ASTRON OM IS CHE NACH RICHTEN. Band 188. Nr. 4503. 15.

ober die .Gestalten einiger Spiralnebel. Vori E. 2'. d. Yahdcw. iMit eincr TafcI:.

Schon einc fluchtige Betrachtung der photographischtm Aiifnuhnicn von Spiralnebeln genugt, uni zu zeigen, dafl von einein a 1 I g e in e i n e n , fur alle Spiralnebel gultigcn Gcsetze nicht die Kede win kann, da die einzelnen Nebel dicser Kategorie vielfach in die Augen springende Unregelintiflig- keitcn aufweisen; so sind in vielen Fiillen Knicke und Syitzen in den \\.indungen henierkhar, stellcnweise sogar Unstetig- keiteii, indeni einxelne Kurvenstucke glcichsaiii abgetrcnnt und aus ihrer ursprunglichen Iage verschoben erscheinen. hlan wird daher der von Prof. See im kurzlich erschienenen zweitcn Hande seiner DKesearchcs on the Kvolution of the Stellar Systems( ausgesyrochenen Meinung, da13 tlic Spiral- nebcl im allgemeinen unregefmiiflige Spiralen darstellen, nur zustimmen konnen. Da nian aber doch die nieisten diescr tinregelmifligkeiten als' Abwcichungcn von kinem noch er- kennbaren urspriinglich regelmifligen Verlaufe der Kiiruen enipfindet, kann man sich die Frage stellen, ob nicht in einzclnen l%llen, hei hesonders gut erhaltenen Spirdnebeln, eine einfache Gesetziiififligkeit bestcht, die dcni %ufalle nicht zugeschricben werden kann. Rei einer solchen Yragestcllung inussen von vornherein alle diejenigen Spirulnebel a u k r Acht gclassen wcrden, in denen ein gcometrischcs Gesctr augen- schcinlich nicht hcstehen knnn, also alle diejenigen, in denen starke lrnregelmiifligkeitcn, im oben erlauterten Sinne, vor- kommen; ferner aber auch alle Spiralnebel, in denen niir verhiiltnisniilflig kurze Stucke von Spiralen sichtbar sind, da diese immer durch sehr viele verschiedcne Kurvenarten dar- gestellt werden konnen. Nach diescr Sichtung des hfaterials bleibt allerdings niir cine sehr geringe Anzahl von Spiral- nebeln ubrig; es vertlient aber doch eine gewisse Beachtung, dafl niehrere von ihnen wirklich cin einfaches geometrischcs Bildungsgesetz aufweisen, und zwar alle dasselbe, indcm sie (lurch logari thmische Spiralen zieinlich genau dargestcllt werden konnen. Dies sol1 an den Spiralnebeln .\I. 33, 'l'ri- anguli, 31. 74, Piscium und Y. 5 I , Canuni venaticorum ge- zeigt werden.

I)ic alethotle der Untersuchung war in allen Fiillen die folgentle. .\uf drs Hild des zu untersuchenden 'Spiral- nebels wurde ein !:tuck Pauspapier gelegt und auf diesem Kurven gezeichn-t, welche den Verlauf der Windungen des Spiralnebels m6glichst gut darstellten. Da das Zentruni des Nebels gewbhnlich auf den Photographien als heller Kern deutlich zii sehen war, konnten auf diesen Kurven rnit Hjlfe von Zirkel und Millinieterstah sofort die sphilrischen Koor- dinaten einer Reihe von Punkten in bezug auf das Zentruin ausgemessen werden.

Um einen Einblick in die geometrische Beschaffenheit der Spirale auf moglichst iniihelosem \Vege zu gewinnen, ist es praktisch, die gemessenen sphirischen Koordinaten 4, 9 als Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensysteme

aufmtragen, wodurch fur jedc Spiralc ciiic ncue Kurve er- haltcn wird, welche die Ahhiingigkeit zwischen dein Radius- vcktor und dem Winkel in sehr unschaulicher \\'eke darstellt. Die Jbbildung einer .4rchimeclischen Spirale zuiii I3eispiele ist in einem solchen Koordinatensysteme eine irgendwie gegcn die Achsen geneigte gerade l h i e , so dafl eine systematische Abweichung von einer Spirale dieser Art bei der abgebildeten Kurve auf den ersten Hick zu erkennen ist. Ferncr bietet diese .4bbildung auch Vorteile bei der Eriiiittelung einer etwaigen. Neigung der Spiralenebcnc gegcn die Soriiialebene ziini Visionsradius, da in dieseni Falle die abgebildete Kurve eine wellcnformige Gestalt rnit einer l'eriode von I 80' erhilt. In cler Tat, nimmt man als Yolarachse die Schnittlinie der Syiralenebkne rnit der 13ildebene und bezeichnet [nit Y, p die sphlrischcn . Koordinaten eines Punktcs in der Spiralen- ebcne, niit 4, 9 diejenigen seiner senkrecliten Projektion auf die Rildebene; und rnit f r ) den Seigungswinkel beider Ebenen gegeneinander, so ist :

