Thermodynamik - hakenesch.userweb.mwn.dehakenesch.userweb.mwn.de/thermodynamik/k9_zustandsaenderungen.pdf · Ü 9-8 Isentrope Expansion In einer Preßluftflasche mit V = 40 l befindet

Thermodynamik __________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________

Thermodynamik

Prof. Dr.-Ing. Peter Hakenesch

[email protected]

www.lrz-muenchen.de/~hakenesch

Thermodynamik _________________________________________________________________________________________________________

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1 Einleitung

2 Grundbegriffe

3 Systembeschreibung

4 Zustandsgleichungen

5 Kinetische Gastheorie

6 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik

7 Kalorische Zustandsgleichungen

8 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik

9 Zustandsänderungen 10 Reversible Kreisprozesse

11 Kreisprozesse thermischer Maschinen

12 Kälteanlagen

Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________

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9 Zustandsänderungen

Aufgrund ihrer Relevanz bei technischen Anwendungen, sollen im Folgenden einige Sonderformen

von Zustandsänderungen betrachtet werden

9.1 Wärme und Arbeit bei reversiblen Zustandsänderungen idealer Gase

9.1.1 Isochore Zustandsänderung

Annahme

Dichte ρ bzw. spezifisches Volumen v bleiben bei der Zustandsänderung (1) nach (2) konstant, d.h.

ρ = const., bzw. dρ = 0 oder v = const., bzw. dv = 0

⇒ Zustandsgleichung für ideale Gase TRvp ⋅=⋅ vereinfacht sich zu

1

1

2

2Tp

Tp

=


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Isochore Zustandsänderung

Keine Volumenänderungsarbeit wegen dV = 0, d.h.

Wv12 = 0

Reversible Prozesse: Keine Dissipationsarbeit WD, d.h.

WD = 0

⇒ Isochore Zustandsänderung wird durch den Wärmetransfer Q12 bedingt

⇒ Änderung der inneren Energie U

1212 UUQ −=


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Ü 9.1: Aufheizung einer Pressluftflasche

Eine Pressluftflasche, in der sich 1.84 kg Luft bei einem Druck von p1 = 1.74 bar und einer Temperatur

von T1 = 10°C befinden, heizt sich durch Sonneneinstrahlung auf 98 °C auf

Gesucht

- Zugeführte Wärmemenge Q12

- Druck p2

- Volumen der Flasche V

- Änderung der inneren Energie U2 - U1

Der über den Temperaturbereich 10°C bis 98°C gemittelte Wert für die spezifische Wärmekapazität bei

konstantem Druck cp beträgt cp = 1007.6 J/(kg⋅K)


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9.1.2 Isobare Zustandsänderung

Vereinfachung der idealen Gasgleichung für isobare Änderungen (d.h. p = const.)

1

2

1

2

TT

VV

= (Gay-Lussac)

Volumenänderungsarbeit WV,12 während der Zustandsänderung (1) → (2)

( )∫ −⋅−=⋅−=2

1

1212

V

Vv VVpdVpW

Eingesetzt in den ersten Hauptsatz ergibt sich für eine isobare Zustandsänderung die zu- oder

abgeführte Wärme Q12 für p1 = p2 = p

( ) ( ) 122122121212 HHVpUVpUVVpUUQ −=⋅+−⋅+=−⋅+−=


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Isobare Zustandsänderung - Darstellung im p,V - Diagramm

Isobare Zustandsänderung im p,V-Diagramm: Waagerechte Linie

Fläche unter dieser Linie entspricht der Volumenänderungsarbeit WV12


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Ü 9.2: Isobare Expansion

Luft expandiert bei konstantem Druck p1 = 2.74 bar infolge von Wärmezufuhr vom Volumen V1 = 3.74 m³

und der Temperatur T1 = 13°C auf V2 = 8.81 m³.

Die Gaskonstante der Luft beträgt R = 287.1 J/kgK

Gesucht sind

- die Masse m der Luft,

- die Temperatur T2,

- die zugeführte Wärmemenge Q12,

- die Volumenänderungsarbeit WV12,


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9.1.3 Isotherme Zustandsänderung

Thermische Zustandsgleichung für ideale Gase liefert mit der Bedingung T = const.

2

1

1

2

VV

pp= (Boyle-Mariotte)

Wegen T1 = T2 = T liefert der erste Hauptsatz mit U2 - U1 = 0 für den reversiblen Prozeß

01212 =+ VWQ

Die Volumenänderungsarbeit WV12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−=

1

21112 V

VlnVpWV


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Isotherme Zustandsänderung - Darstellung im p,V - Diagramm

Isotherme Zustandsänderung erscheint im p,V-Diagramm immer als Hyperbel

Fläche unter der Hyperbel entspricht der Volumenänderungsarbeit WV12

− Kompression: WV12 > 0

− Expansion: WV12 < 0

Kompression Expansion


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Ü 9.3: Isotherme Kompression von Luft

Luft soll bei einer konstanten Temperatur von T1 = 25°C vom Volumen V1 = 0.83 m³ und dem

Anfangsdruck p1 = 3.02 bar auf das Endvolumen V2 = 0.42 m³ isotherm komprimiert werden.

