Goldener Schnitt und Fibonacci-Zahlen

Thorsten Rohwedder und Thomas UhlemannHU Berlin

Tag der Mathematik 2013

Quadrat mit Seitenlänge89 cm,

also Flächeninhalt 7921 cm2

Rechteck mit Seitenlängen144 cm und 55 cm,

also Flächeninhalt 7920 cm2

Wo ist der eine Quadratzentimeter hin?

Quadrat mit Seitenlänge89 cm,

also Flächeninhalt 7921 cm2

Rechteck mit Seitenlängen144 cm und 55 cm,

also Flächeninhalt 7920 cm2

Wo ist der eine Quadratzentimeter hin?

Quadrat mit Seitenlänge89 cm,

also Flächeninhalt 7921 cm2

Rechteck mit Seitenlängen144 cm und 55 cm,

also Flächeninhalt 7920 cm2

Wo ist der eine Quadratzentimeter hin?

Hier ist er!

Quadrat mit Seitenlänge55 cm,

also Flächeninhalt 3025 cm2

Rechteck mit Seitenlängen89 cm und 34 cm,

also Flächeninhalt 3026 cm2

Danke für den einen Quadratzentimeter!

Hier ist er!

Quadrat mit Seitenlänge55 cm,

also Flächeninhalt 3025 cm2

Rechteck mit Seitenlängen89 cm und 34 cm,

also Flächeninhalt 3026 cm2

Danke für den einen Quadratzentimeter!

Bei dieser Art von Flächenumwandlungscheint irgend etwas nicht zu stimmen,

aber was??

Und vor allem:Was ist zu tun, um den Fehler zu finden?

Bei dieser Art von Flächenumwandlungscheint irgend etwas nicht zu stimmen,

aber was??

Und vor allem:Was ist zu tun, um den Fehler zu finden?

Erste Idee: Nachrechnen

Strahlensatzfigur:

Es müsste eigentlich

8934

=14455

gelten, es ist aber

8934≈ 2.6176, 144

55= 2,618.

Winkel an geschn. Parallelen:

Es müsste eigentlich α = βgelten, es ist aber

tanα =3489

; α ≈ 20,908◦

undtanβ =

2155

; β ≈ 20,898◦.

Erste Idee: Nachrechnen

Strahlensatzfigur:

Es müsste eigentlich

8934

=14455

gelten, es ist aber

8934≈ 2.6176, 144

55= 2,618.

Winkel an geschn. Parallelen:

Es müsste eigentlich α = βgelten, es ist aber

tanα =3489

; α ≈ 20,908◦

undtanβ =

2155

; β ≈ 20,898◦.

Zweite Idee: Allgemeine Lösung des Problems?

Quadrat mit Seitenlängex+y,

also Flächeninhalt(x + y)2

Rechteck mit Seitenlängenx und 2x+y,

also Flächeninhalt(2x + y) · x

Es muss also (x + y)2 = (2x + y) · x gelten.

Zweite Idee: Allgemeine Lösung des Problems?

Quadrat mit Seitenlängex+y,

also Flächeninhalt(x + y)2

Rechteck mit Seitenlängenx und 2x+y,

also Flächeninhalt(2x + y) · x

Es muss also (x + y)2 = (2x + y) · x gelten.

Zweite Idee: Allgemeine Lösung des Problems?

Quadrat mit Seitenlängex+y,

also Flächeninhalt(x + y)2

Rechteck mit Seitenlängenx und 2x+y,

also Flächeninhalt(2x + y) · x

Es muss also (x + y)2 = (2x + y) · x gelten.

Zweite Idee: Allgemeine Lösung des Problems?

Quadrat mit Seitenlängex+y,

also Flächeninhalt(x + y)2

Rechteck mit Seitenlängenx und 2x+y,

also Flächeninhalt(2x + y) · x

Es muss also (x + y)2 = (2x + y) · x gelten.

(x + y)2 = (2x + y) · x

⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0

⇐⇒ x1,2 =12

y ±√

y2

4+ y2

x1 = (1+√

52 ) · y , also

xy

=1 +√

52

=: Φ

Dies ist der goldene Schnitt Φ ≈ 1,618034!

(x2 = (

1−√

52

) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)

(x + y)2 = (2x + y) · x

⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0

⇐⇒ x1,2 =12

y ±√

y2

4+ y2

x1 = (1+√

52 ) · y , also

xy

=1 +√

52

=: Φ

Dies ist der goldene Schnitt Φ ≈ 1,618034!

(x2 = (

1−√

52

) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)

(x + y)2 = (2x + y) · x

⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0

⇐⇒ x1,2 =12

y ±√

y2

4+ y2

x1 = (1+√

52 ) · y , also

xy

=1 +√

52

=: Φ

Dies ist der goldene Schnitt Φ ≈ 1,618034!

