VI. Ueber den ZusawunaeiaJcZung xweier einfuclter T6tae; von W. V o i g t .

(Aus d. Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu Gott.; rnitgetheilt vorn Hrn. Verf.)

Bezuglich des in der Ueberschrift genannten Problems liegen einander scheinbar stark widersprechende Beobach- tungen vor.

Wahrend Hr. v. H e l m h o 1 t z l) u. a. beim gleichzeitigen Erklingen zweier einfacher Tone von den Schwingungszahlen n1 und nz, von denen nz < n, sein mag, noch Tone von den Schwingungszahlen :

n, - n, und n2 + n1 wahrgenommen hat, so findet Hr. R. K o n i g 2 ) Tone von den Schwingungszahlen :

- vorausgesetzt, dass v eine game Zahl ist, also vnl und (u + 1) n1 die Schwingungszahlen derjenigen beiden harmo- nischen Obertone des tieferen Tones sind, welche den hohe- ren unmittelbar einschliessen; die vorgenannten Tone da- gegen vermochte Hr. K o n i g in so wenigen und unsicheren Fallen zu horen, dass er die Ansicht ausspricht:

Die Existenz von Summen- und Differenztonen kann bis jetzt mit einiger Sicherheit durch keinen Versuch bewiesen ~ e r d e n . ~ )

Was die Erklarung der beobachteten Erscheinungen an- geht, so hat Hr. v. H e l m h o l t z bekanntlich die Annahme gemacht, dass in den Fallen, wo Combinationstone gehort werden, die primaren Tone durch Schwingungen von so grosser Amplitude hervorgebracht werden, dass die Anwen-

nz- un1, (. + 1 ) n , - 122,

1) v. Helmhol tz , Pogg. Ann. 99. p. 497. 1865, Akustik (Braun- schweig 1870) p. 239.

2) R. Konig , Pogg. Ann. 157. p. 177. 1876, Quelques experiences d'Acoustique. (Paris 1882) p. 87, Wed. Ann. 39. p. 395. 1890.

3) Berichtigung des Pogg. Ann. 167. p. 236 unter 111 ausgesproche- nen Hatzes in des Autors Buch ,,Quelques experiences d'Acoustique", p. 147. Nr. 111.

Zusammenklang einfacher The. 653

dung der gewohnlichen linearen Differentialgleichungen nicht mehr zulassig ist. Zugegeben indess, dass in dem Fall der Sirene und der Zungenpfeifen, wo neben den Schwingungen zugleich Luftstromungen stattfinden, diese Voraussetzungen zutreffen, so ist doch in dem besonders wichtigen Falle von Stimmgabeltonen, die fast allein einfache Sinusschwingungen liefern, diese Annahme umsomehr abzuweisen, als durch neue Beobachtungen von Hrn. K a y s e r 1) gezeigt ist, dass bei solchen innerhalb weitester Grenzen der Intensitat die Fort- pflanzungsgeschwindigkeit des Schalles constant ist, also die linearen Schallgleichungen merklich erfullt sind.

Hr. K o n i g hingegen erklart die von ihm beobachteten Tone, wie zuerst L a g r a n g e 2 ) aus den Stossen der primaren Tone und weist durch besondere sinnreiche Experimente nach, dass unser Ohr die Eigenschaft besitzt, regelmassig wiederkehrende einzelne Impulse, deren Intensitat periodisch wechselt, zu einem Ton zusammenzufassen von der Hohe, welche ein einfacher Ton mit gleicher Periode besitzt.

Das Princip der Erklarung scheint mir hierdurch fur diejenigen Falle der Zusammenwirkung zweier einfacher Tone, welche die Benutzung der linearen Schallgleichungen gestatten, vollig sichergestellt zu sein, - es fehlte aber bisher noch die strenge theoretische Ableitung der verschiedenen moglichen Combinations- oder Stosstone aus demselben.

