U N I V E R S I T Ä T R E G E N S B U R G

Naturwissenschaftliche Fakultät II - Physik

Anleitung zum Physikpraktikum für Chemiker

Versuch „dp“: Drehpendel

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 3

1.1 Allgemeiner Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Vorbereitung 3

2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Berechnung von Trägheitsmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Das Trägheitsmoment einer Hantel (siehe Abbildung 2) . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Der Steiner‘sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5 Zur Berechnung des Drehimpulses J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.6 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.7 Fragen zur Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Durchführung 7

3.1 Bestimmung der Winkelrichtgröße D∗des Drehschwingers . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1.1 Bestimmung von D∗ mit der Holzscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1.2 Bestimmung von D∗ mit der Hantel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1.3 Bestimmung von D∗ mit der Federwaage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Bestimmung von Trägheitsmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Steiner‘sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Fehlerrechnung 10

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1 Einführung

1.1 Allgemeiner Zusammenhang

In diesem Versuch werden Drehbewegungen und Drehschwingungen behandelt. Diese dienen auch

dem Verständnis der Rotationsspektren von Molekülen.

1.2 Lernziele

An einem speziellen Beispiel der Drehbewegung, nämlich der harmonischen Drehschwingung, sollen

die für die Drehbewegung wichtigen Größen wie Drehmoment, Drehimpuls und Trägheitsmoment be-

stimmt werden. Kenngrößen der Rotationsbewegung und ihr Zusammenhang (z.B. Winkelgeschwin-

digkeit, Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Rotationsenergie, Drehimpuls) sol-

len studiert werden.

Der Bezug zu entsprechenden Größen bei der linearen Bewegung soll hergestellt werden. Die Be-

rechnung von Trägheitsmomenten einfacher Körper wie Scheibe, Zylinder, Hohlzylinder, Kugel, soll

durchgeführt werden. Der Steinersche Satz soll angewendet werden. Die Differentialgleichung der

ungedämpften Drehschwingung und ihre Lösung sollen studiert werden.

2 Vorbereitung

2.1 Grundlagen

Die Differentialgleichung für die Drehschwingung erhalten Sie aus der Bedingung, daß die Summe

der angreifenden Drehmomente gleich Null sein muß (Dämpfung wird vernachlässigt):

Θϕ +D∗ϕ = 0 (1)

Dabei sind ϕ= Winkelauslenkung, ϕ= Winkelbeschleunigung, Θ= Trägheitsmoment und D∗ Win-

kelrichtgröße der Spiralfeder.

Mit dem Lösungsansatz

ϕ = ϕ0 cos(ωt) (2)

erhält man

T =2π

ω= 2π

√Θ

D∗(3)

wobei ω= Kreisfrequenz des Drehpendels und T = Schwingungsdauer des Drehpendels ist.

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2 VORBEREITUNG

2.2 Berechnung von Trägheitsmomenten

Das Trägheitsmoment

Θ =∫

r2 dm (4)

hängt nur vom senkrechten Abstand r des Massenelements dm von der Drehachse ab. Die folgende

Berechnung des Trägheitsmomentes einer Scheibe ist exemplarisch für andere rotationssymmetrische

Körper.

In dem gestrichelt gezeichneten Kreisring inAbbildung 1 haben alle Massenelemente dmden gleichen Abstand von der Drehachse.Wenn ρ die Dichte bezeichnet, gilt wegendm = ρdV

dΘKreisring = r2dm = r2ρdV = r22πrdr ·h ·ρ

(5)

Abbildung 1: Skizze zur Berechnung des Trägheitsmomentes einer Scheibe

Das gesamte Trägheitsmoment erhält man durch Integration

Θ =∫

dΘ =

R∫0

r22πrhρ dr = 2πhρ

R∫0

r3 dr = 2πhρR4

4=

12

πhρR4 (6)

und mit M = ρV = ρhπR2, der Gesamtmasse der Scheibe, erhält man schließlich

Θ =12

MR2 (7)

Analog berechnen sich die Trägheitsmomente anderer Körper durch geeignete Integration.

