1861. ANNALEN n o . 6. DER PHYSIK UND CHEMIE.

BAND CXIII.

I. Ueber die Reibung der Fliissigkeiten; von Oskar Emil Meyer aus Yare1 n. d. Jahde.

( F o J - \ ~ c + - ag voo S. 86.)

I I. A p p a r at,

5. 2. D e r ZLI iiieiuen Beobachtungen angewaudte Apparat war im wesentlichen ebeuso eingerichtet, wie d. won C o u - l o m b a. a. 0. beschriebene. In Fig. 1 Tafel I11 ist derselbe Tollstandig abgebildet. Er besteht aus zwei lnit einander cerbundeiien horizontalen Kreisscheiben , von dcnen die &ere eine Theilung triigt, wahrend die untere in die zu iintersuchende FIiissigkeit taucht. Dieser Apparat hangt an einem Metalldrahte, durch desseii Torsion er in Schwin- gungen versetzt werden kann. Die Beobachtung dieser Schwingungen fiihrte ich, abweichend von C o ul o 111 b, durcb ein seitwarts aufgestelftes, mit Fadeiikreuz versehenes Fern- rohr BUS, das bei einer Neigung VOII etwa 45 bis 60 Grad gegen den Horizont auf die Kreistheilung der oberen Scheibe gerichtct war. C o u l o m b lnachte diese Beobachtung mit tubewaffnetem Auge, indein er die Drehung der Scheibe gcgeii eine neben derselben aufgestellte Nadelspitze auf der Theilung ablas.

Die nahere Einrichtung des hpparates zeigt Figur 2 Tafel I11 im verticalen Querschnitt. Auf einem cylindrischen Messiugstabe voa etwa 24 Liuien Stiirke uiid 5 Zoll Lange (ua) konnten zwei Paar kleiner kreisfiirmiger Sclieiben von 21”’,68 par. Durchmesser und 0”’,58 Dicke (b) aus demsel- ben Metall, die mit federnden HUIsen verselien waren, verschoben und durch Ringe (c), die auf diese Hiilsell ge-

PnggroddrJ A n d . Bd. CXIII. 13

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schobeii wurden, it11 jeder beliebigen Stcllc dcs Stabes bc- festigt werdcn. bas obere Paar dieser Klemmscheibeti dicnte dam, cinc i n clcr Mittc durchbbhrte messingeuc Schcibc (d) von 69”’,60 par. Maafs Durchniesser und 0”’,6S Dicke zu tragen, so dafs gegen die Fbchc dieser Scheibe die Axe des Stabes senkrecht gericlitet war. An ibreiti Rande [rug dicse Scheibe eine versilberte Scale, die in 360 Grade getheilt war. Durcli das andere Paar der Klemm- scheibeii konnteri 4 verschiedene, ebenfalls in der Milte durchbohrte Kreisscheibeii (d’) in derselben Weise, wie die gethcilte Scheibc, am Stabe befestigt werden. Diese Schei- ben waren bestiinint, in der zu untersuchenden Fliisaigkeit zu schwingen. Sic bestanden aus verschiedenen Stoffen, zwei aus Messing, eine aus gewbhnlicheut Weirsbleclt , dns auf dcr Ilrehbank durch Driicken mit einem shimpfen In- strument eben gemacht war, und die vierte aus Syiegelglns. Die Dimensionen dieser 4 Scheiben waren:

Durclimesrcr Dicke Kleinere Messingscheibe 50”’,12 par. 0’”,60 par. Glasscbeibe . . . . 51 ,68 1 ,27 Grbfsere Messingscheibe 69 ,79 0 ,56 Weifsblechscheibe . . 95 ,31 0 ,22

Durchmesser wie Dickeu wurden an jeder Scheibe meli- rere an verschiedenen Stellen gemessen. Die fur die Durcli- inesser beobachteten Werthe waren in vollstiindiger Ueber- einstimmuag mit einander. Doch zeigten sich bei den be- obachteten Werthen der Dicken Abweichungen von W,OI bis 0“‘,02. Nur bei der Glasscheibe waren dieselben weit bedeatender. Vier Mrssungen der Dicke an vier in glei- chen Abstlnden von einander gelegenen Punkten des Ran- des gaben die Wertbe

1”’,30, 1”’,30, 1”’,26, 1”’,21. Die beiden Fliichen der Scheibe waren also nicht genau parallel geschliffen. Die angefiihrten Messungen wurden mittelst e ink Maafsstabes mit verschiehbareln Nonius aus - gefiihrt.

