SALZMAIWI~, I-I.

Math. Zeitschr. Bd. 6t, S. 489--494 (1955)

Ober den Zusammenhang in topologischen projektiven Ebenen.

Von

HELMUT SALZMANN.

1. Def in i t ionen . Eine projektive Ebene besteht aus einer Menge P von Punkten p und einer Menge | yon ausgezeichneten Punktmengen G, den Geraden, so dab je zwei Punkte p:~q in einer eindeutig bestimmten Ver- bindungsgeraden p ~ q enthalten sind und je zwei Geraden G 4= H genau einen Schnittpunkt G ~ H haben. AuBerdem wird die Existenz yon vier Punkten vorausgesetzt, yon denen keine drei auf einer Geraden liegen. Eine solche Ebene heiBe topologisch, wenn in der Menge der Punkte sowohl wie in der Menge der Geraden je eine Topologie gegeben ist Fbestimmt dutch das System der Filter ~B(p) yon Umgebungen V des Punktes p bzw. das System der Filter Z(G) von Umgebungen ~ der Geraden G], beztiglich deren die Abbildung der Menge der Paare verschiedener Punkte auf ihre Verbindungsgeraden und ebenso die Abbildung der Menge der Paare verschiedener Geraden auf ihre Schnittpunkte stetige Operationen sin& Die gr6bste Topologie, bei der als einzige Umgebung die Menge Pal ler Punkte bzw. die Menge @ aller Geraden auftritt, soll dabei ausgeschlossen werdenl). Damit eine Zweideutigkeit in der Bezeichnung vermieden wird, bedeute ftir zwei Mengen ~L ~ von Geraden der Ausdruck ~ @ ~B die Menge aller Schnittpunkte A ~ B mit A E ~, B E ~B und A 4= B; dual dazu wird A y B ffir Punktmengen A, B verwendet.

2. G r u n d t a t s a c h e n . Aus der Definition der topologischen Ebene folgt insbesondere die Stetigkeit jeder Perspektivit~t zwischen Punktreihe und Geradenbfischel (im Sinne der Zuordnung der Punkte einer Geraden, dem ,,Tr~ger der Punktreihe", zu ihren Verbindungsgeraden mit einem nicht auf der Geraden liegenden Punkt, dem ,,Tr~ger des Geradenbtischels"). Daher ist jede Projektivit~t zwischen zwei Geraden, als Hintereinanderausftihrung von Perspektivit~ten, ein Hom6omorphismus der v o n d e r Topologie der Punktmenge in den Geraden induzierten Topologien, die kurz als lineam Topologien bezeichnet seien.

Im Raum der Punkte einer topologischen Ebene (und dual dazu auch im Raum der Geraden) gilt das FRECHZTsche Trennungsaxiom 7"1, welches besagt, dab jeder Punkt eine Umgebung hat, die einen betiebigen anderen Punkt nicht enth~ilt. Sp~ter l~Bt sich hieraus noch eine sch~rfere Trennungseigenschaft

1) Die verwendeten topologischen Begriffe ~ndet man in [1], [2], Filter insbesondere in [2], die Ti-Terminologie in [1].

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folgern. Der Beweis fiir 71 ergibt sich aus der dreifachen Transitivit~t der Gruppe aller Projektivit~ten einer Geraden auf sich 2) in folgender Weise: Nach Voraussetzung gibt es zu einem geeigneten Punkt p eine Umgebung, die wenigstens einen anderen Punkt q nicht enth~lt. Das Paar p, q l~Bt sich durch eine Projektivit~t in jedes Paar verschiedener Punkte der Geraden p ~ q fiberffihren, also gibt es zu jedem solchen Paar eine Umgebung des einen Punktes, die den anderen nicht enth~lt. Das ist die Eigenschaft T 1 ftir die lineare Topologie der Geraden p ~ q und wegen der HomSomorphie aller Geraden gilt T 1 ftir alle linearen Topologien. Aber nut ein T1-Raum kann in einem ihn fiberdeckenden System von Unterr~umen (bier den Geraden) lauter T1-Topologien induzieren.

