j,i), so führt die Umformung

N N N

L A(i,j)AiA; = - L A(j,i)AiA; = - L A(i,j)AiA; i,;=l i,;=l i,;=l

auf N

L A(i,j)Ai A; = O. i,;=l

Da diese Gleichung für jedes Größensystem A(i,j) mit der angenommenen Symmetrie erfüllt ist, kann nicht zwingend geschlossen werden, daß A(i,j) Tensorcharakter hat, da anders dann jedes solche Größensystem ein Tensor sein müßte. Wenn hingegen die Größen A(i,j) die Symmetriebeziehung A( i, j) = A(j, i) erfüllen, so folgt, da es sich um eine Invariante handeln soll,

N N N N N

L: A(i,j)AiA; = L L a~a1A(i,j)Ak Al = L L a;a{A(i,j)Ak Al i,;=l i,;=l k,l=l i,;=l k,l=l

N

= L A(k,l)Ak Al k,l=l

bzw. durch Umformung der Summe über k und I N

L: (L: a;a{ [A(i,j) + A(j, i)] - [A(k, I) + A(l, k)l) Ak Al k<l i,;=l

N N

+ L:(L: a~a{A(i,j)-A(k,k))AkAk =0. k=l i,i=l

Da diese Gleichung für beliebige Zahlen Ai nur dann bestehen kann, wenn die Klammerausdrücke verschwinden, folgt das Transformationsgesetz

N

A(k, l) = L a;a{A(i,j) i,;=l

für einen kovarianten Tensor zweiter Stufe im Falle A(i,j) = A(j, i). Berück­sichtigt man, daß die Invariante (2.18) wegen

t A(i,j)AiAi = t A(i,j) + A(j,i) AiAi . . . . 2 ',}=1 ',}=1

74 2 Tensoralgebra

auch mit Hilfe des der obigen Symmetriebeziehung genügenden Größensy­stems t [A(i,j) + A(j,i)] ausgedrückt werden kann, so läßt sich aus der Invarianz der Summe (2.18) i.a. nur der Schluß ziehen, daß sich die Größen

A(i,j) + A(j,i) 2

wie die Koordinaten eines kovarianten Tensors zweiter Stufe transformieren.

Wenn allerdings N

L A(i,j)AiBj i,j=1

eine Invariante für beliebige Tensoren Ai und Bi ist, so steht auch der Tensorcharakter des Größensystems A(i,j) fest.

2.7 Symmetrieeigenschaften von Tensoren

Tensoren, die Symmetrieeigenschaften aufweisen, kommt naturgemäß eine gewichtige Rolle zu. Bemerkenswert ist, daß es nicht die symmetrischen Tensoren sind, wie man annehmen möchte, sondern die schiefsymmetri­schen Tensoren, die dabei eine Sonderstellung einnehmen. Unter diesen ist den kovarianten Tensoren die größere Bedeutung beizumessen.

Ein kovarianter Tensor 0: : V*n --+ lK heißt symmetrisch, wenn die Vertauschung zweier Argumentvektoren keinen Einfluß auf den Wert des Tensors hat,

0:( ... , Xi, ••• , X j, ... ) = 0:( ... , X j, ... , Xi, ••• ) •

An den Koordinaten A i1 ... in zeigt sich die Symmetrie in den Gleichungen

A ... i ... j ... = A ... j ... i ....

Führt man eine Serie von Vertauschungen durch, d.h. permutiert man die Vektoren in der Argumentliste, so gelangt man zu

0: (X""{1) , X""(2) , ••• , x.,..{n)) = 0:(X1' X2, ••• , xn)

für eine beliebige Permutation 71' der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Völlig gleichlautend ist die Definition des symmetrischen kontravarianten Tensors n-ter Stufe. Auf gemischte Tensoren läßt sich der Begriff der Symmetrie sinnvoll nicht übertragen, was nicht bedeutet, daß in gemischten Tenso­ren keine Symmetriebeziehungen auftreten können. Sie werden nur nicht namentlich ausgezeichnet, wie z.B. im Fall des gemischten Tensors

o:(',x,y) = o:(',y,X) , 'EV*, x,yEV;

in den Koordinaten zeigt sich diese Symmetrie in den kovarianten Indizes,

A~k = A1j.

2.7 Symmetrieeigenschaften von Tensoren 75

Symmetrische Tensoren treten in der Physik im Zusammenhang mit En­ergiebetrachtungen bei Feldern auf. Die Bedeutung der symmetrischen Tensoren unterstreicht auch der Fundamentaltensor in euklidischen Vek­torräumen.

Vor einer ganz anderen Situation steht man, wenn die Vertauschung zweier Vektoren in der Argumentliste eines kovarianten (oder kontravari­anten) Tensors n-ter Stufe zu einem Vorzeichenwechsel führt,

a( ... ,Xi, ... ,Xj, ... ) = -a(""xi"",Xi, ... ).

An den Koordinaten läßt sich diese Symmetrieeigenschaft aus dem Bestehen der Gleichungen

A .. --A .. ... ~ ... J ... - ... J ... ~ ...

ablesen. Solche Tensoren sind allgemein gekennzeichnet durch

a(x lr(1),X lr(2),'" ,X lr(n)) = sign(-7r)a(x1,x2"" ,xn )

und werden schiefsymmetrisch, antisymmetrisch oder alternierend genannt. Auch diese Symmetrieeigenschaft ist nur für nicht-gemischte Tensoren sinn­voll, gleichwie derartige Symmetrien auch bei gemischten Tensoren auftre­ten können, wie z.B. im Falle des Tensors mit der Eigenschaft

a(e,1],x)=-a(1],e,x), e,1]EV*, xEV,

eine Antisymmetrie, die in den Koordinaten in der Form

zum Ausdruck kommt.

Aii _ _ Aii k - k

Die obigen Bedingungen für Symmetrie und Antisymmetrie von Tenso­ren erfordern die Mindeststufe 2 der in Betracht gezogenen Tensoren. Man kommt überein, Tensoren nullt er und erster Stufe beide Symmetrieeigen­schaften - je nach Bedarf - zuzusprechen.

Eine besonders wichtige Klasse schiefsymmetrischer kovarianter Ten­soren sind die Determinantenfunktionen in einem Vektorraum V (vgl. hiezu Kap. 1, §5); ihre Stufe ist gleich der Dimensionszahl des Vektorraumes V. Die Dimension des Vektorraumes V ist übrigens die maximale Stufe, die ein schiefsymmetrischer Tensor haben kann, denn eine alternierende Funktion ist identisch Null, wenn die Vektoren der Argumentliste linear abhängig sind, was für mehr als N Vektoren in einem N -dimensionalen Vektorraum immer zutrifft.

Sind a und b zwei kontravariante Tensoren erster Stufe, so ist das Ten­sorprodukt a ® bein kontravarianter Tensor zweiter Stufe mit den Koordi­naten a(ei)b(ei ) = AiBi, desgleichen der Tensor b®a, dessen Koordinaten die Produkte b( ei)a( ei ) = Bi Ai sind. Die Differenz c = a ® b - b ® a ist daher auch ein kontravarianter Tensor zweiter Stufe, der wegen

c(e,1]) = (a ® b)(e,1]) - (b ® a)(e,1]) = a(e)b(1]) - b(Oa(1]) = -c(1],O

76 2 Tensoralgebra

ein schiefsymmetrischer Tensor mit den Koordinaten Cii = Ai Bi - Ai Bi ist. Schreibt man die Koordinaten dieses Tensors im Falle N = dirn V = 3 in einem quadratischen Schema als Matrix an,

so sind in diesem nur drei Elemente unabhängig, nämlich C 23 , C 31 , C 12 •

Diesen drei Größen ordnet man im Hinblick auf die Geometrie im dreidi­mensionalen Raum, dem dann ein kartesisches Koordinatensystem zugrun­degelegt werden muß, den Vektor mit den Koordinaten

D1 = C 23 , D2 = C 31 , D3 = C 12

zu und nennt diesen das "äußere Produkt" der Vektoren Ai und Bi. Diese Konstruktion ist aber nur im dreidimensionalen Raum möglich. Den insge­samt 6 Koordinaten des Tensors Cii, die im Falle N = 4 unabhängig sind, läßt sich auf vernünftige Weise kein Vektor des vierdimensionalen Raumes zuordnen.