(x2 = (

1−√

52

) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)

(x + y)2 = (2x + y) · x

⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0

⇐⇒ x1,2 =12

y ±√

y2

4+ y2

x1 = (1+√

52 ) · y , also

xy

=1 +√

52

=: Φ

Dies ist der goldene Schnitt Φ ≈ 1,618034!

(x2 = (

1−√

52

) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)

(x + y)2 = (2x + y) · x

⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0

⇐⇒ x1,2 =12

y ±√

y2

4+ y2

x1 = (1+√

52 ) · y , also

xy

=1 +√

52

=: Φ

Dies ist der goldene Schnitt Φ ≈ 1,618034!

(x2 = (

1−√

52

) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)

(x + y)2 = (2x + y) · x

⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0

⇐⇒ x1,2 =12

y ±√

y2

4+ y2

x1 = (1+√

52 ) · y , also

xy

=1 +√

52

=: Φ

Dies ist der goldene Schnitt Φ ≈ 1,618034!

(x2 = (

1−√

52

) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)

Strahlensatz: Φ + 11

!=

2Φ + 1Φ

⇐⇒ Φ + 1 = 2 + 1Φ

⇐⇒ Φ− 1 = 1Φ

Strahlensatz: Φ + 11

!=

2Φ + 1Φ

⇐⇒ Φ + 1 = 2 + 1Φ

⇐⇒ Φ− 1 = 1Φ

Strahlensatz: Φ + 11

!=

2Φ + 1Φ

⇐⇒ Φ + 1 = 2 + 1Φ

⇐⇒ Φ− 1 = 1Φ

Strahlensatz: Φ + 11

!=

2Φ + 1Φ

⇐⇒ Φ + 1 = 2 + 1Φ

⇐⇒ Φ− 1 = 1Φ

Φ− 1 = 1Φ?

Φ =1 +√

52

; Φ− 1 =√

5− 12

≈ 0,62

also

(Φ− 1) · Φ =√

5− 12

·√

5 + 12

=5− 1

4= 1.

Daher:

Φ− 1 = 1Φ

, Φ · 1Φ = 1 und Φ−1Φ = 1

Φ und 1Φ sind die einzigen positiven Zahlen, deren Produkt undDifferenz gleichzeitig 1 ergibt.

Φ− 1 = 1Φ?

Φ =1 +√

52

; Φ− 1 =√

5− 12

≈ 0,62

also

(Φ− 1) · Φ =√

5− 12

·√

5 + 12

=5− 1

4= 1.

Daher:

Φ− 1 = 1Φ

, Φ · 1Φ = 1 und Φ−1Φ = 1

Φ und 1Φ sind die einzigen positiven Zahlen, deren Produkt undDifferenz gleichzeitig 1 ergibt.

Goldener Schnitt in Kunst und Architektur

...und Popkultur

Approximation von Φ durch KettenbrücheWegen Φ = 1 + 1Φ :

Φ = 1 +1Φ

= 1 +1

1 + 1Φ

= 1 +1

1 + 11+ 1

Φ

= . . .

Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + 1x (der einzige mit x > 0).

Fixpunktiteration: φn+1 = 1 + 1φn → Φ für beliebiges φ1 > 0.

Startwert φ1 = 1:

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .

11

21

32

53

85

138

2113

3421

. . .

Approximation von Φ durch KettenbrücheWegen Φ = 1 + 1Φ :

Φ = 1 +1Φ

= 1 +1

1 + 1Φ

= 1 +1

1 + 11+ 1

Φ

= . . .

Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + 1x (der einzige mit x > 0).

Fixpunktiteration: φn+1 = 1 + 1φn → Φ für beliebiges φ1 > 0.

Startwert φ1 = 1:

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .

11

21

32

53

85

138

2113

3421

. . .

Approximation von Φ durch KettenbrücheWegen Φ = 1 + 1Φ :

Φ = 1 +1Φ

= 1 +1

1 + 1Φ

= 1 +1

1 + 11+ 1

Φ

= . . .

Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + 1x (der einzige mit x > 0).

Fixpunktiteration: φn+1 = 1 + 1φn → Φ für beliebiges φ1 > 0.

Startwert φ1 = 1:

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .

11

21

32

53

85

138

2113

3421

. . .

Approximation von Φ durch KettenbrücheWegen Φ = 1 + 1Φ :

Φ = 1 +1Φ

= 1 +1

1 + 1Φ

= 1 +1

1 + 11+ 1

Φ

= . . .

Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + 1x (der einzige mit x > 0).

Fixpunktiteration: φn+1 = 1 + 1φn → Φ für beliebiges φ1 > 0.

Startwert φ1 = 1:

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .

11

21

32

53

85

138

2113

3421

. . .

