Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen M. Kallache, B. Thies, H. Lange Das BMBF-Vorhaben Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer

Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen

M. Kallache, B. Thies, H. Lange

Das BMBF-VorhabenDas BMBF-Vorhaben

Skalenanalyse hydrologischer und Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihenhydrometeorologischer Zeitreihen

Bayerisches Landesamtfür Wasserwirtschaft

Norwegisches Waldforschungsinstitut

21. 10. 2004 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen

Gliederung

1. Einordnung

2. Daten

3. Trend Test unter Berücksichtigung von Autokorrelationen

4. Analyse von Verteilungsinstationaritäten mit dem fensterbasierten, integrierten Kolmogorov-Smirnov Test

5. Ausblick: offeneFragen/Ursachensuche


Einordnung

sie relevant für die Analyse von Hochwasserursachen und Abschätzung von Hochwasserrisiken ist

sie Indikatioren für die Unterscheidung menschlicher und natürlicher Einflüssen bieten kann

viele Zeitreihen-Methoden Stationarität voraussetzen

Die Bewertung von Instationaritäten hydrologischer Zeitreihen ist wichtig, da

Betrachtete Verteilungs-Instationaritäten


Daten: Donau - D13Abflußdaten des Einzugsgebietes D13

Normierung:

Trendanalyse:- Entfernung des periodischen Jahreszyklus - Mittelwert (0) und Varianz (1) [alle]

Kolmogorov-Smirnov Statistik:- Mittelwert (0) und Varianz (1) [fensterweise]

monatliche Werte (Trendanalyse) und tägliche Werte (KS-Statistik)

gesamte Länge

Burghausen

Altenmarkt o. d. T.Stein

BrodhausenSiegsdorf

Wernleiten

Staudach Unterjettenberg

Ilsank


Trendanalyse unter Berücksichtigung von Autokorrelationen

Modellannahmen: Die Zeitreihe Yt sei gegeben durch

Yt = Tt + Xt

Tt : deterministische Trendkomponente Xt : wird durch stochastisches Modell repräsentiertLangzeitkorrelation verursacht ggf. lange Abweichungen vom Mittelwert und lokale Trends (siehe auch Beran (1994))

AR(1) Prozeß mit Parametern =0.3, 2=1 FD() Prozeß mit Parametern =0.45, 2=1


Trendanalyse: Stochastische Modelle

Ein Goodness-of-Fit Test (entwickelt durch Milhoj(1981)) testet, ob die empirischen Daten als Realisierung des Modells gelten können

finde das einfachste Modell, das am besten zu den Daten paßt Der AIC ( Akaike Information Criterion) vergleicht die Performance von Modellen verschiedener Komplexitätsstufen

FARIMA((1,..,p),,(1,.., q)) (fractional autoregressive integrated moving average) Modelle, die sowohl Lang- als auch Kurzzeitkorrelationen abbilden können

Modelle mit wenigen Parametern sind evtl. zu einfach, um die Systemynamik zu reproduzieren

viele Parameter erhöhen die Unsicherheit bezüglich der Parameterschätzung


Mit der Diskreten Wavelet Transformierten (DWT) wird die Zeitreihe gesplittet:

DWTY X* + T*

X* : Variationen zu kleinen Skalen

T* : Variationen zu großen Skalen

T* enthält die deterministische Trendkomponente, sowie Variationen von X* zugroßen Skalen

Trendanalyse: Trendschätzung mit Wavelets


Trendanalyse: Parameterschätzung

eine adäquate Schätzung der Parameter ist wichtig für die Wahl des stochastischen Modells und den Trendtest

ein starker Trend verzerrt die Parameterschätzung

bei Daten mit starker Trendkomponente werden die Parameter exakter auf gefilterten Daten geschätzt – wo Fluktuationen auf großen Skalen mit Wavelet Filtern entfernt wurden

durch interatives Vorgehen kann man sich einer exakten Parameterschätzung annähern

Whittle Näherung an die Maximum-Likelihood Schätzung zum Bestimmen der Modellparameter


Trendanalyse: Trend Test

die Verteilung der Teststatistik wird via Monte Carlo Simulation der Zeitreihe ohne Trend generiert

falls der Teststatistikwert von Yt pc(emp) ein Quantil dieser Verteilung zu einem Level überschreitet, wird die Hypothese von keinem Trend zu diesem Level abgelehnt

2

2

t

tcp

*X

Y

Die Teststatistik erhält man durch Vergleich der Varianzder Zeitreihe selbst mit den stochastischen Variationenauf kleinen Skalen:


die Varianz des Trend- schätzers hängt ab von

der Wahl des stochastischen Modells

der Größe der geschätzten Modellparameter

Trendanalyse: Varianz des Trendesfür stationäre Prozesse kann die Autokovarianzfunktion von X* benutzt werden, um die Varianz des Trend-schätzers zu bestimmen

je weiter das Sigmaintervall des Trendschätzers ist, desto seltener wird ein signifikanter Trend gefunden


Trendanalyse: Vor- und Nachteile der Metode

Vorteile:

Semi-Parametrischer AnsatzKorrelationen werden berücksichtigtlokal polynomer Trenschätzer gibt Hinweis auf die Form des TrendesTest robust auch bei späterem Einsetzen eines TrendesTest robust bei Änderung der Varianz der Zeitreihe

Nachteile:

• Semi-Parametrischer Ansatz

• Annahmen über die Korrelationsstruktur der Daten mittels eines stochastisches Modells werden getroffen

• rechenaufwändig durch Monte-Carlo Simulation zur Generierung der Verteilung der Teststatistik