2.8 Schiefsymmetrische Tensoren

Der Bedeutung der schiefsymmetrischen kovarianten Tensoren Rechnung tragend, stehen diese jetzt im Vordergrund der Betrachtungen. Die erfor­derlichen Abänderungen beim Übergang zu schiefsymmetrischen kontrava­rianten Tensoren sind evident, weshalb darauf nur ergänzend eingegangen wird. Zugrunde liegt ein reeller N-dimensionaler Vektorraum V.

Die schiefsymmetrischen Tensoren haben die Struktur eines Vektorrau­mes, denn die Summe zweier schiefsymmetrischer Tensoren gleicher Stufe ist ein schiefsymmetrischer Tensor derselben Stufe, ebenso das Produkt eines schiefsymmetrischen Tensors mit einer Zahl aus dem Grundkörper lR. Man bezeichnet mit I\nv* den Vektorraum der schiefsymmetrischen kovarianten Tensoren, mit 1\ nv den Vektorraum der schiefsymmetrischen kontravarianten Tensoren n-ter Stufe, eine Symbolik, die später verständ­lich werden wird. Für n = 1 ist 1\ V* der Dualraum V*, 1\ V ist im Sinne der Identifikation der Vektorräume V und V** der Vektorraum Vj die Sym­bole l\oV* und l\oV stehen für den Grundkörper lR. Da ein schiefsym­metrischer Tensor identisch verschwindet, wenn seine Stufe größer ist als die Dimension des Vektorraumes V, ist 1\ nv* = {o} und 1\ nv = {o} für n > N = dirn V. Um eine allzu schleppende Schreibweise zu vermeiden, soll in diesem Paragraphen, wenn von einem Tensor die Rede ist, stillschweigend immer ein schiefsymmetrischer Tensor gemeint sein. Griechische Buchsta­ben Cl, ß, ... stehen dabei für kovariante Tensoren, lateinische Buchstaben a, b, ... für kontravariante Tensoren.

2.8 Schief symmetrische Tensoren 77

Eine Determinantenfunktion D in V ist ein kovarianter Tensor der Stufe N = dirn V. Die Koordinaten einer Determinantenfunktion können nur drei Werte annehmen. Sind die Indizes i1, i2, ... , iN alle voneinander verschie­den und somit eine Permutation 'Ir der natürlichen Zahlen 1, 2, ... , N, so ist (vgl. (1.30))

D ( eill ei2 , ••• , eiN) = sign( 'Ir) D Ce 1, e2 , ... , e N ) ;

alle Koordinaten, in denen mindestens zwei Indizes gleiche Werte haben, verschwinden. Setzt man

ß=D(el,e2, ... ,eN),

so nehmen die Koordinaten der Determinantenfunktion D nur die Werte ß, o und - ß an. Führt man das schiefsymmetrisch indizierte Symbol

e.. . - {sign('Ir) für i lc = 'Ir(k), (2.19) '1 '2·· ·'N - 0 sonst

ein, so können die Koordinaten einer Determinantenfunktion D in der Form

(2.20)

geschrieben werden. Da diese sich bei einem Basiswechsel wie

N

L transformieren (vgl. (2.1)), ist

. () A ",. () 0'( 1) 0'( N) A slgn 'Ir u = L.J slgn u a""(l)'" a.".(N) U

0'

und folglich3 )

- ",. 1 N ß = L.J slgn( 'lrU) a""O'(l) ... a.".O'(N) ß .

0'

Wenn darin u alle Permutationen durchläuft, so tut dies auch das Produkt 'lrU, sodaß

(2.21 )

gilt, woraus erhellt, daß die Größe ß keine Invariante ist; deshalb sind auch die schiefsymmetrisch indizierten Größen (2.19) nicht die Koordinaten eines Tensors. Das e-Symbol (2.19) erweist sich aber für viele Betrachtungen als sehr nützlich.

Das tensorielle Produkt

(2.22)

zweier Tensoren Cl und ß mit den Stufen n und mist i.a. kein schiefsymme­trischer Tensor, aber immer noch ein kovarianter Tensor (n + m )-ter Stufe.

3) Ist 11' eine Permutation und 11'-1 ihre Inverse, so ist sign(7r- 1 ) = sign(7r)j für zwei Permutationen 7r und u gilt sign( 7ru) = sign( 'Ir) sign( u) (siehe Anhang).

78 2 Tensoralgebra

Hingegen ist die über alle Permutationen 7r der Zahlen 1, 2, ... , n + m erstreckte Summe

2: sign(7r) (0: ® ß)(X7r(l), X7r(2) , ••• , X7r(n+m))

sehr wohl ein schiefsymmetrischer Tensor. Man nennt den Tensor (n + m)­ter Stufe

(0: 1\ ß)(Xl, ... , xn+m ) := -+r 2: sign(7r) (0: ® ß)(X 7r(l)"'" X7r(n+m)) n.m.

7r

(2.23) das alternierende oder äußere Produkt der schiefsymmetrischen kovarian­ten Tensoren 0: und ß. Eine äquivalente Darstellung ist

(0: 1\ ß)( Xl, ... ,Xn+m ) := 2:* sign( 7r)( 0: ® ß)( X7r(1) , ... ,X7r(n+m)) , (2.24)

worin mit dem hochgestellten Stern im Summenzeichen angedeutet werden

soll, daß diese Summenbildung nur über die insgesamt (:i:::t "geordneten" Permutationen 7r der Form 7r(1) < ... < 7r(n), 7r(n + 1) < ... < 7r(n + m) zu erstrecken ist. Damit werden in (2.24) alle n! m! identischen Beiträge in (2.23), die denjenigen Permutationen entsprechen, welche aus einer Permu­tation 7r(1) < ... < 7r(n), 7r(n+ 1) < ... < 7r(n+m) durch Permutieren der ersten n und der letzten m Zahlen entstehen, nur einmal berücksichtigt.

Das äußere Produkt zweier Tensoren erster Stufe berechnet sich zu

(0: t\ ß)( Xl, X2) = L sign( 7r)( a ® ß)( x".(!), X".(2»)

= (a ® ß)(Xl,X2) - (a ® ß)(X2,XI)

= a(xl)ß(X2) - a(x2)ß(XI)

_ la(xl) a(x2)1 - ß(Xl) ß(X2) .

In einem dreidimensionalen Vektorraum V ist

a t\ ß = (Alc l + A2c2 + A3c3) t\ (Blc l + B2c2 + B3c3)

= I ~~ ~: I c2 t\ c3 + I ~~ ~: I cl t\ c3 + I ~~ ~~ I cl t\ c2 .

Für zwei Tensoren erster bzw. zweiter Stufe a und ß erhält man

(a t\ ß)( Xl, X2 , X3) = a( Xl )ß( X2, X3) - a( X2 )ß( Xl, X3) + a( X3 )ß( Xl, X2) ,

also den schiefsymmetrischen kovarianten Tensor mit den Koordinaten

AiBjk + Aj Bki + AkBij . Speziell im Fall dirn V = 3 ist

a t\ ß = (Alc l + A2c2 + A3c3) t\ (B23 C2 t\ c3 + B 13 Cl t\ c3 + B 12 c l t\ c2)

= (Al B 23 +A2B3l + A 3B 12 ) cl t\c2 t\e3 .

Das äußere Produkt 0: 1\ ß ist assoziativ und distributiv gegenüber der Addition, jedoch i.a. nicht kommutativ, denn es gilt

(2.25)

2.8 Schiefsymmetrische Tensoren 79

Vertauscht man nämlich in (2.23) die Rollen von a und ß und bringt man unter Berücksichtigung von (2.22) durch nm Vertauschungen die letzten m Argumentvektoren der Reihe nach an die ersten n Stellen, so erhält man (2.23) zurück. Für eine beliebige reelle Zahl>' gilt ferner

(>.a) 1\ ß = a 1\ (>'ß) = >.(a 1\ ß).

Das äußere Produkt eines Tensors O-ter Stufe>. mit einem beliebigen Tensor a ist das Produkt des Tensors a mit der Zahl >.,

>. 1\ a = a 1\ >. = >'a.

