Ueber analytische Funktionen mit nichtbe- schrfinkten Randwerten des Realteiles V o r l A . W E I N S T E I N , Breslau

Die folgenden Zeilen enthalten eine Bemerkung tiber das Verhalten einer analytischen Funktion, deren Realteil vorgeschr iebene niclztbe- sc~r~nkte Werte am Rande eines Gebietes annimmt. Wir werden zeigen, dat3 es mbglich ist in gewissen einfachen F~llen das Verhalten der Funktion bei einer be/ieb@en Ann~herung an den Rand mit e lementaren Mitteln festzustellen.

Das Gebie t sei die obere Halbebene f ~ o der Ebene z - - x ~ z),. Fiir das Verhal ten einer analytischen Funktion in der N~he der Stelle z, z o ist die Vertei lung der Randwer te auf der reellen Achse in der U m g e b u n g der Stelle x---~ o ausschlaggebend. Wir wollen zun~chst eine Vertei lung betrachten, wo die Randwer te in einem beliebigen In- tervall rechts von x ~ o, z .B . im Intervall (o, I), die Gr6t3enordnung

I yon ~ haben (o ~ a ~ I), w~hrend sie sonst beschr~nkt sind. Genauer

gesagt wollen wit zun~chst den folgenden Fall ins Auge fassen.

Die vorgeschr iebenen Randwerte ~ (x) des Realteiles der gesuchten Funktion f ( z ) seien

(:) { ~ ) ffir o ~ x und x~- I

~ ( x ) : - - f f i r o < x ~ I ,

wobei Z(X) eine ftir o ~ x ~ z zweimal stet ig differentiierbare Funktion ist, die ftir x---~o nicht verschwinden soll. Ftir den Exponenten a soll die Ungleichung o ~ a ~ I gelten. Wi t werden auch den Fall - - I <~ a ~ o zu bet rachten haben. Die Randwer te sind dann im Punkte x ~ o stetig, die rechtsseit ige Ablei tung, n~imlich Z' (x) x~ A V ~Z(x) x~ -1

I verh~lt sich aber irn Falle Z (o ) :~ o wie x-5~_~. (Dabei wurde f/dr einen

Augenbl ick - - a - - ~, o ~ $ ~ I gesetzt.)

Wir wollen nun zeigen, daf3 es eine analytische Funktion 7" (~) mit d e n vorgeschr iebenen Randwer ten (I) des Realteiles gibt, fiir welche lim ~= [ (z ) exist iert und yon o verschieden ist, wobei z bei dem Grenz- Z ----~ o

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tibergang eine beliebige Folge von Werten mit positivem Imaginiirteil durchlaufen darf. Diese Funktion ist, wie wir gleich zeigen werden, durch das Cauchy-Schwarzsche Integral

1

I fZ(x) dx - - O < g < I ( 2 ) f(~) = i~ ~ ' x - - ~ '

gegeben. Der einzige Punkt der Behauptung, der einer besonderen Untersuchung bedarf, ist das Verhalten von f(z) an der Stelle z~---o. Wi t besch~iftigen uns zun~ichst mit der entsprechenden Frage ftir die Funktion

x

i f d . f ' (~) = ~-~ x ~ ( x - - ~)' 0

die aus f entsteht, indem man Z(X) durch I ersetzt.

Wir betrachten z als Parameter mit einem positiven Imagin~.rteil und bilden das Integral

d~

in der komplexen ~--~-~- i~ l Ebene auf dem in der Figur angegebenen Weg, bestehend aus zwei konzentrischen Kreisen k und K mit dem gemein- samen Mittelpunkt ~ o und zwei zur reellen Achse parallelen unendlich benachbarten Strecken. Im Inneren des Integrationsweges ist derjenige

I Zweig der F u n k t i o n ~ , welcher auf der oberen

geraden Strecke reell ist, eindeutig. Somit ist

K

2~ri unser Integral nach dem Residuumsatz gleich z ~ . Andrerseits be-

kommt man durch Grenztibergang, indem man den Radius von K nach Unendlich, denjenigen von k nach o konvergieren l~if3t, ftir unser Inte- gral den Wert