Ueber die kleinere Messingscheibe ist noch zu heiner-

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keii , d a t bei der Anfertigung des weiter unten erwahnten Bleirings (m) der Durchinesser derselben etwas verkleinert wurde. E r betrug von da an nach einer mikroskopischen Messung nur

49"',57 par. Ich werde im Folgendeii daher iminer angeben, welcher der beiden Werthe bei einem Versuche in die Rechnung ein- zufiihren ist.

Ueber der getheilten Scheibe befand sich an der Axe (aa) ein drehbarer seitlicher Arm ( l ) , der ein Laufgewicht trug. Dieses dientc dazu, die Scheibeu in die horizontale Lage zu bringen. Dabei verfuhr ich so, dafs ich neben dem aufseren Rande dcr Scheibeu eine Nahnadel aufstellte, deren Spitze fast die Scheibe beriihrte. Versetzte ich dar- auf den Apparat iu Schwiiigungcn, so konnte ich mich durch Beobachtung der Nadelspitze mit einer Loupe iiber- zeugen , d a t die Scheiben ihre Schwingungen sowohl in ihrer eigenen Ebene, als auch um ihren Mittelpnnkt aus- fiihrten.

Die messingene Axe (aa) des Apparats trug oben und unten ein Schraubcngewinde. Auf das untere konnte einc abgerundete Schraubenmutter (e), auf das obere ein der Lange nach durchbolirtes und in zwei auf einander recht- winkligen Richtungen der Liiuge nach eingeschnittcnes cy- lindrisches Messingstiick ( f ) aufgeschraubt werden. Diefs letztere trug wieder ein etwas konisches Schraubengewinde, auf das eine birnfiirmig gestaltete Schraubenmutter (9) ge- schraubt werden konnte. In den Kreuzungspunkt der beiden Einschnitte wurde das Ende des Drahts gesteckt, an dem der Apparat aufgehangt werden sollte, und durch Anziehen der birnfiirmigen Schraubenmutter zwischen den vier Vierteln des eingeschnittenen Stiicks fest eingeklemmt.

Als Aufhangungsdraht wurden naclr und nach verschie- dene Messingdrahte angewandt. Sie hatten eine U n g e von etwa 2:' und eiue Dicke von 0"',2. Sie wareu vor der Anwendung gleichmlfsig ausgegluht, durch Dehnung gerade gezogen und durch Dehnung und starke Tordirung wieder

13 *

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iniigliclist gehzrtet. Beiin Ausgliihen befandeu sicii die l)ralite, 11111 Verbrennung zii verhiiten und das Gltihen mag- lichsl gleichrntifsig zu inaclien, in einer Lehmkugel, von der- sclbcii (lurch gebltes Papier getrennt. Diese Kugel wurde getrockuet und in einem grofsen Ofenfeuer zum Weifsglu- hen erhitzt; nach dem Erkalten wurde die entstandene Zie- gcltnnsse zerschlagen und der Draht herausgenommeo.

Das obere Ende des Drahts war auf gleiche Weise gefafst, wie das untere. Das obere Einklemmungsstiick (f’ uud g’) war an einen etwas mehr als zolllangen Conus (h) geschraubt, dcr sich in einer conischen Hulle (i) leicht drehte. Diese Hulle trug eineii kleinen versilberten Theil- kreis (k), der in 8 gleiche Tlieile getheilt war. Am Conus (h) befand sicli eine geranderte Handhabe init einein Zeiger (n) fur den Theilkreis (k).

