Tensoren und Felder || Tensoren in ebenen Räumen

3 Tensoren in ebenen Räumen

Dem Begriff des Raumes kommt in der Physik eine grundlegende Bedeutung zu. Der Raum ist aber nicht die Bühne und die Physik das Schauspiel auf ihr, es ist vielmehr die Physik, die den Raum und seine Geometrie bestimmt.

Das Bild der Welt, wie es sich einem darbietet, wird geprägt von den Größenordnungen, in denen man es sich zu verschaffen sucht. Obwohl die Kugelgestalt der Erde für jedermann eine unumstößliche Tatsache ist, verleitet die Erfahrung dennoch dazu, das nähere Umfeld im täglichen Leben als Teil einer "ebenen" Welt anzusehen. Man nimmt damit intuitiv zur Kenntnis, daß die im Verhältnis zur Größenordnung der Erdkugel kleinen Bereiche, die sich durch die Sinneswahrnehmung erfassen lassen, unmerkliche Abweichungen von der Kugelgestalt haben, man ersetzt gewissermaßen gedanklich in diesen kleinen Weltbezirken die Erdoberfläche durch ihre Tangentialebene und legt, gestützt auf die (vermeintlich) wohlvertrauten Begriffe wie geradlinig und eben, auch dem räumlichen Denken einen "ebenen" Raum zugrunde. Die Geometrie in diesem ebenen Raum, deren Elemente die Geraden und Ebenen sind, führt zum Satz von PYTHAGORAS und zu anderen Aussagen der euklidischen Geometrie wie z.B. zu jener, daß die Winkelsumme in einem Dreieck 180 0 ist. In einem "gekrümmten" Raum haben diese Begriffe entweder keinen Sinn oder diesbezügliche Aussagen verlieren ihre Gültigkeit. Aber der ebene Raum liegt auf jedem Weg zu einem Verständnis der Welt.

3.1 Der affine Raum

Es sei 2( eine Menge, deren Elemente P, Q, ... "Punkte" heißen mögen, und Tein N -dimensionaler reeller Vektorraum. Zwischen den Punkten von 2( und den Vektoren in T mögen folgende Beziehungen bestehen:

(i) Zu je zwei Punkten P und Q gibt es einen Vektor, dessen "Fußpunkt" P und dessen "Endpunkt" Q ist: Jedem geordneten Paar (P, Q) von

-----t Punkten in 2( wird ein Vektor x = PQ E T zugeordnet.

(ii) Die Parallelverschiebung - jedem Vektor kann jeder Punkt als Fußpunkt zugeordnet werden: Zu jedem Punkt P E 2( und zu jedem

-----t Vektor x E T gibt es genau einen Punkt Q E 2(, sodaß x = PQ ist.