Gesucht sind

- die Masse m der Luft,

- der Druck p2,

- die Volumenänderungsarbeit WV12,

- die abgeführte Wärmemenge Q12,

- die Änderung der inneren Energie U2 - U1


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 11 von 76

9.1.4 Adiabate Zustandsänderung

Kennzeichen adiabater Systeme Grenzen sind wärmeundurchlässig

⇒ Energie kann nur in Form von mechanischer Arbeit mit der Umgebung ausgetauscht werden

⇒ Generell ist bei adiabaten Systemen für die Wärme immer Q12 = 0 zu setzen

Zusätzlich gilt für reversible, d.h. verlustfreie Prozesse Es wird keine Dissipationsarbeit geleistet, also WD12 = 0

⇒ Erster Hauptsatz vereinfacht sich somit zu

12

2

112 VWdVpUU =⋅−=− ∫

Gesucht: Erforderliche Funktion des Drucks p in Abhängigkeit vom Volumen V, d.h. ( )Vpp=


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Adiabate Zustandsänderung - Definition

reversible Adiabate = Isentrope

= Zustandsänderungen mit konstanter Entropie

Verknüpfung von Druck und Volumen über das Verhältnis der spezifischen Wärmen cp und cv

⇒ Isentropenexponent κ

v

p

cc

=κ

Isentropengleichung

κκ1122 VpVp ⋅=⋅


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Adiabate Zustandsänderung - Volumenänderungsarbeit

Kombination der Isentropengleichung mit der Gasgleichung TRmVp ⋅⋅=⋅

∫⋅⋅−=2

112 11

V

VV

VdVVpW κ

κ

⇒ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=−

11

1

2

11112

κ

κ VVVp

WV

bzw.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=

−

11

1

1

21112

κκ

κ ppVpWV

bzw.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

= 11 1

21112 T

TVpWV κ


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Adiabate Zustandsänderung - Darstellung im p,V - Diagramm

Kompression Expansion


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Ü 9.4: Adiabate Kompression von Luft

Es ist eine adiabate Kompression von Luft mit κLuft = 1.4 zu berechnen:

Anfangsbedingungen

T1 = 25°C

V1 = 0.83 m³

p1 = 3.02 bar

Endbedingungen V2 = 0.42 m³

gesucht sind

- Druck p2,

- Temperatur T2,

- Volumenänderungsarbeit WV12,

- abgeführte Wärmemenge Q12,

- Änderung der inneren Energie U2 - U1


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9.1.5 Polytrope Zustandsänderung

Polytropen im p,V-Diagramm


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Polytrope Zustandsänderung Beschreibung der Kurvenschar durch Potenzfunktion .constCVp n ==⋅ Polytropengleichung (gr. polytrope = die Vielgestaltige) Exponent n = Polytropenexponent Alle bisher behandelten Zustandsänderungen lassen sich aus der Polytropengleichung ableiten: Isochore Zustandsänderung (V = const.): n → ∞ Isobare Zustandsänderung (p = const.): n = 0 Isotherme Zustandsänderung (T = const.): n = 1 Reversibel adiabate = isentrope Zustandsänderung (S = const.): vp ccn ==κ


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Polytrope Zustandsänderung - Polytropenexponent Isentrope (n = κ) und isotherme (n = 1) Zustandsänderung stellen Grenzfälle dar, die sich technisch

nicht bzw. kaum realisieren lassen

Reale Kompressions- und Expansionsvorgänge verlaufen im Bereich zwischen Adiabate und

Isotherme, d.h. 1 < n < κ

Bestimmung von von n aus Anfangs- und Endzustand über Polytropengleichung

nn VpVp 2211 ⋅=⋅ ⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

2

1

1

2

ln

ln

VVpp

n


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Polytrope Zustandsänderung - Volumenänderungsarbeit WV,12 bei n ≠ 1:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=−

11

1

2

11112

n

V VV

nVpW

bzw.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=

−

11

1

1

21112

nn

V pp

nVp

W

bzw.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅

−⋅

= 11 1

21112 T

Tn

VpWV


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Polytrope Zustandsänderung - Übertragene Wärme Q12 bei n ≠ 1:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅

−⋅

⋅−−

= 111 1

21112 T

Tn

VpnQκ

κ

bzw.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

⋅−−

=−

111

1

2

11112

n

VV

nVpnQ

κκ

bzw.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

⋅−−

=

−

111

1

1

21112

nn

pp

nVpnQ

κκ


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Ü 9-5 Zustandsänderungen

Skizieren Sie vier besondere Zustandsänderungen für ideale Gase und geben Sie dazugehörigen

Zustandsgleichungen an

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Ü 9-6 Isotherme Zustandsänderung

Welcher Zusammenhang besteht bei einer isothermen Zustandsänderung zwischen zu- bzw.

abgeführter Wärme und technischer Arbeit?

