t ber affine Geometric XL: Efflachen konstanter Affinbreite.

Von

Wilhelm Sii~ in K.goshima (Japan).

1. Bekanntlich haben. Eifl~ichen konstanter Brei~e b die Eigenschaft, dab die Verbindungssetme der Beriihrungspunkte zweier parallehr Stiitz- ebenen die konstante L~nge b besitzt und jede Normale eine Doppel- normale ist. Es liegt nahe, die MSglichkeit analoger Verhgltnisse in der affinen Geometrie der Eiflhchen zu untersuehen. Dabei sei folgende De- /ini~ion zugrunde geIegt: Eine ,,stetig-differentiierbare" Eifl~iche E besitzt die konstante Affinbrei~e fl, wenn die Affinentfernung 1) jedes Punktes P yon E yon seinem ,,Gegenpunkt ' 'e) P' den konstanten Weft fl besitz~. hndererseits fragen wit nach den Eifl~ichen, deren Affinnormalen affme Doppelnormalen sind. Es wird sich herausstellen, da~ beide Fragestellungen nicht nu~ zu denselben Flgchen fiihren, sondern sogar so einsehneidende Bedingungen enthalten, dal~ sie charakteristische Eigenschaften des Ellip- soids darstellen. Wir werden folgenden Satz beweisen:

Die Ellip.soide sind sowohl die einzigen Ei/lgchen konstanter A/fin- breite wie auch die einzigen analytfschen Ef/ldichen, deren A//innormalen 8dmtlich a/line Doppelnormalen sind.

Auflerdem werden wir auf dos affingeometrische Analogon des Satzes yon Herrn K. Reidemeister a) eingehen, da~ die KSrper konstanten Durch- messers mit denjenigen konstanter Breite identisch sind. Am Schlusse besch~tigen wit uns noch mit dem Problem der Eilinien, deren Affin- normalen affme Doppelnormalen sind, das auf Etlipsen fiihren wird~

a) Siehe z.B.W. Blaschke, Vo~lesungen fiber DJfferentialgeometrie II, Berlin I923, 8.I10. Wir zi~ier~n dies Buch mit (B).

~) D. h. in /~ und pt sind die Tangentenebenen einander parcAlr ~) l~ber KSrper konsCanten Durehmessers, MatlL Zeitschr. 10, S. 214ff.

17"

252 W. Sii~.

w E i f l ~ h e n konstanter Afflnbreite.

2. Wir wollen annehmen, die betrschtete Eifl~iohe E sei keine Kugel, und die iiquiformen (gewShnlichen) Kriimmungslinien als Parameterkurven (u, v) einfiihren. Dann ergibt sich flit die konstante Affinbreite fl nach unserer Definition x) der Ausdruck

(1) ~__ c~,,~,~-~)__ (~,~-~)_ ~.(~, ~_ ~),

wobei (~) den Gegenpunkt des Punktes (~), ~ den Einheitsvektor der

gew5tmlichen Flgchennormalen, K---~-~ die GauBsche Kriimmung und E, F, G, L, M, N die gewShnlichen FundamentalgrS~en im Punkte (g) bedeuten, flit die dann

F ~ M - = O sein soll.

Aus (1) folgt bei Vertauschung der beiden Punkte (g) und (~) die Gau~sche Kriimmung K im Punkte (~):

(2) K - - J.-' ----- K ~ 2 - ' .

Wegen (2) abet wird die Eifliiche E yon der Beriilmmgskurve jedes umschriebenen (Stiitz-) Zylinders halbiert; E ist somit nach einem Sat~ yon Herrn T. Kubota 4) eine Mittelpunktsvifldche.

Es sei nun welter t)(~}) aer MfinnormaIvektor im Punkte (~) (bzw. @)). Dann ergibt sich nach unserer Wahl der ParameterlinienS):

1 G~ ~ ~ (3) ~ - y ~ = ~ . ~ § . ~ § ~.

Wir behaupten nun das Bestehen der folgenden Beziehung-

(4) ~ - ~ _ ~ . ~ . Setzen wir niimlieh

so folgt aus (1) zungohs~

(Sb) e_-- ~- 2"

~) Einige Probleme fiber konvex-geschlossene Kurvon und F~chen, TShoku Math. Journal 17, S. 351 ft., Satz 2.

6) (B), S. 166 (186).