H. J. Dirschmid, Tensoren und Felder© Springer-Verlag/Wien 1996

100 3 Tensoren in ebenen Räumen

(iii) Das Vektorparallelogramm: Sind P, Q und R drei beliebige Punkte in m, so gelte

~~~

PI.i + QR = PR. (3.1 )

Sind solche Beziehungen zwischen den Punkten in m und den Vektoren des N-dimensionalen Vektorraumes T gegeben, so heißt mein N-dimensionaler affiner Raum über T, in Zeichen dirn m = N. Der Vektorraum T wird auch Tangentialraum von m genannt, sein Dualraum T* heißt Kotangentialraum. Mit der Schreibweise mN soll auf die Dimension N eines affinen Raumes hingewiesen werden.

Erste Folgerungen aus den drei Grundgesetzen des affinen Raumes sind ~

PP=o,

worin oder Nullvektor in T ist, und

(3.2)

(3.3)

Setzt man nämlich in die Forderung (3.1) für Q = P ein, so erhält man die ~ ~ ~ ~

Gleichung PP + PR = PR, aus der nun folgt, daß PP der Nullvektor im Tangentialraum T ist. Mit diesem Ergebnis und der Setzung R = P führt

(3.1) jetzt auf die zu (3.3) äquivalente Gleichung PQ + QP = o.

Die Punkte eines affinen Raumes m können wie die Vektoren eines linearen Vektorraumes mit Hilfe von Koordinaten charakterisiert werden. Ein Koordinatensystem in m besteht aus einem beliebigen Punkt 0 E m, der Koordinatenursprung genannt wird, und aus einer Basis B = {el' ... , e N } des Tangentialraumes T. Nach Wahl des Ursprungs 0 ist jedem Punkt P

~

durch die Forderung (ii) in eindeutiger Weise der Vektor x = OP aus dem Tangentialraum zugeordnet; man nennt diesen auch den "Ortsvektor" zum Punkt P. Seine Koordinaten Xl, X2, ••• , x N bezüglich der Basis B in

N

oP = LXiei

i=l

heißen die affinen Koordinaten des Punktes P in Bezug auf das duch den Koordinatenursprung 0 und die Basis Beingeführte - und somit durch das Paar IC = {O,B} repräsentierte - Koordinatensystem in m. Für alles Folgende sei vereinbart, die Koordinaten eines Punktes P mit demselben

~

Grundsymbol zu belegen, das auch für den Ortsvektor x = OP verwen-det wird; die Numerierung erfolgt dabei durch einen tiefgestellten Index. Einem Koordinaten-N-tupel (Xl, ... ,XN) eines Punktes P wird ferner das entsprechende Symbol x in Fettdruck zugewiesen.

Jedes Koordinatensystem IC in m bestimmt eine Funktion K, : ]RN ----) m, welche dem N-tupel x = (Xl' ... ' XN) E ]RN den Punkt P E m mit den affinen Koordinaten Xi bezuglich IC zuordnet. Diese Funktion ist sowohl injektiv als auch surjektiv und somit bijektiv. Man nennt die durch ein

3.1 Der affine Raum 101

Koordinatensystem /C eindeutig bestimmte Funktion '" eine Karte für den affinen Raum 21 und sagt, der affine Raum 21 ist durch das Koordinatensystem /C bzw. durch die Karte", parametrisiert. 1 )

In einem affinen Raum sind alle Koordinatensysteme gleichberechtigt. Daher ist es wichtig, das Verhalten der Koordinaten von Punkten und Vektoren bei einem Wechsel des Koordinatensystems zu studieren. Sind Xi die Koordinaten eines Punktes P in Bezug auf ein Koordinatensystem /C = {O, B} und Xi die Koordinaten desselben Punktes bezogen auf ein Koordinatensystem K = {a,B}, so leistet die Funktion ii:-1 0"': IRN ----t IRN

den Übergang vom Koordinatensystem /C zum Koordinatensystem K, die U mkehdunktion '" -1 0 ii: : IR N ----t IR N dagegen den Übergang vom Koordinatensystem K zum Koordinatensystem /C. Um diese Funktionen angeben zu können, benötigt man Beziehungen wie (1.24) und (1.26) zwischen den Vektoren von Bund B; sind bi die Koordinaten des neuen Ursprungs a im alten Koordinatensystem /C, so erhält man mit Hilfe von (3.1) die Gleichung

N N N ------t -----:t --=----+

LXiEi = OP = 00 + OP = LbiEi + LXiei i=1 i=1 i=1

N N N N

= L biEi + L a{xiEj = L(bj + L a{xi)Ej, i=1 i,j=1 j=1 i=1

aus welcher der Zusammenhang zwischen den Koordinaten Xi und Xi, den die Funktion ",-1 0 ii: beschreibt, direkt abgelesen werden kann,

N

Xj = L a{xi + bj , symbolisch x = ",-1 0 ii:(x). (3.4) i=1

Um zur Funktion ii:-1 0'" zu gelangen, mit der die Umrechnung vom Koordinatensystem /C auf das Koordinatensystem }( berwerkstelligt wird, braucht man nur die Rollen der Koordinaten Xi und Xi zu vertauschen und die Transformationsmatrix {a{} durch ihre Inverse {Ci{} zu ersetzen,

N

Xi = L Ci;Xj + bi , symbolisch x = ii:-1 0 ",(x). (3.5) j=1

Darin sind die Zahlen bi die Koordinaten des alten Ursprungs 0 im neuen Koordinatensystem K. Geht man vom Koordinatensystem /C = {O, B} ohne Wechsel der Basis im Tangentialraum zu einem Koordinatensystem K = {a,B} über, so ist a{ = t5{ für die Koeffizienten in (3.5) zu setzen,

Xi = Xi + bi .

1) Da durch die Konstruktion eines Koordinatensystems einem Raumpunkt seine Koordinaten zugeordnet werden, wäre eine Karte sinngemäß durch eine Abbildung K,: 2t ---> }RN einzuführen. Es wird aber überwiegend die Umkehrfunktion benötigt, weshalb mit Rücksicht auf größere Übersichtlichkeit der Formelbilder die Notation K, :}RN ---> 2t gewählt wird.


Sind x und y die Koordinaten-N-tupel zweier Punkte P und Q und

ist a = PQ = LiAiei, so folgt aus (3.1) und (3.3)

N N N

a = PQ = -oP + oQ = LYiei - LXiei = L(Yi - xi)ei, i=1 i=1 i=1

d.h. es sind (3.6)

die Koordinaten des Vektors a = PQ. Da die Koordinaten eines Vektors bei einem Wechsel des Koordinatensystems in ~ nur vom Basiswechsel im Tangentialraum beeinflußt werden, transformieren sich die Koordinaten eines Vektors nach der Regel (1.66). -

Ist ~o ~ ~ eine Teilmenge von ~ mit der Eigenschaft, daß die Gesamt

heit aller Vektoren PQ mit P E ~o und Q E ~o einen Teilraum Ta ~ T von T bildet, so nennt man ~o einen affinen Teilraum von ~. Ein affiner Teilraum ~o ~ ~ ist demnach durch einen Punkt Po E ~o und einen Teilraum Ta ~ T eindeutig bestimmt: Ein Punkt P E ~ gehört dem affinen Teilraum

~

~o genau dann an, wenn es einen Vektor a E Ta gibt, für den a = PoP ist. Der Teilraum Ta ~ T ist der Tangentialraum von ~o, die Dimension dieses Teilraumes heißt die Dimension von ~o.

Ist ~o ein n-dimensionaler Teilraum des N -dimensionalen affinen Raumes ~, so ist

(3.7)

eine injektive Abbildung: sie ordnet jedem Punkt von ~o denselben Punkt als Punkt von ~ zu und wird die Inklusionsabbildung genannt. Ist der Raum ~ auf ein Koordinatensystem K mit der Karte II:(Y), der Teilraum ~o auf ein Koordinatensystem K o mit der Karte lI:o(x) bezogen, so lassen sich mit Hilfe der Funktion 11: -1 0 J 0 11: 0 : lR n ----t lR N die Koordinaten Yi eines Punktes P E ~o als Punkt von ~ durch dessen Koordinaten Xi als Punkt von ~o ausdrücken. Man erhält diese Funktion, wenn man die Basisvektoren fj von Ko durch die Basisvektoren ei von Kausdrückt,

N

fj = La;ei i=1 ~

(vgl. (1.12)), und den Vektor a = PoP E Ta ~ Tin beiden Basen darstellt,

n n N N n

P;:P = L(Xj - xi)fj = 2)Xj - xi) 2: a~ei = 2: (2: a~(xj - Xi)) ei j=1 j=1 i=1 i=1 j=1 N

= 2:(Yi - y;)ei . i=l


Daher ist, wie sich durch Vergleich beider Darstellungen ergibt,

n

Yi = y'j + La~(xj - xj), i=1,2, ... ,N. (3.8) j=l

Diese Gleichungen können symbolisch in der Form y = 11:- 1 0 J 0 lI:o(x) geschrieben werden.

Ein eindimensionaler affiner Teilraum 1.2(0 S;; 1.2( heißt eine Gerade, ein Teilraum der Dimension N -1 wird eine Hyperebene genanntj im Fall N = 3 folgt man der anschaulichen Vorstellung und spricht von einer Ebene. Für n = 1 ist (3.8) die Parameterdarstellung einer Geraden, für n = N - 1 die Parameterdarstellung einer Hyperebene.

Zwei affine Teilräume 1.2(1 und 1.2(2 von 1.2( heißen parallel, wenn für ihre Tangentialräume 7i bzw. 72 eine der beiden Inklusionen 7i S;; 72 oder 72 S;; 7i besteht. Haben zwei parallele affine Teilräume 1.2(1 und 1.2(2 auch nur einen Punkt gemeinsam, so ist 1.2(1 S;; 1.2(2 oder 1.2(2 S;; 1.2(1 oder 1.2(1 = 1.2(2.

Im dreidimensionalen Raum sind die Ebenen die affinen Teilräume der Dimension 2, die Geraden sind affine Teilräume der Dimension 1. Haben zwei Ebenen oder zwei Geraden keinen Punkt gemeinsam, so sind sie parallel, andernfalls sind sie identisch. Durchsetzt eine Gerade eine gewisse Ebene in keinem Punkt, so verläuft die Gerade parallel zur Ebenej hat eine Gerade, die zu einer Ebene parallel ist, mit dieser auch nur einen Punkt gemeinsam, so liegt sie in dieser Ebene.

Jede lineare Transformation T:T ----t Tim Tangentialraum eines affinen Raumes 1.2( bestimmt eine Schar von Selbstabbildungen rr : 1.2( ----t 1.2(. Ver

langt man, daß zwei bestimmte Punkte Po und Qo = rr(Po) einander bei der Abbildung rr entsprechen, so wird durch die lineare Transformation T die Abbildung rr auffolgendem Weg eindeutig festgelegt. Ist P E 1.2( ein beli.ebiger Punkt, so ist dem Paar (Po, P) ein wohlbestimmter Vektor x E T zugeordnet und diesem ein Vektor TX E Tj durch den Vektor TX ist dann ein

Punkt Q, für den TX = QoQ ist, eindeutig bestimmt: Dieser ist das Bild von P unter der Abbildung rr (Abb. 3.1). Eine solche

Abb. 3.1 Abbildung rr heißt eine affine Transfor-mation. Bei einer affinen Transformation

bleiben die affinen Grundbeziehungen, die Beziehungen zwischen Punkten und Vektoren, wie sie in den Axiomen des affinen Raumes verlangt werden, erhalten, denn die Konstruktion der Transformation rr ist so konzipiert, daß für beliebige Punkte P und Q stets

(3.9)


gilt. Sind nämlich P und Q zwei beliebige Punkte, so folgt aus (3.1) und (3.3) sowie aus der Linearitätseigenschaft der Transformation T

--------tl ) ) )

= -O'(Po)O'(P) + O'(Po)O'(Q) = O'(P)O'(Po) + O'(Po)O'(Q) )

= O'(P)O'(Q).

Eine affine Transformation 0' ist genau dann injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv, wenn die lineare Transformation Tim Tangentialraum injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv ist. Der einfache Beweis für diese Behauptungen sei dem Leser zur Übung überlassen.

Die Beziehungen zwischen den Koordinaten zweier Punkte, die einander bei einer affinen Transformation 0' entsprechen, findet man auf folgende Weise. Durch die Transformation T im Tangentialraum werden die Basisvektoren ei des Koordinatensystems in ~ auf Vektoren Tei abgebildet, die sich mit Hilfe einer Transformationsmatrix {t1} darstellen lassen,

Tei = 'L,jt{ej (vgl. (1.12)). Ist", eine Karte für ~ und sind Xi bzw. Yi die Koordinaten der Punkte P bzw. Q = O'(P), so folgt aus (3.6) und (3.9)

N N N N N

T(P;;P) = ~)Xi - Xi)Tei = ~)Xi - xi) L dej = L(L d(Xi - xi)) ej i=l i=l j=l j=l i=l

N

= O'(Po)O'(P) = L(Yj - yj)ej . j=l

Daraus findet man jetzt durch Vergleich

N

Yj =yj + Lt{(Xi -xi) i=l

beziehungsweise

N N

Yj = L t1 xi + bj , bj = yj - L t1x~ . i=l i=l

(3.10)

Gleichungen der Form (3.10) können also auf zweierlei Arten interpretiert werden, einerseits als Koordinatentransformation, indem die Größen Xi bzw. Yi als die affinen Koordinaten ein und desselben Punktes, nur bezogen auf zwei verschiedene Koordinatensysteme, aufgefaßt werden, andererseits als Punkttransformation, bei der dem Punkt mit den Koordinaten Xi der Punkt mit den Koordinaten Yi bezüglich eines festen Koordinatensystems zugeordnet wird. In der Deutung als Koordinatentransformation muß die Transformationsmatrix {t{} allerdings regulär sein, da man von einer Koordinatentransformation die Umkehrbarkeit verlangt. Beschreiben die Gleichungen (3.10) eine affine Transformation 0', so braucht die Matrix


{ t1} nicht regulär zu sein; wenn sie es aber ist, so ist die Transformation u bijektiv und somit umkehrbar. Es ist dann auch die Umkehrung u-1 eine affine Transformation, sie wird beschrieben durch die Gleichungen

N

Xi = L t'~Yj + Ci ,

j=l

worin die Matrix {t'1} die Inverse der Matrix {t{} ist.

Eine Selbst abbildung u:~ ~ ~ ist natürlich nur dann eine affine Transformation, wenn durch sie eine lineare Transformation T im Tangentialraum gegeben ist. Hiefür muß u einerseits der Bedingung

PQ = RB =? u(P)u(Q) = u(R)u(S)

genügen, anderseits muß die über die Gleichung (3.9) einzuführende Transformation T:T ~ T des Tangentialraumes linear sein. Additiv ist sie jeden-

-------) -------)

falls, denn sind a = pp' und b = QQ' beliebige Vektoren im Tangential-raum von ~, so gibt es einerseits nach der Forderung (ii) einen Punkt R,

-------) -------)

sodaß b = QQ' = p' R ist, andererseits gilt wegen ------+) ) )

u(P)u(R) = u(P)u(P') + u(P')u(R)

die Gleichung -------) -------) -------) -------) ~ )

T(a + b) = T(P p' + QQ') = T(P p' + P'R) = T(P R) = u(P)u(R) -------:-tl ) ) )

= u(P)u(P') + u(P')u(R) = u(P)u(P') + u(Q)u(Q')

= Ta + Tb.

Die durch (3.9) definierte Transformation T ist somit automatisch additiv, ihre Homogenität muß jedoch eigens gefordert werden.

Die identische Transformation ~ in T, deren Transformationsmatrix die Elemente t{ = 6{ hat, bestimmt eine affine Transformation, die man eine Translation nennt.

Sind ~1 und ~2 zwei affine Räume mit den Tangentialräumen Tt und 72, so induziert eine lineare Abbildung T : Tt ~ 72 der Tangentialräume eine Abbildung u : ~1 ~ ~2, welche eindeutig bestimmt ist durch die Forderung, daß zwei gewisse Punkte einander bei der Abbildung entsprechen. Wenn die Abbildung u wieder so konstruiert wird, daß die Gleichung (3.9) uneingeschränkt gültig ist, bleiben die affinen Grundbeziehungen zwischen Punkten und Vektoren erhalten; deshalb heißt u eine affine Abbildung der Räume ~1 und ~2' Ist 11:1 eine Karte für den N-dimensionalen affinen Raum ~1, 11:2 eine Karte für den M-dimensionalen affinen Raum ~2, so stellt die Funktion 11:;-1 0 U 0 11:1 : lRN ~ lRM die Beziehungen zwischen den Koordinaten der Punkte in ~1 bzw. ~2 her. Um diese Funktion anzugeben, ist zunächst davon auszugehen, daß durch die lineare Transformation


T : ~ ----7 T2 der Tangentialräume die Basisvektoren ei in ~ auf Vektoren Tei E T2 abgebildet werden. Drückt man diese durch die Basisvektoren Ii des Koordinatensystems in Ilh aus (vgl. (1.12)), so erhält man für zwei beliebige Punkte P und Po in Ilh, wenn Xi die Koordinaten der Punkte in 1lt1 und Yi die Koordinaten der Punkte in 1lt2 sind,

N N M M N

T(P;:P) = ~)Xi - Xi)Tei= ~)Xi - xi) L t{Ii = L(L t{(Xi - xi)) Ii i=1 i=1 j=1 j=1 i=1

M

= O"(Po)O"(P) = L(Yj - Yj)Ii ,

somit N

Yj=Lt{Xi+bj, i=1

j=1

N

bJ· = y? - "t~x? J L...J."

i=1 j=1,2, ... ,M. (3.11)

Diese Gleichungen lassen sich symbolisch in der Form y = 1\:2 1 0 0" 0 1\:1 (x) schreiben.

Eine affine Transformation 0" : 1lt1 ----7 1lt2 ist gen au dann injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv, wenn die lineare Abbildung T:~ ----7 T2 der Tangentialräume injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv ist. Ist 0" eine injektive affine Abbildung, so ist dimllt1 :::; dirn 1lt2 , ist 0" surjektiv, so gilt dimllt1 ~ dimllt2 •

Die lineare Abbildung T : ~ ----7 T2 der Tangentialräume zweier affiner Räume 1lt1 und 1lt2 wird Ableitung oder Differential der affinen Abbildung 0" : 1lt1 ----7 1lt2 genannt, symbolisch T = dO".

In den folgenden Paragraphen wird den Vektor- und Tensorfeldern in der Regel der ganze Raum als "Definitionsbereich" zugrundegelegt werden. Gelegentlich ist es aber dennoch zweckdienlicher, derartige Größen nur in gewissen Teilbereichen zu untersuchen, in denen sie besondere Merkmale aufweisen. Im Hinblick darauf ist es erforderlich, einige topologische Begriffs bildungen vorauszuschicken. Eine mehr ins Detail gehende Behandlung soll in Kap. 5 nachgeholt werden.

Man nennt eine Teilmenge .0 ~ Ilt offen im affinen Raum Ilt, wenn das Urbild 1\:-1(.0) ~ ]RN, also die Menge aller Punkte x E]RN mit I\:(x) E .0, eine in ]RN offene Menge ist. Diese Definition ist unabhängig von der Karte I\: und damit vom Koordinatensystem K in Ilt. Ist nämlich j( ein anderes Koordinatensystem mit der Karte ir, , so bildet 1\:-1 die Teilmenge .0 auf eine Menge 0 ~ ]RN ab, ir,-1 auf eine Teilmenge Ö ~ ]RN. Die stetige bijektive Funktion ir,-1 01\:, deren Koordinaten durch die Gleichungen (3.5) gegeben sind, bildet dann 0 auf Ö ab. Da eine offene Menge durch eine bijektive stetige Funktion stets auf eine offene Menge abgebildet wird, ist unter diesen Umständen die Menge 0 ~ ]RN genau dann offen in ]RN,

wenn die Menge Ö offen in ]RN ist. Eine in ]RN offene Menge 9 heißt ein Gebiet, wenn 9 zusammenhän

gend ist, d.h. wenn zwei beliebige Punkte in 9 durch einen ganz in 9 verlaufenden Polygonzug verbunden werden können. Man nennt diese Art des

3.2 Skalar- und Vektorfelder 107

Zusammenhanges auch "bogenzusammenhängend" . Dies veranlaßt nun, eine offene Menge 6 ~ ~ ein Gebiet in ~ zu nennen, wenn 11:- 1(6) ~ IRN

ein Gebiet in IRN ist. Diese Definition ist wieder unabhängig von der Karte 11:. Ist 9 = 11:-1 (6) und 9 = ~-1 (6), so bildet die bijektive stetige Funktion ~-1 Oll: die offenen Mengen 9 und 9 umkehrbar eindeutig aufeinander ab. Da eine stetige Funktion eine zusammenhängende Menge auf eine zusammenhängende Menge abbildet, ist folglich 9 genau dann zusammenhängend, wenn 9 zusammenhängend ist.

3.2 Skalar- und Vektorfelder

Wird jedem Punkt eines N -dimensionalen affinen Raumes ~ mit dem Tangentialraum T eine Zahl aus dem Grundkörper von T - im folgenden stets der Körper IR der reellen Zahlen - zugeordnet, so spricht man von einem Skalar/eid auf~. Ein Skalarfeld ist demnach eine Funktion w : ~ ----7 IR. Mittels der durch ein Koordinatensystem }( in ~ bestimmten Karte 11: kann das Skalarfeld w(F) durch die zusammengesetzte Funktion WOll: als reelle Funktion der Koordinaten Xi beschrieben werden. Einem Skalarfeld w : ~ ----7 IR wird eine Eigenschaft dann zugesprochen, wenn sie die Zusammensetzung WOll: als reelle Funktion von N unabhängigen Veränderlichen für jede beliebige Karte 11: besitzt.

So nennt man ein Skalarfeld w stetig auf ~, wenn die Funktion WOll:

stetig auf IRN ist, und differenzierbar, wenn WOll: auf IRN differenzierbar ist. Die Differenzierbarkeit ist dabei gewährleistet, wenn die partiellen Ableitungen der Funktion WOll: existieren und stetig sind. Wenn alle partiellen Ableitungen bis einschließlich einer gewissen Ordnung k ~ 1 existieren und auf IR N stetige Funktionen sind, so spricht man von einem Skalarfeld der Klasse C k , wobei in der Klasse Coo die beliebig oft differenzierbaren Skalarfelder zusammengefaßt werden. Im folgenden sollen Skalarfelder stillschweigend immer als differenzierbare Funktionen verstanden werden, zugehörig einer gewissen Klasse C k von hinreichend hoher Ordnung. Ferner soll an Stelle der korrekten Schreibweise 8(;:.1<) für die ersten - und analog für

die höheren - partiellen Ableitungen vielfach ::. geschrieben werden.

Aus zwei Skalarfeldern läßt sich durch Addition und Multiplikation ein drittes Skalarfeld ableiten. Erklärt man Summe und Produkt zweier Skalarfelder auf die übliche Art, so bilden die Skalarfelder bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe, denn die Addition reellwertiger Funktionen ist assoziativ, kommutativ und umkehrbar. Da auch die Multiplikation assoziativ und kommutativ ist und das distributive Gesetz erfüllt, bilden die Skalarfelder auf ~ einen assoziativen und kommutativen Ring mit Einselement, der fortan mit lF(~) bzw. kurz IF bezeichnet werden soll. Dieser Ring wird im folgenden jene Rolle übernehmen, die der Zahlenkörper für lineare Vektorräume innehat.


Eine durch ein Skalarfeld w : ~ ~ lR gegebene reelle Größe wird auch ein Skalar oder eine Invariante genannt. Damit soll zum Ausdruck gebracht werden, daß w(P) unabhängig vom Koordinatensystem ist, also unverändert aus einer Koordinatentransformation hervorgeht, im Gegensatz zur Funktion WO"', die bei einem Koordinatenwechsel K ~ j( in

wo R, = wo'" 0 (",-1 0 R,)

verwandelt wird; darin beschreibt die Funktion ",-1 0 R, den Übergang von den Koordinaten ii auf die Koordinaten Xi (vgl. (3.4) und (3.5)).

Eine Zuordnung v, durch die in jedem Raumpunkt P E ~ ein Vektor ~

v(P) = PQ E T angesetzt wird, heißt ein Vektorfeld auf~. Ist der affine Raum ~ auf ein Koordinatensystem K = {O, ß} bezogen, so sind die Koordinaten des Vektorfeldes v reelle Funktionen Vi : ~ ~ lR,

N

v(P) = I: Vi(P) ei .

i=l

Ist '" die zum Koordinatensystem K gehörige Karte, so kann man die Ortsabhängigkeit der Koordinaten Vi(P) durch die Funktionen Vi 0 '"

ausdrücken. Bei einem Wechsel des Koordinatensystems verändern sich die Koordinaten eines Vektorfeldes, sofern es sich nicht um eine bloße Verlegung des Koordinatenursprungs handelt. Ist der Übergang K ~ j( mit einem Basiswechsel ß ~ B im Tangentialraum verbunden, der durch die Gleichungen (1.24) und (1.26) beschrieben wird, so transformieren sich die Koordinaten eines Vektorfeldes nach der Regel (1.66),

N N

Vi(P) = I: a~Vj(p), Vi(P) = I: a~Vj(p). j=l j=l

Um bei einem Wechsel des Koordinatensystems (3.4) bzw. (3.5) die Koordinaten der jeweiligen Bezugssysteme hervorzuheben, sollen in Hinkunft an Stelle der (konstanten!) Matrixelemente a1 bzw. a1 in (3.4) und (3.5), die in die Transformationsgesetze eingehen, die partiellen Differentialquotienten

j 8xj vj 8ij ai = 8--' ai = -8 ' (3.12)

Xi Xi

die Matrixelemente der Ableitungen der zueinander inversen Funktionen x = R,-1 0 ",(x) und x = ",-1 0 R,(x) zur Formulierung der Transformationsgesetze für Vektoren, Linearformen usw. herangezogen werden,

(3.13)

Die Reziprozität der Transformationsmatrizen tritt dabei in den einprägsamen Beziehungen

~ 8ii 8Xk = 8ii = 6~, L...J 8x k 8i . 8i . ] k=l ] ]

(3.14)


zutage. Darüberhinaus erweist sich die Gewöhnung an diese Notation schon mit Rücksicht auf spätere Verallgemeinerungen als vorteilhaft.

Ein Vektor aus dem Tangentialraum von ~ ordnet einem Skalarfeld in

jedem Punkt eine Invariante zu. Ist v = PQ E T und sind Vi die Koordinaten dieses Vektors im Koordinatensystem einer Karte K, für ~, so heißt

N

v(w)(P) := "Vi(P) 8(woK,) I L.J 8x' ,.-l(P) i=l '

(3.15)

die Ableitung von W in Richtung von v oder kurz die Richtungsableitung von W im Punkt P. Der Wert der Summe rechts ist unabhängig vom Koordinatensystem in ~, denn bezüglich einer Karte K- ist einerseits auf Grund der Kettenregel

8w = 8(wOK-) = ~ 8(woK,) 8xj = ~ 8xj 8w 8i . 8i . L.J 8x . 8i . L.J 8i· 8x· '

, 'j=l] 'j=l' J

andererseits auf Grund des Transformationsgesetzes (3.13) für die Koordinaten eines Vektorfeldes

~ Vi 8w = ~ Vi 8(wOK-) = ~ V k 8i i 8Xj 8(woK,) L.J 8i· L.J 8i· L.J 8Xk 8i· 8x· i=l 'i=l 'i,j,k=l ']

N N = " otvk 8(woK,) = "vj 8w ,

L.J 8x . L.J 8x . j,k=l ] j=l ]

worin (3.14) verwendet wurde. Somit ist die Richtungsableitung eines Skalarfeldes eine Invariante.

Ist nun v ein Vektorfeld auf ~ und wein Skalarfeld, so wird durch (3.15) dem Skalarfeld w in jedem Punkt von ~ ein Skalar zugeordnet, d.h. das Vektorfeld v ordnet dem Skalarfeld weine reelle Funktion zu, die man mit v( w) bezeichnet und die Richtungsableitung des Skalar/eides w bezüglich des Vektorfeldes v nennt. Diese Funktion ist linear, d.h. für reelle Zahlen .\1 und .\2 gilt

V(.\lWl + '\2W2) = .\lV(Wl) + .\2V(W2)' und sie genügt der Produktregel

V(WIW2) = V(WdW2 + WIV(W2)' Sind nämlich Wl und W2 beliebige Skalarfelder, so ist

(3.16)

(3.17)

8[(WIW2)OK,] = ß[(WIOK,)(W2 0K,)] = 8(WIOK,) (W20K,)+(WIOK,)8(W20K,) ßXi 8Xi 8Xi 8Xi

und deshalb N N N

( ) _ "Vi 8( Wl W2) _ "Vi 8Wl " Vi 8W2 v WIW2 - L.J 8 - L.J a W2 +Wl L.J a

i=l Xi i=l Xi i=l Xi

= V(WdW2 + WIV(W2)'


Ein Vektorfeld ist also auch eine Funktion, die einem Skalarfeld eine reelle Funktion auf ~ zuordnet. Ob es sich bei dieser wieder um ein Skalarfeld handelt, hängt von der Differenzierbar keit der reellen Funktion v (w) und damit vom Vektorfeld v ab. Dies führt zum Begriff des differenzierbaren Vektorfeldes, und zwar auf eine von Koordinaten unabhängige Weise: Ein Vektorfeld v auf ~ wird differenzierbar (einer Klasse C k zugehörig) genannt, wenn für jedes Skalarfeld w (aus der Klasse Ck ) das Skalarfeld v(w) differenzierbar (der Klasse Ck zugehörig) ist.2 ) Die Differenzierbarkeit von Vektorfeldern soll im folgenden, wie es auch für Skalarfelder vereinbart wurde, stillschweigend Voraussetzung sein.

Die durch ein differenzierbares Vektorfeld gegebene Funktion v:lF ----+ lF ist linear, hinsichtlich der Addition im Ring IF gilt (3.16), was die Multiplikation anlangt, so gilt die Produktregel (3.17).

Wird jedem Punkt P E ~ eine Linearform a(P) aus dem Kotangentialraum T* zugeordnet, so spricht man von einer Linearform auf~. Ist K = {O, ß} ein Koordinatensystem in ~ und ß* = {cl, ... , cN} die zu ß duale Basis im Kotangentialraum T*, so ist

N

a(P) = L Ai(P) ci. i=l

Die Koordinaten der Linearform a sind reelle Funktionen Ai : ~ ----+ IR, deren Ortsabhängigkeit durch die reellen Funktionen Ai 0 K, beschrieben wird. Beim Übergang K ----+ iC zu einem anderen Koordinatensystem in ~ transformieren sich die Koordinaten Ai einer Linearform a nach der Regel (1.67); macht man von der Notation (3.12) Gebrauch, so lautet dieses Transformationsgesetz

(3.18)

Eine Linearform a auf ~ ordnet einem Vektorfeld v auf ~ im Punkt P die reelle Größe

N N N

(a(P),v(P)) = L AiVj(ci,ej) = L o}AiV j = LAyi (3.19) i,j=l i,j=l i=l

zu, die unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems in ~ ist, denn sie ändert sich nicht bei einem Wechsel des Koordinatensystems K ----+ iC,

N N a a- N N

" XVi =" Xj A-~ V k = " oLAjVk = " AjVj , ~ > . ~ aOXi J aXk L..J L..J >=1 >,J,k=l j,k=l j=l

2) Drückt man dies in Koordinaten aus, so ist ein Vektorfeld genau dann differenzierbar, wenn die Koordinaten Vi 0 K, für jede Karte von !2t differenzierbare Funktionen sind (wobei es offenbar auch genügt, die Differenzierbarkeit für eine einzige Karte zu fordern).


wie es für das Skalarprodukt selbstverständlich ist. Diese Invarianz bedeutet, daß durch (3.19) ein Skalarfeld gegeben ist. Damit erscheint eine Linearform a als Funktion, die einem Vektorfeld v das Skalarfeld a( v) = (a, v) zuordnet. Es liegt nahe, die differenzierbare Linear/arm über die Differenzierbarkeit dieses Skalarfeldes einzuführen: Eine Linearform a heißt differenzierbar auf ~ (einer Klasse Ck zugehörig), wenn das Skalarfeld a( v) für jedes differenzierbare (der Klasse Ck zugehörige) Vektorfeld v differenzierbar (der Klasse Ck zugehörig) ist.3 ) Auch Linearformen werden im folgenden stets als differenzierbar vorausgesetzt.

Jedes Skalarfeld w E IF bestimmt eine Linearform dw auf~, nämlich

N

" ·8w dw(v) = (dw,v) := ~ V· 8x' = v(w) i=l •

(3.20)

für jedes Vektorfeld v. Diese Linearform heißt das Differential des Skalarfeldes w. Der Wert des Differentials eines Skalarfeldes im Punkt P E ~ ist die Ableitung von w in Richtung des Vektors v(P) E T. Die Koordinaten des Differentials eines Skalarfeldes w sind die partiellen Differentialquotienten ::. ' deren Transformationsgesetz

N 8w _ ,,8xj 8w 8x' - ~ 8x· 8x'

• j=l • J

(vgl. (3.18)) nichts anderes als die Kettenregel ist.

Das Differential eines Skalarfeldes ist wie die Richtungsableitung eines Vektorfeldes eine lineare Operation, denn bezüglich der Addition im Ring IF gilt (vgl. (3.16)).

d(.\l W1 + '\2W2) = .\ldw1 + .\2 dw2

für beliebige reelle Zahlen .\1 und '\2, hinsichtlich der Multiplikation im Ring IF gilt die Praduktregel (vgl. (3.17))

d(WIW2) = (dwt)W2 + wl(dw2).

Spezielle konstante Linearformen auf ~ sind die Basisvektoren c;i im Kotangentialraum T*. Wegen

N N

c;i(v) = (c;i,v) = 2: Vj (c;i,ej) = 2: vjö; = Vi j=l j=l

(vgl. (1.16)) ordnet die Linearform c;i jedem Vektor in P seine i-te Koordinat.e zu. Dies leisten aber auch, wenn mit <Pi die i-te Koordinate der

3) Offenbar ist ist eine Linearform Cl gen au dann differenzierbar auf2t, wenn die Koordinatenfunktionen Ai 0 K, in jedem Koordinatensystem für 2t differenzierbare (einer Klasse C le zugehörige) Funktionen sind.


Funktion 11:- 1 bezeichnet wird, die Differentiale der Koordinatenfunktionen (<Pi 0 1I:)(x) = xi,

N N N

dXi(V) = ,,8(<pi O Il:) V k = " 8Xi V k = "C~Vk = Vi, (3.21) L...J 8x k L...J 8x k L...J k=1 k=1 k=1

sodaß die Basisvektoren ei im Kotangentialraum T* mit den Linearformen dXi zu identifizieren sind; sie werden die Koordinatendifferentiale genannt4).

Setzt man daher aus (3.21) in (3.20) ein, so erhält das Differential eines Skalarfeldes die Form

(3.22)

------t Ist ßx = PQ ein "Ortszuwachs" mit den Koordinaten ßXi, so ist die Ableitung eines Skalarfeldes w in Richtung des Ortszuwachses ßx der Wert des Differentials dw für den Ortszuwachs ßx,

N 8w dw(ßx) = L 8x. ßXi. (3.23)

i=1 1

Diese Größe nähert die Differenz ßw = w( Q) - w(P) von höherer als erster Ordnung an, d.h. ßw - dw( ßX) geht mit Q ---+ P schneller gegen Null als

die Koordinaten des Ortszuwachses PQ, denn die Funktion e(ßx) in

ßw = w(Q) - w(P) = dw(ßx) + y'(ßX1)2 + ... + (ßXN)2 e(ßx)

hat den Grenzwert 0 für Q ---+ P. Beim Übergang zu "infinitesimal kleinen" Ortszuwächsen ersetzt man das "Differenzensymbol" ß durch das "Differentialsymbol" d, aus den Differenzen ßXi in (3.23) werden die Differentiale dXi in (3.22), welche dann gern als die Koordinaten eines infinitesimalen Ortszuwachses dx angesehen werden, im Einklang damit, daß sich die Koordinatendifferentiale dXi bei einem Wechsel JC ---+ j( des Koordinatensystems wie die Koordinaten eines Vektors, also nach (3.13) transformieren,

N 8-dXi = L 8:~ dXj.

j=1 ] (3.24)

4) Es wurde vereinbart, die Basisvektoren im Tangentialraum durch tiefgestellte, die Basisvektoren im Kotangentialraum durch hochgestellte Indizes zu numerieren. Im Rahmen dieser Übereinkunft werden Indizes von Größen -Koordinaten- wie Numerierungsindizes -, die sich kontragredient, also wie ein Vektor transformieren, hochgestellt, Koordinaten- und Numerierungsindizes von Größen, die sich kogredient, also wie eine Linearform transformieren, tiefgestellt. Die einzige Ausnahme von dieser Regel bilden die Koordinatendifferentiale. Dazu kommt es durch die Art der Numerierung der Koordinaten durch tiefgestellte Indizes (was eigentlich nicht in der Natur der Sache liegt, denn Koordinaten von Punkten sind im Grunde Koordinaten von Vektoren); würde man die Koordinaten durch hochgestellte Indizes numerieren, was auch gewisse Nachteile hat, so würde es dieser Ausnahmeregelung nicht bedürfen.

3.3 Tensorfelder 113

Diese Interpretation der Gleichung (3.22) mag zwar der Anschaulichkeit dienen, der im Beiwort "infinitesimal" oder "differentiell" versteckte Begriff des unendlich Kleinen ist aber mathematisch nicht haltbar. Diese Ungereimtheit beseitigt man, indem man Differentiale als Linearformen einführt, die Koordinatendifferentiale dXi als jene, die einem Orstzuwachs (einem Vektor) seine Koordinaten bezüglich des zugrundegelegten Koordinatensystems zuordnen. Differentiale sind also grundsätzlich Linearformen und damit Funktionen und keine Zahlen wie die Differenzen ßXi. Die Gleichung (3.22) bringt zum Ausdruck, wie das Differential dw als Linearkombination der Basisformen darzustellen ist. Damit wird auf saubere Art und Weise die Klippe, die das unendlich Kleine schafft, umfahren. Solange man sich dessen bewußt ist, kann es aus Gründen der Anschaulichkeit durchaus dienlich sein, Differentiale als infinitesimale Zuwächse anzusehen. -

Die Vektorfelder und Linearformen auf einem affinen Raum ~ haben eine algebraische Struktur, die derjenigen des linearen Vektorraumes formal zwar sehr ähnlich ist, aber eine schwächere Voraussetzung hat. Erklärt man als Summe u + v zweier Vektorfelder u und v jenes Vektorfeld, dessen Feldvektor im Punkt P E ~ durch

(u + v)(P) := u(P) + v(P)

gegeben ist, und als Produkt eines Vektorfeldes v mit einem Skalarfeld w aus dem Funktionenring lF das Vektorfeld wv,

(wv)(P) := w(P)v(P) ,

so erfüllen diese Operationen formal zwar die Forderungen (i) bis (vii) des linearen Vektorraumes, nur mit dem Unterschied, daß an die Stelle des Grundkörpers IK, in dem die Multiplikation umkehrbar ist, der Ring IF der Skalarfelder getreten ist, in dem die Multiplikation nicht umkehrbar ist 5}. Eine solche algebraische Struktur nennt man einen Modul; mit \l(~) bzw. kurz U sei fortan der Modul der Vektorfelder auf ~ bezeichnet. Durch analoge Definitionen wird die Gesamtheit aller Linearformen auf ~ zu einem Modul, dem sinngemäß das Symbol u*(~) bzw. kurz u* zugewiesen wird.

3.3 Tensorfelder

Die Skalar- und Vektorfelder sind die elementaren und auch anschaulichsten Vertreter des physikalischen Feldbegriffs. Durch sie lassen sich Feldgrößen mathematisch beschreiben, deren physikalischer Natur es entspricht, durch Maßzahlen bzw. durch Stärke und Richtung ausgemessen zu werden. Doch nicht alle physikalischen Größen lassen sich mathematisch durch Skalare

5} In einem linearen Vektorraum folgt aus einer Gleichung Aa = 0 entweder a = 0 oder A = 0, denn die Annahme a -10 und A -I 0 führt auf den Widerspruch a = la = (A -1 A)a = A -l(Aa) = A -1 0 = o. Gehört aber A einem Ring an, so kann dieser Schluß offenbar nicht gezogen werden (siehe Anhang).


und Vektoren erfassen, auch wenn es, wie z.B. beim Kraftbegriff, noch so naheliegend erscheint. Obwohl man damit, wenigstens formal, durchaus in gewisse Tiefen vordringen kann, so sind dem Bestreben, zu einem umfassenderen Verständnis zu gelangen, doch gewisse Grenzen gesetzt, wenn man auf die wahre physikalische Natur der Feldgrößen nicht eingeht. Einen Zugang hiefür bietet der Begriff des Tensorfeldes. Die Feldgröße eines Tensorfeldes ist ein Tensor, also eine multilineare von Punkt zu Punkt sich ändernde Funktion im Raum, deren Argumente Vektoren aus dem begleitenden Tangentialraum und seines Dualraumes sind.

Der Raum sei im folgenden ein N -dimensionaler affiner Raum ~ mit dem Tangentialraum T; IF ist der Ring der Skalarfelder auf~, \l der Modul der Vektorfelder, \l* der Modul der Linearformen auf~.

Ein Skalarfeld w E IF heißt ein Tensorfeld nullter Stufe.

Ist n ~ 1 eine natürliche Zahl, so heißt eine multilineare Abbildung

r.p : \ln -t IF

ein kovariantes Tensorfeld oder ein kovarianter Tensor n-ter Stufe auf ~.

Ein kovariantes Tensorfeld r.p ist also eine multilineare Funktion, die n Vektorfeldern VI, V2, ••. , V n das Skalarfeld r.p( VI, V2, ..• ,Vn ) E IF zuordnet. Sind VIi, V2i , ... , V~ die Koordinaten dieser Vektorfelder bezüglich einer Karte K, für ~, so erhält man auf Grund der Multilinearität

N N N

r.p( VI, V2, ••• ,Vn ) = L L ... LVIiI V2i2 ••• V~" r.p( eip ei2 , ••• ,ei,,) .

i 1 =1 i 2 =1 i,,=1

Die ortsabhängigen Größen

heißen die Koordinaten des kovarianten Tensorfeldes r.p bezüglich des Koordinatensystems K in ~; diese transformieren sich bei einem Wechsel K -t j( des Koordinatensystems nach der Vorschrift (vgl. (2.1) und (3.12))

N N N

- () '" '" '" BXjl BXh BXj" qli 1 i 2 ••• i" P = L...J L...J ... L...J Bi' Bi' ... Bi' cIlith ... j,.{P) ,

jl=Ih=I j,,=1 '1 '2 '"

(3.25)

wie eine einfache und ihrem Gang nach schon mehrfach vorgeführte Rechnung zeigt.

Eine Linearform 0: auf ~ ist ein kovariantes Tensorfeld erster Stufe auf ~. Man spricht auch von einem kovarianten Vektorfeld auf~.

Ist m ~ 1 eine natürliche Zahl, so heißt eine multilineare Abbildung

1/; : \l*m -t IF

ein kontravariantes Tensorfeld oder ein kontravarianter TenlJor m-ter Stufe auf ~.

Ein kontravariantes Tensorfeld 1/; der Stufe m ordnet m Linearformen 0:1 , 0:2 , ..• , o:m auf ~ das Skalarfeld 1/;(0:1 ,0:2 , ••. ,o:m) E IF zu: Sind A~,


A~, ... , Ai die Koordinaten dieser Linearformen bezüglich einer Karte K,

für !l, so ist

N N N

.,p(o\o?, ... ,am ) = L L ... L A;lA~2 ... A'J:.,p(ei"eh, ... ,eim ); h=l h=l im=l

die Größen 'iJ!id2 ... i", (P) := .,p( eil, eh , ... , ci", )

heißen die Koordinaten des kontravarianten Tensorfeldes .,p bezüglich des Koordinatensystems K in !l. Bei einem Wechsel des Koordinatensystems transformieren sie sich nach der Regel (vgl. (2.2) und (3.12))

N N N 8- 8- 8-~id2 ... i",(p) = " " ... " Xi1 xj,... Xi", 'iJ!i1i2 ... im(p). (3.26)

L.J L.J L.J 8x· 8x . 8x . i 1 =1 i 2 =1 i",=l '1 '2 '",

Ein Vektorfeld v ist ein kontravariantes Tensorfeld erster Stufe auf !l.

Aus dem Begriff des gemischten Tensors geht das Konzept des gemischten Tensorfeldes hervor. Eine multilineare Abbildung

X : u*m x un -t IF

heißt ein gemischtes Tensorfeld oder ein gemischter Tensor (n + rn )-ter Stufe auf !l, und zwar ein rn-fach kontravarianter und n-fach kovarianter Tensor. Seine Koordinaten sind die Funktionen

Xi1 ... i",(P) ( i 1 im ) h ... in :=Xe , ... ,e ,eill··· ein·

Sie transformieren sich bei einem Wechsel des Koordinatensystems gemäß

Xi.1 ... i.",(P) = ~ ~ 8Xi1 ... 8Xim 8Xk1 ... 8Xkn Xh1 ... hm(p). J1···Jn L.J L.J 8x 8x 8x· ox. k 1 ... k n

h 1, ... ,h",=1 k 1,. .. ,kn=1 h 1 h", 31 Jn (3.27)

Tensoren sind multilineare Funktionen, die einem System von Vektoren und Linearformen eine reelle Zahl zuordnen. Dieser "Funktionswert" ändert sich nicht, wenn man zu einer anderen Basis im Vektorraum übergeht, weshalb der Funktionswert eines Tensors auch eine Invariante genannt wird. Bei Tensorfeldern treten an die Stelle der Vektoren in T und der Linearformen im Dualraum T* die Vektorfelder aus dem Modulu und die Linearformen aus dem Modulu*. Durch die Funktionswerte des Tensorfeldes für ein System von Vektorfeldern bzw. Linearformen wird daher ein Skalarfeld bestimmt. Dessen Ortsabhängigkeit ist einerseits darin begründet, daß die Argumente von Punkt zu Punkt variieren, andererseits ist sie eine Folge der von Punkt zu Punkt sich ändernden Funktionsvorschrift -letztere bewirkt die Ortsabhängigkeit der Koordinaten eines Tensorfeldes.

Sinngemäß sind die Verknüpfungen von Tensoren auf Tensorfelder zu übertragen. Die Summe i 1 ••. iJP) die


Koordinaten des kovarianten Tensorfeldes r.p der Stufe n, "IJI i 1 ••• i n (P) die Koordinaten des gleichfalls n-stufigen kovarianten Tensorfeldes 1/;, so ist

(r.p + 1/;)(Vl,V2' ... ,vn ) := r.p(Vl,V2' ... ,vn ) + 1/;(Vl,V2, ... ,vn )

die Summe der Tensorfelder r.p und 1/;; die Koordinaten dieses Tensorfeldes sind durch Addition der Koordinaten der Summanden zu berechnen,

CPi1i2 ... iJP) + "IJIi1i2 ... iJP).

Analoge Definitionen erklären die Summe kontravarianter und die Summe gemischter Tensorfelder.

An die Stelle der Multiplikation eines Tensors mit einer Zahl aus dem Grundkörper von T tritt jetzt die Multiplikation eines Tensorfeldes mit einem Skalar/eId. Ist w E IF ein solches und r.p : un --t IF ein kovariantes Tensorfeld der Stufe n, so ist 1/; = wr.p : un --t IF ein kovariantes Tensorfeld derselben Stufe, dessen Koordinaten durch Multiplikation der Koordinaten von r.p mit w hervorgehen,

"IJIi1i2 ... iJP) = w(P)CPi1i2 ... iJP).

Das Produkt kontravarianter sowie gemischter Tensorfelder mit einem Skalarfeld wird durch gleichlautende Definitionen erklärt. Damit haben die Tensorfelder auf Il, wenn sie von derselben Art sind und auch in ihrer Stufe übereinstimmen, die Struktur eines Moduls über dem Ring der Skalarfelder. Mit Rücksicht auf eine kurze und bündige Sprechweise sollen für das Folgende die Symbole tn(ll) für den Modul der kovarianten, tm(ll) für den Modul der kontravarianten und t:UU) für den Modul der gemischten Tensorfelder auf Il Verwendung finden, wobei der Hinweis auf den affinen Raum 2t, wenn keine Mißverständnisse entstehen können, entfallen kann. Sinngemäß ist t~ = IF der Modul der Skalarfelder, t1 = t~ = u* der Modul der Linearformen und t1 = tö = u der Modul der Vektorfelder.

Die Multiplikation von Tensorfeldern erfordert wieder keinerlei Einschränkung hinsichtlich Stufe und Art der Faktoren. Sind r.p E t: und 1/; E t~ zwei gemischte Tensorfelder, so ist ihr Produkt X = r.p ® 1/; E C::tpq das gemischte Tensorfeld mit den Koordinaten

X~l ... ?",ll .. .lq (P) = cp~l ... ?",(p)"lJlh ... lq (P). '1 ···.n k1 ... kp .1···.n k1 ... kp

In dieser Produktbildung sind für n = 0, m = 0, p = 0 und q = 0 die verschiedenen Tensorprodukte mit kovarianten und kontravarianten Faktoren enthalten, ebenso die Tensorprodukte mit Skalarfeldern, die mit der Multiplikation von Tensorfeldern und Skalarfeldern zusammenfallen. Das Produkt kovarianter Tensorfelder ist wieder ein kovariantes Tensorfeld, ebenso ist das Produkt kontravarianter Tensorfelder ein kontravariantes Tensorfeld. Ist w E IF ein Skalarfeld und r.p ein beliebiges Tensorfeld, so ist

wr.p = w ® r.p = r.p ® w .

Das Produkt von Tensorfeldern ist i.a. nicht kommutativ; ist aber r.p ein kovariantes und 1/; ein kontravariantes Tensorfeld, so gilt (vgl. (2.4))

r.p ® 1/; = 1/; ® r.p , r.p E tn, 1/; E tm •


Die Darstellung von Tensoren, wie sie in Kap. 2, §3 skizziert wurde, läßt sich ohne weiteres auf Tensorfelder übertragen. Ist K ein Koordinatensystem für ~, so ordnen die konstanten kovarianten Linearformen ci: b ---t IF einem Vektorfeld v dessen Koordinaten bezüglich der Basis des Tangentialraumes zu,

(vgl. (2.7)), die konstanten kontravarianten Tensorfelder ei: b* ---t IF haben auf einer Linearform a E b* die Werte

(vgl. (2.6)). Ein Produkt

ist daher ein kontravariantes Tensorfeld m-ter Stufe, welches für ein System von m Linearformen a 1 , a 2 , ••• , a m die Werte

(eil ® ei2 ® ... ® eim)(a1 , a 2 , ••• , am) = At A~2 ... Ai.:.

annimmt; infolgedessen ist

N

1/;(a1 , ... , am) = L q,il ... im(p) (eil ® ... ® eim)(a1 , ... , a m), i 1 , ... ,int =1

also (vgl. (2.8))

N

1/;= L Durch eine analoge Betrachtung findet man

N

r.p= L für ein kovariantes Tensorfeld der Stufe n (vgl. (2.9)) und

X= i 1 , ... ,in,==1 it,···,im=l

für ein n-fach kovariantes und m-fach kontravariantes gemischtes Tensorfeld (vgl. (2.10)).

Die Operation der Verjüngung von Tensoren kann ohne Schwierigkeiten auf Tensorfelder übertragen werden. Hält man in einem gemischten Tensorfeld X alle Argumente fest bis auf einen kovarianten Vektor a E b*

und einen kontravarianten Vektor v E b, so definiert die Bilinearform

x( ... ,a, ... ,v, ... ) = (a,Tpv)

in jedem Punkt P E ~ eine lineare Transformation T p : T ---t T im Tangentialraum des Punktes P, deren Spur einerseits eine Invariante ist, andererseits


linear von den übrigen zunächst fest gehaltenen Argumenten abhängt. Daher ist X = spur Tein Tensorfeld mit einer um 2 verminderten Stufe, dessen Koordinaten durch die Summen

N

X'" = "X··· i .. : .. . ... L.,.; ...... " .. . i=l

gegeben sind. Man sagt, das Tensorfeld X entsteht durch Verjüngung aus dem gemischten Tensorfeld X.

Aus der Tatsache, daß die Verjüngung von Tensoren mit den beiden Grundrechnungsarten im Vektorraum Tnm der gemischten Tensoren vertauschbar ist (vgl. (2.14)), läßt sich nun ohne weiteres der Schluß ziehen, daß die Verjüngung mit den beiden Grundrechnungsarten im Modul t~U~() der gemischten Tensorfelder vertauschbar ist, d.h. es gilt für zwei gleichartige gemischte Tensorfelder 'PI und 'P2, wenn mit V wieder die Operation der Verjüngung symbolisiert wird,

V(Wl'Pl +W2'P2) =WI V 'PI +W2V'P2 (3.28) für zwei beliebige Skalarfelder Wl und W2. Die ausführliche Beweisführung darf dem Leser überlassen werden.

Eine Verjüngung in einem Tensorprodukt 'P ®"p durch Auswahl eines kovarianten und eines kontravarianten Argumentes in jeweils einem der beiden Faktoren 'P und "p nennt man eine Überschiebung von'P mit "p bzw. "p mit 'P. Ein Beispiel hiefür ist das Skalarprodukt einer Linearform a und eines Vektorfeldes v, durch welches ein Skalarfeld gegeben ist,

N N

a(v) = (a,v) = I:: AiVj(t:i,ej) = I:: AiVi . i,j=l i=l

Betrachtet man das Tensorprodukt a ® v mit den Koordinaten Ai V j , so entsteht durch Verjüngung das Skalarfeld

V(a®v)=(a,v). (3.29) Ist 'P ein m-fach kontravariantes und n-fach kovariantes gemischtes Tensorfeld, so ergibt sich durch vollständige Verjüngung des Produktes von 'P mit m Linearformen a i und n Vektorfeldern Vj das Skalarfeld

V( 'P ® a 1 ® ... ® a m ® VI ® ... ® vn ) = 'P( a 1 , ••• ,am, vI, ... ,vn ). (3.30)

Abschließend sei auf die Symmetrieeigenschaften von Tensorfeldern hingewiesen, im besonderen auf jene, welche sich aus dem Konzept der symmetrischen und schiefsymmetrischen Tensoren entwickeln. Ein kovariantes Tensorfeld 'P heißt symmetrisch, wenn die Vertauschung zweier Vektorfelder in der Argumentliste am Funktionswert des Tensorfeldes nichts ändert, sodaß für eine beliebige Permutation 7r stets

'P(V""(l),V""(2)"" ,v.".(n)) = 'P(Vl,V2"" ,vn )

gilt. Für die Koordinaten bedeutet dies die Symmetriebeziehung~n

~ ... i ... j ... = ~ ... j ... i ....


Bei einem schie/symmetrischen oder alternierenden Tensor/eid 'IjJ der Stufe n> 1 bewirkt die Vertauschung zweier Argumente einen Wechsel des Vorzeichens. Dies zieht wiederum die für eine beliebige Permutation gültige Gleichung

'IjJ(V7r(l),V7r(2)"" ,V7r(n)) = sign(7r)'IjJ(vI,V2"" ,vn )

nach sich. Aus den Beziehungen der schiefen Symmetrie

W ... i ... j ... = -W ... j ... i ...

zwischen den Koordinaten kann die Schiefsymmetrie eines kovarianten Tensorfeldes erkannt werden. Gleichlautendes gilt für kontravariante Tensorfelder; für gemischte Tensorfelder werden solche Symmetrieeigenschaften natürlich hinfällig. Skalarfeldern und Tensorfeldern erster Stufe wird die Eigenschaft der Symmetrie oder der Schiefsymmetrie - je nach Bedarf -per definitionem zugesprochen.

Ausschließlich auf schiefsymmetrische Tensoren beschränkt ist die äußere Multiplikation (2.23). Sie läßt sich ohne weiteres auf Tensorfelder übertragen. Sind 'P und 'IjJ schiefsymmetrische kovariante Tensorfelder der Stufen n und m, so heißt das schiefsymmetrische Tensorfeld der Stufe n + m (vgl. (2.23))

1 ",. ('P !\ 'IjJ)( VI, ... , V n+m) = -,-, L.J slgn( 7r)( 'P ® 'IjJ)( V7r(l), ... , V 7r( n+m))

n.m. 7r

das äußere Produkt der Tensorfelder 'P und 'IjJ. Sind speziell a l , a 2 , ••• , an kovariante Tensorfelder erster Stufe, so ist (vgl (2.27))

(a l !\ a2!\ ... !\ a n )(VI,V2,'" ,Vn ) = det{(ai,vj)}. (3.31)

Sämtliche Rechenregeln, die in Kap. 2, §8 bezüglich des äußeren Produktes von Tensoren abgeleitet wurden, gelten mutatis mutandis auch für schiefsymmetrische Tensorfelder. Von Bedeutung für das Folgende ist die kanonische Darstellung

'IjJ= (3.32)

eines schiefsymmetrischen kovarianten Tensorfeldes n-ter Stufe.

Zur Illustration möge das äußere Produkt zweier kovarianter schiefsymmetrischer Tensorfelder cP : IJ --> IF und 'lj; : IJ2 --> IF dienen, das ein schiefsymmetrisches Tensorfeld

X(Vl,V2,V3) = (cp 1\ 'lj;)(Vl,V2,V3) = 1!12! Lsign(7r)cp(v"'(l)) ® 'lj;(V"'(2),V"'(3)) ,..

mit den Koordinaten

Xijle(P) = ~ L sign(7r) <1>"'(i) (P)'II,..(j)"'(Ie) (P) , ,..

ist. Die kanonische Darstellung lautet

X = L Xijle(P) gi 1\ gj 1\ gle j

i<i<1e in diese gehen nur die unabhängigen Koordinaten ein.


Gleichlautende Definitionen erklären das äußere Produkt schiefsymmetrischer kontravarianter Tensorfelder. Man hat einfach die Koordinatenindizes hochzustellen und die kovarianten Basisvektoren ci im Kotangentialraum durch die kontravarianten Basisvektoren ei im Tangentialraum zu ersetzen.

3.4 Differentiation der Tensorfelder

Eine Differential- und Integralrechnung läßt sich für beliebige Tensorfelder nicht aufbauen. Nur für die schiefsymmetrischen kovarianten Tensorfelder läßt sich ein Differential und ein mit diesem in engem Zusammenhang stehendes Integral einführen, wodurch ihre mathematische Sonderstellung im Rahmen der Tensoranalysis begründet wird. Der Aufbau der Analysis der schiefsymmetrischen kovarianten Tensorfelder soll im nächsten Paragraphen begonnen werden.

Einzelne Tensorfelder können wohl in festen Punkten des Raumes miteinander verknüpft und in Beziehung gebracht werden, es ergibt aber wenig Sinn, die Koordinaten eines Tensorfeldes in unterschiedlichen Raumpunkten miteinander zu vergleichen. Ausgenommen hievon sind die Skalarfelder, aber auch die Vektorfelder, und zwar deshalb, weil Vektoren im Raum parallel verschoben werden können. Damit ist ein Zugang zur Differentiation beliebiger Tensorfelder gegeben, da durch Parallelverschiebung ein Vergleich von Vektoren in verschiedenen Punkten des Raumes möglich wird. Für das Folgende sei mein N -dimensionaler affiner Raum mit dem Tangentialraum T.

Sei v ein Vektorfeld in m mit den Koordinaten Vi bezüglich einer Karte K, für m,

N

v = LVi ei. i=l

Der Feldvektor in einem beliebigen, aber festen Punkt P mit den Koordi-----t

naten Xi ist v( P) = P X, in einem Nachbarpunkt Q mit den Koordinaten -----t

Xi + ßXi ist der Feldvektor v( Q) = QY angeheftet. Um den Feldvektor im Nachbarpunkt Q mit dem Feldvektor im Punkt P vergleichen zu können, muß zunächst der Vektor v(P) in den Punkt Q parallel verschoben werden. Auf Grund des zweiten Axioms für affine Räume ist durch den Punkt Q und

-----> den Vektor v(P) E T ein Punkt Z eindeutig bestimmt, sodaß v(P) = QZ ist - damit ist der Vektor v(P) parallel in den Punkt Q verschoben. Die beiden Vektoren v(P) und v(Q) mit dem gemeinsamen Fußpunkt Q lassen sich jetzt vergleichen, ihre Differenz ist der Vektor ßv = v(Q) - v(P), dem

-----t P als Fußpunkt zugeordnet sei. Die vom Ortszuwachs ßx = PQ abhängi-

3.4 Differentiation der Tensorfelder 121

gen Koordinaten

~ Vi = Vi 0 II:(X+~X) - Vi Oll:(x)

des Vektors ~v verändern sich, wenn der Punkt Q in einer Umgebung des festgehaltenen Punktes P variiert. Man kann sich nun fragen, unter welchen Umständen diese Abhängigkeit vom Ortszuwachs in erster Näherung eine lineare ist, sodaß die Differenzen ~ Vi in erster Näherung linear von den Koordinaten ~Xi des Ortszuwachses abhängen. Wie die Differentialrechnung von Funktionen in mehreren Veränderlichen lehrt, fällt die Antwort auf diese Frage positiv aus, wenn die Funktionen Vi 0 lI:(x) stetige partielle Ableitungen erster Ordnung haben, und zwar ist dann

N . ~Vi= ~8(V'oll:) ~Xj+""

j=1 8xj

wobei der durch die Punkte angedeutete Fehler von höherer als erster Ordnung gegen Null geht. Nun ist unschwer zu sehen, daß sich die Größen

N 8Vi

~ - ~Xj (3.33) . 8x1'

1=1

wie die Koordinaten eines kontravarianten Tensors erster Stufe transformieren. Das Transformationsgesetz für die partiellen Differentialquotienten

