R. W~x~zs~s5c~. ~ber die Invarianten der Haupt~o-zuppe. 569

Uber die Iuva r i an ten tier Hauptgrnppe .*)

Yon

Ro~TD W~rrz~BSc~: in Graz.

Ms wichtigstes Problem bei algebr~isch-geome~rischen Un~ersuchungen kann das folgende bezeichne~ werden: Es is~ in einem Gebiet~ n ~ Stufe [(n--1)-dimensionaler Raum/~-1 ] e~n geome~risches Gebilde _~ t m ~ e Kollineationsgruppe G gegeben. Man so]/ aUe diejenigen Eigenschaften ~ yon ib ~ angeben, die bei den Transformationen yon G erhalten bleiben.**)

Wit wollen jetzt erkl~en, was wit in folgendem unter einem ,,geo- metrischen Gebilde" und einer ,,Eigenschaf~" eines solchen vers~hen werden. Hierzu w~hlen wit im Operadonsraume - ~ - i ein Koordinatensimplex und bezeichnen mit X~ die homogenen Koordinaten eines Punktes, mit Hi~ die einer Geraden (oder allgemeiner die eines linearen /~_s-Komplexes), mit H ~ die einer'Ebene (oder allgemeiner die elnes linearen/~_~-Komplexes), �9 .-, mi~ U~" die homogenen Koordinaten eines linearen ~ _ ~ . Dann s e i f eine Form, welche eine oder mehrere dieser Koordinafeureihen enth~il~ d. h. eine ganze rationale Funlr~ion der X~, Hi~ , H~kz,'" ", Ui'~ die homogen in jeder Koordinatenreihe ist, die sie en~l~t.

Unter einem (algebraischen) ,,geome~risehen Gebilde" vers~ehen wit dann diejenige Figur im B~_~, die dutch Nullse~zen einer endliehen An- zahl m solcher Formen f dargestellt wird:

= 0 , = 0 , . . . , = 0

Die Formen f(~ bezeichnen wir ~..~u als ,Grandformen", ihre Gesam~hei~ als ,,Grundformensystem" oder als ,System der Grundformen f(~%

*) Die wichtigsten Ergebnisse diesex Axbeit bildeten den Inhalt eines Vortzages, den der Verf. gelegen~lich dex 85. Naturforscherversammlung in Wien (1913) ge- h~lten ha~.

**) Vgl. F. Klein, Vergleichende Betxach~ungen fiber neuere geometrisehe 1%rschungen, Programm Erlangen 1872; wieder abgedruck~ in Math. Ann ~3, S. 63--

570 R. WEi~z~Scx.

Es set nun G eine Kollineation oder auch eine Kollineationsgcuppe, S die dazn geh~Jrige Substitution bzw. Substitutions~o'ruppe und J eine ]_nvarianf~ der Grtmdformen beziiglich S. Eine ,bei S invariante Eigen- schaW' des dutch die Grundformen f gegebenen geometrischen Gebfldes/7' ist claun erkl.al4 dutch das Verschwinden (identische Verschwinden) yon Invarimaten J;, atlenfalls aueh dttrch Ungleiehungen zwischen ihnen.

Wir heben noeh hervor, daft wir unter Invariante schlechthia stets eine ganze rationale Invar~mate verstehen. Dies ist eine ganze rationale, allseitig-homogene Funktion der Koeffizienten der Grundformen f, welche sieh nicht auf eine Konstaal~e reduziert und die nach Ausffihrung einer lineaxen Substitution S mii einem Faktor multipliziert erschein~, d e r n u r yon den Transformationskoeffizienten yon S abhiing~. Allseitig-homogen soil dabei heiBen: homogen in den Koeffizientenreihen jeder einzelnen der Grtmdformen,

Die. azgebraische Einkleiclung obigon Problems ergibt jetzt: Man sell sate-:~gebraischen Invarianten des geometrischen Gebildes F beziiglich S anfsuchen.

Dieses Problem finder seine erste and wichtigste Beantwortung dutch die hngabe der ganzen rationalen Invarianten J tier Grundformen f be- ziiglich S. Hierbei ist der Begriff eines ,vollsfandigen Invariantensystems" yon grundlegender Bedeutung. Eta vollstiindiges Invariantensystem yon Invarianten J der Grundformen f beziiglich S wird gebfldet yon ganzen rationalen Invarianten J1, J2, d'a, "'" der Grundformen f beziiglich S, die die Eigenschaft besitzen, dal~ sieh durch sie jede gauze rationale Invariante der Grundformen f bezfighch S ganz und rational ausdriicken l~l~t. Be- stoht~ insbesondere das System ~ , ~ ~ , . - . aus ether endliehen Anzahl yon Iavarianten~ so heiBt dieses System ein endliches.

Fiir geometrische Anwendungen ist ferner yon Bedeufung cler Begriff eines ,vollstiindigen /7'ormensystems". Hierunter versteht man folgendes. Wir fiigen dem System

Z = f(~), f(2), . . . , f('~)

der Grtmdformen f(~) noch die Linearformen

~(~) = ~u~'X~, ~(~) = X ~ k H ~ , ~(~) = Z ~ k ~ H ~ , . . . , ~("-~) -~ Zx~U~"

hinzu, Linearformen also, die yon jeder der Koordinaten

X,, rl, , G'

eine uncl nur eine Reihe enthalten. Aus 2/en~teht: nun so das erweiter~e System

2~'= f(~), f~), . . . , f('~'), ~(~)~ ~ ) , . . .~ q~("-~).

~ber die Invarianf~n der Hauptgrappe. 571

Ein vollsf~ndiges Inva~'iantensystem der Formen yon ~ ' wird dana ein vollst~ndiges l~ormensystem der Grundformen f genannt.

Es f~llt also der Begriff ,,volls~diges Formensystem" under den eines ,vollsf~4ndigen Invarian~ensystems" in derselben We[se, wie man Kovarianten, Kontravarianten usw. mit dem Begriffe ,,Invarianten" um- schlieSen kann. Warum man gerade die Formen q0 mi~ je einer Koordi- na~eureihe dem Systeme der Grund~brmen f hinzuffigt, kann hier nicht weiter"~geffihrt werden.*)

w

Nach diesen allgemeinen ErSrterungen gehen wir yon dem System

, v = f l ) , . . - ,

tier Grundformen f aus und nehmen als gegebene Kollinea~ionsgrnppe die aUgemeine projektive Gruppe G. Die Koeffizienten der f sollen hierbei gewSh~liche komplexe Gr5~en und voneinander unabh~ngig sein. Das Fundamentalproblem besteht dana in der Aufstellung eines volls~ndigen Invariantensys~ems yon projek~iven Invarian~en der Grundformen f.

