272 W e i n h o 1 d , Gber die Kipp-Stnbilitgt der Holme im Rippenverband ",",sFt.r;$a";: Uber die Kipp-Stabilitat der Holme im Rippenverband.

Von Josef Weinhold in Briinn.

n der vorliegenden Arbeit werden unter vereinfachenden Annahmen - insbesondere, dafi I die Holiiie sehr schmal sind - Kipplasten eines Holm-Rippenrostes hergeleitet. Als Be- lastungen werden in den beiden Holmen gleiche oder entgegengesetzt gleiche konstante Biegungs- inomente und konstarite Druckkriifte angenoinmen. - Nebeneinander liegende Holmenden haben dieselbe Endbefestigung. Es sind vier verschiedene Kombinationen von Befestigungen der Holmenden behandelt, die den Ihickfallen mit beiderseitiger Lagerung der Stabenden ent- sprechen.

Die erinittelten Kippgrenzen kbnnen als Mak fiir die Kippsteifigkeit eines Holm-R,ippen- rostes angesehen werden.

1. Einleitung und Aufgabenstellung. In den Vorschriften iiber die Festigkeit von Flug- zeugen wird gefordert, dak eine Grenze elastisclier Stabilitat erst bei einem gewissen Viel- faclien der ,,siclieren Last" [l] erreiclit wird. ~ Die bisherigen Untersuchungen uber die Frage der elastischen Stabilitat von Holni.Rippenrosten ohne tragende AuQenhaut und andere, die Steifigkeit erhbliende Elemente - die durch T e i c h m a n n [2] I) zu einem gewissen AbschluG gelangt sind - beziehen sich nur auf die l\iloglichkeit des Ausknickens senkrecht zur Rostebene.

Im Sinne der eingangs erwalinten Forderung miikte auch fur die verschiedenen Be- lastungsfalle des Rostes die Holie der K i p p - K n i c k g r e n z e der Holme im Rippenverband erhoben werden, wenn also die angenommene Verschiebung vom Zustand der Hauptbiegung eine Verbiegung der Holmachse in der Rostebene, verbunden niit einer Verdrehung der Holm- quersclinitte urn die Holmachse, ist. - Fur die erstmalige') Beliaridlung dieses Problems werden die folgenden Voraussetzungen und Annalinien gemaclit : a) Die der Hauptbiegung der Holme zugeordnete Steifigkeit B ist im Verhaltnis zur Steifigkeit der Querbiegung A und der Torsions- steifigkeit C sehr groP. Eine Flanscliwirkung besteht nicht. b) Yon den drei Steifigkeiten der n gleichen Zwischenrippen werden nur die Biegungssteifigkeiten beriicksichtigt. Die Torsionssteifigkeit kann vernachlassigt werden. c) Die beiden Holme 1 und z 3 ) (siehe die Abb. 1 ')) sind elastiscli gleich. In unbelastetem Zustand bilden die Scliwerachsen der Holme

\l r_

Ahh. 1. Holm-Rippenrost, schematisch.

und Rippen ein Rechtecknetz. Die Hauptachsen der Holm- und Rippenquerschnitte stehen dann senkrecht zur Rostebene bzw. liegen in ihr. Der Innenabstand der Holrne ist 2h, ihre freie Lange zwischen den Auflagern 1. Die Rippen sind biegesteif an die Holme angeschlossen. d) Die Steifigkeit der Zwischenrippen wird gleichmiifiig auf die Holmlange 1 aufgeteilt. e) Die Steifigkeiten sind konstante Grbken. Die Querschnittsformen bleiben wahrend des Kipp- vorganges erhalten. f) Die seitliclien Verscliiebungen der Holme sind von erster Ordnung klein gegeniiber den Langenabniessungen 1 und h des Rostes. g) Die Langsdehnung der Rippen

1) In dieser Arheit findet sich auch ein nmfangreiches Schrifttuinverzeichnis und kurze Besprechungen der wiehtigsten Arbeiten iiher die Druck-Bicgnng. Hierher gehort auch cine neuere Arbeit von S c h m i e d e n I.?].

2) Den EinflnB einer Stiitzung der schmalen Schieiie, welche alloin dem Wachsen des Kippwinkels entgegenwirkt [ 4 1 nnd die Wirkung einer elastisehen Einspannung der Eiidcn eines soust freien Stahes mit Drurk-Biegehelastung r.51 bat der Verfasser hereits friiher behandelt. Ebenso wurden schon eine Reihe sehr einfacher Sonderlosungen des vorliegenden Problems mitgeteilt [GI.

:I). Die Zeiger 1 hzw. 2 weiseti auf den Holm 1 hzw. 2 hin, welehem die betreffende OriiBe zugeordnet ist. Ohne Zeiger gilt eine GroDe fur beide Holme, wenn nicht anders fegtgelegt.

4 ) nie Ahb. 1 ist der in FuBnote 2) erwiihriten Arbei t [GI entnommen. Der gezeichnete Fal l des Kragrostes wird nicht behandelt, er wurde nur als deutlichste 1)arstellung gewiihlt.

Bg$::;$9k\ W e i n h o 1 d , Uhcr die Kipp-Stahilitat der Holme im Rippenverband 273

ist im Verhaltnis zur Auslenkung der Anschluhpunkte vernachlassigbar klein. h) Die Ver- formungen erfolgen innerhalb des Gultigkeitsbereiches des H o o k e schen Gesetzes. i) Die statische Rippenverbundwirkung [2] [7] [S] kann vernachlassigt werden. k) Die auhere Be. lastung des Rostes wird in den Endquerschnitten der Holme eingeleitet wid ist gegeben durch Biegemomente M, bzw. M, uod Druckkrafte S, bzw. S,.