In einer topologischen Ebene ist die Topologie im Raum der Geraden in folgender Weise durch die Topologie im Raum der Punkte bestimmt: Sind Pl, Ps zwei verschiedene Punkte au/ der Geraden G und p ein Punkt au~erhalb G, so wird der Umgebungsfilter Z(G) erstens erzeugt yon allen V 1 ~. V 2 mit Vi C ~(Pi) und zweitens ebenso vo~ allen U 1 ~. U s mit U~ = V~ ~ (p~ ~ #), V i C ~ (Pi). Einer- seits ist es n~mlich unmittelbarer Ausdruck der Stetigkeit der Bildung der Verbindungsgeraden, dab jedes | in Z(G) ein V 1 .~V 2 und damit auch ein U~ .~ U s enth~lt, andererseits ergibt die Stetigkeit der Bildung des Schnitt- punktes zu einem gegebenen V~, das p nicht enth~lt, eine Umgebung ~ von G, so dab ftir alle S ~ ~ gilt (p~ ~ #) ~ S C Vi, also U~ ~ S :~ ft. Daher ist wegen U 1 ~ U 2-- 0 jede Gerade S aus | ~ | in U 1 .~ U~ enthalten. Das heiBt aber U 1 .~ U s und erst recht V 1 .~ V 2 E 27(G). Diese Beziehung zwischen Punkt- und Geradentopologie l~13t sich natiirlich auch dualisieren.

Nun kann man zeigen: Jede Gerade ist eine abgeschlossene Teilmenge des Punktraumes. Ist n~mlich p ein Punkt auBerhalb der Geraden G und q C G, so gibt es eine Umgebung der Geraden p ~ q yon der Form V .~ W mit V C ~ (p), WC ~ (q), q E V, die G nicht enth~lt; h~tten jetzt V und G einen gemeinsamen Punkt r, so l~ge G=:r~q entgegen der KonstruktioI1 doch in V~.W, daher kann V die Gerade G nicht treffen und die Komplement~rmenge der Geraden ist often.

Aus dem angegebenen Zusammenhang zwischen Punkt- und Geraden- topologie zusammen mit der Homogenit~t der Geraden und der HomSomor- phie aller Geraden untereinander l~13t sich erkennen, da$ die Topologie einer topologischen Ebene schon durch den Umgebungsfilter eines Punktes in der linearen Topologie einer Geraden durch ihn bestimmt ist. Es ist eine offene Frage, welchen Bedingungen dieser Umgebungsfilter genfigen muB, damit er von einer Topologie der Ebene induziert werden kann.

3. K o o r d i n a t e n u n d a f f i n e E b e n e . W~hlt man in einer projektiven Ebene zwei Punkte u 1 und u s und l~Bt ihre Verbindungsgerade und jeden

2) Diese dreifache Transi t ivi t~ ergib~ sich leicht durch Hintereinanderausfiihrung yon h6chstens drei geeignet gew~hlten Perspektiviti~ten, sie ist bewiesen in [6], S. 59 und in [~]. Hier wird nur die zweifache TransitivitAt benutzt, an sp~terer Stelle jedoch auch die dreifache.

~lber den Zusammenhang in topologischen projektiven Ebenen. 491

ihrer Punkte aus der Ebene fort, so erh~lt man eine affine Ebene, deren Ge- raden als ,,affine Geraden" bezeichnet werden. Affine Geraden, die zu- sammenfa]]en oder keinen Punkt gemeinsam haben, heil3en paralld. Nach Wahl eines Punktes 0 lassen sich die Punkte p der affinen Ebene in der fiblichen Weise durch