Far die LSsung dieses Problems gib~ es eine allgemeing~ige Me- rhode, welche auch bei weniger einfachen F~llen ~in wirkliches Hinschreiben eines vollst'fiadigen Invariantensystems gestatte~. Diese LSsungsme~hode be- ruh~ erstens auf einer besonderen (sogenannten symbolischen) DarsteUung dar Grundformen f und zweitens auf der Anwendung yon drei S~tzen: dem ers~en and zweiten Fundameutalsa~ze der symbolischen ]~ethode und dem Endlichkeitssa~ze yon ttilber~. Wir wollen bier kurz andeuten~ wie diese drei S~itze Verwendung finden.

Das Weseutllche der symbolischen Darstellung der Grundfol~nen f be- steht darin, dab diese dutch Linearformen e r se~ werden und dab dann die Theorie der Invarianten der f auf die Theorie der Invarianten dieser Linearformen hinaus~uf~, die an Einfacb_hei~ niehts zu wfinsehen iibrig 1~$t. Bezeichnen n~mlich a~, b~, % . . . ( i = 1,2,.--,n) GrSl]en oder Symbole, die den Punk~koordinaten X~ ko~edient sind und r ~', 7~,""" (i = 1, 2,-.., n) GrSl~en odar Symbole, die den /~=_~-Koordina~en U~' kogredien~ (den X~. also kontragredient) sind, so gib~ es ftir die Invarianten der Linearformea

z r / x , , . . . ; x b , U,, . . .

nut die drei Typen:

*) Vgt. hierzu A. Clebsch, Uber eine Fundamentalaufgabe der Invariant~m~heorie~ AbhandL d. G6tr~inger CTes. d. Wissensch. 17 (1872).

572 R. W~ITz~BSc~.

I a l a ~ . . . a ~ i ~ l ' a , ' . . . a;

. . . . . . ] = (ab . . . q), . . . . . . . . (a' f l ' . . , v ' ) , ( 1 ) . . . . . .

l i i , , , i q~ q~ " " " q,, i v i r~ . . . u~ :

t (aa') = a i t ~ ' + a~a~'~- . . . -4- a~a~.

Man bezeiehnet dann die beiden n-reihigen Determinanten ( a b . . . pq) und (a'fl'-.'. tt'~,') als ,,Klammerfaktoren" oder ,,Faktoren zweiter Art"; die Summen (aa') nennt man ,,Linearfaktoren" oder ,,Faktmren erster Art".

Der erste Fundamentalsatz der symbolisehen Methode laubet dann:*) I �9 Sind a, b, c, . . . , tz , fl', ~ , �9 �9 �9 die Griifien- oder Symbolreihen, mit dene~

die Grundformen f symbolisch dargestellt werden, so l~ifit sich jede ganze rationale Irrojektive Invariante J dieser Grundformen aufbauen aus Faktoren erster und zweiter Art.

Durch diesen Satz werden die Baus~eine (Faktoren erster und zweiter Ar~) f~fir die Invarianten J geliefer~ und diese Bausbine lassen sich yon vornherein ersch5pfend angeben. Die dureh die linken Seiten der Glei- chungen (!) gegebene Darstellung yon n-reihigen Determinanten (Faktoren zweiter Ar~), bzw. n-gliedrigen Summen (Faktoren erster An) nennt man ,,abgek~irzte Bezeichnmag". Ihr Vortefl besteht erstens darin, des nicht mehr die einzelnen GrSl]en (Eoordinaten) oder Symbole ai, a s , . - . , a~ explizite hlngeschrieben werden~ sondern dab die Gesamtheit soloher Gr5Ben (Symbole) a~ dutch ein Zeizhen a, die ,,GrSBenreihe a" (Symbolreihe a) ausgedrfiekt wird. Auf diese einfacJae Abs~raktion gdinden sieh ebenso die in der Yektoranalysis und die in der GraBmnnnschen Ausdehnungslehre verwendebn Bezeichnungen.

Zweitens aber, and dies ist des Auschlaggebende~ gestattet diese ab- gekfirzb Bezeichnung ihre fortw~hrende Verwendang: man braucht nirgends auf die einzelnen a~ hi,- - -, a~', fl~',. -. zurfiekzugehen, sondern arbeite~ nur mit den Faktorem erster und zweiter Art selbst.

N~iheres hieriiber gibt der zweib Fundamentalsatz der symbolischen Methode**)~ den wit der grSferen Deuflichkeit halber flit tern~re Formen (n = 3) aussprechen:

Jede Identit~it zwischen ganzen rationaZen lnvarianten ist eine Folge yon einfacheren Ide~'t~iten (,,Nullidentit'citen"), die den f i inf ~achstehenden Typen angeh6ren :

�9 ) Vgl meine Arbeit: Beweis des ersten Fundamentalsa~es der symbolischen Methode~ Wiener Ber. 122, Ab~.IIa ( 1 9 1 ~ wO sich ausffihrliche Lit~raturangaben finden.

,**) Vgl. meine 2Lrbeit: Beweis des zweiten Fundamentalsatz~es der symbolischen Mef~hode, wie bei *).

~-ber die Invarianten der ttauptgruppe. 57~

I. (abc)(da') - - (dbc)(aa~ + (dac)(ba~ --(dab)(ca') --- O,

I". (~'~r')(x~) - (~'~'r') (~'~) + ( ~ ' / ) (~ '~ ) - (~'~'~3 ( /~) = o,

~. (~b~)(d~fO - - (d~) (~e f ) + (d~c)(bef ) - - (~ab)(~f) =-- O, (~) It. (d~'y')(~'r162

m. (~b~)id~'/)-- i(b~') ibm') (b/)l----- o.

Durch diesen zweiten Fundamentalsatz der symbolischen M e , ode ist man in der Lage, bei gegebenen, symbolisch dargestellten lnvaxian~n~ die zwischen diesen bestehenden Gleichungen erschSpfend anzugeben. Diese Angabe geschieht eben deshalb in einfacher und durchsichtiger Weise, well man nicht mit den Koeffizien~en der Grundformen oder gar mi~ den Symbolen selbst zu rechnen braucht~ sondem nut mit den Fak~oren ers~r und zwei~er Art operier~.

