182

4. U&tw die Berechnmag cles PotentiaEabfalles in den. v0.n glfihenden XetaZZen ausgesandteB Ionem

und Elektronengasert; von H. v. Luue und X4khiZranjart Sen.

Das Auftreten von positiven Ionen gleichzeitig mit Elek- tronen von gliihenden Leitern ist schon experimentell be- statigt worden und die Theorie des Gleichgewichts zwischen diesem Gemisch von Elektronen und Ionen und den gluhen- den Leitern ist auch neuerdings thermodynamisch untersucht worden.') Bei der Betrachtung der P o i s s o n schen Gleichung, die den Potentialabfall im AuSenraum ergibt, lassen sich drei Fiille unterscheiden. Der Grenzfall unter diesen drei Fallen stellt den Potentinlverlauf zwischen dem Leiter und dem un- geladenen Dampf dar, mit dem er im Gleichgewicht ist. Zweck der vorliegenden Arbeit ist die Berechnung der Uber- gangsschicht, in der fast der ganze Potentialabfall in diesem Grenzfalle stattfindet.

Es sei E die positive Elementarladung, k die Bol tzmann- sche Konstante, T die absolute Temperatur, dann ist bekanntlich die elektrische Dichte der Ionen und Elektronen an der

Stelle, wo das Potential y herrscht, gleich g + e kl', bzw.

e- e kT, p+ und e- sind die Dichten beim Potential Null, das wir ohne weiteres der Oberflache des Leiters zuschreiben konnen. Wir betrachten das Problem als eindimensional und nehmen den Nullpunkt des Koordinatensystems auf der Ober- flache des Leiters, wo sich auch der Nullwert des Potentials befindet. Nun haben wir fur den Raum auBerhalb des Leiters

E ' P - -

E'P

1) BI. v. Laue? Ber. der Preu5. Ak. d. Wissensch. 32. S. 334. 1923.

ober die Berechnung des Potentialcabfalles usw. 183

Setzen wir nun g , = x e f i a , e- = - x e - f i a ,

damit a =-log 1 (+)

2@ - e- [ und

x = V ( - - Q - ) (P+) ist, so haben wir die Differentialgleichung in der Form

dB cp - = S a x sinh /3(y - G). dxs

Bus der rechten Seite ergibt sich, da8 a auch das Potential ist an der Stelle, wo sich das ungeladene Gas befindet und die elektrische Dichte verschwindet. Durch die Einfuhrung der Variabeln y = / 3 ( q l - a ) , t=p-+ i .5 haben wir die Losung der Gleichung in der Form

dy - + Const, 2Coahy + C

wo C eine Integrationskonstante ist. Wir gehen zu dem Grenzfall uber, wenn wir C gleich - 2 setzen. Nehmen wir

I I \ i -

Fig. 1.

weiter an, daS bei 8 = t,, das Potential QD unendlich groB mkrl m8hranrl snRnrhalh rlna T.e;+ara rlaa Pntnntirrl vnm Niill-

184 31. v. Xaue u. N. Sen.

wert auf der Oberflache zu dem konstanten Wert a stetig hinabfallt, dann haben air durch Integration die Losung

2 q- -log coth+(g - go). (4) B

Der Potentialabfall nach unserer Voraussetzung wird un- gefhhr durch die vorstehende Fig. 1 dargestellt.

Um diesen Potentialablauf rechnerisch bestimmen zu kiinnen, miissen wir erstens g durch mefibare GrijBen aus- drucken. Das geschieht folgendermafien: Es sei v- und v+ die Zahl der Elektronen bzw. Ionen pro Volumeneinheit in dem AuSenraum, p, und p , die entsprechenden Partialdrucke und p der Druck des neutralen Gases, dann ist

g- = - &V- - - & -L k T =- p p - und Q, = E p- k T = P p + >

und das Dissoziationsgesetz liefert uns weiterhin die Gleichung

wobei K die Dissoziationskonstante bedeutet. Diese Gleichungen ergeben

und auch

P,P- = KP,

x = I(- e-) G,, = P l m

(5) Die Dissoziationskonstante K la& sich aus dem Reaktions-

isotherme berechnen, wie es schon von Herrn Y. N. S a h s ') fur mehrere Substanzen fur sehr hohe Temperaturen gemacht worden ist. Es fehlt aber bei den meisten Elementen die Dampfdruckkurve fur ziemlich hohe Temperaturen, bei denen die Gluhelektronen und Ionen ausgesandt werden. Wir be- stimmen hier den Druck, der in unserem Falle sehr klein ist, durch die Verdampfungswarme qZ3 in der folgenden empirischen Formel von Greenwood

(6) 4,571 log" p = - 28 T f ' 9

wo die Konstante C durch die Gruneisensche Formel

bestimmt ist, T, sei die Siedetemperatur.%) Die Tabellen von

1) M. N. Saha, Phil. Mag. M. S. 472. 1920. 2) E. Gr i ine i sen , Verhand. d. deut. Phys. Gesellsch. 10. S. 328. 1912.

l%ber die Berechnung des Potentialabfalles ~ i s w . 185

Gr i ine isen gestatten uns auf diese Weise, die Dampfdrucke fur einige Substanzen zu berechnen.