Die conische Hiille (i) war verinittelst einer Platte an einem rechtwiukligen Stiicke Holz befestigt, das vertical auf zwei hblzernen Saulen von etwa 1’ Lange auf- uod abbe- wegt werden konnte, uin die Scheibe beliebig tief in dic Fliissigkeit ciutauclien zu kbnnen. Die lialzernen Saulen standen entweder auf einer Art Galgen oder atif einer ho- rizoiitalen Stange, deren beide Enden an dcr Wand befe. stigt waren.

Die Beobachtuug wurde mittelst ciues astrouomischen Fernrohrs init Fadenkreiiz, das auf die Theilung der Scheibc ( d ) gerichtet wurde, ausgefiihrt. Das Ferurohr war ineistens uninittelbar an der Wand des Zimmers befestigt.

Der benutzte Apparat gehbrt dem pbysikalischen Cabi- net der Kbnigsberger Universitat. Seine Construction ist von Herrn Professor N e u m a 11 n angeordnet worden.

5. 3. Die nachste Aufgabe zur Vorbereitung auf die Beob-

achtung war die Bestimmung des Tragheitsmoments. Diesc Bestilnmung ist bei kleinen Apparatea, die an einein ein- zigen Drahte aufgehiingt sind, mit grofsen Scbwierigkeiten verkntipft, weil das Torsionsu~omcnt des Drahts sich durcli

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BeIastumg und auch mit der Zeit bedeufend andert. Diese Aenderungen siiid im Ganzen sehr unregelmalig ; doch ist zu bemerken, dafs init der Zeit meistens die Schwingiings- dauer des Apparates ab-, also das Torsionsinoinent des Drahts zunimmt, vorausgesetzt, d a h der Apparat baufig in Bewe- gung gesetzt wird.

Zu diesen Uebclst:indea kotnmt noch hinzu, daEs die L\uwendung der Ga ufs'scheii Methode, iiach der das Trag- heitsmoment durch den EiuiluEs angehsngtcr Gewichtc mf die Schwingungsdauer bestimmt wird, auf Apparate VOII der ( h a k e und der Form wie der beschriebcne diirchaiis un- erlaubt ist. Die angehlngteii Gewichte versndern u~mlich die Schwingungsdauer nicht nur durch Verinehruiig clcs Trlgheitsinoments, sondern sie verursachen zuglcicli eincn solchen Widerstarid der Luft , dars dieser itierklichen Ein- flufs auf die Griifse der Schmingutigszcit gcwinnt. Mali

kann sich dieser Methode nur dann mit Vortheil bedienen, wenn der Apparat selbst eineii solcheu Widerstand an der Lirlt findet, d a t der von den Gewichten herriihreude ge- gel1 diesen vernachliissigt werden darf. Zugleich darf das Torsionsmoinent des Drahts oder der Drahte nicht merklich durch die Belastung init deli Gewichten geaiidert werdcn.

Ich wandte zuerst die GauEs'sche Mcthode i n der Weise an, dafs ich die Schwingungsdauer des Apparnfs fur sich und aufserdem dieselbe bestinnnte, nachdem a n zwei gegentiberliegenden Punkten des Urnfangs der gerlteiltcn Scheibe zwei gleiche Gewichtc aufgehangt wordcn wareu. Diese Gewichte bestanden aus bleiernen Cylindern , deren Durchmesser 8"',70 par. und deren H6he 23"',70 und 23"',40 betrug. An ihrem obereu Ende war ein kleiuer messinge- ner Ring zum Aufhangen eingescbraubt. Sie hingen an ei- nem quer fiber die Scheibe gelegten diinnen silberplattirten Kupferdraht, dessen Lange 104"',62 war and der 0,060 Grm. wog. Die Gewichte selber wogen zusammen 360,393 Grm. Darnach ist der Wer th des Tragheitsmoments der Gewicbte und des Aufhangungsdrahts in Bezug auf die Drehungsaxe des Apparats, die Masse des Bleies a h homogeo vorausgesetzt,

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1 M, = 439900. - g

bezogen auf Gramme und pariser Linien als Einheiten. Man findet aus diesem Werthe und den beiden beobachteten Schwingungszeiten das Tragheitslnoment des Apparats

wenn vorausgesetzt wird, dafs das Torsionsmoment des Drahts sich nicht merklich durch die Belastung veraudert. T ist die Schwingungsdauer des Apparates ohne Gewichte, TI mit den Gewichteu.