Als ich diese nun kurzlich versuchte, bemerkte ich sehr bald, dass aus dem aufgestellten Princip je nach Umstanden sowohl die Helmholtz’schen - ich benutze der Kiirze wegen diese Bezeichnung - Differenz- und Summationstone als die Konig’schen Stosstone folgen, und dass die fur das eine und andere maassgebenden Bedingungen sicher bei den Konig’schen, sehr wahrscheinlich bei den Helmholtz’schen Beobachtungen vorgelegen haben.

Die Ableitung der hiermit skizzirten Resultate bildet den Inhalt der folgenden Mittheilung.

Der allgemeinste Ansatz fur eine aus zwei einfachen Sinusschwingungen zusammengesetzte Bewegung ist : !1) u=a ,s in( t , t -8 , ) +a,sin(z,t- S2).

1) €1. Kayser , Wied. Ann. 6. p. 465. 1879. 2’1 Lagrange , Misc. SOC. Taur. 1795.

654 ?K F'oigt.

Hierin ist rh kurz fur an/ 5"yb gesetzt; es ist t h also mit der Schwjngungszahl 77lr proportional und mag beilauiig ,,Schwin- gungsindex" genannt werden. Der absolute Werth der Ver- ztigerungen b, und S, kann durch Veranderung des Anfangs. punktes fur die Zei t 1 um gleiche Betriige geandert werden; gegeben zu denken ist nur die Differenz S2 - 6, = 6. Wir setzen demgemass bl = 0, 8, = d.

Maxima und Minima von u finden statt f i r Werthe th

von t, gegeben durch die Gleichung:

(2) die ihnen entsprechenden Werthe yon 21 seien mit lJb be- zeichnet, sodass also gilt:

(3) Die Warzeln tf6 der Gleichung (2) folgen im allgemeinen

keinem einfachen Gesetz, indessen sind zwei specielle, in ge- wisser Hinsiclit extreme Falle leicht zu erledigen.

0 = a1 z1 cos tl th + a 2 t 2 eos(r, th - 8) ;

U6 = a, sin r1 + a, sin (rZ t7b - 8).

I. Es sei: a1 Z1 = a2r2,

d. h. die lebendige Kraf t beider zur Wechselwirkung gelan- genden einfachen Schwingungen sei gleicb. l)

Dann schreibt sich die Gleichung (2): cos 4 ((t, + Ti) th - a) cos 4 ((ra - '.?I) th - 3 ) = 0 ;

sie ergibt zwei Gattungen yon Wurzeln, die durch 2; und t,'" bezeichnet seien und deren Werthe folgen aus:

(r , + r l ) t 7 : - a = ( 2 1 L + 1)n, (ta - z l ) t / - 6 = (a i l + 1)n. (4)

Die ihnon entsprechenden beiden Gattungen extremer Werthe von u, namlich l&' und Uh", finden wir a m einfach- sten, indem wir schreiben:

1) Dieaer Fall ist von demjeiiigen gleicher Amplitude a, = a 2 , der mit- uuter fiir tlieorctisclie Betraelitungeii benutzt wird, wolil zu untersclieiden.

Zus8ammenklung einfacher Tbhe.

ist, so gibt sich:

655

(r2 - f t t ’ - 3 Uh) = (-- l)h (u2 + a , ) cos , (r2 + T I ) f t t ’ ’ - 5 U,”= (-- l)h (0, - a , ) cos ---a

2

2

(5 )

Diese Werthe ergeben aber, wenn man sie durcli die stetig wachsenden th entsprechende S i n u s h i e n verbindet, wegen des Factors (- keine einfache Sinuscurve, sondern die Superposition j e zweier gleiclier, welche urn die halbe betreffende Periode gegeneinander verschoben sind; diese Condination besitzt die hulbe Periode einer einfaclten Reihe.

Hieraus folgt, dass bei der gemachten Voraussetzung gleicher lebendiger Kraf t die beiden einfnchen Sinusschwin- gungen absolute Maxima und Minima der resultirenden Am- plituden liefern, in Perioden, wie sie zwei einfachen Tonen mit den Indices:

z2 -- tl und t, + tl entsprechen.

