This article was downloaded by: [Joh Gutenberg Universitaet]On: 18 October 2014, At: 07:12Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: MortimerHouse, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

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Über die mehrdimensionalen asymptotischenverteilungen des periodogramms gaussscherstationärer folgenGisela Wittwer aa Sektion Mathematik , Technische Universität Dresden , Dresden, DDR-8027Published online: 27 Jun 2007.

To cite this article: Gisela Wittwer (1981) Über die mehrdimensionalen asymptotischen verteilungen des periodogrammsgaussscher stationärer folgen, Series Statistics, 12:3, 361-376, DOI: 10.1080/02331888108801596

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Xath. Operationsforsrh. Statint.; Ser. Stxtistics: Voi. I? (1081) S o . 3; 361 -3 i f i

h'iir eir?c: reel!wert,iw u statiociire Fdge {X,) ,=.,,-,,,, ,.., it, E l i j , = Q u d &r Spektraldichte f (2) wird die Statisiik

als P e r i o d o g ~ a n ~ ~ n bezeichnct. Das Periociogramm spiel5 in vielen matistischen Bnwendungen, z. B. beim Ermitteln der Perioden einer Zeitreihe, eine wichtige Rolle.

Aus der Literarur ist bekannt (vgl. z. B. WALKER [ 6 ] , BRILLINGER [2]), daB 21qt(J.)

unter gewissen Bedingungen die ZufallsgroBe - f(2)

fiir A+0, kn, f ( ; O + O

asymptotisch (fiir n-a) ~2-verteilt ist mit 2 Freiheitsgraden. Weiterhin sind verschiedene ZufallsgroBen . . . , InT,(l.,,) zsymptotisch unabhangig.

l n emer vorangegangenen Arbeit ( \ F r ~ ~ ~ w ~ ~ [2]) wurde im Falle G~vsssche r U,&!?.;

stationkrer Folgen fiir die Groi3e - cfie Konvergenzgesch-cvindigkeit gegen f V )

die asymptotische Verteilung abgeschatzt und eine asynlptotische Entwicblung R n a ~ r w h ~ n ---a-0-----.

In dieser Arbeit wird fur G~nsssche stationare Folgen die Ve_rteill~ngsfnnkt,iofi

1 Technische Universitiit Dresden, Selition hlalhematil;, DDR-SO27 Dresden, Mornm- senstr. 13.

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iirit ey-l-,> a ALA&. A n ij&kii3i , ? j < ( f i j z)% j..*>.{; fi~i~j=+k? f(2.j) +$. j : k = 1. 2. . . . m . .. Ltie asyr??.ptotische yerteiliJng des Vekinrs 3, ist f3r st,a,tistische Anwelidi~nn~n -- - o-&- ?. . . -7A- 7-& .- .-..-A

- 7 - r . . -7

iv l i iliiiGIGi)r?G. GU , > I L U Z . I;. aas iYi2xiir~iiiri dm Mmpoiizriteii emeS VSl i tOlxs

Z, zuin Test aui Sprung der. Spktralfuiktiori benutzi; (vgi. R A I ~ A X / 3 ] ) .

In &bschnitt 2 werden grneFnisse darge!e,rrt. Dip LqQnvergenz .ier p*errei- " L " .d

lungsfunktiorl von Z, gegen ein Produkt von ;x'-Ver-teilungen rnit 2 Frailieits- 1 1 \

graden ist unter einer zusatzlichen Bedingung von der Ordnung 0 . .

m = f? .cverden &e Monstanten in der Ahschiitzu.ng her~chnet. A!s nsymptotische Entwickii.mg dm Verteiii~ngsfu11lition von Z, Bann das Yrodukt cier einfachsten av,-iiintotisi;:~,eli J - 1 Eiitu-ii;k:ij.z-!n B dei- eifi&imensjonslei, T~~i;reililiii?sfi~::-~'r;t~ji~ii. 5 - Iienntyt

