Transportvorgänge in der Verfahrenstechnik || Strömungen in Rohren

Kapitel 5Strömungen in Rohren

Aufgrund zahlloser Anwendungen in unterschiedlichsten Industriebranchen stellenTransportvorgänge bei der Strömung von Fluiden in Rohren ein klassisches Feldder Verfahrenstechnik dar. Wegen der hohen technischen Relevanz liegt ein außer-ordentlich umfassendes Wissen auf diesem Gebiet vor. Neben der Anwendungsnähekommt diesem Kapitel aber auch noch weitergehende Bedeutung zu. Die hier disku-tierten Grundlagen werden für eine große Zahl komplexerer verfahrenstechnischerProblemstellungen genutzt, indem diese durch geschickte Vereinfachungen auf dieVorgänge bei der Rohrströmung zurückgeführt werden. Eine solche Vorgehensweisebei der Erstellung mathematischer Modelle für komplexe Aufgabenstellungen – dieVereinfachung und anschließende Rückführung eines Problems auf gut beschriebeneGrundlagenphänomene – stellt eine für die Verfahrenstechnik typische Strategie dar.

Ziel des Kapitels ist die Erläuterung und Berechnung des Druckverlusts sowiedes Stoffübergangs bei Rohrströmungen. Hierzu werden zuerst die Geschwindig-keitsprofile bei laminarer und turbulenter Strömung erläutert. Darauf basierendwird der Widerstandsbeiwert zur Berechnung des Druckverlusts eingeführt. DieBestimmung des Stoffübergangs erfolgt anschließend mittels einer differenziellenMassenbilanz, die zu dimensionslosen Berechnungsgleichungen für die Sher-woodzahlen führt. Die Auswirkungen heterogener chemischer Reaktionen auf denStoffübergang sowie nicht-Newtonscher Flüssigkeiten auf die Fluiddynamik werdenabschließend ebenso dargestellt wie auftretende Dispersionseffekte.

5.1 Impulstransport

5.1.1 Laminare Rohrströmung

Bei der laminaren Rohrströmung bewegen sich die Fluidelemente auf parallelenStromfäden, ohne einen Platzwechsel quer zur Strömungsrichtung auszuführen.Druckverlust und Geschwindigkeitsprofil lassen sich theoretisch herleiten. Hierzuwerden die in Kap. 1 aufgeführten Navier-Stokes-Gleichungen angewandt. Das Dif-ferenzialgleichungssystem wird durch folgende physikalische Bedingungen starkvereinfacht:

M. Kraume, Transportvorgänge in der Verfahrenstechnik, 131DOI 10.1007/978-3-642-25149-8_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

132 5 Strömungen in Rohren

Abb. 5.1 Kräftebilanz sowie radiale Geschwindigkeits- und Schubspannungsverteilung bei derlaminaren Rohrströmung

1. Aus Symmetriegründen sind die Geschwindigkeitsprofile rotationssymmetrisch,daher existiert kein Einfluss des Winkels ϕ (u. a. wϕ = 0).

2. Die Fluidelemente bewegen sich auf parallelen Stromfäden in z-Richtung, dahergilt wr = 0.

3. Die Strömung ist stationär und ausgebildet:∂wz

∂t= ∂wz

∂z= 0

Bei laminarer Rohrströmung führen die Navier-Stokes-Gleichungen zu einer einzi-gen Differenzialgleichung:

−dpdz

+ η1

r

d

dr

(

rdwz

dr

)

= 0. (5.1)

Der Druckverlust wird durch die Schubspannungen an der Wand verursacht. Dieseresultieren aus dem Geschwindigkeitsgradienten, der wiederum bei der vollstän-dig ausgebildeten Strömung konstant ist. Daher gilt für den Druckgradientendp/dz = (p2 − p1)/�l = konst. < 0. Die Integration von Gl. (5.1) führt zu:

rdwz

dr= Δp

Δl

1

η

r2

2+ C1. (5.2)

Aufgrund der Symmetrie ist der Gradient dwz/dr in der Rohrachse (r = 0) gleich nullund damit auch C1:

Δpr2 = 2rΔlηdw

dr. (5.3)

Das gleiche Ergebnis folgt aus einer einfachen Kräftebilanz an dem in Abb. 5.1dargestellten Fluidzylinder:

Δpπr2 = 2πrΔlτz = 2πrΔlηdw

dr. (5.4)

Die Integration führt unter Berücksichtigung der Wandhaftbedingung w(r = R) = 0zu:

w(r) = 1

4η

Δp

Δl

(

r2 − R2)

. (5.5)

5.1 Impulstransport 133

In Abb. 5.1 wird dieses parabolische Geschwindigkeitsprofil dargestellt. Durch In-tegration über die Fläche ergibt sich der Volumenstrom, der für technische Zweckebedeutsam ist:

.

V =A∫

0

w(r)dA =R∫

0

w(r)2πrdr = πR4

8η

(−Δp)

Δl. (5.6)

Diese Beziehung, auch Hagen1-Poiseuille2 Gleichung genannt, verknüpft den län-genbezogenen Druckverlust mit dem Volumenstrom. Die mittlere Geschwindigkeitw ergibt sich gemäß:

w =.

V

πR2= R2

8η

(−Δp)

Δl. (5.7)

Die maximale Geschwindigkeit in der Rohrachse berechnet sich nach:

wmax = w(r = 0) = R2

4η

(−Δp)

Δl= 2w. (5.8)

5.1.2 Turbulente Rohrströmung

Bei turbulenter Strömung führt der stark erhöhte Impulsaustausch quer zur Strö-mungsrichtung zu einer Verflachung des Geschwindigkeitsprofils (s. Abb. 5.2),gleichzeitig nimmt der Geschwindigkeitsgradient an der Wand zu. Die Stauchungdes Geschwindigkeitsprofils kommt besonders deutlich durch das Verhältnis der ma-ximalen Geschwindigkeit wmax in der Rohrachse zur mittleren Geschwindigkeit wzum Ausdruck. Das Verhältnis wmax/w beträgt bei laminarer Strömung 2 und beiturbulenter Strömung etwa 1,2. Für viele Fälle lässt sich das Geschwindigkeitspro-fil bei der turbulenten Strömung in Rohren näherungsweise durch die empirischeBeziehung

w

wmax=( y

R

)n

(5.9)

sehr gut wiedergeben. Hierin ist y = R − r der Wandabstand und n ein mit derReynoldszahl schwach veränderlicher Wert. Bei mittleren Werten der Reynoldszahl,Re = wd/v, etwa Re = 104 bis 105, kann man n = 1/7 setzen.

1 Gotthilf H. L. Hagen 1797–1884, deutscher Ingenieur des Fachgebietes Wasserbau, entwickelteunabhängig von Poiseuille die Gesetzmäßigkeiten der laminaren Strömung viskoser Flüssigkeiten.Er wirkte an Planung und Ausbau zahlreicher deutscher Flüsse und Häfen mit, z. B. Wilhelmshaven.Seine Methoden zur Dünenbefestigung finden heute noch Anwendung.2 Jean Louis Marie Poiseuille 1797–1869, französischer Physiologe und Physiker, beschäftig-te sich hauptsächlich mit der Blutbewegung in menschlichen Gefäßen und leitete daraus dasStrömungsverhalten von Flüssigkeiten in Röhren ab.


Abb. 5.2 Geschwindig-keitsprofile bei derRohrströmung

Da dieser Wert der am häufigsten angewendete ist, wird Gl. (5.9) auch als 1/7-Potenzgesetz (v. Kármán 19213) bezeichnet.

Infolge der Turbulenz tritt ein erhöhter Impulsaustausch auf, dessen Beschreibungz. B. mit dem in Abschn. 1.4 bereits vorgestellten Ansatz

τt = ρνtdw

dy(1.38a)

erfolgen kann. Ursächlich hierfür sind die turbulenten Schwankungen, die vonFluidteilchen unterschiedlicher Größe (Turbulenzballen) ausgeführt werden. DieseBallen bestehen aus hinreichend vielen Molekülen, so dass die Bilanzgleichun-gen weiterhin gelten. Bei technischen Wärme- bzw. Stoffübertragungsprozessenbesteht weniger Interesse an den zeitlich veränderlichen Schwankungswerten alsvielmehr an den Mittelwerten. Diese sind jedoch nicht einfach zu bestimmen,denn als Folge der Nichtlinearität der konvektiven Glieder in den Bilanzgleichun-gen haben Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsschwankungen aucheinen Einfluss auf die Mittelwerte. Die mit diesen gebildeten Bilanzgleichungenenthalten zusätzliche Ausdrücke, die sich nicht aus den Gleichungen selbst erge-ben. Die Gleichungen werden als Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungenbezeichnet (Reynolds-averaged Navier-Stokes equations, RANS).