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Ü 9-7 Isentrope Zustandsänderung

Wie verhalten sich bei isentroper Zustandsänderung Druck und Temperatur?


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Ü 9-8 Isentrope Expansion

In einer Preßluftflasche mit V = 40 l befindet sich Luft unter p1 = 15 MPa bei Umgebungstemperatur von

T = 20°C. Nach dem Öffnen des Ventils sinkt der Druck in der Flasche rasch auf p2 = 7.5 MPa ab,

anschließend wird das Ventil wieder geschlossen.

Während dem Ausströmvorgang fand kein Wärmeaustausch zwischen Flascheninhalt und Umgebung

statt. Nach dem Schließen erhöht sich der Druck in der Flasche, da sich die Temperatur der

verbleibenden Luft wieder der Umgebungstemperatur angleicht.

a) Welche Temperatur T2 stellt sich direkt nach dem Ausströmen aus der Flasche ein?

b) Welche Gasmasse strömt aus der Flasche?

c) Welcher Druck stellt sich nach dem Temperaturausgleich mit der Umgebung ein?

d) Welche Gasmasse würde aus der Flasche strömen, wenn der Ausströmvorgang langsam bei

konstanter Temperatur T∞ = 20°C auf p2 = 7.5 MPa erfolgen würde?

Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase

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_________________________________________________________________________________________________________ Folie 23 von 76

9.2 T,s-Diagramm idealer Gase

9.2.1 Isochore Zustandsänderung idealer Gase

Spezifische Entropie bei 0=dv : ( ) ( )111

,ln, vTsTTcvTs v +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

Wegen v

v sTcT ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⋅= bildet spezifische Wärmekapazität cv Tangente an die Isochore

Abstand zweier Isochoren

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−

1

212 ln,,

vv

RvTsvTs


_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 24 von 76

T,s-Diagramm - Isochore Zustandsänderung idealer Gase Isochoren bilden Kurvenschar, die sich durch Verschiebung entlang der Entropieachse ineinander

überführen lassen

⇒ Temperaturdifferenz T2 - T1 für jede Isochore ergibt gleiche Differenz der inneren Energie u2 - u1


_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 25 von 76

T,s-Diagramm - Isochore Zustandsänderung idealer Gase Fläche unter der Kurve 1-2 repräsentiert nicht nur die Summe aus übertragener Wärme q12 und

dissipierter Arbeit wD,12 sondern entspricht auch der Änderung der inneren Energie u2 - u1


_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 26 von 76

9.2.2 Isobare Zustandsänderung idealer Gase

Spezifische Entropie bei 0=dp :

( ) ( )111

,ln, pTsTTcpTs p +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

Wegen p

p sTcT ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⋅= bildet die spezifische Wärmekapazität cp eine Tangente an die Isobare

Abstand zweier Isobaren

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=−

1

212 ln,,

pp

RpTspTs


_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 27 von 76

T,s-Diagramm - Isobare Zustandsänderung idealer Gase

Isobaren bilden Kurvenschar, die sich durch Verschiebung entlang der Entropieachse ineinander

überführen lassen

⇒ Temperaturdifferenz T2 - T1 für jede Isobare ergibt gleiche Differenz der Enthalpie h2 - h1


_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 28 von 76

T,s-Diagramm - Isobare Zustandsänderung idealer Gase

Volumenänderungsarbeit bei ergibt sich aus dem ersten Hauptsatz ( )121212hhuuwV −−−=


_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 29 von 76

9.2.3 Isotherme Zustandsänderung idealer Gase

Ideale Gasen: Innere Energie ist eine reine Temperaturfunktion

0=⋅= dTcdu v

⇒ Isothermen bilden im T,s-Diagramm eine Schar abszissenparalleler Geraden

Zusätzlich:

Isothermen sind sie identisch mit den Kurven konstanter Enthalpie (Isenthalpen)

0=⋅= dTcdh p


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T,s-Diagramm - Isotherme Zustandsänderung idealer Gase

Reversible Prozesse: Fläche unter der Isotherme entspricht der über die Systemgrenze transportierten Wärme q12

Irreversiblen Prozesse Fläche unter der Isotherme entspricht der Summe aus übertragener Wärme q12 und dissipierter

Energie wD,12


_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 31 von 76

9.2.4 Isentrope Zustandsänderung idealer Gase

Senkrechte Linie T,s-Diagramm, 0=ds


_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 32 von 76

T,s-Diagramm - Isentrope Zustandsänderung idealer Gase

Isentrope Zustandsänderung - Volumenänderungsarbeit 1212 uuwv −=


_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 33 von 76

T,s-Diagramm - Isentrope Zustandsänderung idealer Gase

Isentrope Zustandsänderung - Spezifische Strömungsarbeit 1212 hhy −=


_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 34 von 76

9.2.5 Polytrope Zustandsänderung

Volumenänderungsarbeit Strömungsarbeit

Innere Energie u1-u2 a-b-1-d-a Enthalpie h2-h1 a-b-1-d-a Wärme + Dissipation q12+wD,12 b-c-2-1-b Wärme + Dissipation q12+wD,12 b-c-2-1-b Volumenänderungsarbeit -wV,12 a-c-2-1-d-a Strömungsarbeit -y12 a-c-2-1-d-a