Ist a ein Tensor ungerader Stufe, so ist stets

a 1\ a = O. (2.26)

Nach (2.25) gilt für derartige Tensoren a und ß stets a 1\ ß = -ß 1\ a, also ist, wenn für ß = a gesetzt wird, a 1\ a = -a 1\ a, d.h. a 1\ a = O.

Das äußere Produkt von n kovarianten Vektoren a1, a 2 , ••• , an ist

a1(xd a1(x2) a1(xn)

(al 1\ a 2 1\ ... 1\ an)(X1' X2, ... , Xn) = a2(xd a2(x2) a2(xn)

Die Koordinaten dieses Tensors sind demnach die Determinanten

Ail ... jn = det{ (ai, ejk)} . (2.28)

An dieser Stelle sei noch auf das äußere Produkt zweier kontravarianter Tensoren erster Stufe, also zweier Vektoren a und b hingewiesen. Es ist dies der kontravariante Tensor zweiter Stufe c = a 1\ b, der für e, e E V* die Werte

C(~1,~2) = (aAb)(~1,~2) = a(~1)b(~2) _ a(~2)b(~1)

annimmt und dessen Koordinaten die Größen

Cii = (a 1\ b)(€i,€i) = a(€i)b(€i) - a(€i)b(€i) = AiBi - BiAi

sind. Im Falle dirn V = 3 sind nur 3 dieser 9 Koordinaten unabhängig, die dann als das "klassische" äußere Produkt zu einem Vektor c zusammenge­faßt werden, was aber nichts daran ändert, daß das äußere Produkt zweier Tensoren erster Stufe ein schiefsymmetrischer Tensor zweiter Stufe ist.

Ist a ein Tensor n-ter Stufe und sind Xl, X2, ... , Xn beliebige Vektoren mit den Koordinaten xt, x~, ... , x~ bezüglich der Vektoren ei einer Basis B, so gilt

N N N

a(X1'X2,''''Xn) = L L'" L X;lX;2 ... X~na(ekllek2, .. ·f:kJ k1 =1 k 2 =1 kn =l

N

" X k1 X k2 X kn ( ) L...J 1 2' • • n a ek1, ek2, ... ekn , k1 , ••• ,kn =1

ki,pkj

80 2 Tensoralgebra

worin in der letzten Summe über alle n-tupel verschiedener natürlicher Zahlen 1 :c::; ki :c::; N zu summieren ist, da für alle anderen die Koordinaten des Tensors a gleich Null sind und somit kein Beitrag zur Summe geliefert wird. Je n! solcher Summationszeiger-n-tupel bestehen aus allen Permuta­tionen 71"( h )71"( 12 ) ••• 7I"{ln) einer Kombination 1 :c::; 11 < h < ... < In :c::; N. Infolgedessen ist, wenn man

a( e.,..(1 1 ), e.,..(12), ... , e.,..(ln)) = sign( 71") a( eil' e12, ... , ein)

berücksichtigt,

a(X1,X2, ••• ,Xn )

L a(eh, eI2,···, ein) L sign(7I") X;(h) X;(l2) ... x:(ln)

11 <12<···<ln .,..

xh 1 Xh

2 Xh n

X l2 X l2 X l2

L 1 2 n a( eil' el2 , ... , ein) .

11 <12<···<ln

x ln 1 X ln

2 X ln n

Zieht man jetzt die Gleichung (2.27) mit den Vektoren C;i der Basis von V* an Stelle der Linearformen a' heran,

x h 1

X l2 ( 11 1\ 12 1\ 1\ In )( ) _ 1 C; C; • • • g Xl, X2 , ••• , X n -

I x:~n so gelangt man schließlich zu

a=

Daraus geht hervor, daß sich jeder schiefsymmetrische kovariante Tensor n-ter Stufe mit den Koordinaten Ald2 ... ln als Summe n-facher äußerer Pro­dukte darstellen läßt,

a= (2.29)

Man nennt (2.29) die kanonische Darstellung des Tensors a. Für n = N ist a eine Determinantenfunktion,

a = A gl 1\ g2 1\ .. . 1\ gN (2.30)

mit den Koordinaten

(2.31 )

worin E das schiefsymmetrisch indizierte Symbol (2.19) ist.

2.8 Schielsymmetrische Tensoren 81

In die kanonische Darstellung eines schiefsymmetrischen kovarianten Tensors gehen nur die insgesamt (~) unabhängigen Koordinaten ein, nach wie vor ist

N

~ AI I I ~/1 /\ ~/2 /\ ••• /\ ~/n = ~ A i 1 i 2 in ~ 12"'"'''' ... ~ i 1 i 2 ... i"C ®C ®···®C . 11 </2 < ... <1" i 1 ,···,i,,=1

Auf Grund der Schiefsymmetrie liefert die Summe rechts nur dann einen Beitrag, wenn die Summations-Indizes sämtlich voneinander verschieden sind; sie besteht deshalb aus allen Kombinationen 1 < 11 < 12 < ... < In < N und deren Permu­tationen. Ist 11 < 12 < ... < In ein~ solche Kombination-;- so ist ihr Beitrag zur obigen Summe

... Die Summe darin ist aber gerade das äußere Produkt c/1 /\ c/2 /\ ••• /\ c/n •

Die Darstellung (2.29) eines Tensors n-ter Stufe a zeigt ferner, daß der Vektorraum t\nV* endliche Dimension hat, und zwar ist dimt\nV* = (~), denn es bilden die (~) kovarianten Tensoren

e hI2 ... I" := eh t\ e l2 t\ ... t\ e l", 1 ~ il < i2 < ... < in ~ N, (2.32)

nicht nur ein Erzeugendensystem, sondern auf Grund ihrer linearen Un­abhängigkeit auch eine Basis für t\nV*. Der Vektorraum t\NV* der De­terminantenfunktionen ist eindimensional, ein Basisvektor ist das N-fache Produkt

(2.33)

Ähnliches gilt für den Vektorraum t\ nv der kontravarianten schiefsymme­trischen Tensoren n-ter Stufe. Es gilt dimt\nV = (~), jeder schiefsym­metrische kontravariante Tensor b mit den Koordinaten Bid2 ···i" hat die kanonische Darstellung

b= Bi1h ... i" e· t\ e· t\ ... /\ e' 11 32 3" . (2.34)

Die Tensoren

eid2 ... i" := eil t\ eh t\ ... t\ ein' 1 ~ jl < h < ... < jn ~ N, (2.35) sind eine Basis für den Vektorraum t\ nv der schiefsymmetrischen kontra­varianten Tensoren n-ter Stufe.

Sind n kovariante Vektoren a l , a 2 , ••• , an mit den Koordinaten A~, AL ... , Ai: gegeben, so ist ihr äußeres Produkt der Tensor n-ter Stufe

worin für Al

h Al

12 Al

I"

A 2 A 2 A 2

Ah I2".I" = 11 12 I"

1 ~ il < h < ... < in ~ N ,

An 11

An 12

An I"

82 2 Tensoralgebra

gesetzt wurde; speziell ist für n = N

Al Al h 12

A2 A2 11 12

(2.36)

AN AN AN h 12 IN

eine· durch die N Linearformen a i bestimmte Determinantenfunktion.

Ein schiefsymmetrischer kovarianter Tensor 0. der Stufe n > 1 heißt zerlegbar, wenn er als äußeres Produkt von kovarianten Vektoren dargestellt werden kann,

Die kanonische Darstellung eines schiefsymmetrischen Tensors zeigt, daß die zerlegbaren Vektoren ein Erzeugendensystem des Vektorraumes A nv* bilden, denn durch (2.29) ist jeder schiefsymmetrische kovariante Tensor n-ter Stufe als Linearkombination der zerlegbaren Tensoren (2.32) darge­stellt. Gleichlautend ist der Begriff des zerlegbaren schiefsymmetrischen kontravarianten Tensors.