Die Aufspaltung der Geschwindigkeit in Mittelwert und Schwankungsgeschwin-digkeit

w = w + w′

3 Theodore von Kármán 1881–1963, deutsch-ungarisch-amerikanischer Ingenieur, gilt als Pionierder modernen Aerodynamik und der Luftfahrtforschung.


führt zu folgender Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide:

∂

∂x(wx + w′

x) + ∂

∂y(wy + w′

y) + ∂

∂z(wz + w′

z)

= ∂wx

∂x+ ∂w′

x

∂x+ ∂wy

∂y+ ∂w′

y

∂y+ ∂wz

∂z+ ∂w′

z

∂z= 0. (5.10)

Nach zeitlicher Mittelung bleibt:

∂wx

∂x+ ∂wy

∂y+ ∂wz

∂z= 0. (5.11)

Für die konvektiven Glieder in der Impulsgleichung kann man unter Berücksichti-gung der Kontinuitätsgleichung auch schreiben (beispielhaft nur für die Bilanz inx-Richtung):

wx

∂wx

∂x+ wy

∂wx

∂y+ wz

∂wx

∂z= ∂

∂xwxwx + ∂

∂ywxwy + ∂

∂zwxwz. (5.12)

Für die turbulente Strömung ergibt sich:

∂

∂x[(wx + w′

x)(wx + w′x)] + ∂

∂y[(wx + w′

x)(wy + w′y)]

+ ∂

∂z[(wx + w′

x)(wz + w′z)]

= ∂

∂x(wxwx + wxw′

x + wxw′x + w′

xw′x)

+ ∂

∂y(wxwy + wxw′

y + w′xwy + w′

xw′y)

+ ∂

∂z(wxwz + wxw′

z + w′xwz + w′

xw′z). (5.13)

Nach zeitlicher Mittelung verschwinden alle in w′ linearen Glieder und es resultiert:

(

wx

∂wx

∂x+ wy

∂wx

∂y+ wz

∂wx

∂z

)

= wx

∂wx

∂x+ wy

∂wx

∂y+ wz

∂wx

∂z

+ ∂

∂xw′xw′

x + ∂

∂yw′xw′

y + ∂

∂zw′xw′

z. (5.14)

Die auf diese Weise resultierenden Gleichungen stimmen mit denen für die laminareStrömung überein bis auf die Glieder der Form w′

iw′j, die den Einfluss der turbulenten

Schwankungsbewegung auf den Impuls beschreiben. Der Ausdruck −ρw′xw′

y ist eingemittelter Impulsfluss je Flächeneinheit, also vergleichbar mit einer Schubspan-nung: An einer Fläche senkrecht zur Achse x wird eine Kraft in Richtung der Achsey hervorgerufen. Daher werden die Terme −ρw′

iw′j als Reynoldssche Spannungen

oder turbulente Schubspannungen bezeichnet.


In Verbindung mit Gl. (1.38a) ergibt sich folgender Zusammenhang mit demAnsatz von (Boussinesq 1877):

τt = −ρw′xw′

y = ρνt∂wx

∂y. (5.15)

Die turbulenten Schwankungsgrößen klingen in Richtung zur Rohrwand ab undwerden unmittelbar an der Rohrwand zu null, da dort die Wandhaftbedingung gilt.Das heißt aber, dass die Strömung in Wandnähe, wenn auch nur in einer außer-ordentlich dünnen Strömungsschicht, laminar sein muss. Diese Schicht wird alslaminare Unterschicht bezeichnet. Da die turbulenten Schubspannungen bei Annä-herung an die Wand verschwinden, kann νt keine Konstante sein. Das wandnaheGeschwindigkeitsprofil ist nur vom Wandabstand abhängig. Bezeichnet man mitwx die zur Wand parallele Geschwindigkeit und mit y die wandnormale Koordina-te, so ist wx(y), während die übrigen Geschwindigkeitskomponenten verschwinden,wy = wz = 0. In ebenen stationären, laminaren Strömungen mit geringem und deshalbvernachlässigbarem Druckgradienten vereinfacht sich die Impulsgleichung (1.80) zu

∂

∂y

(

η∂wx

∂y

)

= 0 oder∂τx(y)

∂y= 0, (5.16)

woraus sich ein lineares Geschwindigkeitsprofil wx(y) und eine konstante Schub-spannung τx(y) ergeben. Es ist also τx(y) = τw = konst. Da die Ausdehnung derlaminaren Unterschicht klein im Vergleich zum Rohrdurchmesser ist, kann die ebeneBetrachtung auch auf die Rohrströmung übertragen werden.

Im Fall der quasi-stationären turbulenten zweidimensionalen Grenzschichtströ-mung (bei der der Druckgradient vernachlässigt werden kann) ist

∂

∂y

(

η∂wx

∂y− ρw′

xw′y

)

= 0, (5.17)

woraus durch Integration

η∂wx

∂y− ρw′

xw′y = const = τw (5.18)

folgt. Die Integrationskonstante ist gleich der Wandschubspannung, da an der Wandy = 0 die Reynoldsschen Spannungen ρw′

xw′y = 0 verschwinden. Demzufolge ist die

Geschwindigkeit wx(y) eine nichtlineare Funktion von y. Gleichung (5.18) lässt sichumformen in:

τw

ρ= ν

∂wx

∂y− w′

xw′y. (5.19)

Wie man daraus erkennt, besitzt die Größe τw/ρ die Dimension eines Quadrats einerGeschwindigkeit. Man bezeichnet daher

wτ ≡ √τw/ρ (5.20)


Abb. 5.3 Zur PrandtlschenMischungsweghypothese

als Schubspannungsgeschwindigkeit. Um wx und damit den Geschwindigkeitsver-lauf in Wandnähe durch Lösen der Differenzialgleichungen (5.19) berechnen zukönnen, müssen die Reynoldsschen Spannungen w′

xw′y bekannt sein. Hierzu kann

die von (Prandtl 19594) aufgestellte Mischungsweghypothese genutzt werden:Ein Fluidelement befinde sich in einer turbulenten Grenzschicht im Abstand y

von der Wand wie in Abb. 5.3 dargestellt. Dieses besitze im Abstand y die mittlereGeschwindigkeit wx(y) und möge sich mit der Geschwindigkeit w′

y < 0 der Wandum eine kleine Strecke l′ nähern. Falls das Fluidelement dabei seine ursprünglichemittlere Geschwindigkeit beibehält, besitzt es am neuen Ort eine um �wx größereGeschwindigkeit als seine Umgebung. Der Geschwindigkeitsunterschied

�wx = wx(y) − wx(y − l′) = l′∂wx

∂y(5.21)

ist ein Maß für die Schwankungsgeschwindigkeit w′x. Das Fluidelement verdrängt

am neuen Ort andere und erzeugt so eine Quergeschwindigkeit w′y, die unter der

Annahme kleiner Schwankungsgeschwindigkeiten proportional zur Schwankungs-geschwindigkeit w′

x ist. Es sind daher w′x′ und w′

y proportional zu (l′ · ∂wx/∂y) mitder Proportionalitätskonstante C und somit


y = ρCl′2∣

∣

∣

∣

∂wx

∂y

∣

∣

∣

∣

∂wx

∂y(5.22)

oder mit Cl′2 = l2:


y = ρl2∣

∣

∣

∣

∂wx

∂y

∣

∣

∣

∣

∂wx

∂y. (5.23)

Durch die Schreibweise mit den Betragsstrichen wird sichergestellt, dass entspre-chend dem Newtonschen Ansatz für die laminare Strömung

τx(y) = η∂wx(y)

∂y(5.24)

4 Ludwig Prandtl 1875–1953, deutscher Physiker, lieferte grundlegende Erkenntnisse für Verständ-nis der Strömungsmechanik; nach ihm wurde die Prandtlzahl Pr benannt.


auch die turbulente Schubspannung τt das gleiche Vorzeichen wie der Geschwindig-keitsgradient ∂wx/∂y besitzt.

Nach (5.23) gilt für die turbulente kinematische Viskosität νt :

νt = l2∣

∣

∣

∣

∂wx

∂y

∣

∣

∣

∣

. (5.25)

Man bezeichnet die Größe l als Mischungsweg. Da die Reynoldsschen Spannungenan der Wand verschwinden, hat Prandtl hierfür den einfachen Ansatz

l = κy (5.26)

gewählt. Damit wird:


y = ρνt∂wx

∂y= ρκ2y2

∣

∣

∣

∣

∂wx

∂y

∣

∣

∣

∣

∂wx

∂y. (5.27)

Gleichung (5.19) für die Schichtenströmung geht über in:

wτ2 = ν

dwx

dy+ κ2y2

(

dwx

dy

)2

. (5.28)

Da (dwx/dy)> 0 sein soll, wurde hierbei |dwx/dy | (dwx/dy) zu (dwx/dy)2

vereinfacht. Durch Integration ergeben sich folgende Lösungen:

1. In der laminaren Unterschicht (y → 0) ist der zweite Term vernachlässigbar unddamit:

wx(y)

wτ

= wτ · yν

= y∗. (5.29)

Das Geschwindigkeitsprofil wird in der laminaren Unterschicht durch eine Geradeersetzt.