Zufolge a) und f) kann in den Ausdrucken fur den Drall und die Krummung der Quer- biegung [9] der die Hauptbiegung enthaltende Anteil vernaclilassigt und an Stelle der Bogen- l h g e die Langskoordinate gesetzt werden. Nach c) sind die Holmaclisen ohne seitliche Vor- krurninung und ohne Anfangsdrall. Es lakt sich zeigen, dab beispielsweise der Einfluh eines Anfangsdralls im Vergleicli zur Hauptbiegung wie C (C - A) /B ( B - A) klein ware. - Die Stei- figkeit einer der n gleichen Zwischenrippen sei B,/n fiir eine Verbiegung senkrecht zur Rost- ebene, A,In fur eine Verbiegung in der Rostebene. Die Annahme d) ist nur dann zutreffend, wenn der Rippenabstand verhaltnismafiig klein ist und insbesondere der B, enthaltende Para- meter nicht zu grofi wird. Die Steifigkeit A , ist praktisch hierfur von geringem Einflnh, weil A,. stets kleiner als B, ist. Fur die Mindestzahl der Rippen latit sich eine Grenze augeben, indem man B, als unendlicli groh ansieht und untersuclit, fur welchen Rippenabstand ein Auskippen zwischen den Rippen erfolgt [5]. Nach g) kdnnen die Auslenkungen gi und yz (siehe die Abb. 1) fur die gleiche Langskoordinate x einander gleicll gesetzt werden:

yi (x) = y2 (I.) = y (x) . . . . . . . . . . . . (1.1).

Eine wichtige Annahme ist die weiter unten als zulassig erkannte Vernachlkssigung der statischen Rippenverbundwirkung. Es wird also angenommen, dah die Hauptbieguug fur jedes x stets den in den Endquerschnitten eingeleiteten Biegungsmomenten entspricht.

Schon die Behandlung des Einflusses der Verbundwirkung einer Endrippe mufi vorder- hand zuriickgestellt werden, wie an Hand des in der Abb. 2 dargestellten Systems - aus zwei gleichen, einseitig eingespannten sclimalen Scliienen und einer die freien Enden ver- bindenden Rippe bestehend - gezeigt werden soll. Die Endrippe iibertrage nur Kriifte in

A\ (P2

1% Abb. 2. Kippen init Rippcnverbuiidwirkung.

der y z-Ebene. Durch besondere Vorkehrungen sollen zwei gegenuberliegende Punkte der Schienenaclisen inimer die gleiche Entfernung 2 h haben. Sind p, und ,8, die Kippwinkel und ist weiters mit den in der Abb. 2 eingetragenen Bezeichnungen

. . . . . . . . . . . . 5 = x/z, 0 5 5 s 1 (1.21, P, l2 P, 1' y,=qA-z, &=,, . . . . . . . . . . (1.3)

und

. .

dann ergeben sich aus den Gleichgewichtsbedingungen die folgenden L)if€~rei~tialgleicl~ungen :

. . . . . . . (1.5). __

5) 3 ist proportional der duroh die Rippe 112 ubertrapenen Querkraft.

Zt8chr.f. angew. Math. Alp&. 274 W e i n h o 1 a , Uber die Kipp-Staliilitlt dcr Holmc in1 Rippenverband

Die zugehorigen Grenzbedingungcn sind

pi (( = 1) = pa ( 5 = 1) = 0 I und

Gefragt ist der Verlauf von und pz in Abhangigkeit von P, und P2. Die Reziehungen (1.5) uncl (1.6) fulireii auf zwei belastete, nicht lineare Integralgleicliuiigen, dereri allgemeine Syste. mat ik noch niclit vorliegt.

Die Einfulirung gleiclier Endmomente und gleichbleibende Langskraft der Holnie er- inogliclit erstens gesclilossene Ausdrucke fur die Liisungen, zweitens sind fur diese ,,viilligstenLL Belastungen die niedrigsten Kippziffern zu erwarten. Die Vernachlassigung der statischen Rippenverbundwirkung bewirkt - wie man annehnien kann - ebenfalls ciine Erniedrigung der Stabilitatsgrenze, weil durch den Wegfall des Relastungsausgleiclies infolge der statischen Rippenverbundwirkung die Holme friiher die kritische Belastung erfahren.

Unter den obigen Voraussetzungen werden Zusanimenhange zwischen der Belastung und den Kenngriihen des Rostes fur neutrales elastisches Gleichgewiclit hergeleitet. Die zugehorigen Lasten konnen als oberste Schraiike angesehen werden, bis zu welclier bei veranderlichem Biegungsnioment und veranderlicher Druckkraft sicheres elastisches Gleichgewicht lierrscht, wenn die Hochstwerte der verhderlichen Lastverteilung Zuni Vergleich lierangezogen werden. Die Ergebnisse der vorliegeriden Arbeit sollen ‘erste Anlialtspunkte zur Abscliatzung der Kipp- Knickgrenze zweiholmiger Rostabsclinitte sein, wenn die Holinquer~chnitte verhaltnismabig schiiial und die Rippenanschlusse nicht sehr starr sincl und wenn weiters die Druckkrafte verh8ltnismiikig groh sind.

2. Die Energiegleichung und die Differentialgleichungen. Redeutet Li die Forinanderungs- albeit, L,, die Arbeit der auheren Kriifte wahrend des Kipp-Vorganges, so ist cler ver- sclimindende Ausdruck

J = Iii ~ L, = 0 . . . . . . . . . . . . (2.1)

zngleich ein Extremalwert [lo]. La setzt sich zusanimen aiis der Arbeit cler Endmomente L, und der Arbeit der Druckkrafte La+

Der Anteil des Kruinmungsvektors der Querbiegung in der Richtung von M ist - y” b, mit ,, x,v . . . . . . . . . . . . . . (2.2)

[ 121. Wir erhalten demnach

Die Arbeit der Drnckkrafte ist [lo] 7

1 2

2 C,s=- iS ,+ -SQ) \y ’ r l~ . . . . . . . . . . . (2.4). u

Die Arbeit der inneren Krafte ist niit Heachtung von (1.1) die Summe aus

und der Arbeit, welclie von den Rippen bei ihrer Verbiegung walirend des Kippvorganges aufgenoiniiien wird. Denken wir uns eine Zwischenrippe in den AnschIufipunkten durch. schnitten, dann ergeben sich in einer Ebene senkrecht Zuni Rost die in der Abb. 3 ein getragcnen verbiegenden Krafte. Der H6henunterschied der Anschlubpunkte ist wegen der Voraussetzungen a) und f ) von zweiter Ordnung klein. Wir konnen deshalb die Tangenten.