Ffir die Aufstellung eines volls~ndigen ]_nvaxiantensystems der Grund- formen f i s t nun folgender Weg vorgezeichnet. Aus den Griiflen- trod Symbolreihen, die zur symbolischen Darsiellung der Grundformen f ver- wendet werden, bau~ man erstens nach dem ersten Fundament~lsa~ze In- varianten auf und ermittelt dann zweitens ihre gegenseitigen Beziehungen nach dem zweiten Fuudamen~alsatze der symbolischen Methode.

getz~ trit~ der dritte der obigen S~tze in Verwendung: der Endlich- keitssatz yon Hilbert.*)

Er sag~ aus, daft ein vollstiindiges Invariantensystem vo~ ~rojektiven Invaria~ten endlich is~.

Dieser Satz biete~ dann yon vornherein die Gewighei~, dab die beiden Ti~tigkei~en: erstens Aufbauen yon Invarianten nach dem ersten Funda- mentalsatze und zweitens • der Relationen zwischen den so er- haltenen Invarianten naeh dem zweiten Fundamentalsatze tier symbohschen Method% nich~ ins Endlose verlaufen kSnnen, sondern nach einer end- hchen Anzahl yon Sehrit~en abbrechen mtissen, indem sich keine irredu- ziblen Invarianten ~nehr ergeben. Damn eben is~ man im Besitze eines volls~naigen Invariantensys~ems.**)

*) Ygt. D. Hilbert, Uber die Theorie der algebraischen Formen, Math. hnn~ 36, S. ~ 7 8 - - 5 ~ (~sgo).

**) Ein einfaches Beispiel ffir eine soiche Ablelhmg finder man z. P~ in Cteb~h- Lindemann, u fiber Geometa:ie I, VI~ Abschnitt der driven Ab~eilung, wo eine tern~re quadratische Form trls einzige Gru=dform behan4el~ wird.

574 R. Wz,~z~Sc~.

w

Das Bisherige gilt ffir Invarian~en bezfiglich der atlgemeinen projek- ~iven Gruppe G des Gebietes n ~ S~ufe (n __~ 2). Durch die Aufstellung eines vollst~udigen Invariantensystems yon projektiven Invarianten ge- gebener @rundformen f i s t die Frage nach allen jenen Ausdriicken, die bei projektiven algebraisch-geometrischen Untersachungen der dutch die f dargestellten geome~rischen Gebilde auftreten kSnneu, im wesenflichen erledig~.

Wie steh~ es nun aber bei einer Geometrie~ der nicht die allgemeine projektive Gruppe G, sondern der eine Untergruppe H yon G zugrunde liege? H sell hierbei dutch eine geome~rische Figur [" definier~ sein, die bei den Transformationen yon H invariant bleibt.

Wit erw~hnen gleich jetzt~ dab wit unser Augenmerk besonders auf die Hauptgruppe des (n -- 1)-dimensionalen Operationsraumes riehten wotlen~ auf diejenige Gruppe also, die der (Euklidischen) ~lementargeo~ne~rie zu- grunde liegt. I" ist in diesem Falle das sogenannte absolute Mal~gebilde (in der Ebene die ,,Krelspunkte , im Raum der ,,Kugelkreis'~).

Die algebraische Formulierung des Fundamentalproblems laute~ jetzt: Im Gebiete n t~ Sh~fe (n ~ 3) sind ers~ens dutch alas Grundformensys~em

z = . . . , => 1)

geometrische Gebilde F gegeben. Zweitens ist durch wei~ere Formen

ein geome~risches Gebilde I" gegeben, das eine Kollineationsgruppe H ge- s~at~et und best~mmt. Es sell ein volls~iindiges Invariantensystem der Grundformen f beziiglich der Gruppe H ge~nden werden.

Die LSsung dieses Problems wird dutch den schon verschiedener- seits*) ausgesproehenen Sa~z nahegele~: Die geometrisehen Eigenschaften yon 2 ' bezfiglich H sind projektive Eigenschaf~en der dutch F und I- ge- bilde~en geome~risehen Figur. Algebraisch gesproehen wiirde dies die L{isung geben G~Adjunk~ionssa~z~): Man vereini~ die Formen f u n d r zu dem erweiterten Sys~eme

und such~ zu den Formen yon r ein voHst~ndiges Invariantensystem yon l~roje}tive~ Invarianh~n; in diesem I~B~ man dann alle jene Invariguten weg, die yon den Koeffizien~n der f gar nieht abh'~ngen.

So plausibel auch diese Ar~ der LSsung w~e, so mu$ man sich doch darer hiiten~ sie Ms allgemein rich~ig anzusehen. Hierauf wurde besonders

*) Vgl. F. Klein, 1. c., feraer Enzyklol~die, Ht AB, 4b, ~1 (G. Fano).

~ber die Invariau~en de~ Hauptgruppe. 575

yon F_, Study hingewiesen.*) Der obige Adjunktionssa~z wurde eben bisher fOr den allgemeinen Fall nur ausgesprochen, nich~ bewiesen. Es is~ klar~ dab jede simulfane projektive Invariante der Formen f u n d ~ die die Koeffiziens dieser Formen t~:ts~chlieh enth~lt, auch eine InvarJantm der f beziiglich der Gruppe H i s t .

Beim Beweise des • w~re abet anch die Umkehrung des eben ausgesprochenen zu zeigen, da~ n~mlich auch jede Invariaute der f beziiglieh H en~weder eine projektive Invariant~ der f allein oder eine projektive simultane Invariante der Formen f u n d ep ist.

Ein Beweis des Adjunktionssatzes liegt bisher nur fiir einige Spezielle F~lle der Formen (p vor. So gilt er beispielsweise fiir den Fall, wo r eine Linearform in Punktkoordinaten ist: ~(1)_~ (/'X). Nimmt man dann den dutch r 0 dargestell~en ~ _ ~ als uneigenffichen (unendlichfernen) :R,_~, so ist H die afffue Gruppe.

Ebenso gilt der Adjunk~ionssatz ffir die beiden F~lle: a) q~(~)~ (k U~, fl) ~(~)= (l'X), ~(2)= (kU'). Im Falle fl) ist H die ,~ffine Gruppe mi~ fesbem Puntr~". Es kann dann der Punkt k im ~,_~ l' enthal~en sein oder nicht. **)

Des wei~eren wurde die Rich~igkei~ des Adjunlr~ionssa~zes bewiesen yon Deruy~ in der Theorie seiner ,,Seminvarianten"***) Das geome- trische Gebilde, das dutch die Formen ~ in diesem FaUe gegeben ist, dargestellt dureh einen invarianten 1~_~, einen in diesem liegenden in- variauten / ~ - s , einen in diesem / ~ - 3 liegenden invarian~en ~ _ ~ usw. his zu einem invarianten Punkt, der auf einer invarian~en Geraden liegt. Die Transforma~ionen yon H sind dann gegeben dutch:

X~_I = a._~,._l X~_I + a,,_~,,,X., X . --- a . . X . .