2. Im vollturbulenten Bereich in großer Entfernung von der Wand (y → ∞)überwiegt der zweite Term, und es gilt:

wτ2 = κ2y2

(

dwx

dy

)2

. (5.30)

Die Integration ergibt ein logarithmisches Geschwindigkeitsprofil:

wx(y)

wτ

= 1

κln

wτ y

ν+ C. (5.31)

Die Konstanten κ und C müssen aus Experimenten ermittelt werden. Man findetκ ≈ 0,4 und C ≈ 5.


Abb. 5.4 Geschwindigkeits-verteilung bei der turbulentenRohrströmung in Wandnähe

Tatsächlich geht die laminare Unterschicht kontinuierlich in den vollturbulen-ten Bereich über. Zwischen beiden liegt ein Übergangsbereich, so dass mandie Geschwindigkeitsverteilung an der Wand in drei Bereiche unterteilen kann,deren Grenzen aufgrund von Experimenten bestimmt wurden. Die laminare Un-terschicht erstreckt sich über den Bereich 0 < wτy/ν < 5, der Übergangsbereich über5 < wτy/ν < 40 . . . 60 und der vollturbulente Bereich über wτy/ν > 60. Den volls-tändigen Verlauf des Geschwindigkeitsprofils wx/wτ als Funktion von wτy/ν zeigtAbb. 5.4.

Die für die Rohrströmung gefundenen Zusammenhänge gelten analog auch fürdie Strömung an Platten und in Kanälen mit nicht kreisförmigem Querschnitt.

5.1.3 Strömungswiderstand in Rohren

Zur Berechnung des durch Wandreibung entstehenden Druckverlustes wird folgendeBeziehung verwendet:

(5.32)

Durch Gl. (5.32) wird der dimensionslose Widerstandsbeiwert ζ definiert. Für dielaminare Rohrströmung ergibt sich aus den Gln. (5.7) und (5.32):

(5.33)

Ab etwa Re ≈ 2300 wird die laminare Strömung unter normalen Bedingungen insta-bil, so dass durch Störungen erzeugte Geschwindigkeitsschwankungen nicht mehrabgebaut werden können. Die Strömung geht in den turbulenten Zustand über.


Abb. 5.5 Widerstandsbeiwert in Abhängigkeit von der Re-Zahl für verschiedene Rauigkeiten.(Nach Nikuradse 1933; Galavics 1936; Eck 1978)

Dieser Übergang macht sich in dem Widerstandsbeiwert ζ bemerkbar. Die Abhän-gigkeit ζ von der Reynoldszahl und verschiedenen bezogenen Rohrrauigkeiten R/kS

aus einer klassischen Arbeit von (Nikuradse5 1933) zeigt Abb. 5.5. Bei diesen Versu-chen wurde eine exakt bestimmte Rohrrauigkeit durch das Aufkleben ausgesiebtenSands einer definierten Korngröße erzeugt. Hierbei ist kS die Rauigkeitstiefe in mmgleichbedeutend mit dem Sandkorndurchmesser.

Nach dem Übergangsbereich (Re ≈ 5000) kann ζ für glatte Rohre bis Re = 105

durch das Blasiussche Gesetz (Blasius6 1913)

ζ = (100 Re)−1/4 (5.34a)

beschrieben werden. Für höhere Bereiche von Re ≈ 2 × 104 bis Re ≈ 2 × 106 gilt:

ζ = 0,0054 + 0,3964

Re0,3. (5.34b)

Bei noch höheren Reynoldszahlen (> 106) ist die implizite Gleichung von Prandtlund v. Kármán zu verwenden:

1√ζ

= −0,8 + 2log(Re ·√ζ ). (5.34c)

5 Johann Nikuradse 1894–1979, deutscher Ingenieur und Physiker, geboren in Georgien. WarDoktorand bei Ludwig Prandtl und später Professor an der Universität Breslau und der RWTHAachen.6 Heinrich Blasius 1883–1970, deutscher Ingenieur und Hochschullehrer an der heutigen Hochschu-le für Angewandte Wissenschaften Hamburg, befasste sich in seiner wissenschaftlichen Arbeit mitder mathematischen Behandlung der Grenzschichtgleichungen und war an der Universität Göttingeneiner der ersten Doktoranden von Ludwig Prandtl.


Abb. 5.6 Widerstandsbeiwert ζ von technisch rauen Rohren. (Nach Moody 1944)

Im laminaren Gebiet ist kein Einfluss der Rohrrauigkeit vorhanden. Die lamina-re Strömung „verschluckt“ die Unebenheiten und macht sie praktisch unwirksam.Im turbulenten Gebiet bleiben die Kurven umso länger auf der Kurve für glatteRohre, je kleiner die Rauigkeit ist. Erst wenn die Rauigkeitsspitzen aus der lami-naren Unterschicht ragen, wirken sich die Rauigkeiten in einer Strömungsstörungmit Wirbelbildung aus. Die laminare Unterschicht wird gemäß Abschn. 5.1.2 mitzunehmender Reynoldszahl dünner, so dass von einer gewissen Reynoldszahl an dieRauigkeitsspitzen aus der Unterschicht herausragen. Schließlich gehen alle KurveninAbb. 5.5 in eine horizontale Gerade über. Damit ist dann das Gebiet der vollständigausgebildeten Turbulenz erreicht, der Widerstandsbeiwert ist dann unabhängig vonder Reynoldszahl.

Die Messwerte in Abb. 5.5 sind mit künstlich und auf diese Weise sehr gleichmä-ßig angerauten Rohren ermittelt worden. Technische Rohre weisen eine deutlichungleichmäßigere Oberflächenbeschaffenheit auf. Die Abb. 5.67 enthält Wider-standsbeiwerte für technisch raue Rohre sowie Tab. 5.1 einige Angaben zu typischenRauigkeiten unterschiedlicher Materialien.

Die in diesem Abschnitt angegebenen Gleichungen gelten stets unter zweiVoraussetzungen. Einerseits muss es sich bei dem strömenden Fluid um ein New-tonsches Fluid handeln. Auf den Strömungswiderstand von nicht-NewtonschenFluiden wird in Abschn. 5.4 eingegangen. Andererseits muss ein voll ausgebildetesStrömungsprofil vorliegen. Tatsächlich besteht am Eintritt des Fluids in das Rohr

7 Lewis Ferry Moody 1880–1953, amerikanischer Ingenieur, erster Professor für Strömungsmecha-nik in Princeton


Tab. 5.1 Absolute Rauigkeit k für verschiedene Materialien in mm. (Kast 2002)

Material Bearbeitung k (mm)

Glas, Blei-, Kupfer-,Messingrohre gezogen 0 bis 0,0015Stahlrohre gezogen Neu 0,04 (0,02 bis 0,1)

Nach längerem Gebrauch gereinigt 0,15 bis 0,20Stahlblech verzinkt Glatt (Lüfterrohre) 0,07Stahlrohre verzinkt Normal galvanisiert 0,15Stahlrohre geschweißt Neu 0,05 (bis 0,1)

Gebraucht, gereinigt 0,15 bis 0,20Stahlrohre genietet 0,9 (0,5 bis 10)Gussrohre Neu 0,26 (bis 1)

Verkrustet 1,5 bis 4,0Betonrohre Glattstrich 0,3 (bis 0,8)

Rau 1,2 (bis 3)Bretter Ungehobelt 0,7

Gehobelt 0,2

eine Sondersituation, solange das Geschwindigkeitsprofil noch nicht vollständigausgebildet ist.

In Abb. 5.7 ist ein von einem Fluid durchströmtes Rohr dargestellt, und zwaroben für die laminare und unten für die turbulente Strömung. In beiden Fällen strömtdas Fluid an der Stelle z = 0 mit einem Kolbenprofil entsprechend der mittleren Ge-schwindigkeit w in das Rohr ein. Wie bei der überströmten Platte (Kap. 6) bildet sicheine fluiddynamische Grenzschicht aus, deren Dicke δ mit der Lauflänge z anwächst.Bei der laminaren Strömung erreicht die Grenzschicht nach der Einlauflänge zein dieRohrachse. Dann wird δ = R. Für z > zein bleibt das dann parabelförmige Geschwin-digkeitsprofil erhalten. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit in der Rohrachsevom Wert w bei z = 0 auf den Wert wmax = 2 w bei z = zein ansteigt und dann konstantbleibt. Die fluiddynamische Einlauflänge beträgt

zeind

≈ 0,058 Re, (5.35)

wenn sich die Geschwindigkeit in der Rohrachse bis auf eine Abweichung von 1 %dem Wert der Poiseuille-Strömung genähert hat (Stephan 1959).

Bei der turbulenten Strömung ändert sich das Strömungsprofil ebenfalls. Es bildetsich eine zunächst laminare Grenzschicht aus, welche anfangs zunimmt und nacheiner gewissen kritischen Lauflänge zkrit. turbulent wird. Dann entsteht in Rohrwand-nähe die laminare Unterschicht. Die turbulente Einlaufstrecke bis zur vollständigenAusbildung des Geschwindigkeitsprofils bewegt sich in dem Größenbereich (Kaysund Crawford 1980):

10 ≤ zeind

≤ 60.