~t:os;) = rcosyj 8 sin 9 = r sin q cosw

. - . -. woraus inan crhiilt: r = Vi+tg'wsin?\', = p - c

tg :I. tgyJ = COS 6) -

Der Faktor c = c/yi\g2(u sin"! variiert periodisch vom

Werte c = I fur 9 = oo, x8o0, 360' - - . his c = ...

Wr :). = 90°, 270'. - -. I.)araus folgt, dal3 hei einer Xeigung o sich eine periodische, wenn auch nicht symmetrische Schwan- kung rnit veranderlicher Amplitude iiber die Kurve r = Y (0) iiberlagert, hei der nur eine Keihe von Punkten in Abstlntlen yon 180' unverlndert bleiben. Haben die Nessungen eine solche ycriodische Kurve e = e (9) crgclwn, so ist cs lcicht, aus ihr den geniiherten Positionswinkel der Schnittlinie der Spiralenebenc rnit der Bildehene abzulescn, tla tlas der Kich- tung dieoer I.inie entsprechcnde 9 ininier in der Siihe eiiies Wellenkamnies liegen mull. 1st es wciter gellingen, die Koor- dinaten cler durch die Neigung unveriinclerten I'unkte durch eine analytische Reziehung r = r (9) cinigermailen darzu- stellen, so kann auch der Jletrag der Xeigtiiig sofort bcrechnet werden, indem man den \\'crt ron r fur y = 3 = 90', 270'. - - berechnet und das Verhiiltnis q."v fur dicse Piinkte hildet, welches dem Kosinus der Keigung gleich ist. 13ei schsacher Krummung genugt auch die Aniiahnie, dafl dic Kurvc in h e r Ausdehnung von 180' clurch cine Archimrdische Spirale darstellbar ist. Will man nun noch weiterc Punkte der aus den Messungen erhiiltenen Kurve rnit der I'rojektion der inalytischen Kurve verglcichen, so mufl man fur jeden

1

cos 0

17

Winkel 9, fir den ein gemessener Radiusvektor e vorliegt, den wegen Neigung korrigierten Winkel 'p berechnen, rnit diesem den wahren Wert Y und daraus durch Multiplikation

mit einem Faktor - den scheinbaren Radiusvektor der Pro- I

w = 150 cp C

000 1.000 10.3 1.001 20:6 1.004 30.8 1.009 40.4 1 .015 50.9 1.021 60.8 1.027 70.6 1.031

90.0 1.035 99.7 1.034

119,2 1.027 129.1 1.021 139.1 1.015 149.2 1.009

169.7 1.001 180.0 1.000

80.3 1.034

109.4 1.031

I j9.4 1.004

Q) = 30' 'p C

000 1.000 11.5 1.005

22.8 1.019 33.6 1.041' 44.1 1.067 54.0 1.094 63.5 1.118 72.6 1.138 81.3 1.150 90.0 1.155 98.7 1.150 107.4 1.138 116.5 1.118 126.0 1.094 135.9 1.067 146.4 1.041 157.2 1.019 168.5 1.005 180.0 1.000

jektion. Zur Erleichterung dieser Rechnungen ist die nach- stdiende kleine Tabelle berechnet worden, die den ,Ubergang von den wahren sphtlrischen Koordinaten Y, 'p eines Punktes zu den Koordinaten 0, 9 seiner Projektion bei verschiedenen Werten der Neigung auszufihren gestattet.