Meine Beobachtungen lieferten folgende Resultate fiir den Apparat

mit der kleiiieren Messingscheibe 9",7224 19",4295 7177 T 1 ' 1 it2

I1 IJ IJ J l 9,732 19,447 7685 '1 1) grafsereii Y 10,541 17,804 12081 n a J, ,I 12,3312 20,8500 120-12

ohne Scheibe . . . . . . 8,5265 18,8565 5753 Bei der dritten Beobachtung war der Apparat an eiuern

anderen Draht aufgehgngt. Die Schwiugungszeiteo wurden aus je 24 bis 30 in regelmiifsigen Intervallen von 5 Minu- ten angestellten Beobachtungen der Zeit berechnet, zu der der Apparat seine Gleichgewichtslage passirte. Die Zeit- bestimmungen wurden mit einem 0,4 schlagenden Chrono- meter gemacht, die Berechnung nach der Methode der klein- sten Quadrate susgefiihrt. Die Werthe von M beziehen sicb auf Centimeter und die Dichtigkeit des Wassers als Einheiten.

Trotz der sehr groten Uebereinstimmung der beiden fur den Apparat lnit der grofsen Scheibe erhaltenen Werthe lnufste die bedeutende Abweichung der fiir den Apparat init der kleineren Scheibe gefundeuen Zahlen Bedenken iiber die Braucbbarkeit der Methode erregen. Ich iinderte deshalb die Methode so ab, dafs es schien, als sei der Wi- derstand, den die Luft den schwingenden Gewichten bot, aus der Endformel elimiairt. Aus einem und demselben

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Messiugblcch wurdeu 4 Cyliuder YOU der Grofse der Blei- gewiclite angefertigt I). Zwei dieser Cylinder wurdeu init Blei ausgegossen, zwei dngegen hob1 verschlossen. Am oberen Ende trugen diese Gewichte eirien Haken mit einer feinen Einkerbung in der Mitte, in der die Schleifen feiner Drahte lageu, an denen sie aufgehangt wurden. Urn diese 4 Gewichte in verschiedeneu Entferuungen von der Dre- hungsaxe am Apparat aufhangen zu k6nnen, ~ u r d e n auf einein auf der oberen Flaclie der getheilten Scheibe gezo- genen Durchmesser (zwischen den Theilstrichen 90 und 270) anf jeder Scite der Axe zwei Paar feiiier L6cber diirch die Scheibe gebohrt (a und p in der Figur). Durch je zwei entsprechcude, auf verschiedenen Seiten befiudliche Locher wurde eiu feiner Draht von dersclben Sorte, wie friiher, gezogeu, uud die Enden dessclben i n Schleifen zosamnien- gedrillt. In diese Schleifen wurdeu die 4 Gewichte gehangt uiid zwar so, dafs eininal die gcfiillten Gewichte, das an- dere Ma1 die liohlen in den griilsereu Entferuuugen von der Axe hingen. Es wurde bei beiden Anordnungen die Schwingungsdauer des Apparats beobachtet, und aufserdem die Schwingungszeit dcs unbelasteten Apparats bestinimt.