~~~ findet man aus dem Transformationsgesetz (3.13) für die Koordinaten 1

eines Vektorfeldes durch Bildung der partiellen Ableitungen,

8Vi = ~ ~ 8Xi Vi = ~ 8Xh ~ ~ 8Xi Vi = ~ 8Xh 8Xi 8VI

8x' 8x' ~ 8xI ~ 8x' 8Xh ~ 8xI ~ 8x' 8xI 8Xh ' 1 1 1=1 h=1 1 1=1 h,I=1 1

wofür zu beachten ist, daß die partiellen Differentialquotienten (3.12) konstant sind. Da sich die Koordinatendifferenzen ~Xi wie

N N _

A - "" v j "" 8x j A UXj = ~ak~xk = ~ aUXk k=1 k=1 Xk

transformieren, findet man schließlich in

N 8Vi N 8x' 8Xh 8x' 8V I N 8x' N 8VI "" - ~Xj = "" _1 --' - ~Xk = "" -' ("" - ~Xk) ~ 8x' ~ 8Xk 8x' 8XI 8Xh ~ 8xI ~ 8Xk j=1 1 h,j,k,I=1 1 1=1 k=1

das Transformationsgesetz für die Größen (3.33), welches zeigt, daß sich diese wie die Koordinaten eines Vektors transformieren. Dieser Vektor, der

auf lineare Weise vom Ortszuwachs ~X = PQ abhängt, ist gewissermaßen die "Korrektur", die dem Feldvektor v(P) hinzugefügt werden muß, um, parallel in den Nachbarunkt Q verschoben, den dortigen Feldvektor v( Q) von höherer als erster Ordnung anzunähern, er gibt die Änderung des Vektorfeldes v im Punkt P in der Richtung zum Nachbarpunkt Q an. Man beschreibt diese Situation, indem man in (3.33) für ~Xi = ci(~x) = dXi(~X)


einsetzt und solcherart zu den Linearformen N .

dVi = " 8V' dx. L...J 8x. J j=1 J

(3.34)

übergeht. Diese ordnen, angewendet auf einen durch den Vektor ßx gegebenen Ortszuwachs, der jeweiligen Koordinate des Vektors v(P) jene Änderung zu, die zur Approximation des Feldvektors im Nachbarpunkt Q herangezogen werden muß. Die Linearformen dVi werden die Koordinatendifferentiale des Vektorfeldes v genannt.

Der Vektor (3.33) kann daher als Ableitung des Vektorfeldes v in Richtung des Vektors ßx im Punkt P aufgefaßt werden. Genauso wie die Richtungsableitung eines Skalars,

die Änderung des Skalarfeldes w bei Voranschreiten in Richtung des Vektors ßx liefert, ist die Richtungsableitung (3.33) eines Vektorfeldes v die Änderung des Vektorfeldes in der Richtung des Vektors ßx. Ist u ein beliebiges Vektorfeld mit den Koordinaten Ui und schreibt man für die Änderung in der Richtung von u symbolisch

N N 8Vj . Vuv:= L:(L: &- U')ej,

j=1 i=1 ' (3.35)

so hat die vom Vektorfeld u abhängige Operationsvorschrift V u, die einem Vektorfeld v in jedem Raumpunkt P die Änderung in Richtung des Vektors u(P) und somit ein Vektorfeld zuordnet, die Eigenschaft der Linearität,

Vu(.\v + {Lw) = .\Vuv + {LVuW,

ferner ist

für ein beliebiges Skalarfeld w. Schließlich ergibt sich aus der Produktregel der partiellen Differentiation

N . N N· L: 8(wVJ) Ui = L: 8w vjui + w L: 8VJ Ui . 8Xi . 8Xi . 8Xi ,=1 ,=1 ,=1

und somit für die Ableitung eines Produktes wv in Richtung von u der Ausdruck

Vu(wv) = (Vuw)v+wVuv,

wenn für Skalarfelder in Angleichung an die Symbolik für die Richtungsableitung

Vuw:=u(w)

geschrieben wird.


Die Richtungsableitung, wie sie für Skalarfelder und jetzt auch für Vektorfelder eingeführt wurde, läßt sich auf beliebige Tensorfelder übertragen und führt zu einer eindeutig bestimmten Operationsvorschrift, wenn man zusätzlich die Vertauschbarkeit mit Verjüngungen verlangt.

Ist u em Vektorfeld auf~, so gibt es eine eindeutig bestimmte Abbil-dung

welche einem Tensor ep E t~(~) den Tensor 'V uep E t~(~) mit derselben ko- und kontravarianten Stufe zuordnet und folgende Eigenschaften hat:

Für ein Skalarfeld w, also für ein Tensorfeld O-ter Stufe gilt N "" 8w . 'Vuw = u(w) = dw(u) = ~ 8;[;. U', i=1 •

ist v ein beliebiges Vektorfeld, so ist

N N 8Vj . 'Vuv = L(L &. U')ej

j=1 i=1 •

(3.36)

(3.37)

die Richtungsableitung {3.35} eines Vektorfeldes; für beliebige reelle Zahlen .\ und I" gilt

'Vu(.\ep + I""p) = ).'Vuep + l"'Vu"p,

für ein Skalarfeld w ist

ferner gilt die Produktregel

'Vu(ep ®"p) = ('Vuep) ®"p + ep ® ('Vu"p)

und 'V 11. ist mit Verjüngungen vertauschbar,

V'Vuep = 'VuVep.

(3.38)

(3.39)

(3.40)

(3.41)

Durch diese Forderungen ist der Tensor 'V uep eindeutig bestimmt, und zwar ist für ep E t:(~)

('V uep)(al , ... , a m ,VI, ... ,Vn ) = 'V uep(al , ... , a m ,VI, ... ,Vn )

- ep('V ual , ... ,am, VI, . .. ,Vn ) - ... - ep( a l , ... , 'V uam, VI, ... ,Vn )

- ep(al , ... ,am, 'VuVI, ... ,Vn ) -'" - ep(al , ... ,am,VI, ... , 'Vuvn ).

(3.42) Dieser Tensor heißt die Ableitung des Tensorfeldes ep in Richtung des Vektorfeldes u. Seine Darstellung im Koordinatensystem einer Karte K, für ~ lautet6 )

'V uep =

6) Unter den Differentialquotienten aa~::: sind natürlich die partiellen Ableitun-"'10

gen der reellen Funktionen ~::: 0 K, zu verstehen.


Man beachte, daß die Differenzierbarkeit des Vektorfeldes u für die Ableitung V U'P eines Tensorfeldes 'P nicht benötigt wird!

Ein Tensorfeld 'P heißt konstant auf m, wenn die Ableitung V U'P für jedes Vektorfeld u E b(m) verschwindet. Offenbar trifft dies genau dann zu, wenn sämtliche Koordinaten bezüglich einer einzigen - und damit jeder - Karte konstante Funktionen auf m sind.

Die Linearformen

(3.44)

heißen die Koordinatendifferentiale des Tensors 'P. Sie transformieren sich auf Grund des Umstandes, daß die Elemente der Transformationsmatrizen konstant sind, wie die Koordinaten des Tensors 'P,

(3.45)

Zum Beweis der Eindeutigkeit konstruiert man zunächst die Ableitung einer Linearform 0:. Ist v ein beliebiges Vektorfeld, so läßt sich das Skalarfeld 0:( v) mit Hilfe von (3.29) als Verjüngung des Tensorproduktes 0: ® v darstellen,

o:(v) = (o:,v) = V(o:®v).

Da es sich dabei um ein Skalarfeld handelt, ergibt die Anwendung von V u

auf der linken Seite wegen der Forderung (3.36) die Richtungsableitung

Vuo:(v) = u(o:(v)).

Die Anwendung von V u auf der rechten Seite führt auf Grund der beiden Forderungen (3.40) und (3.41) sowie der Vertauschbarkeit von Verjüngungen mit der Addition (vgl. (3.28)) auf

V u V( 0: ® v) = V (V u( 0: ® v)) = V(V uo: ® v + 0: ® V uV)

= V(Vuo: ® v) + V(o: ® Vuv).

Da nun wegen (3.29)

V(Vuo: ® v) = (Vuo:,v) = (Vuo:)(v)

und wegen (3.37)

gilt, ergibt die obige Gleichung


Es ist unschwer zu sehen, daß die rechte Seite dieser Gleichung eine Linearform darstellt. Die Additivität folgt aus (3.38),

(Vua)(v +w) = Vua(v +w) - a(Vu(v +w))

= Vu(a(v) + a(w)) - a(Vuv + Vuw)

= Vua(v) + Vua(w) - a(Vuv) - a(Vuw) = (Vua)(v) + (Vua)(w) j

ist wein beliebiges Skalarfeld, so gilt auf Grund der Eigenschaften von V u

für Skalar- und Vektorfelder

Vua(wv) = Vu(wa(v)) = Vuwa(v) +wVua(v) und

a(V u(wv)) = a(V uwv + wV uv) = V uwa(v) + wa(V uv),

also (Vua)(wv) = w(Vua)(v). Damit ist jetzt erwiesen, daß die Ableitung einer Linearform durch die genannten Forderungen eindeutig bestimmt ist. Sind Ai die Koordinaten von a und Vi die Koordinaten von v bezüglich einer Karte", für ~, so ist a( v) = Ai Vi j daher lautet wegen

N 8Vi

a(Vuv) = L -8 AiUk . Xk ',k=l

die Invariante V ua( v) - a(V uV) in Koordinaten N . N· N

'" 8( Ai V') Uk _ '" 8V' AiUk = '" OAi ViUk . . L...J OXk .L...J OXk .L...J OXk .,k=l .,k=l ',k=l

Dies bedeutet, daß N

'" OAi Uk L...J 8Xk k=l

die Koordinaten der Ableitung V ua bezüglich der Karte", sind.

Sei nun r.p ein kovariantes Tensorfeld zweiter Stufe. Sind v und w zwei beliebige Vektorfelder, so ist r.p(v,w) ein Skalarfeldj dieses ist auch die (zweifache) Verjüngung des Tensorproduktes r.p ® v ® w,

r.p(v,w) = V(r.p ® v ® w) (vgl. (3.30)). Nun ergibt die Anwendung von V u auf die linke Seite wieder die Richtungsableitung des Skalarfeldes r.p( v, w),

Vur.p(v,w) = u(r.p(v,w)) j

auf der rechten Seite führt sie ,mit den Forderungen (3.40) und (3.41) zu

V u V( r.p ® v ® w) = V (V u( r.p ® v ® w))

= V(V ur.p ® v ® w + r.p ® V uV ® w + r.p ® v ® V uW) = V(V ur.p ® v ® w) + V( r.p ® V uV ® w) + V( r.p ® v ® V uW) = (V ur.p)( v, w) + r.p(V uV, w) + r.p( v, V uW) .


Somit ist

(\7 u cp)(v,w) = \7u cp(v,w) - cp(\7u v,w) - cp(v, \7u w).

Der Ausdruck auf der rechten Seite ist eine multilineare Abbildung von b2

in 1F und somit ein kovarianter Tensor zweiter Stufe. Die Additivität ist leicht zu sehen; ist wein beliebiges Skalarfeld, so ist einerseits

\7u CP(wv,w) = \7u (wcp(v,w)) = \7u wcp(v,w) + w\7u CP(v,w) ,

andererseits

cp(\7u (wv),w) = cp(\7u wv +w\7u v,w) = \7u wcp(v,w) +wcp(\7u v,w) ,

also (\7 u CP)(wv,w) = w(\7u CP)(v,w). Eine entsprechende Gleichung erhält man, wenn das zweite Argument w durch ein Produkt ww ersetzt wird. Dies zeigt, daß die gestellten Bedingungen zu einem eindeutig bestimmten kovarianten Tensor zweiter Stufe führen. Sind 4fl ij die Koordinaten von cp bezüglich einer Karte '" für Il, Vi und W i die Koordinaten der beiden Vektorfelder v und w, so ist

N

cp(v,w) = L 4fl ij V i W j ,

i,j=l

N

\7u CP(v,w)= L i,j,k=l

8( 4flijVi Wj ) Uk .

8xk '

damit ergibt sich für die rechte Seite der obigen Gleichung unter Verwendung von (3.37)

sodaß

die Koordinaten des kovarianten Tensorfeldes \7 UCP im Koordinatensystem der Karte", sind.

Nach dem Muster dieser Konstruktionen erhält man die Ableitungen kontravarianter und gemischter Tensorfelder zweiter Stufe. So lautet für ein zweistufiges gemischtes Tensorfeld cp die Ableitung

Den Nachweis, daß es sich dabei auch wirklich um ein Tensorfeld handelt, erbringt man mit Hilfe der Eigenschaften von \7 u hinsichtlich Skalarfelder sowie ko- und kontravarianter Vektorfelder. Unter Verwendung der Regeln


für die Ableitung eines Vektorfeldes und einer Linearform erhält man nach obigem Muster

N j' N N· (V )( )= ,,8(cpi AjV')U k _ "cp~Vi8AjUk_ "CP~A-8V'Uk

U'P U,V L...J 8 L...J. 8 L...J • 18 .. k Xk .. k Xk .. k Xk ',1, =1 ',1, =1 ',1, =1

und daraus die Koordinaten von V u'P, N .

" 8cpi Uk • . ~ 8Xk ',1,k=1

So fortfahrend bestimmt man die Ableitungen von Tensodeldern höherer Stufe. Dabei wird man in jedem Fall notwendig auf (3.42) und (3.43) geführt, womit der Eindeutigkeitsbeweis erbracht ist.

Zum Nachweis der Existenz ist zu überprüfen, ob durch (3.42) bzw. (3.43) auch sämtliche Forderungen (3.36) bis (3.41) edüllt werden. Für die Bedingungen (3.36) bis (3.39) ist dies evident. Der Beweis der Produktregelläßt sich natürlich unabhängig von Koordinaten führenj sind 'P und "p

zwei Tensodelder mit den Koordinaten CP~~:::~:' und 'I1~l'.::i~P bezüglich ei-

nes Koordinatensystems für ~, so stellen die Produkte CP~~:::~:' 'I1~l'.::i~P der Koordinaten von 'P und "p die Koordinaten des Tensorproduktes 'P ®"p dar, die Koordinaten der Ableitung V u( 'P ® "p) lauten

N 8(cpi1 ... in 'I1 h1 ... hp ) " h···jm I, ... lq Uk L...J 8Xk k=l

N 8cpi1 ... in N 8'11h1 ... hp = (" j, ... jm Uk)'I1hl ... hp + cpi.1 ... i.n (" l, .. .lq Uk).

L...J 8x l, .. .lq 11···1m L...J 8x k=1 k k=l k

Hier stehen auf der rechten Seite die Koordinaten von V U'P ®"p + 'P ® V u"p. Die Ableitung V u eines Tensodeldes ist also so konzipiert, daß der Produktregel (3.40) die Produktregel der partiellen Differentiation entspricht.

Die Vertauschbarkeit des Operators V u mit Verjüngungen ist ebenso unschwer zu sehen. Ist 'P ein beliebiges gemischtes Tensodeld mit den Koordinaten CP:::;·::., so führt die Verjüngung in den hervorgehobenen Indizes

auf den Tensor V'P mit den Koordinaten Li cp::t::j seine Ableitung V u V'P hat die Koordinaten

~ ~(~cp"'~"')Uk = ~(~ 8cp::t:: Uk). L...J 8X k ~ ...•... ~ L...J 8X k k=1 .=1 .=1 k=1

In dieser Gleichung stehen auf der rechten Seite die Koordinaten des Tensors VV u'P.


3.5 Differentialformen

Auf die Sonderstellung der schiefsymmetrischen kovarianten Tensorfelder wurde im vorangegangenen Paragraphen einleitend schon hingewiesen. Sie erstreckt sich sich aber nicht nur auf die mathematische Sicht der Dinge, sie ist auch in weiten Bereichen der theoretischen Physik gegeben, denn viele Feldgrößen sind kovariante schiefsymmetrische Tensorfelder. Im folgenden soll zunächst der Aufbau der Differentialrechnung der schiefsymmetrischen kovarianten Tensorfelder in Angriff genommen werden; zugrunde liegt ein N-dimensionaler affiner Raum S},l mit dem Tangentialraum T.

Da die Koordinatendifferentiale dXi einer Karte "" des affinen Raumes S},l die Basisformen des Kotangentialraumes sind, kann ein kovariantes schiefsymmetrisches Tensorfeld n-ter Stufe mit Bezug auf das Koordinatensystem der Karte "" in der Form

cp= (3.46)

geschrieben werden. Man nennt deshalb ein kovariantes schiefsymmetrisches Tensorfeld n-ter Stufe auch eine Differential/orm n-ten Grades oder kurz eine n-Form auf S},l. Ein Skalarfeld w heißt eine O-Form auf S},l, eine I-Form ist eine Linearform und wird auch eine P/affsche Form genannt. Von den Tensoroperationen führen nur die Addition, die Multiplikation mit einem Skalarfeld und die äußere Multiplikation 1\ wieder zu schiefsymmetrischen kovarianten Tensorfeldern, weshalb sie die grundlegenden Verknüpfungen von Differentialformen sind. Die Multiplikation einer Differentialform cp mit einem Skalarfeld w kann über das äußere Produkt wcp = w 1\ cp = cp 1\ werklärt werden.

Die Differentialform (3.46) läßt sich auf Grund der Schiefsymmetrie der Koordinaten und der äußeren Produkte der Koordinatendifferentiale auch als n-fache Summe

1 cp =

n!

N

L i 11 ···,in ==1

(3.47)

schreiben, die für manche Betrachtung etwas bequemer ist. Ferner transformieren sich die Differentiale dcli i1 ... in wie die Koordinaten cli i1 ... in selbst,

(vgl. (3.45)), sodaß

d~ . . 1\ dfi' 1\ ... 1\ dfi' 'J.l··· 1 n "1 'Ion

N

L k 1 , ••• ,kn =1 iI, .. ·,jn=l

3.5 Differentialformen

gilt. Summiert man diese Gleichungen, so erhält man

N

L i 1 , ... ,in ==1

N N a a- N a a-

129

L L XJel XiI L XJe Xi ----... __ n __ n d~Je Je Adx' A ... Adx· a - a a- a 1··· n 11 1n . XiI Xit . Xi X;

also

Je1, ... ,Jen=1 11 =1 1n=1 n n ;1'''',;n=l

N

L 15711 ... 157: d~Jel ... Jen Adxit A .. ·Adx;n' Je1, ... ,Jen=1 ;1'''',;n=l

N

L N

L Berücksichtigt man darin wieder die Schiefsymmetrie der äußeren Produkte und der Differentiale d~ Je 1 ... Je n , so kann man zu

L d~il ... in Adxi1 A·· ·Adxin = L d~it ... ;" Adxit A·· ·Adx;n i1< .. ·<in ;1<"'<;n

übergehen und daraus den Schluß ziehen, daß durch diese Summen ein schiefsymmetrischer kovarianter Tensor aus (3.46) abgeleitet ist. Man nennt die (n + l)-Form

dep : = L d~il ... in A dXi1 A ... A dXin

(3.48)

das äußere Differential bzw. die äußere Ableitung der n-Form (3.46). Das äußere Differential einer O-Form w ist

N aw dw = I: ax' dXi , (3.49)

i=l 1

also das Differential des Skalarfeldes w. Ist ep eine N-Form, so ist dep = 0, denn in einem N -dimensionalen Raum ist jeder schiefsymmetrische Tensor einer Stufe größer als N identisch Null. In Analogie zur Darstellung (3.47) für (3.46) kann (3.48) auch in der Form

1 dep =

n!

N

L Jeo,Je1, ... ,Jen =1

geschrieben werden. Sortiert man diese (n + 1 )-fache Summe nach den insgesamt Cz:.::) Indizes-Kombinationen, von denen ein von Null verschiedener


Beitrag zur Summe herrührt, so gelangt man zur kanonischen Darstellung n ßif! ~

dr.p= L (~)_l)i ka;::···kn)dxkol\dxkll\···l\dXkn (3.50) ko<k1<···<kn .=0

der äußeren Ableitung, wobei mit dem Hütchen gedeutet werden soll, daß dieser fortzulassen ist.

Ist z.B. idxi eine 1-Form, so wird

N N

über dem Index ki an-

'" '" ß<J>i '" ß<J>i '" ß<J>i ~ d<J>i /\ dXi = ~ ßx' dXj /\ dXi = ~ ßx' dXj /\ dXi + ~ ßx' dXj /\ dXi i=l i,j=l J i<j J j ij dXi /\ dXj

i<j

N ß<J>ij

dij /\ dXi /\ dXj = L L 8 dXk /\ dXi /\ dXj , i<j i<j k=1 Xk

die durch eine entsprechende Umordnung in die kanonische Form

'" (ß<J>jk ß<J>ik ß<J>i j ) d3 _ ß<J>2 ) dZ 2 /\ dZ 3 + (ß<J>l _ ß<J>3 ) dz3 /\ dZ1 + (ß<J>2 _ ß<J>l ) dZ1 /\ dZ 2 . ßZ2 ßZ3 ßZ3 ßZ1 ßZ 1 ßZ2

(3.?3) Schreibt man - was nur in einem dreidimensionalen Raum möglich ist! - eme 2-Form in der Gestalt

so wird

( ß<J>l ß<J>2 ß<J>3 ) di in einem dreidimensionalen auf ein kartesisches Koordinatensystem bezogenen Raum, wie sie dem Leser von der gewöhnlichen Vektoranalysis her vertraut sind. Tatsächlich besteht ein enger Zusammenhang, doch sind diese Begriffsbildungen, was mit dem nachdrücklichen Hinweis auf den dreidimensionalen Raum angedeutet werden soll, in dieser Form nicht auf Räume höherer Dimension übertragbar. Eine eingehende Diskussion muß im Augenblick verschoben werden, da hiefür noch nicht alle Mittel zur Verfügung stehen.