01 ist uberhaupt eine meBbare GroBe und mird auch durch das Verhaltnis der Dichte der Ionen und der Elecktronen auf der Oberflache des Leiters bestimmt, wie es unmittelbar aus der Gleichung (2) folgt.

Nach unserer Vor- aussetzung findet der Potentialabfall stetig statt von dem Nullwert auf dem Leiter zu dem konstanten Wert 01 an der Stelle, wo sich der neutrale Dampf befindet. Wir wollen nun den Abstand zwischen der Oberflache des Leiters und der Stelle berechnen, an der ein erheblich groBer Bruchteil von dieser konstanten Potentialdifferenz, etwa 90 odcr 99 Proz. herrscht. Aus der Gleichung (4) haben wir auf dem Leiter, wo

Wir gehen nun folgendermaBen vor.

und z gleichzeitig verschwinden, die Gleichung tanh ( - + g o ) = c'iaaS.

Nehmen wir an, daB an der Stelle = d8 das Potential von dem konstanten Wert a um einen Bruchteil s abweicht, so daB cp = ~ c ( 1 - s) ist. Dann ist auch

tanh + (d, - zo) = el/csaB.

Aus diesen zwei Gleichungen haben wir

Fuhren wir nun eine neue Beeeichnung y fur das Ver- haltnis der Grenzdichten - ein, so laBt sich die obige

Gleichung mit Rucksicht auf (2) folgendermaflen schreiben: ( :;- 1

Diese Formel gestattet uns fur gegebene Werte von y d, zu berechnen und von d8 schlieBlich den gesuchten Abstand x8 durch die Gleichung (5), die wir hier nochmals wie folgt schreiben wollen : (5') d, = Axaz,, wo (5'3 il = p 13% (Kpp4 ist. Rechntmgen durchzufuhren.

Mit (7) (5') und (5") haben wir alles, was notig ist, unsere Es ist bemerkenswert, daB die

186 JK v. Zaue u. N. Sen.

1 P I , = @ p J y i s = - T K

(E::::) (%?--) (%ftt-) (@ = ;)I (Kpf /4 . . 100 Konst. cm.Hg 4 XS

350°c 10-34*4 0,130cm 0,6.104 1,94-10-s~0 4,58 9,4.10Scm 400 10-3117 0,407 :, 0,5.104 2,15*10-2293 4,58 1,7*108 ,, 450 10-es34 1,13 ,, 0,5.104 2,77*10-a~s6 4,58 3,7.102 ,, 500 3,OO ;, 0,5*10' 4,5 4,58 80 ,,

Grbbe il vollstandig unabhangig von dem Verhaltnis der Grenz- dichten ist und nur von dem Material und der Temperatur des Leiters abhangt, wahrend in der Gleichung (7), die (t, be- stimmt, nur dieses Verhaltnis y eine Rolle spielt. Von diesem VerhOltnis, das fur verschiedene Elemente verschieden ist, und auch fur dasselbe Element von der Temperatur abhangt, 1abt sich von vornherein nichts aussagen. Eine Kenntnie dessen ist nur durch Messung miiglich. Trotzdem mussen wir fur die Rechnung einen Ansatz uber den Wert dieses Verhalt- nisses machen. Unsere Rechnungen hier unten sind alle fur den mabigen Wert y = 1o durchgefuhrt. Wir werden spater sehen, wie wenig kleine Abweichungen von dem Werte von y die GrSBenordnung unserer Zahlen storen und es kommt hier ja alles auf die QrbBenordnung unserer Zahlen an. Von einer genauen zahlenma6igen Bestimmung der GrbBen kann hier keine Rede sein. Die Ergebnisse unserer Rechnungen sind in folgenden Tabellen wiedergegeben l):

1

1 10

d, X.

s = --

2,28 4,7 .109cm 2,28 0,85.10s ,, 2,28 1,85.102 ,, 2,28 40 9 9

1 K a l i u m . y = lo.

4OOOC 10-37*7 0,12 cm 0,5#104 500 i0-3y>7 0,86 ,, 0,5.104 570 10-ee~s 8,OO ,, 0,4*10'

1,58-10-4p42 2,59.10-'*'7 3,61*10-2~46

1) Fur Kalium und Nstrium sind die gemeesenen Dampfdrucke von K r i j n e r (Ann. d. Phye. 40. 1913) benutzt. Fiir Blei und Aluminium sind die Drucke durch die Greenwood-Gri ineisensche Fortnel be- rechnet.