Thermodynamik Wärme und Arbeit in Entropiediagrammen

_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 35 von 76

9.3 Wärme- und Arbeit in Entropiediagrammen

9.3.1 Adiabate Systeme Kennzeichen adiabater Systeme

- Kein Austausch von Energie in Form von Wärme mit der Umgebung, d.h. 012 =q

- Fläche unter der Kurve der Zustandsänderung entspricht der Dissipationsenergie wD

- Bei adiabat-reversiblen Zustandsänderungen (=isentrop) verschwindet diese Fläche, da

keine Dissipationsarbeit geleistet wird

⇒ Kurve der Zustandsänderung wird zur senkrechten Linie

Vereinfachung für Strömungsmaschinen

Hohe Strömungsgeschwindigkeit ⇒ übertragene Wärme von dem Arbeitsmedium (Gas, Dampf)

an das System kann vernachlässigt werden

⇒ Kolben- und Turbomaschinen können näherungsweise als adiabate Systeme betrachtet werden


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Geschlossene Systeme

Adiabate Expansion und adiabate Kompression in einem geschlossenen System

Kompression von p1 auf p2

⇒ Innere Energie = Volumenänderungsarbeit wV,12 und dissipierte Arbeit wD,12

3213211212

2

1

2

1121212

,D,V ww

,D,V dsTdvpwwuu ∫∫ ⋅+⋅=+=−

Irreversible adiabate Kompression

⇒ Spezifische Volumenänderungsarbeit wV,12 > 0 (dem System wird Arbeit zugeführt)

121212 ,D,V wuuw −−=

Irreversible adiabate Expansion

⇒ Spezifische Volumenänderungsarbeit wV,12 < 0 (dem System wird Arbeit entzogen)

121212 ,D,V w)uu(w +−−=−


_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 37 von 76

Spezifische innerer Energie, Volumenänderungsarbeit und Dissipationsarbeit Geschlossenes adiabates System Expansion Kompression

Innere Energie u1-u2 a-b-1-d-a u2-u1 a-c-2-d-a Fläche unter der Isochore Dissipationsenergie wD,12 b-c-2-1-b wD,12 b-c-2-1-b Fläche unter der Adiabate Volumenänderungsarbeit -wV,12 a-c-2-1-d-a wV,12 a-b-1-2-d-a


_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 38 von 76

Offene Systeme

Vereinfachungen des ersten Hauptsatzes für stationäre Fließprozesse, d.h.

- keine Änderung der kinetischen Energie

- keine Änderung der potentiellen Energie

{( ) ( )

4342143421

EnergieepotentiellEnergiekinetische

,t

adiabat

zzgcchhwq0

12

0

21

221212

012 2

1

==

=

−⋅+−⋅+−=+

⇒ 1212 hhw ,t −=

Definition für die spezifische Strömungsarbeit y12 , (Arbeit am bewegten Fluidelement)

∫ ⋅=2

112 dpvy

⇒ Technische Arbeit wt,12 = Summe aus Strömungsarbeit y12 und dissipierter Arbeit wD,12

121212 ,D,t wyw +=


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_________________________________________________________________________________________________________ Folie 39 von 76

Spezifische Enthalpie, dissipierte Arbeit und Strömungsarbeit Offenes adiabates System Expansion Kompression

Enthalpie h1-h2 a-b-1-d-a h2-h1 a-c-2-d-a Fläche unter der Isobare Dissipationsenergie wD,12 b-c-2-1-b wD,12 b-c-2-1-b Fläche unter der AdiabateStrömungsarbeit -y12 a-c-2-1-d-a y12 a-b-1-2-d-a

Thermodynamik T,s-Diagramme realer Gase

_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 40 von 76

9.3.2 Wärme und Arbeit bei reversiblen und irreversiblen Prozessen Reversible Prozesse Keine Dissipationsarbeit wD, d.h. Änderung der spezifische Entropie s ist der zu- bzw. abgeführten

Wärme dq proportional und die absolute Temperatur T stellt den Proportionalitätsfaktor dar

dsTdq ⋅= bzw. ∫ ⋅=2

112 dsTq

Irreversible Prozesse Spezifische Entropie s ist proportional der Summe der spezifischen Wärme q und der spezifischen

dissipierten Arbeit wD

dsTdwdq D ⋅=+ bzw. ∫ ⋅=+2

112 12

dsTwq D


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_________________________________________________________________________________________________________ Folie 41 von 76

Verlauf der Temperatur T(s) als Funktion der Entropie s bei reversibler Prozeßführung von (1) → (2)

Wärmezufuhr zum System Wärmeabfuhr aus dem System

Bei Zustandsänderungen werden nur Entropiedifferenzen betrachtet

⇒ Nullpunkt der Entropie kann willkürlich festgelegt werden


_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 42 von 76

Nullpunkte für Entropiewerte, z.B. in Dampftafeln von Wasser, sind in der Regel auf den Trippelpunkt

bezogen

Tatsächlicher Nullpunkt der Entropie liegt beim absoluten Nullpunkt, d.h. bei T = 0 K.

