Tutorium: Vorbereitung der Bonusklausur am 26.05.2014 (Teil 2)mathe.stevenkoehler.de/wp-content/files/ss2014/Tutorium_2014-05-21.pdfTutorium: Analysis und Lineare Algebra Vorbereitung

Tutorium: Analysis und Lineare Algebra

Vorbereitung der Bonusklausur am 26.05.2014(Teil 2)

Steven Kö[email protected]

mathe.stevenkoehler.de

© 2014 Steven Köhler 21. Mai 20142

Kurvendiskussion

21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler3

Bei einer Kurvendiskussion sollten die folgenden Eigenschaften

einer Funktion ÄuberprÄuft werden:

² De¯nitionsbereich

² Wertebereich

² Polstellen

² Nullstellen

² Extrempunkte

² Wendepunkte

² Monotonie

² KrÄummung

² Symmetrie

² Grenzwerte

² Asymptoten

Aufgabe 1


Bestimme die Asymptoten der folgenden Funktion:

f (x) =x2 ¡ 4x + 4

x ¡ 3:

Aufgabe 1 – Lösung I


Skizze der Funktion

Aufgabe 1 – Lösung II


Skizze der Funktion mit Asymptote x ¡ 1.

Differenzenquotient


Der Di®erenzenquotient ist de¯niert als¢f (x)

¢x=

f(x)¡ f(x0)

x¡ x0

.

Definition der Differenzierbarkeit I


Die reelle Funktion f hei¼t di®erenzierbar an der Stelle x0 2 D(f),

wenn der Grenzwert

limx!x0

f(x)¡ f(x0)

x¡ x0

existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit f 0(x0) und nennen

ihn Ableitung von f an der Stelle x0.

Definition der Differenzierbarkeit II


Die reelle Funktion f hei¼t di®erenzierbar an der Stelle x0 2 D(f),

wenn der Grenzwert

limh!0

f(x0 + h)¡ f(x0)

x0 + h¡ x0

existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit f 0(x0) und nennen

ihn Ableitung von f an der Stelle x0.

