U N I V E R S I T A T R E G E N S B U R G

Naturwissenschaftliche Fakultat II - Physik

Anleitung zum Physikpraktikum fur Chemiker

Versuch”ww“: Wechselstromwiderstand

Dr. Tobias Korn

Manuel Marz

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung 2

2 Grundlagen 2

2.1 Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Zeigerdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Vorbereitungsaufgaben 8

4 Durchfuhrung 9

4.1 Strom und Spannung an einem Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Strom und Spannung an einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4 Hochpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.5 RLC-Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 GRUNDLAGEN

1 Einfuhrung

Passive elektrische Schaltungen enthalten Widerstande, Spulen (Induktivitaten) und

Kondensatoren (Kapazitaten). Das Verhalten dieser Elemente unter dem Einfluss einer

Wechselspannung ist die Grundlage fur das Verstandnis der Schaltungen. Die Bezie-

hung zwischen Wechselstrom und Wechselspannung, d.h. der Wechselstromwiderstand

von (Ohmschem) Widerstand R, Induktivitat L und Kapazitat C sowie das Resonanz-

verhalten verschiedener Schaltungen, insbesondere des RLC-Kreises, sollen gelernt und

erprobt werden.

2 Grundlagen

2.1 Kondensator

Der Spannungsabfall UC an einem an eine Wechselspannungsquelle angeschlossenen Kon-

densator (Abbildung 1) ist gleich der Generatorspannung UG = Umax cos(ωt):

UC(t) = Umax cos(ωt) (1)

Der Spannungsabfall am Kondensator ist gegeben durch

UC =q

C(2)

und damit

q = CUC = CUmax cos(ωt) = qmax cos(ωt) (3)

Die Stromstarke ist dann

I(t) =dq

dt= −ωqmax sinωt = −Imax sinωt (4)

UG UCC

Abbildung 1: An eine Wechselspannungsquelle angeschlossener Kondensator

- 2 -

2 GRUNDLAGEN 2.2 Spule

Mit Hilfe der Beziehung sinφ = −cos(φ+ π2 ) lasst sich das darstellen als:

I(t) = Imax cos(ωt+π

2) (5)

Das bedeutet Strom und Spannung sind um 90 phasenverschoben. Der Strom eilt hierbei

der Spannung um eine Viertelperiode voraus. Physikalisch lasst sich das folgendermaßen

verstehen: Die Ladung q am Kondensator ist proportional zum Spannungsabfall am

Kondensator UC . Sie nimmt am starksten zu wenn der Kondensator nicht geladen ist,

also UC = 0 ist. Dann ist der Strom I = dqdt maximal.

Die Beziehung zwischen den Maximalwerten von Strom und Spannung lasst sich auf eine

Form wie bei einem Ohmschen Widerstand bringen:

Imax = ω qmax = ωC Umax (6)

=UmaxXC

(7)

Dabei wird XC = 1ωC als kapazitiver Blindwiderstand bezeichnet.

Die momentane Leistungsaufnahme eines Kondensators ist gegeben durch

P (t) = U(t)I(t) = −UmaxImax cos(ωt) sin(ωt) (8)

Daraus folgt mit∫ T0 sin(ωt) cos(ωt)dt = 0, dass die mittlere Leistungsaufnahme am

Kondensator gleich Null ist.

2.2 Spule

Der Spannungsabfall UL an einer an eine Wechselspannungsquelle angeschlossene Spule

(Abbildung 2) ist gleich der Generatorspannung UG = Umax cos(ωt):

UL = Umax cos(ωt) (9)

der Spannungsabfall an der Spule ist gegeben durch

UL = LdI

dt(10)

und damit

dI =UmaxL

cos(ωt)dt (11)

- 3 -

2 GRUNDLAGEN 2.3 Zeigerdiagramme

UG ULL

Abbildung 2: An eine Wechselspannungsquelle angeschlossene Spule

durch Integration erhalt man die Stromstarke

I(t) =UmaxL

∫ t

0cos(ωt′)dt′ (12)

=UmaxωL

sin(ωt) (13)

mit sin(Φ) = cos(Φ− π2 ) und Imax = Umax

ωL kann der Strom ausgedruckt werden als

I(t) = Imax cos(ωt− π

2) (14)

Das bedeutet dass Strom und Spannung an einer Spule um 90 phasenverschoben sind.

Die Spannung eilt hierbei dem Strom um eine Viertelperiode voraus.

Die Beziehung zwischen den Maximalwerten von Strom und Spannung lasst sich auf eine

Form wie bei einem Ohmschen Widerstand bringen:

Imax =UmaxωL

(15)

=UmaxXL

(16)

Dabei wird XL = ωL als induktiver Blindwiderstand bezeichnet.

Die Leistungsaufnahme an einer Spule ist

P (t) = U(t)I(t) = UmaxImax cos(ωt) sin(ωt) (17)

und damit die mittlere Leistungsaufnahme wie beim Kondensator gleich Null.