Durch die ant;ehangten Gcwichte wird die umgebende Luft in Rewegung gesetzt. Nach B e s s e 1 's Beobachtung (in seiner bertihinten Arbeit iiber die Lange des Secunden- pendels, Abh. der Bed. Aknd. 1826) und der Erklarung derselben durch P o i s s o n (Mdm. de I'Acnd. Vol. 11) bat diese Mittheilung der Beweguug an die Luft deuselben Ef- fect wie eine Vermehrung des Trlgheitsmomeuts. Diese Vermehruug ist nach P o i ss o 11

wo p die Masse der durch den schwingeiideu Kbrper ver- = + p L 2 ,

1) Gcnauer waren die Dinlensionen Jieser Gewichie, wie sie dorcll mi- kroskopisctie Messung an dem mil No. 4 bezcichneten hohlca gefunden wurdcn :

Dicka der cylindrisclren W a n d Durchrnesser . . . , . . 8 ,92 Hahe . . . . . . . . 21 ,72 Y

0"',20 par. M.

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drangten Luft, L die Entfernuiig des Schwerpunkts dieser Luftmasse von der Drehungsaxe bezeichnet. Bei der Unter- suchung wurde aber die Reibung unberiicksichtigt gelaeseu.

Ich bezeichne mit m, di;! Masse eiiies der volleii Ge- wichte, mit m, die eiiies der leichteren, init m, ;I: das Trlgheitsmoment eines vollen Gewichts in Bezug aiif seine LBngsaxe, init m, A: dieselbe Grafse ftir ein bohles; ferner mit L, die Entferoung dcr lukeren LOcher (genauer die Entfernung des innerenRandes derselbeii) von der Drehungs- axe, mit L, die der inneren LOcher. Auterdem nenue icli p2 und p , die scheiubareii Vermehrungen des Tragheits- moments, die durch eiii in den Entfernungen L, und L, von der Axe in der Luft schwingendes Gewicht bervorge- bracbt werdeu. Diese Griifseu sind fiir die vollen und hohlen Gewichte dieselben, da die Oberflachen beider gleich sind. Endlich iienne ich T, T, und T , die drei beobach- teten Schwingungsdauern. Dann ist, wenn ich voraossetze, dafs das Torsionsmomeiit z durch die Belastung nicht merk- lich gelndert werde,

+21S*+2C111 (1)

+2Y, +2P,I 1 tTZ=m2 M z Ti =n2 [M -+ 2m, (L: 4 A:) + 2m, (L: + 1";)

zT,2=na[M+2nal (L: + I : ) + I m , (L:+Ai)

Daraus ergiebt sicb eirie vou p , und p, unabhlngigc Re- stimmung von M.

k 2 - - - q 5 ( m , - m l ) ( L 1 , - - L : ) T" . . (2). Ta -

Nach dieser Formel habe ich folgende Beobachtuugen berechnet. Durch Combination von 10 WPguugen nach der Methode der kleinsten Quadrate ergaben sich folgende Werthe fiir die 4 Gewichte:

Gewicht No. 1 = m , g = 170,5664 Grm. U u 2 = m', g = 170,5639 11

IJ 3 =m,g = 23,2352 1'

a N 4 = m'lg = 28,2356 n

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Fur die Entferncingen VOII der Axe, in denen diese Ge- wichte aiifgeh$tigt wrirden , also fur die Entfernungen der inneren Riinder der Liicher a und p VOU der Axe, ergabcn sich aus 7 inikroskopisclien Messringen nach dcrselberi Me- thode folgendc Werthc:

L L', = 28 ,3204 u = 6,38839 JB

L , = 16 ,7272 JJ = 3,77338 L', = 16 ,8393 11 = 3,79863 JJ

= 28"',2733 par. = 6,37798 Cm.

l)arans bercchne ich, bezogen aiif Centiineter, ( m 2 - m , ) (L l -L: )+(m'2 -d t ) (L'i-L';) = 7676,96.

Ich beobachtete ferner folgeiide Werthe der Schwingungs- dauern, wahrend am Apparat sich die kleiuere Mesaiogscheibe

T = 5",4407 Z', = 7 ,6241 T, = 9,4034

i n derselben Weise, wie die fruher angegebenen, mit deli] eiiizigen Unterschiede, daL statt des Chronometers cine ,sr Secunden schlagende Pendeluhr bcoutzt wurde. Aus dicsen Wertheu erhalt man nach der obigen Formei, bezo- gen nuf Centimeter,

M = 7500,5, also einen Werth, der zwischen den fruheren Be~bachtun- gen die Mitte halt.

