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Uber das thermische Gleichgewicht zwischen Quantenatomen und Hohlraumstrahlung.

Von P. Jordan in G6ttingen.

(Eingegangen am 8. Juli 1925.)

Die bekann~en E i n s t e i n schen Wahrscheinliehkeitsgesetze fiir die Weehselwirkung yon Strahlung und Materie bedi~rfen einer Ab~nderung, wenn fiir die materiellen Atome die neue Statistik yon Bose und E i n s t e i n angenommen wird. Es wird gezeigt, dai] man dureh eine einfaehe und sehr natiirliehe Ab~nderung dieser Wahrscheiniiehkeitsgesetze das thermische Gleiehgewicht in der gewiinsehten Form

erhalten kann.

Naehdem B o s e 1) eine sehr durchsichtige neuartige statistische Ab-

lel tung der P l a n c k s c h e n Formel gegeben hatte, ha t E i n s t e i n ~) es

unternommen, die yon B o s e gebrauehten sta~is~isehen Prinzipien auch auf

das ideale Gas anzuwenden. Die E i n S t e i n sche Sta~istik verf~hrt folgender-

ma3en: Der makroskopisehe Zus~and ~st gegeben durch die Anzahlen ns

yon L~chtquanten bzw. idealen Atomen, die in ein gewisses, dureh elne

bestimmte Energie zwischen Es und Es + zIEs bes~Smmtes Elementar-

gebiet s (---~ 1, 2 , . . . ) fallen. Die gleiehwahrseheinliehen Komplexionen sind

gegeben dutch die B e s e t z u n g s z a h l e n der e~nzelnen Ze]len (der GrSJe hs),

in die der Phasenraum getei l t ist. I s t also z s die Zahl. der Zellen im

Elementargebiet s, so is t die Wahrscheinl ichkei t eines makroskopisehen

Zustands ns gegeben durch

W = H(n* + z~-- l), 8 x T~ 8

w o r a l l S

S = k log W = k {(n8 + zs) log (n8 + ~,) - - n~ log nz - - zz log z~}

und flit das Gleiehgewieht Z8

n~ ea+fYE8- 1 (1)

folgt, wobei a und ~ dureh die Nebenbedingtmgen

~ = ~, (2 a) 8

n~.E~ : ~ (2 b) 8

l) S. 1% Bose, ZS. f. Phys. 27, 384, 1924. 2) A. E i n s t e i n , Sitzungsber. d. Preul]. Akad. d. Wiss. 1924~ S. 261;

1925, S. 3, 8. Zr fiir Physik. Bd, XXXII I . 4 4

650 P. Jordan,

bestimmt sind. Man erh~lt im Gleiehgewicht

S = k{-- ~ z~log (1 - - e-a-~E*) + a N + fl~}.

Dutch Betrachtung eiaer isopyknischen Erw~rmung erh~.lt man

d'E-~-- T d S ~ k T { ~ z s d ( a - ~ - - e a+(Jtcs

also

{- N d a -~- d(f lE)} k T d ~ ,

1 - - k T (3)

Die GrSl~e er h~ngt im allgemeinen in transzendenter Weise mit der Tem- peratur zusammen. Die Energie /~ elner einzelnen Partikel ist

E = c + + ,:y und somit wird

m o c s ) E s .E

wen~ V das Volumen der Gasmenge ist. Fiir die Hohlraumstrahlung ist m 0 --- 0 lmd ferner fallt (2 a) tort, was den Fortfall yon a in (1) be- wirk%. Man muI~ iedoeh in diesem Falle das nach (4) bestimmte z, noeh mit zwei multlplizieren, am das richtige Ergebnis zu erhalten. Bose hat velanutet, dal~ diese Ver~opplung mlt den verschiedenen Polari- satlonsmiigliehkeitell der Strahhng zusammenhAnge.

