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Kapitel 1 Koordinaten, Skalare, Vektoren, Tensoren 1.1 Ziele Die mathematische Modellierung physikalischer Phänomene bzw. techni- scher Prozesse führt zu Gleichungen, in denen Größen verschiedener geome- trischer Struktur auftreten. Es gibt im Wesentlichen drei Größenkategorien, nämlich Skalare, Vektoren und Tensoren. Die Mitglieder dieser Kategorien werden in diesem Kapitel eingeführt. q 1.2 Koordinaten, Vektoren und Basen Koordinaten im Punktraum. Wir starten mit dem 3-dimensionalen EU- KLIDischen Punktraum 3 , welcher aus der Menge der Punkte x, y, z... besteht. Ein Punkt P ist durch Angabe von drei Zahlen definiert. Wir schreiben x =(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(x i ) i∈{1,2,3} und nennen (x 1 ,x 2 ,x 3 ) die Kom- ponenten von x. Vermutlich hat eine Person na- mens EUKLID nie gelebt, und seine berühmte Schrift Elemente der Geometrie ist von einer Autorengruppe unter Pseud- onym geschrieben worden. Ferner führen wir ein rechtwinklig kartesisches Koordinatensystem K ein. Dieses besteht aus drei orthogonal aufeinander stehenden geraden Linien, die von einem beliebig gewählten Punkt O ausgehen. Nun fällen wir von P ausgehend drei Lote, wie es in Abb. 1.1 links gezeigt wird. Die Konstruk- tion induziert auf den Koordinatenlinien drei Strecken, welche wir mit den Komponenten (x 1 ,x 2 ,x 3 ) von x identifizieren. Ortsvektoren im 3 . Zur geometrischen Veranschaulichung stellen wir 1

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Kapitel 1

Koordinaten, Skalare, Vektoren,

Tensoren

1.1 Ziele

Die mathematische Modellierung physikalischer Phnomene bzw. techni-scher Prozesse fhrt zu Gleichungen, in denen Gren verschiedener geome-trischer Struktur auftreten. Es gibt im Wesentlichen drei Grenkategorien,nmlich Skalare, Vektoren und Tensoren. Die Mitglieder dieser Kategorienwerden in diesem Kapitel eingefhrt. q

1.2 Koordinaten, Vektoren und Basen

Koordinaten im Punktraum. Wir starten mit dem 3-dimensionalen EU-KLIDischen Punktraum 3, welcher aus der Menge der Punkte x,y, z...besteht. Ein Punkt P ist durch Angabe von drei Zahlen definiert. Wirschreiben x = (x1, x2, x3) = (xi)i{1,2,3} und nennen (x1, x2, x3) die Kom-ponenten von x.

Vermutlich hateine Person na-mens EUKLIDnie gelebt, undseine berhmteSchrift Elementeder Geometrieist von einerAutorengruppeunter Pseud-onym geschriebenworden.

Ferner fhren wir ein rechtwinklig kartesisches Koordinatensystem K ein.Dieses besteht aus drei orthogonal aufeinander stehenden geraden Linien,die von einem beliebig gewhlten Punkt O ausgehen. Nun fllen wir vonP ausgehend drei Lote, wie es in Abb. 1.1links gezeigt wird. Die Konstruk-tion induziert auf den Koordinatenlinien drei Strecken, welche wir mit denKomponenten (x1, x2, x3) von x identifizieren.

Ortsvektoren im 3. Zur geometrischen Veranschaulichung stellen wir

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den Punkt P durch einen Pfeil da, welcher in O beginnt und in P endet.Wir nennen einen solchen Pfeil Ortsvektor und entsprechend (x1, x2, x3)die Komponenten des Ortsvektors x.

Abbildung 1.1: Darstellungen in einem rechtwinklig kartesischen Koordi-natensystem.

Der Universalge-lehrte Descartespredigte rationaleBeweisfhrung inder Geometrie.Als Sicherheits-vorkehrung wiesenseine eigenen Be-weise aber hufigLcken auf, die ererst fllte, wennim Falle sptererStreitigkeitenseine Priorittnachzuweisen war.

Offensichtlich gilt fr Ortsvektoren die folgende Rechenregel :

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) (1.1)

wobei und reelle Zahlen sein sollen. Somit ist insbesondere die Summeund die Differenz von Ortsvektoren definiert.

Eine weitere wichtige Beziehung zwischen zwei Ortsvektoren ist ihr Skalar-produkt. Dieses ist definiert durch

x y 3

i=1

xiyi. (1.2)

Das Skalarprodukt liefert eine reelle Zahl, die wir Skalar nennen. Erklrenwerden wir diese Namensgebung erst spter.

Wir bezeichnen die Lnge eines Ortsvektors mit | x | und folglich gilt| x |=

x x . (1.3)

Aus (1.2) lt sich eine Alternativform fr das Skalarprodukt herleiten,welche bei Anwendungen sehr ntzlich ist:

x y =| x || y | cos(x,y) . (1.4)

bung 1.1 Beweise die Formel 1.4 im zwei- oder dreidimen-sionalen Fall.

Die bisherigen berlegungen werden jetzt eine Verallgemeinerung erfahren.

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Die Beschrnkung auf N = 3 Dimensionen ist nmlich bei den eingefhrtenRegeln nicht notwendig. In der bung 1.1 haben wir schlielich bereits denzweidimensionalen Fall betrachtet, weil er einfacher zu behandeln ist. Aberauch der Fall N > 3 wird uns in vielen Anwendungen begegnen. Allerdingsgeht hier die visuelle Anschaung verloren.

Ortsvektoren im N . Ein Ortsvektor x ist im N durch N Kompo-nenten gegeben: x = (x1, x2, ..., xN).Fr zwei Ortsvektoren gilt die Additionsregel

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xN + yN) , (1.5)

wobei und reelle Zahlen sind.Das Skalarprodukt zweier Ortsvektoren lautet im N

x y =N

i=1

xiyi . (1.6)

Bisher haben wir Ortsvektoren durch N -Tupel der Form (x1, x2, ..., xN)dargestellt. Zum Rechnen ist aber eine Alternativdarstellung ntzlicher.Diese gewinnen wir leicht nach Einfhrung von Basisvektoren.

Rechtwinklige Basis. Fr ein rechtwinklig kartesisches Koordinatensy-stem K, welches wir zur Zeit ausschlielich benutzen, definieren wir

e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., eN = (0, 0, ..., 1) , (1.7)

und nennen diese Vektoren die (rechtwinklig kartesische) Basis des Punkt-raumes N .

In der Debatte umdas Unendlichelehnte KroneckerBehauptungen ab,deren Entscheid-barkeit nicht inendlich vielenSchritten belegtwerden kann.Deshalb nannteHilbert ihn denVerbotsdiktator.Das aber die mei-sten StudentenKronecker nurber das Symbolkennen, welchesseinen Namentrgt, htteihn vermutlichverwundert.

Offensichtlich gilt

ei ej = ij mit ij

1 0 ... 00 1 ... 0. . . .0 0 ... 1

. (1.8)

Das neu eingefhrte Symbol ij heit Einheitsmatrix und wird auchKRONECKER-Tensor genannt.

Wir werden demnchst weitere Basen kennenlernen, welche die Beziehung(1.8) nicht erfllen. Eine Eigenschaft muss eine Basis aber in jedem Fallhaben:

Im N dimensionalen Punktraum knnen N Vektoren E1,E2, ...,EN nurdann ein System von Basisvektoren bilden, wenn sie linear unabhngig sind.

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Dieser Begriff besagt: N Vektoren (Ei)i{1,2,...,N} heien linear unabhngig,wenn es unmglich ist, N Zahlen i zu finden, die nicht alle gleichzeitigNull sind, so da die Beziehung

N

i=1

iEi = 0 (1.9)

erfllt ist.

bung 1.2 Beweise, da die Vektoren (1.7) linear unabhngigsind.

Schlielich lautet die Darstellung eines Ortsvektors x mittels der Basis (1.7)

x =N

i=1

xiei xi = x ei , (1.10)

und hat die in Abb. 1.1rechts gegebene geometrische Darstellung.

Allgemeine Vektoren. Neben den Ortsvektoren gibt es weitere Objekte,die durch N -Tupel im N dargestellt werden. Aus physikalischer Sicht ken-nen wir beispielsweise Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Krfte oderWrmeflsse.

N -Tupel im N , die der Rechenregel (1.5) fr Ortsvektoren gengen, undfr die ein Skalarprodukt (1.6) definiert ist, nennen wir allgemein Vektoren.

Schiefwinklige Basis. Eine Basis des N muss nicht notwendiger Weiseaus orthonormalen Vektoren, d.h. ei ej = ij, aufgebaut sein. Bei vie-len Anwendungen sind schiefwinklige Basen dem vorliegenden Gegenstandangemessener.

bung 1.3 Die Charakterisierung feuchter Luft geschieht ineinem MOLLIER Diagramm. Studiere ein MOL-LIER Diagramm und erlutere das zugrunde lie-gende Achsensystem. Zeige insbesondere, dass hierein schiefwinkliges Achsensystem verwendet wird.

Zur Konstruktion schiefwinkliger Basen gehen wir von N linear unabhngi-gen Vektoren g1,g2, ...,gN aus. Da diese Basisvektoren nicht orthonormalsein mssen, ist es ntzlich, N zustzliche Basisvektoren g1,g2, ...,gN ein-zufhren, die den Bedingungen

gi gj = ji mit ji ij (1.11)

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gengen sollen. Die zustzliche Basis nennen wir duale Basis. Die Bedin-gungen (1.11) stellen N2 Gleichungen zur Berechnung der N Vektoren(gi)i{1,2,...,N} der dualen Basis dar.

Einen gegebenen Vektor V knnen wir somit auf drei verschiedene Weisenin Komponenten zerlegen. Wir schreiben

V =N

i=1

Vi(e)

ei =N

i=1

V i(g)

gi =N

i=1

Vi(g)

gi . (1.12)

Die zu den drei Basen gehrenden Komponenten berechnen sich gem

Vi(e)

= V ei, V i(g)

= V gi, Vi(g)

= V gi . (1.13)

Die Komponenten Vi(e)

heien kartesische Komponenten, whrend die Kom-

ponenten V i(g)

, Vi(g)

kontra- bzw. kovarianteKomponenten des Vektors V ge-

nannt werden. Den Sinn der beiden letzten Bezeichnungen werden wir etwasspter erhellen.

Beispiel zur schwiefwinkligen Basis. Zur geometrischen Veranschau-lichung betrachten wir ein einfaches Beispiel im zweidimensionalen Fall.Mit Bezug auf die kartesische Basis geben wir uns zwei Basisvektoren vor,nmlich g1 = (4, 2) und g2 = (1, 3). Diese Vektoren haben die Lngen| g1 |= 4.47 und | g1 |= 3.16. Die zunchst noch unbekannten Komponen-ten der dualen Basis bezeichnen wir mit g1 = (a, b) und g2 = (c, d), undberechnen die vier Zahlen mittels der Beziehungen (1.11).

gi gj = (gi)1(gj)1 + (gi)2(gj)2 =(

4a + 2b 4c + 2d1a + 3d 1c + 3d

)

=

(

1 00 1

)

.

(1.14)Die Lsungen sind g1 = (3/10,1/10) und g2 = (1/5, 2/5). Die Lngendieser Vektoren sind | g1 |= 0.32 sowie | g2 |= 0.45.Ein gegebener Vektor V hat gem (1.4) und (1.13) die Komponenten

Vi(e)

= V ei = | V | cos((V, ei)) (1.15)

V i(g)

= V gi = | V || gi | cos((V,gi)) (1.16)

Vi(g)

= V gi = | V || gi | cos((V,gi)) . (1.17)

Die Abbildung 1.7 zeigt die graphische Darstellung der erhaltenen Resul-tate. Beachte die unterschiedlich Lnge der Basisvektoren.

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Abbildung 1.2: Zerlegung eines Vektors auf schiefwinklige Basen.

In der Literatur ber Tensoranalysis, welche keine Basisvektoren benutzt,werden die kontravarianten Komponenten eines Vektors mit den Abschnit-ten 1 und 2 identifiziert. D.h. diese Komponenten werden als Parallelpro-jektion von V auf die durch g1 und g2 definierten Richtungen eingefhrt.Betrachte noch einmal das Beispiel zur schiefwinkligen Basis aus der Vor-lesung.

bung 1.4 Stelle einen Zusammenhang her zwischen 1 und2 und den in dieser Vorlesung definierten kontra-varianten Komponenten V 1 und V 2. Zeige, dassgilt

1 = |g1|V 1 sowie 2 = |g2|V 2 . (1.18)

Erlutere das Resultat durch Vergleichmit der Behandlung in Abschnitt 1.3 derim WS 09/10 gehaltenen entsprechen-den Vorlesung, siehe http://www.ifm.tu-berlin.de/fileadmin/fg49/lehre0607/kontitheorie1/Teil02.pdf .

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Lnge eines Vektors bei schiefwinkligen Basen und der metrischeTensor. Wenn die Komponenten eines Vektors bezglich einer schiefwink-ligen Basis angegeben ist, berechnen wir seine Lnge wie folgt:

|V|2 = V V = (N

i=1

V i(g)

gi) N

j=1

V j(g)

gj =N

i,j=1

(gi gj)V i(g)

V j(g)

(1.19)

In dieser Beziehung treffen wir zum ersten Mal auf die Matrix gi gj, welcheeine groe Bedeutung hat. Ihre Komponenten

gij gi gj =N

k=1

(gi)k(gj)k (1.20)

heien kovariante Komponenten des metrischen Tensors.