Im Rahmen von Berechnungen des Wärme- und Stoffübergangs können turbulenteStrömungen bereits nach einer Einlauflänge von etwa 10 d als fluiddynamisch vollausgebildet angenommen werden.


Abb. 5.7 FluiddynamischerEinlauf bei laminarer (oben)und turbulenter (unten)Rohrströmung (δ: fluiddyna-mische Grenzschichtdicke);Zulauf jeweils alsKolbenströmung

Bei nicht kreisförmigen Querschnitten können für die turbulente Strömung dieGesetzmäßigkeiten des runden Rohrs übernommen werden. Der Rohrdurchmesserd ist in Gl. (5.32) und der Reynoldszahl durch den so genannten hydraulischenDurchmesser

(5.36)

zu ersetzen. Die Widerstandsbeiwerte können dann aus den Ergebnissen desrunden Rohres ermittelt werden. Einen Überblick über experimentell bestimmteWiderstandsbeiwerte für ausgewählte Querschnittsgeometrien vermittelt Abb. 5.8.(Weitere Ergebnisse s. (Kast 2002).) Für die laminare Strömung führen die hydrau-lischen Durchmesser zu fehlerhaften Berechnungen und können nicht verwendetwerden. In diesen Fällen müssen die Navier-Stokesschen Gleichungen gelöst werden.

5.1.4 Strömungen durch Rohrleitungssysteme

Bei der Berechnung des Druckabfalls in komplexen Rohrleitungen müssen außerden Verlusten in den geraden Rohrstecken auch diejenigen, die aus Einbauten, Quer-schnittsänderung und Umlenkungen entstehen, berücksichtigt werden. Außer denDruckänderungen, die sich gemäß der Bernoulli8 Gleichung

(5.37)

8 Daniel Bernoulli 1700–1782, Schweizer Mathematiker und Physiker aus der GelehrtenfamilieBernoulli, die bis heute viele berühmte Wissenschaftler und Künstler hervorgebracht hat. Zeitge-nosse und Freund Leonhard Eulers mit dem er die nach ihnen benannten Gleichungen erarbeitete.Der Bernoulli-Effekt hat größte Bedeutung in der Aerodynamik.


Abb. 5.8 Widerstandsbeiwerte ζ für glatte, gerade Rohre unterschiedlichen Querschnitts. (NachSchiller 1922)

infolge von Geschwindigkeits- bzw. Höhenänderungen ergeben, tritt demgemäß einzusätzlicher Druckverlust

ΔpR = ζEρ

2w2 (5.38)

auf. In der Praxis hängt der Widerstandsbeiwert ζE allein von der Geometrie abund ist im voll turbulenten Zustand unabhängig von der Reynoldszahl Re. Für wwird üblicherweise die mittlere Geschwindigkeit stromabwärts nach dem örtlichenHindernis eingesetzt.

Um den Gesamtwiderstand eines Rohrleitungssystems zu berechnen, werdensämtliche Teilwiderstände in einer Rohrleitung addiert:

ΔpRges =∑

i

(

ζρ

2w2L

d

)

i

+∑

j

(

ζEρ

2w2)

j. (5.39)

Hierbei stellt die erste Summe den Druckverlust aller geraden Rohrabschnitte dar,während die zweite Summe mit allen lokalen zusätzlichen Widerständen gebildetwird.

Für inkompressible Fluide ergibt sich, falls keine mechanische Energie (z. B. übereine Pumpe) eingetragen wird, zusammen mit der Bernoulli Gleichung folgenderZusammenhang:

ΔpRges = (p1 − p2) + ρ

2

(

w21 − w2

2

)+ ρg(H1 −H2). (5.40)

Für die verschiedenen Einbauten, Querschnittsänderungen und Umlenkungen exi-stiert eine Vielzahl von Messungen (s. z. B. Kast 2002). Ausgewählte Werte desWiderstandsbeiwerts ζE für unterschiedliche Geometrien enthält Abb. 5.9.


Abb. 5.9 Widerstandsbeiwerte ζE (bezogen auf die Abstromgeschwindigkeit) verschiedenerRohreinbauten und -umlenkungen für Re > 105. (Nach Beek et al. 1999)


Abb. 5.10 Zur Erläuterung des Stoffübergangs in einem unendlich langen Rohr

5.2 Stoffübergang

5.2.1 Laminare Strömung

Der im Weiteren betrachtete Stoffübergang tritt an der Innenwand eines Rohres mitdem Durchmesser d und der Länge L auf. Die Längskoordinate wird mit z unddie radiale Koordinate mit r bezeichnet. Es wird zunächst angenommen, dass dieKonzentration der diffundierenden Komponente A an der Wand, sowohl in Längs-als auch in Umfangsrichtung, konstant ist; sie wird mit ρAw bezeichnet. Durch dasRohr strömt ein Fluid mit der konstanten mittleren Geschwindigkeit w = V/A. DieGeschwindigkeitsverteilung soll die übliche Parabelform aufweisen. Gemäß Abb.5.10 ist die Partialdichte ρAein der diffundierenden Komponente am Rohreintritt beiz = 0 über den Querschnitt konstant. Da ρAein größer als ρAw ist, wird Stoff A vomFluid an die für A durchlässige Rohrwand übertragen. An der Stelle z ergibt sichdie in Abb. 5.10 dargestellte Verteilung der Partialdichte ρA über den Querschnitt.Der zugehörige Querschnittsmittelwert ist ρA. Bei unendlich langem Rohr, alsoz →∞, stellt sich im Fluid die Partialdichte ρAw ein, so dass ρA∞ = ρA∞ = ρAw gilt.Mit zunehmender Lauflänge z verringern sich die mittlere Partialdichte ρA und derDichtegradient (∂ρA/∂r )r=R an der Wand, so dass der örtlich auftretende StoffflussmAz ebenfalls mit z kleiner wird. Der bis zur Stelle z übertragene Stoffstrom MAz

nimmt mit der Lauflänge zu und erreicht asymptotisch den Maximalwert MA max.

5.2 Stoffübergang 147

Abb. 5.11 Rohrströmung, bei welcher das Rohr für z < zein stoffundurchlässig ist und Stoffübertra-gung nur im Bereich z > zein auftritt

Die differenzielle Stoffbilanz für dieses System ist in allgemeiner Form inGl. (1.90) gegeben. Folgende Vereinfachungen sind zu treffen:

1. stationärer Zustand ∂ρA/∂t = 02. Rotationssymmetrie wr = wϕ = 0, Ableitungen nach ϕ gleich 03. keine chemische Reaktion r = 04. Diffusion in axialer Richtung sei vernachlässigbar

Damit ergibt sich aus Gl. (1.90):

w(r)∂ρA

∂z= DAB

[

1

r

(

∂ρA

∂r+ r

∂2ρA

∂r2

)]

. (5.41)

Für die Geschwindigkeit gilt gemäß Gl. (5.5) und (5.7):

w(r) = 2w

[

1 −( r

R

)2]

. (5.42)

In den weiteren Betrachtungen wird unterstellt, dass der fluiddynamische Einlaufbereits abgeschlossen ist, bevor der Stofftransport beginnt (s. Abb. 5.11). DurchEinsetzen von w(r) in Gl. (5.41) ergibt sich die beschreibende Differenzialgleichung:

[

1 −( r

R

)2]

∂ρA

∂z= DAB

w 2R

R

r

(

∂ρA

∂r+ r

∂2ρA

∂r2

)

. (5.43)

Zur Lösung dieser Gleichung sind folgende Randbedingungen erforderlich:

1. RB: z = 0 r<R ρA = ρAein2. RB: z ≥ 0 r = 0 ∂ρA/∂r = 0 (Symmetrie)3. RB: z ≥ 0 r = R ρA = ρAw

Gleichung (5.43) kann nur numerisch gelöst werden. In Abb. 5.12 ist diese Lösung inallgemeiner Form dargestellt. Hierzu wurde Gl. (5.43) in folgenden dimensionslosenZusammenhang überführt:

1

2(1 − r∗2)

∂ξ

∂z∗ = ∂2ξ

∂r∗2+ 1

r∗∂ξ

∂r∗ . (5.44)


Abb. 5.12 LokaleKonzentration ξ für denStofftransport bei laminarerRohrströmung als Funktionvon r∗ und z∗. (Brauer 1985)

Dabei werden folgende dimensionslose Größen definiert:

Re ≡ wd

νReynoldszahl (5.45)

Sc ≡ ν

DAB

Schmidtzahl (5.46)

z∗ ≡ z/d

ReSc= z/d

PeEinlaufkennzahl (5.47)

r∗ ≡ r

Rbezogener Radius (5.48)

ξ ≡ ρA − ρAw

ρAein − ρAwbezogene Dichtedifferenz (5.49)

Zur Berechnung des örtlich auftretenden Massenstromes an der Rohrwand dient dasFicksche Gesetz (s. Abschn. 1.1.3):

