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Quellen:
• PETERSEN, CHRISTIAN (1992): Statik und Stabilität der Baukonstruktionen. Elasto- und plasto-statische Berechnungsverfahren druckbeanspruchter Tragwerke ; Nachweisformen
gegen Knicken, Kippen, Beulen. 2. Aufl. Braunschweig [u.a.]: Vieweg
Träger mit veränderlichem Querschnitt in der
Theorie II. Ordnung am Beispiel von Hallentragwerken
Träger mit veränderlichem Querschnitt stellen aufgrund ihrer Wirtschaftlichkeit ein häufiges Element von Baukonstruktionen dar. Vor allem im Bereich
des Hallenbaus, speziell bei der Konstruktion von Rahmentragwerken, treten wiederholt Stäbe veränderlicher Querschnittserstreckung auf, die vielfach
mit Vouten versehen oder konisch ausgeführt werden. Die Modellierung der Querschnittsänderung kann bei FE-Berechnungen durch Anpassung der
Elementsteifigkeitsmatrizen und -lastvektoren erfolgen, welche im Zuge dieser Arbeit in das Stabwerksprogramm Stiff implementiert wurden.
Bachelorarbeit SS 2012
Simone Frank
Grundlagen der Beschreibung eines
konischen Querschnitts
Die Darstellung des veränderlichen
Trägers erfolgt in Anlehnung an
Petersen durch die vereinfachte
Beschreibung eines Zweipunkt-
querschnitts.
Zur möglichen Kennzeichnung der
Konizität wird der Parameter k
eingeführt, welcher sich auf das
Anfangs- und Endträgheitsmoment
bezieht.
Aus der DGL der Th.II.O. für den
konischen Zweipunktquerschnitt
folgen die abgeänderten
Grundlösungen. Dafür werden die
Stabkennzahl α und die Strichwerte
Aa‘, Ab‘, B‘, Cb‘ neu definiert bzw.
eingeführt.
Mit Hilfe der Beschreibung über die
kubischen Formfunktionen wird
ergänzend die Th.I.O. behandelt.
werden.
Implementierung und Testen der
umgeformten Grundlösungen
Im Zuge der Anpassung des Stab-
werksprogramms Stiff wurden die
hergeleiteten Änderungen für den
konischen Stab in der Elementebene
implementiert und eine Möglichkeit
zur Modellierung eines konischen
Stabes über die Eingabe der
Elementsteifigkeit EIb gegeben.
Die Berechnungen für ein konisches
Tragwerk fügen sich nun geordnet in
den gewohnten Ablauf des
Programms ein.
Ein konischer Kragarm als Kontroll-
element ermöglicht einen Vergleich
der Ergebnisse anhand folgender
Studien:
• Konvergenzstudie durch die
Lösungen eines Stufenträgers
• Vergleich mit dem
Stabwerksprogramm RStab
• Gegenüberstellung der
Traglasfaktoren
Als praktischer Abschluss kann durch
das Berechnungsbeispiel eines
konischen Rahmentragwerks erneut
die Qualität der hergeleiteten
Grundlösungen aufgezeigt werden.