B ~ ~ & ? , $ ~ R e i n h o 1 d , Uber die Kipp-Stabilitat der Hollne im Rippenverband 275

neigung der Rippe in den Ansclilukpunkten gleich den Kippwinkeln setzen. Rippensteifigkeit pro Einlieit der Holmlange erlialten wir als Schnittreaktionen

Mit B,jl als

. . . (2.7)

und 3 B,. p==3m(pl + p 2 , . . . . . . . . . . . . (2.8).

die Arbeit Die Momente mi, m2 leisten auf dem Wege von Null bis @, bzw. von Null bis 1 1

mi pi bzw. m2 /I2, zusammengefakt A

(2.9).

Die Arbeit der Transversalkrafte p , welche die Hauptbiegung wahrend des Kippvorganges andern, wiirde in Anbetracht der Formel fiir I l a ~ Glieder mit den Faktoren y" /q2 enthalten, ist also von dritter Ordnung klein. Die Arbeit der Torsionsmomente um die Langsachse der

Abb. 3. Zur Herlaiturig der Ilippenreaktionen.

Rippen ware von vierter Ordnung klein, da diese Moiiiente linear von der Differenz der Krummungskomponenten der Holmachsen in der Richtung der Rippenachsen ablilngen, die selbst von zweiter Ordnung klein ist und der Drehwinkel hierbei durch die gleiche Differenz gegeben ist. Die Arbeit der in den Anschlu&punkten parallel zu den Holmachsen iibertragenen Krafte ist von dritter Ordnung klein, da den linear von y' abliangigen Kraften ein Weg von

der Grohenordnung y' entspriclit. Die Arbeit der Rippenlangskrafte in den Anschlukpunkten ist von vierter Ordnung klein, weil die von der Verschiebung yl - y2 linear abhangigen Langs- krafte auf dem Weg y1-y2 eine Arbeit leisten, der nach Voraussetzung g) klein gegen y ist. - Es verbleibt noch die Arbeit der in der Rostebene in den Rippenanschlukstellen uber- tragenen Momente. Der Drehwinkel der Endtangenten ist y', in der Rostebene gemessen. Wir liaben demnacli in (2.9) und p2 durch y' und nach fruherem B, durcli A , zu ersetzen und erhalten

2

1

Hiermit sind alle 6 an den Schnittstellen iibertragene Ripp.enreaktionen beriicksichtigt. Fassen wir alle Anteile von zweiter Ordnung zusammen, so wird

(2.11).

Da fur A/B+O und C/B+O kleinere Groken als die zweiter Ordnung exakt zu vernacli- lassigen sind, so fulirt unter dieser Voraussetzung die Energiegleichung (2.11) zii e x a k t e n Ergebnissen fiir einen Rost, dessen Holme als schmale Schienen mit versch windender Dicke angesehen werden konnen. - Nach Einfiihrung der dimensionslosen Grohen

0 ) mi und ni2 sind ,,Kippziffern" [12].

276 W e i n h o 1 d , Uber die Kipp-Stabilitat der Holme im Rippenverbarid t;:::f&t$t$:

. . . .

. . . . .

. . . (2.13),

. . . (2.14)

und ?j = lJ/z . . . . . . . . . . . . . . @*15]

erlialten wir mit 6 = x/Z nacli (1.2) :

Die Null gesetzten E u l e r - L a g r a n g e sclien Ableitungen der Energiegleichung (2.16) ergeben als Differentialgleichungen des Problems :

1 C q I V + (6 - 3 a) q" + 3 (wz , 6:' + m, p;') v y -0 . . , . . (2.17) I

und -

-

. . (2.18).

Aus den K i r c h h o f f -C 1 e b s c h schen GIeichungen fur das Gleichgewicht dunner Stabe [9] lassen sich unter den gleichen Annahmen und Voraussetzungen Gleichungen herleiten, die nacli Einfuhrung von + y" fur die Krummung der Querbiegung und j3' fur den Drall lauten:

- q ~ V + ( 3 - 3 a ) q " + ~ ( m , ~ 1 " + m , B , " ) ~ ~ ( 1 - ~ ) = 0 1 . . . . . (2.17a)

Fur A/B + 0, CIB + 0 stiminen die beiden DiEerentialgleichungsgruppen uberein. Die G1. (2.17a) und (2.18a) beinhalten eine teilweise Berucksiclitigung der cndliclien Verhaltnisse A / B und C/B, wie sie in praktischen Fallen immer vorliegen.

Der weiteren Behandlung werden die GI. (2.17) und (2.18) zugrunde gelegt. Die erwahnte teilweise Beriicksiclitigung endlicher Verhaltnisse AIB, C/B kann so erfolgen, clak der Wert

von I I f an der Kippgrenze in1 Verhaltnis 1 : 1/( f -- :)( 1 -- T) vergrofiert wird.

paar Nach Wegscliaffen von q I V und q" aus den G1. (2.17) und (2.18) erhalten wir das Gleichungs-

Die beiden Gleichungen sind linear, je von vierter Ordnung, haben konstante Koeffizienten und sind weiters simultan. Die zugeh6rige cliarakteristische Gleichung ist acliten Grades. Demnacli erscheint es init Rucksiclit auf einen tragbaren Aufwand bei der Gewinnung ziffern. maiPiger Resultate notwendig, weitere vereinfachencle Annahmen zu machen.

B ~ ~ ~ ~ ; ~ ~ \ W e i n h o 1 d , Uber die Kipp-Stabilitat der Holme im Rippenverband 27 7

3. Der behandelte Sonderfall und die zugehiirigen Grenzbedingungen. Wir verw enden zur Kennzeichnung die betreffende vereinfachende Annahme. Als solche setzen wir fest :

nt,=m, bzw. mi=--*.