Dritter Hauptsatzes der Thermodynamik

Die Entropie eines jeden reinen Stoffes nimmt im absoluten Nullpunkt der Temperatur den Wert Null

an (Nernst'sches Wärmetheorem).


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_________________________________________________________________________________________________________ Folie 43 von 76

Irreversible Prozesse

Fläche unter der Zustandskurve setzt sich aus zwei Anteilen zusammen

- übertrage Wärme q12

- dissipierte Arbeit wD12

Wärme und Dissipation bei irreversiblen Prozessen, a) nicht-adiabat, b) adiabat

dq + dw

dq12 + dw12

dwD

wD12


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Irreversible Prozesse

⇒ Verlauf der Zustandskurve nur bei Wärmezufuhr eindeutig, da beide Anteile positiv

⇒ Entropiezuwachs infolge Wärmezufuhr, Zustandsänderung verläuft von links nach rechts

Wärmeentzug

⇒ Richtung der Zustandsänderung hängt von dem Verhältnis der abgeführten Wärme q12 zu der

dissipierten Energie wD ab

wD > q12

⇒ Zustandsänderung verläuft trotz Wärmeentzug von links nach rechts, d.h. Entropie nimmt zu

wD < q12

⇒ Zustandskurve verläuft von rechts nach links, d.h. Entropie wird verringert


_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 45 von 76

9.4 T,s-Diagramm realer Gase

Beispiel: T,s-Diagramm für Wasserdampf

Flüssige Phase, links neben der Siedelinie

⇒ Isobaren liegen relativ dicht nebeneinander und sind fast nicht voneinander zu unterscheiden

Naßdampfgebiet, begrenzt durch Siedelinie (x = 0) und der Taulinie (x = 1)

⇒ Isobaren fallen mit den Isothermen zusammen und bilden eine horizontale Geradenschar

⇒ Isovaporen = Kurven gleichen Dampfgehalts

Gasphase, Gebiet des trockenen überhitzten Dampfes

⇒ Isothermen und Isobaren verlaufen getrennt


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_________________________________________________________________________________________________________ Folie 46 von 76

T,s-Diagramm für Wasserdampf

Thermodynamik Mollier-Diagramm (h,s-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 47 von 76

9.5 Mollier-Diagramm (h,s-Diagramm)

T,s-Diagramm - Temperatur-Entropie-Diagramm

- Wärme, Arbeit, innere Energie und Enthalpie werden durch Flächen dargestellt

h,s-Diagramm oder Mollier-Diagramm - Enthalpie-Entropie-Diagramm geht auf den Physiker H. Mollier (1863-1935) zurück

- Wärme, Arbeit, innere Energie und Enthalpie werden durch Strecken dargestellt


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 48 von 76

Bsp. h,s-Diagramm: Zustandsänderungen für ein stationär durchströmtes System

1-2: Adiabate (q12 = 0) Verdichtung von p1 auf p2,

Enthalpiedifferenz entspricht der zugeführten

technischen Arbeit wt12

1212hhwt −=

2-3: Isobare reversible Wärmezufuhr auf p = p2, es

wird keine technische Arbeit geleistet (wt12 = 0)

2323 hhq −= 3-4: Fluid expandiert adiabat von p3 auf p4.

Enthalpiedifferenz entspricht der abgegebenen

technischen Arbeit wt34.

3434hhwt −=


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Ideale Gase

h,s-Diagramm ergibt sich direkt aus dem T,s-Diagramm durch Multiplikation der Temperatur T mit der

spezifischen Wärmekapazität cp

CTch p +⋅=

Bei Zustandsänderungen sind lediglich Enthalpiedifferenzen 12 hh − von Interesse

⇒ Unbestimmte Konstante C ist ohne praktische Bedeutung,

⇒ Konstante C kann vernachlässigt werden


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 50 von 76

Reale Gase

- Isenthalpen (h = const.) und Isentropen (s = const.)

sind Scharen horizontaler bzw. vertikaler Geraden

- Isothermen (T = const.) fallen im Naßdampfgebiet

mit den Isobaren (p = const.) zusammen

- Steigung der Isothermen nimmt im Gebiet der

Gasphase stetig ab und verlaufen mit wachsender

Entropie zunehmend waagerecht.