Entsprechend nennen wir die Gren

gij gi gj =N

k=1

(gi)k(gj)k (1.21)

kontravariante Komponenten des metrischen Tensors.

Das Lngenquadrat eines Vektors knnen wir also schreiben

|V|2 =N

i,j=1

gijVi

(g)V j(g)

=N

i,j=1

gijVi(g)

Vj(g)

. (1.22)

Beziehungen zwischen ko- und kontravarianten Vektorkomponen-ten. Die Komponenten des metrischen Tensor sind nicht nur wichtig umLngen von Vektoren zu bestimmen. Mittels ihrer Hilfe knnen wir auchauf einfache Art ko- in kontravariante Komponenten von Vektoren undumgekehrt berechnen, und das geht so: Wir multiplizieren die Gleichung(1.12)3 mit gj, bzw. alternativ hierzu mit gj und beachten die Orthonor-malittseigenschaft (1.11). Es folgen

Vi(g)

=N

j=1

gijVj

(g), sowie V i

(g)=

N

j=1

gijVj(g)

. (1.23)

Schlielich fhren wir noch die inverse Matrix1gij ein, d.h.

N

k=1

1gikgkj = ij . (1.24)

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bung 1.5 a.) Beweise, dass gilt

1gij = g

ij . (1.25)

b.) Berechne den Abstand d zweier Punkte inner-halb der schiefwinkligen Basis g1 = (4, 2), g2 =(1, 3). Die Punkte sind in der rechtwinklig karte-sischen Basis durch die Ortsvektoren x = (1, 1),y = (2, 2) charakterisiert. Erlutere das Resultat.

1.3 Koordinatenlinien, ortsabhngige Basen und

Vektorkomponenten

Zur Vermessung des Raumes haben wir bisher ein globales Koordinaten-system verwendet. Wenn wir aber in den Anwendungen auf Rume groerInhomogentitt treffen, so sind lokale Koordinatensysteme zu ihrer Ver-messung besser geeignet. Ein weiterer Grund fr die Einfhrung lokalerKoordinatensysteme ergibt sich aus dem Vorhandensein von koordinaten-abhngigen Vektoren, d.h. V = V(x). Fr Vektoren gilt dann die Additi-onsregel (1.5) natrlich nur in der Form

V+ W = (V1(x) + W1(x), V2(x) + W2(x), ..., VN(x) + WN(x)) ,(1.26)

d.h., dass die beteiligten Vektoren nur an demselben Punkt x addiert wer-den knnen.

Zur Einfhrung lokaler Koordinatensysteme im N durchziehen wir denRaum in dichter Weise mit Koordinatenlinien. Diese bestehen aus N Fa-milien von Kurven, welche zwei notwendige Eigenschaften haben: (i) DieFortbewegung auf der Kurve einer Familie ndert die Parameter der Kur-ven der anderen Familien nicht. (ii) Zwei Kurven derselben Familie drfensich nicht schneiden.

Netz von Koor-dinatenlinien zurBestimmung vonStandorten aufder Erde.

Das vermutlich bekannteste Beispiel fr Koordinatenlinien sind die Breiten-und Lngenkreise des Erdglobus. Weitere Beispiele schauen wir uns nungenauer fr den Spezialfall an, wo der Raum N eine Ebene ist.

Rechtwinklig kartesische Koordinatenlinien. In der Ebene knnenwir zwei Familien von geradlinigen Koordinatlinien einfhren, die senk-recht aufeinander stehen. In der Abbildung besteht jede Familie aus fnf

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Geraden. Es sollte aber klar sein, dass wir in einem Raumgebiet das Netzbeliebig dicht machen knnen.

Abbildung 1.3: Rechtwinklig kartesische Koordinatenlinien. Links: mit ei-ner rechtwinklig kartesischen Basis. Rechts: mit drei schiefwinkligen Basenan drei Raumpunkten.

In der Abb. 1.3 haben wir an drei ausgewhlten Raumpunkten eine lokalekartesische bzw. schiefwinklige Basis angebracht.

Polarkoordinaten in der Ebene. In diesem Beispiel besteht die eineFamilie aus Geraden, die alle von einem beliebig gewhlten Nullpunkt aus-gehen, und die andere Familie beinhaltet konzentrische Kreise um den Null-punkt.

Abbildung 1.4: Links: Polarkoordinatenlinien. Rechts: mit zwei lokalen or-thogonalen Basen an zwei Raumpunkten.

Zur Angabe eines Ortes whlen wir als Parameter auf den Geraden derFamilie 1 den Abstand r des Ortes zum Nullpunkt, und auf den Kreisender Familie 2 den Polarwinkel . Diese beiden Parameter, zi = (r, ) fr

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i {1, 2} hngen mit den kartesischen Parametern xi = (x1, x2) wie folgtzusammen:

x1 = z1 cos(z2), x2 = z1 sin(z2) , (1.27)

sowie nach Invertierung

z1 =

(x1)2 + (x2)2, z2 = arctan(x2

x1) . (1.28)

bung 1.6 Ergnze die Umkehrformeln (1.28) durch Bedin-gungen, so da diese eindeutig werden. Erlutereauerdem, dass Funktionen??

Im Unterschied zum Fall der kartesischen Koordinatenlinien treffen wirhier auf die Situation, dass die Basisvektoren an verschiedenen Punktenim Raum in verschiedene Richtungen zeigen. D.h. die Basisvektoren sindFunktionen des Ortes!

Allgemeine Koordinatenlinien in der Ebene. Im Falle der Polarkoor-dinaten bestehen die Koordinatenlinien aus einem Netz orthogonaler Ko-ordinatenlinien. Im allgemeinen ist dies jedoch nicht der Fall, siehe diefolgende Abbildung.

Abbildung 1.5: Allgemeine Koor-dinatenlinien in der Ebene.

Die Koordinatenlinien sind hier durchzwei Familien beliebiger Funktionen ge-geben, die aber glatt und eineindeu-tig sein mssen. Die Glattheit ben-tigen wir zur Konstruktion von Basis-vektoren, und die Eineindeutigkeit ga-rantiert, dass es innerhalb einer Familiekeine Schnittpunkte gibt.

z1 = z1(x1, x2), z2 = z2(x1, x2) ,(1.29)

mit der Umkehrung

x1 = x1(z1, z2), x2 = x2(z1, z2) . (1.30)

Wieder stellen wir fest, dass die lokalen Basen ortsabhngig sind.

Die Verallgemeinerung auf den Raum N mit N > 2 ist damit klar.

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Koordinatenlinien im N sind durch Funktionen der Form

zi = zi(x1, x2, ..., xN) xi = xi(z1, z2, ..., zN), i {1, 2, ..., N} (1.31)

gegeben. Allgemeine Funktionen dieser Art sind zur Konstruktion von Ko-ordinatenlinien zulssig, falls gewhrleistet ist: (i) Die Fortbewegung aufder Kurve einer Familie ndert die Parameter der Kurven der anderen Fa-milien nicht. (ii) Zwei Kurven derselben Familie drfen sich nicht schneiden.

Ortsabhngige Basen. In den obigen Abbildungen haben wir bereits bei-spielhaft lokale ortsabhngige Basen eingezeichnet. Insbesondere haben wiran einem Ort das System der Basen {g1,g2, ...,gN} durch Vektoren aufge-baut, welche tangential zu den dort sich schneidenden Koordinatenlinienliegen.

Lokale Basisvektoren in einem System von Koordinatenlinien sollen die-se Eigenschft immer haben, und darum definieren wir die lokale Basis{g1,g2, ...,gN} gem

gi N

k=1

xk

ziek fr i {1, 2, ..., N} , (1.32)

denn dies sind Tangentialvektoren an die Kurven (1.31)2.

Mit dieser Definition ist auch die zugeordnete duale Basis festgelegt, welchewieder aus den Gleichungen (1.11) zu berechnen sind. Zunchst folgt

ij = gi gj =

N

k=1

(gi ek)xk

zj= (gi)1

x1

zj+ (gi)2

x2

zj+ ... + (gi)N

xN

zj.

(1.33)Hier bezeichnet das Symbol (gi)k die k-Komponente des Basisvektors gi

bezglich der kartesischen Basis. Wenn wir uns diese Gleichung genaueransehen, erkennen wir leicht durch Raten, dass gilt

(gi ek) (gi)k =zi

xkbzw. gi =

N

k=1

zi

xkek . (1.34)

Mit dieser Wahl sind nmlich die Gleichungen gi gj = ij wegen der Ket-tenregel identisch erfllt.

bung 1.7 Verwende die Polarkoordinatenlinien aus obigemBeispiel, und berechne die Basen gi sowie gi.

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Vektorkomponenten bezglich ortsabhngiger Basen. Wir berech-nen nun die Komponenten eines gegebenen Vektors V bezglich der imletzten Abschnitt definierten lokalen und ortsabhngigen Basen. Hierzugehen wir aus von den allgemeinen Formeln (1.12), wonach gilt

V =N

i=1

Vi(x)

ei =N

i=1

V i(z)

gi =N

i=1

Vi(z)

gi . (1.35)

Die Gren V i(x)

, V i(z)

und Vi(z)

bezeichnen die Komponenten von V bezglich

der jeweils verwendeten Koordinatenlinien. Beachte, dass wir im Vergleichzu (1.12) die Bezeichnungen leicht verndert haben.

Nun benennen wir den Summationsindex in der ersten Summe von i nachk um, was natrlich nichts ndert. Ausserdem setzen wir unter den beidenanderen Summen die Basen (1.32) und (1.34) ein und erhalten dann

V =N

k=1

Vk(x)

ek =N

i,k=1

V i(z)

xk

ziek =

N

i,k=1

Vi(z)

zi

xkek . (1.36)

Beachte, dass sich hier alle Darstellungen auf die gleiche rechtwinklig kar-tesische Basis ek beziehen. Wir knnen also wegen ei ek = jk einen Ko-effizientenvergleich durchfhren.

bung 1.8 Beweise, dass gilt

V i(z)

=N

k=1

zi

xkV k(x)

Vi(z)

=N

k=1

xk

ziV k(x)

, (1.37)

sowie

V i(z)

=N

k=1

gikVk(z)

Vi(z)

=N

k=1

gikVk

(z). (1.38)

Die Gleichungen (1.37) geben an, wie Vektorkomponenten in lokalen Koor-dinatenlinien aus den entsprechenden Vektorkomponenten bezglich recht-winklig kartesischer Koordinatenlinien berechnet werden. Mittels der Glei-chungen (1.37) knnen wir kontravariante aus kovarianten Komponentenund umgekehrt berechnen.

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Der Ursprung der Bezeichnungen ko- und kontravariante Kom-ponenten. Erinnere die Formel (1.32), welche angibt, wie die lokale schief-winklige Basis {gi}i{1,2,...,N} aus der kartesischen Basis {ei}i{1,2,...,N} be-rechnet wird. Wenn wir nun diese Formel mit den entsprechenden Darstel-lungen (1.37) fr die Vektorkomponenten vergleichen, so beobachten wir:Die Komponenten Vi

(z)transformieren sich in gleicher Weise wie die Basis

gi. Die Komponenten V i(z)

aber transformieren sich bezglich dieser Basis in

entgegengesetzter Weise, m.a.W. mit der Inversen Transformation. Aus die-sem Grund werden die Komponenten Vi

(z)kovariante und die Komponenten

V i(z)

kontravariante Komponenenten genannt.

Summationskonvention. In vielen der bisher eingefhrten Beziehungentreten Einfach- bzw. Doppelsummen auf. Zur Vereinfachung der Schreib-weise ist es nun blich, die Summenzeichen einfach wegzulassen und fol-gende Regel einzufhren:

Fast jeder gebil-dete Laie kenntdie Relativitts-theorie. VieleExperten derKontinuums-mechanik aberkennen nur dieEINSTEINscheSummationskon-vention.

ber doppelt auftretende Indizes wird entsprechend der Dimension desbetrachteten Raumes summiert.

Dies ist die Summationskonvention, welche auf EINSTEIN zurckgeht. Bei-spielsweise definieren wir also

aikbk N

k=1

aikbk . (1.39)

In diesem Zusammenhang ist folgende Erkenntnis aus dem Bisherigen wich-tig: Handelt es sich bei der betrachteten Gre um Komponenten bezglicheiner rechtwinklig kartesischen Basis, ist es nicht wichtig, ob ein Index aneinem Symbol hoch gestellt ist oder rechts unten steht. Bezieht sich dieGre aber auf ein schiefwinkliges Basissystem, so ist es sehr relevant,wo ein Index steht. Denn aus der Indexstellung ersehen wir sogleich, obauf die Tangentialbasis {g1,g2, ...,gN} oder auf die zugeordnete Dualbasis{g1,g2, ...,gN} bezogen wird.Beispielsweise treten folgende Flle auf.

aik(x)

bk(x)

N

k=1

aik(x)

bk(x)

oder aik(z)

bk(z)

N

k=1

aik(z)

bk(z)

aki(z)

bk(z)

N

k=1

aki(z)

bk(z)

. (1.40)

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1.4 Der Begriff des Tensors m-ter Stufe

In diesem Abschnitt werden wir Tensoren m-ter Stufe einfhren. DieseObjekte haben eine kompliziertere Struktur als die N Tupel, aus denenwir Vektoren aufgebaut haben. Wir werden aber erkennen, dass VektorenTensoren 1. Stufe sind, whrend die noch genauer zu definierenden Skalarein diesem Zusammenhang Tensoren 0. Stufe sind.