Als Grenzbedingungen wahlen wir vier Falle, die dem beiderseits gelagerten Knickstab ent- sprechen und bezeichnen wie bei G r a m m e l und K a r a s [ll], [lo] mit Fall I bis IV. Ais Fall I V fungiert bei den genannten Verfassern der Kragtrager. Hier ist der Fall des Krag- tragers weniger interessant, wed praktisch druckbelastete Kragroste nicht von Bedeutung sind. Hier beziehen sich die fur Fall I V angegebenen Grenzbedingungen auf einen in den Mittelpunkten der Endquerschnittsfliiclien mit Kugelgelenken abgestutztem Rost, dessen End- querschnittsflachen durch Mitdrehen des Momentenvektors walirend des Kippvorganges und infolge der Kugelgelenke kein Drehmoment ubertragen. Der Vektor 2M bleibt hierbei in der Rostebene und gleichzeitig normal zur Endtangente. Diese Annahme kann bei Versuchen durch starr angeschlossene Endhebel leiclit verwirklicht werden. Die einzelnen in Betracht gezogenen Falle sind in der Abb. 4 schematisch dargestellt. Je zwei gegenuberliegende

H Ern

Abb. 4. Befestigung der Holmenden, schematisch.

Holmenden haben die gleiche Befestigung und zwar sind sie frei drehbar in Schneiden senkrecht zur Rostebene, fest eingeklemmt oder in raumfesten Kugelgelenken frei drehbar. Im einzelnen lauten die Grenzbedingungen bei

Fall I j3 (O)=j3 ( 1 ) = y l ” ( o ) = r / ” ( 1 ) = q ( O ) = ~ ( l ) = o . . . . . (3.1A

Fall I1 j3 (0) = p (1) = q” (1) =P?‘ (0) = q (0) = T I (1) = 0 . . . . . (3.2),

Fall 111 /3 (0) =j3 ( l ) = q ’ (0) = p i ’ (1)=q (0) = q (1) = 0 . . . . . (3.3),

Fall IV ,8’ (0) = j3‘ (1) = 7 (0) = 11 (1) = 0 I I . . . . . (3.4).

fur m, = m 2 , (m* - 3 b) p (0) + p” (0) = O f

(m2 - 3 b) p (1) + B” (1) = 0

DaQ in jedem Fall sechs Grenzbedingungen sechs linear voneinander unabhiingigen Integrations- konstanten entsprechen, ist aus dem folgenden Punkt ersichtlich, ebenso die Bedeutung von B in den Grenzbedingungen.

4. Die allgemeinen Losungen und die Kippbedingungen: Wir setzen den G1. (2.17) und (2.18)

t t t , = M , = m . . . . . . , . , . . . . (4.1)

27 8

und erlialten nacli Entfernen von y I V und 71’’

W e i n h o 1 d , Cber die Kipp-Stabilitat der Holme im Rippenverband g:$r;fdd””:

. . (4.2).

(4.3)

PI” + ( m * + 8 - - 3 a - 3 3 ) p ” - ~ b ( ( i : - 3 3 ) ~ = 0 . . . . . . (4.4).

m 2 + 8 = v , 3(a+b)=ru uncl 3 b ( 8 - 3 a ) = m c . (4 5) erlialten wir formal dieselbe Differentialgleicliung wie bei G r a m rn e 1 und K a r a s [ll], [lo],

p+ (2’ - n,) B” - u. p = 0 . . . . . . . . . . . . (4.6).

1 /llI\’ + T m 2 + 8 - 3 a - 2 6 pi” + 7 m2 - b Pz” -- b (8 - 3 a) (28, +p,) =0, r 1 i: ) (: + 7 m2 + 8 - 3 a - 26) p,” -+ (+ m’ - b) pl” - 6 (s - 3 a) ~2 ps + b,) = O

Nach Einfulirung der neuen Veranderliclien 1 p =z (PI + p,) . . . . . . . . . . . . . .

in die zusammengezahlten GI. (4.2) ergibt sich

Mit . . . . .

Mit EinschluS der Grenzbedingungen besteht eine kinetische Analogie jedoch nur im Fall I, wo aucli die Grenzbedingungen analog sind.

Die Liisungen von G1. (4.6) sind verscliieden, je nachdem 8 > 3 a oder 1 < 3 a oder 8 = 3 a ist. Fur 8 > 3 a ubernehmen wir die Losung [ll]

p=A&ofA,E+BBinA,f+CcosI ,E+Dsin1 ,6 . . . . . . (4.7a) mit

Fur (i: < 3 a lautet init

(4.8 b)

und A, wie vorher die Losung

p = A’ cos 1,‘ E + B’ sin A,‘ 5 + C’ cos 1, + I)’ sin 1,t . . . . . . (4.7b) untl schliefilich fur 8 = 3 a init

1 = p‘ m:3 b . . . . . . . . . . . . . . (4 .8~) .

P = A + B 5 + Ccos A 5 + IS sin I 5 . . . . . . . . . (4.7 c).

Die zugehorigen Liisungen y~ ergeben sic11 unter Beaclitung der Festsetzungen (4.1) und (4.3) mit Hilfe der zweimal integrierten G1. (2.18) der Reihe nach zu

und

In ahnlicher Weise wie fur m l = m , ergeben sich fur

m , = - m M , = m . . und

. . . . . . (4.10)

1 p = ~ ( i y , - p * ) . . . . . . . . . . . . . . (4.11)

Bagnkdt,&?:$\ 279

Differeiitialgleichungen, die sich von denen fur m, = m, nur in den1 Faktor vor 6 - eins statt drei - untcrscheiden. W i r e r h a l t e n d e m n a c h a u s j e d e r a l l g e m e i n e n B e z i e h u n g f u r m,=m, d i e f u r m,=-m, g e l t e n d e , i n d e m w i r 3 b d u r c h b e r s e t z e n .

Die Kippbedingungen sind in der folgenden Tabelle (4.1) fur m, = m, angeschrieben. Hie- bei wurde noch abkurzend gesetzt: A1=l-3b/A,' , A, = I + 3 b/1,2 , A,' = 1 +36/Alf2 und A = 1 +3b /1* (4.12).