Ferner gilt der Adjunk~ionssatz fiir den Fall, wo ~(~)= 0 eine qua- dra~ische Mannigfal~igkeit mi~ nich~ verschwindender Diskriminante dar-

*) u E. S~udy, Uber Bewegungsinvarianten mad elemen~e GeomeA~'~ I, Si~z.-Ber. Ges. Wiss. Leipzig 48, S. 649--664, (1896); ferner Geome~rle eter Dyname~a. S. ~u~ (xgos).

**) VgL mein~ A~bei~: Die Invarianten tier a ~ n Gruppe~ J~xesbez. eler Deutschen Ma~h.-Vex. 22, S. 192~209 (1913).

***) Vgl. Deruyts, Ea~i d'une thgorie ggn~lo des formes aI~b~ielue~, hi~ge 1890, S. 52ff.

576 R. W~TZ~B~CK.

stellt~, wie yon E. Study gezeigt wurde.*) 1~immt man dann r 0 als absolutes Gebilde~ so ist H die Gruppe tier nicht-Euklidischen Bewegungen und Umlegungen.

Der Adjunktionssatz gilt schlieBlich adch fiir den Fall, da3 ~(1)_~ 0 eine quadratische Manni~altigkeit mit nieht verschwindender Diskriminante und ~(~)~-0 einen Hnearen R~_~ darstellK**) Wir nehmen insbesondere

~(" = ( X X ) = X d + X~ ~ + . . . + X2 , ~ = ( r x ) = X,,.

Dann ist H die Gruppe der Drehungen (und Spiegehngen) um den Punk~ 0 : 0 : . . - : 0 : 1 (vgl. w 4). An diese letztere Tatsache kniipfen wit die folgenden ErSrterungen.

w

Die Frage nach einem vollst~indigen Invariantensystem yon projek- riven Invarianten gegebener Grundformen f i s t dutch die drei im w 1 an- gefiihrten S~tze in die Klasse derjenigen Probleme gesunken, deren LSsung im wesent]ichen nur mehr meehanische T~tigkeit erfordert.

Es entsteh~ nun die Frage: Kann man aueh f(ir die Elementargeometrie eine ebensolche LSsung des Fundamentalproblems geben?

Hierauf ist mit ja zu antworten. Genauer gesprochen: Bei vorgelegten Grundformen f gibt es auch ffir die Invarianten bez~iglieh der Hauptgruppe (Bewegungen, Umle~o~ngen, _~-hnlichkeitstransformationen) drei S~tze, mit deren Hilfe es gelingt, ein volls~ndiges Invariantensystem aufzustellen. Man ist hierdureh in die Lage versetzt, die Gesamtheit der Ausdrficke (ganze rationale Funkfionen der Koordinaten~ Koeffizienten usw.) zu fiber- sehen, die bei elementargeometrischen Untersuchungen vorgele~er geo- m~h'ischer Gebilde auftreten kSnnen. Die Methoden, die hier das Funda- ment~lproblem 15sen, sollen im folgenden auseinandergesetzt werden.

Es seien ~1, ~ , ' " ", ~ - 1 rechtwinldige Koordinaten eines Punktes des (n--1)-dimensionalen Operationsraumes. Wir benutzen weiterhin recht- winklige homogene Punktkoordinaten X~, die durch

x , (i = 1, 2 , . -. , ~ - 1)

gegeben sind. X ~ 0 stellt dann den uneigentlichen /~ ~ dar. Das absolute Mal~gebilde [" definieren wit als (n -- 3)- dimensionale

Sehnittmannigfal~igkeit des uneigentlichen /~.,_~ X ~ 0 und des quadra-

schen r = x d + G ' + - - - + . x : = ( x x ) = o.

*) Vgl. E. S~udy, ~'ber die Invarianten der projektiven Gruppe einer quadra- tischen Mannigfaltigkeit yon nieh~ versch~-indender Diskriminante, Si~z.-Ber. Ges. Wiss. Leipzig 49 (1897), S. 442--461.

�9 **) Ygl. meine Arbeit. ~ber I)rehungsinvarianten, Denksehrlften der Kais. A_kad. d. Wiss. in Wien, 89 (191~).

~ber die Invarlan~en tier Haupfgmppe, 5~.7

Dies is~ die Kugel mit dem Radius ~ ~-]/~-11 und dem Kocn~Iinaten- ursprung als Mi~elpunkt.

In ver~nderlichen/~_~-Koordiuaten U~" haben wit als Gleichung yon F:

r ~; '~+ W - ~ + . . . + V"~,~_~ ~- (U'I V9 ~ O. Die Transformationen der I~auptgTuppe lassen F invarian~. Wir nennen

Invarianten beziiglich der HauptgTuppe kurz ,,Hau~tinwrianien". Um nun ein vollst~udiges Invariantensystem yon Hauptinvarianten ftir

die gegebenen Grundformen f zu finden, kSnnte man versuehen, den obigen Adjunktionssatz heranzuziehen~ d. h. ffir das erwei~erte System

f~), f(~), . . . , f(,,,), ~" ein voltst~ndiges Invariantensysf~m yon larojektiven Invs aufzusteUen.

In diesem Fatle versagt aber der Adjunktionssatzj und zwar aus fol- gendem Grunde. Nehmen wit z, B. n ~ 4 und es set ~0 ~ 2:a,k U~' U~'~ 0 die Gleichung emer einfach-singuliiren Fliiche zweiter Klasse, eines irre- duziblen Kegelschnittes [" im Raume /~. [" liege in der Ebene mit der Gleichung le~'X~ = 0. Das System der Grundformen best~he aus der ein- zigen Linearform f ~ ) ~ Iy~ U~'. Dann ist J = ly~e~" sicherlioh eine gauze rationale Invariante yon f0) beztiglich der Gruppe H, die I" in sich fiber- fiihrt. J = 0 sagi aus, dab der Punkt y in der Ebene g lieg4. Jr ist aber keine ganze rationalv 2~rojel~ve J_nvariante des erweiter~en~ Systems f(~)~ ~; erst; o r~ is~ eine solche.