Alternative Charakterisierung von Vektoren. Zunchst verallgemei-nern wir die Formeln (1.37). Wir fragen, wie sich Vektorkomponentenbei einem Wechsel der schiefwinkligen Koordinatenlinien {z1, z2, ..., zN}zu einem weiteren System schiefwinkliger Koordinatenlinien {z1, z2, ..., zN}transformieren. Wir gehen also aus von einer Transformation

zi = zi(z1, z2, ..., zN) zi = zi(z1, z2, ..., zN) fr i {1, 2, ..., N} ,(1.41)

und berechnen die Komponenten V i(z)

bzw. Vi(z)

.

bung 1.9 Beweise, dass gilt

V i(z)

= zi

zkV k(z)

Vi(z)

=zk

ziVk(z)

. (1.42)

Die Struktur der Formeln (1.42) hat sich also gegenber der Transformation(1.37) nicht gendert. Auerdem sind die transformierten Komponentenimmer homogene Linearkombinationen der ursprnglichen Komponenten.

Auch die Exakt-heit mathema-tischer Beweiseist relativ. Ja-cobi, in seinerEpoche nchstGau der bedeu-tendste deutscheMathematiker,behauptet: WennGau sagt, erhabe etwas bewie-sen, ist es mir sehrwahrscheinlich,wenn Cauchy essagt, ist eben-soviel pro undkontra zu wetten,wenn Dirichlet essagt, ist es gewi .

Dies impliziert, dass sich die Summationsregel (1.1) von Vektorkomponen-ten in z Koordinatenlinien bertrgt auf die Komponenten bezglich derKoordinatenlinien z. Dieser Tatbestand ermglicht eine neue Definition vonVekoren. Zur Vereinfachung der Schreibweise definieren wir vorab

J ij zi

zjJij

zi

zj. (1.43)

Nebenbei bemerkt haben die beiden Matrizen J und J einen Namen. Sieheien JACOBI Matrizen.

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Definition: Die beiden N -Tupel (A1, A2, ..., AN) und (A1, A2, ..., AN), be-stehend aus einwertigen Funktionen, d.h. {Ai}i{1,2,...,N}, {Ai}i{1,2,...,N} :x N , definieren einen Vektor A : x N N , wenn sich ihreKomponenten bei der Koordinatentransformation (1.41) transformierengem

Ai(z)

(z1, z2, ..., zN) = J ikAk

(z)(z1, z2, ..., zN) , (1.44)

Ai(z)

(z1, z2, ..., zN) = Jki Ak(z)

(z1, z2, ..., zN) . (1.45)

Bei dieser Definition von Vektoren treten die Basisvektoren nicht mehr ex-plizit auf. Nur die Koordinatenlinien sind noch prsent. Im Zusammenhangmit dieser Sichtweise hat sich ein Sprachgebrauch eingebrgert, der, obwohlnicht korrekt, sehr praktisch ist:

Wir sprechen bei Verwendung des N -Tupels (A1, A2, ..., AN) als Darstellungfr A von dem kontravarianten Vektor A. Verwenden wir dagegen fr Adas N -Tupel (A1, A2, ..., AN), so nennen wir A kovarianten Vektor.

Die Inkorrektheit liegt natrlich in der Tatsache begrndet, dass das ObjektA als solches weder kontra- noch kovariant ist. Diese Eigenschaften kommennur den Komponenten zu. Spter werden wir diesen Aspekt aber nocheinmal aufnehmen.

Der Begriff des Skalars, Skalarprodukt und metrischer Tensor.Im letzten Abschnitt haben wir gelernt, unter welchen Umstnden eineMenge von Funktionen, d.h. {Ai}i{1,2,...,N}, {Ai}i{1,2,...,N}, einen Vektorreprsentieren. Jetzt betrachten wir eine einzelne Funktion.

Definition: Eine einzelne einwertige Funktion f , d.h. f : x N ,heit Skalar, falls gilt

f(z)

(z1, z2, ..., zN) = f(z)

(z1, z2, ..., zN) . (1.46)

In diesem Zusammenhang ist folgende Beobachtung wichtig. Jede der NFunktionen Ai ist eine einwertige Funktion, d.h. Ai : x N , trotz-dem haben wir

A(z)

i(z1, z2, ..., zN) 6= A(z)

i(z1, z2, ..., zN) sondern stattdessen (1.47)

Ai(z)

(z1, z2, ..., zN) = J ikAk

(z)(z1, z2, ..., zN) . (1.48)

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Als nchstes betrachten wir wieder das Skalarprodukt. Zur Erinnerungschreiben wir es fr zwei gegebene Vektoren V und W in einer beliebi-gen Basis noch einmal auf.

V W = gijV iW j = gijViWj = V iWi = ViW i . (1.49)

Wir wissen bereits, wie sich die Vektoren V und W bei einer Transfor-mation der Koordinatenlinien gem (1.41) transformieren, und auch dasTransformationsverhalten der Metrik ist klar, denn deren Komponentensind nach (1.20) und (1.21) definiert durch gij gi gi und gij gi gi.

bung 1.10 Bestimme das Transformationsgesetz fr die Kom-ponenten der Metrik, und zeige, dass sich diese ge-m

gij(z)

= Jki Jljgkl(z)

gij

(z)

= J ikJjl g

kl

(z)

. (1.50)

transformieren. Beweise ferner die Regeln fr dasHerauf- und Herunterziehen von Indizes:

V i(z)

= gik

(z)

Vk(z)

Vi(z)

= gik(z)

V k(z)

. (1.51)

Und damit folgt, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren in obigem Sinnin die Klasse der Skalare gehrt. Diese Aussage wird durch eine einfacheRechnung besttigt, die allerdings dem Leser berlassen bleibt.

bung 1.11 Bilde die Determinante der kovarianten Kompo-nenten des Metriktensors und nenne sie g. Erinne-re, da die Berechnung einer Determinante eineZahl liefert. Trotzdem ist die Determinante keinSkalar ! Beweise diese Behauptung, und gib dasTransformationsgesetz fr g an.

Charakterisierung des Tensors m -ter Stufe auf der Basis von Ko-ordinatenlinien. Nach den soeben gegebenen Definitionen von Skalarenund Vektoren, die wir bereits als Tensoren 0 -ter bzw. 1 -ter Stufe eingestufthaben, geht es wie folgt weiter.

16

Definition: Die Matrizen (T ij)i,j{1,2,...,N}, (Tij)i,j{1,2,...,N},(T i j)i,j{1,2,...,N} und (Ti j)i,j{1,2,...,N}, der einwertigen FunktionenT ij, Tij, T

ij, T

ji : x N fr i {1, 2, ..., N}, definieren

einen Tensor 2 -ter Stufe T : x N N N , wenn sich ihreKomponenten bei der Koordinatentransformation (1.41) transformierengem

T ij(z)

(z1, z2, ..., zN) = J ik Jjl T

kl

(z)(z1, z2, ..., zN) , (1.52)

Tij(z)

(z1, z2, ..., zN) = Jki Jlj Tkl

(z)(z1, z2, ..., zN) , (1.53)

T i j(z)

(z1, z2, ..., zN) = J ik Jlj T

kl

(z)(z1, z2, ..., zN) , (1.54)

Tij

(z)(z1, z2, ..., zN) = Jki J

jl Tk

l

(z)(z1, z2, ..., zN) . (1.55)

Dieses Beispiel zeigt bereits, dass zur Klassifizierung der Komponenteneines Tensors neben seiner Stufe noch ein weiteres Unterscheidungsmerkmalangegeben werden muss. Dieses Merkmal nennen wir Typ.

Wir sagen: Die Darstellung eines Tensors m -ter Stufe ist vom Typ

(r, s) mit r + s = m , (1.56)

wenn r kontra- und s kovariante Indizes verwendet werden.

Der Tensor 2 -ter Stufe kann also durch vier verschiedene Komponenten-darstellungen charakterisiert werden. Bei Tensoren 3 -ter Stufe gibt es na-trlich noch mehr Variationen, was die Stellung der Indizes angeht. DasPrinzip ist aber klar, und deshalb verzichten wir auf deren explizite Anga-be.

Schlielich beobachten wir an den obigen Darstellungen, dass es auch wich-tig ist zu kennzeichnen, welcher Index ko- bzw. kontravariant ist. In (1.52)3ist der erste Index kontravariant und der zweite kovariant, in (1.52)4 ist esumgekehrt.

Sind beispielsweise die ersten r Indizes kontravariant und die hiernach fol-genden s Indizes alle kovariant, lautet das Transformationsgesetz, welchesgarantiert, dass die Menge der beteiligten einwertigen Funktionen einenTensor r + s = m -ter Stufe vom Typ (r, s) bilden

T(z)

i1 i2 i3...ir

j1 j2 j3...js

= J i1k1 Ji2k2

J i3k3 ....Jl1j1

Jl2j2 Jl3j3

... T(z)

k1 k2 k3...kr

l1 l2 l3...ls

.

(1.57)

17

Algebraische Operationen mit Tensoren. Da wir Tensoren mittels ein-wertiger Funktionen t : x N definiert haben, liegen die mglichenalgebraischen Operationen mit Tensoren bereits fest.

Die Addition der Komponenten zweier Tensoren von gleicher Stufe undgleichem Typ nach vorheriger Multiplikation mit reellen Zahlen , pro-duziert die Komponenten eines Tensors von gleicher Stufe und gleichemTyp. Beispiel:

Ai jk + Bi

jk = Ci

jk . (1.58)

Die Multiplikation der Komponenten zweier Tensoren der Stufen m und nund zugehriger Typen (r1, s1) und (r2, s2) produziert die Komponenteneines Tensors m + n -ter Stufe vom Typ (r1 + r2, s1 + s2). Beispiel:

Ai1 i2i3 Bj1j2

j3j4j5 = Ci1j1j2

i2i3j3j4j5 . (1.59)

Die Verjngung eines Tensors m -ter Stufe vom Typ (r, s) liefert einenTensor m 2 -ter Stufe vom Typ (r 1, s 1). Beispiel:

Ai ij = Bj . (1.60)

Das Wesentliche an den hier gegebenen Gleichungen ist, dass auf beidenSeiten des Gleichheitszeichens ausschlielich Tensoren im obigen Sinn auf-treten. Zur Verdeutlichung betrachten wir noch einmal zwei Beispiele:

Ai Bij = Cj sowie Ai Bij = Dj . (1.61)

Wir setzten voraus, dass A und B Tensoren sind. Dann sind die aus derProduktbildung und Verjngung resultierende Gren Cj die Komponen-ten eines Tensors, die Gren Dj aber sind keine Tensorkomponenten. BeiAnwendungungen knnen beide Bildungen auftreten. Whrend aber dieGleichung (1.61)1 eine objektive Aussage ist, d.h. sie gilt fr jedes Systemvon Koordinatenlinien, gilt die Gleichung (1.61)2 nur bezglich des Systemsvon Koordinatenlinien, in welchem sie aufgestellt wurde.

Charakterisierung des Tensors m -ter Stufe ohne Verwendung vonKoordinatenlinien. Im letzten Abschnitt haben wir das Objekt Tensorfr beliebige aber gegebene Koordinatenlinien eingefhrt. Hierbei habenwir, im Gegensatz zu unserem Vorgehen bei Vektoren, ausschlielich die Ei-genschaften der Komponenten eines Tensors charakterisiert. Darber hin-aus haben wir das System von Basisvektoren, welches den Raum aufspannt,in welchem der Tensor lebt, nicht definiert.

Der Tensor 2. Stufe lebt beispielsweise im Produktraum N N , unddieser wird aufgespannt durch N2 dyadische Produkte von Vektorbasen,nmlich {gi gj}i,j{1,2,...,N}.

18

Das Wesen von Produktrumen wird in der multilinearen Algebra studiert.Diese liefert ein System von Rechenregeln, welche es gestatten, Tensorennebst zugehrigen Tensorbasen unabhngig von den Koordinatenlinien ein-zufhren. Ein Tensor wird hier nicht ber sein Transformationsverhaltencharakterisiert, sondern als lineare Abbildung eingefhrt, die beispielsweiseVektoren in Vektoren oder auf Skalare abbildet.

Nach meiner subjektiven Meinung bringt dies, weder visuell anschaulichnoch rechentechnisch, irgendwelche Vorteile und wird deshalb unterdrckt.

bung 1.12 Besorge ein Buch, welches eine gegenteilige Mei-nung vertritt, und referiere etwa 15-20 Minutenber die Einfhrung von Tensoren 2 -ter und3 -ter Stufe ohne die Verwendung von Koordi-natenlinien. Zeige insbesondere, dass bei Akzep-tanz von Koordinatenlinien beide Vorgehenswei-sen equivalent sind. Beispielsweise knnten alsGrundlage die Kapitel 2.1.3 und 2.1.15 des Vorle-sungsskriptes Festigkeitslehre von A. Betram die-nen, welches unter der Adresse http://www.uni-magdeburg.de/ifme/festigkeit.html herunter gela-den werden kann. Die Bearbeitung dieser bung ist freiwillig. DieGruppe, welche allerdings das hier gegebene Pro-blem bearbeitet, erhlt hierfr die Gesamtpunkt-zahl der anderen bungen dieser Woche.

Das vollstndig antisymmetrische Symbol. Im Zusammenhang mitder Berechnung von Flchen und Volumina werden wir zwei weitere Pro-duktbildungen zwischen Vektoren bentigen, die Vektorprodukt und Spat-produkt heien.