Zum Beispiel ergibt sich für eine Kugel

ΘKugel =25

MKugelR2 (8)

und für einen Hohlzylinder (Ra:Außendurchmesser, Ri: Innendurchmesser)

ΘHohlzylinder =12

M(R2a +R2

i ) (9)

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2.3 Das Trägheitsmoment einer Hantel (siehe Abbildung 2)

2.3 Das Trägheitsmoment einer Hantel (siehe Abbildung 2)

Das Trägheitsmoment einer Hantel setzt sich aus dem der Verbindungsstange und dem der (punktför-

mig gedachten) Massen m zusammen. Man erhält Θ = ΘStab +2ma2 und Formel (3) für die Schwin-

Abbildung 2: Skizze zur Berechnung des Trägheitsmoment einer Hantel

gungszeit

T 2 =4π2

D∗2ma2 +

4π2

D∗ΘStab (10)

Ein dünner, langer Stab besitzt das Trägheitsmoment (Drehung um die Mitte, senkrecht zur Längsach-

se, l = Länge des Stabes)

ΘStab =112

Ml2 (11)

2.4 Der Steiner‘sche Satz

Wenn man das Trägheitsmoment eines Kör-pers in Bezug auf eine durch seinen Schwer-punkt gehende Achse A′ kennt (vgl. Abb. 3),dann liefert der Steiner’sche Satz das Träg-heitsmoment in Bezug auf eine andere, dazuparallele Achse A

ΘA = ΘA′+Ma2 (12)

Dabei ist a der Abstand der beiden Achsen Aund A’. Das Trägheitsmoment um A ist gleichdem um A′, vermehrt um das Trägheitsmo-ment, das die ganze in A′ vereinigte Massehaben würde. Mit Hilfe von Abb. 3 sieht manleicht dass Abbildung 3: Zum Satz von Steiner

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Literatur

ΘA = ∑mi~r2i = ∑mi(~r2

i +~a2 +2~a ·~r ′i ) = ∑mi~r ′2i +~a2∑mi +2~a ·∑mi~r ′i (13)

Da A′ durch den Schwerpunkt geht, verschwindet die letzte Summe und es ergibt sich Gleichung 12.

2.5 Zur Berechnung des Drehimpulses J

Es gilt

J = Θϕ (14)

Dabei ist die Winkelgeschwindigkeit ϕ aus 2 und 3 gegeben durch

ϕ =−ϕ0

√D∗

Θsin

(√D∗

Θt

)(15)

Die Anfangsauslenkung geht also in die Größe des Drehimpulses ein.

2.6 Literatur

Literatur

[1] Pohl, Mechanik, Akustik, Wärmelehre, S. 62-66 84 UC 127 P 748-1

[2] Gerthsen, Kneser, Physik, S. 12 ff 84 UC 156 G 384

2.7 Fragen zur Vorbereitung

1. Leiten Sie den Ausdruck 3 für die Schwingungszeit eines Drehpendels ab.

2. Leiten Sie die Formeln für die Trägheitsmomente einer Kugel und eines Hohlzylinders her.

3. Welche physikalische Bedeutung und Einheit hat die Richtgrösse D bei einer Schraubenfeder

und die Winkelrichtgrösse D∗ bei einer Spiralfeder? Wie kann man diese Grössen messen?

(Hinweis: Es gibt zwei Methoden, eine davon ist durch Gleichung (3) vorgegeben).

4. Zwischen den Bestimmungsgrössen von linearer und Drehbewegung gibt es formale Analogi-

en. Tragen Sie in der Tabelle die Bezeichnungen und Formeln ein.

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Lineare Bewegung Drehbewegung

Größe Formel Größe Formel

Koordinate

Geschwindigkeit

Beschleunigung

Masse

Kinetische Energie

Impuls

Kraft

Schwingungsgleichung mx =−Dx

Lösung x = x0 cos(ωt)

Frequenz ω =√

Dm

5. Ein H2-Molekül (und andere Moleküle) stellt in guter Näherung ein Hantel dar, die z.B. zur

Rotation gebracht werden kann. Berechnen Sie das Trägheitsmoment des H2-Moleküls für eine

Rotation um eine Achse, die mittig senkrecht auf der Verbindungslinie der Atome steht.

3 Durchführung

Geräte:

Drehschwinger (mit Spiralfeder) Holzscheibe

Kugel Träger für 2 Holzzylinder

Hantel Metallscheibe mit exzentrischer Scheibe

Stoppuhr, Waage, Federwaage Lineal, Maßstab

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3 DURCHFÜHRUNG

3.1 Bestimmung der Winkelrichtgröße D∗des Drehschwingers

3.1.1 Bestimmung von D∗ mit der Holzscheibe

Messung:

Montieren Sie die Holzscheibe und messen Sie die Schwingungsdauer T

10x 1 Periode 3 x 10 Perioden

Auswertung:

Berechnung des Trägheitsmomentes Θ nach Massenbestimmung und Abmessen.