Wit werden uns daher bet der Frage nach einem vollst&udigen In- variantensys~em yon Hauptinvarianfen der Grundformen f nach einer an- deren Methode umsehen mtissen. Das Ziel wird erreich~ dutch Zurfickgehen auf die sogenannten Drehungsinvarianien.*)

w

Jene KoUinea~ionen des /~_~, die die Kugel �9 = ( X X ) = 0 und den uneigentlichen/~_~ X~= 0 invarian~ und zwar jedes dieser Gebilde

1 ., fiir sieh invariant lassen, bilden eine gemischte, ~ (n'--3n+2)-glied~ge Gruppe D, die yon den Drehungen um den Koordinatenursprung und yon den Spiegelnngen an den Koordinatenachsen, an den Koordinaienebenen~ an den Koordinatenrgumen usw. gebildet wird. Die Invarianfen bezfigtich dieser Gruppe D nennen wit ,rDrehungsinvarianten".

, Die Gruppe 39 is~ eine Untergruppe der Gruppe B der Enklidisehen Be- wegungen und Umle~mmgen und eine Unterg'ruppe tier Hauptgrtrppe

Die Invarianten bezfiglieh B nennen wir kurz ,Bewegungs/nva~:/a~te~".

�9 ) Vgl. melne Arbeit: t)ber Drehu~agsinvarianten, Denksck~n de~ Kals. Akaa; el. Wis~. in Wi~n, S9 (1913).

'M~; ,he~che k,~n~.len. LXXV. 3 7

578 R. W ~ z ~ S e K .

Wenn es nun gelingt, fiir ein System yon Grundformen f ein voU- s~ndiges Invariantensystem 4 , 4 , " ", J~ yon Drehungsinvarianten an- zugeben~ d.h. also das Fundamentalproblem ffir die Gnlppe D zu 15sen, so gewinnt; man bereits eine nii~ere Einsicht in die Sh'uk~ur der Be- wegungsinvarian~n und der ttauptinvarianten. Es ist ja jede Beweffangs- und ebenso jede ttauptinvariante aueh Drehungsinvarian~e und also eine gauze rationale Funktion der 4 , J~, "" ", J~.

Die Theorie der Drehungsinvarianten ist nun leieht zu beherrsehen. Die drei Si~tze, welehe hier das Fundamentalproblem 15sen, lautsen:

.Erster Fandamentalsatz der symbolischen Methode fiir JOrehungsinva- f latten: Sind a, b, c~ . . . (gestrid~elte oder ungestrichelte) Symbol- oder Gr6flen.- reihen, mit de~en die Grundformen f symbolisch darges~dlt werden, und be- deutet l" die G r6fienreihe 0 : 0 : - . . : 0 : 1, so ist jede ganze rationale 1)rehungs- invariante der Grundformen f darstellbar dutch die Faktoren

(3) (ab . . .p~ ' ) , (ab), (al').

Wir geben hierzu einige ErlSuterungen. Wir bezeiehnen stets GrSBen- and Symbolreihen, die den Ptmktkoordina~en X~ kogredient sind mi~ Bueh- staben ohne Strich: a, b, . . . , x, y, �9 . . (ungestrichelte Zeichen); GrSgen- und Symbolreihen, die den X i kontragredient sind~ sollen immer dutch Buchstaben mii" Strich: a'~ , � 9 u , v , . . . , p , q, l , . . . bezeichnet wet- den. Dann sind bei ~rojektiven Invarianten in einem Faktor erster Ar~ (u'x) immer ein gestrichelter und ein ungestrichelter Buchstabe beisammen. In einem Faktor zweiter Art hingegen sind bei prajektiven Invarlanten en~- weder alle Buchstaben gestrichel~, wie z. B. in (a'b'c'), oder alle unge- strichelt, wie z. B. in (xyz t ) .

Bei 1)rehungsinvarianten fiillt nun dieses Merkmal im Aufbau der Fak~oren erster und zweiter Art weg. Es kommen auch als Fak~oren ersber Ar~ die Typen (ab), (~'f13, (a'l') vor. A~alog bei Fak~oren zweiter

us .

Was schlieglich die Bezeichnung der GrSSenreihe 0 : 0 :- �9 �9 : 0 : 1 re_it l" anbelan~, so empfiehlt sich bier dieselbe deshalb, weft man da- durch auch formal an der ,,abgekiirzten Bezeichnung" (vgl. w 1) festh~It. Wir haben dann einfach start a~ den Linearfak~or ( l ' a )= a~ und s~t t der ( a - - 1)-reihigen De~erminante 2~ • a~b~ �9 �9 �9 P~-x den Klammeffak~r

(ab . . .lOl 3. Zweiter Fundamentalsat~ der symbolischen l~dethode fgr Drehungsinva-

rianten. ]~_ier ergib~ sieh gem~B den oben gegebenen Er~uterungen zum exsSe~ Fundamentalsatze eine Verein~aehung gegeniiber dem en~sprechenden Sa~ze flux projek~ive Invarianten. Da n~mlich bei Drehungsinvarian~en der formelle Un~erschied zwischen lro- und kon~agredient; wegf'~ll$, so lassen

Ober die Imvarlanten dor Haupt~mppe. 579

sich I u n d I', sowie II und 1I' in (2) zu je einer Iden~i~ zusammen- fassen. Wit sprechen den zweiten Fundamentalsatz der symbolischen Me- rhode ftir Drehungsinvarianten wieder der Einfachhei~ halber fiir ~ern~re Formen a u s :

Jede Identit~t zwischen ganzen rationalen DrehungsinvaM.ante~ ist eine Fdge yon einfachen Identiti~ten, die den nachstehende~ drei Ty~en angd~en:

[ ~ (abc)(de) -- (dbc)(ae) + (dac)(be) -- (dab)(ee) -~ O, : - + - - - -O,

(4) �9 (abc)(afl7)- (bez) (b13) (b?) = 0 .

Hierbei bedeuten a, b, c, . . . , a~ fl, 7 , " " gestrichdte oder ungestriehelte Grgfle~- oder Symbolrei~n, mit dene~ die Grundforme~ f dargextellt werden, oder schliefllich auch die GrSfienreihe l'.

Der dritte Saiz sehlieitlieh, der zur LSsung des Fundamentalproblems bei Drehangsinvarianten verwendet wird, sag% aus, dab ein vollst;4ndiges Invariantensystem yon Drehungsinvarianten end/wh ist.