Die Wahrnehniung der beiden Gattungen von Perioden durch das Ohr wird urn 80 deutlicher sein, je mehr Glieder der ganzen Reihen der Ui , resp. [JZ in einer jeden Periode vorhanden sind.

Man erkennt aus den Formeln (5) sogleich, dass wegen der Nenner, welche t( und tc in den Ausdrucken:

besitzen, stets eine erheblich grossere Zahl Glieder der UI,‘ in eine Periode fallen, als der Uh)’; daraus folgt aber schon allein und ganz ab;;esehen von der Amplitude, dass bei den gemachten Annahnien die Differenztone (T, - t,) ungleich dentlicher wahrnehimbar sein mussen, als die Summations. tone.

Dies iibersieht man no& deutlicher, wenn man die Schwingungszeiten tlieser Tdne und die Perioden der sie bil- dendeu l& ins Auge fasst. F u r die Differenztone sind die Schwingungsdauern T-, namlich resp.:

die Perioden 2’- der Ur,’ gleich:

656 W. Voigt.

fur die Summationstone umgekehrt, sodass bei letzteren hoch- stens ein extremer Werth Uh" in jede Periode fallt.

Bildet man den vollstandigen Werth:

(7) so erkennt man, dass fur Tone, deren Indices dem Gesetz:

z1:z2 = n : n + 1 folgen, wie dies bei den Gliedern der Octave, Quinte, Quarte, grosser und kleiner Terz gilt, Ui' die Form annimmt:

h - (- (a, - a,) cos (2 R + 1) (2 h + 1) 5 f 12 8) 3 ( U " -

Hieraus folgt, dass in den angegebenen Fallen die Glie- der der Reihe der U r sammtlich gleich sind; die dern Sum- mationston entsprechende Periode diirfte hiernach fur das Ohr ganz unwahrnehmbar sein, denn dies% wird eine Reihe gleicher Impulse offenbar nur als einen Ton derjenigen Schwin- gungsdauer empfinden, die dem Abstand der Impulse ent- spricht, d. h. hier als Differenzton.

wie dies bei der Duodecime und grossen Sexte stattfindet, so haben wir:

= (- l)"(n, - a,) sin (n 8).

Gilt ferner: t , : t 2 = n : n + 2 ,

u: = (- l ) h (/IZ - n,) cos (n + 1) (2 h + 1) + + +] 1 (- I)?&+. (a , - a,) sin (q) fur gerades n ,

= I It+ 12i_l I (- I)( ) (a , - a,) cos ($) fur ungerades n.

Hier treten die (;lieder der Reihe der Uh" zwar absolut gleich, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen auf; wenn auch irn ganzen sehr unwahrscheinlich, diirfte hier schon eher die Wahrnehmung eines Summationstones mSglich sein.

Erst Tone mit dem Verhaltniss : t l : tZ = n.:n + m fur m Z 3

geben den G," verschiedeue absolute Werthe; von den I n - tervallen mit m = 3 kommt besonders, die kleine Sexte in Betracht.

2u.w ti1 rnen klrr iy &f(J c Jir r Tiit i e. 657

Nach dem im Vorstehenden Entwickelten kann es niclit Wunder nehmen, wenn die Prage der Wahrnehmbarkeit, j:t der ,,Existenz" der Summationstone sehr hiiufig in durchaus nag:ttiver Weise hemtwortet wird. Selbst bei den im Obigen gemachten, wie wir sehen werden, giinstigen Annahnwn er- sclieint ihre Beobachtung im Falle die primkren Tone clns Interval1 dcr Octave, Quinte, Quarte und Terz besitzen, fast, ausgeschlossen , bei grosser Sexte und Duodecime sehr fraglich.