MAz = −DABAz∂ρA

∂r

∣

∣

∣

∣

r=R. (5.50)

Hierin wird mit Az = d π�z ein kleiner Abschnitt der inneren Oberfläche des Rohresbezeichnet. Die gesamte innere Oberfläche ist A = dπL. Soll die Berechnung des ört-lichen Stoffstromes mittels eines lokalen Stoffübergangskoeffizienten β(z) erfolgen,so wird dieser durch die Beziehung

MAz ≡ Azβ(z)(ρA − ρAw) (5.51)

definiert. Aus den beiden Gleichungen für MAz erhält man für den örtlichenStoffübergangskoeffizient en β(z) die Berechnungsgleichung:

β(z) = − DAB

ρA − ρAw

∂ρA

∂r

∣

∣

∣

∣

r=R. (5.52)


Für die technische Anwendung ist weniger der örtliche Stoffstrom MAz als der überdie gesamte Rohroberfläche gemittelte Stoffstrom MA von Interesse. Er lässt sichmittels einer integralen Stoffbilanz berechnen:

MA = V (ρAein − ρA) = wπ

4d2 · (ρAein − ρA). (5.53)

Führt man einen mittleren Stoffübergangskoeffizienten β durch die Definitionsglei-chung

MA ≡ AβΔρA = πdLβΔρA (5.54)

ein, so folgt nach Gleichsetzen mit Gl. (5.53) die Berechnungsgleichung:

β = 1

4

w

L/d

ρAein − ρA

ΔρA. (5.55)

Es ist üblich, Stoffübergangskoeffizienten in Form der dimensionslosen Sherwood-zahl Sh darzustellen:

Sh ≡ βd

DAB

. (5.56)

Die mittlere Sherwoodzahl ergibt sich dann durch Integration von Gl. (5.52) zu:

Sh =−d

z

z∫

0

∂ρA

∂r

∣

∣

∣

∣

r=Rdz

ΔρA. (5.57)

�ρA bedeutet eine Dichtedifferenz, die in einer geeigneten Weise bestimmt werdenmuss. Das für den Stoffübergang geltende Gesetz muss also von dieser Definitionabhängen (s. Abschn. 1.3). Um Irrtümer auszuschließen, muss zu jedem theoreti-schen oder empirischen Stoffübergangsgesetz angegeben werden, welches die damitverbundene Dichtedifferenz ist. Bei der Rohrströmung verwendet man üblicherweisedie logarithmische Konzentrationsdifferenz �ρA ln:

ΔρA ln ≡ (ρAein − ρAw) − (ρA − ρAw)

lnρAein − ρAw

ρA − ρAw

. (5.58)

Bei laminarer Strömung müssen bezüglich des Stofftransportes folgende Fälleunterschieden werden:

1. Weder das Profil der Geschwindigkeit noch das der Konzentration ist ausgebildet.2. Das fluiddynamische Profil ist zwar ausgebildet, das Konzentrationsprofil jedoch

nicht.3. Sowohl das Geschwindigkeits- wie auch das Konzentrationsprofil ist ausgebildet.

Der Stoffübergang in diesen Fällen wird nun im Einzelnen beschrieben.


Laminare Anlaufströmung Wenn weder das Geschwindigkeits- noch das Konzen-trationsprofil ausgebildet ist, also eine Anlaufströmung für Geschwindigkeit undKonzentration vorliegt, ist dieser Fall ähnlich zur laminaren Strömung an der ebenenPlatte (s. Kap. 6). Dann erhält man:

(5.59)

die allerdings nur für z < zein gültig ist.

Ausgebildete Laminarströmung mit Konzentrationsanlauf Es gibt technische An-wendungsfälle, bei denen eine nennenswerte Stoffübertragung in Rohren erst auftritt,wenn die laminare Strömung fluiddynamisch ausgebildet ist, s. Abb. 5.11. Stoff wirderst bei z > zein übertragen. Derartige Fälle treten in der Praxis auf, wenn der fluid-dynamische Einlauf wesentlich schneller als der Einlauf des Konzentrationsprofilserfolgt. Dies gilt für Flüssigkeiten mit höherer Viskosität bzw. Schmidtzahl.

Durch einfache Integration der Gl. (5.43) gelangt man zu einer Beschreibung desKonzentrationsgradienten an der Wand (∂ρA/∂r)r = R. Durch Einsetzen in Gl. (5.57)gelangt man durch Integration zu folgendem Zusammenhang für die Sherwoodzahl:

Sh = 1,615

(

Re Scd

z

)1/3

. (5.60)

der bereits von (Lévêque 1928) hergeleitet wurde. Diese Gleichung gilt allerdings nurfür z∗ < 0,03. Denn nur bei kurzen Einlaufkennzahlen z∗ sind die Voraussetzungenerfüllt, welche bei der Herleitung der letzten Gleichung angenommen wurden. Fürgrößere Einlaufkennzahlen s. z. B. (Baehr und Stephan 2010).

Vollständig ausgebildete Laminarströmung Mit zunehmender Rohrlänge ist schließ-lich auch das Konzentrationsprofil ausgebildet. Dies ist dann der Fall, wenn die Dickeder Konzentrationsgrenzschicht dem Rohrradius entspricht. Gilt für die Einlaufkenn-zahl z∗ > 1,365 (Stephan 1959), wird die Sherwoodzahl konstant, was sich mit Hilfeeiner Iterationsrechnung zeigen lässt:

Sh = 3,66. (5.61)

Dies bedeutet, dass dann auch die Stoffstromdichte nicht mehr direkt von derLauflänge z bzw. der Rohrlänge L abhängt:

mA = 3,66DAB

dΔρA ln. (5.62)

Hierbei hängt ρA ln allerdings noch von der Lauflänge ab. Ähnlich wie bei derstationären Diffusion in einer Platte (s. Kap. 2), ist die Molenstromdichte demDiffusionskoeffizienten DAB und dem Konzentrationsgefälle �ρA ln direkt und ei-ner Ausdehnung in Richtung der Stoffstromdichte, hier dem Rohrdurchmesser,umgekehrt proportional.


Abb. 5.13 Sherwoodzahl der laminaren Rohrströmung in Abhängigkeit von der dimensionslosenLauflänge z∗ mit der Sc-Zahl als Parameter

In Abb. 5.13 ist der gesamte Verlauf der mittleren Sherwoodzahl in Abhängig-keit von der Einlaufkennzahl z∗ dargestellt. Hierbei wird die Einlaufkennzahl z∗ alsdimensionsloser Parameter gewählt, da der über die gesamte Lauflänge z übertra-gene Stoffstrom mit Hilfe der dimensionslosen Sherwoodzahl charakterisiert wird.Dieses Bild enthält die Gln. (5.59), (5.60) und (5.61) als Asymptoten der einzelnenKurven. Mit aufgenommen ist noch der Sonderfall Sc = 0 (reibungsfreie Strömung).Die Einlauflänge zur Ausbildung des Geschwindigkeitsprofiles ist hierbei sehr großim Vergleich zur Einlauflänge für das Konzentrationsprofil. Diese Grenzkurve giltdemzufolge für ein Fluid, das sich mit einem unveränderlichen Kolbenprofil durchdas Rohr bewegt. Für kurze Lauflängen ergeben sich die Gesetzmäßigkeiten der in-stationären Diffusion gemäß Abschn. 2.2 (Gl. (2.41)). Der Grenzwert für z → ∞ändert sich auf:

ShSc=0 = 5,76.

Zur Beschreibung der in Abb. 5.13 dargestellten Kurvenschar eignet sich folgendeempirische Gleichung (Brauer 1985):

Sh = 3,66 +0,188

(

Re Scd

z

)0,80

1 + 0,117

(

Re Scd

z

)0,467 . (5.63)

5.2.2 Turbulente Rohrströmung

Das Geschwindigkeitsprofil bei turbulenter Rohrströmung ändert sich vom Kol-benprofil am Einlauf bei z = 0 zum turbulenten Profil. Die zunächst laminare


Abb. 5.14 Zusammenhangzwischen Reaktionsstrom rAw

und Diffusionsstrom nA

Grenzschicht wird nach einer gewissen Länge zein turbulent. Nur an der Rohrwandexistiert noch eine dünne laminare Unterschicht. Für z > zein liegt ein vollständigausgebildetes turbulentes Geschwindigkeitsprofil vor. In der Literatur wird häufigeine empirische Gleichung von (Hausen 1959) empfohlen:

Sh = 0,037(

Re0,75 − 180)

Sc0,42

(

1 +(

d

z

)2/3)

. (5.64)

Da bei der turbulenten Rohrströmung kein ausgeprägtes radiales Geschwindig-keitsprofil vorliegt, gilt Gl. (5.64) mit praktisch gleicher Genauigkeit sowohl fürdie fluiddynamisch ausgebildete wie auch die nicht ausgebildete Strömung.