Eifl~chen k-.atanter Aftinbreite. 253

Ferner erh~ilt man dutch Differentiation yon (1):

~.(~, ~ -- ~ ) + ~ (~., ~ -- ~ ) + i(~, ~ - - ~ ) = O,

i~(~, ~ - ~ ) + ~(~, ~ - ~ ) + ~(~, ~ - ~) = o.

Hierin versehwinden die dritten Glieder, da die Tangentenebenen in (~) und (~) einander parallel sin& Und naeh den Ableimngsgleichungen yon Weingarten ist:

Somit erhalten wir

(Se) (~ - _.

~aeh (5 a) -nd (5 e) abe~ folgt

L ~---- E ~-'

N ~ - G ~"

oder nach (5 e)

(sd)

E ~ , , ~ - ~ = o ,

G ~' , '~--~ - -0 .

i~o- - 2 L # - - 0 ,

Aus (5a), (5b) und (5d) ergibt sieh die behauptete Beziehung (4). Statt (4) k6nnen wix aueh sehreiben"

(6) o + 9 = o .

Es sei nun 0 der Mittelpunkt yon E, und es m6gen die Vektoren 0 zum Ursprung haben. Da die Tangentenebenen in den Endpunkten zweier entgegengesetzter Vektoren ~ einander parallel sin_d, so sind stets

und ~ zwei solehe yon O aus einauder entgegengesetzte Vektoren"

(7) ~ = ~ + ~ = o .

Nehmen wit nun an, E sei kein Ellipsoid, und w~hlen wit yon nun an die hffinkriimmungslinien zu Parameterkurven (u', v')~), so folgt fii~ naeh (4)

0 = ~ , + ~., = 2~, , + ~ , = ~. , . [2 + ~ ( ~ - h)]

= ~, , . [2 + p ( c ~ - ~)] ,

~) <B), S. 164.

254 w. sag.

wenn h die mittlere Affinkriimmung bedeutet. Daraus geht abet hervor: 2

c~ - h = ~ - ~ = _ _

odor, da e~ = 0 is~ 7), 2

(S) h = ~ = kons~.

Nun sind abet die Ellipsoide die einzigen Eifli~r ,nit konstanter mitt- lerer Affinkriimmtmg h s). Somit ist unsere Annahme, E sei kein Ellipsoid, faiseh und der erste Toil unserer Behauptung in 1. bewiesen.

w

Eifl/iehen mit affinen Doppelnormalen.

3. Wit bezeichnen den zweiten Punkt, welchen die Affinnormale im Punkte (~) mit dot anaIytischen Eitl/iche E gemeinsam hat, mit (~*). 19" mSge der Affinnormalenvektor im Punkte (~*) sein. Dann lautet unsere Frage: Fiir welche Eifl~ichen E gibt es eine (skalare) Funk*ion des Ortes q (u, v) derarL da$ stets

(1) ~ * - ~ = q ' ~ ) = - q*'~9*

ist, worm q* den Wert yon q im Punkte (~*) bedeute~? (1) stellt eine doppelte Erweiterung tier Gleichung (4) yon w 1 dar,

indem q nicht als konstant angenommen wird und die Tangentenebenen in (~) und ($*) nicht parallel sein miissen. Ubrigens bedeutet q die Affinentfernung des Ptmktes (~*) veto Punkte (~).9)

Wit nehmen wieder an, g sei keia Ellipsoid, und wis die Affin- kriimmungslinien zu Parameterkurven (u, v). Die Parameter (u, v) seien dabei so normiert, da$ der Vektor ~9 in das Innere yon E weist und die affinen Haup~kriimmungsradien r~, r~, r~, r: im Punkte (~) bzw. (~*) positiv sind ~o). Die Affinnormalen ~9" bilden nun nach (1) gleielmeitig mit ~9 eine Terse; d. 1L wenn sich der Punkt (~) auf einer Affin!criimmungs- linie beweg% so besehreibt der zugeordnete Punkt ;* gleiehzeitig eine Affinkriimmungslinie. u und v kSnnen somit gleiehzeitig in den Ptmlrten (~) mad (~*) als Parameter der Affinkriimmungshnien verwendet werden. Dann ist naeh dem affingeometrisehea Analogon zu tier Formel yon O. Rodrigues

{ i (2) + = o, + = o.

9 (B), s. 163 (a~). - - 8) (~), w 74. ,) (B), s. I62 (a9) Lind s. 165 (Is4).

~o) (B), S . 2 ~ 2 .