Die Vektorräume A nv und A nv* sind duale Vektorräume. Seien

0. = 0.1 A 0.2 A ... A an, a = al A a2 A ... A an

zwei zerlegbare Tensoren in A nv* und A nv und

(al, at) (at, a2)

{a, a} := (0. 2, al) (02, a2)

(2.37)

Erklärt man für zerlegbare schiefsymmetrische Tensoren 0., ß und a, b

{).a + Ji-ß, a} := ).{a, a} + Ji-{ß, a)

beziehungsweise

{a,).a + Ji-b} := ).{a, a} + Ji-{a, b} ,

so ist durch (2.37) eine bilineare Funktion auf dem Produkt der linearen Hülle der kovarianten und der kontravarianten zerlegbaren Tensoren n-ter Stufe eingeführt. Da diese Teilräume von AnV bzw. AnV* einerseits ein Erzeugendensystem für den jeweiligen Vektorraum sind, andererseits die so konstruierte Bilinearform auf Grund der diesbezüglichen Eigenschaft des Skalarproduktes der Vektorräume V und V* nicht-ausgeartet ist, sind die beiden Vektorräume AnV und AnV* dual; es ist AnV* der Dualraum (AnV)* von A nv. Sind Bund B* duale Basen von V und V*, so bilden die aus den Vektoren ei bzw. cj gebildeten Basisvektoren (2.32) und (2.35) duale Basen von A nv und A nv*, denn für ai = ci, Xj = ej ergibt (2.27)

für ik = jk, sonst, (2.38)

2.8 Schief symmetrische Tensoren 83

in Verallgemeinerung von (1.17), worin für

zu setzen ist. Für n = 1 ist (0,0) das Skalarprodukt der Vektorräume V und V*, für n = 0 die Multiplikation im Grundkörper IR.

Ist [ und damit auch [* ein euklidischer oder pseudo-euklidischer Vek­torraum, so induziert das innere Produkt in [ bzw. [* ein inneres Produkt in /\ n [ bzw. /\ n [*, und zwar in /\ n [* für zerleg bare Tensoren

(al ,ßl )* (a l ,ß2 )* (a\ßn)*

(al /\ ... /\ an,ß l /\ ••• /\ ßnt := (a 2 ,ßl )* (a 2 ,ß2 )* (a 2 ,ßn)*

(an,ß l )* (an,ß2 )* (an,ß l )*

und nach dem Muster der Konstruktion des Skalarproduktes für beliebige Tensoren a und ß der Stufe n

It<···<ln kl<···<k n

(2.39)

Ist ß und damit auch ß* eine orthonormale Basis in [ bzw. [*, so bilden die Tensoren ekl k 2 ••• kn eine orthonormale Basis in /\ nv*,

(ekl ... k n , ell .. .In t = (ekl /\ ... /\ ekn ,eil /\ ... /\ ein t = det{( eki ,cl, t} = { rikl ... TJk n

für ki = li, 1 ::; i ::; n, sonst.

(2.40) Ebenso sind die mit orthonormalen Basisvektoren ei in [ gebildeten Basis­vektoren (2.35) eine orthonormale Basis von /\n[.

Sind ß und ß* ein beliebiges Paar dualer Basen in [ und [* und setzt man (vgl. (1.51) und (1.52))

gil ... in.it ···in = (eil /\ ... /\ ein, eil /\ ... /\ ein t = det{ (eik ,eil )*} (2.41)

beziehungsweise

(2.42)

so stellen diese Größen die kontravarianten bzw. kovarianten Koordinaten des durch das innere Produkt im Vektorraum /\n[ bzw. /\nt:* gegebenen Maßtensors dar. Es gilt analog (1.55)

(2.43)

84 2 Tensoralgebra

Die Größen (2.41) bzw. (2.42) sind Unterdeterminanten der Koordinaten­Matrix {gi;} bzw. {gi;} des kovarianten bzw. kontravarianten Maßtensors,

gid1 gid2 gidn

gi2il gi2;, gi2in

analog für (2.41).

Der natürliche Isomorphismus L der euklidischen Vektorräume [ und [* induziert den natürlichen Isomorphismus Ln : /\ n [ ~ /\ n [*, und zwar für zerlegbare Tensoren durch

(al, ... , an, al, ... , an) = det{ (ai, ai)} = det{(L-Ia i , ai)}

sodaß Ln durch die Setzung

= (L-Ial /\ ... /\ L-Ian,al/\"'/\ an)

= (al /\ ... /\ an LaI /\ ... /\ La ) , n * ,

Ln(al /\ ... /\ an) := LaI /\ •.• /\ Lan (2.44)

auf einem Erzeugendensystem erklärt ist. An die Stelle der Gleichungen (1.53) und (1.54) treten jetzt

'(e· /\··./\e·)- " g' ... coi1/\ ... /\coin "n '1 'n - L..J .1 .... n']1 ... ]n" c. (2.45)

il <"'<in

beziehungsweise

L;;: I (eil /\ ... /\ ein) = (2.46)

Ist a ein Tensor mit den kovarianten Koordinaten Ai1 ... in , so sind die Größen (vgl. (1.58))

" gi1 ... in ,k1 ... kn A L..J k1 ... kn (2.4 7) k1 < .. ·<kn

seine kontravarianten Koordinaten; ist bein kontravarianter Tensor mit den Koordinaten Bil ... i n , so sind (vgl. (1.56))

" B k 1 ... k n L..J gi1 ... in ,k1 ... kn (2.48) k1<· .. <kn

seine kovarianten Koordinaten. Das innere Produkt zweier kovarianter Ten­soren a und ß ist

(a,ßt = i1 < .. ·<in

i1 <"'<in (2.49)

sinngemäß ist die Darstellung des inneren Produktes im Vektorraum /\n[

der kontravarianten schiefsymmetrischen Tensoren, entsprechend den For­men (1.63) und (1.65), zu übertragen.

2.9 Duale Tensoren 85

2.9 Duale Tensoren

Ist [ ein N-dimensionaler euklidischer oder pseudo-euklidischer Vektor­raum, so haben für m = N -n die Vektorräume I\n[* und I\m[* auf Grund der Symmetrie der Binomialkoeffizienten dieselbe Dimension. Es zeigt sich nun, daß I\n[* und I\m[* ein Paar dualer Vektorräume sind. Hiefür ist allerdings vorauszusetzen, daß der Vektorraum [ und sein Dualraum [* sowie die Basen orientiert sind.

Für das Folgende sei also [ ein N -dimensionaler orientierter euklidi­scher oder pseudo-euklidischer Vektorraum mit dem Index r; wenn [ ein im eigentlichen Sinn euklidischer Vektorraum ist, so gilt r = N. Der Vek­torraum [ sei auf eine beliebige Basis B bezogen; wird die Determinante der Koordinatenmatrix des Maßtensors 9 mit 9 = det{gij} bezeichnet, so ist deren Vorzeichen sign(g) = (_1)N-r (vgl. (1.73)); für eine orthonor­male Basis Bist Igl = 1. In diesem Paragraphen soll die ganze Zahl m für o ::::; n ::::; N durchgehend die Bedeutung m = N - n haben. Hinsichtlich der Sprechweise sowie der verwendeten Symbolik bleiben die im vorange­gangenen Paragraphen getroffenen Vereinbarungen aufrecht.

Sind 0: E 1\ n [* und ß E 1\ m [* zwei beliebige Tensoren, so ist ihr äußeres Produkt

0: 1\ ß = ß( 0:, ß) C;1 1\ C;2 1\ ... 1\ c;N

ein Tensor N-ter Stufe, also eine Determinantenfunktion auf [. Da das äußere Produkt distributiv gegenüber der Addition ist, hängt die Koor­dinate ß linear von den beiden Tensoren 0: und ß ab. Auf Grund der Transformationsgesetze, einerseits (2.21) für die Koordinaten einer Deter­minantenfunktion, andererseits (1.72) für die Determinante 9 der Matrix der Koordinaten des kovarianten Maßtensors, ist - und jetzt geht die For­derung ein, daß die Baben in [ und damit auch jene im Dualraum [* (vgl. Kap. 1, §6) orientiert sind -

und auch . ß

slgn(g) JT:I vlgl

eine Invariante, denn bei einem Basiswechsel erhält man, da die Transfor­mationsmatrix eine pO!Jitive Determinante hat,

~ det{a{} ß ß

Jl9T I det{a{}1 Ji9T - Ji9T. Infolgedessen ist der Quotient

(2.50)

eine Bilinearform auf 1\ n [* X 1\ m [*. Wie unschwer zu sehen ist, kann <p

nicht ausgeartet sein, weshalb I\n[* und I\m[* duale Vektorräume sind,

86 2 Tensoralgebra

verbunden durch das Skalarprodukt cp. Insbesondere ist cp für jeden Ten­sor a E /\ n [* eine Linearform auf /\ m [*, die sich mit Hilfe des inneren Produktes (o,ot in /\m[* in der Form

cp(a,ß) = (*a,ßt

darstellen läßt, worin der Tensor *a E /\ m [* durch den Tensor a E /\ n t:* eindeutig bestimmt ist. Es ist also jedem Tensor a E /\n[* ein Tensor *a E /\m[* eindeutig zugeordnet, sodaß die Gleichung

a /\ ß = (_l)N-r Jl9T (*a,ßt cl /\ ... /\ cN = (_1)N-r(*a,ßt E (2.51)

für alle ß E /\m[* besteht; darin ist zur Abkürzung

(2.52)

gesetzt. Diese Zuordnung a --t *a ist eine offensichtlich lineare Abbildung

(2.53)

der sie vermittelnde Operator * wird Stern- Operator oder H odge- Operator genannt, der Tensor *a heißt der zu a adjungierte oder duale Tensor.