-. . werde:;. Fiir &~e Konvergenz gegen &we Grenzsertrilnng w i d fur m ~ 2 die

foi.iilsliei.kei.i Ei.?L't?~iljJsB- - - - - . -

In Alischnit$ 4 ;ve-i-de;; ilii Spczia!fii[! = a :Gr ~ei : ipie!e ;lilinerische Ei-gcl.j- nirse angegeben. Wiir fiiliren weitere Bezeichnu~igen eiri : n' L"

",,- x7 1 +A,! n 4.-nx*"mn*;..,..tn.. TTnlr+nT. LIUll l . ex,,,, LO U I C Y I I O ~ I I I I D I VLL I G n u u l

deb (A) Detmrnimnte der &htrix A Sp ( A ) Spur cier Matrix A 4 W

** --:L;?.- q:-LA:+--"+-: -7 16-1 t i i i i l g t i U I l i i ~ O i L D i i L ~ ~ l l l i A

Ir" = (Xi, . . . , X.,J T 7 - , . 1 1 % - \v j -b) i ,k=i ,? ,..., nj ~ j = ' E & x t + ~ )

C(1) = jcos (j-4 A)i, t=1,2 ,..., EL' =(x i , . . . , x,) d a =ds,, dz2, . . . , dz, i, = (A1, - . . , 2,) t = ( t i , . a . , t m )

Z = (Zi, . . . , Z,), wobei Zj ~2-verteilt ist mit 2 Freiheitsgraden ( j = 1, . . . , m)

und die ZufallsgrijBen Z1, . . . , Z, unabhiingig sind. D In,\ - D I V V

- A , \ T T ~ - t - i ! - ~ ~ ~ ~ + ~ ~ k t i = r , eirAes Zufal!svektors I. y \ y , - 8 \I 1=y1, . . . , A m-ym, " G' G

Y=(Y i , . ~ - , Y J F ,(z) TJei&i!ungsfun&iofi einer mit ,$ ~reihei ts~raden ' ~ 2 - v e r t d t e n t"ufai!a-

Xk grol3e

Liy jt) charakterisiische FiiiiMioii voii y

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I r n Faile Gnussscher stazlonarer Foigen erhah man i i l r h e eiiarakteristische Funktrm von Z n analog zum ei~?c!irnens~onalen Fall (vgl WITTWEX. 1'71)

f< . I , p(7 t i -, i, ,.,.,i,n (A) 1 5 2 L - 2 - ,..., iJA)

2 wad d l e Konstanten Ki,,,,.,im beschrunkt s ind Im Fnlle

nz = 2 sind die Konstanten K,(A), j , k = 1, 2 dzcrch die Pormeln ( 9 ) bis (12) gegeben.

Zunl Beweis der Theoreine wird ein m-dimensionales Analogon zum Satz von ESSEEX benotigt. Es gilt das folgende Lemma, das fur m= 2 von SBDIROVA [ 5 ] gezeigt wurde.

Lemma 2 . Es sei 3 eeine m-dimensionale Ferteilzh7a_nsj~~nktion, G eine Fzcnktion von m Veranderiichen ?nit [ dG(x) = 1, &, die Verteiiunqsfzcnktion mit der Dichte

Am

3 /sin zi4\4 --- wobei T eine beiiebige Iionstanie ~ m i q(x) =- - I . ~ ~ e i t e r h i n sei

Yn [ z / ~ /

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- r , . ,- ,. 3 .- - 1 , 23

Far 6=- !,/; und is1/-- gilt dunn I - r ~ ( 1 - 6 )

7 - ,.\ -- -'I 7 b ( A ) Eine asymptotische Entwicklung der Tierteilurlgsfulllition you - (A€ ( 0 , i z ) ,

f ( A ) i. 0 ) ist gegeben durch l i n )

so kann man das folgende Theorem zeigen.

- Theorem 2. Tinter cler Vora.lcssetzz~?zg C k jv,l-=- gibt es K o n s t u n t e n .no(h) und

k =l

I?&), SO dn$ fiir n tn , (A) die Ungleichmg

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- . . - s,'ab",; &p&&,i;f: j \ f i i j . . ., czriiri) alje Ysrn~~it,:lz,i:3rie:? 7o.i (-,. . .,.i,,izj GI-:&

x= x(qi . . ., xi+,) ist die ,Lma1;1 der Ia~ersionen der Perrndation. Aus (4) erhBlt -. . ..- - . - . . - rr,ar, 6ie FsrmcxE :*;dr +ie &leitiiiigen, eie iii ~ e ~ i i i i a 3 er,iiiaiteii siiid.