Der Beweis dieses Satzes ergibt sich aus dem Endliehkeitssatze f~r projek~ive Invarianten, indem sich hier der Adjun~ionssa~z anwenden l a g (vg]. w 2). Fiigen wit ngmlich den Grundformen ?' die beiden Formen r = ( X X ) und Z = (l'X) hinzu, so liiB~ sieh naehweisen, dab die Drehungs- invarianten der f als projektive Invarianten der Formen f, (1) und L ange- sehen werden kSnnen.*)

Die obigen drei S~ze gestatten nun die LSsung des Fundamental- problems fiir Drehungsinvarian~en in derselben Weise wie bei den projek- Liven Invarianten (vgl. w 1). Man sieht auch sofort, daft zufolge des Weg- falles der formellen UnterscheJdung zwischen ko- und kon~ragredien~ die Anzahl der Invarianten bedeutend zunimm~. So besteht beispietsweise ffir n -~ 4 ein kleinstes volls~ndiges InvarianSensystem yon projelrkiven Lu- varianten der vier Grundformen

(zwei lineare Strahlenkomplexe, ein Punkt und eine Ebone) auB Ftinf In- varianten, wii~read ein kleinstes vollst~iadiges Iav~ria~tensysf~m voa Drehungsinvarianten dieser vier Grtmdformen berei~s dreimadaehtzig !n- varianten aufweist.**)

*) Vgl. die Anmerlmng ~uf S. 583. **) VgL meine Arbeit: Drehungsinvariant~n einos lineaxen Komplexes im .R**

Mona~shof~e Ma~h. Phys. 15 (1914). ~7,

580 R. Wzl~zzszScr~.

w

Wir wenden uns nun den Bewegungsinvarian~en und Haup~invarianben zu. Die nachstehenden S~tze gelten zumeist flit beide Invariantenkategorien, wLr sprechen sie daher eler Einfaehheit halber nut fiir Hauptlnvarian~en aus.

Wie schon oben bemerkt, gewinn~ man durch den Besitz eines voll- stgndigen Iavariantensystems J1, J~, "" ", J~ yon Drehungsinvarianten be- reits einen Einblick in die Struktur der Haup~invarian~en, da jede Haupt- invariante K auch eine Drehungsinvalqante und daher gleich einer ganzen rationalen Funktion (5) ~C = K ( 4 , ~ , - . . , 4,) der J~ ist.

Dieser Ansatz leg~ dann die Frage nahe: Welche Besehaffenheit mu] die Funktion K besitzen, dami~ K tiauptlnvariante wird?

Hierzu is~ notwendig und hinreichend, dab aE auch Invarian~e bezfig- lich derjenigen n-gliedrlgen Gruppe M i s t , deren Transformationen aus den Trazaslationen und perspektiven ~[hnlichkeitstransformationen bestehen. Die Transformationen yon M sind gegeben durch:

Diese Gleiohungen werden zusammengefaB~ in die eine:

(7) X, = X, + k,(Z'X) (i = l, 2,. . . , n). Die k~ sind hierbei n gewShnliche komplexe GrSBen. Ftir k ~ 0

haben wit eine Translation, fiir k I = k 2 . . . . . /~_l = 0 eine perspektive ~ihnliehkeitstransformation. -

Se~en wir (8) A ::: 1 + S~,, = 1 + (Z' t~) + 0,

so lau~en die aus (6) folgenden Transformationen ffir die ~_~-Koordi-

. . . . o , o (9) | :: (A = + 0);

t - - i ~ - - r = A u

oder aueh, zusammengefaBt: (lO) ~ , ' = AF, ' - - ' -7' l, (kU ), ( i= 1,2, . . . ,n).

Die besondere Gestal~ der Gleichungen (9), sowie der Umst~nd, dab bei den Haupfinvarianten das absolute Gebitde I" dutch eine Gleiehung in /~,_~-Koordinaten r = U/"~ + U~'~+ -.- + U~_~ = (U" 1U') = 0 darges~ell~

t~ber die Invs~i~nten tier H~up~uppe. 58i

wird~ ges~at~e~ eine verh~ltnism~ig ein~ache Formulierung des ers~n Fun- dament~lsatzes der symbolischen Methode fib Hauptinvarianten. Hierzu ist; nut ein kleiner KunstgTiff no~wendig, der sich auf die symbolische Dar- stellung der Grundformen f bezieht: Wir stellen n~mlich diese f so sym- bolisch dar, dab dabei nur gestrichelte (den U i" kogredien~e) GrSBen- und Symbolreihen verwendet werden.

Bei einer Form (a'X) mit Punk~koordinaten X~ ist hierbei keine weibre )[nderung nStig. Dasselbe gilt bei Formen mi~ R1. , l ~ - , . . . , /~_~-Koordinaten. Bei einer Form (~U') mit/~_~-Koordina~en hingegen haben wit die ungesbichelte Reihe ~. Wir setzen bier

~ = ( - - l Y + 1 C ~,.'""" 4 - i 4 + , " " ~: , 01) (~= 1,2, .-,~), t

wobei sowohl die a~" als die Ui (n--1)-fs Komplexsymbole sind. Dann erhalten wir

1 ( i2 ) (~ V') = ~ ~ ' + . . . + ~, V: - ( ~ _ ~>~ (~' U)--~

and zur symbolischon Darsbtlung der Reihe a sind jetzt n -- 1 Reihen a" herangezogen.

Wit haben hiordurch erreicht~ dab zur symbolischen Darstellung der Grun&formea f nur gestrichelte Reihen

t �9 . (13) d, b, ~', ., p', ~ , . . . verwende~ werden. Die Theorie der Haup~invarian~en yon f wird so zu- rfiekgeffihr~ auf die Theorie der Hauptinvarianten yon (symbolischen) Linearformen

O'X), (b'X), ( c ' X ) , . . . , ( # X ) , (q'X), - . -

und hierin lieg~ der Iqu~zen dieser besonderen symbolisehen Darstellung der f~ wie das Folgende ktsr machen wird.

Wir greifen jetzt wieder auf die ~leichung (5) zurfick. Bei aussehlieB- lioher Verwendung der l~ihen (13) zur Dars%ellung der f erhattea wir start (3) fib den Aufbau der Drehungsinvarianten J~, ~ , - . - die Fak%oren:

( l~) (d~ ' . . .~ '~ '> , ( ~ ' ~ ' . . . # 0 , (~'~'), (~'~). Es Js~ dann naoh (5) eino Haup~invariante ~ eine ganze rationale

Funk~ion yon solchen Fak~oren (14):

(15) K = G((a'b'-.. p'q'), (a'b'.. "1~'l'), (e{b'), (a'I')).

