Ubungsaufgaben zu Logarithmen

Ubungsaufgaben zu Logarithmen

Ermitteln Sie folgende Logarithmen ohne Taschenrechner:

1 log10100

2 log5125

3 log80, 5

Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 41 / 83

Losung - Ubungsaufgaben zu Logarithmen

Ermitteln Sie folgende Logarithmen ohne Taschenrechner:

1 log10100 = 2, da 102 = 100

2 log5125 = 3, da 53 = 125

3 log80, 5 = −1/3, da 8−1/3 = 13√8

= 12 , da

3√8 = 2


Ubungsaufgaben zu Logarithmen

1 Mann bestimme x aus 7x = 24, 3

2 Mann bestimme x aus 0, 3x = 5, 17


Losung - Ubungsaufgaben zu Logarithmen

1 Mann bestimme x aus 7x = 24, 3⇒ x = log24,3log7 = 1, 64

2 Mann bestimme x aus 0, 3x = 5, 17⇒ x = log5,17log0,3 = −1, 36


Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalenten Umformungen

1 Man bestimme x aus 2, 6x = 3, 6


Losung - Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalentenUmformungen

1 Man bestimme x aus2, 6x = 3, 6⇒ log2, 6x = log3, 6⇒ x · log2, 6 = log3, 6⇒ x = 1, 34



Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf:

1 5√2x − 1 = 1, 3

2 (x − 6)13 = 2

3 (7x + 3)7 = 10


Losungen - Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalentenUmformungen


5√2x − 1 = 1, 3 (1)

(2x − 1) = 1, 35 (2)

x = 2, 36 (3)




(x − 6)13 = 2 (4)

(x − 6) = 23 (5)

x = 14 (6)




(7x + 3)7 = 10 (7)

7x + 3 =7√10 (8)

x = −0, 23 (9)




1 (2x − 3)2 = 25

2√x − 5 =

√2x + 3

3 (x + 2)4 = 16




(2x − 3)2 = 25 (10)

2x − 3 =√25 (11)

Fall 1: 2x1 − 3 = +5⇒ x1 = 4 (12)

Fall 2: 2x2 − 3 = −5⇒ x2 = −1 (13)




√x − 5 =

√2x + 3⇒ x ≥ 5 (14)

x − 5 = 2x + 3 (15)

x = −8⇒ Keine Losung (16)




(x + 2)4 = 16 (17)

Fall 1: x + 2 = 2⇒ x1 = 0 (18)

Fall 2: x + 2 = −2⇒ x2 = −4 (19)




1 2x(x − 3)(3x + 5) = 0

2√2x − 6(ex − 2)(4x − 1) = 0




2x(x − 3)(3x + 5) = 0 (20)

x1 = 0 (21)

x2 = 3 (22)

x3 = −5/3 (23)




√2x − 6(ex − 2)(4x − 1) = 0 (24)√2x1 − 6 = 0⇒ x1 = 3 (25)

(ex − 2) = 0⇒ ex = 2⇒ x2 = ln2⇒ x2 = 0, 69 (26)

(4x3 − 1) = 0⇒ x3 = 1/4 (27)


Ubungsaufgaben zu Quadratischen Gleichungen

Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf (wenn nichts anderes gefordertist)

1 x2 + 5x − 14 = 0

2 16x2 + 120x + 221 = 0

3 −x2 + 6x − 3 = 0

4 x2 − b2 = 0

5 5x2 − 27bx + 10b2 = 0

6 2x−1x+3 −

1−xx −

3x−6x−1 = 0

7 x4 − 3x2 + 2 = 0

8 Losen Sie folgende Gleichung nach a auf: a2 + bxa− c = 2a2 + ax + b

9 x5 − 3x4 + 2x3 = 0


Losung - Ubungsaufgaben zu Quadratischen Gleichungen

Losen Sie folgende Gleichung nach x auf:

x2 + 5x − 14 = 0 (28)

x1,2 = −5

2±√

25

4+ 14 (29)

x1 = 2 (30)

x2 = −7 (31)




16x2 + 120x + 221 = 0 (32)

x2 +120

16+

221

16= 0 (33)

x2 +15

2+

221

16= 0 (34)

x1,2 = −15

4±

√(15

4

)2

− 221

16(35)

x1 = −13

4(36)

x2 = −17

4(37)