Wit wollen nun die gleichzeitige Anwesenhelt yon Strahhmg und etwa yon treien Elektronen in einem HoMraum betraehten. Sofern nicht etwa Elektronen aufLreten, die nahezu Lichtgeschwindigkeit besitzen, ergibt sich keine Illter~erenz zwischen den Lichtwellen and den Wellen, die nach de B r o g l i e den Elektronen zugeordne t sindl); es kann dan~ die Formel (1) sowoM liir die Elek~onen, als auch - - unter Streichung yon a - - Itir die SLrahlung (P lancksche Formel!) angewandt werden. Die WahrscheinJJchkeitsgesetze fiir die W e ch s e l w i r k u n g yon StraMung und Elektronen, wie sie zur Auirechterhaltung deu thermischen Gleich- gewichtes nStig sind, hat P a u l i u) ira Anschlu~ an E i n s t e i n s grund- legende Untersuehungen entwickelt ~[ir den Fall, dal3 ~iir das Elektronengas die klassische Statistik angenommen wlrd. Es ergibt sich die Frage, Wie:die Paul ischel l Annahmen abzuRndern sind, wenn die E i n s t einsche Gastheorie zugrunde gelegt wird.

x) Vgl. hierzu die zitie/rten Arbeiten von Einstein. s) W. Pauli jr., ZS. f. Phys. 18, 272, 1923; 22, 261, 1924.

Uber das thermische qleichgewicht zwischen Qua~tenatomen usw. 651

Bekanntlieh sind die Pau l i schen Annahmen die folgenden. Der

impuls des Elektrons vor bzw. nach dem Elementarprozefl sei @*, | der

des Liehtqnants F*, F ; Energien des Elektrons seien U*, g, des

Quantums E*, E. Der :Prozel] kann beschrieben werden durch @*, F*

und die Polarwinkel 0, q) yon 63 0 relativ zn 63~, wo 630, 630 die Werte

yon 63", 63 in dem dutch 63o-f-/~o ~ 630 @Y'o = 0 fesfgelegten , , N o r m a l k o o r d i n a t e n s y s t e m " sind. Die Wahrscheinlichkeit W* eines

Prozesses, bei dem 63*, F*, 0, q) in

d63" --- d63*zd63~d@*, d_F* --- df'~dFydFz,* ~ d ~ = s inOdOdop

liegen, soll proportional mit der Anzahl d N* ~ N* d 63, yon Elektronen

in )63* sein. W* ist vollstandig gegeben dutch

d63" d F * 8 ~ h W * - ~ - N * ' B Q * ( c t v ~ - I - O " ) U* E* d ~ ; c~---=- e--y- , (5)

entsprechend ftir den inversen Prozel3: d~5 d F

W - - ~ N ' B O ~ ( ~ v * 3 - + - O * ) U E

Da nun naeh P a u l i d @* d@ d l"* d F

U* U ' E * ~E

- - - - dt~. (53

is~, so ergibt die Gleichgewichtsbedingung' W* ~ W: vi

N , ~ - - + 1 0" - - 1, ( 6 )

N v .3

und das ist efffill~; wenn das P l a n c k s e h e Gesetz

0 , = h~ ( 7 )

e k T - 1

gilt und entspreehend der klassisehen Statistik

N * U* -- U 5r - - = e k r ( 8 )

angenommen wird ; denn es ist U* - - U ~ h (v - - v*).

In weleher Weise man nun die Pau l i s ehe Annahme (5) abandern

toni], wenn man start (8) eine Ver te ihng

A* A N * _ - ( 9 )

U* , N - - - - U

e - --i e 1

4 4 *

652 e. Jordan,

entsprechend (1) zugrunde legtl), ist dureh folgende (]berlegung zu finden. Die (durch V dividierten) GrSl~en N*~ N sirtd als S t r a h l u n g s d i c h t e n der naeh de B r o g l l e den Elektronen zugeordneten Wellenstrahlung an- zusehen (his auf einen noch yon der Frequenz abhgngigen Normierungs- faktor). Die Elementarakte der Zerstreuung kSnnen wir nicht nur als Zerstreuung yon L i c h t s t r a h l u n g an m a t e r i e l l e n K o r p u s k e l n , sortdern auch als Zerstreuung yon M a t e r i e s t r a h l u n g an k o r p u s - k u l a r e n L i e h t q u a n t e n betraehten; es wird deshalb dies Wahr- scheinliehkeitsgesetz symmetrisch in bezug auf die Dichten 0", pv der Frequenzen v*, v des Lichtquantes vor und nach dem Prozel~ elnerseits und die Diehten N*, N der Frequenzen bzw. Zust~nde ~*, (~t des Atpms vor und naeh dem Prozel~ andererseits sein miissen. Das ergibt folgenden Ansatz :

W* ~--- N* (A + N). B

W ~- N(A* + N * ) . B O,,(uv *~ + O*)