Wenn also trotzdem von einzelnen Reobachtern Summa- tionstone gehort worden sind, so ist, falls diese Tiine ob- jectiv im ausseren ILuftraum nachwcisbar waren, wshrschein- lich, dass bei ihren Experimenten die Schwingungen so grosse Elongationen besassen, dass die lineare Form der Schallgleichungen nicht mehr zulkssig waren - falls sie nur im Ohre zu Stande kamen, dass sie zu meist durch (lessen anatomische Eigenthiimlichkeiten bedingt waren.l)

Wesentlich aber ist das Resultat, dass bei zwei ein- fxhen Tiinen gleiclier lebendiger Kraft DiEerenztijne unrl Summationstone theoretisch auch in Fallen auftreten konnen. wo das Princip der Coexistenz der Schwingungen anwentl- bar ist.

11. Sind die Amplituden des hoheren Tones (r2) soviel kleiner, als die des tieferen (tl), dass die Zusammenwirkung beider nur eine Veriinderung der Maxima und Minima der tleni letzteren entsprechenden Elongationen u l , aber keine neuen Maxima und Minima hervorruft, so ist in der 61. (2) u 2 T 2 als klein gegen I I ~ Z ~ zu betrachten.

Damit ist noclh nicht vorausgesetzt, dass die walirge- nomnicne Intensitkt des hoheren Tones erheblich unterhalb derjenigen des tiefe.ren sein muss; es scheint vielrnehr, dass bei zwei Tonen, die sich betrachtlich in ihrer Flohe unter- sclieiden - und auf diesen Fall kommt es im Folgenden Le- sonders an - der tiefere uns erst bei erheblich grosserer lebendiger Kraft der ausgesandten Bewegung vernehmbar wird, als der hohere.

Die Gleichung (3) lasst sich in diesem Falle durcli eine

1) Vgl. ubrigcws W. Prcye r , W i d Anti. YH. p. 131. 1889. Aiiii. cl Phys u. Chem. ii'. F. XL. 42

658 w. vo2.9-t.

Annaherung behandeln , indem man die Wurzeln th , welche sich aus dem Verschwinden des ersten Qliedes allein als erste Naherung ergeben, niimlich:

in das zweite einsetzt, urn dadurch eine zweite Naherung zu erhalten. Dies fuhrt zu:

woraus folgt, wenn man daa zweite GIied mit dem Factor ( - sin z, tlI, welcher in erster Naherung gleich 1 ist, multi- plicirt :

Wir erhalten also, indem wir das zweite Glied, welclies erster Ordnung ist, kurz mit i l l , hezeichnen, als Resultat:

Der Werth von q h ist hier nur fur die Beur thdung des Grades der Annaherung yon Bedeutung. Setzen wir namlich das Resultat (8) in die (fleichung (3) ein, so Solgt, w m n wir wieder die zweite Ordnung vernachliissigen, der von I I I ~ f’reip Werth :

Uj, = ( I , ( - 1)” + <I2 sin L2- 7c 0 ) . (10) 25:

Diesen Ausdruck kiinnen wir urnformen, indem wir ent- weder : (11) z2 -= I’Zl + A‘ oder :

setzen, worin aIso A’+d”=tl sein muss und A’ und A” po- sitiv sein mag.

1st Y eine ganze Zahl, so sind V T ~ und (w + l )z , die Indices derjenigen harmonischen Obertone des tieferen Tones, welche den hiiheren Ton direct einschliessen.

Zugleich treten dann Olieder unter dem sinus in (10) hervor, sodass die Periode des zweiten Gliedes variirt. Wir erhalten namlich:

t2 = (w + l )z , - A”

I) falls 91 gerade, = Z p ist, die beiden Formen:

II) falls v ungersdc, = 2 u + I ist, die anderen:

Die Periode dieser Ausdrucke, welche wegen der mit f i

wcchselnden Vorzeichen einiger Glieder nicht sofort hervor- tritt, erkennt man am besten durch Betraclitung einer sche- rnatischen Figur, welche die U, als Ordinaten iiber einer Abscisse, auf welcher h (oder t7J aufgetragen ist, darstellt. Die sammtlichen Werthe V, stellen sich dann dar als dis- crete Punkte zweier gleicher Sinuslinien, derea eine urn ( I

oberhalb, die andere um (I unterhalb der Abscissenaxe liegt. Rei ( und ( G,”)r, bcsitzen die vertical ubereinander lie- genden Punkte gleiche Phase, bei ( und ([&:’)I urn m verschiedene.