= 4 5 O cp C

0:o 1.000 14.0 1.015 27.3 1.057 39.3 1.118

49.9 1.189 59.4 1.260 67.8 1.323 7.5.6 1-37 2 82.9 1.404 90.0 1.414 97.1 1.404 104.4 1.372 112.2 1.323 120.6 1.260 130.1 1.189 140.7 1.118 152.7 1.057 166.0 1.015 180.0 1.000

Nach diesen Erltiuterungen tiber die Methode der Untera suchung sollen die fur einige Spiralnebel erhaltenen Resultate mitgeteilt werden. Bei der Untersuchung wurden sowohl die i n den Publications of the Lick-Observatory (vol. VIII, 1908) enthaltenen Reproduktionen, , als auch diejenigen der Auf- nahmen von Isaac Roberts (Photographs of Stars, Star Clusters and Nebulae, ,vol. 11) benutzt.

M. 33, Trianguli . Es wurden auf der Lick-Aufnahme nur die zwei nach 0 und W abgehenden Hauptaiste ausge- messen, da der Verlauf der kiirzeren sehr unbestimmt ist. Die sich uber eine Ausdehnung von mehr als I 80' erstreckenden Messungen geben fur beide Aste, in den rechtwinkligen 0, 9- Koordinaten, Kurven, die sehr stark von geraden Linien ab- weichen und keine Spur von der oben erwlhnten Periodiziat zeigen, so dai3 die Spiralen durch Archimedische Spiralen nicht gut dargestellt werden k6nnen (auch nicht unter An- nahme einer Neigung). Dagegen lassen sich beide Aste in sehr befriedigender Weise durch logarithmische Spiralen dar- stellen, deren Konstanten aus den Koordinaten von zwei ge- niigend weit auseinander liegenden Punkten bestimmt wurden. Wie die Tabellen und die Figuren I und 2 zeigen, wird der bstliche Ast (Ast I), etwa durch die logarithmische Spirale r = 1.2 ~ ~ . ~ ' 4 9 9 ' ~ , der westlicbe (Ast 2) durch die Spirale r = I .z c0*01398'(0-1650) dargestellt (Ungeneinheit I mm), wobei der Umstand Beachtung verdient, datl die Koeffizienten ron 9, d. h. die fur die Gestalt der Spiralen mafiebenden Konstanten, in beiden Fiillen ghnliche Werthe haben. Die obereinstimmung konnte durch eine Ausgleichung noch ver-

w = 60" v C

0:o 1.000 19.4 1.044 36.1 1.162 49.1 1.323 59;2 1.496 67.2 1;662 73.9 1.803 .79.9 1.910 84.9 1.971 90.0 2.000

95.1 1.977 100.1 1.910 106.1 1.803 112.8 1.662 120.8 1.496 130.9 1.323. 143.9 1.162 160.6 1.044 180.0 1.000

w = 750 cp C

0:o 1.000 34.2 1.190 54.2 1.622 65.9 2.117 73.9 2.600 11.8 3.029 81.5 3.383 84.6 3.641 87-4 3.809 90.0 3.864 92.6 3.809 95.4 3.647 98.5 3.383 102.2 3.029 106.1 2.600 114.1 2..117 125.8 1.622, 145.8 1.190 180.0 1.000

bessert werden, diese erschien aber bei der Verschwommen- heit der darzustellenden Kurvenzuge als uberfliissig. Neben den berechneten Radienvektoren der logarithmischen Spiralen sind in der letzten Spalte die Radienvektoren der besten (durch Ausgleichung erhaltenen) Archimedischen Spiralen an- gefuhrt, welche zeigen, wie vie1 schlechter die Darstellung rnit Hilfe dieser Kurvenart ist. In der Figur I stellen die vollen Kurven die logarithmischen Spiralen dar, die punk- tierten, die nach der Aufnahme des Nebels gezeichneten Kurven, und zwar in genau demselben MaOstabe, wie die Reproduktion dieser Aufnahme in den Publikationen der Lick-Sternwarte, so dai3 die Fig. I direkt rnit diesem Bilde verglichen werden kann. Die logarithmischen Spiralen habe ich auch auf Pauspapier gezeichnet ; ihre Ubereinstimmung mit den Gestalten des Nebels erwies sich beim Auflegen auf die Photographie als vollkommen. In Fig. 2 sind die- selben Kurven wie in Fig. I in rechtwinkligen Koordinaten abgebildet, und beim ersten Aste sind autlerdem noch zum Vergleiche die Abbildungen zweier Archimedischen Spiralen gezeichnet. Die gestrichelte Gerade stellt die ausgeglichene Archimedische Spirale dar, die erhalten wird unter der An- nahme, dai3 die Ebene des Spiralnebels rnit der Bildebene zusammenfiillt, die gestrichelte wellenarmige Linie diejenige Archimedische Spirale, welche an beiden Enden und in der Mitte des ausgemessenen Kurvenstuckes die Beobachtungen richtig darstellt. Damit das uberhaupt m6glich sei, muB die Neigung etwa 63" betragen; man sieht, wie unvollkommen auch diese Archimedische Spirale die iibrigen Punkte des Astes darstellt.