In diesem Bereich nähert sich das Verhalten des

Wasserdampfes dem Verhalten des idealen Gases;

Isotherme und Isenthalpe fallen zusammen.

h,s-Diagramms für Wasserdampf

Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ Folie 51 von 76

9.6 Feuchte Luft (h,x-Diagramme)

9.6.1 Relative Feuchte

Wasser kann in Luft in allen drei Aggregatsformen enthalten sein, Phasenänderungen möglich

Feuchte Luft Gemisch aus Luft und Wasser in der Dampfphase

Luftdruck p ergibt sich als Summe der Partialdrücke der Luft pL und des Wasserdampfes pD

DL ppp += Aufnahmevermögen der Luft Partialdruck des Wasserdampfs pD muß kleiner sein als der Sättigungsdruck pDS,

( )Tpp DSD <


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 52 von 76

Relative Feuchte ϕ

Beschreibt das Verhältnis von Partialdruck pD zu Sättigungsdruck pDS, welches dem Dichteverhältnis

des Wasserdampfes in ungesättigter zu gesättigter Luft entspricht

DS

D

DS

D

pp

ρρ

ϕ ==

Anwendung Korrektur der spezifischen Gaskonstanten von trockener Luft

pp

RR

pp

RRDS

D

tDS

Lf ⋅

⋅−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅−

=ϕϕ 378.01

05.287

11

mit

RL = 287.05 [J/kg⋅K] trockener Luft

RD = 461.51 [J/kg⋅K] Wasserdampf


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 53 von 76

Magnus-Formel Nährungsformel zur Bestimmung des Sättigungsdampfdrucks pDS (-30°C < T < +70°C)

[ ]Paep TT

DS+⋅

⋅= 2.2415043.17

213.611

Genauere Werte liefern die Dampftafeln von Wasser, z.B. Tab. 14.4 oder Tab. 14.5


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 54 von 76

9.6.2 Feuchtegrad und Sättigungsgrad

Feuchtegrad x oder die absolute Feuchte

beschreibt das Massenverhältnis von Wasserdampf und Luft

D

D

LD

DL

L

D

ppp

pRpR

mmx

−⋅=

⋅⋅

== 622.0

Maximaler Feuchtegrad

wird bei dem Sättigungsdampfdruck pDS erreicht, d.h. DSD pp =

DS

DSS pp

px

−⋅= 622.0


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 55 von 76

Zustandsformen in Abhängigkeit vom Feuchtegrad x

- Ungesättigte Luft: x < xS (überhitzter Dampf)

- Gesättigte Luft: x = xS (Sattdampf)

- Übersättigte Luft: x > xS (Naßdampf = Nebel)

Temperaturen unterhalb des Trippelpunktes von Wasser (T = 0.01°C)

⇒ Bildung eines Gemischs aus Sattdampf und Eis (Eisnebel)

Sättigungsgrad ψ

beschreibt das Verhältnis von Feuchtegrad der Luft x zum Feuchtgrad der gesättigten Luft xS

Sxx

=ψ bzw. D

DS

D

DS

DS

D

pppp

pppp

pp

−−

⋅=−−

⋅= ϕψ


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 56 von 76

9.6.3 Zustandsgrößen feuchter Luft

Enthalpie Enthalpie feuchter Luft bestimmt sich analog zur Berechnung der Enthalpie von Dämpfen

ungesättigte feuchte Luft

DL hxhh ⋅+=

gesättigte feuchte Luft

DSL hxhh ⋅+=

Übersättigte feuchte Luft im Nebelgebiet

( ) FSDSL hxxhxhh ⋅−+⋅+=

mit

hF spezifische Enthalpie des flüssigen Wassers


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 57 von 76

Für Temperaturen unterhalb des Trippelpunktes von Wasser (T = 0.01°C), im Eisnebelgebiet gilt

( ) ESDSL hxxhxhh ⋅−+⋅+= hE = spez. Enthalpie von Eis

Allgemein Spezifische Enthalpie h’ der feuchten Luft

( )434214342144444 344444 21321halpieSchmelzent

SD

egsenthalpiVerdampfun

VD

PhasendenentsprechederinWasser

pEEpFFpDD

Luft

pL hxhxTcxcxcxTch Δ⋅+Δ⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅=′

Mit h0 = 0 bei T = 0°C , d.h. Prozesse unter 0°C werden durch negative Enthalpien beschrieben

⇒ ( ) ( ) ( )43421434214444444 34444444 2143421halpieSchmelzent

SD

egsenthalpiVerdampfun

VD

PhasendenentsprechederinWasser

pEEpFFpDD

Luft

pL hxhxTTcxcxcxTTchh Δ⋅+Δ⋅+−⋅⋅+⋅+⋅+−⋅=−′ 000


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 58 von 76

Spezifische Enthalpie h’ der feuchten Luft

Mit

[ ]KkgkJcpL ⋅= 004.1 spez. Wärmekapazität von Luft bei p = const. (-30°C bis +50°C)

[ ]KkgkJcpD ⋅= 86.1 spez. Wärmekapazität von Wasserdampf bei p = const.

[ ]KkgkJcpF ⋅= 19.4 spez. Wärmekapazität von flüssigem Wasser bei p = const.