Eifl~chen kansh~ter Affmbreite. 255

Die zu ~ und t)* gleichzeitig gehSrigen Hiillgebilde haben mit t) bzw. ~* gemeinsame Beriihrungspunkte

Hieraus (4a) oder

(3) { $~ = ~+ r~tj= ~*+r:~*,

Dutch Differentiation von(3) erh~ilt man unter Beachtang yon ( 1 ) und (2):

~ 1- -%~+i) r ~ + =~u 1-- ,

folgt entweder

rl = r~, r : = r :

(45)

(~- ~) ~: ~o.

Wean iiberaU auf E (4a) erfiillt ist, so ist die Eifl~iche notwendig ein Ellipsoid 11), was im Widerspruch zu unserer gegens~tzlichen Annahme yon oben steht. Auf der analytischen Eifl~he E mul~ also iiberall (4 b) effiillt sein, dagegen (4a) nut in isolierten Punkten. Dann aber folgt aus (1), (2) and (4b)

Also

d.h.

r "~ 2 "El ~f2 f i t :

~--- " q

ist iiberall auf E qu= q,,= O,

q L,=q:O+qO,,=q,,t)--~L,,

(5) Au~erdem besteht nach (4b) Fl~chennormalen ~, ~* in (~)

(6) Mit (5) and (6) abet sind

q = konst.

fiiz die Einheitsvektoren der gewShnlichen bzw. ($*) die Beziehang

~ + ~ * = 0 . wit auf den in w 1 behandelten Fall der

n) (B), w 77.

256 _W. Stir.

dor~igen Gleichung (4) zuriickgefi]hrt worden. E miiBte also im Wider- spruch zu der anfangs gemachten Voraussetzung doch ein Ellipsoid sein. Hiermit ist der zweite Tell des in 1. behaupteten Satzes bewiesen.

4. Hier soll eine Betrachtung yon KSrpern konstanten A~ndurch- messers beigefiigt werden. Es sei B ein dreidimensionaler, yon einer geschlossenen, zweiseitigen, ganz im Endlichen gelegenen, stetig-ditterentiier- baren FiChe F begrenzter Bereich. Unter dem ,Affindurchmesser" D von B verstehen wit das Maximum der A~nentfernungen e(~, ~) eines Punk~es (~) aus B yon einem Oberfl~chenpunkt (~). In Analogie zu der entsprechenden Definition von ~Ierrn K. Reidemeister s) sagen wit, da~ B yon konstantem Affindurchmesser sei, wenn es zu jedem P , nlrt (~) auf 2" einen Punkt (~) in (B) gibt derart, dalB fiir jeden beliebigen anderen Punkt (8) aus B

(7) e ( ~ , ~ ) ~ e ( ~ , ~ ) = c

ist, wobei c eine feste endliche Zahl bedeatet. Hierbei ist nach (1) in w 1

(8) ~/IKI ~ -- "

Wir behaupten: Bin K6r~er B konstanSen A]]indurchmessers ist ein Ellipsoid.

Dazu miissen wit nach w 1 nut zeigen, dab die Oberfl~he E von B eine Eifl~iche ist und konstBnte Affinbreite besitzt.

DalB 2" eine Eifl~che ist, Iolgt aus (7). Denn zun~chst mul3 iiberaII auf 2' K > 0 sein. Nach unseren Voraussetzungen flit F mul~ n~mlich auf jeden Fall irgendwo auf 2" K :> 0 sein. W ~ e abet in einem Punkte yon 2" K - - 0 , so mill]re B ganz in eine Ebene fa~en, weil andernfalls nach (8) unendliche Affinentfernungen mSglich w~ren, was im Widerspruch zu der Endlichkeit der Konstanten c in (7) steht. Wenn abet K an einer Stelle von 2" wesentlich posi~iv ist und nirgends verschwindet, so ist fiberall auf 2" K > 0 und 2" somit wegen seiner Gesch]ossenheit eine Eifl~iche 1~).

Wit betrachten nun die Menge M aller Punkte (a), Iiir die

(o) ist, wobei (~o) ein fester Pnnl~t yon 2" ist. In M is~ nach unserer De- fini~on (7) mindestens ein Punkt ( ~ ) y o n B enthalten. Ein solcher Punkt (5) gehSrt selbst zu 2", well sonst naeh (8), da B ein EikSrper ist, d ~ Schnittpunkt der Verlfingerung yon ( ~ - ~) iiber den Punier (~) hinaus m~t ~ grSBero A~nentfernung von (~) bes~il~e Ms c. Alle Punkte (a)

m) Vgl. W. Bla~ehke, Kreis und Kugel. Leipzig 1916, S. 164.