- I h h .

ichiung Y - min

2 .5

3.0 3.5 3.9 4.5 5 . 0 5.9 7.2

8.3 1 0 . 0 1 l . j

1.3.1 15 .2 1 s.0

2 5 . 0 28.5 32.8

2 .5

3.5 3.8 4.0 4.3 4.9 5 .5

7 .3 8.8

10.8

14.5 1 7 . 0 19.5 22.3 2 5.0 28.8 33.2 37.5 40.8

2 2 . 0

6.3

12.1

1,ogarithmische Spirale

r K--R

Ast I . mm mm 1.2 - 1.3 2 . 2 -0.8 3.5 0.0

4.1 + 0 . 2

4.7 + 0 . 2

5 .5 +0.5 6.4 + O . j

7.4 +0 .2 8.6 +0.3

11.6 +O.I '3.5 +0.4 15.6 +0.4 18.3 +0.3 2 1 . 2 --0.8 24.7 -- 0.3 28.5 0.0

33.3 +o.s

1.5 --1.0

3.5 -0.3 4.0 0.0

4.6 +0.3

6.1 +0.6 7.0 +0.7 8.0 +0.7 9.2 +0.4

10.6 -0.2

12.2 +O.I 14.0 -0 .5 16.2 -0.8 18.6 -0.9 21.4 -.0.9

10.0 0.0

Ast 2.

3.0 0.j

5.3 +0*4

24.6 - 0.4 28.6 -0 .2

,312.5 -' 0.7 37.5 0.0

42.9 + 2 . 1

Archiciiedirche Spirale

r R--B

mm mm -6.2) - 8.7 -0.6) - 3.6 +3.6 + 0.1

5 .0 + 1 . 1 6.4 + 1.9 7.8 + 2.8 9.2 + 3.3

10.6 + 3.4 1 2 . 0 + 3.7 13.4 + 3.4 14.9 + 3.4 16.2 + 3.1 17.6 + 2.4 19.0 '+ 1.0 20.4 .. 1.6 21.8 - . 3.2 23.2 -- 5.3 24.6 -- 8.2

-8.5) -. 1 1 . 0 -0 .1) -- 3.6 + 1 . 7 - 2.1

3.3 -- 0.7 5.0 + 0.7 6.7 + 1.8 8.4 + 2.9

1 0 . 1 + 3.8 11.8 + 4.5 13.4 + 4.6 r g . 2 + 4.4 16.9 + 4.8 18.6 + 4.1 2 0 . 2 + 3.2 21.9 + 2.4 23.6 + 1.3 25.3 + 0.3 2 7 . 0 I .8 '

28.7 30.4 7 .1 1 2 . 1 - 8.7

M. 74. I'iscium. Rei der C'ntersuchung dieses Spiral- nebels wurde sowohl von der Lick-Aufnahme, wie auch von der I. Robertsschen Aufnahme Gebrauch gemacht. Aus beiden wurde im wesentlichen dasselbc Resultat erhalten, so daB es genugen wird, das Ergebnis der . Ausmessung der Aufnahme von I. Roberts, auf der der Verlauf der inneren Teile der Spiralen deutlicher sichtbar ist, anzufuhren. In Fig. 3 stellen die punktierten Kurven die Abbildung des Spiralnebcls dar, die erhalten wird, wenn man die Koordinaten Y, p seiner Yunkte als rechtwinklige Koordinaten deutet.