Trendanalyse: Ergebnissedas kurzzeitkorrelierte AR(1) Modell wird vom AIC zumeist als bester Fit gewählt

der Langzeitparameter war bei der Betrachtung monatlicher Maxima (im Gegensatz zu monatlichen Durchschnittswerten) eher nötig

die Form des Trendschätzers T* enthält oft Segmente des An- und Abstiegs. Es ist davon auszugehen, daß die analysierte Zeitspanne bei Trenduntersuchungen wichtig ist

signifikante Trends wurden gefunden fürmonatliche Maxima: Brodhausen/Sur, Stein/Traun, Wernleiten/RoteTraun, Altenmarkt/Alz(Tendenz: fallend)monatliche Durchschnittswerte: Altenmarkt/Alz(Tendenz: leicht steigend)


Trendanalyse: Konsequenzen für die Praxis

die Berücksichtigung der Korrelationsstruktur bedeutet eine Spezialisierung, da sich diese für jeden Datensatz ändern kann

der Trendtest wird durch Berücksichtigung der Korrelationsstruktur der Daten verbe.ssert, da diese das Testergebnis beeinflußt

durch Einbeziehung der Korrelationsstruktur der Daten wird weniger häufig ein signifikanter deterministischer Trend festgestellt. Dies betrifft insbesondere langzeitkorreliere Abflußdaten (welche zum Beispiel von Lawrence et al. (1977) oder Montanari (1997) gefunden wurden).


Verteilungsinstationaritäten: der fensterbasierte, integrierte Kolmogorov-Smirnov Test

Mittelwert 7.75 m³/s Mittelwert 8.31 m³/s

Siegsdorf / WeißeTraunFenster A Fenster B


Verteilungsinstationaritäten: KS-Test

Zeitskalen:2, 5, 10, 20 und 30 Jahre

Verschiebung:um je 1 Jahr

Wie stationär ist die Verteilung der Abflusswerte?

Gibt es Trends (große Zeitskalen)?

Gibt es zyklische Phänomene (kleinere Zeitskalen)?


Verteilungsinstationaritäten:Fensterbasierter integrierter KS-Test

Fenster A Fenster BKumulative Verteilungen

Differenz der kumul. Vert.

Maximale Differenz: normale KS-Statistik

Mittlerer Unterschied: „integrierte“ KS-Statistik


Verteilungsinstationaritäten:Fensterbasierter integrierter KS-Test


Differenz der kumul. Vert.Maximale Differenz: normale KS-Statistik

Mittlerer Unterschied: „integrierte“ KS-Statistik


Verteilungsinstationaritäten:z-Transformation von Verteilungen


Differenz der kumul. Vert.

Mittelwert = 0Std. = 1

Mittelwert = 0Std. = 1


Verteilungsinstationaritäten: Vor- und Nachteile der Methode

Vorteile:

keine Datenvor-behandlung nötig

hohe Datenmenge unkritisch

Lücken bis 20% eines Fensters akzeptabel

parameterfrei

relativ unempfindlich gegen Ausreißer

unabhängig von den getesteten Kumulativen Verteilungen

Nachteile:

Signifikanzniveaus des konventionellen KS-Tests nicht verwendbar (Voraussetzung: unkorrelierte Daten) MC Simulation

nur relative Vergleiche

ist sensitiver beim Zentrum als bei den Enden der Verteilung


Verteilungsinstationaritäten: Ergebnisse Siegsdorf/ Weiße Traun 10a

Zeitskala: 10 Jahre


Verteilungsinstationaritäten:Ergebnisse Siegsdorf/ Weiße Traun 20a

Zeitskala: 20 Jahre


Verteilungsinstationaritäten:Ergebnisse Datenkollektiv „D13“ 20a

Zeitskala: 20 Jahre


Verteilungsinstationaritäten:Ergebnisse Datenkollektiv „D13“ 5a

Zeitskala: 5 Jahre


Verteilungsinstationaritäten:Ergebnisse Datenkollektiv „D13“ MW 5a

Zeitskala: 5 Jahre

Zeitskala: 5 Jahre


Verteilungsinstationaritäten:Konsequenzen für die Praxis

Fakt ist: Stationarität der Werteverteilungen ist oft nicht gegeben

Daher: Zusatz-/Ersatzinstrument zu Trendanalysen sinnvoll

Ziel: Aufspüren von Instationaritäten

Berücksichtigung bei Methoden-Voraussetzungen

Charakterisierung von Einzelpegeln/Einzugsgebieten


Ausblick: offene Fragen /Ursachensuche

finden sich Wechsel der Messtechnik in den Werteverteilungen wieder?

gibt es räumliche Muster für die Trends und Instationaritäten in den Verteilungen?

lassen sich die Trends und synchronen, zyklischen Phänomene mit anthropogenen Einflüssen oder klimatischen Variablen erklären und für eine genauere Risikoabschätzung nutzbar machen?

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!


Weitere Blickwinkel /Zusatzfolien

Ergebnis für normierte Fenster

PCA

Verteilungs-Fits & KSSUM

Sherman-Statistik


Trendanalyse: Power des Trendtests

hängt von der Modellwahl und der Größe der Modellparameter ab

ist wenig schwächer als die eines Standardtests für Lineare Regression (für lineare Trends)

wird nicht signifikant schwächer, wenn der Trend erst in einem späteren Teil der Zeitreihe beginnt

ist sensitiv gegenüber Sprüngen in den Daten, also sollten Sprünge vor der Analyse ausgeschlossen werden

wird von einer Änderung der Varianz der Zeitreihe nicht betroffen

Mittels einer Monte Carlo Studie wurde die Power des Trendtests evaluiert. Sie

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