Tullio Levi-Civitaund sein Leh-rer GregorioRicci- Curbastrobegrndetenvor 120 Jahrendie Form derTensoranalysis,wie sie in dieserVorlesung immernoch gelehrt wird.

Vor deren Einfhrung definieren wir zunchst das vollstndig antisymme-trische Symbol , welches auch LEVI-CIVITA Symbol genannt wird. Im

2 ist durch eine 22 Matrix definiert, nmlich

ij =

(

0 11 0

)

, (1.62)

19

und im 3 setzen wir fest

ijk =

1 falls ijk eine gerade Permutation von 123 ,1 falls ijk eine ungerade Permutation von 123 ,0 falls zwei Indizes gleich sind.

(1.63)Durch Analogieschlu erhalten wir auch das vollstndig antisymmetrischeSymbol in hheren Dimensionen, was wir aber hier nicht bentigen.

Wir betrachten nun fast ausschlielich den Fall des 3, wo auch die folgen-den sehr ntzlichen Formeln gelten, die sich leicht beweisen lassen.

ijkkrs = irjs isjr , ijkkjs = 2is , ijkkji = 6 . (1.64)

Vor seiner Anwendung zur Volumen- und Flchenberechnung studieren wirweitere Eigenschaften des Symbols etwas genauer.

Als erstes stellen wir die Frage, ob die Komponenten ijk die kontravari-anten Komponenten eines Tensors 3. Stufe sind. Zur Beantwortung bildenwir zunchst

J il Jjm J

kn

lmn (1.65)

und stellen fest, dass dieser Ausdruck vollstndig antisymmetrisch in denIndizes ijk ist. Folglich muss er proportional sein zu ijk. Zur Bestimmungder Proportionalittskonstanten whlen wir i = 1 j = 2 k = 3. Durch dieseWahl in (1.67) resultiert die bekannte Regel, nach welcher Determinantenvon 33 Matrizen berechnet werden.

J1l J2m J

3n

lmn = det(J ij) J . (1.66)

Wir schlieen, dass die Komponenten ijk fast die kontravariante Kompo-nenten eines Tensors sind, weil gilt

ijk =1

JJ il J

jm J

kn

lmn . (1.67)

Gren, die sich gem (1.67) transformieren haben auch einen Namen:Sie heien Tensordichten. Genauer sagen wir, dass das vollstndig anti-symmetrische Symbol eine Tensordichte 3. Stufe mit Gewicht W = 1 ist.Weitere Tensordichten werden wir noch kennenlernen.

Schlielich berechnen wir noch die kovarianten Komponenten des Sym-bols.

20

bung 1.13 Beweise den Zusammenhang

ijk = g ijk. (1.68)

Vektorprodukt und Spatprodukt. Die Grundbausteine zur Berech-nung beliebiger Flchen und Volumina im 3 sind die Trapezflche unddas Parallelepiped. Diese einfachen geometrischen Krper werden ber dasVektorprodukt und das Spatprodukt charakterisiert.

Abbildung 1.6: Vektorprodukt und Spatprodukt zur Berechnung der Tra-pezflche bzw. des Parallelepipeds.

Zunchst fhren wir im 3, und nur hier, das Vektorprodukt zweier Vekto-ren ein.

Definition: Das Vektorprodukt V zweier Vektoren A und B des 3

bezeichnen wir durchV A B . (1.69)

Seine Berechnungsvorschrift soll in rechtwinklig kartesischen Koordina-tenlinien lauten

V det

e1 e2 e3A1 A2 A3B1 B2 B3

. (1.70)

Die vier wesentlichen Eigenschaften des Vektorproduktes sind:

1. Der Betrag von V ist der Flcheninhalt der Flche, welche gem Ab-bildung 1.6 von den Vektoren A und B aufgespannt wird.

|V| = |A||B| sin((A,B)) . (1.71)

21

Zum Beweis berechnen wir

V V = (A B) (A B) (1.72)= ijkAjBk

ilmAlBm

= ijkilmAjBkAlBm

= jkiilmAjBkAlBm

= (jlkm jmkl)AjBkAlBm= (A A)(B B) (A B)2= |A|2|B|2 sin2((A,B)) .

2. V steht senkrecht auf dieser Flche, und zwar so, dass die drei Vek-toren A, B und V ein Rechtssystem bilden. Wir sprechen auch von derRechte- Hand-Regel. Die Behauptung lt sich leicht berprfen: Die berdie Indizes ij laufende Doppelsumme, welche in der folgenden Gleichung(1.73) auftritt, ergibt Null, da das symmetrische Produkt AiAj auf dasantisymmetrische Symbol trifft.

V A = ijkAiAjBk = 0 . (1.73)

Natrlich folgt ebenso V B = 0.3. Das Vektorprodukt ist nicht assoziativ und antikommutativ, d.h.

(A B) C 6= A (B C) A B = B A . (1.74)

4. Das Vektorprodukt kann als Vektordichte mit Gewicht -1 klassifiziertwerden. Deshalb gelten seine Eigenschaften in beliebigen Koordinatenlini-en, obwohl wir zunchst das Vektorprodukt nur mit Bezug auf kartesischeKoordinatenlinen definiert hatten.

bung 1.14 a.) Zeige, dass sich die Komponenten des Vektorpro-duktes V i = (A B)i transformieren gem

V i(z)

(z1, z2, ..., zN) =1

JJ ik V

k

(z)(z1, z2, ..., zN) . (1.75)

b.) Beweise die Identitten

A (B C) = B(A C) C(A B)(A B) C = B(A C) A(B C) . (1.76)

22

Definition: Das Spatprodukt S dreier Vektoren A, B und C des 3 istdefiniert durch

S = (A B) C . (1.77)

Es berechnet das Volumen des in Abbildung 1.6 gezeichneten Parallelepi-peds.

1.5 Ableitungen von Tensoren

Zur Aufstellung der Gesetze der Kontinuumsphysik sind Tensoren die ge-eigneten Gren, da Gleichungen zwischen Tensoren unabhngig von denzugrunde liegenden Koordinatenlinien sind. Bisher haben wir gelernt wiedurch algebraische Operationen aus Tensoren weitere Tensoren produziertwerden. In der Kontinuumstheorie bentigen wir aber auch partielle Ab-leitungen von Tensoren nach den Ortskoordinaten, und diese erzeugen imallgemeinen keine Tensoren, sondern Gren mit einem komplizierterenTransformationsverhalten. Das Ziel dieses Abschnittes ist die Einfhrungvon verallgemeinerten Ableitungen, die derart definiert werden, so da ausTensoren wieder Tensoren werden.

Im Folgenden werden wir ausschlielich Tensorfelder, das sind Funktionender Ortskoordinaten, von hinreichender Glattheit betrachen. Alle auftre-tenden Ableitungen sollen also ohne besondere Erwhnung bildbar sein.

Die Ableitung eines Skalarfeldes. Bei einem Wechsel der Koordinaten-linien z = (z1, z2, ..., zN) z = (z1, z2, ..., zN) gengt ein Skalarfeld S(z)der Regel:

S(z)

(z) = S(z)

(z) . (1.78)

Wir bilden auf beiden Seiten dieser Gleichung die partielle Ableitung nachirgendeiner Koordinate, z.B. zi und nach Anwendung der Kettenregel folgt

ziS(z)

(z) = J ji

zjS(z)

(z) . (1.79)

Die partiellen Ableitungen eines Skalars bilden die Komponenten einesVektors.

In unkorrekter Sprechweise sagen wir: Die partielle Ableitung eines Skalarsist ein kovarianter Vektor.

Die Ableitung eines Vektorfeldes. Wir betrachten einen Vektor mit

23

Zerlegung auf die Basis gj{1,2,...,N}. D.h.

V(z) = V j(z)gj(z) . (1.80)

Bei der Ableitung des Vektors V mssen wir nun beachten, dass nicht nurdie Komponente V j, sondern auch die Basis ortsabhngig ist. Wir bildenalso

ziV =

V j

zigj + V

j gjzi

(1.81)

Zur Identifizierung der Komponenten von zi

V zerlegen wir zunchst dieAbleitung der Basisvektoren nach der Basis gj{1,2,...,N}. Es ist klar, dassdie Komponenten dieser Ableitung durch Gren mit drei Indizes charak-terisiert sind. Wir schreiben die Komponentenzerlegung wie folgt:

gjzi

kijgk . (1.82)

Die Gren kij sind von eminenter Bedeutung und haben deshalb einenNamen bekommen. Sie heien CHRISTOFFEL-Symbole.

In dieser Vor-lesung be-schreiben dieCHRISTOFFEL-Symbole dieVariation einerBasis von Ortzu Ort. In derAllgemeinen

Relativittstheorie

allerdings kodie-ren sie die Krftedes Gravitations-feldes .

Durch skalare Multiplikation mit gl erhalten wir eine Berechnungsvorschriftfr die CHRISTOFFEL-Symbole, nmlich

lij = gl gj

zi. (1.83)

Als Folge der Definitionsgleichung (1.32) der Basis gj sind die CHRISTOFFEL-Symbole symmetrisch in den unteren Indizes.

In einer spteren bung werden wir sehen, dass die CHRISTOFFEL-Symbolenicht die Komponenten eines Tensors 3. Stufe vom Typ (1,2) sind.

Wenn wir zur Berechnung der Ableitung eines Vektorfeldes V(z) statt(1.80) die Zerlegung nach der Dualbasis gj{1,2,...,N} verwenden, mssenwir zunchst wieder deren Ableitung berechnen. Sie lautet

gj

zi= jikgk . (1.84)

bung 1.15 Beweise die Komponentenzerlegung (1.84) .

Die Ableitung eines Vektors nach den Koordinaten kann somit durch zweiAlternativformeln dargestellt werden.

ziV = (

V j

zi+ jikV

k)gj = (Vjzi

kijVk)gj . (1.85)

24

Die hier als Komponenten auftretenden Kombinationen sind die Kompo-nenten eines Vektors. Sie heien kovariante Ableitungen eines Vektors undwerden durch ein Semikolon abgekrzt.

Die kovarianten Ableitungen der Komponenten eines Vektors sind defi-niert durch

Aj;i V j

zi+ jikV

k und Aj;i Vjzi

kijVk , (1.86)

und bilden Tensoren 2. Stufe der Typen (1,1) bzw. (0,2).

Diese Behauptung beweisen wir in der folgenden bung.

bung 1.16 a.) Fhre einen Wechsel der Koordinatenlinien von znach z durch und schreibe die Transformationsglei-chung der kontravarianten Komponenten eines VektorsV auf. Bilde auf beiden Seiten der Gleichung die Ab-leitungen nach den Koordinaten. Zeige, entsprechendder Vorgehensweise beim Skalarfeld, dass diese Ablei-tungen nicht die Komponenten eines Tensors 2. Stufevom Typ (1,1) sind.b.) Berechne das Transformationsgesetz derCHRISTOFFEL-Symbole, welches lautet

ijk(z)

= J im Jnk J

lj

mln

(z)

+ J il2zl

zj zk. (1.87)

Erlutere das Resultat.c.) Zeige, dass die kovarianten Ableitungen eines Vek-tors die Komponenten eines Tensors 2. Stufe sind.

Es gibt eine zu (1.83) alternative Berechnungsformel der CHRISTOFFEL-Symbole. Fr manche Anwendungen und insbesondere fr Diskussionen istdiese gnstiger. Die Alternativformel lautet

mij =1

2gml(

gilzj

+gjlzi

gijzl

) . (1.88)

Zum Beweis von (1.88) starten wir mit (1.83) und bilden auf beiden Seitendas Skalarprodukt mit dem Vektor gl. Das erhaltene Resultat schreibennoch einmal auf, aber mit Vertauschung der Indizes i und l. Nach Addi-tion beider Gleichungen folgt (1.89)1 sowie zwei weitere Ausdrcke nach

25

Vertauschung von i mit l bzw. von j mit l.

gilzj

= kijgkl+kljgki

gjlzi

= kijgkl+kligkj

gijzl

= kilgkj+kljgki . (1.89)

Jetzt addieren wir die drei Gleichungen, wodurch auf der rechten Seite nurein Term berlebt. Nach Multiplikation mit glm folgt dann die Behauptung.

Die Ableitung der Komponenten eines Tensors 2. Stufe. Bei derAbleitung eines Skalarfeldes sowie in bung 1.16 haben wir eine Methodekennen gelernt, mittels der wir auch kovariante Ableitungen der Kompo-nenten eines Tensors 2.Stufe erzeugen knnen.

Die kovarianten Ableitungen der vier verschiedenen Komponenten einesTensors 2.Stufe sind definiert gem

T ij;k T ij

zk+ iklT

lj + jklTil , (1.90)

Tij;k Tijzk

lkiTlj lkjTil , (1.91)

T ij;k T ijzk

+ iklTl

j lkjT i l , (1.92)

T ji;k T jizk

lkiT jl + jklTi

l . (1.93)

Sie sind Komponenten der Typen (2,1), (0,3) und (1,2) eines Tensors 3.Stufe.

Der Beweis dieser Behauptung bringt nichts neues und wird darum unter-drckt.

Die Ableitung der Komponenten eines Tensors m-ter Stufe. Wiees mit einem Tensor hherer als 2. Stufe weitergeht ist klar.

1. Die kovariante Ableitung seiner Komponenten setzt sich additiv zusam-men aus der gewhnlichen partiellen Ableitung, sowie aus Korrekturter-men, welche erzwingen, dass die kovariante Ableitung der Komponenteeines Tensors m-ter Stufe einen Tensor (m+1)-ter Stufe erzeugt.

