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Kapitel 1

Koordinaten, Skalare, Vektoren,

Tensoren

1.1 Ziele

Die mathematische Modellierung physikalischer Phnomene bzw. techni-scher Prozesse fhrt zu Gleichungen, in denen Gren verschiedener geome-trischer Struktur auftreten. Es gibt im Wesentlichen drei Grenkategorien,nmlich Skalare, Vektoren und Tensoren. Die Mitglieder dieser Kategorienwerden in diesem Kapitel eingefhrt. q

1.2 Koordinaten, Vektoren und Basen

Koordinaten im Punktraum. Wir starten mit dem 3-dimensionalen EU-KLIDischen Punktraum 3, welcher aus der Menge der Punkte x,y, z...besteht. Ein Punkt P ist durch Angabe von drei Zahlen definiert. Wirschreiben x = (x1, x2, x3) = (xi)i{1,2,3} und nennen (x1, x2, x3) die Kom-ponenten von x.

Vermutlich hateine Person na-mens EUKLIDnie gelebt, undseine berhmteSchrift Elementeder Geometrieist von einerAutorengruppeunter Pseud-onym geschriebenworden.

Ferner fhren wir ein rechtwinklig kartesisches Koordinatensystem K ein.Dieses besteht aus drei orthogonal aufeinander stehenden geraden Linien,die von einem beliebig gewhlten Punkt O ausgehen. Nun fllen wir vonP ausgehend drei Lote, wie es in Abb. 1.1links gezeigt wird. Die Konstruk-tion induziert auf den Koordinatenlinien drei Strecken, welche wir mit denKomponenten (x1, x2, x3) von x identifizieren.

Ortsvektoren im 3. Zur geometrischen Veranschaulichung stellen wir

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den Punkt P durch einen Pfeil da, welcher in O beginnt und in P endet.Wir nennen einen solchen Pfeil Ortsvektor und entsprechend (x1, x2, x3)die Komponenten des Ortsvektors x.

Abbildung 1.1: Darstellungen in einem rechtwinklig kartesischen Koordi-natensystem.

Der Universalge-lehrte Descartespredigte rationaleBeweisfhrung inder Geometrie.Als Sicherheits-vorkehrung wiesenseine eigenen Be-weise aber hufigLcken auf, die ererst fllte, wennim Falle sptererStreitigkeitenseine Priorittnachzuweisen war.

Offensichtlich gilt fr Ortsvektoren die folgende Rechenregel :

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) (1.1)

wobei und reelle Zahlen sein sollen. Somit ist insbesondere die Summeund die Differenz von Ortsvektoren definiert.

Eine weitere wichtige Beziehung zwischen zwei Ortsvektoren ist ihr Skalar-produkt. Dieses ist definiert durch

x y 3

i=1

xiyi. (1.2)

Das Skalarprodukt liefert eine reelle Zahl, die wir Skalar nennen. Erklrenwerden wir diese Namensgebung erst spter.

Wir bezeichnen die Lnge eines Ortsvektors mit | x | und folglich gilt| x |=

x x . (1.3)

Aus (1.2) lt sich eine Alternativform fr das Skalarprodukt herleiten,welche bei Anwendungen sehr ntzlich ist:

x y =| x || y | cos(x,y) . (1.4)

bung 1.1 Beweise die Formel 1.4 im zwei- oder dreidimen-sionalen Fall.

Die bisherigen berlegungen werden jetzt eine Verallgemeinerung erfahren.

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Die Beschrnkung auf N = 3 Dimensionen ist nmlich bei den eingefhrtenRegeln nicht notwendig. In der bung 1.1 haben wir schlielich bereits denzweidimensionalen Fall betrachtet, weil er einfacher zu behandeln ist. Aberauch der Fall N > 3 wird uns in vielen Anwendungen begegnen. Allerdingsgeht hier die visuelle Anschaung verloren.