5.3 Stoffübergang mit heterogener chemischer Reaktion

Bereits inAbschn. 2.1.3 wurde die Problematik des Stofftransports mit gleichzeitigerheterogener chemischer Reaktion dargestellt. Im Fall der Rohrströmung ist nebender reinen Diffusion noch der konvektive Stofftransport zu berücksichtigen.

Die mathematische Beschreibung des Problems ist für den laminaren Fall durchGl. (5.43)

2

(

1 −( r

R

)2)

∂cA

∂z= DAB

wr

(

∂cA

∂r+ r

∂2cA

∂r2

)

(5.65)

gegeben. Gegenüber dem Stofftransport ohne chemische Reaktion ändert sich ledig-lich die 3. Randbedingung. An der Wand muss nun die Diffusionsstromdichte gleichder Reaktionsstromdichte sein. Für den Fall gemäß Abb. 5.14 dass die KomponenteA an der Wand durch Reaktion verbraucht wird, lautet die 3. RB. (r = R):

∂cA

∂r

∣

∣

∣

∣

r=R= −kAwn

DAB

cnAw. (5.66)

5.3 Stoffübergang mit heterogener chemischer Reaktion 153

Abb. 5.15 Konzentration-sprofile für verschiedeneWerte von z∗ und Daw. (NachBrauer 1985)

Gleichung (5.65) muss numerisch gelöst werden. Hieraus ergibt sich als ErgebniscA = cA (r, z, n, Da). Die Damköhlerzahl für die Rohrströmung wird mit dem Rohr-radius als charakteristischer Länge und cAein als charakteristischer Konzentrationgebildet:

Daw ≡ kAwnR

DAB

cn−1Aein. (5.67)

Zur Berechnung einer örtlichen Molstromdichte nAz mittels eines örtlichen Stoff-übergangskoeffizienten β(z) geht man von der Definitionsgleichung

nAz ≡ β(z)cA(z) (5.68)

aus. Hiernach wird die Molstromdichte nicht, wie es beim Stoffübergang ohnechemische Reaktion üblich ist, einer Dichtedifferenz, sondern unmittelbar der imbetrachteten Querschnitt herrschenden mittleren Konzentration cA(z) proportionalgesetzt. Dieses Vorgehen resultiert aus der Tatsache, dass die Wandkonzentrationvom Stofftransport selbst im Zusammenwirken mit der Reaktion festgelegt wird.Daher kann cAw für die Berechnungen nicht ohne weiteres bestimmt werden. DieserStoffstrom ist gleich dem durch die Reaktion verbrauchten, woraus für den lokalenStoffübergangskoeffizienten folgt:

β(z) = kAwncnAw

cA(z). (5.69)

Umgeformt ergibt sich aus Gln. (5.67) und (5.69):

Shz = β(z)d

DAB

= 2Daw

(

cAw

cAein

)n−1 (cAw

cA(z)

)

. (5.70)

In Abb. 5.15 ist die berechnete Konzentrationsverteilung über dem bezogenen Rohr-radius für unterschiedliche Damköhlerzahlen und dimensionslose Lauflängen z∗ bei


Abb. 5.16 Mittlere Konzentration ξ als Funktion von z∗ für verschiedene Daw. (Nach Brauer 1985)

einer Reaktion 1. Ordnung dargestellt. Durch die Kennzahl z∗ werden als besonderswichtige Einflussgrößen die mittlere Geschwindigkeit w und die Lauflänge z erfasst.Bei z∗ = 0 gilt gemäß der Voraussetzungen über den ganzen Querschnitt cA/cAein = 1.Mit wachsenden Werten von z∗ nimmt die Wandkonzentration cAw ab, und das Kon-zentrationsgefälle dehnt sich über den ganzen Querschnitt aus. Der Gradient an derWand und somit auch die Reaktionsstromdichte rA sind bei z∗ = 0 am größten. Siewerden mit steigenden Werten von z∗ kleiner und streben für z∗ → ∞ gegen null.

Die über den jeweiligen Querschnitt gemittelte Konzentration cA berechnet sichgemäß:

cA = 1

wA

R∫

0

cAw(r)2πrdr. (5.71)

Die Abhängigkeit der gemittelten Konzentration cA/cAein von der Einlaufkennzahlz∗ für verschiedene Werte der Daw-Zahl ist in Abb. 5.16 dargestellt. Alle Wertefür cA/cAein liegen zwischen den Grenzkurven für Daw = 0 und Daw → ∞. Jegrößer die Damköhlerzahl ist, desto schneller wird die Komponente A abgebaut. FürDaw → ∞ ergibt sich der schnellstmögliche Umsatz.

5.4 Strömungen nicht-Newtonscher Flüssigkeiten

5.4.1 Geschwindigkeitsprofile

Bei der Strömung nicht-Newtonscher Flüssigkeiten in Rohren treten sowohl laminareals auch turbulente Zustände auf. Allerdings liegt der Großteil technischer Anwen-dungsfälle im Bereich der laminaren Strömung, da nicht-Newtonsche Flüssigkeitenüblicherweise relativ hohe Zähigkeiten aufweisen.

5.4 Strömungen nicht-Newtonscher Flüssigkeiten 155

Aus der Impulsbilanz für die ausgebildete laminare Strömung in Rohren folgtanalog Gl. (5.1):

dp

dz= Δp

Δl= 1

r

d

dr(rτ ) mit Δp = p2 − p1. (5.72)

Die Randbedingungen lauten:

1. RB: r = R: w = 0 (Wandhaftbedingung)2. RB: r = 0: dw/dr = 0 (Symmetriebedingung)

Das Einsetzen des Ostwald-de Waele Ansatzes gemäß Gl. (1.106) in Gl. (5.72), dieanschließende Integration der Gleichung und die Ermittlung der Konstanten aus denRandbedingungen liefern folgende Gleichung für die Geschwindigkeit:

w(r) =(−Δp/Δl

2k

)1/nR1+1/n

1 + 1

n

(

1 −( r

R

)1+1/n)

. (5.73)

Der Druckverlust �p und die Wandschubspannung τw sind über die Kräftebilanzdurch folgende Beziehung miteinander verknüpft:

|τw| = −ΔpΔl

R

2. (5.74)

Das Betragszeichen trägt der Tatsache Rechnung, dass es sich bei τ um einevektorielle Größe handelt, die im vorliegenden Fall als Folge der Richtung negativ ist.

Fasst man beide Gleichungen zusammen, erhält man:

w(r) = (|τw|/k )1/nR

1 + 1

n

(

1 −( r

R

)1+1/n)

. (5.75)

Mit dieser Gleichung lassen sich die mittlere Geschwindigkeit w sowie die maximaleGeschwindigkeit wmax berechnen. Mit

w = V

A= 2

R2

R∫

0

w rdr (5.76)

folgt

w = (|τw|/k )1/nR

3 + 1

n

(5.77)

und:

wmax = w1 + 3 n

1 + n. (5.78)

Hierin ist V der Volumenstrom und A die Querschnittsfläche des Rohres.


Abb. 5.17 Geschwindigkeitsprofile für verschiedene nicht-Newtonsche Fluide bei laminarer Rohr-strömung; n = 0 und n = 0,3 für pseudoplastische Fluide; n = 1 für Newtonsche Fluide; n = 1,5 undn → ∞ für dilatante Fluide

Die Geschwindigkeitsprofile im Rohr bei laminarer Strömung für verschiedeneWerte des Fließexponenten n zeigt Abb. 5.17. Für den Grenzfall n = 0 ergibt sichdas Profil einer Kolbenströmung, in dem die Geschwindigkeit für alle r < R konstantist. Infolge der Wandhaftung ergibt sich jedoch ein unendlich großer Geschwindig-keitsgradient an der Wand. Für n = 1 bildet sich das Parabelprofil der NewtonschenFlüssigkeitsströmung, für n → ∞ erhält man ein Kegelprofil, in welchem derGradient ∂w/∂r über den Rohrquerschnitt konstant ist.

Für die turbulente Rohrströmung von Ostwald-de Waele-Fluiden sind keine theo-retischen Gleichungen zur Berechnung der Geschwindigkeitsfelder verfügbar. Siezeigen aber grundsätzlich ähnliche Verläufe wie die in Abb. 5.17 dargestellten.

5.4.2 Widerstandsgesetz

Gesetze für die Strömung nicht-Newtonscher Fluide werden so aufgestellt, dass sieformal denen der Newtonschen Fluide entsprechen und für den Fall n = 1 in sieübergehen.