70Ooc 10-40*1 800 li)-s6~'

1000 10-so~' 1200 10-85s7

0,0017cm 0.4.10* 4:36-10-6,26 4,58 1,7.106cm 2,28 0,85.10acm 0,015 ,, 6,4 .10-5,25 4,58 l,2.105 ,, 2,28 0,60*105 9, 0,403 ,, 0,3*104 1,44.10-e*6s 458 1,22*103,, 2,28 0,61*108 ,, 4,69 ,, 0,3.104 2,37. 10-',4p5 4,58 51 ,, 2,28 25,b ,,

0,3810'

Uber die Berechnung des Potentialabfalles usw. 187

70ooC

so0 800

1000

1 Aluminium. y = 1o .

10-~*3 0,0006cm 0,4.10* 3,4 . 10-3,4s 4,58 3,ao. 1oScm 2,2a 1,90. 10Scm

10-*43 0,038 ,, 0,3.104 7,05.10-9,05 4,5a 73 ,, 2,zs 36,s i ,

10-pB,8 0,006 ,, 0,3-104 4,5 .10-a*70 4,58 5,10.10',, 2,28 2,55*102 ,, 10-2',s 0,ZO ,, 0.3*104 10,70.10-'~57 4,58 16 ,, 2,28 91

Durch diese Tabellen leuchtet es ein, dab 99 Proz. des gesamten Potentialabfalles bei Kdium 'fur 500° C bei dem Ab- stand 80 cm bei Natrium fir 570° C bei 3,6 m, bei Blei fiir 1200O C bei 51 cm und bei Aluminium fur 1000° C bei 16 cm Abstand von der Oberflache des betreffenden Leiters zu er- warten ist, wenn wir annehmen, daB das Verhaltnis der Grenzdichten in jedem Falle 1o ist, und dieser Wert sich mit der Temperatur nicht sehr rasch andert. Wir werden gleich sehen, daB auch eine erhebliche h d e r u n g dieses Ver- haltnisses unsere Zahlen fast nicht stiirt. AuBerdem hangt fur jedes Element dieser Abstand in sehr grol3em MaBe yon der Ternperatur des Leiters ab. Fur Kalium z. B. wachst e r von 80 cm bei 5OOOC: zu 94m bei 35OOC. Die Steigerung des Potentials nach der Leiteroberflache findet bei diesem Ab- stande sehr langsam statt. Bei der Halfte dieses Abstandes ist das Potential nur um loo/, gewachsen, und wir konnen auch durch einfache Rechnung zeigen, da5 bei 46 von diesem Abstand das Potential &- G herrscht (Fig. 1). Trotz der will- kurlichen Festsetzung des Verhiiltnisses der Grenzdichten y kijnnen wir uns durch die folgende Tabelle uberzeugen, wie wenig kleine hderungen dieses Verhaltnisses nicht nur die GtrbBenordnung, sondern auch die absoluten Werte unserer Zahlen storen. Die Tabelle gibt die Werte von dd, bei denen 99O/, des Wertes von cc fur verschiedene Verhaltnisse der Grenzdichten zu erwarten ist, d. h. die Losung der Gleichung (7) fur s = __ und verschiedene Werte von y.

1

1

1 100

188 M. v. Laue u. N. Sen. Uber die Berechnuny U S I U .

- e- I

- 4,60 I 4,56 1

20 2 1 1

5 50 1 1 100 - 4,58 10

4,59 - 5,53 -

4,50 -

Aus dieser Tabelle folgt, daB das Potential an einer Stelle in nicht unmittelbarer Nahe des Leiters viel mehr abhangig ist von seiner Temperatur, sofern die GrijBe 3, von ihr .abhangt, als von dem Verhaltnis y der Grenzdichten.

Ein Wort uber die Genauigkeit dieser Rechnung sei uns hier gestattet. Wir haben schon gesehen, da8 ein kleiner Fehler in y auf den Wert von d8 keinen groSen Einflu8 hat, und was il betrifft, kommt alles auf den Wert der Dissoziations- konstante K an, denn der Dampfdruck p ist jedenfalls sehr klein. Weil man schlieSlich die vierte Wurzel von dem Pro- dukte K p zu ziehen hat., wird der Fehler, der von einer un- genauen Berechnung von diesem Produkte herruhrt, sehr ver- kleinert. Weil K im Vergleich zu p unci allen andern GrijBen in unserer Formel viel zu klein ist, wird schlieWlich die Qrofien- ordnung von zb durch die Dissoziationskonstante bestimmt.

(Eingegangen 15. Juni 1924.)