Für den Spezialfall n = N erhält man mit dem Ansatz a = E E /\ N [* ,

ß = 1 E /\ 0[* = lR und *a = *E = X E lR

a /\ß = E /\ 1 = E = (-l)N-r(*E,lt E = (_l)N-rX E

und somit *E = sign(g) . (2.54)

Für n = 0 und a = 1, ß = E und *a = *1 = X E ist zunächst

a /\ ß = 1 /\ E = E = (_l)N -r ( * 1, E t f = ( _l)N -r X ( E, E t E;

mit Hilfe von (2.41) sowie unter Berücksichtigung der Reziprozität der Ma­trizen {gij} und {gi j } erhält man weiter

und somit

(E,E)* = Igl(c,c)* = Igldet{gij } = l!ti = (_l)N-r 9

(2.55)

Um die Koordinaten des zu a E /\n[* dualen Tensors *a für eine Stufe 1 < n < N zu bestimmen, ermittelt man am besten zunächst die dualen Tensoren *c1t .. .ln der Basisvektoren in /\ nt:*, sodaß für einen beliebigen Tensor

ß=

2.9 Duale Tensoren 87

für alle Zahlensysteme B i1 ... im erfüllt ist. Wertet man die linke Seite aus, so erhält man wegen (2.26) einen von Null verschiedenen Beitrag zur Summe nur von jener eindeutig bestimmten Kombination k1 < ... < km, die "kom­plementär" zur Kombination h < ... < ln ist j4) bezeichnet dann 7r die Permutation h .. . ln, k 1, ... km, so ist die linke Seite der obigen Gleichung

B c:h ... In 1\ c: k1 ... k m = sign(7r) B c: . k 1· .. km k1 ... km

Um die rechte Seite auszuwerten, macht man am besten den Ansatz

= sign(7r)

d.h. es sind (_l)N-r ..

E i1 ..• i m = Jl91 sign(7r) O~ll·"".'k:

die kontravarianten Koordinaten des Tensors *c: i1 ... i n • Infolgedessen sind, wenn k1 < ... < km die zu II < ... < ln komplementäre Kombination ist,

(_l)N-r . E· . - slgn(7r) 9 . . k k }l···}m - Jl91 }l···}m, 1··· m

seine kovarianten Koordinaten. Somit folgt mit Hilfe von (2.48)

(_l)N-r . . *c: I, .. .In = sign(7r)" 9 .. c:h···}m.

11:11 1 . L...J. kl ... km ,h···}m V 191 h <···<}m

(2.56)

Der natürliche Isomorphismus Lm der Vektorräume I\m[ und I\m[* bringt, wie die Gleichung (2.45) zeigt, die Basisvektoren in I\m[ mit den dualen Vektoren der Basis in I\n[* in den Zusammenhang

(_l)N-r *c:hI2 ... ln = sign(7r) L e (2.57) Jl91 m k1 k 2 ••• km ,

worin 7r die Permutation II .. . lnk1 ... km ist.

4) D.h. die Zahlen k1 , k2 , ••• , kfTl ergänzen die Zahlen h, 12 , ••• , In zu einer Permutation der natürlichen Zahlen von 1 bis N.

88 2 Tensoralgebra

Das Ergebnis (2.56) ist nun die Grundlage, die Koordinaten des zu

0: = L Ah .. .lnch .. .ln

h< ... < In

dualen Tensors *0: zu bestimmen. Wenn 7r wieder abkürzend für die Permu­tation 11 •. • ln k1 •.• km steht, so folgt aus dem obigen Resultat auf Grund der Linearität des *-Operators

" ( " sign(7r) AI I gk k . .) cit ... im L...J L...J 1··· n 1··· 'm,11···]'m ,

it < ···<im I t < ···<In

d.h. es sind

( _l)N-r *Ait ... im = .Ji9T L sign(7r) Ah .. .lngkt ... km,it ... im

9 h< ... <ln

(2.58)

die kovarianten Koordinaten des dualen Tensors *0:. Multipliziert man diese Gleichungen mit git ... im,it ... im und summiert man über alle Kombinationen iI < ... < im auf, so erhält man auf der linken Seite die kontravarianten Koordinaten des Tensors *0:, für die rechte Seite ergibt sich dabei wegen (2.43)

I t <···<In it <···<im

lt<···<ln

sign(7r)Alt .. .l ckit····k·m . n 1'" m

Daher sind - wenn wieder 7r für die Permutation 11 •• • lnk1 •.. km steht -,

(_l)N-r *Akt ... km = sign(7r) A .Ji9T It ... ln

die kontravarianten Koordinaten des Tensors *0: und somit

L sign(7r) Ah ... ln ek t A··· A ekm.

kt<···<km

(2.59)

(2.60)

der *0: assoziierte kontravariante Tensor in Am [. Ein solcher Zusammen­hang war natürlich zu erwarten. Die Bilinearform (2.50), die für a E A n[* eine Linearform auf Am [* definiert, bestimmt einen kontravarianten Tensor aus dem Dualraum Am [ von Am [*, nämlich den Tensor (2.60).

Setzt man umgekehrt auf der rechten Seite von (2.58) mit Hilfe der Gleichungen (2.48) die kontravarianten Koordinaten des Tensors a ein, so

2.9 Duale Tensoren

erhält man ( _l)N-r

v'l9I h<···<I" i1<···<i"

89

Auf Grund des Laplaceschen Entwicklungssatzes für Determinanten5 ) lie­fert die innere Summe nur dann einen von Null verschiedenen Beitrag, wenn die Indizes i1, ... ,in, i1, ... ,im eine Permutation bilden, und zwar gilt

" s1gn(7r)g, I . . gk k . . - ge' .. . L.J 1··· 'ß. ,'1···'&. 1 .. · m ,]l···1m. - '&l···'I,.,Jl···Jm' (2.61) h<···<I"

worin e das Symbol (2.19) ist; infolgedessen ist

*Ak1 ... km = Ji9f sign( 7r) A h .. .1" . (2.62)

Diese Darstellung der Koordinaten von *0: läßt jetzt noch folgende Lesart zu. Ist .

N N

'" -_ " Ah .. .I" e 1\ 1\ e -" " Ail ... i" e ffi ffi "" L.J h . . . I" - L.J ... L.J i 1 lJ7 ••• lJ7 ei"

h<···<I" i 1 =1 i,,=1

der 0: assoziierte kontravariante Tensor und f die Determinantenfunktion (2.52), deren Koordinaten sich mit Hilfe des e-Symbols in der Form

fid2 ... iN = Ji9f ei1i 2 ... iN = Ji9f sign(i1i2 ... iN)

schreiben lassen, so ist das Tensorprodukt

~=ä®f

ein n-fach kontravarianter und N-fach kovarianter Tensor mit den Koordi-naten

Verjüngt man den Tensor e in den ersten n kovarianten Indizes it ... in, so geht ein kovarianter schiefsymmetrischer Tensor TJ = V( ä ® ß) mit den Koordinaten

hervor, worin wieder 7r die Bedeutung der Permutation 11 ••• ln k1 ••• km hat. Dies heißt also, wie ein Blick auf die Gleichung (2.62) zeigt,

1 _ *0: = I" V(o: ® f). (2.63)

n.

5) Vgl. das Übungsbeispiel 71 zu diesem Kapitel.