3.5 Differentialformen 131

Da die Bildung des Differentials reeller Funktionen mit der Addition und der Multiplikation mit reellen Zahlen vertauschbar ist,

d(AcfI' . + J.LW· .) - Adcfl· . + J.Ldw· . ~l"'''n 1.1···1n - 1.1···1.n 'l.l···'l.n'

hat die Operation d der äußeren Differentiation die Linearitätseigenschaft, es gilt

(3.55)

für beliebige reelle Zahlen A und J.L. Die Übertragung der Regel zur Bildung des Differentials eines Produktes von O-Formen führt zur Produktregel der äußeren Differentiation, und zwar ist für eine n-Form r.p und eine beliebige m-Form 'if;

(3.56) Anders als sonst tritt hier in jenem Summanden, in den die Ableitung des rechten Faktors eingeht, immer dann ein Vorzeichenwechsel auf, wenn der linke Faktor eine ungerade Stufe hat. Ist r.p = weine O-Form, so wird

d(wr.p) = d(w /\ r.p) = dw /\ r.p + wdr.p. (3.57)

Zum Beweis der Produktregel sei r.p eine n-Form und 'if; eine m-Form. Sind cfli1 ... in bzw. Wil ... im die Koordinaten von r.p bzw.'if;, so erhält man aus

r.p /\ 1jJ =

i 1 <···<in

h<"'<im unter Anwendung der Regel d( uv) = u dv + v du

d( r.p /\ 'if;) = i1<···<in il <"'<im

+ L cfI i1 ... in d"iJ! il ... im /\ dXi 1 /\ ••• /\ dXi n /\ dx il /\ ... /\ dx jm .

it<···<in

jl <"'<im Formt man die zweite Summe rechts mit Hilfe von

dXi 1 /\ ••• /\ dXi n /\ dXh /\ ... /\ dXjm

= (_l)nmdx· /\···/\dx· /\dx' /\···/\dx· Jl J'In 1.1 'l.n

(vgl. (2.25)) um,

L cfli1 ... in dWjl ... jm /\dXi 1 /\" ·/\dXin /\dXjl/\" ./\dxjm i1<···<in h<···<jm

= (-lrm L dWjl ... jm/\dxjl/\···/\dxjm/\ L cflil ... in/\dxil/\···/\dxin'

so gelangt man, da die erste Summe gleich dem äußeren Produkt dr.p /\ 'if; ist, unter Berücksichtigung von (2.25) zu

d( r.p /\ 'if;) = dr.p /\ 'if; + ( _l)nm d'if; /\ r.p

= dr.p /\ 'if; + (-lrm ( -lr(m+l)r.p /\ d'if;

= dr.p /\ 'if; + ( -1 r r.p /\ d'if; .


Bildet man das zweite äußere Differential einer n-Form, so erhält man

N 02q;. . d(dcp) = d 2 cp = L L 0 'ä"'" dXk A dXI A dXi1 A··· A dXi".

.. Xk XI '1 <"'<'" k,l=l

Auf Grund der Symmetrie 02q;. .

1.1···1.n

OXIOXk

der gemischten partiellen Ableitungen ändert sich beim Vertauschen der Indizes kund 1 in den zweiten partiellen Differentialquotienten nichts, es führt dies aber wegen

dXk 1\ dXI A ... = -dxl A dXk A ...

zu einem Vorzeichenwechsel. Folglich ist für festgehaltene Indizes i 1 ... in

N 02 q; . . N 02 q; . . L 0 'ä"'" dXk A dXI = L 0 ~ ... ,,, dXI A dXk k,l=l Xk XI k,l=l XI Xk

N 02q;. . = - L 0 'ä"'" dXk A dXI

k,l=l Xk XI

und deshalb N 02q;. . L 0 'ä"'" dXk A dXI = o.

k,l=l Xk XI

Daraus folgt jetzt aber das Verschwinden der zweiten äußeren Ableitung: Für jede Differential/arm cp gilt

(3.58)

Das Fundament dieser Aussage ist, worauf besonders hingewiesen sei, der vertraute Satz von SCHWARZ über die Gleichheit der gemischten partiellen Differentialquotienten reeller Funktionen. Die Gleichung (3.58) wird deshalb auch Schwarzsche Gleichung genannt. Sie besagt insbesondere das Verschwinden des äußeren Differentials einer Differentialform, wenn diese selbst ein äußeres Differential ist,

cp = d"p => dcp = 0 .

Für das Folgende erweist es sich als notwendig, Differentialformen auf einem Teilgebiet ~ des Raumes m zu betrachten. Eine besondere Rolle werden dabei die sternförmigen Gebiete spielen - darunter versteht man ein Gebiet ~ ~ m, das einen Punkt Po enthält, dessen Verbindungsstrecke mit jedem andern Punkt des Gebietes ~ diesem vollständig angehört. Man nennt das Gebiet dann sternförmig in Bezug auf den Punkt Po. Jedes konvexe7) Gebiet ist sternförmig, und zwar bezüglich jedes Punktes.

7) Ein Gebiet 6 heißt konvex, wenn die Verbindungsstrecke zweier beliebiger Punkte in 6 zur Gänze in diesem Gebiet verläuft.


Eine Differentialform, deren äußeres Differential auf einem Gebiet ~ verschwindet, wird geschlossen genannt. Wie die Produktregel (3.56) zeigt, ist das äußere Produkt geschlossener Differentialformen wieder eine geschlossene Differentialform. Ist eine Differentialform auf ~ ein Differential, so heißt sie exakt oder integrabel auf ~. Die Gleichung (3.58) besagt dann, daß jede exakte Differentialform auch geschlossen ist.

Von Bedeutung ist nun die Frage, ob hievon auch die Umkehrung gilt, d.h. ob aus dem Verschwinden des äußeren Differentials einer n-Form der Schluß gezogen werden kann, daß diese das äußere Differential einer (n -1)Form ist. Eindeutig kann eine solche Darstellung einer Differentialform n

ten Grades als äußeres Differential einer (n - 1 )-Form jedenfalls nicht sein. Ist dcp = 0 und cp = d1/1, so gilt, wenn man zu 1/1 das Differential einer (n - 2)-Form X hinzuaddiert , auch d( 1/1 + dX) = d1/1 + d2 X = cp.

Die Frage, ob eine geschlossene Differentialform auch exakt ist, hängt eng mit dem Potentialbegriff der gewöhnlichen Vektoranalysis zusammen. Ist ein Vektorfeld in einem bestimmten Gebiet des Raumes wirbelfrei, so kann es unter gewissen das Gebiet der Wirbelfreiheit betreffenden Voraussetzungen als Gradient eines "skalaren Potentials" dargestellt werden. Ist das Vektorfeld im fraglichen Gebiet quellenfrei, so kann, wieder unter gewissen Voraussetzungen über das Gebiet, in dem Quellenfreiheit herrscht, der Feldvektor als Rotation eines "vektoriellen Potentials" dargestellt werden. Diese klassischen Ergebnisse zeigen schon, daß es nicht auf die Differentialform ankommt, sondern auf das Gebiet, in dem sie geschlossen ist.

Es gilt nun das sogenannte

Lemma von Poincare. Ist cp eine n-Form auf einem Gebiet ~ ~ ~ und gilt dcp = 0 auf ~, so gibt es zu jedem Punkt Po E ~ eine Umgebung .uo ~ ~ und eine (n - l)-Form 1/1 auf .uo , sodaß

cp = d1/1

auf .uo gilt. Ist das Gebiet ~ sternförmig, so existiert auf dem ganzen Gebiet 6 eine (n - l)-Form 1/1, für die cp = d1/1 auf 6 ist.

Ist Po E 6 ein beliebiger Punkt, so gibt es eine bezüglich des Punktes Po = K(Xo) sternförmige Umgebung .uo ~ 6, z.B. die Menge aller Punkte

.uo = { P I P = K(X), Ix - xol < Tl} ,

worin Tl eine hinlänglich kleine positive Zahl ist. Denn ist P = K(X) E .uo

und 0 ~ t ~ 1, so ist auch Ixo + t(x - xo) - xol = tlx - xol ~ Ix - xol < Tl, und dies bedeutet, daß die Punkte mit den Koordinaten X o + t(x - x o ), die für 0 ~ t ~ 1 auf der Verbindungsstrecke der Punkte Po und P liegen, in .uo

enthalten sind. Ist eine Differentialform auf dem ganzen Raum geschlossen, so ist sie global integrabel, da der ganze Raum sternförmig in Bezug auf jeden Punkt ist.

Der Grundgedanke der folgenden Beweisführung besteht darin, einer beliebigen n-Form cp (n > 0) eine (n - l)-Form:Jcp zuzuordnen, für welche die Gleichung

d:Jcp + :Jdcp = cp (3.59)


Gültigkeit hat. Für dcp = 0 geht diese Gleichung mit "p = jcp über in

cp = d"p ,

womit der Schluß dcp = 0 =? cp = d"p , (3.60)

zulässig wird. Da jeder Punkt eines Gebietes eine in diesem Gebiet enthaltene sternförmige Umgebung besitzt, ist die lokale Aussage des Lemmas von POINCARE bewiesen, wenn der Beweis der globalen Aussage für ein sternförmiges Gebiet ~ erbracht ist. Mit Rücksicht auf verminderte Schreibarbeit sei angenommen, daß die Sternförmigkeit von ~ in Bezug auf den Koordinatenursprung gilt, was ja durch eine Translation stets erreicht werden kann.

Ist cp eine beliebige n-Form (n ~ 1) mit den Koordinaten CPi1 ... in , so sei zur Abkürzung

Wi1 ... iJX) = 11 tn- 1CPi 1 .•. iJtX) dt

gesetzt; dann ist durch n

L 1 ~

(-1)11-- W· . (x)x· dx' A···Adx· A···Adx· ~l···tn 1.#J- 1.1 'l.JL 'Ion

eine (n - l)-Form gegeben, wobei mit dem Hütchen über dem Differential dXi". angedeutet werden soll, daß dieses fortzulassen ist. Ordnet man diese Summe nach Indizes-Kombinationen, so erhält man die kanonische Darstellung dieser (n - l)-Form. Nach einer mehr oder weniger mühevollen Rechnung findet man dabei

N

jcp:= L (L XkWkil ... in_l(X))dxil A··· A dXin_1 ; (3.61) i1<···<in - 1 k=l

im Falle n = 1 ist dies die 0-Form N

jcp := L XiWi(X). (3.62) i=l

Daß es sich dabei auch wirklich um eine Differentialform handelt, folgt aus der leicht zu verifizierenden Tatsache, daß sich die Größen

N

LXkWkil ... in_l(X) k=l

wie die Koordinaten eines kovarianten schiefsymmetrischen Tensors (n - 1)ter Stufe transformieren. Die Differentialform (3.61) bzw. (3.62) erfüllt, wie jetzt gezeigt werden soll, die Gleichung (3.59). Schreibt man abkürzend

N N 1

CP;1 ... i n - 1 (x) = L Xk Wki1 ... i n _ 1 (x) = L Xk 1 tn-1cpkil ... in_l (tx) dt k=l k=l

(3.63)


für die Koordinaten der (n - l)-Form:Jrp, so berechnet sich ihre Ableitung zu

d:Jrp =

Nun ergibt

ßq,* i 1 ... i lL ••• i n

so daß

die Koordinaten der n-Form d:Jrp sind. Berechnet man dagegen zuerst die Ableitung drp mit den Koordinaten

n+l ßq,... q,'. . = "(_l)P.-l ·l .. ··,. .. ··n+l

·l .. ··n+l L...J ßx' p.=l ',.

und bildet im Anschluß daran die n-Form :Jdrp, indem man in der Darstellung für :Jrp die Größen \Ii i1 ... i n durch die adäquaten Integrale der Koordi-naten q,'.'; ersetzt, l .. ··n+l

so erhält man aus dem obigen Ergebnis durch Addition schließlich die Koordinaten der n-Form d:Jrp + :Jdrp,

n\li· . + ~ x _8\1i--=.,.:-·1._ ... ..:.:..·n = 11ntn-lq,. . dt + ~ x 1\n 8 q,i1 ... in dt ·l .. ··n L...J k 8 ·l .. ··n L...J k 8

k=l Xk 0 k=l 0 Xk

womit die Gleichung (3.59) bewiesen ist.

Sei \5 ein Gebiet des dreidimensionalen Raumes 2ta, welches sternförmig in Bezug auf Koordinatenursprung ist. Erfüllt die I-Form

cp = l d:Z:1 + 2 d:Z: 2 + ad:z:a


auf dem Gebiet 6 die Bedingung dt.p = 0, d.h. ist

ßcJ>3 ßcJ>2 _ ßcJ>l ßcJ>3 _ ßcJ>2 ßcJ>l _ 0 ßX2 - ßX3 - ßX3 - ßXl - ßXl - ßX2 -

auf 6 (vgl. (3.53)), so erhält man aus (3.62)

jt.p = 11 [cJ>1 (tX)Xl + cJ>2(tX)X2 + cJ>3(tX)X3]dt.

Das Integral auf der rechten Seite ist nichts anderes als das Kurvenintegral

!CP.dx,

If

worin (t die geradlinige Verbindung des Koordinatenursprungs mit dem "Aufpunkt" P ist. Das Skalarfeld U = jt.p ist in der gewöhnlichen Vektoranalysis das skalare Potential des wirbelfreien Vektorfeldes cP mit den Koordinaten

Ist für eine 2-Form

ßU cJ>i=-.

ßXi

t.p = cJ>1 dX2 1\ dX3 + cJ>2 dX3 1\ dXl + cJ>3 dXl 1\ dX2

die Bedingung d'lf; = 0 erfüllt, d.h. gilt

ßcJ>l + ßcJ>2 + ßcJ>3 = 0 ßXl ßX2 ßX3

auf dem Gebiet 6 (vgl. (3.54)), so erhält man, wenn berücksichtigt wird, daß eigentlich cJ>23 an Stelle von cJ>1, cJ>3l an Stelle von cJ>2 und cJ>12 an Stelle von cJ>3 zu schreiben wäre,

jt.p = (:1:3 \[12 - :1:2 \(13)dxl + (Xl \[13 - :1:3 \[1ddX2 + (X2 \[11 - Xl \(12)dX3 ,

worin für

\[1i(X) = 11 t cJ>i (tx) dt

einzusetzen ist. Führt man das Vektorfeld

v(x) = 11 t[cp(tx) X x]dt (3.64 )

ein, worin cP der Vektor mit den Koordinaten cJ>i ist, so kann dann die I-Form jt.p in der Form

jt.p = Vidxl + V2dx2 + VadX3

geschrieben werden. Das Vektorfeld (3.64) mit den Koordinaten V; ist das von der gewöhnlichen Analysis her bekannte Vektorpotential des quellenfreien Vektorfeldes CP,

;r. . (. ·k) (ßVA: ßVj) 'l'i = slgn Z] ßXj - ß:l:A: .

Das Lemma von POINCARE läßt sich noch eine andere Fassung geben. Ist 6 ~ ~ ein sternförmiges Gebiet in Bezug auf einen Punkt Po, so wird jede Halbgerade durch den Punkt Po in zwei Teile geteilt, nämlich in einen, der sich ins Unendliche erstreckt und außerhalb von 6 liegt, und in einen endlichen, der innerhalb von 6 liegt; der Teilungspunkt selbst ist ein "Randpunkt" von 6 und liegt, da er 6 nicht angehören kann, auf dem unendlich


ausgedehnten Teil der jeweiligen Halbgeraden. So wird also jeder Richtung durch den Punkt Po ein Randpunkt von 18 zugeordnet. Man kann dabei von der Vorstellung ausgehen, daß die Gesamtheit aller Randpunkte von 18 eine "geschlossene" Hyperfläche bildet, deren Inneres das sternförmige Gebiet 18 ist. Wenn der Punkt Q mit den Koordinaten Yi ein solcher Randpunkt ist, so liegen die Punkte Qt mit den Koordinaten xi + t(Yi - xi) für 0 :S t < 1 im Gebiet 18, für t = 1 ist Qt = Q. Betrachtet man jetzt die geschlossenen Hyperflächen, welche für 0 < t < 1 durch die Punkte Qt gebildet werden, und verkleinert man t unbegrenzt gegen Null, so ziehen sich, anschaulich gesprochen, diese Hyperflächen auf den Punkt Po zusammen. Man sagt, das Gebiet 18 läßt sich auf den Punkt Po zusammenziehen und nennt es kontrahierbar auf den Punkt Po. Mathematisch wird der Begriff der Kontrahierbarkeit eines Gebietes, der weitreichender ist als die Sternförmigkeit, folgendermaßen eingeführt: Ein Gebiet 18 ~ \]( heißt kontrahierbar auf den Punkt Po, wenn eine stetige Abbildung J: [0,1] X 18 ~ 18 mit der Eigenschaft

J(O,P) = Po, J(l,P) = P

existiert. Ersetzt man nun im Lemma von POINCARE die Voraussetzung der Sternförmigkeit in Bezug auf einen Punkt durch die Voraussetzung der Kontrahierbarkeit auf einen Punkt, so bleibt seine Aussage gültig.

Das Lemma von POINCARE gibt hinreichende Bedingungen an, die es erlauben, aus dem Verschwinden der äußeren Ableitung einer Differentialform auf deren Darstellbarkeit als äußeres Differential zu schließen. Lokal, d.h. unter Beschränkung auf hinlänglich kleine Umgebungen, ist dies stets möglich, global hängt dies von den Eigenschaften des jeweiligen Gebietes ab, in dem das äußere Differential verschwindet. Die Voraussetzungen der Sternförmigkeit und der Kontrahierbarkeit gewährleisten jedenfalls die Richtigkeit der Schlußfolgerung (3.60). -

Die Differentialrechnung der kovarianten schiefsymmetrischen Tensorfelder in einem affinen Raum benötigt nur die Parametrisierung des Raumes durch ein Koordinatensystem. Anders als die "gewöhnliche" Ableitung eines Tensorfeldes wird die äußere Ableitung einer Differentialform ohne die Struktur der Parallelverschiebung eingeführt, die für die Differentiation eines Vektorfeldes benötigt wurde. Der Begriff des Integrals hingegen kommt ohne ein "Inhaltsrnaß" für den Raum nicht aus. Solche Inhaltsmaße, auch "Volumelemente" genannt, werden durch gewisse N-Formen definiert, die in jedem Punkt des Raumes eine Determinantenfunktion im Tangentialraum festlegen. Die Einführung von Volumelementen über die Determinantenfunktionen im Tangentialraum erfordert es, den Tangentici.lraum zu orientieren, weshalb der Begriff des Integrals einer Differentialform die Orientierung des affinen Raumes zur Voraussetzung hat.

Integrale über Differentialformen sind mehrdimensionale Verallgemeinerungen des bestimmten Integrals einer reellen Funktion und sind dem Leser als Bereichsintegrale sowie in Form von Kurven- und Flächenintegralen schon begegnet. Die Konzeption des Integrals einer Differentialform wird in § 7 vorgestellt werden; als Vorbereitung hiefür dient die folgende


Untersuchung über das Verhalten von Differentialformen bei affinen Abbildungen des Raumes.

Es seien 1lt1 bzw. 1lt2 zwei affine Räume mit den Dimensionen N bzw. M. Der Raum 1lt1 ist durch ein Koordinatensystem K 1 = {01 , BI} mit der Basis BI = {eI,"" eN} parametrisiert, der Raum 1lt2 durch ein Koordinatensystem K2 = {02' B2} mit der Basis B2 = {fl, ... , IM}; sind Xi die Koordinaten in 1lt1 und Yj die Koordinaten in 1lt2 , so seien 11:1 (x) bzw. 1I:2(Y)

die diesbezüglichen Karten für 1lt1 bzw. 1lt2 •

Der Raum 1lt1 werde durch er : 1lt1 ~ 1lt2 affin auf den Raum 1lt2 abgebildet. Die durch er bestimmte lineare Abbildung der = T : ~ ~ ~ der Tangentialräume ist das Differential der affinen Abbildung er (vgl. S. 106); die Matrix der linearen Abbildung T = der bezüglich der Basen BI bzw. B2

in ~ bzw. ~ werde mit {t{} bezeichnet. Die Elemente dieser Matrix sind die Koeffizienten der Koordinaten der Funktion u = 11:;-1 oerOll:l :IRN ~ IRM ,

welche dem Koordinaten-N-Tupel x des Punktes P E 1lt1 das M-Tupel y des Bildpunktes Q = er(P) E 1lt2 von P unter der Abbildung er zuordnet. Die Koordinatenfunktionen der Abbildung u sind durch die Gleichungen (3.11) gegeben; für das Folgende erweist es sich als zweckdienlich, die Koeffizienten durch die partiellen Differentialquotienten

. 8y· e=_J , 8Xi

auszudrücken. In dieser Notation ist (vgl. (1.12))

M " 8Yj der(ei) = ~ 8x. Ij· j=1 '

Jeder n-Form auf 1lt2 wird durch die affine Abbildung er: 1lt1 ~ 1lt2 eine wohlbestimmte n-Form er*cp auf 1lt1 zugeordnet, und zwar für n = 0 durch die zusammengesetzte "Funktion

er*cp := cp 0 er, (3.65)

für n > 0 durch

er* cp( al, a2, ... , an) := cp (der( ad, der( a2), ... ,der( an)) , (3.66)

worin al, a2, ... , an beliebige Vektoren im Tangentialraum ~ von 1lt1 sind. Diese Zuordnung cp ~ er*cp ist offensichtlich linear, d.h. es gilt

(3.67)

für beliebige reelle Zahlen .x und j.L, sie ist mit der äußeren Multiplikation vertauschbar ,

(3.68)

und mit der äußeren Differentiation,

der* cp = er* dcp . (3.69)


Um (3.68) zu beweisen, greift man am besten auf die Definition des äußeren Produktes zurück. Sind cp und 1jJ Differentialformen auf ~2, cp eine p-Form und 1jJ eine q-Form, so gilt mit n = p + q ~ M = dim~2 (vgl. (2.23))

er*(cp A 1jJ)(a1, ... ,an) = (cp A 1jJ)(der(ad, ... ,der(an))

= ~ L sign( 7r)( cp ® 1jJ) (der( a 7r(1)), ... , der( a7r(n))) p.q . ...

= ~ L sign( 7r) cp ( der ( a 7r( 1) ), ... , der( a7r(p))) p.q. 7r

X 1jJ ( der ( a7r(p+ 1)), ... , der( a 7r ( n) ))

= ~ L sign( 7r) er* cp( a 7r(l), ... , a7r(p) )er*1jJ( a7r(p+1)' •.. , a 7r ( n)) p. q. 7r

= ~ Lsign(7r)(er*cp®er*1jJ)(a7r(1), ... ,a7r(n)) p.q. 7r

= (er* cp A er* 1jJ )( a1 , ... , an) .

Die Beweisführung für (3.69) erfordert zunächst, den Fall n = 0 gesondert zu betrachten. Ist cp eine O-Form, so ist

M

dcp = '"" 8(cpOK2) dYj L..J 8y. j=l J

und wegen (3.65) und (3.67) M

* d '"" ( 8( cp 0 K2 ) A ) * d er cp = L..J 8 0 er er Yj· j=1 Yj

Aus der Gleichung

N N N M 8 k

der(a) = der(L Ajej) = L Ajder(ej) = L Aj L ~ fk . . . 8xJ J=l J=l J=1 k=1 ,

M N

= L(L ~~k Aj)/k k=l j=1 J

ergeben sich dann unter Berücksichtigung von Ai = dXi(a) (vgl. (3.21)) und dYj(/k) = iSt die Beziehungen

N M N

er*dYi(a) = dYi(der(a)) = L dXj(a) L ~~~ iS~ = L !~i. dXj(a), j=l k=l J j=l J

also N

*d '"" 8Yi d er Yi = L..J 8x' x j . j=l J

(3.70)


Daraus folgt nun weiter mit Hilfe der Produktregel der partiellen Differentiation

Beim Beweis von (3.69) für eine Differentialform beliebigen Grades genügt es wegen (3.65) und der Linearitätseigenschaft (3.67), sich auf den Spezialfall

cp = f dYi 1 /\ ••• /\ dYin

zu beschränken. Aus der Ableitung

M

den = " 8U ° "'2) dy· /\ dy· /\ ... /\ dy. r L...J a. 1 ~1 'In

j=l y]

erhält man mit (3.68) und (3.70) für die rechte Seite der Gleichung (3.69)

M

* d " ( 8U ° "'2 ) A ) * d * d * d rr cp = L...J 8. ° rr rr y j /\ rr Yi 1 /\ ••• /\ rr Yi n

j=l Y]

M N

"" (8U 0"'2) A) 8Yj * * = L...J L...J 8. ° rr 8x dXk /\ rr dYi1 /\ ••• /\ rr dYin

j=l k=l Y] k

N

= " 8Uorro",d dXk /\ rr*dy' /\ ... /\ rr*dy' L...J a '&1 111. •

k=l Xk

Um die linke Seite zu berechnen, bestimmt man zunächst

rr* cp = U ° rr) rr* dYi 1 /\ ••• /\ rr* dYi n ,

wofür wieder (3.68) herangezogen wurde, und bildet die äußere Ableitung

N

d * " 8Uorro",d d *d *d *d rr cp = L...J 8 x k /\ rr Yi1 /\ ••• /\ rr Yi n = rr cp . k=l Xk

Der Mechanismus zur Bestimmung der n-Form rr*cp besteht darin, einerseits die Koordinaten der n-Form cp mit der Abbildung rr zusammenzusetzen, andererseits für die Basisformen dYi aus (3.70) einzusetzen; nach entsprechender Umformung erhält man dann die kanonische Darstellung der n-Form 0"* cp.

Ist ~l = ~2 = ~ und 0" bijektiv, so ist (3.66) das Transformationsgesetz für die Koordinaten eines kovarianten Tensors beim Übergang von einer Basis {el'" . ,eN} auf die Basis {dO"( el), ... ,dO"( eN H.

Ist ~ ein N -dimensionaler affiner Raum und ~o ein n-dimensionaler Teilraum, so ist die Inklusionsabbildung J:~o ~ ~, die jedem Punkt P E ~o den Punkt J(P) = P als Punkt von ~ zuordnet, klarerweise affin (vgl. (3.7)


und (3.8)); die lineare Abbildung dJ : Ta -t T bildet jeden Vektor in Ta auf sich - als Vektor von T - ab. Ist K,(Y) eine Karte für ~, K,o(x) eine solche für ~o, so liefern die Gleichungen (3.8), die jetzt an die Stelle von (3.11) treten, den Zusammenhang zwischen den Koordinaten Xi und Yi eines Punktes als Punkt von ~o und als Punkt von ~.

Sei also J die Inklusionsabbildung von ~o in~. Dann wird durch J einer n-Form

CA = L CPi1 ... i n dYi 1 1\ ... 1\ dYi n

i 1 <"·<in

auf ~ die n-Form

1*'1'= (cp .. oJ)J*dy· 1\ ... I\J*dy· 1.1···'l.n '1.1 'In

auf dem Teilraum ~o zugeordnet. Setzt man darin aus (3.70) ein, so erhält man nach einer kurzen Rechnung

1*'1' = f dXl 1\ dX2 1\ ... 1\ dx n , (3.71)

worin abkürzend für

f= (cp. . 0 J) "1··· l n (3.72)

gesetzt wurde; die partiellen Differentialquotienten ~!i sind dabei aus den J

Gleichungen (3.8) zu übernehmen.

Ist 21 ein dreidimensionaler affiner Raum und 210 ein eindimensionaler Teilraum, also eine Gerade, so lauten die Gleichungen (3.8), welche in diesem Fall eine Parameterdarstellung dieser Geraden sind,

Yi = aiZ + bi ,

wenn hiefür K.( Y1 , Y2 , Y3) eine Karte für 21 und K. o (z) eine Karte für 2{0 ist. Der Vektor al el + a2e2 + a3e3 liegt im Tangentialraum Ta und gibt die Richtung der Geraden 210 an. Einer I-Form

lfI = ~I dYI + ~2 dY2 + ~3 dY3

auf 21 wird durch die Abbildung J : 210 ----> 21 wegen 1: = ai die I-Form

/ lfI = [( ~1 0 J )a1 + (~2 0 J )a2 + (~3 0 J )a3] dz

auf 210 zugeordnet.

(3.73)

Ist 2{0 ein zweidimensionaler Teilraum, also eine Ebene, so führen die Gleichungen (3.8) zu einer Parameterdarstellung dieser Ebene,

Yi = ai Z 1 + bi Z 2 + Ci ,

wenn K.( Zl, Z2) eine Karte für 210 ist; die beiden Vektoren al el + a2 e2 + aaes und bl el + b2e2 + b3e3 liegen im Tangentialraum Ta und spannen die Ebene auf. Ist

lfI = ~23 dY2 1\ dY3 + ~31 dY3 1\ dY1 + ~12 dYI 1\ dY2

eine 2-Form auf 21, so benötigt man die partiellen Differentialquotienten

8Yi 8Yi _ b. 8zI = ai , 8z2 - ,


und die Produkte

dY2 1\ dY3 = (a2 da:l + b2 da:2) 1\ (a3 da:l + b3 da:2) = I:: :: I da:l 1\ da:2 usw.,

um die 2-Form

/\0= {(iJ)230J)I:: ::I+(iJ)310J)I:: ::I+(iJ)120J)I:~ :~I}da:ll\da:2 (3.74)

auf 210 zu bestimmen.