Polynomfunktionen I


f(x) = x f(x) = x2

Polynomfunktionen II


f(x) = x3 f(x) = x4

Polynomfunktionen III


³xn

´0= n ¢ xn¡1

Exponentialfunktionen I


f(x) = ex f(x) =³

12

´x

Exponentialfunktionen II


³ex

´0= ex

³ax

´0= ax ¢ lna

Logarithmusfunktionen I


f(x) = lnx

Logarithmusfunktionen II


³lnx

´0=

1

x³logax

´0=

1

lna ¢ x³logax

´0= logae ¢

1

x

Wurzelfunktionen I


f(x) =p

x f(x) = 5p

x

Wurzelfunktionen II


³px´0

=1

2 ¢p

x³px´0

=³x

12

´0=

1

2¢ x¡

12

³np

x´0

=1

n ¢np

xn¡1³np

x´0

=³x

1n

´0=

1

n¢ x

1n¡1

³np

xm

´0=

³x

mn

´0=

m

n¢ x

mn¡1

Trigonometrische Funktionen I


f(x) = sin x f(x) = cos x

Trigonometrische Funktionen II


f(x) = tanx =sinx

cosxf(x) = cotx =

1

tan x=

cosx

sin x

Trigonometrische Funktionen III


³sin x

´0= cos x

³tan x

´0=

1

cos2 x³cos x

´0= ¡ sin x

³tan x

´0= 1 + tan2 x³

¡ sin x´0

= ¡ cos x³cot x

´0=

¡1

sin2 x³¡ cos x

´0= sin x

³cot x

´0= ¡1 ¡ cot2 x

Trigonometrische Funktionen IV


f(x) = arcsinx f(x) = arccosx

Trigonometrische Funktionen V


f(x) = arctanx f(x) = arccotx

Trigonometrische Funktionen VI


³arcsinx

´0=

1p

1 ¡ x2³arccosx

´0=

¡1p

1 ¡ x2³arctanx

´0=

1

x2 + 1³arccotx

´0=

¡1

x2 + 1

Hyperbolische Funktionen I


f(x) = sinhx =1

2

³ex ¡ e¡x

´f(x) = coshx =

1

2

³ex + e¡x

´

Hyperbolische Funktionen II


f(x) = tanhx =sinhx

coshxf(x) = cothx =

coshx

sinhx

Hyperbolische Funktionen III


³sinhx

´0= cosh x

³coshx

´0= sinhx

³tanhx

´0=

1

cosh2 x³tanhx

´0= = 1¡ tanh2 x³

cothx´0

=¡1

sinh2 x³cothx

´0= = 1¡ coth2 x

Ableitungsregeln


³u § v

´0= u0 § v0 (Summenregel)

³u ¢ v

´0= u0 ¢ v + u ¢ v0 (Produktregel)

³u

v

´0=

u0 ¢ v ¡ u ¢ v0

v2(Quotientenregel)

f³g(x)

´0= f 0

³g(x)

´¢ g0(x) (Kettenregel)

³f (x)g(x)

´0=

³eg(x)¢lnf (x)

´0(Logarithmisches Di®erenzieren)

Aufgabe 2


Bestimme die Ableitungen der folgenden Funktionen:

a) f1(x) = sin¡4x5 ¡ x3 + 5x2 + x¡ 23

¢b) f2(x) =

ptan (x) ¢ arctan (ln (x))

c) f3(x) = (sin x)3x2¡x+3

d) f4(x) = xe ¢ cos (5 ¢p

x) ¢ log2 x

Aufgabe 3


Gegeben seien die beiden Funktionen

h1(x) =¡1

sin2 (x)und h2(x) = ¡1 ¡ cot2 (x):

BestÄatige mithilfe der Quotientenregel, dass es sich sowohl bei h1

als auch bei h2 um eine Ableitung der Funktion h(x) = cot (x)

handelt.

Aufgabe 4


Gegeben seien die beiden Funktionen

sinh (x) =1

2

³ex ¡ e¡x

´und cosh (x) =

1

2

³ex + e¡x

´:

Bestimme die Extrem- und Wendepunkte der Funktionen sinh und

cosh.

Aufgabe 4 - Funktionsgraphen


Graph von sinh (x) Graph von cosh (x)

Aufgabe 5


Bestimme die Ableitung der folgenden Funktion:

f(x) = sin

Ãrln

³tan

³(3x + 1)

2´´!

:

Ober- und Untersummen I


Untersumme

Un =b¡ a

n¢

n¡1Xi=0

f

μa + i ¢

b¡ a

n

¶

Ober- und Untersummen II


Obersumme

On =b¡ a

n¢

nXi=1

f

μa + i ¢

b¡ a

n

¶

Ober- und Untersummen III


Das Integral ist der Grenzwert der Ober- bzw. Untersumme:

bZa

f(x) = limn!1

On = limn!1

Ãb¡ a

n¢

nXi=1

f

μa + i ¢

b¡ a

n

¶!=

hF (x)

ib

a

bZa

f(x) = limn!1

Un = limn!1

Ãb¡ a

n¢

n¡1Xi=0

f

μa + i ¢

b¡ a

n

¶!=

hF (x)

ib

a

Insbesondere gilt:

limn!1

On = limn!1

Un

Ober- und Untersummen IV


nXi=0

i =n(n + 1)

2

nXi=0

i2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

nXi=0

i3 =n2(n + 1)

2

4

nXi=0

i4 =n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n¡ 1)

30

nXi=0

i5 =n2(n + 1)

2(2n2 + 2n¡ 1)

12

Aufgabe 6


Berechne die FlÄache, die von der x-Achse, den beiden Geraden

x = 0 und x = 1 sowie der Funktion f (x) selbst eingeschlossen

wird, mithilfe einer Obersumme:

f (x) = 2x2 + x:

ÄUberprÄufe das Ergebnis mithilfe des entsprechenden bestimmten

Integrals.