den Paaren (Pl, P2) von Punkten p~ auf den Achsen Ai umkehrbar eindeutig zuordnen; die affine Ebene erscheint also als mengentheoretisches Produkt zweier ihrer Geraden. Liegt nUll die affine Ebene in einer topologischen projektiven Ebene, so l~tl3t sich sogar sagen: Die a][ine Ebene ist topologisches Produkt zweier ihrer Geraden, d.h. der Umgebungsfilter eines Punktes (p~, p,) wird erzeugt durch die UI• U~----{(x 1, x,,)Ix i E Ui}, wobei die Ui Umgebungen yon Pi in der linearen Topologie yon A i sind. Nach der Dualisierung der zweiten Form der Kennzeichnung des Zusammenhanges zwischen Punkt- und Geradentopologie erh~lt man n~mlich eine Basis yon ~ ((Pl, P2)) in der Gestalt aller | @ | wobei 61 die Einschr~nkung einer Umgebung yon Pl ~ u2 auf das Geradenbfischel mit dem Tr~ger u 2, also von der Form U1 .~ {u~} ist und das Entsprechende bei Vertauschung der Indizes ftir 62 gilt. Auf Grund der Zuordnung der Punktepaare zu den Punkten ist abet 61 Q 6,---- U 1 • U 2.

Die Darstellung der affinenen Ebene wird nach Wahl eines Punktes e, der auf keiner der beiden Achsen liegt, zu einer Koordinatendarstellung, indem man den durch (Pl, Ps) bestimmten Punkt p kennzeichnet durch das Paar (x~, yp) yon Elementen

der Menge D der Punkte der affinen Geraden A s. Bezeichnet man y, dutch t und erkl~trt man z (s, x, t) als dasjenige Element y yon D, ffir das der Punkt (x, y) auf der Parallelen durch (0, t) zu der Geraden (0, 0)~ (t, s) liegt, so wird D mit der dadurch erkl~rten tern~ren Verknfipfung z zu einer als Tern~r- k~rper bezeichneten algebraischen Struktur, von deren Eigenschaften bier nur gebraucht wird, dab sie mit der dutch x + y = z ( L x, y) gegebenen Addition eine Loop mit dem neutralen Element 0 bildet.

Eine additive Koordinatenloop in der linearen Topologie einer topologischen Ebene ist eine topologische Loop in dem Sinne, dab die Addition und ihre beiden Umkehrungen stetige Funktionen sind. Das ergibt sich unmittelbar daraus, dab sich in der Beziehung x + y = z jede der drei Gr613en aus den beiden anderen und den Punkten 0, e, ul, u 2 durch die stetigen Operationen des Verbindens und Schneidens ausdriicken l~Bt; so ist etwa, wenn man noch u = (0 ~ e) c~ (u 1 ~ us) setzt,

In einer topologisehen Loop /olgt aus dem Trennungsaxiom T 1 sogar die Regularit~t (Ts). Beweis: Zu einer Umgebung U yon 0 gibt es wegen der

492 HSLMUT SALZMA~N:

Stetigkeit eine Umgebung V yon 0 mit V + V_<_ U. Ffir einen Punkt x ist die Menge der w mit v + w = x ftir ein v 6 V eine Umgebung von x, die also, falls x zu der abgeschlossenen Hfille V von V geh6rt, einen Punkt aus V ent- hiilt, woraus x 6 V + V und daher V __( U folgt. Wegen der Homogenit~t der linearen Topologie enth~lt also jede Umgebung die abgeschlossene H~lle einer anderen, wie behauptet. Anwendung der frfiheren Siitze liefert daraus sofort: In einer topologischen Ebene sind Punkt- und Geradentopologie regular.

4. Zusammenhang . Eine topologische Ebene heiBt zusammenh~ngend, wenn sie nicht als Summe 8) zweier echter abgeschlossener Teilmengen dar- gestellt werden kann, oder, was dasselbe heil3t, wenn die leere Menge und die ganze Ebene die einzigen gleichzeitig offenen und abgeschlossenen Punkt- mengen sind. Will man etwa im Fall einer zusammenh~ngenden desargues- schen Ebene (wo der Tern~rk6rper ein Schiefk6rper ist) S~tze fiber zusammen- h~ngende topologische Schiefk6rper anwenden, so erhebt sich die Frage, ob auch die affine Ebene zusammenh~ngt. Sie soll im folgenden behandelt werden.