T a b e l l e (4.1)

W e i n h o 1 d , Ober die Kipp-Stabilitat der Holme im Rippenverband

1, A , Gin 1, + 1, A , sin 1, 1, A , (&:of 1, -1) 1, A , (cos A, - 1) A , (&oi 1, -- 1) -- A , (COS 1, - 1, A , (Gin 1, - 1,) A , (sin I , - 1,)

&oi 1, - cos 1, Gin 1, sin 1,

IL

_-

11-

~

IV

= 0 (4.15a), 3 > 3 u

8 = 3 a

8 < 3 a

8 > 3 a

3 = 3 a

5 < 3 a

- 1,' A,' sin 1,' + 1, A, sin I , A,' (COS 1,' - 1) - A , (cos 1, - 1)

1,' A,' (cos 1,' - 1) 1, A , (cos 1, - 1) A, (sin 1, - 1,) A,' (sin 1,' - 1,')

cos 1,' - cos 1, sin 1,' sin 1,

Kipybedingung fur m, = m, ~ -

sin1,=O . . . . . . . . . . (4.121

oder explizit mit 12 = 1 , 2 , 3 . . . 3 6 (8 - 3 a) $- {mz + 8 - 3 (a + b)} (fi n), = (n R ) ~ . . (4.13).

= 0 (4.15~).

~~ ~ ~~

A , (1 - &/Sg 1,) = A , (1 --A& 1,) . . . . . . . (4.14a), . . . . . . . . (4.14 b),

A,' (1 - 1,'/tg 1,') = A, (1 - &/tg A,) . . . . . (4.14~).

81' 82

b = A(1- 1ltg 1)

\ 'P

m 2 = 3 b . . . . . . . . . . . . (4.16b),

} (4.16~). 1,' m2-3b-1,' 1 m2-36-1,'2 I, mz--3b-1, T + L I,' m2-3b-lz2

1 ,- 2 1 - cos 1: cos 1 --sin 1,' sin I ,

Die Kippbedingungen fur 6 = O erlialten wir zufolge von zc=O in den GI. (4.27) durch einen Grenziibergang 1, +- 0 bzw. 1,' + 0 in der Form

1, = tg 1, fur Fall I1 . . . . . (4.14d),

2 (cos 1, - 1) + 1, sin 1, = 0 fiir Fall I11 . . . . . (4.15d) und

m2 2 (cos 1, - 1) + 1, ___- sin 1, = 0 fur Fall IV . . . . . (4.16d). mz-1, Den beiden letzten Gleichungen sind die Nullstellen Null, 2 R, 4 R, 6 n, ... zugeordnet. - Wir beinerken, da6 in den Fallen If, 111 und I V die Kippbedingungen fur A,'= 2, wohl identisch erfullt sind, dafi aber zu 1,' = 1, keine von Null verschiedene Auslenkungen gehdren.

5. Strenge Losungen. Fur die ziffernmakige Auswertung walilen wir als Hauptvergnder- liche m2 und b, als Parameter a/b und

Da praktisch die Rippen verhlltnismafiig schmal sind, ist a klein gegen b, der Einflufi von a gegenuber dem von 6 also gering. a/b bleibt konstant, wenn b durch Wahl verschieden groher, aber geometrisch ahnlicher Rippenquerschnitte gelndert wird. c kennzeichnet die Art der Belastung eines speziellen Rostes. Bei der Ausrechnung der zu m2 und c gehorigen Werte Jf,

c = mz/3 . . . . . . . . . . . . . . (5.1 a).

20

280 W e i n h o 1 d , Uber die Kipp-Stabilitat dcr Holme im Rippenverband git:fIf;ld&"#:$: S , und S, ist der aus den Definitionsgleichungen (2.12) und (2.13) folgende Zusammenhang

211f 311 c = (S,+S,) 7 . . . . . . . . . . . . . (5.1 b)

zu beachten. Da m2 von drei Parametern -- b, aib und c - abhangt und weil fur die praktisch

wichtigen und interessanten Bereiche dieser Parameter gesichtetes Zahlenmaterial noch nicht vorliegt, wurde die zibernmaitiige Auswertung vorlaufig nur in beschranktem MaQe und fur wenige Kombinationen der Parameter durchgefiihrt. Als solclie sind gewalilt : c = co (reine Biegelast), c = 1 und c = 0,l (vorwiegende Druckbeanspruchung), a/b gleicli Null und 1/10. In einein Schaulsild fur Fall I, M, = m,, wurde aueli noch a/b :: 1, ail) = l/lOO und c =0,01 be- rucksiclit+$ (siehe Abb. 5) . Die Ruswertung ist in erster Linie fur nt, = m, durchgefuhrt. Da durch die Verknupfung a/b die Miigliclikeit verlorengeht, fur a+=0 aus dem Schaubild fur m,=m, einen Wert m2 fur m,=-m, bei b/3 zu finden, werden fur m,=-m, einige m2 -Werte Zuni Vergleich angegeben. Die Schaulinien sind in einem doppelt-logarithniisclien Koordinatensystem eingetragen, niit m2 als Ordinate und b als Abszisse. 6 lauft von 1 bis 1000. Als Zwischenwerte wurde fur Ci > 3 a 10 und 100, fur I < 3 a, Ci = 3 a und die hier aus Platzgrunden ~ nicht naher besprochenen R i tzschen Naherungen nocli 2, r/m, 5, 10, 20, 1/1OOO, . . . . angenommen.