90 2 Tensoralgebra

Der duale Tensor *( *0:) = **0: des Tensors *0: unterscheidet sich vom Tensor 0: allenfalls durch das Vorzeichen. Wendet man auf (2.56) nochmals den Operator * an, so erhält man unter Berücksichtigung von (2.61)

h .. .In _ sign(ll .. . lnk1 ... km) . (k k I 1) h .. .In

**c; - 191 9 slgn 1 .. · m 1 .. · n C;

= sign(9)(-ltm[sign(l1 ... 1nk1 ... km)]2C;h .. .In

= (_1)nm+N-rc;h .. .In .

Also gilt für einen beliebigen Tensor 0: E 1\ nt;*

**0: = (_lteN- n)+N-r 0:. (2.64)

Diese Gleichung lehrt darüber hinaus, daß der *-Operator ein Isomorphis­mus der Vektorräume I\nt;* und I\mt;* ist. Aus *e = 0 folgt nämlich 0= **e = (_l)neN-n)+N-re, also e = 0; da die beiden Vektorräume I\nt;* und 1\ m t;* dieselbe Dimension haben, ist der *-Operator auch surjektiv und damit ein Isomorphismus. Setzt man in (2.64) für 0: = *-1 ß, so wird

*-lß = (_lteN- n)+N-r*ß,

d.h. es ist (2.65)

der inverse Operator zu (2.53). Ist 0: E I\nt;*, ß E I\nt;*, so folgt aus (2.51), (2.64) und (2.25)

*0: I\ß = (-lt- r(**o:,ßt f = (-lteN- n)(o:,ßt f

= (-ltCN-n)ß 1\ *0: = (-ltCN-n)+N-r(*ß,*o:t f

und schließlich aus der Symmetrie des inneren Produktes

(*o:,*ßt = (-l)N-r(o:,ßt·

Aus dieser Gleichung ergibt sich weiter

0: 1\ *ß = (-l)N-r(*o:,*ßt f = (o:,ßt f

= (-lteN- n)+N-r(**o:,ßt f = (-ltCN- n)*o: I\ß,

also

und

(2.66)

(2.67)

(2.68)

Die Dinge vereinfachen sich erheblich, wenn die Basisvektoren ei in t; orthonormal sind. In diesem Fall sind auch die Basisvektoren ei1 ... i" (vgl. (2.35)) in I\nt; und die dualen Basisvektoren c;i1 ... i n in I\nt;* orthonormal. Setzt man, wie in (1.62) vereinbart wurde, "Ii = (ei,ed = 9ii, so gilt, da die Matrix der Koordinaten des kovarianten Fundamentaltensors jetzt Diagonalgestalt mit Zahlen "Ii auf der Hauptdiagonale hat,

für ik = jk, k = 1,2, ... ,m, sonst,

2.9 Duale Tensoren 91

und aus (2.56) folgt wegen Igl = 1 und (_1)N-r1]k1 ···1]km. = % .. '1]/n

*th .. .In = sign(7r)% .. ·1]/ntk1 ... km., (2.69)

worin wieder 7r die Bedeutung der Permutation 11 .. . lnk1 ... km hat. Die kovarianten Koordinaten des zu a dualen Tensors *a bestimmen sich dann mit Hilfe der Gleichung (2.58) zu

*Ak1 ... km. = sign(7r) A/1 .. .In1]h .. '1]/n .

Sind

0: = A 1c 1 + A 2c 2 + A 3c 3 , ß = B1c1 + B2c2 + B3c3

zwei Tensoren erster Stufe in einem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum, der auf eine beliebige Basis bezogen ist, so erhält man aus (2.62)

*ß = vg (B1c2 1\ .0 3 + B2c3 1\ cl + B3c2 1\ .0 2),

weiter durch äußere Multiplikation mit 0:

0: 1\ *ß=vg (A1c 1 + A 2c 2 + A 3c 1) 1\ (B1c2 1\ .03 + B2c3 1\ cl + B3c1 1\ .0 2 )

=vg(A1B1 +A2B2 +A3B3)c1I\c2I\c3

und schließlich unter Berücksichtigung von (2.54)

*(0: 1\ *ß) = (A1B1 + A2B 2 + A3B3). (2.70) Dagegen ergibt

*(0: 1\ ß) = * [(A2B3 - A3B2)C2 1\ .0 3 + (A3B1 - Al B3)C3 1\ cl

+ (A1 B2 - A2 Bdc 1 1\ .0 2 ]

( A2B3 - A3B2 A1B3 - A3B1 A1B2 - A2B1 ) = L yg e1 + yg e2 + yg e3

(2.71)

(vgl. (2.57)), d.h. die Größen

Cl = A 2 B3 - A3 B 2

yg , C2 = A3 B1 - A1 B3 ,

yg (2.72)

sind die kontravarianten Koordinaten des Tensors "y = *(0: 1\ ß). Das Produkt *( 0: 1\ *ß) liefert also das innere Produkt der kontravarianten Vektoren a = L -10:

und b = L -1 ß, der Vektor L -1 [*( 0: 1\ ß)]liefert ihr klassisches äußeres Produkt der analytischen Geometrie im dreidimensionalen Raum.

Im pseudo-euklidischen Lorentz-Raum 1:-4 , der auf eine orthonormale Basis {eo,e1,e2,e3} bezogen ist, für welche wieder die Vereinbarungen (1.74) in Kraft gesetzt werden, erhält man aus (2.69) der Reihe nach

*.0° = sign(0123) TJo cl 1\ .02 1\ .03 = cl 1\ .0 2 1\ .03 ,

*.01 = sign(l023) TJ1 .00 1\ .0 2 1\ .03 = .00 1\ .0 2 1\ .03 ,

*.0 2 = sign(2013) TJ2 .00 1\ cl 1\ .0 3 = .00 1\ .03 1\ cl ,

*.03 = sign(3012) TJ3 .00 1\ cl 1\ .02 = .00 1\ cl 1\ .0 2 ;

daher bestimmt sich der zum kovarianten Vektor

0: = Aoco + A 1c1 + A 2c 2 + A 3c3

duale Tensor dritter Stufe zu

*0: = *[Aoco + A 1c1 + A 2c 2 + A 3c3]

A l 2 3 ° (A 2 3 A 3 1 1 2) = 0.0 1\.0 1\.0 +.0 1\ 1.0 1\.0 + 2.0 1\.0 +A3c 1\.0 . (2.73)

92 2 Tensoralgebra

Die 4 unabhängigen kovarianten Koordinaten dieses Tensors sind der Reihe nach

*A123 = Ao , *A023 = Al, *A03l = A 2 , *A012 = A3 , die kontravarianten Kordinaten lauten dagegen

*A123 = -Ao , *A023 = Al, *A03l = A2 , *A012 = A3 .

Um den dualen Tensor des zweistufigen Tensors

ß = eO A (Ble l + B2e2 + B3 e3 ) + (Cl e2 Ae3 + C2e3 Ae l + C3el Ae2)

zu ermitteln, benötigt man

*(eo A el ) = sign(0123) 1/01/1 e2 A e3 = _e2 A e3 ,

*(eo A e2) = sign(0213) 1/01/2 el A e3 = _e3 A / ,

*(eo A e3) = sign(0312) 1/01/3 el A e2 = _el A e2 ,

*(e2 A e3) = sign(2301) 1/21/3 eO A el = eO A el ,

*(e3 A el ) = sign(3102) 1/11/3 eO A e2 = eO A e2 ,

*(el A e2) = sign(1203) 1/11/2 eO A e3 = eO A e3

und erhält damit den zweistufigen Tensor

*ß = eO A (Cle l + C 2 e2 + C3e3) - (Bl e2 A e3 + B2e3 A el + B3el A e2).