Eifl~hen konsta~er Aftinbreite. 257

in (9) liegen also auf F oder auBerhalb B. Wi~ behaupten nun: Die Menge M der Punkte (a) ist eine zur Tangentenebene in (5) an F parallele Tangentenebene in (~) an F. Nach (8) und (9) ist M eine Ebene, die wegen

zur Tangentialebene in (5) parallel ist; M enth~ilt den Punkt (~); sie ist Tangentialebene in (~) an F , da sie Stiitzebene von B sein muB; wegen (9) g~ibe es niimlich andernfalls wie oben grSl]ere Mfinenffernungen in B alsc.

(5) und (~) sind somit ein Punktepaar, das mit (7) die Bedingungen eines EikSrpers konstanter Affinbreite erfiillt, w. z. b. w.

w

Ei!inien mit all!hen Doppelnorma!en.

5. Wir fragen jetzt nach den Eilinien mit affinen Doppelnormalen. Es sei E(5 ) eine solche Eilinie. Wit behaupten: E ist eine Ellipse.

E mSge au/ die Affinl~ge s als Parameter bezogen sein. Es sei (~) oder (5(~)) der zweite Sclmittpunkt der Affinnormalen im P t m l ~ (~(s)) mit E. Dann soll es also eine Funktiou q(s) geben deraxt, dab

(1) 5(~) -- 5 (s) -- q(s) . ~" (s)~- -- q(g). 5" (s)

ist, wobei die Differentiation nach der Affinl~inge stets dutch Striehe 1

bezeiehnet sei. Es sei k die h/finkriimmung, r----7 der Mfinkriimmungs-

radius und t)(s) der Affinevolutenvektor im Punkte (5(s)). Dann istla):

~(8) = 5 ( 8 ) + ~ ( s ) 5 " ( ~ ) , (2) / ~'(s) = ~'(8) ( ' ( s ) .

Da die Affinnormalen Doppelnormalen sein sollen, so ist

{ ~(~) = ~ ( 8 ) , d~ . ~., = ~), (3) , '(~) ~, - , ' ( ~ ) (8).

Hieraus schlieBt man unter Verwendung yon (1) and (2) auf

(4) / q(s)r'(~)~' + q ( ~ ) r ' ( s ) = O.

Differentiiert man (1) nach 8, so erh~lt man wegen der Beziehungen x~

{ ( ( s ) + , ( s ) f f " ( s ) = 0,

(5) (if, 5") = 1

~) (B), S. 28. 14) (B), S. 15. (a, b) bedeutet hier die Determi~ante a~b~--a~b 1 .

258 W. Sii~.

die Gleichungen ( ( ( s ) , ( ( ~ ) ) ~ ' = q'(s),

t ( ( ( s ) , ( ( ~ ) ) = - q ' ( ~ ) ~ ' , (6)

aus welchen folgt:

(7) q ' ( s ) + q ' ( g ) U ~ - - O .

Nehmen wit zun~iehs~ an, es sei

q ' ( s ) - 0,

so folgt aus (6), da~ i f ( s ) und ~'(g) stets einander parallel sin& ist nach (1) und (5)

Dann

{((s)f ( ~ ( ~ ) - - ~ ( s ) , f f ( s ) ) = - - q : - - q . t~'(~)1' also 15)

~(~) = I ~'(~)i ~ : t~' (~)1 ~ = Q(~), wenn Q den ~quiformen (gewShnlichen)Kriimmungsradius bedeutet. Dann abet ist E eine Eilinie mit Mittelpunkt. Da aber naeh (4)

r ( s ) + r(g)----- q : konst. ist, so folgt fiir E

d .h . E ist eine Ellipse, wie wit behauptet haben. Wir nehmen jetzt an, es sei nioht q ' ~ O, und werden aus dieser

ist E dann keine Ellipse, also himahme einen Widersprueh ableiten. Es aueh n~cht r" ( s ) ~ O .

Dutch Differentiation yon (4)I erh~ilt and

(s) wobei yon un.~erer Aus (4)0. uncl (S)

man unter Verwendung yon (4) (7) nach kurzer Reehnung die Relation

(~) ~(~) = q (~) ~ (~),

eben ausgesproehenen Annahme Gebrauch gemaeht wird. ergibt sich welter

~, = q(~)r ' (s ) _ r ( s ) r ' ( s ) q(s) r'(-$) r (~)r ' (~)"

Also ist

(9) r" (s) + r" (5) = a~ = konst.