Diese Kurven sind ziemlich schwach gekrummt, so daB eine Darstellung mit Hilfe von Archimedischen Spiralen fur diesen Nebel eher miSglich ist, als f i r M. 33, Trianguli. Man

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erkennt aher sofort aus der Gestalt dieser Kurven, daB sie durch logarithmische Spiralen jedenfalls noch genauer dar- gestellt rerden konnen, da die Kurvcn im allgemeinen konvex gegen die p-Achse sind; d. h. daB die Zunahme des Kadius- vektors, die einer konstantcii Zunahme des Winkels entspricht, bei den untersuchten Spiralen init der Entfernung vom Mittel- yunktc immer gr6Ber wird. Da die hier erhaltenen Kurven auf einer Ausdehnung von wcit uber 180' nichts von Yeri- odizitgt zeigen, kann ihre Krummung in keinem Falle von einer Neigung herruhren. Die Kurve fiir den ersten Ast (dcssen aukres Ende sudlich von der Mitte des Xebels liegt) ist etwas unregelmiifiig, das ganze Endstiick, von der Ah- szisse YJ = 440' an, kann moglicherweise einer anderen Kurve angehoren, 'da es auf der Aufnrhme cine bedeutend schwachere Helligkcit hat als der uhrige Teil. Dennoch er- hslt man durch eine Ausgleichungsrechnung fur beide Aste logarithmische Spiralen, die mit den Fornien des Spiralnebels eine groBe Ahnlichkeit hahen, und mar fur den ersten Ast die Spirale (Liingeneinhcit I mm): Y = 1.7 e0.Oo49j*9 , f' ur den zweiten hst die Kurve: Y = 1.7 t o . " ' ' ~ 2 8 . ~ v - ' ~ j 0 ~ . Qber die Genauigkeit der IJarstellung lraiin man sich aus der nachstehenden Tabelle einen Begriff niachen, sowie aus der Fig. 3, wo die vollen Kurven den logarithmischen Spiralen entsprechen. In der 'I'abelle sind der Kurze wcgen die Werte der Kadienvektoren von 30' zu 30' gegebcn, wfhrend die Messungen in den meisten 1;Hllen von 10' zu zoo geniacht wurden.

.4st I. - Beob-

ichtung r -. - nitn

I .8 1.9

2.3 2.7

3.6 4.4 5.2 6.3 7.2

7 -8 8.0 8.8

10.8 I 3.6

14.9 17.9

23.4

2. I

2 0 . 2

I.ogarithriische Spiralc

r R-1% mm mm

1 . 7 -0 .1 1.0 0.0

2 .2 +0.1

2.6 +0.3 3.0 + 0 . 3 $6 0.0

4.1 . 0.3 4.7 - 0.j

j .5 - 0.8 6.4 - 0.8 7.4 -0.4 8.6 +0.6 9.9 + I . I

11.5 +0.7 13.3 - 0.3

I 4.7 .0.2 1 7 . 1 -0.8 19.9 0.3 23.1 - 0.3

Ast 2. - h o b -

ichtung

nim

r -- -- 3.0 3.3 3 . 5 3.9 4.1 4.7 5.0 5.9 6.8 7.3 8.4

10.0

1 1 . 2

1.ogarithmische Spirale

r K-1% mni nim

2.6 ' -0 .4 2.9 -0.4 3.3 .. 0.2

3.7 - 0 . 2 4 .2 + O . I 4.8 +O.I 5.4 +0.4

7 . 0 +0.2 8.0 +0.7 9.1 +0.7

10.4 +0.4 10.8 -0.4

-_ - .-

6.2 4 0 . 3

M. 5.1. Canum venatic. Die hier angefuhrten Zahlen beziehen sich auf die in den Yublikationen der Lick-Stern- warte reproduzierte Photographie. \Vie die Fig. 4 u. 5 zeigen, weisen die in rechtwinkligen Roordinaten abgehildeten Kurven beider Aste die fur eine Neigung charakteristische Yeriodizitirt auf. Die Schnittlinie der Spiralenebene mit der Bildehene schlieat rnit der Richtung N S einen Winkel von ungefilhr

17'

255 4503 2 5 6

Kecili- I+pritliirii;chc

I ~ I 1;- H q achtung Spirnlc

mm 11,111 iiim

ou 2 j . o 2.5.0 0.0

60 12.9 , 15.0 4 - 2 . 1

30 16.3 18.6 L 2 . 3

90 12.3 '12.8 f 0 . j

1 2 0 1 2 . 5 1 2 . 4 - - 0 . 1

rjo I 2 . 5 12.8 +0.3 180 12.1 12.0 -0.1

3 1 0 0.0 9.4 f o . 4

2 7 0 6.9 6.4 -0.5 240 7.j 7 . j 0.0

25"-30" ein (wenn man die Positionswinkel im Sinne N \ V S O zahlt). Es mu13 also bei diesem Spiralnebel zwischen den scheinbaren Koordinaten p, 3 seiner Punkte und den wahren Koordinaten r, rp unterschieden werden. Legt man durch die Punkte: Y = p = 25.0, y = 3 = oc und 7 ' = p = 12.1, y = 3 = 180' des ersten Astes eine logarithmische Spirale, so erhiilt man fur sic den Ausdruck:

= 5.0 ,,-Oo.00408.'t"

welcher die weiteren, uni Viclfache von I 80' voneinander entfernten Punkte ziemlich gut darstellt, wiihrentl eine durch diese I'unkte hindurch gclegte gerade I.,inie (Archimedische Spirale) bedeutende .lI)weichungen gelwn niirdc. Um die Neigung zu ermittcln, sind die Ordinaten t' dcr h n k t c 'p = 3 = qo', 270' und 450' berechnet worden und fur die drei Prrnkte das T*crhSltnis des benbachteten JVertcs zuiii

berechneten gebildet. L s ergah sich :

f/J = $ = 90' l'= 1 7 . 3 ?I,eol,, = 7 2 . 3

2 7 0 8.3 6.9 4 5 0 4.0 2.7

q1,,<,1>. - cos (f) = - - - 0.7 I I (1) = 44%

0.674 .47 :s .

I . 0.832 33.7

.\littel\\-crt: 0) = 4 2 '

l l i t diesem \Verte der Neigung sind fur die verschiedenen lt'inkel 3 von 3 0 ~ Z U 3 0 ^ die wahrcn Winkel y berechnet worden, mit Hilfe von diesen, aus der Gleichung der Spirale, die II'erte von Y, und daraus die scheinbaren Kadienvcktoren :

g = . . Die ~bere ins t immung init den Messungcn erwies

sich, wcnn auch nicht als vollkoninien, so doch zietnlich Ilefriedigend, \vie US den nachstehenden Zahlen und der Fig. 4 zu erschen i j t , in dcr wietler die punktiertc Kurve die llessungen, die i d l e die Projektion der um 42 ' zur I<ildebene geneigten logarithmischen Spirale darstellt.

r C

- - * -

300(

3 6 0 3.30

300 420 450 4 x 0 j r o 540

120gari~hinische Spiralc

I K-14

6.0 --0.3 6.2 t o . 8

Ill l l l m m

5.s + 1.3 4.5 +0.8 3.5 + o . j 3.0 + 0 . 3 2.8 +O.I

2 .q +0.4 2.8 +0.7

jtCS (der in die zweite Verdichtung ausliiuf;), durch eine ahnliche logarithmische Spirale, unter der Annuhnie, dnl3 dieser h s t in derselben Ebene liegt \vie der erste, gelingt init Hilfe der Spiralc = ~ 5 ~ O e - o . ~ ~ t 2 ~ i ; - 1 6 6 u . , nenn auch die Uhereinstim-

tnung ckr beohachteten mit der geniessenen Spirale nicht so gut ist, wie im ersten Fallc. I k i m Auflegcn der auf Pauspapier gezeichneten logarithmischen Spiralen auf die

Photographie des Nebels erwies sich jedoch die Lbercin- stimmung auch fur den zweiten Ast als leidlich; fur den ersten ist sic beinahe vollkoninien. Die Figur 5 unrl die nachstehende Tabelle bediirfen keiner weiteren Erlauterung. Ilie fur die Konstanten dcr logarithmischen Spiralen er- haltenen U'erte s ind, wie in den beiden vorhergehendcn I3llen nahezu gleich.

Imgaridlniisclie H e o b lchtung

P mm

23.6 16.2

' 3 . 5 13 .4 I 4.0 1 2 . 5

9.8 1 7 . 2

s. 1

7 . 2

6.4

Spirale p I<-R

23.6 0.0

14.2 + o . i 1 2 . 2 - ' 1 . 2

mrn mtn

18.3 +2.1

I 1.6 -2.4 11.9 ..3.6

8.8 --. .1.0

6.7 . . 1.4 j . 7 - 1 . j

j . 5 - 0.0

1 1 . 2 0.0

9

- Ht20b-

ich tung P

5.1 5 . 2

4.4 2 .Y

111111

2.0

. ..

I .s

1,ogarithniische Spirale

5.7 0.0

j.3 f 0 . 1

4 . 2 -- 0 2

3 . 2 + 0 . 3 2 . 7 -

2.7 --

"7 t o . 1 2.5

1.5 -0.3

2 . 0 --

Der zweite -4st erscheint iillrigens when lieim 1)loOcn Hctrachten der Photograyhien des Spiralncbels stark unregel- insliig, was vielleicht seine physiknlische Erkliirung i n der zweiten Vcrdichtung, in die er niundet, finden mag.