2. Wie beim Tensor 2. Stufe gibt es fr jeden Index einen Korrekturterm,dessen Struktur leicht aus den Formeln (1.90) heraus gelesen werden kann.

3. Ein oberer Index erzeugt einen Term mit positivem Vorzeichen, ein un-terer Index impliziert ein negatives Vorzeichen.

Rechenregeln fr kovariante Ableitungen. Obwohl kovariante Ablei-tungen aus gewhnlichen Ableitungen plus algebraischen Termen bestehen,

26

gelten viele Regeln, die auch fr gewhnliche Ableitungen bestehen.

1.Die kovariante Ableitung ist eine homogene und lineare Operation. D.h.,dass beispielsweise fr zwei Zahlen , und zwei Tensorkomponenten 3.Stufe Aijk, B

ijk gilt

(Aijk + Bijk);l = A

ijk;l + B

ijk;l . (1.94)

2. Es gilt die Produktregel, beispielsweise

(Aijk Brst);l = A

ijk;l B

rst + A

ijk B

rst;l . (1.95)

3. Die Verjngung ist mit einer kovarianten Ableitung vertauschbar, bei-spielsweise

Aijk;l |fr i=j = Ajjk;l . (1.96)

4. Allerdings, die SCHWARZsche-Regel gilt nicht, d.h. im allgemeinen ha-ben wir

Aijk;l;m 6= Aijk;m;l , (1.97)

was wir demnchst noch genauer diskutieren werden.

Verschiebung von Vektoren lngs einer Kurve. Wir gehen aus von ir-genwelchen Koordinatenlinien z = (z1, z2, ..., zN) und geben uns auf diesemNetz eine Kurve C vor, die wir durch einen Parameter charakterisieren.

Wichtigstes undtrivialstes inder Mathema-tik wurde vonHermann Aman-dus SCHWARZmit gleicherGrndlichkeitbearbeitet. EineCharakterei-genschaft, dievermutlich vielenMathematikern zuEigen ist.

Wir schreiben

C : zi = zi() fr i {1, 2, ..., N} . (1.98)

Beipielsweise knnen wir = s setzen, wo s die Bodenlnge auf C ist,bezogen auf einen beliebigen Anfangspunkt.

Als nchstes betrachten wir eine Vektorfunktion V() V(z()) auf Cund interessieren uns fr die Ableitung des Vektors lngs C. Ihre Berech-nung ist nach dem Vorhergehenden sehr einfach. Mittels V = V igi, derKettenregel und (1.85)1 bilden wir

dV()

d=

V(z)

zjdzj

d= (

dV i()

d+ ijkV

j dzk

d)gi . (1.99)

Hufig ist in Anwendungen eine Parallelverschiebung eines Vektors lngseiner gegebenen Kurve C durchzufhren.

27

Abbildung 1.7: Verschiebung eines Vektors lngs einer gegebenen Kurve.

Definition: Ein Vektor V heit parallelverschoben zwischen zwei Punk-ten P1 und P2 auf einer Kurve C, falls fr alle [P1, P2] gilt

dA()

d= 0 . (1.100)

In den nchsten bungen machen wir uns mit der anschaulichen Bedeu-tung dieser Definition vertraut. Zur Vorbereitung berechnen wir zunchstdie CHRISTOFFEL-Symbole fr ein Netz von Koordinatenlinien, welchesdurch Kugelkoordinaten im Raum 3 generiert wird.

bung 1.17 a.) Berechne die Komponenten des Metrik-Tensors unddie CHRISTOFFEL-Symbole im Raum 3 fr Kugel-koordinaten z = (r, , ), welche mit den rechtwinkligkartesischen Koordinatenlinien x = (x1, x2, x3) ber dieFormeln

x1 = r cos() sin() x2 = r sin() sin() x3 = r cos()(1.101)

zusammenhngen.b.) Spezialisiere die Formeln fr den Fall, das eine Ebe-ne vorliegt.

28

bung 1.18 Betrachte in der Ebene eine KurveC : x() = (x1 = 2, x2 = ).

Am Ort = 0 ist ein Vektor V(0) = (1, 1/2) mit Bezugauf kartesische Koordinatenlinien gegeben. Verwen-de nun zur Beschreibung der Koordinaten der EbenePolar-Koordinatenlinien. Fhre eine Parallelverschie-bung von V auf C zum Punkt = 3 durch.a.) Bestimme grafisch die Komponenten von V(3) be-zglich der durch das Polarnetz generierten Tangen-tenbasis gi{1,2}.b.) Fhre das gleiche Programm durch Auswertung derGleichung

dV i()

d= ijkV j

dzk

d(1.102)

durch, und erlutere ausfhrlich die Vorgehensweise.

bung 1.19 Ein Flugzeug fliegt in konstanter Hhe von Peking (P ) nachVancouver (V ). blicherweise nimmt der Pilot die Route entlangeines Grokreises, welcher die Punkte P und V verbindet.a.) Was ist ein Grokreis?b.) Wie lt sich im Prinzip die Gleichung des Grokreises mitden Hilfsmitteln dieser Vorlesung berechnen?

Aus: Thorne, Misner, Wheeler Gravitation, 1978.c.) Beschreibe, wie sich die Flugroute im Koordinatennetz derLngen- und Breitenkreise der Erde gestaltet. Entweder reinverbal oder mit Gleichungen aus der Vorlesung.d.) Illustriere Teile der Lsung in der Abbildung.e.) Ist die Flugbewegung eine Folge von Parallelverschiebungen?

29

Die Operatoren grad, div und rot. Gewisse Kombinationen von par-tiellen Ableitungen nach den Koordinaten treten hufig auf und habenteilweise eine anschauliche Bedeutung. Fr diese Kombinationen sind des-halb besondere Symbole und Namen eingefhrt worden. Die Bedeutung derNamen wird uns in den spteren Anwendungen klar werden.

Wir beginnen mit der Definition des Nabla-Symbols, welches die N parti-ellen Ableitungen zu einem Vektor vereinigt. Im Folgenden verwenden wirzunchst ausschlielich rechtwinklig kartesische Koordinatenlinien.

ei

xi. (1.103)

wird angewendet auf Skalare, Vektoren und Tensoren. Falls die beidenletzteren Objekte durch Komponenten dargestellt werden, haben wir zumBeispiel

S(x) = eiS(x)

xiV j(x) = ei

V j(x)

xiT jk(x) = ei

T jk(x)

xi.

(1.104)Wird das -Symbol auf einen Skalar angewandt, wird die Bezeichung Gra-dient grad eingefhrt.Wir beobachteten, dass durch Anwendung des -Symbols kovariante Vek-torkomponenten, gemischte Tensorkomponenten 2. Stufe bzw. gemischteTensorkomponenten 3. Stufe enstehen.

Als nchstes betrachten wir das Skalarprodukt des Nabla-Symbols mitVektoren bzw. Tensoren. Diese Operation erhlt die Bezeichung Diver-genz div.Fr Vektoren V entsteht natrlich

div V V = Vi

xi. (1.105)

Bei Anwendung der Operation div auf Tensoren 2. oder hherer Stufe be-ntigen wir noch die Zusatzinformation mit welchem der Tensorindizes dieentstehende Verjngung stattfinden soll. Wir vereinbaren, dass es der ersteIndex sein soll. D.h.

div T T = (Tijk...

xi)j,k,...{1,2,3,...,N} . (1.106)

Schlielich ist auch das Vektorprodukt des Nabla-Symbols mit Vektoreninteressant. Im 3 heit die Operation Rotation rot, und die Operation

30

ist definiert wie folgt

rot V V = (ijk Vk

xj)i{1,2,3} . (1.107)

Die Wirkung des -Symbols lt sich leicht auf beliebige Koordinatenli-nien bertragen, da sein Transformationsverhalten sowie das der andereninvolvierten Gren festliegen.

Definition des Nabla -Symbols: In beliebigen Koordinatenlinien defi-nieren wir

() gi();i , (1.108)wobei der Punkt fr die Komponenten eines Tensors m- ter Stufe steht.Folgerungen:1. Bei einem Wechsel auf beliebige Koordinatenlinien folgt

() = ei xi

() = gi();i . (1.109)

2. Die Anwendung des -Symbols auf kontravarianten Komponententransformiert sich gem

(T(x)

ijk...) =xi

zmxj

znxk

zl (T

(z)

mnl...) . (1.110)

3. Fr Tensorkomponenten vom Typ (r,s) gilt entsprechendes. Beispiels-weise

(T(x)

ijk...) =xi

zmzn

xjzl

xk (Tm...nl

(z)

) . (1.111)

4. Die Divergenzbildung in Form einer Verjngung lautet

xi(T(x)

ijk...) =xj

znxk

zl (T

(z)

mnl...);m . (1.112)

5. Die Operation rot ist nur fr Vektoren erklrt. Es gilt

rot(x)

iV =xi

zl(lmn

gVn;m

(z)

) . (1.113)

Nebenbemerkung: Die Verallgemeinerung der Operation rot auf Tensorensowie auf hhere Raumdimensionen ist nur von Interesse, wenn die Ten-soren vollstndig antisymmetrisch sind. Der bekannteste Fall betrifft das

31

elektromagnetische Feld, welches durch einen antisymmetrischen Tensor 2.Stufe reprsentiert wird. In dieser Vorlesung werden wir uns aber hiermitnicht befassen.

Im Folgenden diskutieren wir kurz gefate Beweise zu den fnf Behaup-tungen.

Zu 1. Die Gleichung (1.109) fhrt fr z = x zu einer Identitt, denn be-zglich x- Koordinatenlinien sind die Christoffelsysmbole ijk = 0, und diekovariante Ableitung reduziert sich auf eine partielle Ableitung. Nun istaber leicht nachzuprfen, dass das -Symbol ein Vektor ist. Also gilt dieAussage fr beliebige Koordinatenlinien.

Zu 2. Wir beweisen die Gleichung (1.111) fr einen Vektor V. Die bertra-gung auf Tensoren hherer Stufe ergibt sich dann von selbst. Wir startenmit dem Transformationsgesetz V

(x)

k = Jki V(z)

i fr die Komponenten von V

und rechnen wie folgt:

ei

xiV(x)

k = gj

zj(Jki V

(z)

i) (1.114)

= Jki gj

zjV(z)

i + V(z)

igj

zjxk

zi

=xk

zigj

zjV(z)

i + V(z)

igjxk

zmmij

=xk

zigj(

zjV(z)

i + inj V(z)

n) =xk

zigjV i;j

(z)

.

Zu 3. Zum Beweis der Gleichung (1.112) verwenden wir einfach die Regelvom Herauf- und Herunterziehen von Indizes mit den Komponenten desmetrischen Tensors. Dieser kann aus Ableitungen herausgezogen werden,denn es gilt

gij;k 0 und gij ;k 0 . (1.115)

Diese wichtigen Identitten beweisen wir durch Anwendung der Formeln(1.90) und (1.91) auf gij bzw. gij. Wenn wir danach die Darstellung derCHRISTOFFEL-Symbole (1.88) einsetzen, erkennen wir unmittelbar dieRichtigkeit der Behauptungen (1.118).

Zu 4. Eine Verjngung von (1.109) liefert sofort die Divergenz (1.112).

Zu 5. Zur Demonstration der Einfacheit der Rechnungen in diesem Kon-text, geben wir auch hier die einzelnen Schritte noch einmal an, die zu(1.113) fhren. Wir berlassen es aber dem Leser, die aus frheren Ab-

32

schnitten verwendeten Beziehungen zu identifizieren.

( V)i = ijk xj

V(x)

k (1.116)

=1

det(xz

)

xi

zlxj

zmxk

znlmn

zo

xj

zo(xk

zpV(z)

p)

=1g

xi

zllmngnpV

p;o

(z)

=xi

zl

(

lmng

Vn ;o(z)

)

.

Damit haben wir die fnf Behauptungen bewiesen.

Im Zusammenhang mit der Divergenzbildung gibt es noch eine Alterna-tivdarstellung. Zumindest fr Vektoren ist diese sehr ntzlich. Es gilt

divV V n;n =1g

g V n

zn. (1.117)

Diese Formel folgt aus der Identitt

nin =1g

g

zi. (1.118)

bung 1.20 a.) Beweise die Formel (1.118) und erlutere die sichhieraus ergebende Formel (1.117) .b.) Diskutiere die entsprechende Divergenzbildung beiTensoren 2. Stufe.

Lokale orthogonale Basen. Hufig treten bei Anwendungen lokale Basenauf, die durch orthogonale Basisvektoren generiert werden. In diesem Fallhat der metrische Tensor eine Diagonalstruktur, d.h. beispielsweise im 3

gij =

h21 0 00 h22 00 0 h23

und gij =

h21 0 00 h22 00 0 h23

. (1.119)

In diesem Kontext ist es sinnvoll physikalische Komponenten von Tensoreneinzufhren.

Beachte: In diesem Abschnitt wird die Summationskonvention nicht ver-wendet!

Definition: Die Gren

T < ijk.. > hihjhk T ijk... = hihjhk Tijk... (1.120)

33

heien physikalische Komponenten des Tensors T.

Die physikalischen Komponenten sind deshalb ntzlich, weil sie sich aufBasisvektoren mit der Lnge 1 beziehen.

Im Zusammenhang mit Skalaren und Vektoren im 3 sind folgende leichteinzusehende Relationen ntzlich.