Approximation von Φ durch KettenbrücheWegen Φ = 1 + 1Φ :

Φ = 1 +1Φ

= 1 +1

1 + 1Φ

= 1 +1

1 + 11+ 1

Φ

= . . .

Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + 1x (der einzige mit x > 0).

Fixpunktiteration: φn+1 = 1 + 1φn → Φ für beliebiges φ1 > 0.

Startwert φ1 = 1:

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .

11

21

32

53

85

138

2113

3421

. . .

Approximation von Φ durch KettenbrücheWegen Φ = 1 + 1Φ :

Φ = 1 +1Φ

= 1 +1

1 + 1Φ

= 1 +1

1 + 11+ 1

Φ

= . . .

Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + 1x (der einzige mit x > 0).

Fixpunktiteration: φn+1 = 1 + 1φn → Φ für beliebiges φ1 > 0.

Startwert φ1 = 1:

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .

11

21

32

53

85

138

2113

3421

. . .

Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge

F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1,

; Fibonacci-Folge (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, . . .)

mit

Φ = limn→∞Fn+1Fn

,

umgekehrt

Fn = 1√5 (Φn − (1− Φ)n)

(Formel von Binet)

Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge

F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1,

; Fibonacci-Folge (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, . . .)

mit

Φ = limn→∞Fn+1Fn

,

umgekehrt

Fn = 1√5 (Φn − (1− Φ)n)

(Formel von Binet)

Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge

F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1,

; Fibonacci-Folge (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, . . .)

mit

Φ = limn→∞Fn+1Fn

,

umgekehrt

Fn = 1√5 (Φn − (1− Φ)n)

(Formel von Binet)

Wo war jetzt der eine Quadratzentimeter?

Quotienten von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Gliedernapproximieren Φ:

Φ = limn→∞

Fn+1Fn

≈ Fn+1Fn

für große n ∈ N.

...deshalb klappt die Quadrat-Rechteck-Umwandlung ”fast“für Teilungsverhältnis 55 : 34 = 1,618 ≈ Φ .

Wo war jetzt der eine Quadratzentimeter?

Quotienten von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Gliedernapproximieren Φ:

Φ = limn→∞

Fn+1Fn

≈ Fn+1Fn

für große n ∈ N.

...deshalb klappt die Quadrat-Rechteck-Umwandlung ”fast“für Teilungsverhältnis 55 : 34 = 1,618 ≈ Φ .

Wo war jetzt der eine Quadratzentimeter?

Quotienten von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Gliedernapproximieren Φ:

Φ = limn→∞

Fn+1Fn

≈ Fn+1Fn

für große n ∈ N.

...deshalb klappt die Quadrat-Rechteck-Umwandlung ”fast“für Teilungsverhältnis 34 : 21 = 1,619 ≈ Φ.

...für den Unterricht:Als Arbeitsauftrag für Schüler klappt das Ganze auch prima mitkleineren Fibonaccizahlen:

Wo kommt die Fibonacci-Folge vor?

� erstmals 1202 im ”Liber abbaci“, Leonardo de Pisa aliasFibonacci:

Quelle: Wikipedia

Der Klassiker: Vermehrung von Kaninchen(nach ”Liber abbaci“, Ficonacci)

Quelle: fibonaccifolge.ch

Fibonacci in: Wie viele Ururur...ahnen hat eineHonigbiene?

I Mensch: 2k Vorfahren in k -ter Vorfahrengeneration

I Honigbiene: ♀→ ♂, ♀+♂→ ♀

Quelle: A. Gruber: Goldener Schnitt - Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?

Fibonacci in: Wie viele Ururur...ahnen hat eineHonigbiene?

I Mensch: 2k Vorfahren in k -ter VorfahrengenerationI Honigbiene: ♀→ ♂, ♀+♂→ ♀

Quelle: A. Gruber: Goldener Schnitt - Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?

Fibonacci in: Wie viele Ururur...ahnen hat eineHonigbiene?

I Mensch: 2k Vorfahren in k -ter VorfahrengenerationI Honigbiene: ♀→ ♂, ♀+♂→ ♀

Quelle: A. Gruber: Goldener Schnitt - Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?

Fibonacci in: Wie viele Ururur...ahnen hat eineHonigbiene?

I Mensch: 2k Vorfahren in k -ter VorfahrengenerationI Honigbiene: ♀→ ♂, ♀+♂→ ♀

� Es ergeben sich 1,2,3,5,8,13,21, . . . Ahnen!Quelle: A. Gruber: Goldener Schnitt - Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?

Fibonacci in: Potenzen des goldenen Schnitts

Φ = 1ΦΦ2 = 1Φ + 1Φ3 = 2Φ + 1Φ4 = 3Φ + 2Φ5 = 5Φ + 3Φ6 = 8Φ + 5Φ7 = 13Φ + 8Φ8 = 21Φ + 13

...