[ ]KkgkJcpE ⋅= 07.2 spez. Wärmekapazität von Eis p = const.

[ ]kgkJhV 2500=Δ Verdampfungsenthalpie von Wasser

[ ]kgkJhS 4.333−=Δ Schmelzenthalpie von Eis

folgt für die spez. Enthalpie h’ mit T [°C]

( ) DDEFD xxTxxxh ⋅−⋅+⋅⋅+⋅+⋅+=′ 4.333250007.219.486.1004.1


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 59 von 76

Dichte und spezifisches Volumen feuchter Luft

Zustandsgleichung für feuchte Luft

( ) Tmm

RR

RmTRmRmVpVpVpL

D

D

LDLDDLLDL ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅=⋅⋅+⋅=⋅+⋅=⋅

⇒ ( )p

TRxmV DL

⋅⋅+⋅= 622.0

Spezifisches Volumen

( )xmV

mxmV

mmVv

LLLDL +⋅=

⋅+=

+=

1 ⇒ pTR

xxv D ⋅⋅

++

=1622.0

Dichte

( )V

xmV

mxmV

mm LLLDL +⋅=

⋅+=

+=

1ρ ⇒ TR

px

x

D ⋅⋅

++

=622.01ρ


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 60 von 76

Dichte und spezifisches Volumen übersättigter feuchte Luft

Spezifisches Volumen

pTR

xx

v DS ⋅⋅

++

=1

622.0

Dichte

TRp

xx

DS ⋅⋅

++

=622.01ρ


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 61 von 76

9.6.4 Feuchte Luft in Diagrammform (Mollier, 1923)

Voraussetzung: Konstanter Druck der feuchten Luft, Druckänderung ⇒ Verschiebung der Kurven


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 62 von 76

Konstruktionsprinzip des h,x-Diagramms für feuchte Luft


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 63 von 76

Trocknung feuchter Luft - Reduzierung der absoluten Feuchte x

(1) - (2): Abkühlung bei .constxxx FDS =+=

Sättigungslinie wird in das Nebelgebiet

unterschritten

(2) - (3): Entnahme des flüssigen Wassers

bei konstanter Temperatur

Im Punkt (3) gilt 1, == ϕDSxx

(3) – (4): Erwärmung der feuchten Luft auf

die Ausgangstemperatur T1

Im Punkt (4) gilt 1414 , ϕϕ << xx


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 64 von 76

Mischung von Luft unterschiedlicher Feuchte und Temperatur

Anwendung Klimaanlagen, Zuführen von Außenluft zur Raumluft

Mischung von zwei Luftmassen

m1, h1’, T1, x1

m2, h2’, T2, x2

m3, h3’, T3, x3


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 65 von 76


Massebilanz der Luft

213 LLL mmm +=

Massebilanz des Wassers

213 WWW mmm +=

mit LW mmx= bzw. LW mmx &&& = folgt für die Enthalpiebilanz

′⋅+′⋅=′⋅ 221133 hmhmhm LLL &&&

1

2

1

21

21

2211

3

22113

1L

L

L

L

LL

LL

L

LL

mmmm

h

mmhmhm

mhmhm

h

&

&

&

&

&&

&&

&

&&

+

+′

=+

′⋅+′⋅=

′⋅+′⋅=′


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 66 von 76


23

31

23

31

1

2

xxxx

hh

hhmm

L

L

−−

=′−′

′−′=

&

&

Proportionalität zwischen den spezifischen

Enthalpien und den absoluten Feuchten

⇒ Mischvorgang verläuft im h,x-Diagramm

auf einer Geraden parallel zwischen den

Ausgangsmasseströmen


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 67 von 76

Nebelbildung Trifft eine Luftmasse vom Zustand (a) auf eine

Luftmasse vom Zustand (b), so wird sich ein

Endzustand einstellen, der auf einer Geraden

zwischen den beiden Punkten liegt; in diesem

Fall im ungesättigten Gebiet

⇒ Nebelbildung ist ausgeschlossen

Trifft jedoch die kalte, ungesättigt Luftmasse

vom Zustand (c) auf die wärmere Luftmasse

vom Zustand (a), so stellt sich ein Endzustand

ein, der je nach Masseanteilen die Sattdampf-

linie unterschreiten kann

⇒ Nebelbildung ist möglich


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 68 von 76

Ü 9.9 Wasser-Naßdampf

In einem geschlossenen Behälter mit V = 1 m³ befindet sich Wasser-Naßdampf mit einem

Dampfanteil von 60% bei einem Druck von p = 5 MPa.

