Ober die Fortsetzung von Funktionen mehrerer Variabler ins Komplexe

Von WOLFGANG TUTSCHKE in Hal1e)Berlin

(Eingegangen am 29.9.1969)

1st die Funktion w = zc + i v in der offenen Menge M,, des xl, . . . , xn- Raumes definiert und in U c No, U = {(xl, . . . , x,) : ] x i - x:l < Y} als Potenzreihe darstellbar, so kann man w bekanntlich in

((21 7 . . . , 2,) : I zj - xj” I < Y} dadurch zu einer holomorphen Funktion fortsetzen, daI3 man in der Potenz- reihendarstellung von w in U die reellen xj durch komplexe zj = xi + i yj ersetzt .

In der vorliegenden Arbeit soll gezeigt werden, dal3 man w (lokal) auch so ins Komplexe fortsetzen kann, dalj zwischen den partiellen komplexen

Ableitungen - und - eine vorgeschriebene Proportionalitat besteht : aW aw axj az;

Dabei sind die Aj auf der im xl, . . . , x,-Raum gelegenen Menge Mo vor- gegebene reellwertige Funktionen.

1.

Zunachst soll untersucht werden, wann das Differentialgleichungs- system

vollstandig ist. 1st AS = aj + i b j , fj = gj + i hj, so geht (1) durch Auf-

374 Tutschke, Fortsetzung yon Funktionen ins Komplexe

spaltung in Real- und Imaginarteile uber in (j = 1, . . . , n)

6u 6v Dies ist ein lineares Qleichungssystem fur - , . Die Koeffizientendeter-

minante ist I 1 + Aj12, also von Null verschieden, wenn Aj + - 1 ist. Setzt man zur Abkurzung

aYJ ",

IAJ2 - 1

Tutschke, Fortsetzung von Funktionen ins Komplexe 37 5

Setzt man (6) und (7) in (4) und ( 5 ) ein, so ergibt sich

Das System (1) ist vollstiindig genau dann, wenn gilt:

a.ru a2v au %v au av axj ax,’ exj ax/ ax,’ ax,’ axj’ 6xj

Die Koeffizienten von

und das Absolutglied von (8) (bzw. von (9)) stimmen mit den entsprechen- den Koeffizienten in denjenigen Gleichungen uberein, die man durch Ver- tauschen von j und k: aus (8) (bzw. aus (9)) erhiilt. Die sich ergebenden Be- dingungen sind teils von selbst erfiillt, teils stinlmen sie uberein. Zu fordern ist nur

Setzt man uj + i pj = qj,

so kann man (10) und (11) zu

376 Tat,schke, Fortsetzung von Funktionen ins Komplexe

zusammenfassen. Setzt man weiter

v. J + i& = yj,

so lassen sich (12) und (13) in der Form

schreiben. Damit hat man gezeigt :

Satz 1. D a s Sys tem (1) ist vollstandig genau dann , wenn die Bedingungen

Betrachtet man an Stelle (1) das homogene System (14), (15) fur alle j =I= k erfullt sind.

so sind wegen y k ( z ) = 0, V z , die Bedingungen (15) stets erfullt. Die Voll- stiindigkeitsbedingung reduziert sich auf (14).

2.

Die Vollstlndigkeitsbedingungen (14) fur das System (16) werden jetzt als Differentialgleichungssystem fur die n Funktionen 91, . . . , qn aufgefaBt. Erganzt man die n(n - 1) Gleichungen (14) durch die n Gleichungen

so 'erhalt man insgesamt eiii System von n2 Differentialgleichungen fur die n Funktionen plj:

Aus (17) folgt (Z + k )

Ersetzt man in (17) k durch I und differenziert man partiell beziiglich xk , so folgt

a2V.i 'PZ 'P?, + Qll a2Qlj

ayl 2xk axk 2x1 axl axk -

~ -

Tutschke, Fortsetzung von Funktionen ins Komplexe 377

Setzt man dies in (18) ein und beriicksichtigt man ( I? ) , so folgt

-- a+j 3% @j 3% avj a2 vj 'Yk - Y l - - + v k & ~ , + Y k % ~ . ax, ax,

Das bedeutet, da13 das System (17) vollstandig ist. Also giltl):

pl, . . . , ylL von (17), die auf M , vorgeschriebene Werte besitzt.

A j festgelegt (Aj =+ - 1).

Satz 2. Es gibt in der offenen X e n g e U I eine eindeutig bestimmte f isung

Die Werte von pj auf M , sind durch die auf M o gegebenen Werte von

Setzt man

Ojl (a j , b j , aj, ,!Ij) = 2 bj - aj ((1 + aj)2 + b;),

Oj2 (a j , b j , aj, Pj) = a: + b; - 1 - PJ ((1 + aj)2 + b;),

so ist

Da diese Punktionaldeterminante also von Null verschieden ist, kann man nach (3) in einer offenen Menge U 2 aus vj, d. h. aus a j , aj, die a j , b j , d. h. die A j , berechnen. Damit ist gezeigt:

Folgerung zu Satz 2. Man kann die auf M , definierten Koeffizienten Aj so ins Komplexe fortsetzen, daJ (1 6) ein vollstandiges Differentialgleichungs- system wird 2) .

Im Spezialfall, daf3 Aj = 0 auf iM, sein soll, ist pj = - i auf M,. Dann ist aber pj(z) = - i, V z E U 2 , die dazu gehorende Losung von (17). Das bedeutet: es ist Aj(z) = 0, V z E U2.

Da (16) nach der Folgerung zu Satz 2 vollstandig ist, gibt es in U3 eine Losung von (16), die auf M , vorgeschriebene Werte annimmt3).

Mithin ist bewiesen :

Satz 3. Eine auf i%f, definierte Funktion kann (lokal) so ins Komplexe fortgesetzt werden, daJ die fortgesetzte Funktion die auf M o vorgeschriebenen Relationen (16) erfullt (Aj $; - 1).

1) Nach E. GOURSAT, LeSons SUP l'intbgration dcs Bquations aux deriv6es partielles du premier ordre. 2. Bd., Paris 1921.

2) Man beachte hierbei, daIj das partielle Differentialgleichungssystem (17) mehr Gleichungen als (14) umfallt. Es kann daher Losungen von (14) geben, die nicht Losung von (17) sind.

3, Vgl. Anmerk. 1.