3.6 Euklidische Räume

In den Axiomen des linearen Vektorraumes und des affinen Raumes werden die grundlegenden Objekte, die Punkte und die Vektoren, miteinander in Beziehung gebracht, und zwar auf der Grundlage der beiden elementaren Vektoroperationen sowie der Zuordnung von Punktepaaren zu Vektoren. Alle daraus hervorgehenden Konstruktionen wie Gerade, Ebene usw. sowie Beziehungen zwischen solchen, die sich aus den Axiomen als Sätze ableiten lassen, bilden den Gegenstand der affinen Geometrie. Figuren, die einander bei einer affinen Transformation entsprechen, werden deshalb affin genannt. Die affine Geometrie ist jedoch keine messende Geometrie. Strecken als Stücke von Geraden durch zwei Punkte lassen lassen sich hinsichtlich ihrer Länge mit parallelen Strecken vergleichen, aber eine Maßzahl legt die affine Geometrie nicht fest. Die Einführung einer solchen leistet der Übergang von der affinen zur euklidischen Geometrie.

Ein affiner Raum ~, in dessen Tangentialraum T ein inneres Produkt, also eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform 9 : T x T -t IR eingeführt ist, heißt ein euklidischer Raum. Ist die zugehörige quadratische Funktion .,p : T -t IR,

definit, so heißt ~ ein euklidischer Raum im eigentlichen Sinn, ist .,p indefinit, so wird ~ ein pseudo-euklidischer Raum genannt.8 ). Wenn.,p eine negativ definite Funktion ist, so kann durch einen Vorzeichenwechsel 9 -t -g stets erreicht werden, daß die zugehörige quadratische Funktion .,p positiv definit ist, sodaß .,p ohne Beschränkung der Allgemeinheit stets als positiv definit angenommen werden kann. Euklidischen und pseudo-euklidischen Räumen sei für das Folgende das Symbol ~ bzw. ~N mit dem Hinweis auf die Dimension N des Raumes vorbehalten; an Stelle von 9 soll wieder die Notation (0,0) für das innere Produkt verwendet werden. Mit Rücksicht auf eine kürzere Sprechweise ist im folgenden unter "euklidisch" stets auch "pseudo-euklidisch" gemeint, solange Definitheitseigenschaften des inneren Produktes keinen Einfluß auf die gegenständlichen Untersuchungen haben.

8) An Stelle der Bezeichnung "pseudo-euklidisch" ist auch "semi-euklidisch" gebräuchlich.

3.6 Euklidische Räume 143

Ist I! ein euklidischer Raum im eigentlichen Sinn, also "p eine definite quadratische Funktion, so wird durch

p(P, Q) := J "p(PQ) eine Abstands/unktion in I! erklärt und damit I! zu einem metrischen Raum gemacht. Die Zahl p(P, Q) heißt der Abstand der Punkte P und Q. Diese Abstandsfunktion genügt den Forderungen

(i) der Definitheit: es ist p(P, Q) ~ 0 und p(P, Q) = 0 ~ P = Q,

(ii) der Symmetrie: es ist p(P,Q) = p(Q,P) und

(iii) sie erfüllt die Dreiecksungleichung: p(P, Q) :S p(P, R) + p(R, Q).

Die ersten beiden Forderungen werden allein dadurch erfüllt, daß das innere Produkt nicht-ausgeartet und symmetrisch ist, die dritte ist eine Konsequenz aus der Schwarzsehen Ungleichung (1.41), denn aus dieser folgt

-J"p(x) J"p(y) :S (x,y) :S J"p(x) J"p(y) und durch Multiplikation mit dem Faktor 2 und anschließende Addition von "p(x) und "p(y)

(J"p(x) - J"p(y))2 :S "p(x + y) :S (J"p(x) + J"p(y))2;

zieht man jetzt die Quadratwurzel und setzt man für x = PR, y = RQ, so erhält man die Dreiecksungleichung.

Durch die Funktion fo ist ein Maß für die Länge eines Vektors aus dem Tangentialraum von I! gegeben. Man nennt den Abstand eines Punktes

P von einem Punkt Q die Länge des Vektors x = PQ, symbolisch

Ilxll := J"p(x). Dabei gilt auf Grund der Eigenschaften der Abstandsfunktion p

(i) es ist Ilxll ~ 0 und Ilxll = 0 ~ x = 0,

(ii) für.\ E IR ist II.\xll = 1.\lllxll und

(iii) Ilx + yll :S Ilxll + Ilyll· Das durch die bilineare Funktion 9 gegebene innere Produkt ermöglicht es auch, ein Maß für den Winkel einzuführen, den zwei in einem Raumpunkt angeheftete Vektoren miteinander einschließen. Grundlage hiefür ist wieder die Schwarzsehe Ungleichung, da sie der Doppelungleichung

1 < (x,y) < 1 - Ilxllllyll -

äquivalent ist. Aus dieser geht nämlich hervor, daß es genau eine Zahl a mit 0 :S a :S 7r gibt mit der Eigenschaft

(x,y) cos a := Ilxllllyll .

Die Zahl a heißt der Winkel, den die Vektoren x und y miteinander bilden.


In einem pseudo-euklidischen Vektorraum hat die Schwarzsehe Ungleichung keine Gültigkeit, weshalb ein pseudo-euklidischer Raum durch das innere Produkt nicht zu einem metrischen Raum wird; auch ein Winkelmaß kann über das innere Produkt nicht eingeführt werden. Abgesehen davon,

daß nur Punkten P und Q mit 'ifJ(PQ) > 0 ein Abstand im euklidischen Sinn zugewiesen werden könnte, gibt es in einem pseudo-euklidischen Raum

immer verschiedene Punkte, für die 'ifJ(PQ) = 0 ist. Man nennt 'ifJ(PQ) den pseudo-euklidischen Abstand der Punkte P und Q. Ist der pseudoeuklidische Abstand eines Punktes P von einem Punkt Po gleich Null, so liegt der Punkt P auf einem Doppelkegel mit der Spitze in Po. In einem Koordinatensystem mit orthonormalen Basisvektoren lautet die Gleichung dieses Doppelkegels, wenn xi die Koordinaten des Punktes Po sind,

N

L "Ii(Xi - xi)2 = 0, i=1

worin die Bedeutung der Zahlen "Ii den Vereinbarungen (1.62) zu entnehmen ist. Dieser Kegel heißt Nullkegel oder Lichtkegel im Punkt Po. Ein Vektor ~

a = PoP E T, a -I- 0, heißt zeitartig, wenn 'ifJ(a) > 0 ist, und raum artig , wenn 'ifJ(a) < 0 ist; im Falle 'ifJ(a) = 0 wird a ein lichtartiger Vektor genannt.

~

Ein Vektor PoP ist also genau dann lichtartig, wenn der Punkt P auf dem Lichtkegel im Punkt Po liegt, er ist zeitartig, wenn er im Inneren des Lichtkegels liegt, und raumartig, wenn er im Äußeren liegt.

Der dreidimensionale affine Raum mit dem intuitiven Entfernungs- und Winkelbegriff als Form der Anschauung für die Erscheinungen der Welt ist wohl das anschaulichste Exemplar eines euklidischen Raumes im eigentlichen Sinn. Durch eine ort ho normale Basis ß des Tangentialraumes wird in einem euklidischen Raum ein Koordinatensystem eingeführt, welches man kartesisch nennt. Kartesische Koordinaten haben den Vorzug, in ihrer Handhabung besonders einfach zu sein. Einer direkten Vorstellung naturgemäß weniger zugänglich ist der vierdimensionale pseudo-euklidische Raum, dessen inneres Produkt im Tangentialraum den Index 1 hat. Dieser für die spezielle Relativitätstheorie wichtige Raum wird Minkowski-Raum genannt und mit 2114 - für vierdimensionale Welt - bezeichnet. Der Tangentialraum des Minkowski-Raumes 2114 ist der 4-dimensionale LorentzRaum [4. Eine Basis ß = {eo, el , e2, e3} des Lorentz-Raumes [4 mit der Besonderheit "10 = 1= -"11 = -"12 = -"13 (vgl. (1.74)) bestimmt ein spezielles Koordinatensystem im Minkowski-Raum 2114 , das man ein Galileisches Koordinatensystem nennt. Galileische Koordinaten im 2114 übernehmen in gewissem Sinne die Rolle, die kartesische Koordinaten im euklidischen Raum \!3 innehaben.

Eine affine Transformation u: \! -t \!, deren Ableitung du: T -t Teine orthogonale Transformation im Tangentialraum ist (vgl. (1.76)), führt kartesische Koordinaten für einen euklidischen Raum in kartesische, Galileische Koordinaten für den vierdimensionalen Minkowski-Raum 2114 in Galileische

3.6 Euklidische Räume 145

Koordinaten über. Die Tatsache, daß die orthogonalen Transformationen eines euklidischen Vektorraumes bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe bilden, zieht nach sich, daß die affinen Transformationen eines euklidischen Raumes mit orthogonaler Ableitung eine Gruppe bilden. Die Geometrie, die zu dieser Transformationsgruppe gehört, ist die euklidische bzw. pseudo-euklidische Geometrie.

Das innere Produkt im Tangentialraum eines euklidischen oder pseudoeuklidischen Raumes ist als bilineare Funktion 9 ein kovariantes konstantes Tensorfeld 9 : tJ2 ~ IF der Stufe 2 mit den Koordinaten

gij=(ei,ej)

bezüglich der Basis ß in T. Durch 9 wird eine bilineare Funktion 9 1m Kotangentialraum T* induziert, welche ihrerseits ein kontravariantes Tensorfeld 9 :. tJ*2 ~ IF zweiter Stufe mit den gleichfalls ortsunabhängigen Koordinaten

gi j = g(ci,c j ) = (t- l ci,t-1cj )

bestimmt; darin ist t der durch das innere Produkt in T gegebene natürliche Isomorphismus der Vektorräume T und T*. Über das Skalarprodukt (0,0) der Vektorräume T* und T gelangt man zu dem gemischten Tensorfeld 9 : tJ* X tJ ~ lF mit den Koordinaten

gij = (ci, ej) = o} bzw. über das Skalarprodukt (o,ot der Vektorräume T** und T* zu dem gemischten Tensorfeld 9 : tJ X tJ* ~ IF mit den Koordinaten

g j = (e- cj) = (c j e-)· = o? " '&, * ,1 'I. ,

wobei für diese beiden gemischten Tesoren stets gij = gi j = gf geschrieben werden kann. Diese vier Tensorfelder werden, da sie alle auseinander hervorgehen, identifiziert, man spricht vom metri.5chen Fundamentaltensor auf dem euklidischen bzw. pseudo-euklidischen Raum ~; seine kovarianten Koordinaten sind die konstanten Größen gij, gi j sind seine kontravarianten Koordinaten und g1 seine gemischten Koordinaten. Der metrische Fundamentaltensor ist auf Grund der Symmetrie des inneren Produktes ein symmetrischer Tensor

N

9 = L gij dXi ® dx j .

i,j=l

(3.75)

Sind .6ox' und .6ox" zwei Ortszuwächse in einem euklidischen Raum im eigentlichen Sinn, so ist (.6ox', .6ox") = Lij9ij .6ox~.6ox'J ihr inneres Produkt, während (.6ox, .6ox) = Lijgij .6oxi.6ox j das Quadrat der Länge .6os des Ortszuwachses .6ox ist. Ersetzt man die Zuwächse .6oxi durch die Differentiale dXi, indem man zu infinitesimalen Ortszuwächsen übergeht, so wird man auf die quadratische Form

N

ds 2 = (dx,dx) = L gij dXidxj i,j=l

(3.76)


geführt, die als das Quadrat der Länge ds eines infinitesimalen Ortszuwachses dx zu deuten ist. Die quadratische Form (3.76) wird metrische Fundamentalform auf ~ genannt. Im euklidischen Raum ~3, der auf kartesische Koordinaten bezogen ist, lautet sie

ds 2 = dxf + dx~ + dx; . (3.77)

Im Minkowski-Raum 2l.14 , in dem ein Galileisches Koordinatensystem errichtet ist, hat (3.76) die spezielle Form

di = dx~ - dxf - dx~ - dx; . (3.78)

Hiezu sei aber angemerkt, daß die Notation (3.76) zwar sehr bequem ist und deshalb vielfach Verwendung findet, doch angesichts der Differentiale, bei denen es sich ja um Linearformen handelt, mathematisch nicht exakt ist. Sie hat ja letztlich nur dann einen Sinn, wenn die Differentiale dXi

als infinitesimale Zuwächse angesehen werden. Der präzise mathematische Untergrund der metrischen Fundamentalform ist die Darstellung (3.75) des Maßtensors.

Ebenso wie gewisse Tensoren in einem Vektorraum mit innerem Produkt, die allesamt auseinander hervorgehen, eine Familie assoziierter Tensoren bilden, können auch Tensorfelder auf einem euklidischen bzw. pseudo-euklidischen Raum identifiziert werden. So sind z.B. die beiden gemischten dreistufigen Tensorfelder "j; ; u2 X u* -t IF und {; : U X U*2 -t IF mit den Koordinaten

k - k 'k - . k lJIij (P) = 1j;(ei,ej,e) und IJI/ (P) = 1j;(ei,eJ ,e )

durch das kovariante Tensorfeld 1j; : u3 -t IF bestimmt, indem man sie durch

"j;(a,b,a) = 1j;(a,b,L- 1 a), {;(a,a,ß) = 1j;(a,L- 1 a,L- 1 ß) in Beziehung setzt. In den Koordinaten der bei den Tensorfelder tritt diese Verwandtschaft im Hinauf- bzw. Herunterziehen der Indizes zutage. So lassen sich die Gleichungen

"j;(a,b,a) = {;(a,Lb,a) und {;(a,a,ß) = "j;(a,L- 1 a,ß) mit Hilfe der Koordinaten der beiden Tensorfelder in der Form

N N

lJIi/(P) = L9jllJl;'k(p) und IJI/k(p) = L gjllJli/k(p) 1=1 1=1

ausdrücken. Sind lJIijk(P) die Koordinaten des Tensorfeldes 1j;, so erhält man

N

lJIi/(P) = LgkllJlijl(P) 1=1 h,l=l

Durch Herunterziehen von Indizes wie in N N

L 9jh9kllJlihl(p) = L gkllJli;'(P) = lJIijk{P) h,l=l 1=1

gelangt man von den Koordinaten der Tensorfelder "j; und {; zu den Koordinaten des kovarianten Tensorfeldes 1j;. Man spricht von einem Tensorfeld 1j; mit den kovarianten Koordinaten IJI ij k (P), den kontravarianten Koordinaten lJIij k (P), den gemischten Koordinaten lJIijk(P) usf.

3.7 Integration der Differentialformen 147

3.7 Integration der Differentialformen

Die Geometrie in euklidischen Räumen wird durch das innere Produkt im Tangentialraum begründet. Die auf diese Weise eingeführte Längen- und Winkelmessung ist noch durch ein Maß für den Inhalt räumlicher Figuren zu ergänzen. Für das Folgende seien dem Leser die Begriffsbildungen von Kap. 1, §6 in Erinnerung gerufen.

In der analytischen Geometrie des dreidimensionalen Raumes wird das Volumen eines von drei Vektoren al, a2, a3 aufgespannten Parallelepipeds durch das Spatprodukt al . (a2 x a3) der drei Vektoren gemessen. Dieses Inhaltsrnaß für Parallelepipeda ist eine multilineare und schiefsymmetrische Funktion der drei Vektoren und damit eine Determinantenfunktion. Genügen drei Vektoren der Forderung der Rechtsschraubregel, so ist ihr Spatprodukt positiv, wenn - wovon in der Regel stillschweigend ausgegangen wird - das kartesische Koordinatensystem, auf das Bezug genommen wird, ein Rechtssystem ist. Trifft dies nicht zu, wie immer dann, wenn drei Vektoren nicht derselben Schraubregel genügen wie jene der Maßvektoren des Koordihatensystems, so ist das Spatprodukt nur negativer Werte fähig. Den Wert Null kann es dabei nur dann annehmen, wenn die drei Vektoren linear abhängig, also entweder komplanar oder kollinear sind und somit kein dreidimensionales Gebilde im Raum aufspannen. Dem Einheitswürfel, der von den drei Maßvektoren el, e2, e3 der Koordinatenachsen gebildet wird, ordnet das Spatprodukt den Inhalt 1 zu und erfüllt damit eine "Normierungsbedingung" ; doch nicht nur dem von den Maßvektoren gebildeten Einheitswürfel wird der Inhalt 1 zugewiesen, jeder von drei orthonormalen Einheitsvektoren aufgespannte Einheitswürfel hat danach den Inhalt ± 1, je nachdem, ob die drei Vektoren der Rechtsschraubregel genügen oder nicht. Das Spatprodukt dreier Vektoren ist daher als ein "Volumelement" für den dreidimensionalen Raumes aufzufassen.

Bei der Einführung eines Volumelementes in euklidischen und pseudoeuklidischen Räumen orientiert man sich an diesen elementaren Begriffsbildungen. Deshalb muß zunächst der Raum durch Auswahl einer Äquivalenzklasse von Determinantenfunktionen im Tangentialraum orientiert werden, um auf N-dimensionale euklidische Räume zu übertragen, was man als "Drehsinn in der Ebene" und als "Schraubsinn im dreidimensionalen Raum" verstanden wissen will. Man tut dies durch Auswahl einer Äquivalenzklasse von Determinantenfunktionen auf dem Tangentialraum. Einem Parallelepipedon, das N in einem Raumpunkt P angeheftete Vektoren aufspannen, wird folgerichtig durch eine Determinantenfunktion, und zwar eine solche, welche jener durch die Wahl der Orientierung ausgezeichneten Äquivalenzklasse angehört, ein Inhalt zugeordnet. Ein Volumelement im N-dimensionalen Raum ~N ist demnach durch eine N-Form

(3.79)

einzuführen, worin die reelle Größe 'Y natürlich vom Koordinatensystem in


ItN abhängig ist; sie transformiert sich nach der Vorschrift9 ) (2.21),

{ 8x.} i = det 8fij~ 'Y. (3.80)

Geht man davon aus, daß Inhalte von Figuren bei Parallelverschiebung ungeändert bleiben, so muß 'Y als reelle Funktion im Raum konstant sein. Da die triviale Determinantenfunktion keiner Orientierungsklasse angehört, muß 'Y i= 0 sein - offenbar ist dann die Koordinate 'Y in jedem Koordinatensystem von Null verschieden. Die Wahl des Vorzeichens von 'Y entspricht in Verbindung mit dem für die Darstellung (3.79) gewählten Koordinatensystem den beiden Orientierungsmöglichkeiten, mit dem Betrag von 'Y wird das eigentliche "Inhaltsmaß" festgelegt. Mit anderen Worten, es kann jede beliebige nicht-triviale N -Form mit konstanten Koordinaten als Volumelement (in affinen Räumen) herangezogen werden.

Orientiert man die Basen, so hat die Koordinate 'Y, wie (3.80) zeigt, in jeder zulässigen Basis dasselbe Vorzeichen; liegt der Darstellung (3.79) eine positiv orientierte Basis zugrunde, so ist 'Y > 0 zu verlangen, denn es ist E(el, ... ,eN) = 'Y auf Grund von det{dxi(ej)} = 1 (vgl. (2.27)). Will man aber - und jetzt geht ein, daß der Raum euklidisch ist - dem N -dimensionalen Einheitswürfel, den orthonormale Vektoren aufspannen, durch das Volumelement (3.79) den Inhalt ±1 zuordnen, so wird 'Y dem Betrag nach festgelegt. Die Forderung, daß durch (3.79) dem von einer positiv orientierten orthonormalen Basis aufgespannten Einheitswürfel der Inhalt + 1 zugeordnet wird, während sich für die negativ orientierten orthonormalen Basen immer der Wert -1 einstellen soll, legt das Volumelement schließlich eindeutig fest.

Sei also ß = {eI, ... , eN} eine orientierungsgerechte Basis im Tangentialraum von ItN ; die Vektoren der dualen Basis im Kotangentialraum sind die Koordinatendifferentiale dXi = ei. Sind jetzt 11, h, ... , IN beliebige paarweise orthonormale Vektoren mit den Koordinaten Fj, F;, ... , FJv bezüglich der Basis ß, so gilt

E(ft, ... ,IN) = Lsign(rr)Fl7r(l) ... F;;(N)E(el, ... ,eN)

= 'Y det{ Fi} det{ (ei, ej)} = 'Y det{ Fi}

und deshalb, wenn EUl, . .. , IN) = ±1 gefordert wird,

1'Ylldet{ Fi} I = 1.

Aus der Orthonormalität der Vektoren 11, h, ... , IN folgt unter smngemäßer Verwendung der Notation in (1.62) zunächst

N N

(fi,Ij) =1Jibij = L FihF;(eh,ek) = L FihFjkghk h,k=l h,k=l

9) Es sei daran erinnert, daß 'YEi1 ... iN, worin E das Symbol (2.19) ist, die Koordinaten der N-Form (3.79) sind.

3.7 Integration der Differentialformen

und daraus durch Bildung der Determinante

det{(fi, Ii)} = "11 "12' .. "IN = (_l)N -r = (det{Fj})2 det{gij} ,

also I det { Fj } I v19T = 1 ,

worin für 9 = det{gij}

gesetzt wurde. Infolgedessen ist in (3.79) für

,= v19T

149

zu nehmen, da die Basis ß als positiv orientiert vorausgesetzt wurde. Man nennt

(3.81 )

das euklidische Volumelement im N-dimensionalen euklidischen Raum ([N.

Über das Volumelement läßt sich nun räumlichen Bereichen in ([N ein ~ ----+

Inhalt zuordnen. Sind a1 = POP1, ... , aN = POPN beliebige linear un-abhäqgige Vektoren, so wird durch sie ein Parallelepipedon II aufgespannt. Diesem wird durch das Volumelement (3.81)

z(II) := E(a1"'" aN) = v19T (e1 1\ ... 1\ eN)(a1"'" aN)

= v19T det{(ei,aj)} (3.82)

als Inhalt zugeordnet. Dieser Inhalt ist positiv, wenn die Vektoren ai eine orientierungsgerechte Basis des Tangentialraumes T sind, andernfalls negativ. Wird dem Papallelepiedon II durch (3.82) ein positiver Inhalt zugeordnet, so sagt man, II ist positiv orientiert; andernfalls nennt man II negativ orientiert. Diese Definitionen sind natürlich unabhängig von der Karte", des euklidischen Raumes ([N, denn bezüglich einer Basis B in T ist

f[;[ {. } { 8Xi} ~ { 8i h } . z(II)=vlgl det (t"aj) =det 8ij Vlgl det 8Xk det{(e"aj)}

= v19T det{{ei,aj)}.

Hat man auf diese Weise den einfachsten räumlichen Bereichen in Cf..N einen Inhalt zugeordnet, so ist der Übergang zur Inhaltsmessung allgemeiner kompakter10) räumlicher Bereiche sn durch Zerlegung in kleine Parallelepipeda zu vollziehen. Zerlegt man sn in kleine Parallelepipeda llIIi, deren Kanten parallel zu den Koordinatenrichtungen ei verlaufen und die Längen llXi haben, so ist

z(llII) = v19T det{ (ei, llxjej)} = v19T llX1 .. . llXN det{ (ei, ej)}

= v19T llX1 .. . llXN

10) In einem euklidischen Raum sind die kompakten Bereiche jene, welche sowohl abgeschlossen als auch beschränkt sind.


der Inhalt eines solchen kleinen Parallelepipedons und angenähert

tUB) ~ L t(lllIi )

der Inhalt des Bereiches SB. Bei unbeschränkter Verfeinerung der Zerlegung des Bereiches SB in Parallelepipeda durch eine sogenannte "ausgezeichnete Zerlegungsfolge" streben die Summen rechts gegen ein Bereichsintegral im JRN, dessen Wert dem Bereich SB als Inhalt zugeordnet wird,

(3.83)

",-1('B)

Der Integrationsbereich darin ist das Urbild des kompakten Bereiches SB im JRN bezüglich der Karte K. Das Integral (3.83) ist dabei unabhängig von der Wahl der Karte K, denn für ein Koordinatensystem f( mit der Karte K, erhält man einerseits auf Grund der Transformationsvorschrift für JlYT, die wegen (1.72) dieselbe ist wie für die Größe I in (3.79), andererseits auf Grund der Forderung, daß nur positiv orientierte Basen zugelassen sind, unter Heranziehung der Substitutionsregel für Bereichsintegrale

J yfgI dXl ... dXN = J det{ ~;; } JlYT det{ ::: }dXl ... dXN it- 1('B) ",-1('B)

J J19I dXl ... dXN.

",-1('B)

Die Variablensubstitution wird darin durch die Funktion x = K,-l 0 K(X) vermittelt, durch welche der Bereich K,-l(SB) ~ JRN umkehrbar eindeutig auf den Bereich K-;-l(SB) ~ JRN abgebildet wird. Zu beachten ist, daß die Funktionaldeterminante dieser Transformation, nämlich die Determinante der Matrix der partiellen Differentialquotienten, positiv ist, wenn nur gleichartig orientierte Basen zugelassen werden; deshalb kann auf die Betragsbildung, wie sie allgemein verlangt werden muß, verzichtet werden.

Das Integral (3.83) ist auch unabhängig von der Art der Zerlegung in kleine Parallelepipeda, allerdings unter einer Einschränkung. Die obige Herleitung erfolgte über eine Zerlegung in Parallelepipeda lllI, die von Vektoren llxlel, ... , llxNeN aufgespannt werden, welche, da sie eine orientierungsgerechte Basis bilden, jedem Parallelepipedon lllI eine positive Orientierung zuordnen. Mit anderen Worten, der räumliche Bereich SB wurde in positiv orientierte Parallelepipeda zerlegt. Der Möglichkeit, den Bereich SB in lauter positiv oder negativ orientierte Parallelepipeda zu zerlegen, trägt man durch eine Orientierung des Bereiches SB Rechnung. Wird dem Bereich SB eine positive Orientierung gegeben, so sind nur Zerlegungen in positiv orientierte Parallelepipeda zulässig, sein Inhalt ist positiv; wenn andernfalls SB negativ orientiert wird, so hat eine Zerlegung aus negativ orientierten Parallelepipeda zu bestehen, weshalb SB in diesem Fall ein negativer Inhalt zugeordnet wird.


Ein eindimensionaler euklidischer Raum wird durch eine Zahlengerade repräsentiert. Ihre Orientierung wird durch einen Durchlaufsinn vorgegeben, in der Regel von kleineren zu größeren Werten. Ein "räumlicher" Bereich auf der Zahlengeraden ist im einfachsten Fall ein Intervall. Dieses Intervall ist sinngemäß durch einen Durchlaufsinn zu orientieren; man nennt es positiv orientiert, wenn sein Durchlaufsinn mit dem der Zahlengeraden übereinstimmt, also ebenfalls von kleineren zu größeren Werten führt. Eine Ebene ist ein zweidimensionaler Raum, dem eine Orientierung durch einen Drehsinn zugewiesen wird. Ein Bereich in dieser orientierten Ebene wird gleichfalls durch einen Drehsinn orientiert; stimmt dieser mit dem Drehsinn der Ebene überein, so nennt man seine Orientierung positiv. Der dreidimensionale Raum wird schließlich durch einen Schraubsinn orientiert; räumliche Bereiche werden orientiert, indem man ihnen einen Schraubsinn zuordnet. Stimmt der Schraubsinn eines Teilbereiches mit jenem des Raumes überein, so sagt man, der räumliche Bereich ist positiv orientiert. Üblicherweise wird räumlichen Bereichen eines euklidischen Raumes stillschweigend die positive Orientierung mitgegeben.

Die feldtheoretische Auffassung der mathematischen Physik geht davon aus, daß der Zustand des Raumes - das Feld - seinen Ursprung in gewissen im Raum verteilten Substanzen hat, wie z.B. Kraftwirkungen, hervorgerufen durch die Anwesenheit von Massen. Bei einer kontinuierlichen Verteilung der felderzeugenden Substanzen bedient man sich einer reellen Funktion p: flN --t IR, der Dichte/unktion, zur Beschreibung der Verteilung der Substanzen. In einem Koordinatensystem K mit der Karte", ist die Dichte wie bei einem Skalarfeld durch eine Funktion po", : IRN --t 1R zu beschreiben, die dann kurz mit dem Funktionssymbol p belegt werden soll. Mathematisch gesehen ist eine Dichte ein Skalarfeld, vom physikalischen Standpunkt hat eine Dichte die Dimension "Quantität pro Volumen", und darin unterscheidet sie sich von den Skalarfeldern.