Konischer Zweipunktquerschnitt
www.st.bv.tum.de Lehrstuhl für Statik, Prof. Dr.-Ing. Kai-Uwe Bletzinger Betreuer: Dipl.-Ing. Benedikt Philipp
S
Ia
Ib
a
b
z
S
L
z
v
L-
𝜅 = 𝐼𝑎𝐼𝑏
= 𝐼𝑚𝑖𝑛𝐼𝑚𝑎𝑥
Parameter zur Beschreibung des konischen Elements
Elementsteifigkeitsmatrix des konischen Elements Th.II.O., GE 1
Elementlastvektor des konischen Elements Th.II.O., GE 1
𝐾𝑇ℎ .𝐼𝐼.𝑂.𝐼,𝑘𝑜𝑛 =
𝐸𝐴
𝑙0 0 −
𝐸𝐴
𝑙0 0
01
𝑙2(𝐴𝑎 + 𝐴𝑏 + 2𝐵) ±
𝑆
𝑙−
1
𝑙(𝐴𝑎 + 𝐵) 0 −
1
𝑙2(𝐴𝑎 + 𝐴𝑏 + 2𝐵) ∓
𝑆
𝑙−
1
𝑙(𝐴𝑎 + 𝐵)
0 −1
𝑙(𝐴𝑎 + 𝐵) 𝐴𝑎 0
1
𝑙(𝐴𝑎 + 𝐵) 𝐵
−𝐸𝐴
𝑙0 0
𝐸𝐴
𝑙0 0
0 −1
𝑙2(𝐴𝑎 + 𝐴𝑏 + 2𝐵) ∓
𝑆
𝑙
1
𝑙(𝐴𝑎 + 𝐵) 0 +
1
𝑙2(𝐴𝑎 + 𝐴𝑏 + 2𝐵) ±
𝑆
𝑙
1
𝑙(𝐴𝑏 + 𝐵)
0 −1
𝑙(𝐴𝑎 + 𝐵) 𝐵 0
1
𝑙(𝐴𝑏 + 𝐵) 𝐴𝑏
𝐾0,𝑇ℎ .𝐼𝐼.𝑂𝐼,𝑘𝑜𝑛 =
0𝑝0 ∙ 𝑙
2−𝐴𝑎𝛾𝑎 − 𝐵𝛾𝑏
𝑙−−𝐴𝑏𝛾𝑏 + 𝐵𝛾𝑎
𝑙
𝐴𝑎𝛾𝑎 −𝐵𝛾𝑏 0
𝑝0 ∙ 𝑙
2+𝐴𝑎𝛾𝑎 − 𝐵𝛾𝑏
𝑙+−𝐴𝑏𝛾𝑏 + 𝐵𝛾𝑎
𝑙−𝐴𝑏𝛾𝑏 + 𝐵𝛾𝑎
∝= 𝑙 ∙ 𝑆
𝐸𝐼𝑏
Numerische Grenzbetrachtung der konischen Strichwerte – Vergleich mit geraden Stäben
<1
5 10 15 20 25 30 35
0
1
4
5
6
Achsenbruch
Vz(x=0m)
Vz(x=5m)
My(x=5m)
Vz(x=2,5m)
My(x=2,5m)
Ab
wei
chu
ng
der
Sch
nit
tgrö
ßen
[%
]
Elementanzahl
5 10 15 20 25 30 350123456789
10111213
uz(x=0m)
y(x=0m)
Ab
wei
chu
ng
der
Ver
sch
ieb
un
gsgr
öß
en [
%]
Elementanzahl
Konischer Kragarm Stufenträger aus 5/10/15/20/25/35 Elementen
Konvergenzstudie Th.II.O.
Kragarm - Vergleich mit Ergebnissen aus RStab Th.II.O.
Kragarm - Vergleich des Traglastfaktors
10 20 30 40 50
-0,0122
-0,0120
-0,0118
-0,0116
-0,0114
-0,0112
-0,0110
-0,0108
-0,0106
-0,0104
y(x=0m)
Konvergenz,35
y(x=0m)
RStab
y(x=0m)
konisch
Ver
dre
hu
ng
y(x=0
m)
[rad
]
Voutenteilungen10 20 30 40 50
0,0360
0,0365
0,0370
0,0375
0,0380
0,0385
0,0390
0,0395
0,0400
0,0405
0,0410
uz(x=0m)
RStab
uz(x=0m)
konisch
uz(x=0m)
Konvergenz,35
Ver
sch
ieb
un
g u
z(x=0
m)
[m]
Voutenteilungen
0123456789
1011121314151617
0,2140,396
15,635
1,0830,106
Ab
wei
chu
ng
RSt
ab/k
on
isch
es E
lem
ent
[%]
My(x=5m)
My(x=2,5m)
Vy(x=0m)
Vy(x=5m)
Vy(x=2,5m)
Beispiel aus dem Holzbau – konisches Rahmentragwerk
GStiel
wd,Luv
sd
GStiel
wd,Lee
GKranbahnGKranbahn
GKranbahn
2000
500
25
50
50
466
Lasten und Querschnitte; Maße in cm
Verschiebungsgrößen – kombiniert mit den Ergebnissen der Konvergenzstudie Schnittgrößen
x, ux
z, uza
b
S=25kN
qz=
2,5
kN/m
l =5m
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Beträge der
konischen
Strichwerte
A'a
A'b
B'
C'b
Faktor (Ia=·I
b)
A1
A2
f
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
16,6
17,1
18,9
kritischer Lastfaktor krit,1
Stiff, Stufenträger (35 Elemente)
Stiff, konisches Element
RStab, konisches Element (50 Vouten)
Knickfigur des
konischen Elements