Ober den besonderen Bau dieser Funk~ion G 1 ~ sioh nun unschwer Aufschlu~ gewinnen. Wir bemerken, dab die beiden Fak~ore~typen (a 'b ' . . . ~ ) und (a'b'- . . p'l~, nich~ abet die beiden Linearfak~oren (a'b') und (a'l') gegenfiber den Transformationen (9) die Invarianteneigenscha~ besitzen

582 R. W~rrz~B~cK.

Dieselbe Eigensehaf~ besitzt hingegen auch jeder Faktor �9 r (16) (s = al"bl'-f- a~'b.~" + . . . § a~_ib~_ , =-- (a'b') - - (a'r)(b'l').

Es is~ also z.B. die Funktion g((s (a'l'), (b'g)) ==_ (a'b')--(a'l~(b'l') eine ganze rationale Funktion dieser besonderen Eigentfimlichkeit, die wir aueh yon G in (15) verlangen: Iavarianbeneigensehaf~ gegeniiber den Trans- formationen (9).

Ferner is~ sofort klar, dal~ jedes Produkt yon Faktoren

(17) ( a T . . . p ' ~ ' ) , (~ 'b ' . . .p '~ ') , (d b'),

dem eine nicht-symboliseho Deutung zukommt, eine Hauptinvariante der f darstellt.

Umgekohrt kann man beweisen*), dab jede ganze rationale Haupt- invariante und Bewegungsinvariante sich aus dlesen Faktoren (17) auf- bauen l~l~t. Dies gibt den Satz:

Sirtd d, b, c, � 9 p , q', �9 .. die gestrichelten Symbol- und Gr6flem'eihen, mlt denen die Grundformen f symbolisch dargestellt werden, bedeutet ferner l" die G~5~enreihv 0 : 0 : �9 �9 �9 : 0 : 1, so ist jede ganze rationale Hauptinva/riante (und .B~vegurtgsinvariante) darstel~bar durch die _~'aktoren: (:7) ( r i b ' - - - f q ' ) , ( r ib ' . . .p '~ ' ) , (a'tb?.

Dieser Satz entspricht bier dem ersten Fundamentalsatze der symbo- lisehen Methode ffir Hauptinvarianten bei Zugrundelegung der oben ge- schilderten besonderen symbolischen Darstellung der Grundformen.

Der Satz, welcher bei dieser Darstellung dem zweiten Fundamental- satze der symbolischen Me,bode entspricht, lautet, wobei wir uns wieder auf t e ~ r e Grundformen beschr~inken:**)

Jedv Identit~t zwisehe~ ganzen rationalen Hauptinvarianten (und Be- w e g u n g s i ~ v a r i ~ ) ist eine Folge yon einfac.hen Id~t i t i i t~ , die den drei nachstehenden Typen ange]ff~ren:

t I. (a'b'~) (erie") -- (arb'c~ (a'l~) -~ (d't~c') (b'le") -- (d'a'b') (c'le") ~ O, (18) II. (a'b'c')(d'e'f')--(d'b'e')(a'e'f') + (d'a'c')(b'e'f')--(d'a'b')(c'e'f') -~ O,

HI. (a~bT)(e'arl ") _ ]] (a']c')(b'tc') (b'ld~(a']d') l _~ O.

In I mad II kann auch l' in den Klammeffaktoren stehen. Ist dies bei I der Fall, so versehwindet ein Glied wegen (l']e~-~ O.

SehlieBlieh geling~ der Nachweis~ dab man ein vollstiindiges Inva- rian~ensystem K1, ~ , . . . yon Hauptinvarian~en stets so ausw~hlen kann~ dab die K~ projelr~ve Invarianten des erweiterten Systmms f(1), f(~), ..., f(,~,

�9 ) Vgl. meine Arbei~: ~ber Bewegungsinvarianf~n, I. ~[i~teilang, Si~.-Ber. Ak. Wien ,122,-kbk Ha (1913).

�9 *) Vgt. wie oben, HI- Mi~eilung.

0ber die Invarian~en der Haup~gr~appe. 5 ~

~(1) ~ ( X X ) , ~(~) -~ (l 'X) sind (vgl. w 2). Hieraus folg~ dann die F.na~A- keit ffir das System der K~.*)

Mithin haben wir auch bier die gewfinschten drei SRhze, die bei den projektiven Invarianten und bei den Drohungsinvarian~en das Fundamentml- problem zu 15sen gestatten: Aufstellen eines vollstiindigen Invarianten- systems.

w Die S~tze des vorigen Para~o~raphen geben die LSsung des Fundamental-

problems ftir Hauptinvarianten in derselben Weise wie diese LSsung~sar~ in w 1 fiir projel~ive Invarianten geschilder~ wurde. Nut ein Unterschied macht sich bier geltend: den Hauptinvarianten liegt im allgemeinen eine andere symbolische Darstellung der Grundformen f zugrunde als die, die wir bei projektiven Invarianten verwenden. Die beiden symbolischen Dar- stellungen der f fallen dann und nur dann zusammen, wenn keine der Grundformen f/~,_~-Koordinaten enth~ilt. Wit haben dana niimlich nut gestriehelte Symbol- und GrSBenrei.hen. Ein einfachster Fall dieser Ar~ l ie~ vet, wenn die Grundformen f nur Reihen yon Punktkoordinaten X~. enthal~en~ also insbesondere, wenn es sich um eine einzige Grundform f = (a'X) ~" handel,.

Es ents~eh~ nun die Frage, in welcher Weise die im vorig~n Para- graphen aufgefiihrten zwei Siitze abzu~ndern sind~ wenn wir auf die aus- schlieBliehe Verwendung yon gestrichel~en Symbol- und GrSi~enreihen ver-

z ichten und die Grundformen f in dar iibHchen symbolischen DarsteUung ffir die Theorie der Hauptinvarianten benuhzen.

Wie schon erw~hnt, trit~ eine solche Modifikation der obigen S ~ e nur dann ein, wenn die Grundformen auch U'-Re~en enthalten. Dann haben wit n~mlich bei der fiblichen symbolisehen Darstellung der f auch ungestrichel~e Reihen a, b, c, . . . , die in den Hauptinvarianten nach (11) in Symbolreihen a', b', g~ . -- dargestetlt erscheinen.