Berechnung von D∗ aus der Beziehung T = 2π

√Θ

D∗.

Bestimmung der Fehler von Θ und T sowie Berechnung des Fehlers von D∗ nach dem Fehlerfort-

pflanzungsgesetz.

3.1.2 Bestimmung von D∗ mit der Hantel

Bestimmen Sie für einen möglichst großen Abstand a der Aufsatzmassen m von der Drehachse die

Winkelrichtgrösse D∗ wie bei der Auswertung von Aufgabe 3.1. Lenken Sie die Feder möglichst

wenig, nicht mehr als höchstens 90° aus. Messen Sie die Schwingungsdauer mit mindestens 10 Peri-

oden. Berechnen Sie die Trägheitsmomente der Aufsatzmassen m, die Sie als punktförmig annehmen

können, bzw. der Verbindungsstange Θ∗. Bestimmen Sie mit Gl.(10) wieder die Winkelrichtgrösse

D∗ und ihren Fehler. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem von Aufgabe 2.1.2 und benutzen Sie im

folgenden den genaueren Wert für D∗.

3.1.3 Bestimmung von D∗ mit der Federwaage

Bestimmen Sie D∗ durch Messung des Drehmomentes M mittels einer Federwaage. Tragen Sie M

gegen ϕ für ϕ = 45°, 90°, 135°, 180°, 225° und 270° auf und vergleichen Sie die daraus ermittelten

Werte von D∗ mit den oben gemessenen

3.2 Bestimmung von Trägheitsmomenten

Da jetzt D∗ der Spiralfeder bekannt ist, können Sie Trägheitsmomente einer Kugel, von zwei Zy-

lindern und deren Träger aus der Beziehung T = 2π

√Θ

D∗bestimmen. Machen Sie jeweils mehrere

Messungen, bestimmen Sie Fehler und vergleichen Sie mit berechneten Werten aus Gl. (8) und (9).

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3.3 Steiner‘sche Satz

3.3 Steiner‘sche Satz

Mit der Anordnung in Abb. 4 sollen Sie den Steiner’schen Satz durch Verändern der Exzentrizität a

überprüfen. Wählen Sie die graphische Darstellung T 2 gegen a2 und tragen Sie die Messfehler in die

Zeichnung ein.

Abbildung 4: Steiner’scher Satz: Definition der Parameter zur Messung.

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4 FEHLERRECHNUNG

4 Fehlerrechnung

Beispiel:

ΘZylinder =12

MR2

Größe Bedeutung

M = 0.1kg Meßwert auf der Waage

∆M = 0.001kg Angabe Meßfehler auf der Waage

R = 0.01m abgelesener Meßwert

∆R = 0.01m geschätzter Fehler (lieber zu groß als zu klein wählen)

→ Θ =12

MR2 =12

0.1kg · (0.15m)2 = 0.001125kgm2

aber wie groß ist Θ?

1. Schritt:

relative Fehler der Meßgrößen ausrechnen!

γ(M) =∆MM

=0.001kg

0.1kg= 0.01 γ(R) =

∆RR

=0.01m

SI0,15m= 0.067

2. Schritt:

Regeln:

γ(x1 · x2) = γ(x1)+ γ(x2) (1) γ(xm) = m · γ(x) (2)

Verwende (1) und (2) um γ(Θ) auszurechnen

γ(Θ) = γ(12 MR2)

(1)= γ(M)+ γ(R2)

(2)= γ(M)+2γ(R) = 0.01+2 ·0.067 = 0.144

3. Schritt:

Aus dem im 2. Schritt bestimmten relativen Fehler γ(Θ) den absoluten Fehler ∆(Θ) bestimmen

γ(Θ) =∆Θ

Θ⇒ ∆Θ = Θ · γ(Θ) = 0.001125kg m2 ·0.144 = 0.000162kg m2

4. Schritt:

Angabe des Ergebnisses in der Form: x = x =±∆x

so nicht: Θ = 0.001125kg m2±0.000162kg m2,

sondern: Θ = 0.0011kg m2±0.0002kg m2 (alternativ : Θ = 1.1×10−3 kg m2±0.2×10−3 kg m2)

denn ∆x wird auf eine Stelle aufgerundet und x nur bis zu dieser Stelle angegeben!

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