Potenzen


Zxn dx = 1

n+1xn+1 + c

Wurzeln


Z1

2p

xdx =

px + c

Z1

n ¢np

xn¡1dx = n

px + c

Zp

x dx =2

3x

32 + cZ

mp

xn dx =m

n + mx

n+mm + cZ

1mp

xndx =

m

m ¡ nx

m¡nm + c

Exponentialfunktionen


Zex dx = ex + cZ

ax ln a dx = ax + cZax dx =

1

ln aax + c

Logarithmen


Z1

xdx = ln jxj + cZ

1

ln a ¢ xdx = logajxj+ cZ

logae ¢1

xdx = logajxj+ cZ

ln x dx = x ¢ ln x ¡ x + cZlogax dx =

1

ln a

³x ¢ ln x ¡ x

´+ c

Trigonometrische Funktionen I


Zsin x dx = ¡ cos x + c

Zcos x dx = sin x + c

Z¡ sin x dx = cos x + c

Z¡ cos x dx = ¡ sin x + c

Z1

cos2 xdx = tan x + c

Z ³1 + tan2 x

´dx = tan x + c

Z¡1

sin2 xdx = cot x + c

Z ³¡1 ¡ cot2 x

´dx = cot x + c

Trigonometrische Funktionen II


Z1

p1 ¡ x2

dx = arcsinx + c

Z¡1

p1 ¡ x2

dx = arccosx + c

Z1

x2 + 1dx = arctanx + c

Z¡1

x2 + 1dx = arccotx + c

Partielle Integration I


Die partielle Integration basiert auf der Produktregel:¡u ¢ v

¢0= u0v + uv0

Durch Integration erhÄalt man:Z ¡u ¢ v

¢0=

Z ¡u0v + uv0

¢uv =

Zu0v +

Zuv0

Anschlie¼endes Umstellen ergibt:Zu0v = uv ¡

Zuv0Z

uv0 = uv ¡

Zu0v

Aufgabe 7


Bestimme die folgenden Integrale mit partieller Integration:

a)

Z(2x2 ¡ 3) ¢ cos (3x) dx

b)

Zsin x ¢ cos x dx

Integration durch Substitution I


Integration durch Substitution macht Verwendung von der Ket-

tenregel:

F³g(x)

´0= f

³g(x)

´¢ g0(x):

Durch Integrieren ergibt sich:ZF

³g(x)

´0dx =

Zf³g(x)

´¢ g0(x) dx

F³g(x)

´=

Zf³g(x)

´¢ g0(x) dx:

Integration durch Substitution II


Es sei f eine auf dem Intervall I stetige Funktion und es soll dortRf (x) dx berechnet werden. FÄur ein Intervall I 0 sei g : I 0 ! I

eine bijektive Funktion mit stetiger Ableitung. Dann lÄasst sichRf (x) dx berechnen, indem man

1.R

f¡g(t)

¢¢ g0(t) dt ermittelt;

2. im Ergebnis t = g¡1(x) substituiert (\Resubstitution").

FormelmÄa¼ig drÄuckt man dies hÄau¯g auch durch die folgende

Schreibweise aus:Zf (x) dx =

·Zf³g(t)

´¢ g0(t) dt

¸t=g¡1(x)

Aufgabe 8


Berechne das folgende Integral:

Ze

3p

7x+3 dx.