Versucht man, mit Hfilfe dieses Werthes aus den oben augegebenen Beobachtungen , bci denen die Bleigewichte angewandt wurden, die Masse der durch diese Bleigewichte in Bewegung gesetzteti Lrift zu berechiicl~, so erhalt mnn eiumal einen negativen Werth, das andere Ma1 einen posi- tiven. Dieser letztere fiillt noch dazu so grofs nus, d a b man ilia fur unmaglich halten miifs. Man findet namlicb, dak ein Bleicylinder einer Luftmasse die volle Geschwin- digkeit des Apparats ertheilen mufste, deren Gewicht 0,566 Grm., deren Volunien also 436 CC. grofs seyn miifste. Dcr

befand,

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aus der angegebenen von P oi ss o n aufgestellien Formcl folgende Werth ist 501iial kleiner.

Ich versuchte, eine schlrfere Bestimmung dieser Griifse zu erhalten, indeirr iclr die zulelzt angegebenen Beobach- tungeu so wiederholtc, dab die hohlen Gewichtc fehllen und die schwereren nach einauder in den beiden Entfer- nungen vou der Axe aufgehlngt ivurden. Den Beobach- tungen entsprechen also die Gleichungen

tT1=n2 M z T: =no [M+2m, (L: + A 3 + 2 p I]

t Ti =n? [ M t f l m , (Li+A:)+2p, ] Aus diesen Gleichungen folgt

Ich beobachtete T = 5",4452; TI = 7",OSR-1; T, = 9",2761.

Bererbne icli hieraus n i t Vernachl~ssigung von ,u2-p, das Trlghcitsinoment 31, so finde ich

111 = 73748 in deinselben Maak wie friiher; ich erlialte also einen vie1 kleineren Werth als aus den anderen Beobachtungen. In Folge dessen findc icli den unglaublich groben Werth

ebenfalls auf Centimeter bezogen. son ' s Formel

so finde ich als Gewicht der von einem Messingcylinder initgefiihrten Luft

1,s Grm., also eincn noch grbfseren Werth als bei den bleierneii Gewichtcn.

Bei allen diesen Schwingungebeobachtungen hatte ich inich davor sicher gestellt, dhfs durch die Schwingung uicht etwa die Granze der Elasticitgt des D r a b iiberschritten wurde. Die Ainplituden, bei denen die beobachteten Schwin- gungeii ausgefiihrt wurden, fur eiae vollc Schwiugung lagen

p 2 - P I -99,

P Z - P I = :P(L: -w> Setzc ich nach P oi s-

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inilncr zwiscben deli Sufscrsten Granzen 120O und 20". Folgendc Beobachtungen zeigeu , d a h der Draht uin inin- destens 225O tordirt werden konutc, elie er die Granzc sei- uer Elasticitat iiberschritt.

Es murdc zuuaclist durcli das Fernrohr die Ruhclagc der Scbeibe beobachtet, dann diese durch ciiieii Retorten- halter in derselben festgeklemmt, wiilirend der obere Auf- hhguogspunkt dcs Drahts gedreht wurde. Ilicse Urehuiig wurde ail dcr oberen kleinen l'heilung abgelescn; bei dic- scr Ablesung konnten Fehler voii Bruchtlieile~i eiiies Crn- dcs gclnacht wcrden. E s wurtle daun die Schraubc dcs Hetortenhalters langsain geluftet, 60 dafs die Scheibe ohne Schwingungen in ihre neue Ruhelage sicli drchte. l)icse wurde wieder durch das Fernrolir beobachtel. Ich beob- achtete so folgeude Zahlen:

OLerr Theilung.

0 Dreliung.

45 450 135 90 270 135

90 1 so 31 5 225 1 SO 225 90 270 90 360

Urirerc l'lieiliin:. Dreliiing.