F a l l I. Es sei, wie man aus der G1. (4.13) ersieht,

(5.2)

und I, = 6 (mz= 0) = (n n), + 3 a . . . . . . . . . . . . (5.3). Setzen wir riocli

m2=,umO2 und I = v I, . . . . . . . . . . . . (5.4),

so ergibt sich in Verbindung mit der Kippbedingung nach G1. (4.13)

ein bei anderen Problemen, wo auch zwei Einflusse zusamnienwirken, die iur sicli allein neutrales, elastisches Gleichgewicht herbeifuhren konnen, ebenso zu findender Zusanimenhang. Fuhren wir in die G1. (4.13) c und ma2 ein, so erhalten wir die zur Ziffernreclinung sehr ein- fache Beziehung

. . . . . . . . . . . . . . . p + v = l . (5.51,

. . . . . . . . . . . . (5.6). mop 1 - (1 + 3 b/(n n),) t 1

m2 = ~~~~~~

C

Man erkennt, daQ fur grohe Werte von c je nach der GroQe von b der niedrigste Wert von m2 verschiedenen n, also Wellenzahlen von q und b, zukommt. Setzen wir zwei verschiedenen Wellenzalilen n, und n, zukommende Werte m2 einander gleich, SO erlialten wir nach kurzer Rechnung mit b, als Abszisse des Schnittpunktes zweier Schaulinien, die n, bzw. n2 ent. spreehen, die Formel

n2 b/a 72 b/a (1 + c) 3 bla-c 9 bfa--c bs2 + bs- ~- (n,"+n,2)+-------n,2nza=0 . . . . . . (5.q

woinit wir die Grenze zweier Bereiche n, und rz, angeben konnen. Biegung allein, also bei c = m

Im besonderen wird fur

7 2 ~

Von Interesse ist auch, fur welchen Zusammenhang zwischen c und a/b die Grenze der Be. reiche ni = 1 und nz = 2 bei b = 1000 liegt, dem in Betracht gezogenen Hochstwert von b. Es ergibt sich aus G1. (5.7) fur a / b = l , 1/10, 1/100, 1/1000, Null der Reilie nach c 1,0165, 10,170, 102,09, 1062,49, - 23099,84. Fur c = 1, 0, l ist also in dem betrachteten Bereich m2 (n = 1) mahgebend. Der negative Wert von c bei a/b gleich Null entspricht einer kleinen Zugkraft neben m2. Fur c 5 b/a schneiden sich zwei zu verschiedenen Werten rz aber gleichen a/b und c gehorige Schaulinien im System m2 - b fur b > 0 uberhaupt nicht bzw. erst im Un- endlichen, wie man aus der G1. (5.7) ersieht. Aus G1. (4.13) ergibt sich weiters mit G1. (5.1) fur b = co die Formel

Fur c > b/a besteht eine Einhullencle der zu gleichem a/b und c aber verschiedenen n ge- librigen Kurven. Sie lautet

b,=Tnnln21/b/a . . . . . . . . . . . . . (5.8).

m2 = c (3 a + / ( n n),) . . . . . . . . . . . . (5.9). .-

nP 4- I = 3 (a + b) + 2 1/3 b (3 a -3 . . . . . . . . (5.10).

Bagnkdt::$F&5 W e i n h o 1 d , Obrr die Kipp-Stabilitiit der Holme im Rippenverband 28 1

Da, in der gewalilten Darstellung rnit a/b a19 Parameter a rnit 6 Null wird, ist die Einliullende nur fur B i 0 reell. Da negative Werte 8, Zugkraften entsprecliend, nicht in Betracht ge- zogen werden, erscheint die Einhullende nur fur c = w . Nach Einfuhrung von a/b in (5.10) wird dann

m2 = 3 6 (1 + a/b + 2 l/a/b) . . . . . . . . . . . (till), die Einhullende ist also zugleicli gemeinsame Tangente und gelit niit einer von a/b abhangigen Neigung durch den Ursprung. Aus der Herleitung erkerinen wir, daQ die Formel (5.9) eine obere, die Formel (5.11) eine untere Grenze angibt. - Die nach der Formel (5.6) berechneten m2-Werte sind in den Schaubildern Abb. 5 und Abb. 6 eingetragen, Ziffernwerte sind in der Tabelle (5.1) sowohl fur m, = m2 als auch fur ml= -m2 enthalten. Bemerkenswert ist, daQ der Unterschied zwischen den mz-Werten fur m l = m 2 und denen fur m,=-m, um so ge- ringer wird, je kleiner c wird.

Die Kippbedingungen der Falle I1 und I V wurden zum grbtiten Teil unter Heranziehung Ri tzscher Naherungen - uber welche an anderer Stelle berichtet werden wird - durch Probieren aufgeldst. Weil hier die Scharfe der R i t z schen Naherungen uber den ganzen Be- reich von 6 rnit einem tragbaren Aufwand iiicht sehr hochgetrieben werden kann, mutite das Probieren rnit verschiedenen m2 6fters wiederholt werden und zwar so lange, bis die letzte Ziffer eines angegebenen Wertes von mz nicht mehr geandert wird. Da mindestens vier Ziffern angegeben werden, ist nt2 mindestens auf f 5.10-4 seines Wertes genau bestimint '1. Fur c = 1 und c=O,1 wurde rnit einem gewahlten Wert mz 1, und 1, nach den GI. (4.8a) be- rechnet. Fur c = co erweist es sich als vorteilhafter, etwa den Wert 1, aufzusuchen, welcher die Kippbedingung erfullt und m2 im Naclihinein zu berechnen. Man erhalt aus den Bestim- mungsgleichungen fur 1,' und I , allgemein

2 m'=3(a t b)+1, '+1,2 . . . . . . . . . . . . . (5.12)

1,' 1,' = 9 a 6 . . . . . . . . . . . . . . . (5.13). 2

und

Untersucht man, fur welchen Zusammenhang zwischen 1,' und L2 m2 ein Minimum wird, SO erhalt man wieder die Einhullende des Falles I fiir c = oc), G1. (5 11). Die Minimumsbedingung lautet

A,'= 1, . . . . . . . . . . . . . . . . (5.14),

die - wie sclion erwahnt wurde - in den Fallen 11, 111 und I V auf nicht von Null ver- schiedene Auslenkungen fuhrt.