1. Das Skalarprodukt:

V W = V < 1 > W < 1 > +V < 2 > W < 2 > +V < 3 > W < 3 > .(1.121)

2. Der Gradient:

(grad S) < i >=1

hi

S

zi. (1.122)

3. Die Divergenz:

divV 3

i=1

V i;i =1g

3

i=1

gV i

zi(1.123)

=1

h1h2h3(h2h3V < 1 >

z1+

h1h3V < 2 >

z2+

h2h1V < 3 >

z3) .

Auf die Frage Na-poleons, warum inseinem berhm-testen Werk, DieHimmelsmecha-

nik, Gott nichteinmal erwhntwird, antworteteLAPLACE: Ichbedurfte dieserHypthese nicht.Als NapoleonsInnenministerkonnte LAPLACEallerdings nichtressieren, da erden Geist desunendlich Kleinenin die Verwaltunghineingetragenhatte.

4. Die Rotation:

1

hi(rotV) < i >

3

j,k=1

ijkgVk;j =

3

j,k=1

ijk

h1h2h3

hkV < k >

zj.(1.124)

bung 1.21 Beweise die Formel (1.124) und zeige ausfhrlich,warum hier die kovariante Ableitung durch eine par-tielle Ableitung ersetzt werden darf.

Der LAPLACE-Operator. Schlielich betrachten wir noch eine speziel-le zweite Ableitung von Skalaren und Vektoren, welche einen besonderenNamen bekommen hat.

In rechtwinklig kartesischen Koordinaten heit die Operation

(x)

() 2

xixi(1.125)

LAPLACE-Operator.

34

Sei f : x 3 ein Skalar, d.h. f(x)

= f(z)

f(z), dann gilt in schief-

winkligen Koordinatenlinien

(x)

( f(x)

) =1g

zi(

ggij

zjf) . (1.126)

Zum Beweis von (1.126) gehen wir wie folgt vor:

(x)

( f(x)

) =

xi(

xif(x)

) mit V i(x)

xi

f(x)

und V i = gij

zjf(1.127)

= V i;i =1g

zi(

g V i) =1g

zi(

ggij

zjf) .

In einer orthogonalen Basis im 3 wird hieraus

(x)

f(x)

=1

h1h2h3

(

z1(h2h3h1

f

z1) +

z2(h1h3h2

f

z2) +

z3(h1h2h3

f

z3)

)

.

(1.128)

Als nchstes wenden wir den LAPLACE-Operator auf ein Vektorfeld V =V(x)

iei = Vigi an.

Die Beziehungen zwischen den Darstellungen in rechtwinklig kartesischenund krummlinigen Koordinatenlinien lauten in diesem Fall

(x)

V(x)

i =xi

zj(z)

V j , wobei (z)

V j gkl(V j;k);l (1.129)

die Wirkung des LAPLACE-Operators auf einen Vektor in krummlinigenKoordinatenlinien angibt.

bung 1.22 Beweise die Formel (1.129). Hilfe: Fhre dieCHRISTOFFEL-Symbole ein mittels der beidenIdentitten

2xi

zjzk=

xi

zlljk und

2zi

xjxk= z

l

xizm

xjilm .

(1.130)

35

bung 1.23 a.) In Kugelkoordinaten sei eine Funktion f(r) gege-ben, welche nur von der radialen Koordinate abhngt.Zeige, dass gilt

(x)

f(x)

=2f

r2+

2

r

f

r. (1.131)

b.) Betrachte nun ein Vektorfeld u in Kugelkoordi-naten, welches nur eine Radialkomponente u(r) be-sitzt. D. h., der Vektor u hat die Komponenten u =(u(r), 0, 0). Berechne die zu Teil a.) entsprechendeFormel.

36

Kapitel 2

Volumen-, Flchen- und

Linienintegrale

2.1 Ziele

Masse, Impuls und Energie eines Krpers 3 werden durch Integraleber sein Volumen dargestellt. Greifen an der Oberflche dieses KrpersKrfte an, oder wird dem Krper durch seine Oberflche Wrme zugefhrt,so wird dies durch Flchenintegrale ber beschrieben. Ein Krper kannauch durch eine innere Flche I in zwei Teile mit unterschiedlichen Eigen-schaften geteilt sein. Beispielsweise trennt I eine flssige von einer festenPhase. Der Rand von I ist eine Linie I und mgliche Flsse ber diesenRand ins Innere des Krpers beschreiben wir durch Linienintegrale berI. In diesem Kapitel studieren wir die Beziehungen zwischen Volumen-,Flchen- und Linienintegralen sowie Zeitableitungen dieser Objekte.

2.2 Der Integralsatz von Gau

Wir betrachten ein Gebiet im Punktraum 3. Dessen Oberflche be-zeichnen wir mit . In jedem Punkt x auf sei ein Normalenvektor

n(x) = (n1, n2, n3) mit |n(x)| = 1 (2.1)definiert, welcher nach Auen zeigen soll. Mit Bezug auf rechtwinklig karte-sische Koordinatenlinien erfllen wir die Normalisierungsbedingung (2.1)2durch die Darstellung

n = (cos (n, x1), cos (n, x2), cos (n, x3)) = (cos , cos , cos ) . (2.2)

37

Fr eine glatte Funktion f : x gelten die dreiIdentitten:

f

xidV =

fni da fr i {1, 2, 3} . (2.3)

Abbildung 2.1: Volumen im 3 mit Projektion auf die x1, x2 Ebene.

Anhand der Abbildung 2.1 beweisen wir nur den Fall i = 3. Die beiden an-deren Richtungen sind analog zu behandeln. Die folgenden Schritte setzendie Projektion von auf die x1, x2 Ebene formelmig um.

f

x3dx1dx2dx3 =

A(x1,x2)

dx1dx2x3=zo(x1,x2)

x3=zu(x1,x2)

f

x3dx3 (2.4)

=

A(x1,x2)

dx1dx2(f(x1, x2, z0) f(x1, x2, zu))

=

o

f cos()da +

u

f cos()da .

Die Einfhrung des Winkels , d.h. den Zusammenhang zwischen dem

38

Flchenelement da und den Koordinatendifferenzen dx1dx2 machen wiruns in Abbildung 2.2 klar.

Abbildung 2.2: Flchenelement auf o.

Die linke Seite der Abbildung zeigt ein ebenes Flchenelement mit Flchen-inhalt da, dessen Richtung beschrieben wird durch einen Normalenvektor,der mit der x3 -Achse den Winkel und mit der (nichtgezeichneten) x1

-Achse den Winkel /2 bildet. Die rechte Seite der Abbildung zeigt dieApproximation eines Teiles von o durch das ebene Flchenelement. Diefolgende Beziehung (2.6)1 lesen wir aus Abbildung 2.2 ab. Die Beziehung(2.6)2 folgt durch eine entsprechende Betrachtung fr u.

dx1dx2 = cos()da auf o , dx1dx2 = cos()da auf u .

(2.5)

Napoleon unter-sagte den Be-schu Gttingens,als ihm gesagtwurde, dass Gausshier lebt undarbeitet.

Als nchstes betrachten einen Vektor F : x 3, d.h. F(x) =(F 1(x), F 2(x), F 3(x)). Nun wenden wir auf jede Komponente von F dieIdentitt (2.11) an, und addieren die drei resultierenden Identitten auf.Es ensteht eine neue Identitt.

Integralsatz von Gau fr Vektoren:

div(F)dV =

F n da . (2.6)

Entsprechendes gilt natrlich auch im N und fr Tensoren hherer StufeT = (T ij)i,j{1,2,...,N}. Wir geben das Resultat in Komponentendarstellungan.

39

Integralsatz von Gau fr Tensoren:

T ijk...

xidV =

T ijk...ni da . (2.7)

Die bertragung von kartesischen auf krummlinige Koordinatenlinien istnach den Regeln von Kapitel 1 durchzufhren und ist Gegenstand der fol-genden bung.

bung 2.1 a.) Berechne die Transformationsgesetze fr das Volu-menelement dV sowie fr das Flchenelement da beimWechsel x z von kartesischen auf krummlinige Koor-dinatenlinien. Hilfe: Verwende zur Darstellung von dVbzw. da das Spat- bzw. das Vektorprodukt.b.) Stelle den Integralsatz von Gau in krummlinigenKoordinatenlinien auf.

Eine Anwendung des Integralsatzes von Gau wird durch das folgendeBeispiel gegeben.

Wir betrachten einen mit Wasser gefllten Behlter. Bekanntlich nimmtder Druck p mit der Wassertiefe z gem dem Gesetz

p(z) = p0 wgz (2.8)

zu. Hier ist p0 der Druck an der Wasseroberflche, d.h. bei z = 0, w ist diekonstante Dichte von Wasser, und g = 9.81 m/s2 ist die Erdbeschelunigung.

Ein in Wasser ruhender Krper mit dem Volumen V und der Dichte erfhrt unter Wasser zwei Krfte: 1. Die Gewichtskraft, welche in jedemPunkt des Inneren von angreift. 2. Die vom Wasser auf die Oberflcheausgebte Druckkraft, welche normal auf der Oberflche steht. Die Sum-me beider Krfte ergibt die Auftriebskraft K. Dieser Sachverhalt lautet inmathematischer Formulierung

K = V g

001

+

p(z)nda . (2.9)

40

Abbildung 2.3: Ein Krper erfhrt unter Wasser die Auftriebskraft K.

bung 2.2 Berechne die Kraft auf einen in Wasser ruhenden Kr-per. Zeige, dass gilt

K = (w )gV

001

. (2.10)

a.) Berechne die Kraft auf einen Krper von der Gestalteines Quaders durch direkte Auswertung des Integralsin (2.9).b.) Berechne die Kraft auf einen Krper von beliebi-ger Gestalt. Hilfe: Verwende hier den Integralsatz vonGau . Beachte, dass diese Anwendung nicht trivial ist,und sehr sorgfltig durchgefhrt werden muss.

2.3 Der Integralsatz von Stokes

Whrend der Integralsatz von Gau aus einem Volumenintegral ein Fl-chenintegral macht, verwandelt der Integralsatz von Stokes ein speziellesIntegral ber eine Flche A in ein Linienintegral ber eine die Flche be-grenzende Randkurve A.

Wir parametrisieren A durch die Bogenlnge s, und fhren einen Vektor ein, welcher in jedem Punkt der Randkurve A die Tangente von Aangibt. In dieser Vorlesung bentigen wir den Integralsatz von Stokes nur

41

fr Vektoren F : x 3 3. Wie hier immer vorausgesetzt wird, mssendie auftretenden Ableitungen im klassischen Sinn bildbar sein.

Abbildung 2.4: Geometrisches Objekt im Kontext des Integralsatzes vonStokes.

Integralsatz von Stokes im 3:

A

rot(F) n da =

A

F l ds , (2.11)

wobei l ein Einheitsvektor tangential zur Kurve A ist.

G.S.Der Beweis dieser Identitt startet mit einer Zerlegung der Flche aus Ab-bildung 2.4 in kleine Zellen. Die Integrale ber diese Zellen werden dannvermittels hnlicher Argumente ausgewertet, die im letzten Abschnitt zumIntegralsatz von Gau fhrten. Wir verzichten auf die Einzelheiten.

42

2.4 Das Reynoldssche Transporttheorem fr

Volumenintegrale

Wir betrachten ein zeitabhngiges Gebiet (t) 3 mit dem Rand (t).Die uere Normale ist durch eine Funktion n : (t,x) [0,) 3 3charakterisiert. Die Geschwindigkeit der Punkte im Inneren und auf demRand des Gebietes (t) soll gem w : (t,x) [0,) 3 3 gegebensein.

In (t) soll es eine glatte Funktion f : (t,x) [0,) 3 geben.Wir bilden

(t)f(t,x)dV und interessieren uns fr die Zeitableitung des

Integrals. Beachte, dass die Zeit in dem zu differenzierenden Integral anzwei Stellen auftritt: Im Integranden und in den Integralgrenzen.

Es gilt das

Reynoldssches Transporttheorem:

d

dt

(t)

f(t,x)dV

(t)

f(t,x)

tdV +

(t)

f(t,x)w(t,x)n(t,x) da . (2.12)

O.R.Den Beweis dieses Theorems beginnen wir mit einer Betrachtung des Ge-bietes zur Zeit t0. Zur Angabe der Lage der Punkte von (t0) verwen-den wir rechtwinklig kartesische Koordinatenlinien und fhren Ortsvekto-ren x0 ein. Aufgrund eines gegebenen Geschwindigkeitsfeldes w befindensich die Punkte des zeitabhngigen Gebietes (t) zur Zeit t an den Ortenx = x(t,x0). Hierbei sind die Funktionen x(t,x0) Lsungen eines Systems

43

gewhnlicher Differentialgleichungen. Dieses lautet

d

dtx(t,x0) = w(t, x(t,x0)) mit der Anfangsbedingung x(0,x0) = x0 .

(2.13)

Abbildung 2.5: Geometrisches Objekt im Kontext des Integralsatzes vonStokes.

Vermittels der Funktionen x transformieren wir nun das Gebiet (t) aufdas Gebiet (t0):

(t)

f(t,x)dV =

(t0)

f(t,x0)J(t,x0)dV0 . (2.14)

Hierbei haben wir definiert

f(t,x0) f(t, x(t,x0)) J(t,x0) det(xi

xj0) . (2.15)

Die Richtigkeit der Identitt (2.14) folgt unmittelbar aus dem Resultat derbung 2.1a.