Wegen (N - n)n + N - r = 8 - 3 = 5 gilt

**ß = -ß

(2.74)

für einen Tensor zweiter Stufe im Lorentz-Raum [.4. Ordnet man die Koordinaten des Tensors ß in einer Matrix

an, so lautet die Koordinaten-Matrix des dualen Tensors *ß

( =g~ ~: -~: -~;). -C3 -B2 B l 0

Schließlich erhält man für einen Tensor

/ = Coel A e2 A e3 + eO A (Cl e2 A e3 + C2e3 A el + C3el A e2)

der Stufe 3 im [.4 aus den Beziehungen

*(el A e2 A e3) = sign(1230) 1/11/21/3 eO = eO ,

*(eo Ae2 Ae3) =sign(0231)1/01/21/3 el =el ,

*( eO A e3 A el ) = sign(0312) 1/01/11/3 e2 = e2 ,

*(eo A el A e2) = sign(0123) 1/01/11/2 e3 = e3

den Tensor erster Stufe

*/ = Coeo + Clel + C2 e2 + C3 e3 • (2.75)

Wendet man nochmals den *-Operator an, so erhält man unter Berücksichtigung des obigen Ergebnisses

**/ = / in Übereinstimmung mit (2.64).

2.10 Übungs beispiele 93

2.10 Übungsbeispiele

45. Sei

( 6 -~ -~) -1 1 1

die Matrix der Koordinaten A~ eines gemischten zweistufigen Tensors 0: be­züglich einer Basis {eI, e2, es} und der dualen Basis {eI, e2 , eS} (die Zeilen­nummer möge dabei dem kontravarianten, die Spaltennummer dem kova­rianten Index entsprechen). Man berechne die Koordinaten des Tensors 0:

bei einem Basiswechsel

46. Sei 0: ein kontravarianter Tensor zweiter Stufe mit den Koordinaten A ij. Wie transformiert sich die Größe

N

L Aii ? i=l

Handelt es sich um eine Invariante?

47. Sei Aij ein kovarianter symmetrischer Tensor zweiter Stufe. Man zeige, daß dann auch der kontravariante Tensor A ij symmetrisch ist (man zeige dies sowohl an Hand von Koordinaten als auch koordinatenunabhängig!).

48. Sei A(i,j) ein zweifach indiziertes Zahlensystem. Wenn für jeden Vektor Bi die Gleichung

N

L A(i,j)Bi Bj = 0 i,j=l

gilt, so ist A(i,j) = -A(j,i). 49. Sei A( i; j, k) ein System dreifach indizierter Größen. Es möge festste­hen, daß sich die Summen

N

C k = L A(k;i,j)BiBj i,j=l

für jeden kontravarianten Vektor mit den Koordinaten Bi wie die Koor­dinaten eines kontravarianten Vektors transformieren. Was folgt daraus hinsichtlich des tensoriellen Charakters der A( i; j, k)? 50. Sei A(i,j) ein zweifach indiziertes Zahlensystem. Was läßt sich über dieses System hinsichtlich eines tensoriellen Charakters aussagen, wenn für jeden symmetrischen Tensor Bij der Ausdruck

N

L A(i,j)Bij = I i,j=l

eine Invariante ist? Was läßt sich aussagen, wenn dieser Sachverhalt für einen beliebigen schiefsymmetrischen Tensor Bij eintritt?

94 2 Tensoralgebra

51. Seien Aij und Bij Tensoren zweiter Stufe, der eine symmetrisch, der andere schiefsymmetrisch: Aij = Aji und Bij = - Bji. Dann gilt

N

L AijBij = o. i,j=1

52. Sei A(i,j,k,l) ein vierfach indiziertes Zahlensystem. Aus dem Um­stand, daß für je zwei Vektoren mit Koordinaten Bi und Ci stets

N

L A(i,j,k,I)BiBkCjCI = 0

i,j,k,I=1

gilt, folgt

A(i,j,k,l) + A(k,j,i,l) + A(i,l,k,j) + A(k,l,i,j) = o.

53. Seien Ai, Bj, Ckl kovariante Tensoren, wobei Ckl = Clk gelten möge, und ,\ eine Invariante. Dann bestehen für den dreistufigen kovarianten Tensor mit den Koordinaten

D ijk = ,\AjBiBk + ,\2 BiCjk

die Beziehungen

D ijk - D ikj + D jki - D jik + D kij - Dkji = O.

Hinweis: Man bilde die Differenzen Dijk - Dikj und nehme eine zyklische Vertauschung der Indizes vor: ijk ---7 jki ---7 kij.

54. Sei A( i, j, k) ein System dreifach indizierter Größen, schiefsymmetrisch in den beiden ersten Indizes und symmetrisch in den beiden letzten Indizes: A(i,j,k) = A(i,k,j), A(i,j,k) = -A(j,i,k). Dann ist A(i,j,k) = O.

55. Seien VI, ... ,Vm Vektoren aus V und a l , ... ,an Linearformen aus V*. Verjüngt man das Tensorprodukt

n m

cp = ®ai ®®Vj i=1 j=1

im k-ten kovarianten und l-ten kontravarianten Argument, so entsteht der Tensor

n m

56. Sei cp ein n-fach kovarianter und m-fach kontravarianter Tensor. Sind a 1 , ••• ,am beliebige Linearformen aus V* und VI, ... ,Vn beliebige Vektoren aus V, so gilt

V (cp ® a l ® ... ® a m ® VI ® ... ® V n ) = cp(al , •.. , a m , VI, ••. , V n ),

wenn V die Verjüngung in allen Argumenten bedeutet.

2.10 Übungsbeispiele 95

57. Sei

die Matrix des Fundamentaltensors bezüglich einer Basis {e1, e2, es} eines dreidimensionalen euklidischen Vektorraumes E. Man suche eine Basis, in welcher die Matrix des Fundamentaltensors Diagonalgestalt mit Haupt­diagonalelementen ±1 hat. Welchen Index hat das innere Produkt in E?

Hinweis: Man betrachte das Eigenwertproblem für die Matrix {gi;}'

58. Sei

{An = (~ ~ ~) 014

die Matrix der Koordinaten eines zweistufigen gemischten Tensors a bezüg­lich der dualen Basen {e1, e2, es} und {e1 , e2 , eS} (die Zeilennumer entspre­che dem kontravarianten, die Spaltennummer dem kovarianten Index). Man schreibe diesen Tensor als Summe von Produkten ei ® e; an!

59. Sei {gi;} wie in Bsp. 57 die Matrix der Koordinaten des Fundamental­tensors bezüglich einer Basis {e1, e2, es} mit der dualen Basis {el, e2 , eS}; ferner sei

a = e1 ® e1 - e1 ® eS - e2 ® e2 + e2 ® eS - es ® e1 + es ® e2 + es ® eS

ein gemischter zweistufiger Tensor. Man bestimme den assoziierten ko­varianten Tensor ä(x,y) = a(LY,x) und den assoziierten kontravarianten Tensor a(e,1]) = a(e,L- l 1]).

60. Sei a ein kovarianter schiefsymmetrischer Tensor der Stufe 2, dessen Koordinaten in einer festen Basis die Elemente der Matrix

( 0 1-1

{Aij } = -~ -~ 6 -2 -3 0

sind; dabei möge die Zeilennummer dem ersten Index in Ai;, die Spalten­nummer dem zweiten Index entsprechen. Man schreibe diesen Tensor in der kanonischen Darstellung an und bilde das Produkt a 1\ a.

61. Sei E ein pseudo-euklidischer Vektorraum mit dem Index 1, dimE = 4. Bezüglich einer orthonormalen Basis eo, e1, e2, es (1]0 = 1,1]1 = 1]2 = 1]s = -1) se1

(0 A

{Ai.} = A 0 J B-F

C E

B F o

-D die Matrix der Koordinaten eines gemischten Tensors a( e, x), wobei die von Obis 3 laufenden ZeilennummernjSpaltennummern den kontravariantenj kovarianten Indizes entsprechen mögen. Man zeige, daß der kovariante Ten­sor ä(x,y) = a(LY,x) und der kontravariante Tensor a(e,1]) = a(1],L-1e) schiefsymmetrisch ist. Man gebe die kanonische Darstellung des kovarian­ten Tensors ä an!

96 2 Tensoralgebra

62. Sei [, ein euklidischer Vektorraum, dirn [, = N. Ein vierstufiger kovari­anter Tensor a habe folgende Symmetrien:

(i) a(x,y,u,v) = -a(x,y,v,u) bzw. Aijkl = -Aijlk

(ii) a(x,y,u,v) = -a(y,x,u,v) bzw. A ijkl = -Ajikl

(iii) a(x,u,v,w )+a(x,v,w,u)+a(x,w,u,v) =0 bzw. Aijkl+Aiklj +Ai1jk = 0

(Eigenschaft der "zyklischen" Symmetrie). Dann gilt

a(x,y,u,v) = a(u,v,x,y) bzw. Aijkl = A klij .