Die Gleiehgewiehtsbedingung W* ---~ W oder

d @* d P* O*( uv3 + 0,,) U* E* d$2, (10)

d (Y) d E d~. (lo3

U E

A ~)3

A* v* 3. 5: -~+1 ~ o . + 1

- - 1 (11)

ist dann mit (9) und (7) wirklich ediillt. Physikaliseh enthalt (10) die merkwiirdige Behauptung, dal] die

Wahrscheinlichkeit fiir das Eintreten eines Quantensprtmges nicht nur yon der Anzahl der ira Ausgangszustand vorhandenen Atome, sondern auch yon der Anzahl der im Endzustand vorhandenen Atome abhangig ist. Bei grol~er Masse der Atome oder hoher Temperatur wird diese letztere Abhangigkeit jedoch quantitativ unwesentlich. Wird in einem der Faktoren in (11) die 1 vernachlassigt, so erhMt mart die Maxwel l sche Verteilung fiir die Atome bzw. die Wiensche ~ r die Strahlung.

Diese Betraehtungen fiihren auch zur Beantwortung der Frage, welehe Wahrseheinlichkeiten fiir ,, StSl~e" der Gasatome un t e r e in an d e r angenommen werden ,niissen, damit keine StSrung des Gleiehgewichtes eintritt. Bezeiehnen wir mit (~*, ~* die Impulse der beteiligten Atome vor, mit @, @1 naeh dem Stol~, so ist naeh den klassisehen Vorstellungen

1) ~brigens ist hier offenbar A* ~- A ~ V h -3.

t)ber das thermiscbe Gleichgewicht zwisehen Qnantenatomen usw. 653

die Sto~wahrscheinllchkeit proportional mit N* d @* ttnd N 1 d @~ und enbprechend fiir den inversen Prozel~:

w * = N * N~*. B d @* a@~ U* U* d$2, (12)

W ~ N N I . B d@ d@t u G 02') aus W* ~ W folgt also

N * N ~ = ~ - N v

und d~s ist mit (8) wirk.lich erfiillt, da U* -~-U~ : U + U x isf.. Die Funktion B kann z. B. durch die Annahme festgelegt werden, dab die Atome sich (ira Grenzfall der klassischen, nichtrelativistischen ~echanik) wie starre Kugeln verhalten sollenl). Fiir die E ins t e insche Statistik ist (12), (12') zu ersetze~ durch

w* = N*X (A + + ZC ).B d@* U* U~

W = NN~ (A* + 2V*) (A* -~ N*) . B d @ d@ x d ~ , (13')

in vollkommener Analogie zu den Formeln (10), (10') des Comptoneffekts. Man sieht, da~ dann das Gleichgewicht ungesttirt bleibt. Diese Be- merkung scheint deshalb von Wich~igkeit, weiI sie die h[(iglichkeit erSff~et, nich~ nur das Gleicbgewicht, sondern auch beliebige Bewegtmgen usw. im entar~eten Gase in Analogie zur klassischen kinetischen Gastheorie zu behandelnU). Vorauszusetzen ist lediglich die I n k o h a r e n z der zugeord- neten de Brogl ieschen Strahlung.

Endiich betrachte~ wlr noch den Fall, d~/~ dle Gasatome nlch~ n~r mit verschiedener translatorischer Energie, sondern auch in mehrcren Quantenzustinden mit verschiedener ianerer Energie auftreten kSnnen. Der Austausch Zwischen den verschiedeaen Quante~zust~nden kann durch die einfache Absorption und Emission eines einzelnen Quantums oder aucb allgemein dl~rch Brozesse erfolgen, an denen sich beliebig viele Licht- quanten beteiligen. Unter Zugrundelegung der gewShnlichen Statistik ~iir die Atome haben E i n s t e i n und E h r e n f e s t s) das allgemeine Wahr-

1) Dem Umstande, fla~ dann W*~ W bei growler Gasdiehte nicht mehr exakt die Form (12), (12') haben~ entsprJcht die Tatsache, dab das Gas sich dann nicht mehr ideal verh~lt.

~) Eine Unterbrechung der inneren Reibung unter der Annahme (13)soil an anderer Stelle ausgeftihrt werden.

s) A. Einstein und P. Ehrenfest , ZS. L Phys. 19~ 301, 1923.