Aus der erw~hnten dreifachen Transitivit~t der Gruppe der Projektivit~ten einer Geraden folgt die Transitivit~t der Gruppe//D (x) der den Punkt x fest- lassenden Projektivit~ten der affinen Geraden D auf der Menge der von x verschiedenen Punkte von D. Hieraus ergeben sich nun zun~chst fiir das Zusammenhangsverhalten der affinen Geraden genau zwei M6glichkeiten: Sie ist entweder zusammenh~ngend oder nirgends zusammenh~ngend4), worunter verstanden wird, dab der die zusammenh~ngende Komponente eines Punktes x enthaltende Durchschnitt aller gleichzeitig offenen und abgesch]ossenen Um- gebungen yon x, die sog. Quasikomponente 4) yon x, auf diesen einen Punkt zusammenschrumpft; denn dieser Durchschnitt ist invariant unter/70 (x) und enth~lt daher zugleich mit einem weiteren Punkt auch die ganze Gerade D. Die beideu Eigenschaften, zusammenh~ngend oder nirgends zusammen- h~ingend zu sein, kommen gleichzeitig der affinen Geraden und der zum topologischen Produkt der affinen Geraden mit sich selbst hom6omorphen affinen Ebene zu.

Aus dem Zusammenhang der affinen Geraden folgt derjenige der projek- tiven Geraden, dieser ist gleichwertig mit dem der punktierten Ebene und aus diesem folgt derjenige der ganzen Ebene; denn einmal erzeugt eine Zer- legung der projektiven Geraden in zwei abgeschlossene Teilmengen eine eben- solche der affinen Geraden, zum anderen k6nnen in der punktierten Ebene je zwei Punkte fiber einen dritten durch einen zusammenh~ngenden Zug aus zwei Geraden verbunden werden, w~ihrend umgekehrt die punktierte Ebene durch Projektion aus dem herausgenommenen Punkt auf eine nicht durch ihn gehende projektive Gerade abgebildet werden kann, die als stetige Funktion den Zusammenhang erh~lt; schliel31ich induziert auch die Zerlegung der pro- jektiven Ebene in zwei abgeschlossene Teilmengen eine solche der punktierten Ebene.

3) Summe ist hier gemeint als Vereinigung disjunkter Teilmengen. 4) Diese Bezeichnungen sind gewAhlt in Anlehnung an [4], S. 79--96.

Ober den Zusammenhang in topologischen projektiven Ebenen. 493

Der hohe Grad von Homogenit~it in einer topologischen Ebene l~illt ver- muten, dab die in allgemeinen R~iumen mSgliche Erscheinung, dab eine zusammenh~ingende Punktmenge dutch Herausnahme eines einzigen Punktes in lauter einzelne Punkte zerf~illtS), in einer Ebene nicht vorkommen kann. In der Tat hat der Zusammenhang der projektiven Geraden den der affinen Geraden zur Folge. Der Beweis hierfiir ergibt sich so: Wegen der Homo- genit~it der projektiven Geraden G kann man die affine Gerade aus dieser durch Herausnahme eines beliebigen Punktes z entstanden denken. Ange- nommen, die affine Gerade sei nicht zusammenh~ingend; da sich dann aUe ihre Quasikomponenten auf einzelne Punkte reduzieren, gibt es zu zwei Punk- ten x, y eine offene Umgebung 0 von x, die y nicht enth~ilt und in G- - {z} gleichzeitig often und abgeschlossen ist, deren Rand in G also h5chstens aus dem Punkt z besteht. Die Betrachtung der affinen Geraden G- -{y} lehrt ebenso die Existenz einer offenen Umgebung Q von x, die z nicht enth~lt und deren Rand hSchstens aus dem Punkt y besteht. Jetzt ist 0 ~ Q eine von G verschiedene offene Umgebung von x, deren Rand in

(0 + {z}) ~ (Q + {y}) -- (0 ~ O)

enthalten und damit leer ist, so dab also auch die projektive Gerade nicht zusammenh~ingt.