~ (~ - - ~)' 0

woraus zu ersehen ist, dat3

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1 I f d w _ _ 2 e ~ni~t I

A ( Z ) = ~ x ~ ' ( ~ - z ) - r Z~ - - - - 0

, f dx 1

ist. Daraus aber folgt die Grenzbeziehung

2 s

lim z ~ f ( z ) - - e~ni ~ __ I ~ O. Z.-...~o

Wir betrachten weiter das Verhalten der Funktion

1

I C xB dx I

f, (z) = ~ j T - - z i ~ # ' o

o < # < i

in der oberen Halbebene in der Umgebung der Stelle z - - o . (Der Realteil yon ~ (z) ist gleieh xB im Intervalle o ~ x ~ I u n d gleich o fiir die tibrigen x.) Setzt man xa : x~ - 1 (x - -z ) - i t - zx~- l , so wird

1 1 1

A (Z) : ~ 3 ~ + ~ x t - a ( z - - Z ) isr fl - - i~r xl-~ ( x - - z ) " 0 0 o

Da o < I - - - f l < I i s t , so ist das letzte Integral yon dem eben be-

trachteten Typus. Daraus folgt, daf3 der lira ~ (z) z---,o ~ existiert und yon o

verschieden ist.

Wir betrachten schlie131ich die Funktion (2)

1

I fX(x ) dx f ( a ) = i-~ x ~ x - - z "

0

Da Z ( x ) zweimal stetig differentiierbar ist, setzen wit Z(x) - - - - -Z(o)+

Z' (o) x -[- X" (0 x) x_~" (o < 0 < I). Es wird 2 '

(3)

1 1 1

0 0 o

Das Verhalten des ersten und zweiten Integrals auf der rechten Seite ist soeben festgestellt worden. Das dritte Integral stellt eine in der

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oberen Halbebene analytisehe Funktion dar, deren Realteil auf der

reellen Aehse im Intervalle (o, I) die Wer te x~-~X" (0x) annimmt und 2

aui3erhalb dieses Intervalles, insbesondere ftir negative x verschwindet. Dieser Realteil ist eine an der Stelle x ~ o differentiierbare Funktion.

Schreibt man n~imlich ftir x~-~ 2" (x) den Ausdruck 2' (x) - -2 , (o) - - x 2" (o)

so sieht man sofort, daf3 dieser Ausdruck nach o konvergiert , wenn x dutch positive Wer te nach o strebt. Der rechtsseitige Differenzenquotient

ist also an der Stelle x - - o gIeich Z(x) - - 2 " ( o ) - x Z ' (o) Daraus er- .$-1 +0~

gibt sich, z. B. nach der l 'H6pitalschen Regel, ftir die rechtseit ige Ab- leitung an der Stelle x - - o der Wer t

li-- 2" ( x ) - 2" (o) lira X' ( x ) - 2" (o) :r a-~ x

in Uebereinst immung mit dem Wef t der linksseitigen Ableitung an der- selben Stelle, w. z. b . w . Nach bekannten S~itzen bleibt also die durch das Integral

1

f (x) dx 2 i n x - - z o

dargestellte Funktion bei der Ann~iherung an z ~---o beschr~nkt.

Zusammenfassend ersehen wir also aus der Formel (3), daB, wie be- hauptet wurde, der lira ~ f ( z ) existiert und von o verschieden ist.

Z-----~ o

Dieses Resultat 1Rl3t sich leicht verallgemeinern. Lassen sich z. B.

die vorgegebenen Randwerte fiir kleine positive x in der Form 2"1 (x) fiir Xg, l ,

kleine negative x aber in der Gestalt Z~(x) schreiben, wobei o ~ a~ ~ I,

o <( as ~ I ist und Z~ (x) und Z2 (x) denselben Voraussetzungen wie Z(x) geniigen, so kann man durch eine naheliegende additive Zerlegung der Randwerte eine zugeh6rige analytische Funktion F (z )b i l d en , ftir welche lira z~ F (~) --- o existiert, wobei unter a die gr6i3ere der beiden Zahlen ai und as zu verstehen ist.

(Eingegangen den 27. August 193 l)

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