Aulkr den drei hier 1)eschriebenen Spiralneheln sind natiirlich auch nndere untersacht worden, SO Rl. 100, Comae Ikrcnices, H.1 56-57, Leonis, XI. 81, Ursae majoris u. s. w. Obglcich diese Cntersuchungen keinen Widerspruch mit dem bei den drei ersten Nebeln Gefundenen ergeben habcn, d a die I->arstellurig der Kebularformen durch logarithniisclie Spi- ralen innerhalb der zu erwartenden Genauigkcit sich immer als rniiglich erwies, haben sie doch x u kcincm wi tc ren Ke- sultat gefiihrt, d a in allen Fiillen auch cine 1)arstellung mit Hilfe von rerschiedenen anderen Kurven bei den verschieden- stcn Seigungen inoglich war.

Die Krklarungsversuche fur die Gestalten der Spiral- ncbel konnen in zwei Kategorien eingeteilt werden, je nach- tlem sic die Windungen der Spiralnebel nur a k den augen- I)lic.klichen Ort der den Ncbel zusammensetzenden Materie lietrachten, die sich in ganz anderen Trajcktorien bewegt, oder diese IVindungen als die wirklichcn Rahnkurven dcr hlateric ansehen. Ein Erkliirungsversuch der ersten Art ist von IVilczynski im Jahre 1896 (Astrophys. Journ. 4, p. 97) veroffentlicht worden. Er beruht auf dcr Hemerkung, cia8 eine Staubwolke, die sich um ein anziehcndes Zentrum in einer kreisiihnlichen Hahn stabil bewegt, wegen der ver- sc.hiedenen \\'inkelgeschwindigkcit, die ihre 'I'eile haben miissen, nenn ihre gegenseitige Anzichung verschwindend klein ist, mit der Zeit a l lni~hl ich in eine Spirale auseinander gezogen wird. Diese Spirale ist alwr keineswegs mit einer logarithmkchen Spirale identisch, sondern sic hat zitr Zeit t die Glcivhung

wo p die .4ttraktionskonstante, M die l lasse des Xentral- korpers und yo (r) die Anfangsverteilung der Materie der Staubwolke zur Zeit t = o bedeuten. Letztere kann natiirlich immer so gewahlt werden, dai3 die obige (ileichung zu einer

y:i [y - ~ p o (,,)I = E'

gegebenen Zeit f mit einem Stucke einer logarithmischen Spirale zusamnienfiillt, tfoch wiirdc die Hypothese,. dan ein solcher ad hoc konstruierter Anfangszustand wirklich einnial bestanden hat , rein willkiir1ic:h sein. Bei der plausibelsten Annahme uber den Anfangszustand, die der Verfasser auch selbst niacht, dafl niinilich die Verteilung der Materie anfangs eine geradlinige und radiale war, ist yiO eine Konstante und die Gleichung der Spirale ist zu jeder Zeit von der Form:

r3 ( y - yio)' = c .

Eine Untersuchung des Spiralnebels )I. 3 3 , Trianguli (die hier nicht n lher angefiihrt werden soll) hat gezeigt, dan sich die Aste desselben durch Spiralen dieser Art nicht darstellen lasscn.

Ein zweiter Erkliirungsversuch der ersten Kategorie stutzt sich aut' die Ahnlichkeit, welche zwischen den Ge- stalten der Spiralnebel und dem sogenannten ,Feucrradec( der ' I'yrotechnik Ixsteht. \Venn ein Kijrper Materie nus sich herausschleudert und dabei rotiert, so mu0 die Materie nach einer gewissen Zeit um ihn in spiralischen Windungen ge- Iagert scin. Die Rntstehung einer Archimedischen Spirale ist auf diese Weise besonders einfach zu erklsren, dcnn es ist dazu nur notig, dafl die Rotation des Zentralkijrpers eine gleichforniige sei und dan die Geschwindigkciten der radialen Bewegungen der ausgeschleuderten Alassenteilchen alle gleich und konstant seien. Thbei wird die einmal entstandene Form einer Archimedischen Spirale auch fur alle Zeiten erhalten, da alle Radienvektoren immer um gleiche Stucke irergroflert werden, was die Gestalt der Kurve nicht iindert. Abcr auch eine logarithmische Spirale kann auf diesem Wege, wenn auch unter etwas anderen Bedingungen, zustande kommen, und zwar ebenfalls in solcher Weise, dafl die Kurvenform bei der weitcren Ausdehnung der Spirale fur alle Zeiten er- halten bleibt. Es diirfen nur die den verschiedenen Kich- tungen entsprechenden Geschwindigkeiten nicht als gleich angenommen werden. Betrachtet man niinilich die Ge- schwindigkeit 7' als eine Funktion der Richtung YJ, so ist die allgemeine Form der durch Eruptionen entstehenden Spirale, zur Zeit t :