6 5 4 P. Jordan,

sehsinlichkeitsgesetz fiir solche Prozesse angegebea. Wenn wit auch hier U

die , ~ a x w e l l s c h e " Verteilung iV ~ Ce kT, WO U die gesamte (trans- latorisehe und innere) Energie des Atoms bezeiehnet, ersetzen dureh

A i V - - U

e a + ~ ' ~ - - 1

so zeigt sich, dal~ auch bier die einzige ~uderung, welche an dem all- gemeinen Gesetz yon E i n s t e i n und E h r e n f e s t vorzunehmen ist, in dem Ersatz einer ProportionalitKt mit iV* bzw. iV dutch sine Proportionalitat mit iV* (A ~-2V) bzw. iV(A* ~- 2V*) bestehtX). Dabei beziehen sich N*, N wieder auf Anfaugs-und Endzustand des Atoms. Entsprechend dem Ansatz (13) ist nun auch sofort anzugeben, wie die Wahrseheinlichkeiten ~iir S t o S a n r e g u n g e n (St~l]e erster nnd zweiter Art) in Rticksicht au~ die Gasentartung abzu~ndern sin&

Endlich k6nnen diese ~berleguugen auch angewaudt werden auf die im Ansehlul~ an Arbeiten verschiedener Forseher yon D i r ae ~) allgemein behaudelten Elementarprozesse, bei denen sich auller beliebig vielen Quauten auch beliebig ~iele materlelle Partikel beteiligen, welehe dabei beliebige Anreguugen, Dissoziationen, u Ionisieruugen usw. erleiden k~nnen. Dabei ist die Ke~ntnis der Gleiehgewichtsverteilung in einem Ge misch versehiedener Gase efforderlieh. Auf diese Fragen soll in einer naehfolgeuden Note eingegangen werden.

Zum Sehlu$ sei noch au~ folgendes hingewiesen. Werden Lieht- quanten und freie Elek~ronen in einen Hoklraum mit spiegelnden Wanden gebraeht, und wird angenommen, dal~ uur vermlttelst C o m p t o n e f f e k t eine Weehselwirkung zwischen den Partikeln stattfinden kann, so wird die vorgegebene Anzahl der Lichtquanten uxaverandert bleiben und das P laneksehe Gesetz im a11gemeinen nicht hergestellg werden k~nuenS). Den wahrscheinliehsten un te r dieser Bedingung zu erreichenden Zustand erhalten wit naeh der Boseschen Statistik, wenn wit die Neben-

1) Allerdings ist diese einfache Annahrae nur dana als berechtigt anzusehen, wenn die Differenzen der Energien bzw. Ruhmassen der verschiedenen An- regungszust~nde groll genug sind, um sine In te r fe renz tier verschiedenen Atomzustande zu verhindern.

'~ P. A. ~. Dirac, Proc. Roy. Soc. (A) 106, 581, 1924. 3) Auf diesen Umstand ist auch W. Bothe, ZS. f. Phys. 28, 214, 1924, auf-

merksam geworden.

Uber das thermische Gleichgewicht zwischen Quantenatomen usw. 655

bedingung (2 a) nicht fortlassen, so dal] in (1) das a stehen bleibt. Die

Strahlungsformel wlrd G6 ?2 3

. . . . h~ , a = a ( r ) .

e a+;~'~- 1

Man sieht nun unmittelbar aus (6) bzw. (11), dal] nach den Pau l i s chen bzw. den abgeanderten P a u ] i s c h e n WahrScheinlichkeitsgesetzen wirklieh diese Strahhmgsverteilung mit den Elektronen im Gleichgewicht ist.

(Sie ist, wie man aus der E i n s t e i n - E h r e n f e s t s c h e n Formel sehen kann, allgemein dann mit der Materie im Gleiehgewicht, wenn bei iedem

Elementarprozel] die Anzahl der Quanten unverander% bleibt.) Anders ausgedri~ekt: Die B o s e - E i n s t e i n s c h e Statistik liefert auch in diesem Falle in richtiger Weise den Ausdruek fiir q~, welcher yon den P a u l i -

sehen (E i n s t e i n- E h r e n f e s t sehen) bzw. den abge~ndert6n W ahrscheinlich- keitsgesetzen verlangt wird. Dieser Umstand scheint geeignet, das u

trauen zu dieser Statistik weiter zu verstarken.

Herrn Prof. B o r n m~chte ieh fiir seine treundHchen RatscMage auch an dieser Stelle meinen Dank ausspreahen. Ferner babe ich Herrn Prof. E i n s t e i n zu danken ~iir die liebenswiirdige Anteilnahme, welche

er dieser Arbeit entgegenbraehte.