Ferner ist die Verjüngung des gemischten Tensors A ijkl ein symmetrischer Tensor ß mit den Koordinaten

N

B ij = L A 1i1j . 1=1

63. Man beweise, daß in einer Verjüngung der hochgestellte Index, über den zu summieren ist, heruntergezogen werden kann, wenn dabei der tief­gestellte Index hinaufgezogen wird,

N N " k··i···B··· .. ·· = " A···:··B···i .... L.J .0. 00. "'1'" L.J "'1'" .0. '0'

i=l i=l

64. Man gebe die kanonische Darstellung der folgenden Tensorprodukte an:

(i) (eI 1\ e2 + el 1\ e3 + e2 1\ e3) 1\ (eI - 2e2 + e3)

(ii) (2el + e2 + e3) 1\ (eI - c2 ) 1\ (c2 + c3)

(iii) (eI 1\ e2 - e3 1\ e4) 1\ (eI 1\ e2 1\ e3 + e2 1\ e3 1\ e4)

65. Sei [, ein euklidischer Vektorraum. Man berechne für a, ß E [,* die Invariante I = *(a 1\ *ß).

66. Sei [, ein euklidischer Vektorraum. Man zeige für a E 1\2 [,* , ß, 7 E [,* die Darstellung *(*a 1\ ß 1\ 7) = (_1)N-r a (t- l ß,t-17).

67. Seien a, ß und 7 Linearformen auf [,. Man beweise

* Ha 1\ ß) 1\ 7] = Ha 1\ *7)]ß - Hß 1\ *7)]a

= (-lt- r [(a,7)*ß - (ß,7)*a].

68. Seien a, ß, 7 und 0 Linearformen auf [,. Man vereinfache

(i) *(a 1\ *(ß 1\ 7)) (vgl. a X (b X c))

(ii) *(*(a 1\ ß) 1\ 71\ 0) (vgl. (a X b). (c X d))

69. In einem euklidischen Vektorraum [, der Dimension dirn [, = 2n sei ein System a l , ... ,an, ßl, ... , ßn linear unabhängiger Linearformen gegeben und mit diesen der zweistufige Tensor

, = a l 1\ ßl + a 2 1\ ß2 + ... + an 1\ ßn .

gebildet. Man berechne das n-fache äußere Produkt e = , 1\ , 1\ ... 1\ (.

2.10 Übungsbeispiele 97

70. Sei V ein linearer Vektorraum, dirn V = 4. Man berechne für zwei Tensoren a,ß E /\2V* die kanonische Darstellung des Produktes a /\ ß. 71. Seien a 1, a 2 , ••• ,aN E V* beliebige Linearformen mit den Koordina­ten At, A~ , ... ,Af bezüglich einer festen Basis {e1 , ... , eN } für V*. Man berechne für eine natürliche Zahl n < N

(i) das Produkt ß = a 1 /\ ... /\ an,

(ii) das Produkt 'Y = a n +1 /\ ... /\ aN,

(ii) das Produkt 0 = ß /\ 'Y.

Was läßt sich daraus über die Determinante det{A1} angesichts des Um­standes aussagen, daß 0 = a 1 /\ ... /\ aN = det{ A~} e1 /\ ... /\ eN ist? (Für n = 1 handelt es sich um den Entwicklungssatz für Determinanten, für n> 1 um den sogenannten Laplaceschen Entwicklungssatz). Siehe (1.32)!

72. Sei [ein vierdimensionaler euklidischer Vektorraum, dessen Fundamen­taltensor bezüglich einer festen Basis {e1' e2, e3, e4} die Koordinatenmatrix

(! ! l D habe. Man berechne die Tensoren

(i) *V5 (2e1 _ e4 )

(ii) *V5 (e1 /\ e3 + 2 e3 /\ e4 )

(iii) *V5 (e1 /\ e2 /\ e3 _ 2e2 /\ e3 /\ e4 ).

73. Sei [ der euklidische Vektorraum von Bsp. 72. Man berechne die kon­travarianten Koordinaten des Tensors

a = *Vs(e1 /\ e2 + 2e2 /\ e3 _ e3 /\ e4 ).

74. Sei V ein N-dimensionaler linearer Vektorraum. Man zeige, daß n ::::; N Vektoren V1, V2, ••. , V n Vektoren genau dann linear abhängig sind, wenn

V1 /\ V2 /\ ... /\ V n = 0 •

Hinweis: Man ziehe hiefür die Gleichung (1.32) heran und benütze den Satz, daß eine Matrix genau dann den Rang r hat, wenn es eine von Null ver­schiedene r-reihige Unterdeterminante gibt, aber alle Unterdeterminanten höherer Reihenzahl (so es welche gibt) gleich Null sind!

75. Sei V ein linearer Vektorraum, dirn V = N. Sind V1,V2, .•. ,Vn -1 linear unabhängige Vektoren (1 < n ::::; N) und a = V1 /\ ••• /\ V n -1, so ist durch

rx := x /\ a

eine lineare Abbildung r : V ~ /\nv gegeben. Man bestimme den Kern dieser linearen Abbildung. Was ist der Bildbereich? Man zeige, daß die Abbildung (1 : V /r- 1 { o} ~ rV,

(1[x]:= x /\ a, ein Isomorphismus ist.

98 2 Tensoralgebra

76. Sei 0: E I\nv* (1 < n :::; N), e E V* eine Linearform und e 1\ 0: = o. Dann gibt es einen Tensor ß E I\n- 1V*, für den

o:=el\ß

gilt.

Hinweis: Man ergänze die Linearform e = e durch N - 1 Linearformen e, ... , eN zu einer Basis für V* und stelle 0: in dieser Basis dar. Für die Koordinaten von 0: in Bezug auf diese Basis muß A i1 i 2 ... i n = 0 gelten, wenn i 1 i- 1 ist.

77. Man beweise allgemein: Seien e, e, ... ,em linear unabhängige Linear­formen, 0: E I\nV* (n + m:::; N) und

0: 1\ e 1\ e 1\ ... 1\ em = 0 .

Dann gibt es Tensoren ß1 , ... ,ßm E 1\ n-1 V*, sodaß gilt

0: = e 1\ ß1 + e 1\ ß2 + ... + em 1\ ßm .

78. Sei V ein linearer Vektorraum, dim V = N und r : V ---t V eine lineare Transformation. Setzt man für zerlegbare Vektoren in 1\ nv (1 < n :::; N)

r(n)(V1 1\ V2 1\ ... 1\ vn ) := rV1 1\ rV2 1\ ... 1\ rvn ,

so gibt es genau eine lineare Transformation ren) : 1\ nv ---t 1\ nv, welche für zerlegbare Vektoren auf diese Definition zurückführt. Man zeige:

(i) (rcr)(n) = r(n)cr(n) ,

(ii) (r- 1 )(n) = (r(n)f 1, wenn r bijektiv ist,

(iii) (r*)(n) = (r(n))*,

(iv) spur reN) = det r.

79. Sei dim V = N. Man zeige, daß jeder Tensor 0: E I\N-1 V* zerlegbar ist.

Hinweis: Man setze

0: = AN €1 1\ ... 1\ €N -1 + ... + Al €2 1\ ... 1\ €N ,

konstruiere N - 1 linear unabhängige Lösungen der Gleichung

A 13 1 - A 23 2 + A 3 3 3 - + ... + (_1)N-1 A N3N = 0

und bilde mit jeder solchen Lösung die Linearform e = 3 1 €1 + ... + 3N€N. Numeriert man diese von 1 bis N - 1 durch und bildet man das Produkt

( = e 1\ ... 1\ eN - 1 = ZN €1 1\ ... 1\ €N-1 + ... + Zl €2 1\ ... 1\ €N ,

so gelten die Beziehungen N

~)Aj)2 Zi = DAi ,

j=l

worin D die Determinante ist (für Lj A~ i- 0 ist D i- 0), in deren ersten

Spalte der Reihe nach die Größen Al, - A 2, A 3 , ••• , ( _l)N -1 AN stehen, in der zweiten die Koordinaten 3~, ... , 3Jv der Linearform e usw.