(4)1, (8) und (9) fiihren schlie~lich zu der Gleichung

( l o ) ~(~) q(s) = ~ = r~(~) + ~ ( ~ ) = ko~t .

Hieraus erh~lt man noch ~ ~_ [q(s)q(~)] ~.

~o) (B), S. 3~.

Eifl~hen konst~nter Affinbreite. 259

Es sei f i i r s = s o (So= ~ (so))

q(So) = q(go). Dann folgt aus (10) und (11)

(12) q(so) = q (So) = 2 r ( S o ) ~ 2r(~o) -~ r ]/-2.

Betrachten wir den flit den Punkt (~(s)) geltenden Parameterwert s aueh als Parameterwert des Punktes (~(~)), so besteht, wean wit die Differentiation yon ~(~) nach s dutch Punkte bezeichnen, die Beziehung ~s)

(13) ~,a = (~(~), ~ (~)).

Nach (1), (5) und (10) i s t nun

(14)

also ist

(15)

Im Falle

Da ein analoger ist somit:

~'(~) = :" (s) [1

(16)

Ferner errechuet

so daf~ naeh (16)

(17)

q(s) ~ q'(s) r(~) + q" (s ) j - 3 - ~ ~'(s):

Naeh (10) und (13} ist also

a~ ~,3 =__ [q~. ( s ) - - a ~] [q~(s)

Aus (4)~ erh~ilt man andererseits nach (7) und (10)

g, .~_ _ _ q(~)r' (s) __ q3(~) . ~ ,e . q(s) r ' (~) q~(s) '

q (~-) I"

(12) ( ~ = s o ) ergibt sich somit aus (14) .na (15): c-

a ' g,s ___ a4 _ ~, q,, (So) _f_ 3a3 };~ q,.O (So) _~ a ' .

Schlu~ flit den zugeordneten Weft s ~- So - - S (So)

{ a q " ( S o ) = 3 r 2 q ' ~

a q " ( ~ o ) = 3~-2q'~

Nun erh~ilt man dutch Differentiation aus (7)

q" (s) + q"(~) ~'~ + 2q' (~) ~'~" = o.

man aus (7), (11) and (15)

~" = 3q~(s)q'(s) . q (-~) ,

in einem (12) en~sprechenden Punkte sein mu~:

q'*" (so) q- q'~ (~o) q - 2 a q ' ( s o ) q ' ( ~ o ) - - O .

- , ~ = - .'- q" (s)] § a,~ ~ q(8)q'~(,).

gilt,

~) (B), S. 10 (47).

260 W. SiiB. EiflRchen konstauter Affinbreite.

Da nun aus (7) und ( I5)

(18) q6(s)q, (~) + q6 (~)q, ( s ) = 0

folgt, so mug nach(15)und (17) in einem solchen speziellen Punkte sein:

2q'~'(so)(1 -- a) ~- 0.

Der Weft der Konstanten a ist aber yon der zugrunde gelegten Mal~- einheit abh/i, ngig. Somit mull

q' (so)=q'(~o)--O

sein. Dann folgt aus (16)

C(So)=C( o)=O und dutch sukzessives Differentiieren der aus (14) und (15) hervor- gehenden Gleichung, sowie yon (18) fiir alle v = 1, 2, 3 , . . .

( 1 9 ) = 0 = 1, 2 , 3 , . . . ) .

Dann abet mug iiberall auf E (12) bestehen; "E mii$te also im Wider- spruch zu unserer Annahme eine Ellipse sein, w. z. b. w.

Folgender $atz, dessen Analogon in der elementaren Differential- geometrie ich a. a. O. beweisen werde, ist eine Folge des soeben bewiesenen Satzes:

Enthtilt ein EikSrper K in seinem Innern einen Punkt P yon der Art, daft alle P enthaltenden Schnittovale Eilinien mit a/linen Doppel- normalen sind, so ist K ein Ellipsoid.

Da nRmlich die Sehnittovale s~imflich naeh dem Obigen Ellipsen sein miissen, erlaubt ein Satz yon Herrn T. Kubo$a xT) den SchluB, dab K ein Ellipsoid ist.

K a g o s h i m a , April 1925.

1~) "Einfaehe Beweise eines Satzes fiber die konvexe, geschlossene Fl~che; Science Reports of the T6hoku Univ. 8 (I914), S. 235 ft., Kap. lII und IV, woraus sich eine Erweiterung des obigen Satzes entnehmen l~Bt.

(Eingegangen am t4. 7. 19254