Beweis (vo11 Lemma I). Wir wenden Lemma 3 an auf die Matrizen Aj= 2iVn C(A,)

=; - --- - , die den Zang 2 haben fur S* 0, k z (v~~.'~~ITT\vER i7j) . Nach (1) gilt. nn f(4,

. , ? . l l ;L :,, m , A - - - - 2- -- ,;?; j q .= .$,($j, ,i& Ab,citilrlgeii ff,-,-- .,. 7 - - . -- .,,l, .Y ;I= iy i i j !~uTik t kijfinen w r c h 31e

-. . 3 unktiGn

Filr die Furllrtion f,(pj gelten die Abschtitzungen

Wir berechnen zunschst die in (2) auftretenden dbleitungen, deren Form in Lemma 3 angegeben ist. Es gilt

Somit erhalt man acz~(o) ;,(A,) --- -Sp - .Aj= -4i - j = 1 , 2 , . . ., m .

at, i ( ~ j )

Sp ( J7,~(Aj).~n~(l.fi,) = 7 vj, -j2 cos ((5 - j 3 ) 3 L j ) vj3 -j,, cos ( ( j 4 --ji) Ak) .Y

3,"'3.,

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-7

L erzeiiungen des Periodogramiiis GauBscher stationjrer Foi=en

1 wobei B,L(;1)=G,7 yn(J., 3,) y, (--A, -i) ist. Dnmit ergil~t sich bei der Berechnung

Ton D im Faile rn = 2

Die Abschatzungen fiir C$)~(A) wedeli im allgenleirlen nur fiir ein n&?i benotigt. Xt wachsendem fi werden &ie GroWen Kk',,,i(A) liieiner.

Man erhilt unter Verwmdung der Eigenschaften der Funktion y,

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wobei &(Ai) beschriinkt ist. Alle Spuren von Produkteii verschiedener Matrizen

sind von der Ordnung 0 - . Zurn GIied der Ordnung O ( 1 ) liefern also neben (13) (2 , *

iiiir Periiiiiiathiioi~eii von ,il, . . ., i,,,,., iii deiiei~ if and i2 oder i , uiid Z,, oder . . . i,,-, und i,, vertauscht sind, einm Eeitrag. Es 9rgibt sich

3' +k@(Oj k v t . 3 - r t . Cnih) SPA? ( - I ) ( A '+- at: . . . at?at,+,. . . dtk i=r+i ni, ..., n,=i i= i n 2

wobei der Betrag von C,(A) beschriinkt ist durch eine von n unabhangige Kon- stante.

Die Vorzahl von t:, . . ., t:!,,, . . . t,, in dem Produkt

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-.- . . . -. - - ;\.Y.t~i der Betftig c,(hj auf GFJrid der ~ : g e n ~ c h ~ ~ t ~ ~ g, LC.^- u b . A L L h ~ .,-a=-'A I-& A L L

A,,,,l., ,;,, ,,, , ..,ohha,,:nr. T.Tn,-+-,+o T\17rnh T T n r , l C j C ~ lArln;lr,lnlror U U I L Y V l l l U V V I I 10 UIICYVLICYIItiIVD I L V l l D L a L l V U . D U L L - I YlEl - u CLLUULI3 /LUDC*I ULPDD

rnit (14) ergibt sich die BeschrHnktheit der Konstanten K i + .(A). Wegen @(0) = 1 -li - 111

?.,-A - - 3 =..:; .- ; ii7L<;.j)t;ti?j !2\,-!> 1 , ., +-I. , . . ., -Y < . . . c.ll -:I+ c!n' u:. ..:v ;,-(?. nit y.2rz&l yen 1; in (!5)

In1 weiteren unterscheiden wir die Falle

1 0 : = sQp !*P('l~j -Q(7)\\ Qlld 20 : 1"~ -. PlJll (Q(2) --p!7))) . \ i-'! \ I / r \ , ' I