wo t , (y) die Zeit der Eruption in der Kichtung y, die ja selbst eine Funktion dieser Richtung sein kann, bedeutet. Setzt man nun:

so wird die Gleichung

y = 4 y ) b - to (y)I

= ~ ~ - 0 9 . wto = y

bei wolkenlosem Himmel eine schwache Sternschnuppe von Westen gegen Osten schrag herabkommend nahezu zentral mit groner Geschwindigkeit vor dem Stern 7 Aquilae voriiber. 1)abei zeigte sie einen etwa breiten, matten Schweif, der

und diese Kurve nrhert sich bei genugend groflem f oder w beliebig nahe ciner logarithmischen Spirale. \Venn sich also der Zentralkijrper beim Iierausschleudcrn der Materie gleich- manig rnit einer nicht zu kleinen Geschwindigkeit dreht, wobei die Intensitat der Explosionen nach einern Kxponential- gesetze A e - " W f ~ niit der Zeit abnitnmt, so ist nach -4blauf einer geniigend langen (die Kotationsdauer des Zentralkorpers etwa z o ma1 ubertreffenden) Zeit die projizierte Jlaterie langs den JVindungen einer (sich niit der Zeit immer weiter aus- breitenden) logarithmkchen Spirale gelagert.

Eine Erklarung dcr zweiten Kategorie laDt sich fur die Kntstehung einer logarithmischen Spirale auch unschwet geben, denn eine solche Kurve wird als die Uahn eines inateriellen l'unktes erhalten, der sich um ein anziehendes Zentrum bewegt, unter der \\'irkung eines Kraftgesetzes von

der Porm: f = - !%, wo p eine Konstante becieutet. In

einem dcrartigen Kraftfeldc niniint die Bewegung kings einer logarithmischen Spirale dicselbe Stelle ein, wie die para- holische Rewegung beini Newtonschen C;ravitationsgesetze, insofern die Geschwindigkeit eines eine solche Kurve be- schreibenden Korpers im Unendlichen null ist. Dabei hat die Kgnstante n drr logarithmisc:hcn Spirnlc die Bedeutung :

- .-

a = I/ /f, 1 i-

wo r die F1achengesc:liwindigk~it bezeichnet. 1st die Energie- konstante h nicht streng = 0, so erhiilt man Llahnkiirven die in der Nihe des Anfangsi)unktes an logarithmische Spiralen sehr nahe herankommen und durch die Gleichungen gegeben sind :

0 bei A > o - . . l< r- =

cosh!ii)[n (,';--.3,,)! -- I

. bei A i o und ., l< !

Y - = . - . ~

I + cos hyp [O (B -- 3,i)j

Sachdem der Schweif momentan erloschen war, bliel) der Stern etwa 3 '/' Sekundcn lang vdl ig unsichtbar.

Sein Licht mufl also durch die zuriickgebliebene Matcrie der Sternschnuppe abgefangen worden sein.

wo a, ct' positive Konstanten s ind, und I()" den Positions- winkel einer in der Spirale ausgezeichneten Richtung angibt. Ilicses nioge hier nur beiliiufig bemerkt werden, denn die Tatsachen sind sicher noch nicht ausreichend, um fur die Spiralnebel die Existenz eines yon dem Newtonschen ab- weichenden Kraftgesetzes behaupten zu kijnnen.

Es ist mir cine angenehme I'flicht Herrn Professor Schwarzschild, der mir die Henutzung der Ribliothek und der Samnilungen des .4stroj)hysikalischen Observatoriums in Potsdam in der liebenswiirdigsten Weise gestattete und von dem ich nianche Anregung erhalten habe, hier meinen Dank auszusprechen.

fi. v. d Pahkn. Potsdam, I 9 I I April.

Konigstuhl-Sternwarte, Heidelberg, I 9 I I Mai 23.