2.3 Zeigerdiagramme

In einem Wechselstromkreis sind die Spannungsabfalle an den einzelnen Elementen in der

Regel zueinander phasenverschoben. Deshalb ist die Summe der maximalen Spannungs-

- 4 -

2 GRUNDLAGEN 2.3 Zeigerdiagramme

UR

x

y

𝜔 𝑡 𝛿-

Abbildung 3: Zeigerdiagramm: Spannungsabfall an einem Widerstand

abfalle an den einzelnen Komponenten im Allgemeinen nicht gleich der maximalen Ge-

neratorspannung. Zur Darstellung der Phasenbeziehung zwischen Spannung und Strom

an Spulen, Kondensatoren und Widerstanden eignen sich zweidimensionale Vektoren in

sogenannten Zeigerdiagrammen.

In Abbildung 3 reprasentiert der Zeiger UR den Spannungsabfall an einem Ohmschen

Widerstand. Der Zeiger hat den Betrag RImax. Strom und Spannung sind in diesem Fall

in Phase.

Allgemein ist der Strom in einem Wechselstromkreis von der Zeit abhangig I(t) =

Imax cos(ωt−δ) mit der Kreisfrequenz ω und einem Phasenwinkel δ. Der Spannungsabfall

am ist dann also

UR(t) = RI(t) = RImax cos(ωt− δ) (18)

Er entspricht also der x-Komponente des Zeigers UR der mit der Winkelgeschwindigkeit

ω gegen den Uhrzeigersinn rotiert. Werden mehrere Bauelemente in Reihe geschaltet, so

addieren sich die Spannungen zur Generatorspannung. In den Zeigerdiagrammen konnen

die einzelnen Zeiger vektoriell addiert werden womit die muhsame algebraische Addition

von Sinus- und Cosinus-Funktionen vermieden wird.

Die Vorgehensweise soll am Beispiel eines seriellen RLC-Kreises und eines RC-Tiefpassfilters

veranschaulicht werden:

Serieller RLC-Kreis: An einen seriellen RLC-Kreis liegt die Generatorspannnung UG =

UG,max cos(ωt) an. Das Zeigerdiagramm der Spannungsabfalle des Kreises ist in Abbil-

dung 4 dargestellt. Durch alle Bauelemente fließt der gleiche Strom I(t). Die Spannung,

die am Widerstand abfallt, ist durch den Zeiger UR dargestellt, der die selbe Phase

- 5 -

2 GRUNDLAGEN 2.3 Zeigerdiagramme

ULUG

UC

UR

U - L UC

x

y

𝛿

𝜔 𝑡

𝜔 𝑡

𝛿-

𝜔t

Abbildung 4: Zeigerdiagramm: Spannungsabfall an Widerstand, Spule, Kondensator

und Generatorspannung

wie der Strom und den Betrag UR = RImax hat. Der Spannungsabfall an der Spule wird

durch den Zeiger UL mit Betrag UL = XLImax dargestellt. Er eilt dem Strom und damit

UR wie oben beschrieben um 90 voraus. Analog ist der Spannungsabfall am Konden-

sator durch den Zeiger UC mit Betrag UC = XCImax dargestellt. Er ist dem Strom und

damit UR um 90 hinterher.

Die Summe der Spannungsabfalle ist gleich der Generatorspannung:

UG = UR + UL + UC (19)

Fur den Betrag heißt das:

UG,max = |UR + UL + UC | (20)

=√U2R + (UL − UC)2 (21)

=√R2 + (XL −XC)2 Imax (22)

= Z Imax (23)

wobei Z =√R2 + (XL −XC)2 als Impedanz des Stromkreises bezeichnet wird.

- 6 -

2 GRUNDLAGEN 2.3 Zeigerdiagramme

Die Zeiger UG und UR schließen den Winkel δ ein fur den gilt:

tan(δ) =|UL + UC ||UR|

=XLImax −XCImax

RImax(24)

=XL −XC

R(25)

Der durch UR reprasentierte Spannungsabfall am Widerstand ist in Phase mit dem

Strom, fur den sich folglich ergibt:

I(t) = Imax cos(ωt− δ) =UG,maxZ

cos(ωt− δ) (26)

Sind im Reihenschwingkreis die Blindwiderstande XL und XC gleich groß ist der Ge-

samtblindwiderstand XL−XC = 0 und die Impedanz nimmt den kleinstmoglichen Wert

R an. Imax wird maximal und der Phasenwinkel δ wird null. Die Frequenz, bei der dies

auftritt, wird als Resonanzfrequenz bezeichnet.

RC-Tiefpass: In Abbildung 5 ist ein Tiefpassfilter abgebildet. Als Tiefpass bezeichnet

man Filter, die Signalanteile mit Frequenzen unterhalb ihrer Grenzfrequenz annahernd

ungeschwacht passieren lassen, Anteile mit hoheren Frequenzen dagegen abschwachen.