Die Dichtefunktion einer Substanzverteilung ist eine Art Differentialquotient, ihre Herleitung wird gelegentlich auch als Gebietsdifferentiation bezeichnet. Man geht davon aus, daß eine Substanz (Massen, Ladungen u.ä.) stetig oder kontinuierlich im Raum verteilt ist, worunter folgendes zu verstehen ist. Die Verteilung der Substanz bestimmt eine sogenannte "Mengenfunktion" q, die einem räumlichen Bereich X ~ flN die in ihr verteilte Substanzmenge q(X) zuordnet. Unter einer stetigen oder kontinuierlichen Verteilung versteht man nun eine solche, bei der in - hinsichtlich des Inhalts - hinreichend kleinen Bereichen beliebig wenig dieser Substanz enthalten ist, d.h. es gibt zu jeder positiven Zahl e: > 0 eine von e: abhängige Zahl b > 0, sodaß

t(ßX) Iq(ßX)1 < e:

gilt. Ist eine Substanz in diesem Sinne stetig im Raum verteilt, so betrachtet man einen kleinen Bereich ßX, bestimmt die Substanzmenge in diesem Bereich und dividiert durch den Inhalt des Bereiches; dieser Quotient, der als Differenzenquotient aufgefaßt werden kann, heißt die mittlere Dichte in dem Bereich ßX. Wenn bei unbeschränkter Verkleinerung des Bereiches - man spricht von "Zusammenziehen" auf einen Punkt P - die mittlere Dichte einem Grenzwert zustrebt, so heißt dieser die Dichte der Verteilung


im Punkt P. Ist dieser Grenzwert in jedem Punkt des Raumes ~N vorhanden, so wird auf ~N ein Skalarfeld, die Dichte der Substanzverteilung, definiert.

Ist p die Dichte einer im Raum stetig verteilten Substanz, so führt die Bestimmung der Substanzmenge q in einem kompakten räumlichen Bereich ~ ~ ~N auf ein Integral. Der Bereich ~ muß dabei orientiert werden, wobei üblicherweise die positive Orientierung zugrundegelegt wird. Entsprechend einer (orientierungsgerechten ) Zerlegung des Bereiches ~ in Parallelepipeda ist, wenn mit P ein beliebiger Punkt in einem solchen von den Vektoren ßX1e1, ... , ßXNeN aufgespannten Parallelepipedon gewählt wird,

p(P) f(ßx1e1, ... , ßXNeN) = p(P) Jl9T ßX1 ... ßXN

näherungsweise die in diesem Parallelepipedon enthaltene Substanzmenge. Durch Summation und unbeschränkte Verfeinerung der Zerlegung des Bereiches ~ wird man in der Grenze auf das Bereichsintegral

q = j pO K(X)Jl9T dX1 ... dXN

",-1('B)

geführt, durch welches jetzt die im Bereich ~ konzentrierte Substanzmenge zu erklären ist. Solange nur bei der Wahl des Koordinatensystems auf die Orientierung des Bereiches ~ Rücksicht genommen wird, ist der Wert des Bereichsintegrales unabhängig von der Karte für ~N, sodaß zur Auswertung des Integrals eine beliebige Karte herangezogen werden kann. Bei einem die Orientierung nicht ändernden Kartenwechsel K ~ K, den die Funktion ,,;-1 OK-:]RN ---->]RN beschreibt, durch welche der Bereich B = ,,;-lUB) S;;; ]RN

auf den Bereich B = K--1(~) S;;; ]RN abgebildet wird, transformiert sich das Bereichsintegral gemäß

j(POK)O(K- 1 OK-)Jl9T det{ ~~; } dX 1 ... dXN = J POK-(x).JIjf dX1 ... dXN,

i3 i3

worin wieder das Transformationsgesetz (3.80) verwendet wurde.

Sein nun cp = c]> dX1 /\ dX2 /\ ... /\ dXN

eine N -Form auf ~ N. Sie transformiert sich bei einem Kartenwechsel K ~ K gemäß

WOrIn

- { 8X i } c]> = det 8x. c]> J

(3.84)

ist; die Koordinate c]> transformiert sich also wie J19T (vgl. (2.21)). Daher ist


eine Invariante und die N-Form cP erscheint als das Produkt des Skalars p mit dem euklidischen Volumelement im (.N,

cP = p.Jl9T dXl 1\ dX2 1\ ... 1\ dXN.

Darin kommt übrigens zum Ausdruck, daß zwei Determinantenfunktionen im Tangentialraum proportional sind. Es liegt nahe, durch das Integral der Invariante p das Integral der N-Form cp einzuführen,

(3.85)

'13 1<-1('13)

Das Bereichsintegral rechts transformiert sich bei einer Variablensubstitution x = f(x) = ~-l 0 K(X) gemäß

J <P 0 ~(x) dXl ... dXN = J <P 0 K(X) Idet{ ~;)I dXl ... dXN,

B B

wobei ß = ~-l(~) bzw. i3 = K-l(~) die Integrationsbereiche im IRN sind. Der Tensor cp dagegen hat bezüglich der Karte K die Koordinate ~, die dem Transformationsgesetz (3.84) unterliegt. Deshalb ist

J 0, so bringt diese Gleichung die Unabhängigkeit des Integrals der N-Form cp über den Bereich ~ zum Ausdruck, wenn gleichartig orientierte Koordinatensysteme herangezogen werden. Ist aber det{ ~~: } < 0, so bedeutet der Übergang vom Koordinatensystem der Karte

~ auf das Koordinatensystem der Karte K eine Änderung der Orientierung der Basen, sodaß die Karte K nicht der Orientierung des Bereichs ~, sondern der Orientierung des Bereichs -~ gerecht wird. Das Integral rechts ist dann das Integral der N -Form cp über den Bereich -~, d.h. es gilt

Jcp=-JCP (3.86)

'13 -'13

für eine beliebige N-Form cp auf rtN .

Es ist wichtig festzuhalten, daß in die Definition (3.85) des Integrals einer N-Form das euklidische Volumelement (3.81), das zur Herleitung Pate stand, nicht mehr eingeht. Der Grund hiefür liegt einfach darin, daß sich die Koordinaten einer N -Form wie v'19T transformieren. Die Integration von Differentialformen benötigt daher nicht die euklidische Raumstruktur , die Einführung des Integrals einer Differentialform verlangt nur die Struktur des affinen Raumes. Dieser muß allerdings, ebenso wie die Basen, orientiert werden, um ein Volumelement einführen zu können, mit welchem räumlichen Bereichen ein Inhalt zugeordnet werden kann. Ein solches Volumelement ist durch jede N-Form (3.79) gegeben, sofern sie in keinem Punkt


des Raumes die triviale Determinantenfunktion auf dem Tangentialraum ist. Es muß also in (3.79) die Koordinate 'Y von Null verschieden sein. Will man, daß der Inhalt von Figuren bei Parallelverschiebung erhalten bleibt, so muß 'Y eine von Null verschiedene konstante Größe sein. Diese Größe 'Y und damit die N-Form E bestimmt ein "Inhaltsrnaß" auf einem affinen Raum.

Ist 'P eine beliebige N-Form mit der Koordinate CP, so gibt es, da zwei Determinantenfunktionen stets proportional sind, ein Skalarfeld p, sodaß 'P = pE ist. Das Integral (3.85) ist dann das Integral des Skalars p bezüglich des durch die N-Form E eingeführten Inhaltsrnaßes. Im folgenden sei also ~N ein N-dimensionaler affiner Raum, orientiert durch das Volumelement (3.79).

Das Integral einer n-Form auf ~N wird für n < N als Integral über "räumliche" Bereiche in n-dimensionalen affinen Teilräumen von ~N eingeführt.

Sei ~o C ~N ein n-dimensionaler affiner Teilraum von ~N. Die Koordinaten beziiglich einer Karte", in ~N seien jetzt Yi, die Koordinaten in ~o bezüglich einer Karte "'0 werden mit Xi bezeichnet. Durch die Inklusionsabbildung ] : ~o ---t ~N (vgl. (3.7) und (3.8)) wird der Zusammenhang zwischen den Koordinaten Xi und Yi der Punkte von ~o als solche von ~o bzw. ~N hergestellt. Durch die Abbildung] wird der n-Form 'P auf ~N die n-Form ]*'P (vgl. (3.66) und (3.71)) auf ~o zugeordnet. Da das Integral einer Differentialform, deren Grad gleich der Raumdimension ist, durch (3.85) bereits erklärt ist, führt man das Integral der n-Form 'f! über einen n-dimensionalen Bereich ~ C ~o, nachdem man den Teilraum ~o und den Bereich ~ orientiert hat, durch

(3.87)

ein, worin die in (3.72) gewählte Notation übernommen wurde. Auch dieses Integral ist unabhängig von der Karte "'0 für den Teilraum ~o und ändert bei einem Wechsel der Orientierung von ~ das Vorzeichen.

Die Integration der 1-, 2- und 3-Formen in einem dreidimensionalen affinen Raum 2{3 führt auf den von der gewöhnlichen Vektoranalysis her vertrauten Begriff des Kurvenintegrales, des Flächenintegrales und des Bereichsintegrales. Die Integrationsbereiche sind dabei Stücke von Geraden, Bereiche in Ebenen und räumliche Bereiche im üblichen Sinn.

Ein eindimensionaler orientierter Teilraum 2{0 C 2{3 ist eine mit einem Durchlaufsinn versehene Gerade im 2{3. Der Teilrau~ 2{0 sei auf eine Karte Ko(X) bezogen. Ist C(J eine I-Form im 2{3 und J ein orientiertes Intervall auf 2{0,

so ist (vgl. (3.71), (3.72) und (3.73))

J C(J'= J]'C(J = J [(if!1(x)a1 + if!2(x)a2 + if!3(x)a3]dx = J I(x) dx, J 3 1<;;-1(J) 1<;;-1(3)

worin die Funktionen if!;(x) für die Zusammensetzungen if!; O}OKo(X) stehen. Das Integral rechts ist ein bestimmtes Integral über das orientierte Intervall K;;-l (J)


auf der Zahlengeraden. Der Durchlaufsinn von J zeichnet einen der beiden Randpunkte als Anfangspunkt, den anderen als Endpunkt aus. Sind dies die Punkte P bzw. Q und ist a = K.:;-l(p) bzw. b = K.:;-l(Q), so führt das Integral von 'P über J auf das bestimmte Integral

J 'P = J f( z) dz = Ib f( z) dz .

'J ";;-\'J)

Das Integral einer l-Form im 2{3 ist das von der gewöhnlichen Vektoranalysis her geläufige Kurvenintegral, der "Integrationsweg" ist dabei ein orientiertes Geradenstück des 2{3.

Ein zweidimensionaler orientierter Teilraum 2{o C 2{3 ist eine mit einem Drehsinn versehene Ebene11 ) im 2{3. Es sei Ko(Zl,Z2) ei;e Karte für diese Ebene. Ist 'P eine 2-Form auf2{3, so ist (vgl. (3.71), (3.72) und(3.74))

1*'P = f(Zl,Z2)dz 1 A dz2 , worin abkürzend für

f(Zl,Z2) = 'li23 (Zl,Z2)1:: :: I + 'li31 (Zl,Z2)1:: :: 1+ 'li12(Zl,Z2)1:~ gesetzt ist und 'liij (Zl, Z2) für die Zusammensetzung 'liij 010 K o ( Zl, Z2) steht. Ist SB ein orientierter Bereich auf der Ebene 2{o, so ist

J 'P = J 1*'P = J f(Zl,Z2)dz 1dz2 .

'B 'B ,,;;-1('B)

Das Integral einer 2-Form im 2{3 ist das von der gewöhnlichen Vektoranalysis her bekannte Flächenintegral, der Integrationsbereich ist dabei ein orientiertes Ebenenstück des 2{3.

Das Integral einer 3-Form führt auf ein dreidimensionales Bereichsintegral, wie es dem Leser von der Differential- und Integralrechnung von Funktionen in mehreren Veränderlichen her vertraut ist. Es ist allerdings über einen orientierten räumlichen Bereich zu erstrecken.

Mit den beiden Definitionen (3.85) bzw. (3.87) ist das Integral einer Differentialform als Begriff eingeführt. Es bleibt noch zu klären, welcher Art die Integrations bereiche sein sollen. Das Integral einer N -Form ist über einen räumlichen Bereich zu erstrecken, der von einer Punktmenge berandet wird, welche als (N -1 )-dimensionales Gebilde anzusehen ist. Ähnliches gilt für das Integral von n-Formen im Falle n < N. Das Integral einer n-Form ist über einen n-dimensionalen Teilbereich des Raumes zu erstrecken, der in einem n-dimensionalen Teilraum liegt und von einem (n - 1 )-dimensionalen Gebilde berandet wird. Es liegt also der Integrationsbereich in Teilräumen; auf dessen Berandung aber trifft dies ohne weitere Annahmen nicht zu.

Die natürlichen geometrischen Gebilde des affinen Raumes - Punkt, Gerade, Ebene, Hyperebene - legen Bereiche nahe, die auch durch solche Elemente "berandet" werden. Ein wichtiger Vertreter eines solchen Bereiches ist das Simplez.

11) In einem euklidischen Raum kann der Drehsinn durch eine Normale auf die Ebene ausgezeichnet werden, indem man die Normale auf jener "Seite" der Ebene anheftet, sodaß der Drehsinn auf der Ebene zusammen mit einer Fortbewegung in Richtung dieser Normalen eine Rechtsschraubung ergibt.


Ein einzelner Punkt Po heißt ein 0- dimensionales Simplex 6 0 = (Po) oder kurz ein O-Simplex.

Ein geordnetes Punktepaar (Po, PI) bestimmt ein I-dimensionales Simplex 6 oder kurz ein I-Simplex, das aus allen Punkten der Strecke von Po nach PI besteht. Sind x~, x} die Koordinaten der Punkte Po und PI, so liegt ein Punkt P mit den Koordinaten Xi genau dann auf dieser Strecke, wenn

xi = x~ + t(x; - xn = (1 - t)x~ + tx;, O:St:Sl,

gilt. Da die Bedingung 0 :S t :S 1 die Ungleichung 0 :S 1 - t :S 1 zur Folge hat, können diese Gleichungen mit Hilfe der Setzungen to = t, t l = 1 - t auch in der Form

geschrieben werden. Man drückt diesen Sachverhalt auch durch die formale Summe

P = toPo + t l PI ,

aus und schreibt symbolisch

6 = (Po, PI) .

Dem eindimensionalen Simplex 6 = (Po, PI) wird durch den Durchlaufsinn der Strecke, d.h. durch die Kennzeichnung des Punktes Po als Anfangspunkt und des Punktes PI als Endpunkt der Strecke eine Orientierung mitgegeben, die aus dem geordneten Punktepaar (Po, PI) abgelesen werden kann. Das Simplex (PI, Po) besteht geometrisch aus denselben Punkten wie (Po, PI), doch ist nun der Punkt PI der Anfangspunkt und der Punkt Po der Endpunkt, sodaß die Änderung der Reihenfolge der das Simplex festlegenden Punkte einer Umkehrung der Orientierung gleichkommt. Man drückt dies durch ein "negatives Vorzeichen" aus, indem man sich der Symbolik

6 = (Po, PI) = -(PI,Po) =-6

bedient. Der Rand des I-dimensionalen Simplex 6 = (Po, Pd, der mit dem Symbol 86 belegt wird, besteht aus den beiden Punkten Po und PI, dem Anfangspunkt und dem Endpunkt, die als O-dimensionale Simplizes aufzufassen sind. Dem Merkmal von Po als Anfangspunkt bzw. PI als Endpunkt des Simplex 6 trägt man durch eine unterschiedliche Orientierung der 0-dimensionalen Simplizes (Po) und (PI) Rechnung und schreibt symbolisch

86 = (Pd - (Po) .

Auf diese Weise induziert die Orientierung von 6 eine Orientierung des Randes 86.

Ein 2-dimensionales Simplex (2-Simplex) 6 wird durch ein geordne-~ ~

tes Tripel (PO,PI,P2) bestimmt, wenn die Vektoren POPI und POP2 linear unabhängig sind. Es besteht aus allen Punkten, die sich in der Form

P=tOPO+tIPI+t2P2, 0:StO,t l ,t2 :S1, t O +t l +t2 =1,


darstellen lassen, was man symbolisch durch die Schreibweise

6 = (PO,PI ,P2 )

zum Ausdruck bringt. Ist dim~ = 2, so ist das Simplex 6 = (PO,PI ,P2 )

ein räumlicher Bereich in ~, nämlich das Dreieck mit den Eckpunkten Po, PI und P2 , einschließlich der Punkte auf den das Dreieck berandenden Strecken, die als I-dimensionale Simplizes (Po, PI), (PI, P2 ) und (P2 , Po) aufzufassen sind. Ist dirn ~ = 3, so ist 6 ein Dreieck in einer Ebene, also ein räumlicher Bereich in einem affinen Teilraum von ~, dessen Tangentialraum

~ ~

die lineare Hülle der linear unabhängigen Vektoren POPI und POP2 ist. Dem 2-dimensionalen Simplex 6 = (Po, PI, P2 ) wird durch den Durchlaufsinn Po ----t PI ----t P2 , der aus der Reihenfolge der Punkte abzulesen ist, eine Orientierung in Form eines "Drehsinns" zugeordnet (Abb. 3.2). Ändert man die Reihenfolge ab, indem man die Position zweier Punkte vertauscht, so wird dieser Drehsinn und damit die Orientierung umgekehrt. So ist das Simplex (PI, Po, P2 ) geometrisch dasselbe Dreieck wie (Po, PI, P2 ), doch ist der Drehsinn andersherum, was durch

(Po,PI ,P2 ) = -(PO,PI ,P2 )

angedeutet wird. Eine zweimalige Vertauschung der Rolle der Punkte in der angegebenen Reihenfolge bedingt eine zweimalige Änderung des Drehsinns und führt somit zum ursprünglichen Drehsinn zurück, sodaß z.B. (PO,PI ,P2 ) und (PI ,P2 ,PO) dieselben Simplizes sind, und zwar einschließlich ihrer Orientierung. Der Rand des zweidimensionalen Simplex

PI 6 = (Po, PI, P2 ), symbolisch als 86 geschrieben, besteht aus den drei I-Simplizes (Po, Pt}, (PI, P2 ) und (P2 , Po); diese werden durch die Ori

entierung von 6 automatisch mitorientiert. Man drückt diesen Sachverhalt symbolisch durch die formale Summenbildung

Po

Abb.3.2

aus, wobei die Verwendung des +-Zeichens gegenüber dem Zeichen U für die mengenmäßige Vereinigung bevorzugt wird, da durch ein Vorzeichen ± im Hinblick auf die Zusammensetzung von Simplizes besser auf die Orientierung eingegangen werden kann. Jeder der drei Punkte erscheint in dieser Darstellung des Randes genau einmal als Anfangspunkt und genau einmal als Endpunkt eines der drei Randsimplizes.

Ein geordnetes (n + 1)-Tupel (Po, PI, ... , P;.) von Punkten eines Ndimensionalen affinen Raumes ~ (n ::; N) bestimmt ein n-dimensionales Simplex (n- Simplex)

-----t in ~, wenn die n Vektoren POPi , i = 1, 2, ... , n, linear unabhängig sind. Man sagt dann, die n + 1 Punkte Pi sind linear unabhängig. Jeder Punkt


PE 6 kann als formale Summe n

o -:; ti -:; 1, L ti = 1 , i=O

dargestellt werden. Diese Darstellung der Punkte von 6 durch die Zahlen ti ist eindeutig, sodaß jedem Punkt von 6 genau ein (n + 1)-Tupel

(to,tl, ... ,tn),O -:; ti -:; 1, Liti = 1, zugeordnet wird. Man nennt die Zahlen ti die baryzentrischen Koordinaten des Punktes P.

Po Diese Bezeichnung rührt davon her, daß der Punkt P der Schwerpunkt jenes Massensystems ist, wenn in den Punkten Pi die Mas

... ----... P2 sen ti konzentriert werden. Durch die angegebene Reihenfolge der Punkte wird dem Simplex 6 eine Orientierung zugeordnet. Ein 3-dimensionales Simplex 6 in einem dreidimensionalen affinen Raum ~ ist ein Tetraeder. Es wird von 4 Dreiecken berandet, nämlich

Abb.3.3 von den Simplizes (PI ,P2 ,P3 ), -(PO,PI,P2 ),

(Po, PI, P3 ) und - (Po, P2 , P3 ). Diese Orientierung des Randes ist so gewählt, daß eine Kante (Pi, Pj ) des Tetraeders, längs der zwei dieser vier 2-Simplizes zusammenstoßen, einmal in der Richtung Pi ----t Pj, das andere mal in der Richtung Pj ----t Pi durchlaufen wird. Hiefür gibt es an sich zwei Möglichkeiten. Die obige Wahl trägt dem RechtsSchraubsinn Rechnung, sofern das Tetraeder als räumlicher Bereich positiv orientiert ist: Diese Rechtsschraubung setzt sich zusammen aus einem Drehsinn PI ----t P2 ----t P3 und einer Fortbewegung in Richtung Po. Durch diesen Schraubungssinn wird die Orientierung jedes der vier Randsimplizes in der oben angegebenen Weise festgelegt, wenn der affine Raum ~ orien-

-----t -----t -----t tiert ist und die drei Vektoren Po PI , POP2 und POP3 in dieser Reihenfolge eine positiv orientierte Basis des Tangentialraumes bilden. In Abb. 3.3 ist zur Veranschaulichung dieses Sachverhalts ein Tetraeder aufgeklappt dargestellt; der dritte Eckpunkt Po liegt dabei oberhalb der der Zeichenebene.

Der Rand 86 eines n-dimensionalen Simplex 6 = (Po, PI, ... , Pn) in ~ besteht aus (n + 1) Simplizes der Dimension (n - 1); je n der n + 1 das Simplex 6 definierenden Punkte Pi bestimmen ein Randsimplex. Den Randsimplizes wird durch die Orientierung von 6 eine Orientierung mitgegeben, und zwar erhält das Simplex, welches den Punkt Pk nicht enthält, die Orientierung (_I)k (Po, . .. , Pk, ... , Pn), wobei mit dem Hütchen über dem jeweiligen Punkt zum Ausdruck kommen soll, daß dieser in der Reihenfolge auszulassen ist. Im Sinne einer Zusammenfassung aller n + 1 Randsim plizes zum Rand von 6 schreibt man als formale Summe

n "k ~ 86 = L..-( -1) (Po, ... , Pk, ... , Pn) . (3.88) k=O


Im Falle n = 1 ist

für n = 2 erhält man

und für n = 3

in Ubereinstimmung mit den obigen einleitenden Betrachtungen.

Ist 6 = (Po, ... , Pn ) ein n-Simplex, so lassen sich aus den n + 1 Punkten Pi insgesamt (n1 1) Simplizes (Pi, Pi) der Dimension 1, (n~l) Simplizes (Pi, Pi, Pk) der Dimension 2 bilden usw. Jedes dieser 2n + 1 - 1 Sim plizes, einschließlich der n + 1 nulldimensionalen Simplizes (Pi), heißt ein Randsimplex. Ein nulldimensionales Randsimplex (Pi) heißt eine Ecke oder ein Eckpunkt von 6, ein I-dimensionales Randsimplex wird eine Kante, ein (n - I)-dimensionales Randsimplex eine Seite von 6 genannt.

Zwei Simplizes 6 1 und 6 2 , die eine Seite gemeinsam haben, welche aber durch 6 1 bzw. 6 2 unterschiedlich orientiert wird, können zu einem

Polyeder oder Vieleck II zusammengesetzt '---f---.e P2 werden, symbolisch

II = 6 1 + 6 2 .

Sind z.B. 6 1 und 6 2 die zweidimensionalen Po Simplizes (PO,P1 ,P2 ) bzw. (PO,P2 ,P3 ), so ist

II das Parallelogramm, das von den beiden Ab b. 3.4 ----t----t

Vektoren POP1 und POP3 aufgespannt wird (Abb. 3.4). Der Rand des Polyeders II besteht dann aus allen Seiten von 6 1 und 6 2 , aber ohne jene bei den Seiten, längs denen 6 1 und 6 2 zusammenstoßen, und zwar deshalb, weil sie entgegengesetzt orientiert sind. Setzt man den Rand von II aus den Rändern der beiden Simplizes 6 1 und 6 2 zusammen,

so fallen in dieser formalen Summe die gemeinsamen Seiten auf Grund ihrer entgegengesetzten Orientierung heraus. So ist

8[(PO,P1 ,P2 ) + (PO,P2 ,P3 )] = 8(PO,P1 ,P2 ) + 8(PO,P2 ,P3 )

=(A,A)-(~,A)+(~,A)+(A,~)-(~,~)+(~,A)

= (PO,P1 ) + (P1 ,P2 ) + (P2 ,P3 ) + (P3 ,PO).

Ein konvexes Polyeder II kann immer in Simplizes 6 1 , .•. , 6 n zerlegt werden derart, daß je zwei Teilsimplizes, 6i bzw. 6i, längs einer Seite zusammenstoßen, die durch 6i bzw. 6i aber unterschiedlich orientiert wird (Abb. 3.5). Man drückt eine solche Zerlegung symbolisch durch die Summe

II = 6 1 + 6 2 + ... + 6 n


aus. Das Polyeder II erhält durch die Orientierung der Simplizes selbst eine Orientierung, sein Rand

besteht aus allen Seiten von SI, ... , Sn, die nicht im "Inneren" des Polyeders II liegen, da diese - mit entgegengesetzter Orientierung -zweifach in der Gesamtheit aller Seiten vorkommen und sich in der obigen Summe gegenseitig wegheben. Abb.3.5

Ein Parallelogramm im zweidimensionalen Raum ist die Summe zweier 2-Simplizes, ein Parallelepipedon im dreidimensionalen Raum besteht aus sechs 3-Simplizes. Ein Parallelepipedon im N-dimensionalen affinen Raum m kann als Summe von N! kongruenten Simplizes der Dimension N dargestellt werden.

Die Zusammensetzung beliebiger Simplizes SI, ... , Sn, auch solcher, die nicht paarweise längs einer Seite zusammenstoßen, nennt man eine Kette und schreibt hiefür

ft = SI + S2 + ... + Sn . (3.89)

Der Rand einer Kette (3.89) ist die Kette

8ft = 8S1 + 8S2 + ... + 8Sn . (3.90)

Ist S = (Po, PI, ... , PN) ein N -dimensionales Simplex des N -dimensionalen affinen Raumesm, so gibt es eine Karte "'0 für m, die dem Punkt

Pk das Koordinaten-N-tupel (0, ... ,1, ... ,0) zuordnet, in dem die Eins die k-te Position

(0,0,1)

Abb.3.6

innehat, dem Punkt Po den Ursprung 0 des lRN . Diese Karte bildet das Simplex Sauf das sogenannte Standardsimplez S des lRN

ab: ein Punkt P gehört dem Simplex S genau dann an, wenn seine Koordinaten Xi bezüglich der Karte "'0 den Ungleichungen

genügen. Die Eckpunkte des Standardsimplex S sind die Punkte ei = (0, ... ,1, ... ,0) auf den Koordinatenachsen des lRN im Abstand 1 vom Ursprung ° (Abb. 3.6). Dies

legt für S die Notation S = (o,el, ... ,eN) nahe, analog für die N + 1 Seiten (el, ... ,eN) und (-l)i(o,el ... ,ei, ... ,eN) des Randes 8S, wobei letztere in den Koordinatenebenen liegen. Das Standardsimplex erhält die positive Orientierung durch die übliche (positive) Orientierung des lR N.

Der Rand eines n-Simplex ist ein aus n + 1 Simplizes zusammengesetztes Gebilde, das - aus der Sicht des n-dimensionalen affinen Teilraumes


~o, in welchem es einen "räumlichen" Bereich abgrenzt - intuitiv als "geschlossenes Gebilde" anzusehen ist. Im Falle n = 2 handelt es sich um eine "geschlossene Kurve", bestehend aus drei Geradenstücken, im Falle n = 3 um eine "geschlossene Fläche", die aus vier Dreiecken zusammen~esetzt ist. Der Rand eines n-Simplex im n-dimensionalen Teilraum ~o ~ ~ wird aus n + 1 Simplizes auf Hyperebenen des Teilraumes ~o zu einem geschlossenen das Simplex 15 berandenden Gebilde zusammengefügt. Dieses Merkmal des Randes, ein geschlossenes Gebilde zu sein, drückt sich darin aus, daß der Rand 8(815) des Randes 815 leer ist,

(3.91)

Bei der Beweisführung ist der Regel (3.88) zur Bildung des Randes zu folgen. Der Rand (3.88) eines n-Simplex 15 = (Po, P1 , ••• , Pn ) ist eine Kette, dessen Rand durch Zusammenfügen der Ränder der Teilsimplizes entsprechend der Regel (3.90) zu bilden ist. Bezeichnet man abkürzend mit

die Seiten von 15 und mit

Ski = (Po, ... ,it ... ,Pt, ... ,Pn ) = Slk,

die Seiten von Sk, so wird n n

k-l=l,

~ k ~ k ~ 8(815) = L.) -1) 8Sk = L) -1) 8(Po, ... , Pk, ... , Pn )

k=o k=O

n k-l n

= L (L( -l)HISlk + L (-I)HI-1 Skl)

k=O 1=0 I=k+l

= 2:( -1)k+ IS lk + 2:( -1)k+1-16kl I<k k<1

= L(-I)k+1[61k - 61k] = 0. I<k

Die exakte Fassung des Integralbegriffs für Differentialformen erfolgt nun in mehreren Schritten. Zunächst wird einem N -dimensionalen Simplex 15 = (Po, ... , PN) im ~N ein Inhalt zugeordnet. Da sich ein von N linear

----> --unabhängigen Vektoren POP1 , • .. ,POPN aufgespanntes Parallelepipedon in N! kongruente - also inhaltsgleiche - Simplizes zerlegen läßt, erklärt man

1 ----> ----> --~(S) := N! f.(POP1 ,POP2 , ••• ,POPN) , (3.92)

worin f. das Volumelement (3.79) im affinen Raum ~N ist.