F a l l 11. Dem ersten Schnittpunkt von 8,' und 8, in der G1. (4 .14~) entspricht &'=A, . Nach obigem tritt erstmalig neutrales, elastisches Gleichgewicht beim zweiten Schnittpunkt gi' = 8, ein. Tragt man die &-Werte dieses Schnittpunktes uber b auf, so zeigt der Kurven- verlauf beispielsweise fur a/b = 1/10 bei 6 = 18,7 einen Knick, der in dem Vorzeichenwechsel von 3,' begriindet ist. Man erkennt auch, dab fur b < 18,7 11 im lntervall 0 < E < 1 e i n e n Wendepunkt hat, fur 6 > 18,7 deren z w e i. (Siehe auch die Abb. 10. Die rnit q" angeschriebenen Kurven entsprechen dem exakten Wert, die mit q ' ' ~ 2 angeschriebenen einer R i t z schen Nahe- rung.) - Die m2-Werte sind in der Tabelle (5.2) angegeben uud in der Abb. 6 eingetragen. Dort ist fur c = co und a = b / l O auch der dem dritten Schnittpunkt 5,' = 3, entsprechende m2.Wert eingetragen. Man sieht, dab sich die zum zweiten und die zum dritten Schnittpunkt g1' = Sa gchorigen Kurven n i c h t wie im Fall I iiberschneiden. Die Annaherung dieser mY-Werte an die Einhullende des Falles 1 ist eine sehr groQe. Der Unterschied ist bei b = 100 2,04n/n , bei b = lo00 0,187°/, fur die erste kritische Last, fur die zweite kritische Last sind die Hundertsgtze 7,34"/, und 0,769"/,. Fur m,=-m, wurden bei b = 100 m*-Werte berechnet, die in der Tabelle (5.2) in Klainmern stehen.

Fa l l 111. Aus den schon erwahnten Grunden wird die Auswertung der recht komplizierten Kippbedingungen dieses Falles vorderhand zuruckgestellt. Zum Vergleich rnit den Losungen der anderen Falle ist in der Abb. 6 eine R i t z sche Nalierung eingetragen, die bei 6 = 0 die exakten Werte liefert und die bei a = 0, b = co , c = 1 und c = 0,l einen grbliten Fehler von 15,6"/, aufweist. Auf diesen Fehler kann an Hand der Formel (5.9) geschlossen werden, weil bei der Auswertung der Kippbedingung (4.14a) des Falles I1 fur b +co die Werte c (3 a + 20,19) an- genahert werden. Der zweite Summand in der Formel (5.9) ist also aus Analogiegrunden allgemein (mz + 8 ) (a = 0, 6 = O), im Fall 111 demnach 4 n2. Die R i t z sche Naherung fur a = 0, b = oc) ist c (45,625), woraus sich der genannte Fehler ergibt. Die Kennzeichnung als grbtiter Fehler erfolgt in Analogie zu den Fehlern der R i t zschen Naherungen der anderen Falle. __-___

7) Bei den Zifferiirochnungen wurden die bekannten ,,Sieben- und mehrstelligen Tafeln dcr Kreis- und Hyprrbel-

2U* fuiiktionen nsw." voii K e i i c h i H a y a s h i niit besoiidercnl Vorteil verwendet.

282 W e i n h o 1 d . Uber die Kipp-Stabilitlt der Holme im Rippenverband &::!f;',.F$t$:

F a l l IV. Setzen wir in der G1. (4.16c), fur kleine 1,' bzw. 1,

1 - cos 1,' cos 1, - (AI' + 1,') und sin 1,' sin 1, 1,' A, . . . . (5.15), so verbleibt

&'=A, . . . . . . . . . . . . . (6 lfj). 1,' und 1, sind klein, wenn a und 6 klein sind (siehe G1. (5.13)). Da a mit 6 Null wird, nahert sich mz fur b + 0 und c = w asyniptotisch den Werten nach GI. (5.11}, wird also fur b = 0 Null, zum Unterschied von den anderen Fallen, die fur a = 0, b = 0 endliche Losungen haben. So ist z. B. fur a =0,001, 6 =O,Ol mz fur &'=A2 0,05197, an der zweiten Nullstelle von ( 4 . 1 6 ~ ) 0,06228. Bei 6 =5, a=O,5 wird bereits die asymptotische Losung (5.11) bis auf einen praktisch ver- scliwindenden Unterschied erreicht. Bei b = (LO, a = 2 ist dieser Unterscliied nur niehr in der 9. Stelle und ist dann weiter wegen der Genauigkeitsschranke der Rechnung, die liier in der Grtibenordnung von 0,OOO 000 002 liegt, nicht inehr zu erfassen. Fur a = 0 ist die G1. (5.11) in der Form m2 = 3 b d i e Losung. - Fur c < ~0 wird in2 wieder niit b + 0 Null, niit steigendein b werden die Losungen des Falles I von unten her angenaliert und fur b=w asymptotiscli erreicht. Ziffernwerte von mz ffir Fall IV sind in der Tabelle (5.3) angegeben und in der Abb. 6 eingetragen.

6. Bemerkungen zur praktischen Anwendung. Die bislier vorliegenden Ergebnisse konnen zum Vergleicli zweier Roste niit Bezug auf die Halie ihrer Kippgrenze und zur Nachrechnung der ,Kippsiclierheit" eines Rostes verwendet werden. In letzterem Fall werden die Lasten an der Kippgrenze zu jenen, bei welchen in den Holmen die Anstrengung erreicht wird, die die sicheren Lasten begrenzt, ins Verhiiltnis gesetzt. Die notwendige Htilie der so definierten rechnerischen Kippsicherheit niiikte erst statistisch durcli Nachrechnung moglichst vieler, ein- schlagiger Falle festgesetzt werden, weil vorderhand die Kippgrenze fur die Belastungsarten des Iiostes, die der statischen Bereclinung zugrunde gelegt werden, noch nicht erhoben werden kann.

Es besteht die Moglichkeit, aus den in der Abb. 5 und 6 angegebenen Kurven c = konst. fur Naherungen solche fur andere Werte von c ohne besondere Reclinung herzuleiten. Man maclit sich den Umstand zunutze, dak im logarithniischen' nt2 - b-Schaubild die Abstiinde der Kurven a/6= 1/10, a=0, (a /b= 1/100) voneinander fur gleiclies 6 nahczu u n a b h i i n g i g von c sind, wenn man Kurven, denen im TI-Verlauf die gleiclie Zalil von Wendepunkten zukommt, vergleicht. Im Fall I sind die Kurvenabstiinde fur gleiches b exakt dieselben. Wir liaben

1 2 2

Fur b = l , a=0 ,1 liegt der ml-Wert knapp unterhalb des Wertes fur Fall I.