Nach Rckfhrung des zeitabhngigen Gebietes (t) auf ein festes Gebiet(t0) haben wir nur noch ein Integral mit festen Grenzen zu differenzieren.Dies geschieht nach den bekannten Regeln.

d

dt

(t)

f(t,x)dV =d

dt

(t0)

f(t,x0)J(t,x0)dV0 =

(t0)

(f

tJ + f

J

t)dV0 .

(2.16)

44

Um das letzte Integral in (2.16) wieder auf das Gebiet (t) zu transformie-ren, bentigen wir Ausdrcke fr die beiden Zeitableitungen. Diese werdenin der folgenden bung erarbeitet.

bung 2.3 a.) Beweise, dass gilt

J(t,x0)

t= div(w(t,x))J(t,x0) . (2.17)

b.) Beweise die sogenannte Reisegleichung

f(t,x0)

t=

f(t,x)

t+ w(t,x) (f(t,x)) . (2.18)

c.) Erlutere den Sinn der Namensgebung an einemBeispiel aus der Alltagswelt.

Mit (2.17) und (2.18) wird (2.16) zu

d

dt

(t)

f(t,x)dV =

(t)

(f

t+ div(fw))(t,x)dV . (2.19)

Nach Anwendung des Integralsatzes von Gau auf das zweite Integral folgtdas Reynoldssche Transporttheorem in der Form (2.12).

2.5 Der Satz von GAUSS und das Transport-

theorem fr Flchenintegrale

In physikalischen Krpern knnen Flchen auftreten, an denen sich gewisseGren der Mechanik bzw. Thermodynamik unstetig ndern, falls wir voneiner auf die andere Seite der Flche wechseln. Eine derartige Flche wirdsingulre Flche genannt. Hufig tritt der Fall auf, dass eine singulreFlche andere Materialeigenschaften als die beiden angrenzenden Krperhat.

Wir geben zwei Beispiele an:

1. Grenzflchen zwischen verschiedenen Materialien. Hierzu gehren dieTrennflche zwischen l und Wasser, wo sich die Massendichte sprungartigndert. Oder ein Bimetallstreifen, welcher aus zusammengeklebten Metal-len mit unterschiedlichen thermischen Ausdehnungskoeffizienten besteht.

45

An der Grenzflche zwischen den beiden Metallen ndert sich beispielswei-se die Tangentialkomponente der mechanischen Spannung unstetig.

Tropfenverteilungin feuchter Luft.

2. Grenzflchen zwischen zwei verschiedenen Phasen eines Krpers. Einbekanntes Beispiel ist die Oberflche eines flssigen Tropfens in feuchterLuft. Passieren wir die Grenze zwischen der Luft und einem Tropfen, dannndern sich der Feuchtegrad, die Massendichte, die Konzentrationen vonSauerstoff und Stickstoff und der Druck unstetig. Die Grenzflche zwischenden beiden Phasen besitzt eine spezifische Energie, die auch Oberflchen-spannung genannt wird.

Apparatur zurMessung derOberflchenspan-nung

Geometrische Beschreibung einer Flche. Wir betrachten die in Ab-bildung 2.6 dargestellte Flche B 3, welche im Raum 3 eingebettetist. Zur Angabe eines Ortes auf B fhren wir gem der Abbildung 2.6zwei Familien von Koordinatenlinien (u1, u2) B ein.

Abbildung 2.6: Geometrie einer Flche im Raum.

Die Flche B kann sich mit der Zeit t 0 gem einer Funktion x : I(t) [0,) B 3 ndern, wobei gelten soll I(0) = B. Wir schreiben

x = x(t, u1, u2) = (x1(t, u1, u2), x2(t, u1, u2), x3(t, u1, u2)) . (2.20)

Bis auf die Zeitvariable, erinnern diese Gleichungen an die entsprechendenGleichungen, die wir im Kapitel 1 bei der Tranformation von rechtwinkligkartesischen Koordinatenlinien (x1, x2, x3) auf krummliniger Koordinaten-linien (z1, z2, z3) studiert haben. Allerdings weisen die Gleichungen (2.20)

46

einen wesentlichen Unterschied zu den Gleichungen (1.41) auf: Sie sindnicht umkehrbar, denn nur zwei Koordinaten (u1, u2) generieren drei Ko-ordinaten (x1, x2, x3).

An jedem Ort auf der Flche I(t) bringen wir ein lokales Dreibein an, wel-ches aus zwei Tangentenvektoren 1, 2 an die Koordinatenlinien und einerFlchennormalen besteht. Zur Charakterisierung des Randes I(t) ben-tigen wir einen Einheitsvektor E, der in einem Randpunkt in der dortigenTangentialebene liegt und senkrecht auf I(t) steht.

Gem der in dieser Vorlesung blichen Annahme soll die Funktion x hin-reichend glatt sein, so dass die folgenden Definitionen bildbar sind. Beachtedie fast vollstndige Analogie zu den entsprechenden Gren in Kapitel 1.

Tangentenvektoren:

(x1

u,x2

u,x3

u) fr {1, 2} . (2.21)

Komponenten des Metriktensors:

g fr , {1, 2} . (2.22)

Flchennormale: 1 2| 1 2|

. (2.23)

Komponenten des Krmmungstensors und mittlere Krmmung:

b u

fr , {1, 2}, kM 1

2gb . (2.24)

Christoffel-Symbole:

gu

fr , , {1, 2} . (2.25)

nderungen von Tangential- und Normalvektoren:

u

i = bi und

u= b . (2.26)

Geschwindigkeit mit Tangential- und Normalkomponenten:

w xt

= w + w . (2.27)

47

Die Beziehungen (3.21) geben die nderungen der Tangentenvektoren desNormalenvektors auf der Flche an. Die Beziehung (3.21)1 folgt unmit-telbar durch Kombination von (2.24) und (2.25). Der Beweis von (3.21)2erfordert eine kleinere Rechnung. Hierzu starten wir von

= 1 und = 0 . (2.28)Wir differenzieren die Bedingungen (2.281) und erhalten

u = 0 und

u =

u

. (2.29)

Aus (VFL19c1) schlieen wir, dass die Ableitung des Normalenvektors inder Tangentialebene liegt, d.h. ; = A und die Koeffizienten A

be-

rechnen wir ber (VFL19c2), deren rechte Seite wir mittels (VFL19a1)auswerten.

Nach Charakterisierung der Geometrie einer gegebenen Flche I im 3

geben wir noch eine wichtige Identitt an. Fr Funktionen : 3 3,welche auf I die Darstellung = haben, gilt der

Satz von GAUSS fr Flchenintegrale:

I

;da =

I

eds =

I

Eds (2.30)

wobei gesetzt ist

= , E =12e , e =

gg l El = 0 , |E| = 1.

(2.31)

Zum Beweis dieser Identitt wenden wir den Satz von STOKES (2.11) im

3 auf Vektoren F = f an, die ausschlielich in der Tangentialebenevon I Komponenten haben. Hierzu berechnen wir

I

(rot(F ))ii da =

I

ijkjfk1girs r1

s2da =

I

1g(g2f

;1 g1f;2)da .

(2.32)Bei Verwendung der antisymmetrischen Matrix im 2, siehe (1.62),mit = g knnen wir (2.32) auch schreiben

I

(rot(F ))ii da =

I

1ggf

;da =

I

;da mit 1

ggf

.

(2.33)

48

Als nchstes werten wir die rechte Seite des STOKESschen Satzes (2.11)aus. Der Integrand unter dem Linienintegral formt sich wie folgt um

F ili = f ili = fg

i = (

gg il

i) e = iEi . (2.34)

Beachte insbesondere, dass der Einheitsvektor E 3 tangential zu I liegtund auerdem normal auf der Kurve I steht. Mit (2.33) und (2.34) ist derSatz von GAUSS fr Flchenintegrale bewiesen.

Transporttheorem fr Flchen. Dieses Transporttheorem leistet frFlchen die gleiche Aufgabe, wie das Reynolds sche Transporttheorem frVolumina.

Hier geht es um die zeitliche nderung des Integrals

F (t)

I(t)

f(t, u1, u2)da , (2.35)

wobei da das skalare Flchenelement der Flche I(t) ist.

bung 2.4 a.) Verwende das Vektorprodukt zur Berechnung einesFlchenelementes da auf I(t). Zeige, dass gilt

da =

gdu1du2 mit g det(g) . (2.36)

b.) Beweise die Formel

g

t=

g(w; 2kMw) . (2.37)

Die kovariante Ableitung ist hier analog zu (1.86) defi-niert. Allerdings ist im Kontext von Flchen nur berdie Indizes 1 und 2 zu summieren.Hilfen: Beweise zunchst die Formel zur Ableitung vonDeterminanten nach ihren Elementen, welche hier lau-tet

g

g= gg . (2.38)

Berechne dann die Zeitableitungen der kovarianten Me-trikkomponenten g

49

Jetzt betrachten wir die zeitliche Ableitung des Integrals

I(t)f(t, u1, u2)da. Es gilt das

Transporttheorem fr Flchen:

d

dt

I(t)

f(t, u1, u2)da =

I(t)

(f(t, u1, u2)

t+ (w; 2kMw)f(t, u1, u2)) da .

(2.39)

In Analogie zum Transporttheorem fr Volumina startet der Beweis von(2.39) mit einer Transformation des zeitabhngigen Gebietes I(t) auf daszeitunabhngige Gebiet B. Nach Gleichung (3.21) knnen wir schreiben

d

dt

I(t)

f(t, u1, u2)da =d

dt

B

f(t, u1, u2)

gdu1du2 . (2.40)

In (2.40)2 knnen wir die Ableitung unter das Integral ziehen und an-schlieend die Produktregel anwenden. Nach Ersetzen der Ableitung derDeterminante mittels Gleichung (2.28) und nach Rcktransformation aufI(t) folgt das Transportheorem (2.39).

50

Kapitel 3

Bilanzgleichungen

3.1 Ziele

Unter den physikalischen Basisgren eines Krpers stehen an prominen-tester Stelle Masse, Impuls, Energie und Entropie. Gemeinsam ist diesenGren die Eigenschaft additiv zu sein. Das heit: Wird ein Krper ge-danklich in disjunkte Teile zerlegt, so heit eine Gre additiv, falls diedem Gesamtkrper zugeordnete Gre einfach die Summe der Gren ist,die den Teilkrpern zugeordnet sind.Die Kontinuumsphysik basiert auf Bilanzgleichungen fr additive Gren.Diese geben an, welche nderungen eine additive Gre aufgrund einesFlues durch die Oberflche des Krpers und durch Quellen in seinem In-neren erfhrt.In diesem Kapitel werden wir Bilanzgleichungen aufstellen und ihre Eigen-schaften untersuchen. Zur Vorbereitung dieser Aufgaben werden wir zu-nchst die lokalen Bewegungen in einem Krper geometrisch beschreibenund insbesondere systematisieren.

3.2 Lokale Bewegungen

Einen gegebenen Krper denken wir uns in materielle Punkte zerlegt. Hier-unter verstehen wir die kleinsten metechnisch auflbaren Volumenele-mente.

Referenzkonfiguration. Zur Beschreibung der Bewegung eines materiel-len Punktes P starten wir mit seinen rechtwinklig kartesischen KoordinatenX = (X i)i{1,2,3} in einer Referenzkonfiguration 0 3. Die Wahl einer

51

Referenzkonfiguration ist frei und je nach Aufgabenstellung werden hierunterschiedliche Entscheidungen getroffen.

Beispielsweise kann die Referenzkonfiguration durch den Zustand des Kr-pers zu irgeneiner Zeit t0 gegeben sein. Es mag aber auch ntzlich sein,einen von mechanischen Spannungen freien Zustand als Referenzkonfigu-ration zu whlen.

Abbildung 3.1: Beschreibung der Bewegung eines materiellen Punktes.

Aktuelle Konfiguration. Die Bewegung der Punkte eines Krpers 0beschreiben wir durch die Bewegungsfunktion = (i)i{1,2,3}, welche dieaktuelle Konfiguration (t) jedes materiellen Punktes von 0 angibt. DieAbleitungen von nach der Zeit t und nach den Koordinaten X lieferndie Geschwindigkeit und den Deformationsgradienten und somit die lokalenVernderungen in Zeit und Raum.

Bewegung:

: X 0 [0,) 3, bzw. x = (i(t,X)) fr i {1, 2, 3} .(3.1)

Geschwindigkeit:

= (i) = (i(t,X)

t) fr i {1, 2, 3} . (3.2)

Deformationsgradient:

F = F ij(t,X) = (i(t,X)

Xj) fr i, j {1, 2, 3} . (3.3)

Die Formeln (3.34), (3.35) und (3.36) geben die Bewegung in LAGRAN-GEscher Darstellung an. Hufig sprechen wir auch von der materiellen

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Darstellung der Bewegung und nennen X die LAGRANGE Koordinateneines materiellen Punktes.

Wir werden immer voraussetzen, dass die JACOBI-Determinante der Be-wegung grer als Null ist. D.h.

J(t,X) = det(F ij(t,X)) > 0 . (3.4)

Wir knnen somit die Bewegungsfunktion eindeutig nach der LAGRANGEKoordinate auflsen:

X =1 (t,x) . (3.5)

Mittels dieser Funktion definieren wir die EULERsche Darstellung der Be-wegung. Hufig sprechen wir auch von der rumlichen Darstellung der Be-wegung und nennen x die EULER-Koordinate eines materiellen PunktesX.