−x2 + 6x − 3 = 0 (38)

x2 − 6x + 3 = 0 (39)

x1,2 = 3±√9− 3 (40)

x1 = 5, 45 (41)

x2 = 0, 55 (42)




x2 − b2 = 0 (43)

x1,2 = 0±√b2 (44)

x1 = b (45)

x2 = −b (46)




5x2 − 27bx + 10b2 = 0 (47)

x2 − 27

5bx + 2b2 = 0 (48)

x1,2 =27

10b ±

√729

100b2 − 200

100b2 (49)

x1,2 =27

10b ± 23

10b (50)

x1 = 5b (51)

x2 = 0, 4b (52)



Fur x 6= −3 6= 0 6= 1 gilt:

(2x − 1)(x − 1)x − (1− x)(x + 3)(x − 1)− (3x − 6)(x + 3)x = 0 (53)

Ausmultiplizieren:

(2x3 − 3x2 + x) + (x3 + x2 − 5x + 3) + (−3x3 − 3x2 + 18x) = 0 (54)

−5x2 + 14x + 3 = 0 (55)

x2 − 14

5x − 3

5= 0 (56)

x1,2 =14

10±√

196

100+

60

100(57)

x1 = 3 (58)

x2 = −0, 2 (59)



x4 − 3x2 + 2 = 0 (60)

Biquadratische Gleichung, weil x4 und x2, setze x2 = z

z2 − 3z + 2 = 0 (61)

z1,2 =3

2±√

9

4− 8

4(62)

z1 = 2⇒ x21 = 2⇒ x1 =√2⇒ x2 = −

√2 (63)

z2 = 1⇒ x3 = 1⇒ x4 = −1 (64)



Losen Sie folgende Gleichung nach a auf:

a2 + bxa− c = 2a2 + ax + b (65)

a2 − (bx − x)a+ (b + c) = 0 (66)

⇒ p = −(bx − x) (67)

⇒ q = +(b + c) (68)

a1,2 =bx − x

2±

√(bx − x

2

)2

− (b + c) (69)




x5 − 3x4 + 2x3 = 0 (70)

x3(x2 − 3x + 2) = 0 (71)

⇒ x1 = 0 (72)

(73)

x2 − 3x + 2 = 0 (74)

x2,3 =3

2±√

9

4− 8

4(75)

⇒ x2 = 2 (76)

⇒ x3 = 1 (77)


Ubungsaufgaben zu Wurzelgleichungen

Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf

1√x − 1 +

√x − 4 = 3

2√x − 1 + 3 = x

33√x2 − 1− 2 = 0

43√4 +√2x + 5 = 3


Losung - Ubungsaufgaben zu WurzelgleichungenLosen Sie folgende Gleichung nach x auf

√x − 1 +

√x − 4 = 3⇒ x ≥ 4 (78)(√

x − 1 +√x − 4

)2

= 9⇒ 1. binomische Formel (79)(√x − 1

)2

+ 2√x − 1

√x − 4 +

(√x − 4

)2

= 9 (80)

(x − 1) + 2√x − 1

√x − 4 + (x − 4) = 9 (81)

2 ·√

x2 − 5x + 4 = 14− 2x (82)√x2 − 5x + 4 = 7− x (83)

x2 − 5x + 4 = (7− x)2 (84)

x2 − 5x + 4 = 49− 14x + x2 (85)

x = 5 (86)

Probe: x ≥ 4Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 69 / 83

Losung - Ubungsaufgaben zu Wurzelgleichungen

Losen Sie folgende Gleichung nach x auf

√x − 1 + 3 = x ⇒ x ≥ 1 (87)

√x − 1 = x − 3 (88)

x − 1 = (x − 3)2 (89)

x − 1 = x2 − 6x + 9 (90)

0 = x2 − 7x + 10 (91)

x1,2 =7

2±√

49

4− 40

4(92)

x1 = 5⇒ wahr (93)

x2 = 2⇒ falsch (94)




3√x2 − 1− 2 = 0 (95)

3√x2 − 1 = 2 (96)

x2 − 1 = 23 (97)

x2 − 1 = 8 (98)

x2 = 9 (99)

⇒ x1 = 3 (100)