Der nächste Schritt besteht in einer Zerlegung des Simplex 15 in Teilsimplizes: Jedes N-Simplex im ~N läßt sich in N-dimensionale Simplizes


ß<5i zerlegen, wobei der Durchschnitt ß<5i n ß<5j entweder leer ist oder aus einer gemeinsamen Seite der beiden Simplizes besteht,

<5 = ß<51 + ß<52 + ... + ß<5k ; (3.93)

eine solche Zerlegung nennt man eine simpliziale Zerlegung (Abb. 3.7). Die Zerlegung (3.93) kann dabei so "fein" gemacht werden, daß der Inhalt jedes Teilsimplex ß<5i kleiner als eine vorgegebene positive Zahl c: wird,

z(ß<5d < c:.

Sei nun", eine beliebige Karte und r.p = ip dX1/\"'/\ dXN eine N-Form auf ~N. Bezeichnet ",(xd = Qi E ß<5i beliebig ausgewählte Punkte in den

Teilsimplizes, so heißt (man beachte r.p = ~ f)

1 k -L ip 0 ",(xdz(ß<5d (3.94) , i=l

eine Riemannsche Summe zur simplizialen Zerlegung von <5. Ist die Funktion ip 0 '" stetig auf <5, so streben diese Summen unabhängig davon, wie die Punkte Qi ausgewählt werden,

Abb. 3.7 bei unbegrenzter Verfeinerung der simplizialen Zerlegung stets gegen ein und denselben Grenz

wert, den man das Integral der N-Form r.p über <5 nennt,

J r.p = J ip 0 ",(x) dX1 /\ ... /\ dXN := ~ lim ~ ip 0 "'(Xi) z(ß<5d· 6 6 t

Die Riemannschen Summen (3.94) streben andererseits gegen das Bereichsintegral der Funktion ip 0 "': IRN ---+ IR über ",-1(<5) ~ IRN ,

lim ~ L ip 0 "'(Xi) Z(ß<5i) = J ip 0 ",(x) dX1 ... dXN , , . t ",-1(6)

denn die simpliziale Zerlegung von <5 induziert eine adäquate Zerlegung ",-1(<5) = ",-1(ß<51) + ",-1(ß<52 ) + ... + ",-l(ß<5k)

von ",-1(<5), wobei der Inhalt des N-dimensionalen Simplex ",-l(ß<5d im IRN proportional Z(ß<5i) ist. Also erklärt man durch

J r.p:= J ip 0 ",(x) dX1 ... dXN (3.95)

6 ",-1(6)

das Integral der N-Form r.p über das N-Simplex <5. Das Bereichsintegral rechts ist, wie a.a.O. schon gezeigt wurde, unabhängig von der Wahl der Karte", für ~N. Wählt man speziell jene Karte "'0' die das Simplex <5 orientierungsgerecht auf das Standardsimplex S im IRN abbildet, so wird

1-:C1-"'-:CN1

J ip 0 "'0(X1, ... ,xN)dxN.

o


Setzt man für cp das Volumelement (3.79) ein, so erhält man, wenn 10 die Koordinate von € bezüglich der Karte "'0 ist, durch

/ € = 10 / dXl ... dx N = ';! 6 S

den Inhalt des Simplex 6, denn das Standardsimplex S im ]RN hat den Inhalt ~!' Für eine beliebige Karte '" ergibt sich, wenn XJ, Xl, ... , X]V

~

die Koordinaten der Vektoren POPk sind und 1 die Koordinate von € ist,

/€=I / 6 ",-1(6)

1 . dXl ... dXN = -, det{ Xi} ,

N.

entsprechend dem Transformationsgesetz (3.80) für die Koordinate 1 des Volumelementes €.

Das Integral einer n-Form cp im I.Z(N wird über ein n-Simplex 6 erstreckt, das in einem n-dimensionalen Teilraum 1.Z(0 liegt,

(3.96)

Darin ist für die Funktion f aus (3.71) bzw. (3.72) einzusetzen.

Die Erweiterung des Integrals von Differentialformen über allgemeinere Bereiche folgt nun den üblichen Richtlinien. Sind 6 1 und 6 2 zwei beliebige Simplizes, die nicht unbedingt eine Seite gemeinsam haben, so wird das Integral über die Kette .It = 6 1 + 6 2 durch

erklärt. Damit wird für eine beliebige Kette .It = Li 6 i

Da die Summe .lt1 +.lt2 zweier Ketten .lt1 und .lt2 wieder eine Kette ist, gilt auf Grund dessen

(3.97)

Die letzte wichtige Regel betrifft die Orientierungsänderung. Vertauscht man im N-Simplex 6 = (Po, ... , PN) zwei Punkte, etwa Pi mit Pj, so wird die Orientierung von 6 geändert. Das Simplex -6, das solcherart aus 6 hervorgeht, wird durch die Karte K-o = "'00 7r auf das Standardsimplex S abgebildet; dabei ist "'0 jene Karte für I.Z(N, die 6 auf das


Standardsimplex S abbildet, und 7r:IRN --t IRN jene Abbildung, welche die Rollen der Koordinaten Xi und Xj vertauscht. Da beim Koordinatenwechsel

"'0 --t Ko = "'0 0 7r wegen det { ::i } = -1 1

gilt, erhält man durch die Variablensubstitution x = 7r(x)

J 'P = J cf! 0 "'o(x) dXl ... dXN = - J ~ 0 Ko(X) dXl ... dXN = - J 'P, 8 S S -8

weil die Transformation 7r das Standardsimplex S auf sich selbst abbildet. Eine Orientierungsänderung des Simplex e bewirkt also einen Vorzeichenwechsel des Integrals,

J'P=-J'P' -8 8

in Übereinstimmung mit (3.86). Damit ergibt sich für eine beliebige Kette ft die Regel

J'P=-J'P' (3.98)

-Si Si

Schließlich sei noch die Linearitätseigenschaft

J (>''P + 11:0) = >. J 'P + J.L J 'r/J (3.99)

Si Si Si

des Integrals von Differentialformen vermerkt. Die Differential- und Integralrechnung von Funktionen in einer un

abhängigen Veränderlichen geht von den Begriffen Funktion und Ableitung oder besser Differential einer Funktion aus, entwickelt das bestimmte Integral, das unbestimmte Integral bzw. die Stammfunktion und bringt schließlich über den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung das bestimmte Integral mit dem unbestimmten Integral, also das Integral mit dem Differential in Zusammenhang. Der Aufbau der Differentialund Integralrechnung für Differentialformen in affinen - und allgemeineren Räumen - verallgemeinert diese Begriffsbildungen und ihre Zusammenhänge. An die Stelle der reellen Funktionen reeller Veränderlicher treten die Differentialformen, aus dem bestimmten Integral einer reellen Funktion wird das Integral einer Differentialform über eine Kette. Die Rolle der Ableitung einer reellen Funktion übernimmt das äußere Differential. Ob eine Differentialform integrabel ist, also eine Stammfunktion besitzt, wird durch das Lemma von POINCARE beantwortet. Damit ist auch das unbestimmte Integral auf Differentialformen übertragen; es bleibt noch, den Zusammenhang zwischen dem Integral einer Differentialform und seinem unbestimmten Integral herzustellen, wie ihn der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung für reelle Funktionen zum Ausdruck bringt.


In einem eindimensionalen auf eine gewisse Karte '" bezogenen affinen Raum ~, den eine orientierte Gerade repräsentiert, wird jedes I-Simplex S = (P, Q) durch ",-1 auf ein (durch den Durchlaufsinn) orientiertes Intervall der Zahlengeraden IR abgebildet. Ist cp eine O-Form auf ~, so definiert das Integral von cp über den Rand 8S = (Q) - (P) von S eine I-Form

1/;(PQ) = J cp = J cp + J cP = J cP - J cP = f(b) - f(a), 86 (Q) -(P) (Q) (P)

worin für a = ",-l(P), b = ",-l(Q) und f(x) = cP 0 ",(x) gesetzt wurde. Ist e eine von Null verschiedene Zahl, so gibt es einen wohlbestimmten

--t -------t Punkt Qe, für den ePQ = PQe gilt; setzt man noch für h = b - a, so ist ",-l(Qe) = a + eh. Wenn dann Se = (P, Qe) das durch die beiden Punkte P und Qe bestimmte Simplex ist, so gilt

1/;{ePQ) = J cP = J cP - J cP = f(a + eh) - f(a).

8(P,Q.) (Q.) (P)

Das Differential dcp = j' (a) dx nähert diese Differenz von höherer als erster Ordnung an, d.h. es ist

1/;{ePQ) = dcp{ePQ) + ... = j'(a)dx{ePQ) + ... = ej'(a)h+ ... ,

wobei die Punkte für jene Terme stehen, die mit e von höherer als erster Ordnung gegen Null gehen.

Dieser Zusammenhang zwischen Integral und Differential läßt sich auf affine Räume beliebiger Dimension übertragen, indem man an Stelle des Simplex auf der Zahlengeraden Parallelepipeda betrachtet. Sei cp eine (n -1)-Form auf ~N und II das n-dimensionale Parallelepipedon, das von

-------t -------t n beliebigen in einem Punkt P angesetzten Vektoren P PI, ... , P Pn aufge-spannt wird. Dann bestimmen cp und II eine n-Form auf ~N,

1/; (PIt ... ,PF;.) = J cp. (3.100)

8IT

Daß es sich dabei um eine schiefsymmetrische Funktion im Punkt P handelt, hat seine Ursache in der Regel (3.98): Das Vertauschen von zwei Vektoren in der Argumentliste von 1/; bedeutet eine Änderung der Orientierung von II und damit seines Randes 8II, was sich in einer Vorzeichenänderung des Integrals auf der rechten Seite von (3.100) auswirkt. Die n-Form (3.100) übernimmt jetzt die Rolle der Differenz der Funktionswerte. Bezeichnet Pi,e

----t ~ jene eindeutig bestimmten Punkte, für die eP Pi = P Pi,e gilt und ist IIe

----t -------t das von den Vektoren P P1 ,e, ... , P Pn,e aufgespannte Parallelogramm, so gilt im Punkt P

1/; (effl, ... ,ePF;.) = J cp = endcp + ... , (3.101)

8IT.


worin mit den Punkten jene Terme angedeutet sind, die mit e von höherer als n-ter Ordnung gegen Null gehen. In diesem Sinn verallgemeinert das äußere Differential einer Differentialform den Begriff des Differentials einer reellen Funktion einer reellen Veränderlichen.

Der Einfachheit halber sei (3.101) für den Fall n = N = 2 bewiesen, womit das Wesentliche bereits zutage tritt. Es seien Yi die Koordinaten im Raum 2(2 bezüglich einer Karte I\;(Y) und II ein Parallelo-

----t ----t gramm, aufgespannt von den beiden Vektoren a der Punkt P habe bezüglich I\; die Koordinaten y'j, der Punkt P3 sei der vierte Eckpunkt von ll,

= PP1 und b = PP2 ;

-------+ -------+ sodaß P1P3 = bund P2 P3 = a gilt. Die beiden

(O,e) (e,e)

Vektoren a und b haben bezüglich der Karte I\; die Koordinaten Al, A2 bzw. B 1, B 2. Dann bildet die Karte 1\;0(X1,X2) = I\;O!(X1,X2), worin ! : 1R2 -> 1R2 die Transformation mit den Koordinaten ~---i_-"""'_ Xl

(0,0) (e,O)

Y1 = y~ + A1X1 + B1X2 ,

Y2 = y~ + A2X1 + B2X2 Abb.3.8

ist, das Quadrat mit den Eckpunkten (0,0), (1,0), (1,1) und (0,1), welches von den vier Simplizes

((0,0), (1, 0)), ((1,0), (1, 1)), ((1,1), (0, 1)), ((0,1), (0, 0))

berandet wird, auf das Parallelogramm II ab. Eine I-Form

<p = «P1 (Y1' Y2) dY1 + «P2(Y1, Y2) dY2

auf 2(2 wird dann durch die Transformation! in

<p = <P1 dX1 + <P2 dX2

übergeführt, wenn abkürzend für

<P1 = (A1~h + A2«P 2) o!, <P2 = (B1«P 1 + B 2«P2) o! gesetzt wird. Nun gilt

a<Pi a<Pi <Pi(X1,X2) = <Pi(O, O) + -a Xl + -a X2 + ... ,

Xl X2 i = 1,2, (3.102)

worin die partiellen Differentialquotienten an der Stelle (0,0) zu nehmen sind und durch die Punkte die Glieder höherer Ordnung der Entwicklung von <Pi( Xl, X2) angedeutet werden sollen.

Das achsenparallele Quadrat Qe wird durch 1\;0 auf das Parallelogramm lleabgebildet (Abb. 3.8); dabei entsprechen dem Rand

alle = (P,P1 ,e) + (P1 ,e,P2 ,e) + (P2 ,e,P3 ,e) + (P3 ,e,P)

des Parallelogramms lle durch 1\;0 die Seiten des Quadrates Qe. Ist nun 2(0 der Teilraum von 2(2, in dem das Randsimplex (P, P1 ,e) liegt, so ist


"'00 f(XI,O) eine Karte für ~o, die das Simplex (P,PI,e) auf die Kante ((O,O),(e,O)) von Qe abbildet; übernimmt wieder J:~o ~ ~2 die Rolle der Inklusionsabbildung (3.7), so wird bezüglich dieser Karte

J*cp = c/>1(XI,O)dxI und

e

j cp= j J*CP= j c/>1(XI,O)dxI= jc/>I(XI,O)dxI' (P,PI ,.) (P,PI ,,) (O,O),(e,O)) °

Auf Grund der Entwicklung (3.102) wird daraus in zweiter Näherung

Durch analoge Rechnungen erhält man

2 8c/>2 e2 8c/>2 cp = ec/>2(0, 0) + e - + - - + ... ,

8XI 2 8X2

also insgesamt

an. Nun ist

und 8c/>1 = Al BI 8«PI + Al B2 8«PI + A2 BI 8«P2 + A2 B2 8«P2 , &2 ~ ~ ~ ~

worin die partiellen Differentialquotienten an der Stelle (Y~, Y~) zu nehmen sind. Setzt man daraus oben ein, so erhält man schließlich

j cp=e2(8«P2 _ 8«PI)(AIB2_A2BI)+ ... 8YI 8Y2

an.


Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung für Differentialformen ist nun der

Satz von Stokes. Sei Si eine beliebige n-dimensionale Kette in dem affinen Raum ~N und ep eine (n - l)-Form auf ~N. Dann gilt

(3.103)

Auf Grund der Eigenschaften (3.97) und (3.99) des Integrales und der Linearitätseigenschaft (3.53) der äußeren Ableitung genügt es, den Satz von STOKES für ein Simplex 15 und ein Monom, d.h. für eine (n -l)-Form der Gestalt

zu zeigen, wenn wieder mit Xi die Koordinaten in ~N bezeichnet werden. Ferner kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit n = N angenommen werden. Ist nämlich ein n-dimensionales Simplex 15 in dem n-dimensionalen Teilraum ~o von ~N enthalten, so folgt, wenn die Gültigkeit der Gleichung (3.103) für den Spezialfall n = N bereits erwiesen ist und für den Augenblick ~o an die Stelle von ~N tritt,

J dlep = J lep, 15 815

wenn darin wieder J:~o ----> ~N die Abbildung (3.7) istj mit Hilfe von (3.69) schließt man daraus

J dep = J ldep = J dlep = J lep = J ep. 15 15 15 815 815

Sei also n = N und zur weiteren Vereinfachung der Schreibarbeit

ep = cp dXl 1\ ... 1\ dXN-l •

Ferner sei 15 ein beliebiges N-Simplex im ~N und K, jene Karte, die das Simplex 15 in das Standardsimplex im lRN überführt. Ist unter diesen Annahmen die Gültigkeit der Gleichung (3.103) gezeigt, so ist der Satz von Stokes in voller Allgemeinheit bewiesen.

Der Rand as des Standardsimplex S ~ lR N setzt sich aus N + 1 Simplizes der Dimension N - 1 zusammen, nämlich aus den Urbildern

( _l)i (0, el, ... ,ei, ... ,eN)

der Seiten von S unter der Abbildung K,j darin bezeichnet 0 den Ursprung im lRN und ei die Punkte auf den Koordinatenachsen im Abstand 1 vom Ursprung. Von diesen (N +1) Seiten sind N durch dXi = 0 gekennzeichnet, die letzte wird durch die Gleichung Xl + ... + XN = 1 beschrieben. Auf Grund der vereinfachten Annahme für ep verschwinden bei der Berechnung


des Integrals von cp über den Rand des Simplex e die Beiträge von jenen N - 1 Seiten von 8S, die in den Koordinatenebenen Xl = ... = XN-1 = 0 liegen. Deshalb ist

f worin für f = .p 0 K gesetzt wurde. Schreibt man abkürzend S' für das Standardsimplex im lRN-l,

so gilt, da auf der Seite (e1"" ,eN) von 8S für XN = 1 - L~~l Xi einzusetzen ist,

N-1

f f dX1 ... dXN-1 = (-l)N-lf( Xl,··· ,XN-1,1-?= Xi) dx1 ... dXN-1

(el, ... ,eN) S' .=1

und, da auf der Seite (_l)N (o,e1, ... ,eN-1) von 8S für XN = 0 zu nehmen ist,

f f dX1 ... dXN-1 = (-1)Nff(X1, ... , XN-1, 0)dX 1 ... dXN-1.

(-l)N(o,et, ... ,eN_l) S'

Um die linke Seite von (3.103) für das Simplex e zu berechnen, ist zunächst die äußere Ableitung der (N - l)-Form cp zu bilden,

BI N-l BI dcp = -- dXN 1\ dX1 1\ ... 1\ dXN-l = (-1) -- dXl 1\ ... 1\ dXN. &N &N

Damit erhält man

f N-1 f 8f dcp = (-1) 8XN dX1 ... dXN-1 dx N

S S

Führt man im Integral rechts die Integration über XN aus, so erhält man den Ausdruck

N-1 ( -1 )N -1 f [f ( Xl, ... , X N -1, 1 - ?= Xi) - f( Xl, ... , X N -1, 0) ] dx 1 ... dx N -1 ,

S' .=1

auf den sich die Berechnung der rechten Seite von (3.103) in Form der beiden obigen Integrale reduziert hat.


Eine orientierte Gerade ist ein eindimensionaler orientierter affiner Raum 21. Ist K eine Karte für 21 und cp eine O-Form auf 21, so gilt, wenn f( z) = cp 0 K( z) gesetzt wird, dcp = f'(z) dz. Dann besagt der Stokessche Integralsatz (3.103) für ein Simplex (P, Q), welches ein orientiertes Intervall ist, wenn a = K- 1 (P), b = K- 1(Q) gesetzt wird,

J dcp = J /,(z) dz = l b /'(z)dz

(P,Q) (P,Q)

J cp = J cp+ J cp = cp(Q) - cp(P) = f(b) - f(a), 8(P,Q) (Q) -(PI

d.h. für N = 1 ist (3.103) der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung für reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen.

Im Fall N = 3 und n = 2 ist (3.103) der von der gewöhnlichen Vektoranalysis her bekannte Integralsatz von STOKES, erstreckt über ein in einer Ebene 210

liegendes Polyeder II mit der geschlossenen Randkurve 8II. Ist nämlich

cp = ft dZ 1 + /2 dZ2 + Ja dZ3

eine I-Form, so erhält man für die äußere Ableitung

dcp = (8 Ja _ 8/2 ) dZ 2 1\ dZ3 + (8ft _ 8 Ja ) dZ3 1\ dZ 1 + (8/2 _ 8ft ) dZ 1 1\ dZ 2 8z2 8z3 8z3 8z1 8z1 8z2

und (3.103) nimmt in der Notation der Vektoranalysis die Gestalt

J rot f . da = J f· ds

II 8II

an, in welcher der Integralsatz von STOKES üblicherweise angeschrieben wird.

Ist schließlich

cp = 91 dZ 2 1\ dZ3 + 92 dZ3 1\ dZ 1 + 93 dZ 1 1\ dZ 2 ,

eine 2-Form, so ist ihr äußeres Differential

( 891 892 893 ) dcp = -8 + -8 + -8 dZ 1 1\ dZ 2 1\ dZ3

Zl Z2 Z3

und (3.103) geht in den Integralsatz von GAUSS

J div 9 dr = J 9· da

II 8II

über. Die Integralsätze der Vektoranalysis sind also aufs engste verwandt mit dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung von Funktionen einer reellen Veränderlichen.

Der Satz von STOKES steht in enger Beziehung mit dem Verschwinden des zweiten äußeren Differentials einer Differentialform. Ist nämlich ep eine (n - l)-Form und ft eine (n + l)-dimensionale Kette, so gilt

J d( dep) = J dep = J ep = J ep = 0 ,

.1\ 8.1\ 8( 8.1\) 0

denn der Rand des Randes eines Simplex und damit einer beliebigen Kette ist die leere Menge.

3.8 Das Kodifferential 171

3 .. 8 Das Kodifferential

In einem orientierten euklidischen oder pseudoeuklidischen Raum ([N kann jedem schiefsymmetrischen kovarianten Tensodeld ein duales Tensorfeld zugeordnet werden. Sind cp und "p schiefsymmetrische kovariante Tensodelder der Stufen n bzw. m = N - n, so ist

cp /\"p = ß{cp,,,p) dX1 /\ dX2 /\ ... /\ dXN

eine N-Form auf ([N. Ihre Koordinate ß{cp,,,p), welche auf Grund der Rechenregeln für das äußere Produkt in linearer Weise von den beiden Differentialformen cp und "p abhängt, transformiert sich wie die Koordinate 'Y in (3.80) bzw. wie die Größe .J]9I, welche als Koordinate im euklidischen Volumelement (3.81) auftritt. Daher ist für eine feste n-Form cp und eine feste m-Form "p der Ausdruck

( _1)N-r .J]9I ß{ cp,,,p)

in jedem Punkt von ([N eine Invariante und somit ein Skaladeld auf ([N {vgl. (2.50)). Weil diese Invariante im Punkt P E ([N linear vom Tensor "p{P) abhängt, gibt es im Punkt P einen eindeutig bestimmten Tensor *cp E /\ mT* mit der Eigenschaft

( _1)N-r .J]9I ß{cp,,,p) = (*cp,,,pt,

worin (o,ot das innere Produkt (2.39) im euklidischen Vektorraum /\mT* ist. Da cp und "p differenzierbare Tensodelder sind, ist *cp ein differenzierbares schiefsymmetrisches kovariantes Tensodeld m-ter Stufe und somit eine m-Form auf ([N. Es wird das zu cp duale oder adjungierte Tensodeld genannt und erfüllt für alle m-Formen "p die Gleichung

cp /\"p = {_l)N-r(*cp,,,pt Jl9I dX1 /\ ... /\ dXN = (-I)N-r(*cp,,,ptf,

worin f das euklidische Volumelement (3.81) ist.

Alle Rechenregeln, die in Kap. 2, §9 bezüglich des Operierens mit dem *-Operator aufgestellt wurden, behalten mutatis mutandis ihre Gültigkeit, weshalb auf eine eigene Darstellung hier verzichtet werden kann. Da die Beziehungen zwischen den kovarianten und kontravarianten Koordinaten einer n-Form cp und ihrer dualen m-Form *cp im folgenden benötigt werden, seien insbesondere die Zusammenhänge

(3.104)

(vgl. (2.59)) beziehungsweise

*cpk1 ... km{X) = Jl9I sign{7r)cph ... 1n{x) (3.105)

(vgl. (2.62)), worin beide Male 7r die Permutation 11 ••• ln k1 .:. km ist, in Erinnerung gerufen.


Der *-Operator tritt mit dem äußeren Differential d sehr oft in folgendem Zusammenhang auf. Ist cp eine n-Form, so ist *cp eine (N - n)-Form, d*cp eine (N - n + 1)-Form und schließlich *d*cp eine (n - 1)-Form. Der Operator

(3.106)

der einer n-Form cp die (n - 1)-Form 1/J = ocp zuordnet, heißt das Kodifferential von cp. Darin ist *-1 der "inverse" *-Operator (2.65). Zu beachten ist, daß in die Definition des Kodifferentials der Grad jener Form eingeht, auf welche diese Operation angewendet wird.

Für eine O-Form w ist ow = 0, denn *w ist eine N-Form und infolgedessen d*w = o. Für eine I-Form cp = Liq,idxi ist nach (3.105)

N

= .Ji9I~) _1)i-1q,i dX1 /\ ... /\ hi /\ ... /\ dXN, i=l

worin mit dem Zeichen ~ - auch für das Folgende - angedeutet werden soll, daß die darunterstehende Größe auszulassen ist. Die äußere Ableitung dieser (N - 1)-Form ist die N -Form

N Öq,i N Öq,i d*cp = .Ji9IL öx. dX1/\···/\ dXN = L öX. Ei

i=l > i=l >

wendet man auf sie den *-Operator an, so folgt mit (2.54) unter Berücksichtigung von sign(g) = ( _1)N-r

und somit N . N

ocp = - L öq,> = - L gij öq,j . (3.107) . ÖXi . . ÖXi >=1 >,]=1

Ist cp = q, dXl /\ ... /\ dXN eine N-Form, so liefert (2.54) zunächst

( _1)N-r *cp = .Ji9I q, ,

woraus durch Bildung der äußeren Ableitung

(_I)N-r N öq, d*cp = L -dxj Ji9T j=l dXj

folgt. Mit Hilfe von (3.104) schließt man daraus auf die kontravarianten Koordinaten

.T,/t .. .lN-l _ 1 . (·1 1 ) öq, '.I' - 19T slgn J 1··· N-1 ÖXj


der (N -l)-Form 'I/; = *d*cpj die kovarianten Koordinaten sind folglich (vgL (2.48))

Wk 1 ... kN _ 1 = I~I L gk1 ... kN-1I11 .. .IN-1 sign(j h .. . IN-l) :: .. 11< ... <IN- 1 1

Ergänzen nun die beiden Zahlen I bzw. k die beiden Indizes-Kombinationen 11 < ... < lN-l bzw. k1 < ... < kN - 1 zu einer Permutation der natürlichen Zahlen von 1 bis N, so erhält man unter Berücksichtung dessen, daß die Matrizen {9ii} und {gii} reziprok sind und folglich die Determinante (-1)k+lgk1 ... kN_1,11 ... IN_1 das algebraische Komplement der k-ten Zeile und der l-ten Spalte der Matrix {gii} ist,

L Wk 1 ... kN_1 dXk1 /\ ... /\ dXkN_1

k1<···<kN_1

I~I L gk1 ... kN-1,11 .. .IN-1 sign(111 .. . IN-l) ~~ dXk1/\·· ./\ dX kN_1

k1<···<kN - 1 h<···<IN-1

N g" k-l kl 8if1 --= - L....t (-1) 9 a dXl /\ ... /\ dXk /\ ... /\ dXN, Igl k,I=1 XI

also N

" k-l k1 8if1 --ocp = - L....t (-1) 9 - dXl /\ ... /\ dXk /\ ... /\ dXN.

k,I=1 8xI

Um endlich das Kodifferential für eine beliebige n-Form

cP = L ifli1 ... in dXi1 /\ ... /\ dXi n i 1 <···<in

mit 1 < n < N zu berechnen, sei mit m = N - n abkürzend

*cP = L *ifl i1 ... im dXit /\ ... /\ dXim ,

it<···<im

'I/; = d*cp = L Wko ... km dXko /\ ... /\ dxkm ,

ko<···<km

X = *'1/; = *d*cp = L *Wh .. .In _ 1 dXl1 /\ ... /\ dXln_ 1

11<···<ln_ 1

gesetzt. Dann ist nach (3.104) und (3.105)

(_l)N-r *'T.h ... ln-1 - • (k k I I ),T.