XER" X E R ~

Wir betrachten hier den Fall l o . I m Falle 20 fuhren analoge Uberlegungen zum Ziel. F u r ein E =-0 und x, so, daW F(x,) -G(x,) 2 y - E gilt fiir den Vektor x mit

x ? ~ O , j = l , . . ., m

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- . . -. - - . - - - . - s ~ ; ; ; ~ ; (vo;l rj-'heo-;em 1). :;;it dz i3 .i;ezeil:i-Lnni-lgciii yoi; Tme;n.;i;s 1 g;it

(F%,,(t) -9;. ( t ) (1 4- DFP, $1) - ' I2 4 Z?l

7 r,cl -: Austvalil dcr-jenigell i,6surlg, fiir die ( I + DFil (f)) - l i 3 = + i Isi f i i ~ D = 0 . Fiir -I'

1 DP?, (2) 5 9 (1st -%

mit 0 -=p< 1 gilt h i Elltwicklung von (1 +a& (t))-"' urn den Punkt a = 0

Urn zu ermitteln, fur welche n die Ungleichung (16) gilt, schatzen wir zumichst ~~~~(~~+,~(~.(t,)j nach oben ab. Es gilt ~ x ~ c l i (Yj

Cnter Eenutzung der Abschiitzuilgen fiir lg,,l nncl \B,l (siehe Beweis von Lemma I ) erhaiten wir

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TVir wenden Lemma 2 mit P= F,- und G=BZ aii. Xaii erhiilt Di= 112 fiir - . - - - - . . -7

7 = i. 2 . . . .: w,~ U I ~ C ~ wir waiiieil 2' =mi., uouei c: eine iiGnstai-ite lst. -

\\/7rr -

, s&&:zen yL ah. u%zz ~:er~cn&:: 'v';:r Bewe:s:deei: va:: SA=I:.;O:-;~ r;' L"'

und BHATTACHAFXA [I]. Es gilt

Zur A i d l & t z u n g des zweiten Summanden benutzen wir die foigende Ungleichung, die sich leicht durch vollstiindige Indilktion beweisen l56t :

..- \ Seien xj, yj. j = i , 2 , . . ., m , reeiie &hien und K = rnax ( zji, /yji, j = 1, 2, . . ., , I I L J .

Dann gilt

Daraus folgt

/ ( F G - F z ) " QT(2) / 1 5 1 1 (-6' Z, - E ! ) Zn * QT(2) I P O ) m

+ ," sup 1 F2zn(2jj/fii.3(z) -3' Jx) ' I 1

j = l z

Dabei ist 2:' ein zufBlliger Tektor nlit unabhiingigen Komponenten und Rand- verteilungen wie 2,.

Fur die eindimensionalen Verteilungen wurde unter der Voraussetzung c.3

2 k lv,l-= .o filr 2 i: 0 , *;G gezeigt (vg1. WTTTWER [i]) 6 = 1

fur n z max {nl(2, a ) , %,(I., E ) ) = : n3(A), wobei

n, durch (18) definiert ist und

D(A) >0,4173 [R, ( ( 2 / ~ ) ' " + l la ) / f (A) + - ~ ( ~ ) h s ( ~ ) l

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l?'= (LTi, . . ., U,) sei tin von Z, und Zk ilnabhktgiger zufiilliger 'v'ektor mit der T7ertei!ur,gsfunktiop, Q,,. - ?.-

Mit Zf') und ZF!' ( j = 1, 2 , . . . , , ~ n ) werden die Kornponenten von Z, und Z i he- - - . p rijich~iet.

Nun ist i [ cjgl ; [ dflj +- / r -7 T T 1 - - - -2 f'--- -'- - ~ ~ i v a ~ t - - . 7 .

I , L J I ~ U ! UI. treri ., ., -;,e!i :s~i:nmer:ikn p!T; .I

%

.ti f l : ti?

Fiiu gilt dieselbe Ahschiitzung wie fiir Z,. Mit der Bezeichnung

h ( t ) = s o w (s,(t) - @ ) ) ergibt sich fur das Integral uber BI unter Benutzung der Ungleichullg (IT), menn ( 1 9 ) erfiillt ist, die Abschatzung

T T 2 IP. \ I 1. . . . J' h ( t ) exp (i . 2 . tixi) dtda / \ ?=I I

(28). Bl - T -T !