⇒ x2 = −3 (101)

⇒ Beide Losungen zugelassen, da ungerade Wurzel (102)




3

√4 +√2x + 5 = 3 (103)

4 +√2x + 5 = 33 (104)√2x + 5 = 23 (105)

2x + 5 = 529 (106)

x = 262⇒ wahr, da x ≥ −2, 5 (107)


Ubungsaufgaben zu Exponentialgleichungen


1 5 · 1, 04x − 2(1, 04x − 1) = 6

2 2 · 32x−1 = 7 · 3x+1

3 3x2+1 = 4 · 22x+1

4 Losen Sie nach b auf: a · c2b−1 = db+1


Losung - Ubungsaufgaben zu Exponentialgleichungen

5 · 1, 04x − 2(1, 04x − 1) = 6 (108)

5 · 1, 04x − 2 · 1, 04x + 2 = 6 (109)

3 · 1, 04x = 4 (110)

1, 04x =4

3(111)

x =log4/3

log1, 04= 7, 33 (112)



2 · 32x−1 = 7 · 3x+1 (113)

log2 + (2x − 1) · log3 = log7 + (x + 1)log3 (114)

log2 + 2xlog3− log3 = log7 + xlog3 + log3 (115)

2xlog3− xlog3 = log7 + 2log3− log2 (116)

x =log7 + 2log3− log2

log3(117)

x = 3, 14 (118)



3x2+1 = 4 · 22x+1 (119)

(x2 + 1)log3 = log4 + log2(2x + 1) (120)

x2log3 + log3 = log4 + 2xlog2 + log2 (121)

x2 − 2log2

log3x + 1− log4

log3− log2

log3= 0 (122)

x1,2 =log2

log3±

√(log2

log3

)2

− 1 +log4

log3+

log2

log3(123)

x1 = 1, 767 (124)

x2 = −0, 505 (125)



Losen Sie nach b auf:

a · c2b−1 = db+1 (126)

loga+ (2b − 1)logc = (b + 1)logd (127)

loga+ 2b · logc − logc = b · logd + logd (128)

b · (2 · logc − logd) = logd − loga+ logc (129)

Es gilt: logd + logc = logdc und 2 · logc = logc2 und logx − logy = log xy

b · (logc2 − logd) = logdc (130)

b · logc2

logd= log

dc

a(131)

b =log dc

a

log c2

d

(132)


Ubungsaufgaben zu Logarithmengleichungen


1 lnx = 1, 7

2 log7x = 2, 8

3 1 + logx = 2log(x − 1)

4 ln(2y + 1)2 − 1 = 0

5 Losen Sie folgende Gleichung nach a auf: ln√a2 + 1− b = 0


Losung - Ubungsaufgaben zu Logarithmengleichungen

lnx = 1, 7 (133)

e lnx = e1,7 (134)

x = e1,7 = 5, 47 (135)



log7(x) = 2, 8 (136)

x = 72,8 = 232, 42 (137)

Grundform:

an = b (138)

logb(a) = n (139)

In der Aufgabenstellung sind also die Basis a sowie das Resultat ngegeben, gesucht wird b



1 + logx = 2log(x − 1) (140)

101+logx = 102log(x−1) (141)

101 · 10logx = 102log(x−1) (142)

101 · 10logx = 10log(x−1)2

(143)

10x = (x − 1)2 (144)

x2 − 12x + 1 = 0 (145)

x1,2 = 6±√35 (146)

x1 = 11, 91⇒ wahr (147)

x2 = 0, 08⇒ falsch, da x > 1gelten muss (148)

(149)



ln(2y + 1)2 − 1 = 0 (150)

e ln(2y+1)2 = e1 (151)

(2y + 1)2 = e (152)

4y2 + 4y + 1− e = 0 (153)

y2 + y +1− e

4(154)

y1,2 = −1

2±√

1

4− 1− e

4(155)

y1 = 0, 32 (156)

y2 = −1, 32 (157)



Losen Sie folgende Gleichung nach a auf:

ln√

a2 + 1− b = 0 (158)

e ln(√a2+1) = eb (159)√

a2 + 1 = eb (160)

a2 = e2b − 1 (161)

a1,2 = ±√

e2b − 1 (162)


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