'I' -.Ji9T slgn 0··· ml··· n-l 'l'ko ... km ,

*iflit ... im =.Ji9T sign(i1 .. . inlI ... jm)ifl i1 ... in ,

(3.108)


während sich aus (3.48) der Zusammenhang

W = ~(-1)" a(*q,ko ... k: ... k) ko ... km L...J a

,,=0 Xk v

ergibt. Faßt man zusammen, so erhält man zunächst m

.T,11.·.In - 1 - ( l)N-r ,,( 1)'" (k k 1 1 ) *'1" - - L...J - slgn 0··· m 1··· n-l

_ aq,i1 ... i n

x sign( i 1 ... inko ... k" ... km) -----=a--Xk v

Nun bestimmt jeder Index v (0 ~ v ~ m) genau einen Index J.L (1 ~ J.L ~ n), sodaß k" = i/1- ist, da sonst i1 ... inko ... k;; ... km keine Permutation ist. Hält man den Index v fest, so bekommt man

sign( i1 ... i/1--1 k"i/1-+1 ... inko ••• k;; ... km)

= (-1 t-/1-+" sign( i1 ... i~ ... inko ... km)

= (-1 )mn-m-/1-+,,-1 sign(ko ... kmi1 ... i~ ... in) .

Daraus folgt jetzt zwingend

i1 = 11"" ,i/1--1 = 1/1--1, i/1-+1 = 1/1-"" in = ln-I, da die Kombination 11 < ... < 1n-l die Kombination ko < ... < km zu einer Permutation ergänzt. Infolgedessen ist

m aq,h .. .!,.-lkvl,. ... ln-l *wll ... ln-l = (_I)Nn-r ,,( -1)/-1-1------=----

L...t aXk v=o ~

N-n aq,kvh .. .!n-l = (_l)Nn-r " _-,---_

L...J aXk ,,=0 v

Diese Gleichung ist jetzt folgendermaßen zu verstehen. Ist die Kombination h < ... < 1n-l einmal gewählt, so gibt es genau N - n + 1 Koordinaten von C{), deren Indizes einerseits eine Kombination bilden und andererseits die Indizes 11 , ••. ,1n-l enthalten, während der verbleibende Index k = k" der zu 11 < ... < 1n-l komplementären Kombination ko < ... < kN - n angehört. Mit der Summation über v ist dann gemeint, daß der Index k" der Reihe nach die Werte ko, •.. , kN - n annimmt. Beachtet man aber q,kh .. .!n-l = 0 für k = h, ... , ln-I, so vereinfacht sich diese Summation zu

N aq,kI1".!n-l *wh •. .!n-l = (_l)Nn-r L (3.109)

k=1 aXk

Damit ergeben sich jetzt die kovarianten Koordinaten der (n - l)-Form X = CC{) durch Herunterziehen der Indizes 11, ... , ln-I,

N aq,k N aq,. X = _ " ll .. ·ln-l = _" jk ;h .. .!n-l

h ... ln-l L...J a L...J 9 a . Xk . Xk

k=1 ;,k=1

3.8 Das Kodiiferential 175

Aus diesem Resultat erhält man schließlich

N 8ip. L L jk JI1 .. .1"-1 d /\ /\ d 9 XII ..• XI"_l· 8Xk

1t<···<I"-lj,k=l

Ocp = - (3.110)

Bemerkt sei zu dieser Darstellung, daß durch die zweimalige Anwendung des *-Operators die Größe J19T herausgefallen ist. Dies bedeutet, daß das Kodifferential unabhängig von der Orientierung des Raumes ftN ist.

Speziell erhält man für eine I-Form

cp = ~ldxl + ~2dx2 + ~3dx3 im euklidischen Raum ~3, der auf ein kartesisches Koordinatensystem bezogen ist,

Für eine 2-Form

cp = ~l2da:l A da:2 + ~l3da:l A da:3 + ~23da:2 A da:3

findet man unter Berücksichtigung der Schiefsymmetrie der Koordinaten

3 8~kl Scp = - " - da:l ~ 8a:k

k,l=l

(3.111)

= _ (8~2l + 8~3l ) da:l _ (8~12 + 8~32) da:2 _ (8~l3 + 8~23) da:3 8a:2 8a:3 8a:l 8a:3 8a:l 8a:2

= (8~12 _ 8~31) da:l + (8~23 _ 8~l2) da:2 + (8~3l _ 8~23) da:3 . 8a:2 8a:3 8a:3 8a:l 8a:l 8a:2

Für eine I-Form cp = ~oda:o + ~lda:l + ~2da:2 + ~3da:3

im vierdimensionalen Raum mJ4, der auf ein Galileisches Koordinatensystem bezogen ist, erhält man

Scp = _(8~O + 8~l + 8~2 + 8~3) = _(8~o _ ä~l _ 8~2 _ 8~3). (3.112) 8a:o 8a:l 8a:2 8a:3 8a:o 8a:l 8a:2 8a:a

Das Ködifferential einer 2-Form

X = da:o A (~lda:l + ~2da:2 + ~ada:3) + iJi l da:2 A da:a + iJi2 da:a A da:l + iJiada:l A da:2

bestimmt sich zu


Bildet man für eine beliebige Differentialform r.p mit einem Grad n > 1 das zweite Kodifferential, so erhält man

02r.p = oor.p = _*-ld**-ld*r.p = _*-ld2*r.p,

d.h. es gilt auch für das Kodifferential

02r.p = o. Unmittelbar aus der Definition (3.106) folgt

*or.p = (-1 )n** -1 d*r.p = (-1 td*r.p .

(3.114)

(3.115)

Bildet man dagegen das Kodifferential einer dualen Form, so ist zunächst zu beachten, daß die duale Form *r.p einer n-Form r.p eine (N - n)-Form ist; berücksichtigt man ferner (2.64), so findet man

o*r.p = (_l)N-n*-ld**r.p = (_1)(N-n)(n+1)+N-r*-ldr.p

und daraus mit Hilfe von (2.65), weil dr.p eine (n + l)-Form ist,

Wegen

und

o*r.p = (-lt+ 1*dr.p.

o*dr.p = (_1)(N-n-1)(n+1)+N-ro*-ldr.p = (_1)N-1 0*-ld**r.p

= (-lt+ 102*r.p,

worin wieder (2.64) und (2.65) verwendet wurde, ist

d*or.p = o*dr.p = o. Aus der Gleichung

*odr.p = (-lt+1**-ld*dr.p = (_l)N- nd*-ld**r.p

folgt

ebenso zeigt man

(3.116)

(3.117)

(3.118)

(3.119)

Auch das Lemma von POINCARE läßt sich auf das Kodifferential übertragen. Sind dessen Voraussetzungen, das Definitionsgebiet (!; betreffend, erfüllt, um aus einer auf (!; gültigen Gleichung dr.p = 0 auf die Darstellbarkeit r.p = d,p in (!; schließen zu können, so gilt das gleiche auch für das Kodifferential. Ist r.p eine n-Form und besteht in (!; die Gleichung or.p = 0, so ist auch d*r.p = 0 in (!;, d.h. es gibt eine (n + 1)-Form ,p, durch welche in (!; die Gleichung *r.p = d*1/; erfüllt wird. Infolgedessen ist

r.p = *-ld*,p = (-lt+ 1o,p.

Da der Operator 0 einer n-Form eine (n - l)-Form zuordnet, ist das Ergebnis der Hintereinanderausführung do wieder eine n-Form. Ist weine


O-Form, so ist ow = 0 und folglich dow = O. Ist ep eine I-Form, so ergibt die Anwendung von d auf (3.107)

(3.120)

Für eine N -Form ep findet man durch Bildung des äußeren Differentials der (N - 1)-Form (3.108)

N .. 82 ip doep = - L g'J 8 8 dX1 1\ ... 1\ dXN.

.. 1 Xi Xj ',J=

(3.121)

Ist ep eine n-Form mit 0 < n < N, so bestimmen sich unter Berücksichtigung von (3.110) sowie unter Berufung auf (3.48) die Koordinaten der n-Form"p = doep zu

(3.122)

Da das Ergebnis der Anwendung des Operators 0 auf eine (n+l)-Form eine n-Form ist, führt auch die Hintereinanderausführung od, angewendet auf eine n-Form, wieder auf eine n-Form. Für eine O-Form w ist dabei

N 8 dw= L~dxi

i=1 8X i

und (3.107) ergibt mit der Setzung ipi = ::.

N 82 odw = _ ~ gi j w. (3.123)

~ 8x·8x· i,j=1 'J

Ist ep eine N-Form, so ist dep = 0, also auch odep = O. Ist ep eine n-Form und 0 < n < N, so sind die Koordinaten der (n + 1)-Form"p = dep durch

n 8ip ~ IJI = ~(-I)11- 10 ... 1p. ... 1"

10 ".1" ~ 8 XI 11-=0 p.

gegeben, die Koordinaten von X = o"p sind nach (3.110) die Größen

N 81J1. X - _ ~ jk J/ 1 .•. I" / 1 ••• /" - ~ 9 8 .

. Xk J,k=1

Setzt man aus dieser Gleichung in die darüberstehende ein, so gelangt man zu den Koordinaten

N 8 2 n 8 2 ip. ~ X = _ ~ jk ( iph .. .ln ~(-I)11- J/l .•. I P. •• .I,,)

11 •• .!" ~ 9 8 8 + ~ 8 8 j,k=1 Xk Xj 11-=1 Xk Xlp.

(3.124)

der n-Form X = odep.


Da beide Operatoren dS und Sd einer n-Form wieder eine n-Form zuordnen, leistet dies auch der Operator

~:= dS + Sd. (3.125)

Für eine O-Form w ist wegen Sw = 0 und (3.123)

LN .. 82w ~w = Sdw = - g'J -=----=--

8x·8x· ' i,j=l 'J

(3.126)

für eine N-Form 'P = q, dX1 1\ ... dXN ist wegen d'P = 0 und (3.121)

n .. 82 q, ~'P = dS'P = - " g'J dX1 1\ ... 1\ dXN .

L...J 8x.8x' i,j=l 'J

(3.127)

Ist 'P eine beliebige n-Form mit 0 < n < N, so sind wegen (3.122) und (3.124), bedingt durch die Gleichheit der gemischten partiellen Differentialquotienten,

die Koordinaten der n-Form "p = ~'P. Somit ist für eine beliebige Differentialform 'P mit dem Grad n

N 82 q, ~'P = - L L gi j h ... ln dXh 1\ ... 1\ dXln .

. . OXiOXj ll<···<ln ',J=l

(3.128)

Der Differentialoperator (3.125) heißt Laplace-Beltrami- Operator. Im euklidischen Raum 1f3, der auf ein kartesisches Koordinatensystem bezogen ist, entspricht ihm der mit negativem Vorzeichen versehene LaplaceOperator 12 )

(3.129)

Im Minkowski-Raum 2lJ4, der auf Galileische Koordinaten bezogen ist, hat der Laplace-Beltrami-Operator die Form ~ = :- D, wobei

82 82 82 82 D·--------

.- 8x~ 8x~ 8x~ 8x~ (3.130)

der D 'Alembert- Operator genannt wird. Dieser tritt im Minkowski-Raum 2lJ4 an die Stelle des Operators - 6. im euklidischen Raum 1f3.

12) Der Laplace-Operator 6. tritt in den Gleichungen der mathematischen Physik nahezu ausnahmslos in der Form - 6. w = p auf. Dies ist nicht eine bloße Vorzeichenkonvention, der Operator - 6. ist auch in manch anderer Hinsicht gegenüber dem Operator 6. ausgezeichnet.

3.9 Übungs beispiele 179

3.9 Übungsbeispiele

80. Sei ~4 ein affiner Raum mit dem Tangentialraum T und ~(x) die Karte bei Bezugnahme auf ein Koordinatensystem mit dem Ursprung 0 und der Basis {el, e2, e3, e4} des Tangentialraumes. Durch einen Punkt Po E ~ und einen Teilraum Ta <;;; T ist ein affiner Teilraum ~o von ~ eindeutig bestimmt. Man gebe die Karte ~o(Y) zu jenem Koordinatensystem für ~o an, dessen Ursprung der Punkt Po ist und dessen Tangentialraum von den Vektoren des Systems Bo <;;; T aufgespannt wird:

(i) ~-l(Po) = (1,2,0,-1), Ba = {el +e2 -2e3,e2 +e3 +e4}

(ii) ~-l(Po) = (1,0,-1,1), Ba = {e2 + e3 + e4,el + e3 + e4,el + e2 + e3}

(iii) ~-l(Po) = (2, -1,1,2), Ba = {el + 2e2 + e3 - 3e4}.

81. Man beweise, daß eine affine Transformation (1 : ~ --t ~ genau dann injektiv /surjektiv ist, wenn die Ableitung (1' : T --t T injektiv /surjektiv ist.

82. Sei ~3 ein affiner Raum, T der Tangentialraum und ~(x) die zu dem Koordinatensystem mit dem Ursprung 0 und der Basis {el, e2, e3} von T gehörige Karte. Man berechne die Ableitung v( w) des Skalarfeldes w in Richtung des Vektorfeldes v für w 0 ~(x) = xf + 2X1X2 + X2X3 + X1X3 und v = (Xl - x2)el - (Xl + x2)e2 + (X3 - 2x2)e3.

83. Sei ~3 ein affiner Raum und ~ die Karte für ein Koordinatensystem. Man leite das Skalarfeld Wl 0 ~(x) = X1X2X3 in Richtung des Vektorfeldes v = (X2 +x3)el +(Xl +x3)e2 +(Xl +x2)e3 ab und das Ergebnis W2 = v(wd in Richtung des Vektorfeldes u = X2X3el + X1X3e2 + X1X2e3, bilde also w = U(W2) = u(v(wd) = U ov(wd.

84. Sei wein Skalarfeld auf einem affinen Raum ~. Besteht die Gleichung v(w) = ° für jedes Vektorfeld v, so ist w konstant.

85. Seien Vl = xlel + X2 e2, V2 = X2el - Xle2

zwei Vektorfelder auf einem affinen Raum ~2. Man bestimme zwei Linearformen e und e, sodaß in jedem Punkt (mit Ausnahme des Koordinatenursprungs ) die Gleichungen (ei, Vj) = 8} Gültigkeit haben.

86. Es seien N Vektorfelder Vl, V2 , ... , v N auf einem Ge biet ~ <;;; ~ N gegeben. Sind für jeden Punkt P E ~ die Vektoren Vl(P), V2(P), ... , VN(P) E T linear unabhängig, so 'gibt es N Linearformen e, e, ... , eN auf ~, die in jedem Punkt P E ~ linear unabhängig sind und auf ~ den Gleichungen (ei, Vj) = 8} genügen.

87. Seien u und v zwei Vektorfelder in einem affinen Raum ~3; bezüglich einer Karte ~(x) möge

2 2 2 2 2 U = Xl el + X2X3e2 + X3e3, v = X2el + X1X2e2 + X1X3 e3

gelten. Man berechne die Vektorfelder \7 uV und \7 vU.


88. Seien u und v zwei Vektorfelder auf einem affinen Raum m. Man bestimme - unter Bezugnahme auf eine Karte lI:(x) für m - die Koordinaten des Vektorfeldes w = V' uv - V' vu. Man verifiziere die Gültigkeit der Gleichung

w(w) = u(v(w)) - v (u(w)) für jedes Skalarfeld w.

89. Sei 'P E tt(m3) das Tensorfeld 2 12 3 1 2 2 'P = Xl x2 e1 ® € + X2X3 e1 ® € + x1 x2 e2 ® € + X2 X3 e3 ® € •

Man berechne die Ableitung V' V'P für das Vektorfeld v = x~ e1 + X2X3 e3.

90. Sei 'P E tt(m3 ) das Tensorfeld von Bsp. 89. Die Ableitung V' V'P für das Vektorfeld v = X2e1 - Xl e2 ist ein Tensorfeld "p = V' V'P E tt(m3 ). Man berechne die Ableitung von"p in Richtung des Vektorfeldes u = X3e1 -X1e2, also das Tensorfeld

V' u V' V'P E t~(m3).

91. Seien u und v zwei beliebige Vektorfelder in dem affinen Raum mN und 'P E t:(mN) ein Tensorfeld. Man berechne die Koordinaten des Tensorfeldes

"p = V'uV'v'P - V'vV'u'P

bezüglich einer Karte lI:(x) für mN . Man zeige ferner, daß "p die Ableitung von 'P in Richtung eines gewissen Vektorfeldes w ist: "p = V' w'P. Man bestimme die Koordinaten dieses Vektorfeldes.

92. Sei 'P eine Differentialform auf dem affinen Raum m4 . Man berechne d'P für

(i) 'P = X1 X2dx 1 + X3X4dx2 + X~dX3 + (X2X4 - X~)dX4

(ii) 'P = X2 X4dx 1 /\ dX3 + X1 X3dx 2/\ dX4 + X1X2dx3/\ dX4

(iii) 'P = x~xHx~ + X~)dX2 /\ dX3 /\ dX4 + X1X~X3X~dx1 /\ dX2 /\ dX4

(iv) 'P = ~ L(x~ + ... +;r + ... + ~ + ... + X~)dXi /\ dXj. i<j

93. Im affinen Raum m3 (mit Koordinaten x, y und z) seien drei Skalarfelder gegeben:

f(x,y,z)=x+y+z, g(x,y,z)=xy+xz+yz, h(x,y,z)=xyz.

Man berechne die Produkte (i) df /\ dg, (ii) df /\ dh, (iii) dg /\ dh.

94. Sei 'P = f(x, y, z )dx /\ dy + (x 2 + z2)dzdx - xyzdydz

eine 2-Form auf dem affinen Raum m3 (mit Koordinaten x, y und z). Man bestimme die Funktion f( x, y, z) so, daß d'P = dxdydz ist.

95. Sei

'P = (1'2 -X~)dX1 +(1'2 -X~)dX2 + .. '+(1'2 -x~ )dXN' 1'2 = x~ +x~ + .. . +x~, ein I-Form auf dem affinen Raum mN (N 23). Man berechne 'P /\ d'P'


96. Sei cp eine Differentialform ersten Grades. Man verifiziere dcp = 0 für:

(i) cp = (x 2 + y2)dx + 2xydy

(ii) cp = (y + x3 + xy2)dx + (x + x2y + y3)dy

(iii) cp = [(2x+y)sin xy+xy(x+y) cos xy]dx+ [x sinxy+x2(x+y) cos xy]dy

(iv) cp = (1 + 3y - z)dx + (2 + 3x + 2z)dy - (1 + x - 2y)dz

(v) cp = (e Z - yz)dx + (2y - xz)dy + (xe z - xy)dz.

97. Man bestimme die Funktion J(x,y,z) so, daß die Ableitung der I-Form

cp = J(x,y,z)dx+ (x 2 - 3y + z)dy + (x 3 + y - 3z)dz

verschwindet.

98. Unter welcher Bedingung, betreffend die Funktionen J, 9 und h, ist die I-Form

exakt?

99. Man bestimme für die Differentialformen von Bsp. 96 ein Skalarfeld w, für welches dw = cp gilt.

100. Sei x y

cp = 2 2 dx + 2 2 dy x +y x +y

eine I-Form auf einem zweidimensionalen affinen Raum bezüglich einer Karte K:(x,y), definiert auf dem Gebiet (5 = {(x,y) I x2 + y2 > O}. Man bestätige dcp = O. Gibt es ein Skalarfeld w auf (5 mit cp = dw?

101. Sei cp = _ y dx + x dy

x2 + y2 x2 + y2

eine I-Form auf dem Gebiet (5 = {( x, y) I x2 + y2 > O} eines zweidimensionalen affinen Raumes bezüglich einer Karte K:(x,y). Man bestätige dcp = O. Gibt es ein Skalarfeld w auf (5 mit cp = dw?

N

102. Es seien Ji ( Xl, x2 , ... , x N) = L Aij x j ganze lineare Funktionen der j=l

Koordinaten in einem affinen Raum l2tN bezüglich einer Karte K:(x). Welche Vorausetzungen müssen die Koeffizienten Aij erfüllen, damit das äußere Differential der I-Form

cp = h dx l + h dx 2 + ... + JNdxN

verschwindet? Man berechne für geeignete Koeffizienten Aij alle O-Formen w, welche die Gleichung cp = dw erfüllen.

103. Sei

cp = (x2 + y2 + z2)dx 1\ dy + yzdx 1\ dz + (yz - xz)dy 1\ dz.

Man bestätige die Gleichung dcp = 0 und gebe alle I-Formen 'Ij; an, für welche cp = d'lj; gilt.


104. Man beweise: Gelten für gewisse auf einem sternförmigen Gebiet (5

eines affinen Raumes 2( gegebene Größen I))i die Beziehungen 81)) i 81)) j 8xj - 8Xi '

so gibt es auf (5 eine reelle Funktion J, sodaß gilt

8J I))i = -8 .

Xi

105. Man beweise: Sind I))ij symmetrisch indizierte Größen (I))ij = I))ji)

auf einem sternförmigen Gebiet (5 des affinen Raumes 2( und bestehen auf diesem Gebiet die Beziehungen

~ (81))il _ 81)) j l) = ~ (8l))ik _ 8l)) j k) , 8Xk 8xj 8Xi 8Xl 8xj 8Xi

so existieren auf (5 reelle Funktionen /i, sodaß gilt

I)) 8Ji 8Jj ij = -8 + -8 .

Xj Xi Hievon gilt auch die Umkehrung. Hinweis: Man zeige zunächst die Existenz schiefsymmetrisch indizierter Funktionen \[1 kl, für welche

8\[1 kl 81))il 81))ik

8Xi 8Xk 8Xl gilt. Mit diesen Funktionen bilde man die 2-Form "p = L \[1kldxk 1\ dXI

k<l und beweise d"p = O. Daher gilt "p = d L /idXi.

i

106. Sei in einem (in Bezug auf den Ursprung) sternförmigen Gebiet (5 ~ 2(4

die 3-Form

t.p = dXl 1\ [J(Xl,X2,X3,X4)dx2 1\ dX3 + g(Xl,X2,X3,X4)dx2 1\ dX4]

gegeben. Wie lautet die Bedingung für dt.p = O? Man stelle unter der Annahme, daß die fragliche Bedingung erfüllt ist, die 3-Form t.p als Ableitung einer 2-Form "p dar. 107. Eine Differentialgleichung

y' = _J(x,y) oder J(x,y)dx + g(x,y)dy = 0 g(x,y)

(f( x, y) und g( x, y) stetig in einem Gebiet (5 ~ .IR?, P + g2 i- 0 in (5) wird "exakt" genannt, wenn die Gleichung Jy = g., in (5 erfüllt ist. Wenn es dann in (5 eine stetig differenzierbare Funktion F(x,y) mit F., = J, Fy = 9 gibt, so ist F(x,y) = const. das allgemeine Integral. Ist Jy i- g., in (5, so heißt eine Funktion A( x, y) "integrierender Faktor", wenn (Af)y = (Ag)., in (5 gilt (ist jetzt F., = AJ, Fy = Ag, so stellt wieder F(x,y) = const. das allgemeine Integral dar). Unter welchen Voraussetzungen folgt aus der Gleichung Jy = g., die Existenz einer in (5 stetig differenzierbaren Funktion F mit J = F." 9 = Fy?


Sei 'P = f dx + 9 dy und 'P =I- ° in ~. Man zeige, daß die Existenz eines integrierenden Faktors für die Differentialgleichung 'P = ° gleichbedeutend ist mit der Darstellbarkeit 'P = ,p dw mittels zweier O-Formen ,p und w, sodaß 'P = ° die Gleichung w = const. zur Folge hat. Zeige weiters, daß unter diesen Umständen eine I-Form X existiert, für welche d'P = X 1\ 'P gilt.

108. Es seien,pI,,p2, ... ,,pm linear unabhängige I-Formen auf einem affinen Raum I2(N, 'P eine n-Form (n + m ~ N) und

'P 1\ ,pI 1\ ... 1\ ,pm = 0.

Dann gibt es m Differentialformen Xl, X2 , ••• , Xm mit dem Grad n - 1, sodaß

'P = ,pI 1\ Xl + ,p2 1\ X2 + ... + ,pm 1\ Xm

gilt (vgl. Bsp. 77).

109. Sei ~3 ein pseudo-euklidischer Raum. In einem gewissen Koordinatensystem J( = {O, B}, B = {eI, e2, e3 }, möge der Fundamentaltensor 9 die Form

9 = [1 ® [1 + [2 ® [1 + [1 ® [2 + [2 ® [3 + [3 ® [2 + [3 ® [3

haben. Man bestimme den Index des inneren Produktes und führe ein orthonormales Koordinatensystem ein.

110. Sei ~4 ein pseudo-euklidischer Raum. In einem gewissen Koordinatensystem J( = {O,B}, B = {el,e2,e3,e4}, möge der Fundamentaltensor 9 durch

9 = [1 ® [2 + [2 ® [1 + [3 ® [3 + [4 ® [4

gegeben sein. Man bestimme den Index des inneren Produktes und führe ein orthonormales Koordinatensystem ein.

111. Sei ~2 ein affiner Raum, 11:( Xl, X2) die Karte für ein Koordinatensystem J( = {O,B}, B = {el,e2}. Man berechne das Integral der I-Form

'P = (2X l - X2 )dXI + (4X l + 3X2 )dX 2

über das eindimensionale Simplex (5 = \ K( 1, 0), K( 3, 1) ).

112. Sei 12(2 ein affiner Raum, K( xl, X2) die Karte für ein Koordinatensystem J( = {O, B}, B = {eI, ed. Man berechne das Integral der 2-Form

'P = (xi + X~)dXI 1\ dX2

über das zweidimensionale Simplex (5 = \K(I,I),K(3,2),K(2,3)).

113. Sei 12(3 ein affiner Raum, K(X) die Karte für ein Koordinatensystem J( = {O,B}, B = {el,e2,e3}, und

'P = e -"'1 -"'2 -"'3 dXI 1\ dX2 1\ dX3

eine 3-Form. Man gebe ein Karte K:(x) an, in welcher den Eckpunkten des Simplex

(5 = \K(I,-1,2),K(I,I,-I),K(2,0,1),K(2,-1,0))


die Eckpunkte des Standardsimplex S entsprechen, und berechne das Integral der 3-Form r.p über das Simplex 6.

114. Sei ~3 ein affiner Raum, JC = {O, B} ein Koordinatensystem und 1>:( x) die zugehörige Karte. Durch die drei Punkte

P = 1>:(1,2,0), Q = 1>:(2,-1,1), R = 1>:(1,1,-1)

ist ein affiner Teilraum ~o (eine Ebene) bestimmt. Man berechne das Integral des äußeren Differentials der I-Form

r.p = Hx~ + xDdxI + Hx~ + X~)dX2 + Hx~ + X~)dX3 über das Simplex 6 = (P, Q, R) sowie das Integral der I-Form r.p über den Rand 86.

115. Sei ~4 ein affiner Raum, I>:(x) die Karte zu einem Koordinatensystem JC = {O,B}, B = {el,e2,e3,e4}, und ~o der dreidimensionale affine Teilraum durch den Punkt 0, dessen Tangentialraum der Teilraum (eI +e2, el +e3-e4, e2+es+e4) des Tangentialraumes von ~4 ist. Man berechne das Integral der 3-Form

r.p = (5X2X4 + 3XIXS)dxI /\ dX2 /\ dxs + (2XIX4 - 3X2XS)dxI /\ dxs /\ dX4

über das von den Vektoren el + e2,el + es - e4,e2 + es + e4 im Ursprung der Karte I>: aufgespannte Parallelogramm II.

116. Sei ~s ein euklidischer Raum, I>:(x) die Karte für ein Koordinatensystem JC = {O, B}. Die Matrix {9ij} der Koordinaten des Fundamentaltensors in diesem Koordinatensystem sei wie in Bsp. 109. Man berechne das Kodifferential der folgenden Differentialformen:

(I') 2 2 d + 2 2 d + 2 2 d r.p = X2 XS Xl Xl X s X2 Xl X2 Xs

(ii) r.p = Xl X2 dXI /\ dX2 + Xl Xs dxs 1\ dXI + X2 Xs dX2 1\ dxs

(iii) r.p = (XIX2 + XIXS + x2xs)dxI 1\ dX2 1\ dxs.

117. Sei ~s ein pseudo-euklidischer Raum und JC das Koordinatensystem von Bsp. 109. Man berechne tJ..r.p für folgende Differentialformen:

(i) r.p = i(xi + xD+HxIX2 + X2XS)

(1'1') 2 2 d + 2 2 d + 2 2 d r.p = X2X3 Xl Xl Xs X2 Xl X2 X3

(iii) r.p = (X~ + 3XIX~ - 3X~X3 - X~)dXI /\ dX2.

118. Sei ~4 ein pseudo-euklidischer Raum; die Koordinaten des Fundamentaltensors im Koordinatensystem einer Karte I>: mögen durch die Elemente der Matrix von Bsp. 110 gegeben sein. Man berechne cr.p und tJ..r.p für:

(i) r.p = x2xi dXI + XIX~ dX2 + X3X~ dxs + X4X~ dX4

(ii) r.p = (xi + X~)dXI 1\ dX3 + (xi + X~)dX2 1\ dX3 + (x~ + X~)dXI 1\ dX4

(iii) r.p = (xi + XlX2 + x~ + X3X4 + X3X~ + x4x~)dxI 1\ dX2 1\ dX4'

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Tensoren und Felder || Tensoren in ebenen Räumen