Der Widerstandsbeiwert ζ ist wie folgt definiert:

ζ ≡ 4 |τw|ρw2/2

= (p1 − p2)

ρw2/2

d

Δl. (5.79)

5.4 Strömungen nicht-Newtonscher Flüssigkeiten 157

Im laminaren Fall soll das Gesetz

ζ = 64

Ren−N(5.80)

gelten. Ren−N ist die Reynoldszahl für nicht-Newtonsche Fluide, für die eine reprä-sentative Viskosität ηrepr festgelegt werden muss. Für die laminare Strömung folgtaus der Hagen-Poiseuille-Gleichung (5.6):

η = R2

8w

(p1 − p2)

Δl= d2

32w

(p1 − p2)

Δl. (5.81)

Mit dem aus Gl. (5.79) folgenden Zusammenhang

|τw| = d

4

(p1 − p2)

Δl(5.82)

lässt sich die Viskosität eines Newtonschen Fluids bestimmen, dass den gleichenDruckverlust wie die nicht-Newtonsche Flüssigkeit besitzt:

ηrepr = |τw| d8w

. (5.83)

Damit ergibt sich für Ren−N folgende Definition:

Ren−N ≡ 8ρw2

|τw| = w(2−n)dnρ

k

(

1 + 3n

4n

)n

8n−1

. (5.84)

Es kann gezeigt werden, dass die Interpretation der Reynoldszahl als Verhältnis vonTrägheits- zu Reibungskräften auch für den Fall nicht-Newtonscher Fluide gültig ist.

Das vollständige Widerstandsdiagramm, das den laminaren Bereich sowie denturbulenten Bereich wiedergibt, zeigt Abb. 5.18. Hierbei wird für den turbulentenBereich der Zusammenhang (Dodge und Metzner 1959)

1√ζ

= − 0,2

n1,2+ 2

n0,75log

[

Ren−N(

ζ

4

)1−n/2]

(5.85)

angesetzt. Diese Beziehung ist an die Gleichung von Prandtl und v. KármánGl. (5.34 c) angelehnt, die für Newtonsche Fluide in glatten Rohren gültig ist. Diedurchgezogenen Kurven in Abb. 5.18 basieren auf experimentellen Ergebnissen von(Dodge und Metzner 1959), die gestrichelten Kurven stellen Extrapolationen unterVerwendung von Gl. (5.85) dar.

Während bei Newtonschen Fluiden die kritische Reynoldszahl, die den Um-schlag von der laminaren zur turbulenten Rohrströmung beschreibt, bei Rekrit = 2300liegt, ist sie bei nicht-Newtonschen Fluiden eine schwache Funktion des Fließexpo-nenten n.


Abb. 5.18 Widerstandsbeiwerte für verschiedene nicht-Newtonsche Fluide bei turbulenter Rohr-strömung. (Dodge und Metzner 1959)

5.5 Dispersion in Rohrströmungen

Als Folge der Geschwindigkeitsunterschiede über dem Querschnitt tritt bei Rohrströ-mungen eine Dispersion (s. Abschn. 4.2.2) auf. Für eine inkompressible laminareStrömung lautet die Mengenbilanz unter Einbeziehung der axialen Dispersion:

∂ci

∂t= −wmax

(

1 − r2

R2

)

∂ci

∂x+Dax

∂2ci

∂x2. (5.86)

Für den axialen Dispersionskoeffizienten in leeren, geraden Rohren gilt (Taylor1953):

Peax = wd

Dax

= 192

Re · Sc = 192DAB

wd. (5.87)

Jedoch kann Gl. (5.87) nur bei hohen Bodensteinzahlen verwendet werden: Bo = Peax

L/d > 200. Für Gase wird dieser Gültigkeitsbereich nur bei Rohren mit hohem L/dVerhältnis erreicht. Zum Beispiel ist für ein Gas mit Sc = 1, wie man aus Abb. 5.19erkennt, Pe < 5. Folglich ist ein Verhältnis L/d > 40 nötig um Bo > 200 einzuhalten.Für Flüssigkeiten, die höhere Schmidtzahlen und kleine Pecletzahlen aufweisen,sind noch wesentlich höhere L/d-Verhältnisse nötig.

Für die turbulente Strömung in freien Rohren ist eine exakte Berechnung desDispersionskoeffizienten nicht möglich. Bei turbulenter Strömung findet mit demzunehmend chaotischen Verlauf der Stromlinien eine räumliche Versetzung der Flui-delemente statt. Dabei ist die Dispersion in axialer Richtung größer als in der radialen

5.5 Dispersion in Rohrströmungen 159

Abb. 5.19 Peax als Funktionvon Re für einphasigeStrömung in leeren Rohren

Richtung. In der Regel ist die radiale Dispersion um den Faktor 5 bis 10 kleiner alsdie axiale Dispersion. Eine auf theoretischen Betrachtungen basierende Beziehung(Taylor 1954)

Peax ≈ 0,56/√

ζ (5.88)

stimmt nur für 104 < Re < 106 mit Messwerten zufrieden stellend überein. In Gl.(5.88) stellt ζ den Widerstandsbeiwert dar, der mit dem Blasiusschen Gesetz Gl.(5.34a) berechnet werden kann.

Da eine mathematische Behandlung dieser Phänomene trotz bedeutender Fort-schritte noch nicht zu praktisch verwertbaren Ergebnissen geführt hat, ist mannoch auf die empirische Beschreibung angewiesen. Für Re > 2000 hat sich der Zu-sammenhang von (Levenspiel 1962) zur Beschreibung der vorliegenden Messdatenbewährt:

Peax = wd

Dax

=(

3 · 107

Re2,1 + 1,35

Re0,125

)−1

. (5.89)

Abbildung 5.19 verdeutlicht, dass Peax für die turbulente Strömung in leeren Rohrenmit Re > 104 größer als 2 ist; für ein Verhältnis L/d von z. B. 50 ist dann Bo > 100,womit eine starke Annäherung an das ideale Strömungsrohr vorliegt. (Bo > 100 ent-spricht gemäß Gl. (4.40) einer Rührkesselkaskade mit etwa 50 Kesseln, die sichannähernd wie ein ideales Strömungsrohr verhält, wie Abb. 4.10 zeigt.) Die Di-spersion in Rohren lässt sich durch Einbauten, Lochbleche, Schüttungen u. ä. nochdeutlich reduzieren, falls erforderlich (s. auch Abschn. 8.4).


5.6 Verständnisfragen

1. Erläutern Sie die Geschwindigkeitsprofile bei laminarer und turbulenter Rohr-strömung.

2. Erläutern Sie die Prandtlsche Mischungsweghypothese.3. Skizzieren und erläutern Sie den Verlauf der mittleren Geschwindigkeit bei

turbulenter Strömung in der Nähe der Rohrwand.4. Skizzieren und erläutern Sie die Abhängigkeit des Widerstandskoeffizienten ζ

von der Re-Zahl in den verschiedenen Bereichen.5. Beschreiben Sie die Ausbildung der Geschwindigkeitsprofile am Rohreinlauf

für die laminare und die turbulente Strömung.6. Wie lässt sich der Druckverlust in Rohren mit unrundem Querschnitt berechnen?

Welche Strömungsform muss dazu vorliegen?7. Skizzieren Sie die Abhängigkeit der mittleren Sherwoodzahl von der Einlauf-

kennzahl z∗ und erläutern Sie die unterschiedlichen Bereiche.8. Warum muss für die Lösung der differenziellen Stoffbilanz bei der laminaren

Rohrströmung das Geschwindigkeitsprofil bekannt sein?9. Welchen Einfluss hat der fluiddynamische Einlauf auf den Stofftransport bei der

laminaren und der turbulenten Rohrströmung? Begründen Sie Ihre Antwort.10. Welche Änderung tritt in der mathematischen Beschreibung des Stoffübergangs

bei laminarer Rohrströmung durch eine heterogene chemische Reaktion auf?11. Wie ist der Stoffübergangskoeffizient bei heterogenen chemischen Reaktionen

definiert? Wodurch erklärt sich diese Besonderheit?12. Skizzieren und erläutern Sie die Konzentrationsprofile bei laminarer Rohrströ-

mung mit heterogener chemischer Reaktion für unterschiedliche Lauflängen undDamköhlerzahlen in Abhängigkeit von der radialen Koordinate.

13. Wie berechnet sich die mittlere Konzentration einer Komponente in einembestimmten Querschnitt?

14. Warum tritt für Daw → ∞ beim Stofftransport mit heterogener Reaktion keinunendlicher Konzentrationsgradient an der Rohrwand auf?

15. Stellen Sie den Zusammenhang zwischen dem Widerstandsbeiwert und derRe-Zahl für nicht-Newtonsche Fluide mit unterschiedlichen Fließexponentenschematisch dar.

16. Skizzieren Sie den Zusammenhang zwischen der Pecletzahl und der Reynolds-zahl zur Beschreibung der axialen Dispersion.

5.7 Aufgaben

1. Olivenöl soll durch eine 10 m lange horizontale Stahlrohrleitung (gereinig-ter Zustand) mit 3 cm Durchmesser von einem Kessel zur Flaschenabfüllungtransportiert werden. Olivenöl hat eine Dichte von 890 kg/m3 und eine kinema-tische Viskosität von ν = 110 × 10− 5 m2/s. Die mittlere Geschwindigkeit beträgt

5.7 Aufgaben 161

0,55 m/s. In der Rohrleitung befinden sich zwei 90 ◦-Krümmer sowie ein Ventil(ζE = 4,6).

a. Wie viele Flaschen á 0,7 l können pro Stunde gefüllt werden?b. Berechnen Sie den Druckverlust in der Rohrleitung sowie die benötigte

Pumpenleistung.c. Was kostet der Betrieb der Pumpe pro Tag, wenn eine Kilowattstunde 0,08 €

kostet?d. Wie groß wäre der Leistungsbedarf bei einerVerdopplung derAbfüllkapazität?