Fibonacci in: Potenzen des goldenen Schnitts

Φ = 1ΦΦ2 = 1Φ + 1Φ3 = 2Φ + 1Φ4 = 3Φ + 2Φ5 = 5Φ + 3Φ6 = 8Φ + 5Φ7 = 13Φ + 8Φ8 = 21Φ + 13

...

Fibonacci in: Potenzen des goldenen Schnitts

Φ = 1ΦΦ2 = 1Φ + 1Φ3 = 2Φ + 1Φ4 = 3Φ + 2Φ5 = 5Φ + 3Φ6 = 8Φ + 5Φ7 = 13Φ + 8Φ8 = 21Φ + 13

...

Fibonacci im Pascalschen Dreieck

Quelle: hirnwindungen.de

Fibonacci in der Physik

R3 = R ·1

1 + 11+ 1

1+ 11+1

=58· R, allgemein: Rn = F2n−1F2n · R

beide aus: Basin, S. L.: ”The Fibonacci Sequence as it Appears in Nature“, 1963;zit. n. M. Kuhn: ”Die Fibonacci-Zahlen“, Facharbeit am Emil v. Behring-Gymnasium Spardorf, 1990

Fibonacci in der Physik

R3 = R ·1

1 + 11+ 1

1+ 11+1

=58· R, allgemein: Rn = F2n−1F2n · R

beide aus: Basin, S. L.: ”The Fibonacci Sequence as it Appears in Nature“, 1963;zit. n. M. Kuhn: ”Die Fibonacci-Zahlen“, Facharbeit am Emil v. Behring-Gymnasium Spardorf, 1990

Fibonacci in der Physik

R3 = R ·1

1 + 11+ 1

1+ 11+1

=58· R, allgemein: Rn = F2n−1F2n · R

beide aus: Basin, S. L.: ”The Fibonacci Sequence as it Appears in Nature“, 1963;zit. n. M. Kuhn: ”Die Fibonacci-Zahlen“, Facharbeit am Emil v. Behring-Gymnasium Spardorf, 1990

Noch ein paar Merkwürdigkeiten

...eine merkwürdige Summe:

0,1+ 0,01+ 0,002+ 0,0003+ 0,00005+ 0,000013+ 0,0000021+ 0,00000034+ 0,000000055+ 0,0000000089+ . . .

= ?

Noch ein paar Merkwürdigkeiten

...eine merkwürdige Summe:

0,1+ 0,01+ 0,002+ 0,0003+ 0,00005+ 0,000013+ 0,0000021+ 0,00000034+ 0,000000055+ 0,0000000089+ . . .

=1089

!

Noch ein paar Merkwürdigkeiten

Häufigkeit der ersten Ziffer der Fibonacci-Zahlen:(1, 1, 2, 3, 5 ,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. . . )

Noch ein paar Merkwürdigkeiten

...entspricht der Benford-Verteilung p(z) = lg(1 + 1z

).

Jo Niemeyer: Land-Art mit dem Goldenen Schnitt

I insgesamt 20 jeweils 5.50 m hohe Edelstahl-Stelen

I Abstand der ersten beiden Stelen: 45,8 cmI Abstand n + 1 zu n = Φ × Abstand n zu 1

Jo Niemeyer: Land-Art mit dem Goldenen Schnitt

I insgesamt 20 jeweils 5.50 m hohe Edelstahl-StelenI Abstand der ersten beiden Stelen: 45,8 cm

I Abstand n + 1 zu n = Φ × Abstand n zu 1

Jo Niemeyer: Land-Art mit dem Goldenen Schnitt

I insgesamt 20 jeweils 5.50 m hohe Edelstahl-StelenI Abstand der ersten beiden Stelen: 45,8 cmI Abstand n + 1 zu n = Φ × Abstand n zu 1

Standorte der einzelnen Pfähle

Standorte der einzelnen Pfähle

In 20 Stelen um die Welt!

...und zu all dem lächelt die Mona Lisa.

Quelle: de.academic.ru

Wort zum Samstag:

”Dass zwei Dinge sich auf eine schöne Art vereinigen ohne eindrittes, das ist unmöglich. Denn es muss ein Band zwischen

ihnen entstehen, dass sie vereinigt.

Das kann die Proportion am besten vollbringen. Denn wennvon irgend drei Zahlen die mittlere sich zu der kleinsten verhält,

wie die größte zu der mittleren selbst, [. . . ] dann wird dasLetzte und das Erste das Mittlere und das Mittlere Erstes undLetztes, alles wird also mit Notwendigkeit dasselbe, und da es

dasselbe wird, bildet es ein einziges. “

Plato: Timaios, zit. nach Henning/Hartfeld:Goldener Schnitt in der Mathematik

Vielen Dank fürIhre Aufmerksamkeit!