Im folgenden wird die Ausgangsspannung UA,max bestimmt:

Der Spannungsabfall am Kondensator ist gemaß Gleichung 7:

UA,max = XC Imax (27)

Fur den Strom Imax gilt nach Gleichung 23:

Imax =UE,maxZ

(28)

UE UAC

R

Abbildung 5: Schaltplan eines Tiefpasses

- 7 -

3 VORBEREITUNGSAUFGABEN

wobei zur Impedanz hier nur R und XC beitragen. Damit ist die Ausgangsspannung:

UA,max =XC UE,maxR2 +X2

C

(29)

=UE,max√

1 + ω2(RC)2(30)

3 Vorbereitungsaufgaben

1. Was bedeuten hohe beziehungsweise niedrige Spannungsfrequenzen fur einen Strom-

kreis mit Kondensator beziehungsweise Spule.

2. In Abbildung 6 sind zwei mogliche Schaltungen dargestellt, mit denen in einem

Stromkreis gleichzeitig zeitlicher Strom- und Spannungsverlauf an einem Bauteil

gemessen werden kann. Erlautere die Funktionsweise der Schaltungen und ihre

Vor- und Nachteile. Warum kann in einem Messaufbau, in dem Frequenzgenerator

und Oszilloskop auf Erde liegen, Variante b) nicht funktionieren?

3. Leiten Sie fur einen RL-Hochpass die Formel fur die Ausgangsspannung her (Einen

RL-Hochpass erhalt man wenn man den Kondensator eines RC-Tiefpasses durch

eine Spule ersetzt).

4. Wie verhalt sich die Ausgangsspannung UA,max eines RL-Hoch bzw. RC-Tiefpasses

fur die Grenzfalle kleiner und großer Frequenzen (ω → 0, ω →∞)

5. Als Grenzfrequenz wird die Frequenz bezeichnet ab der die Ausgangsspannung

weniger als 1/√2 der Eingangsspannung betragt. Bestimmen Sie fur einen RL-Hoch

und einen RC-Tiefpass die Formeln fur die Grenzfrequenz.

6. Wie ist bei einem RL-Hoch- bzw. RC-Tiefpass das Verhaltnis von Blindwiderstand

zu Ohmschen Widerstand bei Erreichen der Grenzfrequenz?

7. Bestimmen Sie anhand eines Zeigerdiagramms den jeweiligen Phasenunterschied

zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung bei der Grenzfrequenz

8. Berechnen Sie fur einen RC-Tiefpass mit R = 470 Ω und C = 0, 1 µF die Grenz-

frequenz.

9. Berechnen Sie fur einen RL-Hochpass mit R = 470 Ω und L = 100 mH die Grenz-

frequenz.

- 8 -

4 DURCHFUHRUNG

AC

R=0,47Ω

AC

R

? ?-

- +

+- -

--

+ +

++

(a) (b)

Abbildung 6: Gleichzeitige Strom- und Spannungsmessung an einem Bauteil: (a) uber

einen sogenannten Shunt (b) uber einen in Reihe geschalteten Messwiderstand

10. Zeichnen Sie einen seriellen RLC-Kreis in dem Sie gleichzeitig Strom und Genera-

torspannung messen konnen. Welche Variante aus Aufgabe 2 ist geeigneter?

11. Leiten Sie die Formel fur die Resonanzfrequenz in einem seriellen RLC-Kreis her

und berechnen Sie die Resonanzfrequenz fur einen RLC-Kreis mit L = 100 mH

und C = 0, 1 µF.

4 Durchfuhrung

4.1 Strom und Spannung an einem Kondensator

Betrachten Sie den zeitlichen Strom und Spannungsverlauf an einem Kondensator, an

den eine Wechselspannung angelegt ist. Versuchen Sie die Phasenverschiebungen aus

dem Einfuhrungsteil zu bestatigen. Zeichnen Sie den dazu benotigten Schaltplan und

skizzieren Sie qualitativ ihre Beobachtungen.

4.2 Strom und Spannung an einer Spule

Wiederholen Sie die vorherige Messaufgabe mit einer Spule.

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4 DURCHFUHRUNG 4.3 Tiefpass

4.3 Tiefpass

Bauen Sie einen RC-Tiefpass auf. Tragen Sie das Verhaltnis von Ausgangsspannung und

Eingangsspannung, und die Phasendifferenz von Ausgangsspannung und Eingangsspan-

nung in Abhangigkeit der Frequenz auf. Vergleichen Sie die Ergebnisse untereinander

und mit den theoretischen Werten aus Vorbereitungsaufgabe 8.

4.4 Hochpass

Wiederholen Sie Aufgabe 4.3 fur einen RL-Hochpass.

4.5 RLC-Kreis

Bauen Sie einen seriellen RLC-Kreis auf, in dem Sie gleichzeitig den Strom und die

Generatorspannung messen konnen. Bestimmen Sie die Resonanzfrequenz sowohl durch

Messung der Phasenverschiebung von Generatorspannnung und Strom, als auch durch

Strommessung. Vergleichen Sie die erhaltenen Werte untereinander und mit dem theo-

retischen Wert aus Vorbereitungsaufgabe 11.

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