Ortsvektoren im N . Ein Ortsvektor x ist im N durch N Kompo-nenten gegeben: x = (x1, x2, ..., xN).Fr zwei Ortsvektoren gilt die Additionsregel

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xN + yN) , (1.5)

wobei und reelle Zahlen sind.Das Skalarprodukt zweier Ortsvektoren lautet im N

x y =N

i=1

xiyi . (1.6)

Bisher haben wir Ortsvektoren durch N -Tupel der Form (x1, x2, ..., xN)dargestellt. Zum Rechnen ist aber eine Alternativdarstellung ntzlicher.Diese gewinnen wir leicht nach Einfhrung von Basisvektoren.

Rechtwinklige Basis. Fr ein rechtwinklig kartesisches Koordinatensy-stem K, welches wir zur Zeit ausschlielich benutzen, definieren wir

e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., eN = (0, 0, ..., 1) , (1.7)

und nennen diese Vektoren die (rechtwinklig kartesische) Basis des Punkt-raumes N .

In der Debatte umdas Unendlichelehnte KroneckerBehauptungen ab,deren Entscheid-barkeit nicht inendlich vielenSchritten belegtwerden kann.Deshalb nannteHilbert ihn denVerbotsdiktator.Das aber die mei-sten StudentenKronecker nurber das Symbolkennen, welchesseinen Namentrgt, htteihn vermutlichverwundert.

Offensichtlich gilt

ei ej = ij mit ij

1 0 ... 00 1 ... 0. . . .0 0 ... 1

. (1.8)

Das neu eingefhrte Symbol ij heit Einheitsmatrix und wird auchKRONECKER-Tensor genannt.

Wir werden demnchst weitere Basen kennenlernen, welche die Beziehung(1.8) nicht erfllen. Eine Eigenschaft muss eine Basis aber in jedem Fallhaben:

Im N dimensionalen Punktraum knnen N Vektoren E1,E2, ...,EN nurdann ein System von Basisvektoren bilden, wenn sie linear unabhngig sind.

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Dieser Begriff besagt: N Vektoren (Ei)i{1,2,...,N} heien linear unabhngig,wenn es unmglich ist, N Zahlen i zu finden, die nicht alle gleichzeitigNull sind, so da die Beziehung

N

i=1

iEi = 0 (1.9)

erfllt ist.

bung 1.2 Beweise, da die Vektoren (1.7) linear unabhngigsind.

Schlielich lautet die Darstellung eines Ortsvektors x mittels der Basis (1.7)

x =N

i=1

xiei xi = x ei , (1.10)

und hat die in Abb. 1.1rechts gegebene geometrische Darstellung.

Allgemeine Vektoren. Neben den Ortsvektoren gibt es weitere Objekte,die durch N -Tupel im N dargestellt werden. Aus physikalischer Sicht ken-nen wir beispielsweise Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Krfte oderWrmeflsse.

N -Tupel im N , die der Rechenregel (1.5) fr Ortsvektoren gengen, undfr die ein Skalarprodukt (1.6) definiert ist, nennen wir allgemein Vektoren.

Schiefwinklige Basis. Eine Basis des N muss nicht notwendiger Weiseaus orthonormalen Vektoren, d.h. ei ej = ij, aufgebaut sein. Bei vie-len Anwendungen sind schiefwinklige Basen dem vorliegenden Gegenstandangemessener.

bung 1.3 Die Charakterisierung feuchter Luft geschieht ineinem MOLLIER Diagramm. Studiere ein MOL-LIER Diagramm und erlutere das zugrunde lie-gende Achsensystem. Zeige insbesondere, dass hierein schiefwinkliges Achsensystem verwendet wird.

Zur Konstruktion schiefwinkliger Basen gehen wir von N linear unabhngi-gen Vektoren g1,g2, ...,gN aus. Da diese Basisvektoren nicht orthonormalsein mssen, ist es ntzlich, N zustzliche Basisvektoren g1,g2, ...,gN ein-zufhren, die den Bedingungen

gi gj = ji mit ji ij (1.11)

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gengen sollen. Die zustzliche Basis nennen wir duale Basis. Die Bedin-gungen (1.11) stellen N2 Gleichungen zur Berechnung der N Vektoren(gi)i{1,2,...,N} der dualen Basis dar.