Abb. 5. Abb. 6.

B ~ & ~ ~ ; ~ ~ ~ & B W e i n h o 1 d , Uber die Kipp-Stabilitlt der Holme im Rippenverband 283

T a b e l l e 5.1. mz fur Fall I.

3,

2 443,833

7 3 1706,22

FuBnote Wellenzahl m2 bei n = 1

1)

3 . 1251,77

a = b/10 c = l C = 0 3 c = n,1 c = 0,l

0,8972 0,9445 1,25587 3,974302

30,976803 +3/100b+ n2/10

0 1

10 100

1000 +co

9,8696 12,8696 39,8696

309,8696 3009,8696 + - 3 b + n 2

4,0348 5,585 7,911 9,565 9,837 +- n2

~ -~

0,8972 0,9167 0,963 11 0,983827 0,9866369 +nn'110

- -- ~~

9,8696 13,261 51,989

520,13l) 5198,9 *)

9 5,197367 b

4,935 5,755

10,316 38,639

308,857 +3/ lOb$ n2

0 1

10 100

1000 + W

9,8696 10,8696 19,8696

109,8696 1009,8696 + - b + n 2

4,9348 5,1727 6,5942 9,05609 9,7741 + n 2

0,8972 0,9048 0,9403 0,9782 0,9860 +- n2/10

9,8696

25,9092 245,469 s:

2403,945 4;

+- 2,39545 b

11,2000 4,9348 5,3300 8,5985

36,5833 306,8705

+- 3/10 b + n2

0,8972 0,9323 1,2261 3,9515

30,9567 ,31100 b+nsiio

10 94475.86

T a b e l l e 5.2, nt2 fur Fall 11. T a b e l l e 5.3, m2 fiir Fall IV. - __ b - 0

1

2

5 10;

10

20 107 50

R

100

200

500 10:

1000

03

c 1 11=0 a = 6/10 a=O a = b / l O ~-

20,1907 10,0954 1,8355

25,336 11,334 1,8960

30,237 35,724 44,136

66,649 17,385 2,245

114,76 174,07 270,85

530,30 (249,60) *)

47,485 (43,814) *)

4,991 (4,948) *)

1049,55 '

1653,36 2608,53 '

5207,ll 318,14 31,999

0 0 0

3 2,379 0,7689

6 9,4868

15

30 7,604 0,9589

60 94,868

150

300 9,562 *) 0,9838

600 948,68

1500

3000 9,8373 0,9866,

n2 d / 1 0

0 0 0

12,942 2,443 0,7923

16,052 19,706 25,987

51,974 9,9002 1,2503

103,947 164,355 259,868

519,74 38,630 3,9742

1039,47 .1643,55 2598,68

5197,37 308,856 30,9768,

03 20,1907 10,0954 1,8355

0

1

2

5 10;

10

20 lot 50

100

200

500

h 10:

1000

co

24,964 11,186 1,8625

29,369 34,146 41,162

58,515 15,141 1,954

90,435 126,Zi 181,98

332,58 (131,43)*)

19,094 (17,652) *)

2,008 (1,991) *I

632,89 981,69

1533,09

3033,15 20,07 2,018

20,19 2,019

*) nt, = - m*

Ztschr. f . angew . Math. und Mech. 284 W e i n h o 1 d , Ghrr die KippStahilit8t dcr Holme im Rippcnverband

Abh. 7. C

also nur iiber einer iihnlicli eingezeiclineten Grundkurve a = 0 - mit Asyniptoten __ n2,

~ -20,19, __ 4 x2 fur '6 = 0 und c n2, c 20,19, c 4 n2 fur b = m - die besagten Abstande

aufzutragen. Die angegebenen Asyniptotenholien entsprechen der Reihe nach den Fallen I, 11,111. In1 Falle I V empfiehlt es sicli, die erwiilirite Grundkurve fur a = O nach einer Ri tzschen Naherung festzulegen. 816

C S 1 C c

c + l c f 1

Schrifttum. [ 11 Bauvorscliriften fur Flugzeuge. Heft 1. Nachrichten fur Luftfahrer. Berlin 1935. [2] A. T e i c h m a nn : Zur Rerechnring auf Knickbiegung beanspruchter Fliigzeugholme. Luftfahrt-

[3] C. S ch m i e d e n : Knickbiegring von Flugzeugholmen bei linearer verbnderlicher Langskraft. L u f t -

[4] Der Verfasser: Uber die Kipplasten eines geraden Stabes, der gegen Querschnittsdrehung elastisch

[5] Der Verfasser: Zur Stabilitat eines auf Druck und Biegung beanspruchten, a n <en Enden elastisch

161 Per Verfasser : Ober die Kipp-Stabilitat von Holm-Rippenrosten. [7] H. R e i s s n e r : Neue Probleme aus der Flugzeugstatik. [S] K. T h a 1 a u : Ober die Verbundwirkung von Rippen in freitragenden, zweiholmigen und ver-

[9] L o v e - T i m p e : Lehrbuch der Elastizitat.

forschuiig 1931, Bd. 9.

fahrtforschung 1935, Bd. 13.

gestiitzt ist. Dissertation DTH.-Brunn 1033.

eingespannten Tragers. Mitt. d. Hauptvereines Deutscher Ingenieure in der CSR., 1934. ZAMM 1037.

ZFM 1926.

spannungslosen Flugzeugflugen. 52. DVL-Bericht, ZFM 1925.

[lo] K. K a r a s : Kritische Drehzahlen stetig mit Masse belegter Wellen mit Liingsbelastung und Kreisel-

[11] R. G r a m m e l : Kritische Drelizalilen mit Kreiselwirkung. ZVDI 1929. [12] K. F e d e r h o f e r : Neue Beitrlge ziir Berechnung der Kipplasten gerader Stabe. Sitzungsber. d.

Akad. d. Wiss. in Wien. Abt. I Ia , 140. Bd., 1931.

wirkung. Ingenieur-Archiv 1930.