2. Nach den Messungen von Nikuradse (Abb. 5.5) weicht der Druckverlust einestechnisch rauen Rohres im turbulenten Zustand dann von dem des glatten Rohresab, wenn die Rauigkeitsspitzen aus der laminaren Unterschicht herausragen.

Überprüfen Sie diese Tatsache am Beispiel der Kurve für R/ks = 126 durch denVergleich der Rauigkeitshöhe mit der Dicke der laminaren Unterschicht.

3. Autokatalysatoren bestehen aus keramischen Wabenkörpern als Katalysatorträ-ger. Ein solcher Wabenkörper kann als Bündel quadratischer Kanäle betrachtetwerden.

Abgas Katalysator

Volumenstrom: V = 0,11 m3/s Kanalanzahl: n = 650Kanalbreite: B = 2 mm

Dichte: ρ = 1,4 kg/m3 Kanallänge: L = 30 cmkin. Viskosität: ν = 1,8 × 10− 5 m2/s Rohrrauigkeit: k/d = 0,015

a. Wie groß ist der Leistungsverlust, der durch den Einbau eines Abgas-Katalysators im Auto entsteht?

b. Diskutieren Sie, welche Vereinfachungen getroffen wurden, und wie sie dasberechnete Ergebnis beeinflussen.

4. Bei Rohrleitungen – z. B. Überlandleitungen für Wasser, Dampf, Gas und Erdöl– ist eine Optimierung des Rohrdurchmessers von ökonomischer Bedeutung.Mit steigendem Durchmesser sinkt der Widerstand. Es wird also durch einenMehraufwand an Investitionskosten beim Bau einer Rohrleitung eine Einsparungvon Betriebskosten (Pumpenenergie) erreicht. Die niedrigsten Gesamtkosten sindzu ermitteln.Durch eine horizontale Rohrleitung von 4 km Länge sollen in einer Stunde6000 mN

3 (mN3 = Norm-Kubikmeter, p = 1013 hPa, T = 0 ◦C) Methan bei 20 ◦C

Betriebstemperatur (η = 0,0115 mPas) und einem Druck von 3 bar gefördertwerden. Als Material wird gezogener Stahl (gereinigt) verwendet. Die Einzelwi-derstände, hervorgerufen durch Rohrleitungseinbauten (Krümmer, Schieber etc.)sollen 10 % des Rohrreibungswiderstandes der geraden Rohrstrecke ausmachen.Der Gesamtwirkungsgrad der Fördereinrichtungen (Gebläse und E-Motor) be-trägt 50 %. Es handelt sich um eine isotherme Gasströmung (ρ ≈ konst.).

a. Ermitteln Sie den wirtschaftlich günstigsten Rohrleitungsdurchmesser D,wenn folgende Daten bekannt sind:


spez. Kosten für die Elektroenergie(Strompreis):

kE = 0,08 €/kWh

spez. Abschreibungskosten derRohrleitung:

kA = 51,13 €/(a m m) (pro Jahrund Meter Rohrlänge und MeterDurchmesser)

spez. Instandhaltungskosten: kI = 15,34 €/(a m m)

Bei der Kostenermittlung ist mit 330 d/a (Arbeitstage pro Jahr) und einerBetriebsdauer von 24 h/d zu rechnen.

Hinweise: Kleinere Rohrdurchmesser bedeuten zwar niedrige Investitions-und Instandhaltungskosten, die Reibungsverluste sind jedoch wegen der höhe-ren mittleren Geschwindigkeit sehr hoch. Höhere Reibungsverluste bedeutenaber Gebläse mit E-Motoren größerer Leistung. Die Kosten für die Elektro-energie steigen also mit kleineren Durchmessern. Die Gesamtkosten müssenüber dem Rohrdurchmesser ein Minimum haben.Ermitteln Sie eine Funktion Kges = f(D) für 4 km Rohrlänge, die sich aus denjährlichen Einzelkosten Kges = KE + KI + KA zusammensetzt.Bei der Berechnung der Kosten für die Elektroenergie soll folgende Glei-chung9 zur Bestimmung der elektrischen Leistung verwendet werden:

Pel = V ·Δpgesηel

Zu beachten ist, dass sich die Gesamtdruckdifferenz �pges näherungsweiseaus dem Reibungsdruckverlust und dem Druckverlust durch Einbauten zu-sammensetzt. Die Schätzung des Rohrdurchmessers liegt bei D = 0,5 m. Esstehen Rohre D = 0,3; 0,5; 0,7 m zur Verfügung. Der Durchmesser, der demerrechneten am nächsten kommt, ist auszuwählen.Nach der Ermittlung des günstigsten Rohrleitungsdurchmessers sind weiterhinzu bestimmen:

b. mittlere Strömungsgeschwindigkeit in der Rohrleitung,c. Strömungsart,d. Gesamtdruckverlust in der Rohrleitung (mit allen Anteilen) beim Nennvolu-

menstrom,e. elektrische Gebläseleistung undf. jährliche Gesamtkosten.

5. Der Spalt (Weite 1 mm) zwischen zwei 100 cm2 großen horizontalen Plattenist mit einer viskosen Newtonschen Flüssigkeit der Dichte 1000 kg/m3 und derViskosität 100 Pas gefüllt.10

a. Welche Kraft muss im stationären Zustand aufgewendet werden, um einePlatte mit einer Geschwindigkeit von 1 cm/s parallel zur anderen zu bewegen?

b. Nach welcher Zeit ist der stationäre Zustand erreicht?

9 Erläuterung zur Gleichung: ηel = Pmech/Pel Wirkungsgrad, Pmech = V�pges → Pel = V�pges/ηel10 Nach (Beek et al. 1999).

5.7 Aufgaben 163

Abb. 5.20 Semipermeable Rohrmembran

6. Über eine semipermeable Rohrmembran soll einem einphasigen flüssigen Zwei-komponentengemisch (DAB = 1 × 10− 7 m2/s, ν = 2 × 10− 6m2/s) die KomponenteA entzogen werden. Der Volumenstrom durch das Rohr (d = 5 mm) beträgt15 cm3/s. Die Anfangskonzentration beträgt ρA0 = 0,3 kg/m3, die Wandkonzen-tration liegt bei konstant ρAw = 0,01 kg/m3. Vor die Rohrmembran ist eine 0,5 mlange Einlaufstrecke gesetzt.

a. Um welche Strömungsform handelt es sich, und ist die Strömung nach demersten halben Meter der Rohrleitung ausgebildet?

b. Bestimmen Sie für den Rohrabschnitt mit der Membran den mittlerenStoffübergangskoeffizienten.

c. Wie viel Rohre dieser Art benötigt man, um pro Stunde 3 kg von Stoff Aabzutrennen? (Hinweis: Die mittlere Konzentration kann aus Abb. 5.16 ermit-telt werden, wenn man annimmt, dass der Fall unendlich schneller Reaktionquantitativ mit dem Fall rein physikalischer Absorption übereinstimmt.)

d. Zeichnen Sie die Konzentrationsprofile an den Stellen 2, 3 und 4 in der Abb.qualitativ ein. Zeichnen Sie zusätzlich den Endzustand bei unendlich lan-ger Membran ein. Markieren Sie die Wandkonzentration und die mittlereKonzentration für alle Fälle (Abb. 5.20).

7. Für einen Membranbioreaktor soll die Crossflow-Pumpe ausgesucht werden.Das verwendete keramische Membranmodul hat eine Länge von 1 m und 19zylindrische Kanäle mit jeweils 3,3 mm Innendurchmesser (k/d = 0,05). Zur Auf-rechterhaltung einer zum Deckschichtabtrag ausreichend hohen Scherspannungsoll die mittlere Geschwindigkeit mindestens 1,2 m/s betragen. Die Geschwin-digkeitsverringerung entlang eines Kanals aufgrund des Permeatabzugs seivernachlässigbar (Vfeed � Vpermeat). Zu Beginn des Prozesses liegt wässrigesNährmedium vor. Im weiteren Verlauf verändert sich durch Biomassewachstumdas rheologische Verhalten der Suspension (kend = 110 mPas0,6, nend = 0,6), dieDichte kann allerdings noch annähernd als Wasserdichte angesehen werden.

a. Wie groß ist der Druckverlust im Membranmodul zu Beginn und am Ende desProzesses?

b. Welche Förderleistung muss die Pumpe haben?


c. Welche mittlere Geschwindigkeit darf nicht unterschritten werden, um einezur Deckschichtabtragung mindestens notwendige Scherspannung von 7 N/m2

zu erzeugen?

Literatur

Allgemein

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Speziell

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Transportvorgänge in der Verfahrenstechnik || Strömungen in Rohren