T 1 m

- - i2.-,G r . . . J' I Y ~ , V I - ~ ~ ( t ) I - I reap (i z tjXJ dx / d t L J I .J R. l, :z

-T - T -, 2 , 'm i i

T T P jt;l . . . tbl . ;" 1 , 4

5 - J' . . . J r l ' . . tm=l -

a (1 - ,q ( 2 ~ ) ~ rn - T - T fl (1 +4ajtZ)3'2

i=i

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A u s Lemxa 2 lmd (18) his ( 2 9 ) f d g t die Esistcfiz der IYocs+uzntcn no@) und Ko(A). I m Spezialfall m = 2 kann Theorem 1 von SADIKOVA [5] ohne Modifikation

- 1 3- 2 (DL + D 2 ) ( 3 .J'7 +A)

mit a=- 1'3 . Die Konstante c wird so grol3 gewiihlt, daB - 2 C

wobei nl(Lf, a?), n2(S, E ~ ) , K,, j , k = 1, 2 , durch ( 1 8 ) , ( 2 2 ) , (9) bis ( 1 2 ) definiel-t sind. f i ist eine beliebig vorgegebene natiirliche Zahl (von der die GroBen Rjk, j, k = 1, 2 , abhgngen) und orj, 5 und B sind beliebige Zahlen mit 0 < a j -= 1, 0 < E? -= I , 0 -= < 1 ( j = 1 , 2).

Ko(h) mu8 so gewahlt werden, da8 7

K[;(A) >O7834G 2 ( ( 2 / ~ ~ ) " ? + l j ' ~ i ; ) j ' f ( A ~ ) (31) j =!

wobei $I(?.) durch (24) definiert ist. Damit ist Theorem 1 bewiesen.

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Fur die eindlmensionalen Verteiiungen wurde gezeigt (vgL WITTWER (71)

Damit k t die Existenz der Konstanten m,!(A). K,(A) gezeigt. I m Spezialfall m= 2 erhdt man fiir &(A)

liesen. Darnit ist Theorem 2 bets '

-- -- . .

Wir betrachten den autaregressiven ProzeC 1 Ordnumg A, + aX,-; =et und den GleitmittelprozeC I. Ordnung X t = ct +Bet -1, t =. . . - 1, 0 , 1, . . . Dabei bezeich- net . -l,O,l,,,. eine Folge unkorrelierter normalverteilter ZufallsgroCen mit

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Verteilungen des Eeriodogramms ChuWscher starionarer Folgen 375

Ect = 0 und DQt= oZ=-0. Die GroBer, z und ,R sind reellxertige Parameter,

(" "j T r n folgenden durchl&i1ft h a!le Watepaare der Form . j j k = 1 3 2 j . . . j 9 j

10 ' 10 j<k.

Bezeichne z , ( ~ ) &e BleiXlste es::ze Zah! g3 daE f;,',r nzn;( , - ) &e mssi:~a,le Ah- - ",

welchl.?~?g cler NBheaung vnr! cler wahren Ve&,eilungsfu~lkt~ion Bleiner als E ist fiir alle betrachteteii Wertepasre yon A bei Abschiitzung nach Theorem i ( i= 1, 2). In dcr fojgenden Tabells werden f'ir eii;ige wsrtc 2 hzw. ,b f;;ir &!Ie be- tracht.eten Wertepaare A griiijte Zahl ,no und einige Werte .ni(€) (auf Vielfache yon i u u auigerundet) angegeben.

Bus den beiden Tabellen ist ersichtlich: Die Werte der Konstanten KO,, und a,,, hgngen weaent!ich Ton dem gew$hlteri '$?& ab. :{on pz&tiScheiri iiitereaaa sind die AhschBtzungen n11.r fiir recht groBe Werte von n. Die Konstanten KG,, und x,,, und die Werte m i ( & ) wachsen bei zunehmendem Betrag von a und 8.

25 statistics, Vol. 12, No. 3

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