Geschwindigkeit:

i(t,x) = i(t,1 (t,x)) fr i {1, 2, 3} . (3.6)

Deformationsgradient:

F ij(t,x) = Fij(t,

1 (t,x)) fr i {1, 2, 3} . (3.7)

Das polare Zerlegungstheorem. Der Deformationsgradient beschreibtdie relative nderung von zwei nahe benachbarten materiellen Punkte Xund Y , denn es gilt

yi xi F ij(t,X)(Y j Xj) . (3.8)

Diese durch Bewegung hervorgerufene nderung lt sich in die zwei An-teile Rotation und Streckung zerlegen, denn fr jede nichtsingulre Matrixgilt das

Polare Zerlegungstheorem:

F = V R = RU mit V = V T , U = UT und1

R = RT , (3.9)

wobei die Matrizen U und V positiv definit sind.

Wir werden noch sehen, dass die symmetrischen Matrizen V und U alsStreckung eines Abstandsvektors interpretiert werden knnen, whrend dieorthogonale Matrix R seine Rotation beschreibt. Die Matrizen V und Uheien linker bzw. rechter Strecktensor und R heit Rotationstensor.

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Gem der polaren Zerlegung gibt es zwei Produktdarstellungen fr denDeformationsgradienten. Im ersten Produkt wird ein Abstandsvektor erstgedreht und dann gestreckt, und im zweiten Produkt ist es umgekehrt.Dieser Sachverhalt kann vereinfacht gem der folgenden Skizze darge-stellt werden. Worin hier die Vereinfachung besteht wird in der bung 3.2erarbeitet.

Abbildung 3.2: Vereinfachte Darstellung des polaren Zerlegungtheorems.

Zum Beweis des polaren Zerlegungstheorems fhren wir zunchst zweiwichtige Gren ein.

C F T F rechter Cauchy-Green Tensor, (3.10)B FF T linker Cauchy-Green Tensor. (3.11)

Diese beiden Matrizen sind symmetrisch und positiv definit, was sich leichtnachrechnen lt. Beispielsweise fr C:

CT = (F T F )T = F T F TT = F T F = C , (3.12)

sowie

Cijaiaj = (F kiF kj)aiaj = (F kiai)(F kjaj) AkAk 0 . (3.13)

Entsprechendes gilt fr B.

Also gibt es eine orthogonale Matrix H , die C mit positiven Eigenwertenauf Hauptachsen bringt. Das heit:

HCHT =

21 0 00 22 00 0 23

. (3.14)

Wir definieren

U HT

|1| 0 00 |2| 00 0 |3|

H . (3.15)

Aufgrund ihrer Definition ist die Matrix U symmetrisch: U = UT . Auer-dem folgt U 2 = C.

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Schlielich bilden wir den Ausdruck R F1

U und berechnen

RT R = (F1

U )T (F1

U ) =1

UF T F1

U =1

UC1

U =1

UU 21

U =

1 0 00 1 00 0 1

.

(3.16)Also ist R eine orthogonale Matrix und damit ist die Zerlegung F = RUbewiesen.

Der Beweis fr F = V r mit V = V T und1r = rT verluft analog.

bung 3.1 a.) Beweise die Eindeutigkeit der beiden Zerlegungen(3.9).b.) Zeige, dass gilt

r = R . (3.17)

Geometrische Interpretation der polaren Zerlegung. Sei A =(A1, A2, A3) ein gegebener Vektor. Wir bilden die Operation ai RijAjund sehen

aiai = RijAjRikAk = jkAjAk = AiAi , (3.18)

d.h., die Anwendung von R auf A ndert dessen Lnge nicht. Es hat einereine Rotation stattgefunden.

Jetzt bilden wir ai U ijAj und sehen

aiai = U ijAjU ikAk = CjkAjAk , (3.19)

d.h., dass a eine andere Lnge als A hat.

Im Hauptachsensystem von U folgt

a1 = |1|A1 a2 = |2|A2 a3 = |3|A3 . (3.20)

Dies beschreibt eine reine Streckung.

Im allgemeinen ist aber ber die Matrix H in U eine weitere Rotationenthalten. Diese kann eine Scherung oder eine Torsion darstellen.

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bung 3.2 In einer Referenzkonfiguration ist in kartesischen Ko-ordinaten ein Vektor X = (0, 1) gegeben. Ferner be-trachten wir den Deformationsgradienten

F =

(

1 a0 1

)

mit a > 0. (3.21)

a.) Zeichne auf kariertes Papier X sowie den aktuel-len Vektor x mit den Komponenten xi = F ijX

j undkennzeichne die Strecke a.b.) Berechne den rechten und den linken Chaucy-GreenTensor Cij = F ki F

kj , B

ij = F ikFjk und deren gemeinsa-

me Eigenwerte.c.) Bestime die Strecktensoren V ij und U ij, sowie dieRotationsmatrix Rij.d.) Zeichne xi = R

ijXj und xi = V ijxj.e.) Zeichne xi = U ijXj und xi = Rijxj.f.) Erlutere die auftretenden Bewegungen.

bung 3.3 Unter welchen Bedingungen an den Deformationsgra-dienten gibt die Abbildung 3.2 die dort gezeigten Ver-hltnisse richtig wieder?

3.3 Krper und Kontrollvolumina

Unser derzeitiges Hauptziel ist die Aufstellung von Bilanzgleichungen freinen gegebene Krper. Als weitere Vorbereitung hierzu ist eine Przisie-rung des Begriffes Krper notwendig.

Krper. Der einfachste Krper, den wir betrachten, ist durch ein einzelnesMaterial reprsentiert, z.B. ein Stck Gummi, ein Stck Eisen oder einStck Messing.

Den Begriff Krper wollen wir aber auch fr zusammengesetzte Materialienverwenden. Hierunter verstehen wir beispielsweise einen Luftballon, beste-hend aus der Ballonhlle sowie der hierin enthaltenen Luft. Ein weiteresBeispiel liefert ein Druckbehlter, der durch einen Schieber in zwei Teilegeteilt werden kann und ein Gas enthlt. Schlielich fassen wir auch eineRakete inklusive der ausgestoenen Brenngase als Krper auf.

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Abbildung 3.3: Drei Beispiele fr zusammengesetzte Materialien.

Kontrollvolumen. Im allgemeinen hat ein Krper Zu- bzw. Abflsse. Bei-spielsweise kann ein Krper Wrme verlieren oder es wird ein Impuls auf ihnbertragen. Zur Bilanzierung der Zu- bzw. Abflsse bentigen wir ein Kon-trollvolumen. Dieses wird einem gegebenen Krper zugeordnet und kannentweder den ganzen Krper enthalten oder nur Teile davon umschlieen.

Zur Illustration dieser Aussage betrachten wir das berhmte Experimentvon Gay-Lussac. Ein beweglicher Schieber teilt einen nach auen wrmeiso-lierten Behlter in zwei Teile. Ein Gas befindet sich zunchst nur im linkenTeil und hat dort die Temperatur TA. Nach dem Herausziehen des Schie-bers verteilt sich das Gas auf turbulente Weise im gesamten Behlter undkommt nach einiger Zeit wieder zur Ruhe. Das Experiment beantwortet dieFrage nach der dann vorliegenden Endtemperatur TE. Zwei mgliche Kon-trollvolumina zur mathematischen Modellierung des Experimentes sind inAbbildung 3.4 eingezeichnet.

Abbildung 3.4: Mgliche Kontrollvolumina fr das Experiment von Gay-Lussac.

Das rechte Kontrollvolumen ist whrend der Strmungsphase ein offenesVolumen, sowohl fr Materie, als auch fr Impuls und Energie. Dagegenzeichnet sich das linke Kontrollvolumen dadurch aus, dass es keine Flsseber den Rand gibt.

Die Frage nach dem besseren Kontrollvolumen ist in diesem Beispiel na-trlich einfach zu beantworten. Denn es ist sofort klar, dass wir bei Ver-wendung des rechten Kontrollvolumens zur Auswertung des Experimentesin jedem Fall das Strmungsfeld genau kennen mssen, dessen rechnerischeBestimmung ist aber eine sehr schwere Aufgabe. Bei der Wahl des linken

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Kontrollvolumens entfllt diese Aufgabe.

Jedoch ist die Frage nach dem gnstigsten Kontrollvolumen im allgemeinennicht einfach zu beantworten und erfordert eine gewisse Erfahrung.

bung 3.4 Die Temperatur eines Zimmers wird durch eine Heiz-spirale erhht.

Welche Gren bleiben bei diesem Proze kon-stant? Definiere auf der Grundlage dieser Erkennt-nisse mgliche Kontrollvolumina und diskutiere derenEigenschaften.

Materielles Volumen. Ein Kontrollvolumen, welches durch seine Ober-flche keinen Materietransport zult, heit materielles Volumen. Trans-port von Impuls und Energie sind hier zugelassen. Ein materielles Volumenkann fest oder mitbewegt sein. Im letzteren Fall bewegt sich die Oberflche

Wolke mit materi-ellem Kontrollvo-lumen.

mit der Geschwindigkeit der Materie. Beispiele sind ein sich ausdehnenderLuftballon oder eine sich bewegende Wolke.

Adiabates Volumen. Wenn die Oberflche eines materiellen Volumenskeine Wrmeenergie passieren lt, so sprechen wir von einem adiaba-ten Kontrollvolumen. Impulsbertrag, d.h. mechanischer Energietransportdurch die Oberflche ist hier weiterhin mglich.

3.4 Bilanzgleichungen fr Masse, Impuls und

Energie

In diesem Abschnitt werden wir unterschiedliche Typen von Bilanzgleichun-gen aufstellen. Es gibt globale Bilanzgleichungen, welche die Verhltnisseeines Gesamtkrpers beschreiben. Darber hinaus werden wir uns auch

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mit lokalen Bilanzgleichungen beschftigen, welche das Verhalten in jedemPunkt des Krpers beschreiben. Es gibt zwei Typklassen fr lokale Bilanz-gleichungen, je nachdem ob die beteiligten Gren differenzierbar sind odernicht.

Allgemeine Struktur einer globalen Bilanzgleichung. Eine globaleBilanzgleichung berechnet fr einen gegebenen Krper die Zeitableitungeiner additiven Gre aufgrund von Flssen F durch die Oberflche und aufgrund von Quellen im Inneren von .

Allgemeine Struktur einer globalen Bilanzgleichung:

d

dt= + , (3.22)

wobei fr , und folgende Darstellungen vorausgesetzt werden:

(t) =

(t)

(t,x)dV (t) =

(t)

n(t,x)da (t) =

(t)

(t, x)dV .

(3.23)

Bilanzgleichungen lassen sich nur fr additive Gren aufstellen. Diese sindwie folgt charakterisiert: Wird ein Krper gedanklich in disjunkte Teile zer-legt, so heit eine Gre additiv, falls die dem Gesamtkrper zugeordneteGre einfach die Summe der Gren ist, die den Teilkrpern zugeordnetsind. Aus diesem Grund fordern wir die Integraldarstellung (3.23)1 fr .

Die Darstellung (3.23)2 eines Flusses durch ber ein Flchenintegral re-sultiert aus der Beobachtung, dass Flsse durch die Oberflche proportionalzum Flcheninhalt sind. Das Minus-Zeichen garantiert, dass ein Flu inden Krper zu einer Erhhung von fhrt. Zur Unterscheidung von einemweiteren Beitrag zum Flu , welcher aber nur bei offenen Kontrollvoluminaauftritt nennen wir nichtkonvektiven Flu .

Die Integraldarstellung (3.23)3 einer Quelle, setzt voraus, dass eine Quel-lenverteilung in in additiver Weise zu einer nderung von fhrt.

Globale Bilanzgleichung der Masse. Zur Formulierung der allgemeinenBilanzgleichungsstruktur (3.22) haben wir bisher keine spezielles Kontroll-volumen vorausgesetzt. Allerdings knnen wir die physikalische Identifizie-rung der auftretenden Flsse am einfachsten durchfhren, wenn wir einmaterielles Volumen verwenden.

Die Bilanz der Masse basiert auf Beobachtungen im Rahmen der klassischenPhysik: 1. Die Masse M : [0,) + eines Krpers ist eine additive

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Gre.

M(t) =

(t)

(t,x)dV , (3.24)

wobei : [0,) + die Massendichte ist.2. Es gibt keine Massenquellen im Inneren eines Krpers. Darber hin-aus gibt es per Definition keinen Massenflu durch die Oberflche einesmateriellen Kontrollvolumens.

dM(t)

dt= 0 . (3.25)

Globale Bilanzgleichung des Impulses. Auch die Bilanzgleichung frden Impuls hat ihre einfachste Form fr ein materielles Kontrollvolumen.Denn dann ist die Impulsbilanz eine Anwendung der Newtonschen Bewe-gungsgesetze auf ausgedehnte Krper.

1. Der Impuls I : [0,) 3 eines Krpers ist eine additive Gre:

I(t) =

(t)

(t,x)dV , (3.26)

wobei : [0,) 3 die Impulsdichte ist.2. Eine Impulsnderung ist nur durch uere Krfte mglich.

3. Krfte sind additive Gren. Es gibt zwei unterschiedliche Kraftsorten:31. Volumenkrfte greifen in jedem Punkt des Inneren von an. 32. Fl-chenkrfte greifen ausschlielich an der Oberflche an.

dI(t)

dt=

(t)

g(t,x)dV +

(t)

k(t,x)da . (3.27)

5. Die Flchenkraft hat die Darstellung k = n, wobei : [0,)

3 3 der CAUCHYsche Spannungstensor ist.

bung 3.