Funktionen mit speziellem Aufbau I


Manchmal liegen Funktionen in der folgenden Form vor:Zf 0(x)

f (x)dx:

Diese lassen sich direkt mit dem Logarithmus integrieren:Zf 0(x)

f (x)dx = ln

¯̄̄f (x)

¯̄̄:

Funktionen mit speziellem Aufbau II


Manchmal liegen Funktionen in der folgenden Form vor:Zf (x) ¢ f 0(x) dx:

Diese lassen sich wie folgt direkt integrieren:Zf (x) ¢ f 0(x) dx =

1

2

³f (x)

´2

:

Aufgabe 9


Berechne die folgenden Integrale:

a)

Zarctan x

x2 + 1dx

b)

Z1

p1 ¡ x2 ¢ arcsinx

dx

Tricks I


Teilweise fehlt lediglich ein konstanter Faktor c, um eine Funktion

direkt integrieren zu kÄonnen. Dieser kann durch eine \Multiplika-

tion mit 1" leicht hinzugefÄugt werden:Zf (x) dx =

Z1

c¢ c ¢ f (x) dx =

1

c

Zc ¢ f (x) dx:

Teilweise fehlt lediglich eine additive Konstante, um eine Funktion

direkt integrieren zu kÄonnen. Diese kann durch eine \Addition von

0" leicht hinzugefÄugt werden:Zf (x) dx =

Z ³f (x) + c ¡ c

´dx =

Z ³f (x) + c

´dx ¡

Zc dx:

Aufgabe 10


Bestimme die folgenden Integrale:

a)

Ze3x¡5 dx

b)

Z5x ¡ 2

x2 + 1dx

Integration rationaler Funktionen I


1. Schritt: Division mit Rest

Dieser Schritt ist nur notwendig, wenn der Grad des ZÄahlers

grÄo¼er oder gleich dem Grad des Nenners ist.

2. Schritt: Faktorzerlegung des Nenners

Zerlegung des Nenners in die folgende Form:

c ¢³x ¡ a1

´®1

¢ : : : ¢³x ¡ ar

´®r

¢³Q1(x)

´¯1

¢ : : : ¢³Qs(x)

´¯s

Hierbei gilt:

² (x ¡ ai) sind Linearfaktoren, ai Nullstellen des Nenners;

² Qi(x) sind quadratische Polynome ohne Nullstellen;

² ®i und ¯i sind die Vielfachheiten der jeweiligen Terme.

Integration rationaler Funktionen II


3. Schritt: Partialbruchzerlegung

f (x)

g(x)=

A11

(x ¡ a1)®1

+A12

(x ¡ a1)®1¡1

+ : : : +A1®1

(x ¡ a1)

...

+Ar1

(x ¡ ar)®r

+Ar2

(x ¡ ar)®r¡1

+ : : : +Ar®r

(x ¡ ar)

+p11x + q11¡Q1(x)

¢¯1+

p12x + q12¡Q1(x)

¢¯1¡1+ : : : +

p1¯1x + q1¯1

Q1(x)

...

+ps1x + qs1¡Qs(x)

¢¯s+

ps2x + qs2¡Qs(x)

¢¯s¡1+ : : : +

ps¯sx + qs¯s

Qs(x)

Integration rationaler Funktionen III


4. Schritt: Integration

Die Integration ¯ndet fÄur jeden bei der Partialbruchzerlegung

entstandenen Term separat statt; die Terme werden dabei in

vielen FÄallen auf die Ableitungen des Logarithmus oder des

Arcustangens zurÄuckgefÄuhrt.Zf (x)

g(x)=

ZA11

(x ¡ a1)®1

+

ZA12

(x ¡ a1)®1¡1

+ : : : +

ZA1®1

(x ¡ a1)

...

+

Zps1x + qs1¡Qs(x)

¢¯s+

Zps2x + qs2¡Qs(x)

¢¯s¡1+ : : : +

Zps¯s

x + qs¯s

Qs(x)

Aufgabe 11


Berechne die Integrale der folgenden rationalen Funktionen:

a)

Z¡x ¡ 2

x2 + 4x ¡ 7dx

b)

Z6x ¡ 5

2x2 + 2dx

Aufgabe 12


Bestimme das folgende Integral:Zx5 + 2x4 + x3 ¡ x2 + 7x + 15

x3 + 2x2 + 2x ¡ 5dx:

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