Einen gegebenen Vektor V knnen wir somit auf drei verschiedene Weisenin Komponenten zerlegen. Wir schreiben

V =N

i=1

Vi(e)

ei =N

i=1

V i(g)

gi =N

i=1

Vi(g)

gi . (1.12)

Die zu den drei Basen gehrenden Komponenten berechnen sich gem

Vi(e)

= V ei, V i(g)

= V gi, Vi(g)

= V gi . (1.13)

Die Komponenten Vi(e)

heien kartesische Komponenten, whrend die Kom-

ponenten V i(g)

, Vi(g)

kontra- bzw. kovarianteKomponenten des Vektors V ge-

nannt werden. Den Sinn der beiden letzten Bezeichnungen werden wir etwasspter erhellen.

Beispiel zur schwiefwinkligen Basis. Zur geometrischen Veranschau-lichung betrachten wir ein einfaches Beispiel im zweidimensionalen Fall.Mit Bezug auf die kartesische Basis geben wir uns zwei Basisvektoren vor,nmlich g1 = (4, 2) und g2 = (1, 3). Diese Vektoren haben die Lngen| g1 |= 4.47 und | g1 |= 3.16. Die zunchst noch unbekannten Komponen-ten der dualen Basis bezeichnen wir mit g1 = (a, b) und g2 = (c, d), undberechnen die vier Zahlen mittels der Beziehungen (1.11).

gi gj = (gi)1(gj)1 + (gi)2(gj)2 =(

4a + 2b 4c + 2d1a + 3d 1c + 3d

)

=

(

1 00 1

)

.

(1.14)Die Lsungen sind g1 = (3/10,1/10) und g2 = (1/5, 2/5). Die Lngendieser Vektoren sind | g1 |= 0.32 sowie | g2 |= 0.45.Ein gegebener Vektor V hat gem (1.4) und (1.13) die Komponenten

Vi(e)

= V ei = | V | cos((V, ei)) (1.15)

V i(g)

= V gi = | V || gi | cos((V,gi)) (1.16)

Vi(g)

= V gi = | V || gi | cos((V,gi)) . (1.17)

Die Abbildung 1.7 zeigt die graphische Darstellung der erhaltenen Resul-tate. Beachte die unterschiedlich Lnge der Basisvektoren.

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Abbildung 1.2: Zerlegung eines Vektors auf schiefwinklige Basen.

In der Literatur ber Tensoranalysis, welche keine Basisvektoren benutzt,werden die kontravarianten Komponenten eines Vektors mit den Abschnit-ten 1 und 2 identifiziert. D.h. diese Komponenten werden als Parallelpro-jektion von V auf die durch g1 und g2 definierten Richtungen eingefhrt.Betrachte noch einmal das Beispiel zur schiefwinkligen Basis aus der Vor-lesung.

bung 1.4 Stelle einen Zusammenhang her zwischen 1 und2 und den in dieser Vorlesung definierten kontra-varianten Komponenten V 1 und V 2. Zeige, dassgilt

1 = |g1|V 1 sowie 2 = |g2|V 2 . (1.18)

Erlutere das Resultat durch Vergleichmit der Behandlung in Abschnitt 1.3 derim WS 09/10 gehaltenen entsprechen-den Vorlesung, siehe http://www.ifm.tu-berlin.de/fileadmin/fg49/lehre0607/kontitheorie1/Teil02.pdf .

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Lnge eines Vektors bei schiefwinkligen Basen und der metrischeTensor. Wenn die Komponenten eines Vektors bezglich einer schiefwink-ligen Basis angegeben ist, berechnen wir seine Lnge wie folgt:

|V|2 = V V = (N

i=1

V i(g)

gi) N

j=1

V j(g)

gj =N

i,j=1

(gi gj)V i(g)

V j(g)

(1.19)

In dieser Beziehung tr