Die Periode in Bezug auf tT1 ist: fur (L5L’)r unrl gleich 257/4’, fur ( O,,”)i nnd ( Ui”)II gleich 2n/4”,

:i,lso iibereinstimmend mit der zweier einfacher Tiine von den Indices

A’ = z, - Y T * , A” = (v + l ) z , - z2. Wiederum wird diejenige Periode von beiden am hervor-

tretendsten, derjenige Ton am deutlichsten sein, fur welchen die griisste Zahl vlon Werthen ?JL innerhalb einer Perioilc aiiftritt, und dies ist ersichtlich immer derjenige, fur welchen iler Index A’, resp. A” der kleinere ist.

Wenn hierin cine vollstiindige Analogie zu den Resul- taten des vorigen Abschnittes besteht, so findet in anderer Hinsicht eine wichtige Abweichung statt.

n o r t ergab sicli das Vorhandensein von zwei Arten ex- tremw Werthe V,, die fur sich je eine verschiedene I’eriode heaitzen.

Hier ergibt sich niir eine A r t von extrcmen Werthen. ahrr sic haben die Eigenscliaft, sich als Ordimten zweier

42 *

660 W, Vo(qt. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ l l l f ~ 7 l ~ i ~ ~ l ~ l ~ J &yfiicliPr Thirc,.

verschiedener Curvcn init zwr i versehiedenen Perioden an- sehen zu lassen. Olle1il):ir liegt liierin ein Monimt, welchcs es dem Ohr erscliweren muss, die heiden Periodcn gesondert wahrzunehmen.

Dass Hr. K iin i g untcr UnistlCnden beobachtct hat , welchc tlcn vorstehcnd gemachtcn Voraussetzungen nahe entspreclicn, miichtc man schnn d:trans scliliessen, class bei angrscl?lagenen StimmgaLeln die libheren Tiine wcgen dcr inneren Beihung sclineller zur Kuhe Icommen, :ds die tieferen - die Betrach- tung der Curven, die er mit seinen Stiinmgnbeln aufgezeiclinet hat, imclit es zur Gewissheit. Denn obwohl dieselben n:Ltiir- lich mit m6glichst grossen Elongationen, also im Anfang des %usizmmenklanges liergcstellt sind und kaum das Interval1 riniger Secunden umfassen diirften, i d nach dem Ende des- selben liin das Eintreten des von uns voransgesetztcn Xu- standes, dass der hohere Ton nur die 'Illaximx der Elongn- tionen des tieferen veriindert, aber keine neuen hervorbringt, tlcutlich vorbereitet, bei einigen schon eingetreten, indein niinilich die Krduselungen der Curvcn keine Gipfel melir ha- hen, sondern nur die Gcstalt abgerundeter Stufpn besitzen.

I n der That stimnien alle oben gezogenen theoretischcbn Folgerungen auf das genaueste mit den von Hrn. K o n i g gemachten Beobachtungen, was ich des Raumes wegcn hirr auszufiihren unterlassen will.

I n den Fallen, die zwischen den oben betraclitetrn ex- tremen liegen, wird sich ein mittlerer Zustand cinstcllen .re melir die lebendige Kraf t des oberen Tones von dcr (fleichheit mit der des tieferen aus abnimmt, um so melir miisscn die v. H e l m l i o l t z'schen Ulfl'erenz- und Summations- tiine verschwindcn nnd die K Anig'schen hervortrctcn, und uingekehrt.

Damit stimmt iiberein, class Hr. K i i n i g in cinigcn wc- nigcn Piillen ceben seinen ,,Stosstiinen" e i n m von ilinen ~ h - weichenden 1)iRerenzton gchiirt h t ,

( f o t t i n g e n , 3. Mai 1890.