Weiter gilt der Satz: A lle Geraden einer zusammenhiingenden pro]ektiven Ebene sind zusammenhiingend. Der Beweis erfolgt wieder indirekt: Sei G eine nicht zusammenh~tngende Gerade, p ein nicht auf ih r gelegener Punkt und a die (stetige) Projektion der punktierten Ebene P - - { p } aus p auf G. Fiir x E G i s t a - i x = (x,-,p)--{p}. Der Durchschnitt K aller in P - - { p } offenen und abgeschlossenen Mengen, die a-ix umfassen, ist, da ja a -1 offene Mengen in offene und abgeschlossene in abgeschlossene tiberftihrt, enthalten im Durch- schnitt der Urbilder a -1S aller x enthaltenden in G offenen und abgeschlossenen Mengen S und dies ist nichts anderes als das Urbild des Durchschnittes aller dieser S, also der Quasikomponente von x in G, die nach Voraussetzung aus dem Punkt x allein besteht, d.h. K_(_ a -I x. Andererseits ist die Quasikom- ponente von x in P - - {p} enthalten in K. Fiir einen Punkt q • x ~ p findet mall nun (ebenso wie beim vorigen Beweis) eine in P offene Umgebung 0 von x, die q nicht enth~ilt und hSchstens den Randpunkt p haben kann. Vertauschen yon p und q ftihrt zu einer entsprechenden Umgebung Q von x. Nun ist wieder 0,4 Q eine yon P verschiedene nicht leere randlose offene Menge und damit P nicht zusammenhiingend.

Schlieitlich ergibt sich, dab auch die projektive Gerade, die punktierte und die projektive Ebene nur zusammenh~ingend oder nirgends zusammen- h~ingend sein kSnnen. Fiir die projektive Gerade folgt das unmittelbar aus der mehrfachen Transitivittit der Gruppe der Projektivit~iten. Ist die pro- jektive Ebene nicht zusammenh~ingend, so findet man nach dem voran- gegangenen Beweis in ihr und daher auch in der punktierten Ebene zu einem

5) Ffir ein Beispiel s. ES], [4], S. 85.

494 HELMUT SALZMANN: ?3ber den Zusammenhang in topologischen projektiven Ebenen.

P u n k t x eine offene und abgeschlossene Umgebung , die einen bel iebigen anderen P u n k t n ich t enthAlt. Dahe r bes t eh t die Quas ikomponen te yon x aus dem P u n k t x allein.

Zusammen/assend hat man das Ergebnis, daft in einer topologischen pro]ek- riven Ebene die a]/inen Geraden, die pro]ektiven Geraden, die a/fine Ebene, die punktierte Ebene und die game Ebene sdbst entweder alle zusammenh~ngend oder alte nirgends zusammenh~ngend sind.

L i t e r a t u r .

[-1] ALEXANDROFF-HOPF: Topologie I. Berlin 1935. - - [2] BOURBAKI, N.: Topologie g6n6rale I. Paris 1940. - - [3] KNASTER-KURATOWSKI: Sur les ensembles connexes. Fundamenta Math. 2, 206---255 (1921). - - [4] KURATOWSKI, C.: Topologie II. Warschau t 9 5 0 . - [5] PICKERT, G.: Frojektive Ebenen. Erscheint 1 9 5 5 . - [6] VEBLEN-YouNG: Projective Geometry I. New York t910.

Zusatz bei der Korrektur. Die Ergebni~se dieser Arbe i t t tberschneiden sich teilweise mi t denen von L . A . SKORNIAKOV, T r u d y Moskov. Mat. Obsc. 3, 347--373 (t9~4), die dem Verfasser w~hrend der K o r r e k t u r du rch ein Refera t b e k a n n t wurden .

Ti~bingen, Mathematisches Institut der Universit~t.

(Eingegangen am 13. Dezemb'er 195g.)