Um nun z. B. den erst~en Satz des vorigen Paragraphen ffir die fibliche symbolische Darstellung dar f umzugest~lten, mfiBten wit f o l g e n d e r ~ verfahren. Wir miiBten annehmen, dab z.B. die a[ in den Faktoren

(17) (a'b' . . "#q3, (~'b'.. "P'O, (~'l b') (n--1)-f~.ltige Komplexsymbole sind. D~.nn miiB~en wit P r o d u l ~ dieser Fakt~ren betrachten, die alle n - - 1 a'-Reihen en~altezL In diesen P r ~ dukten miiB~en wit dureh iden~ische Umformungen zu a-Reihen tibergelrsm

*) Diese Endlichkei~ kann aueh aus einem Sa~ze yon L, Maurer ersghlossela werden, demzufolge sich ffir jede Untergrul)pe tier allgemein~n larojelrl~ve~a GrUpl~ ein endliches Invariau~ensystem ergib~. YgL L, Maurex,.~qaar.die-E~tliehk~it ~r .~r , varian~ensysbeme, Sitz.-Ber. Ak. Mfinchen 29, Hef~ II (1899).,

584 R. Wm~z~Sc~.

Hierdureh entstehen die beiden neuen Faktor~ypen (l'a) und (ab'). Somit kommen dann start (17) f~ir den Aufbau der Hauptinvarlanten die Fak- toren~ypen (19) (dlb'), (d,), in Betraeh~~

Bei (19) m~iBten wir dann dieselbe Uberlegung durchffihren, die yon (17) zu (19) geFtthrt hat. Man wfirde dadureh eine neue Serle yon Fak- ~orentypen erhalten, bei der wieder ein soleher Ubergang yon den a" zu den a durchzuffihren w~re usw. Schliel~ls mu$ man so auf eine le~zte Faktorenserie kommen, die dutch einen solehen l:Tbergang einfach repro- duzierg wird.

Es I~B~ sich der eben gesehilderte Prozet~ unsehwer einige Male wirk- lieh ausffihren. Man sieh~ abet dabei schon, dal~ die Anzahl der Faktoren- typen~ die dann zum Aufbau der ]3[aup~invarianten verwendet werden~ sehr bedeutend w'~chst. Dies gilt in erhShtem Grade yon den Identit~ten zwi- schen diesen Faktoren~ypen. Es w~irde bei einer solehen Behandlungsweise der ~u~zen der Symbolik zu sehr abgesehw~cht und man rut deshalb besser, die belden obigen S~tze in der gegebenen Gestalt beizubehalten.*)

Will man die fibliche Symbollk nieh~ umgehen, so kann man fol- gendermaSen verfahren: Man stellt ein vollst~indiges Invariantensystem K~, K~ �9 �9 .~ K~ yon Hauptinvarianten der Grundformen f nach den obigen S~tzen auf und geht dann bei jeder einzelnen Invariante K~ in der eben geschilder~en Weise zu den P~ihen a, b, c , . . . fiber.

Fiir n ~-3, bei tern~ren Formen also, iohnt es sich noeh den ersten und zweiten Fundamen~alsatz der symbolisehen Me,bode aueh ffir den Fall auszusprechen, dal~ bei der symbolischen Darstellung der Grundformen f aueh ungestrichelte Symbol- und GrSBenreihen verwendet werden.

Hier erhalten wir leicht start (17) die Faktorentypen:**)

l a~' a~" O

*) "Es ~st mir in letzter Zei~ gelungen, den I. Fundamentalsatz der symbolischen ~IetJaode ffir Haup~invarianten auch f~'r diejenige symbolische Dars~ellung der Grund- s auszusprechen, bei der gestrichelte und ungestriehelte Gr~Ben- und Symbol- reihen verwendet werden. Vgl. meine demn~is erscheinende Arbeit." Uber Bewegungs- invarianten, VII. Mitf~ilung, Sitz.-Ber. Ak. Wien 1914.

Vgl. E. Study, ~ber Bewegungsinvarian~en und elementare Geome~rie, Lelp- zige~ Beriehte 48, S. 649--66& (1896). Ferner meine Arbeit: Uber Bewegungsinva- rianten, III. Mitteilung, Wiener Berichte (1913).

~ber die Invarianf~n der Hauptgruppe. 585

Beim zweiten Fundamentalsatze der symbolischen M e , ode ffir Haup~- invarianten ergeben sich 34 irreduzible ]denti~4ten, die wit abet bier nicht aufz~iMen wollen. *)

Um noch ein Beispiel anzuf'fihren, sei ein kleinstes v o t l s~d ig e s Formen- system S yon Hauptiavarianten einer terniiren quadratischen Grundform

f = (dx)-" mitgeLeilt. S isl ein kleinstes vollstiindiges Invarlantensystem der drei Grundformen

f = ( a ' X ) ~, v? (~) = ( x U ' ) , r = ( u ' X )

und besLeht aus 18 Invarianten.**) Hierzu sei bemerkt, da$ fiir f ein kteinst;es vollst~iadiges Formen-

system yon projek~iven Invarianf~n aus fiinf, yon afiinen Invarian~n aus neun und yon Drehungsinvarianten aus 32 ]_nvarianten besLehL

Die 18 Invarianten yon f sind gegeben durch:

~r . il

o

4 5 6 7

8 9

10 1I 12

--iT

15 16 17 18

Typus

Invarianten

Kovarianten

K0ntravarianten

Symbolischer Ausdxuck

.D ~ (a'b'c') ~ Jl ~ (a" ! a') J~--~_ (a'~b') ~

f = (a'x) ~ .L = (Z'x)

"W'= (xa')(a" I b')(b" x)

Grad in den

o

0

o

2 o ! 1 2 L 2

S~ = (a' b" Z') (a'x) (b" t c') (c'x)

Zwischenformen

f " ~ (a'b'u')~ ,v"-- (u'l u') V i = (a'lu3 ~ r~ = (a'u'r)(a' lu') g2 ~ (a'b'u')(a'b' l ' )

J o ~ (u'x) V ~ = (xa')(a'lu") I T~ ~ (a" u'l')(a" x) I -~i -'~ (a'b'~')(a'~v)(b'tu') I .R 2 ~- (a" b" u') (a" x) (b" I e') (c" x) i S i = (a'b'l ')(Kx)(b'lu~) 1

2 [ 0 2

o 4~ 0 2 1 0 2

1 2 o

o 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 1 2 1 1

0 0 0 0

Zahl

L Gesam~zaht: 18

Graz , im September 1913.

*) YgL die vorlge Anmerkung. **) Vgl. meine Arbei~en: ~ber Bewegungsinvarianten, IV. uad V. Mi~ilm~g,

Sitz.-Ben Ak. Wien (1913), (1914).