Zu berechnen sind

a) das spezifische Volumen v des Naßdampfes

b) Masse m des Naßdampfes und des flüssigen Wassers mW

c) Spezifische Enthalpie h des Naßdampfes


_________________________________________________________________________________________________________ Folie 69 von 76

Ü 9.10 Klimaanlage

In einem Raum beträgt die Lufttemperatur T = 20°C und die relative Feuchte ϕ = 80%. Durch Kühlung

der Luft bei konstanter absoluter Feuchte x sinkt die spez. Enthalpie um Δh = 20 [kJ/kg trockene Luft],

ein Teil des Wassers kondensiert und wird abgeschieden. Anschließend wird die Luft wieder auf T =

20°C erwärmt.

a) Wieviel Wasser wurde bei welcher Temperatur entfernt?

b) Wieviel Energie ist erforderlich, um die Luft wieder auf T = 20°C zu erwärmen?

c) Auf welchen Wert wird die absolute Feuchte x reduziert?

d) Welchen Wert nimmt die relative Feuchte ϕ an?

Thermodynamik Zusammenfassung der Zustandsänderungen __________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________ Folie 70 von 76

9.7 Zusammenfassung der Zustandsänderungen

Zustandsänderung isochor isobar isotherm adiabatisch polytrop

Bedingung dV = 0

ΔV = 0

dp = 0

Δp = 0

dT = 0

ΔT = 0

dQ = 0

ΔQ = 0

1. Hauptsatz dQ = dU

Q = ΔU

dQ = dU + dW

Q = ΔU + W

dQ = dW

Q = W

0 = dU + dW

0 = ΔU + W

0 = dU + dW

0 = ΔU + W


__________________________________________________________________________________________________________ Folie 71 von 76


Beziehungen zwischen

p, T, V

.constTp

TT

pp

=

=2

1

2

1

.constTV

VV

TT

=

=2

1

2

1

.constVpVV

pp

=⋅

=1

2

2

1

.constpT

pp

TT

.constVT

VV

TT

.constVp

VV

pp

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

−

−

−

1

1

2

1

2

1

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

κ

κ

κκ

κ

κ

κ

κ

.constpT

pp

TT

.constVT

VV

TT

.constVp

VV

pp

n

n

nn

n

n

n

n

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

−

−

−

1

1

2

1

2

1

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1


__________________________________________________________________________________________________________ Folie 72 von 76


Wärmeenergie dQ = cv⋅m⋅dT

Q = cv⋅m⋅(T2 - T1)

dQ = cp⋅m⋅dT

Q = cp⋅m⋅(T2 - T1) WQdWdQ

==

00

==

QdQ

( )211

1

TTnnmc

Q

dTnnmc

dQ

v

v

−⋅−−

⋅⋅

=

⋅−−

⋅⋅

=

κ

κ


__________________________________________________________________________________________________________ Folie 73 von 76

Zustands-

änderung

isochor isobar isotherm adiabatisch polytrop

Arbeit dW = 0

W = 0

dW = p⋅dV

( )( )12

12

TTRmWVVpW−⋅⋅=

−⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅=

⋅=

2

122

1

222

2

111

1

211

2

1

1

2

pplnVpW

VVlnVpW

pplnVpW

VVlnVpW

pplnTRmW

VVlnTRmW

dVpdW

( )

( )21

21

1TTRmW

TTmcWUW

dTmcdWdUdW

v

v

−⋅−⋅

=

−⋅⋅−=−=

⋅⋅−=−=

κ

Δ ( )211

1

TTn

RmW

dTn

RmdW

−⋅−⋅

=

⋅−⋅

=


__________________________________________________________________________________________________________ Folie 74 von 76

Zustands-

änderung

isochor isobar isotherm adiabatisch polytrop

Änderung

der

inneren

Energie

dU = cv⋅m⋅dT

U = cv⋅m⋅(T2 - T1)

dU = cv⋅m⋅dT

U = cv⋅m⋅(T2 - T1) 00==

UdUΔ ( )

( )12

12

1TTRmU

WUTTmcUdWdTmcdU

v

v

−⋅−⋅

=

−=−⋅⋅=−=⋅⋅=

κΔ

ΔΔ ( 12 TTmcU

dTmcdU

v

v

−⋅⋅=⋅⋅=

Δ

Änderung

der

Entropie

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

1

2

1

2

pplnmcS

TTlnmcS

pdpmcdS

TdTmcdS

v

v

v

v

Δ

Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

1

2

1

2

VVlnmcS

TTlnmcS

VdVmcdS

TdTmcdS

p

p

p

p

Δ

Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

⋅⋅−=

⋅⋅=

2

1

1

2

pplnRmS

VVlnRmS

pdpRmdS

VdVRmdS

Δ

Δ

00

==

SdSΔ

⎜⎜⎝

⎛⋅

−−

⋅⋅

=

⋅−−

⋅⋅

=

21

1

TT

lnn

nmc

STdT

nnmc

dS

v

v

κ

Δ

κ


__________________________________________________________________________________________________________ Folie 75 von 76


p,V-Diagramm

Documents

Thermodynamik - hakenesch.userweb.mwn.dehakenesch.userweb.mwn.de/thermodynamik/k9_zustandsaenderungen.pdf · Ü 9-8 Isentrope Expansion In einer Preßluftflasche mit V = 40 l befindet