326,6 281,9 4 4 O , i 191,:3 90 ,G 56,O 135 , 3

23i,3 lit) ,5 12,2 223 , I

14i,2 225 ,0 238,O 265 ,2 24 1,s 357 ,3

Die Griiuze der Elasticitiit i6t also erst durch cine Drchuiig uui 270" iiberschritten.

Es war nach den initgetbeilten Hesultaten niclit zu bof- feu, dafs bei Aufliangung des Apparats an e i n e m Draht coustantc Resultate erlangt werden k h n t e u . Zugleich ist ersicbtlicb, dafs bei dieser Art der Aufbaaguiig nicht eot- schiedeu werden kanii , ob die gefundenen Abweicbiingen der Resultatc voii den Aenderiingeii des Torsionsmoments odcr voii den1 Einllufs dcr Luft auf dic schwingenden Gc- wichtc hcrriihrcn. In der That ist von beiden Ursaclien an-

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zunehiiien, dah sie in dcin Resultat eiucn iiierklichcu Fehler hervorbringcu. I h f s zeigt folgeiida Betrachtung.

Aus der Thcorie der Elasticitat folgt, d d s dus Torsions- iuomeat t iu der Weise voin Radius r und der Lange 1 des Drahts abbangt, dars

ist. Hierin ist ?. der Elasticitatscoeflicieut dcs Drahts uild (I ein Coefficient, der dadurcli definirt ist, dab eiue Vergrlis- serung d l vou 1 eiuc Verkleinerung von r urn J r hervor- ruff, die iu deiii Verhaltnifs

stehcn. Nach Po i s son’ s Theoric dcr Elasticitiit utid C a g i i i n r d d e la T o u r ’ s ncobachtung is1 dieser Cocfti-

iiacli alleii aiidcreii Bcobnclituiigen nicht vie1 darou vcr- scliieden. Der obige Ausdrricli fur t gelte fur die Belastuiig des Drahls durch tlas Gewicht P ; fur ciue griifsere Bela- stuog P + d P wird daiin gelten

cicnt Q = 4

da man, wenii J P nicht grok ist, ( d r ) 2 gegeii r z wird vernachlassigeii kiinnen. Hieraus folgt

A r _- dr

also nahezu -- A T - - 2 1 . dl

Es verringert sich also das Torsionsinoment durch Verineti- rung der Belastung. Demnach sind die bisher gefuudciieii Werthe des Tr5gbeitsmomcnts ( M ) kleiner als der wahre Werth M, vorausgesetzt, dars die Methode keinc weitereii Febler enthYlt. Es ist aogenabert

I= ( 1 - el) (I 1 ) 7 1

uud fur einc zwcitc Belastuiig durcli Ge~viclite

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67 nr = (1 - -) (M,) 7 2

rind darnus aiigenahert TI A T , ( M I ) - ( M ~ ~

M -

71 7 2

odcr nacli deli obigen Forineln

Dicse Forinel wende icli a u f die beideri Reobaclitungcn iiiit

den IWessinggewicliten an, weil i n diesen beidcn 2 , == I , ist. Diese Beobachtungen hnben bei griifserer Belastung ei-

lien grofsrren W e r t h fiir M gegeben. Sie sind also mit der Formel in Widersprncli. Man I I I U ~ S deinnacli noch eine andere Fehlerquelle annehmen. Diese scheint darin Z ~ I lie- gen, dafs die Grofsen !&, und ,uI niclit allein von L, und L,, sonderii auch von der Geschwindigkeit der Bewegung, also yon T, und T, abhangen.

Um die nngedeuteten Fragen zu untersucbeo, inithiti die Anwendbarkcit cler Ga u Es’schen Metliode auf dcn vorlie- genden Fall zu priifen, wurde der Appnrat bifilar aufge- hzngt. Es wurdcn dabei eiiiige unwesentliche Aenderungen init demselben vorgcnominen. Urn iii6glicbst wenig von ihm fortriehmen zu inussen, wurde die kleine Schrnubenmutter (e) am unteren Endc der Axe abgenoinrnen und durcli ciiie llingere ersetzt, die in eine Scbraube endigte, welchc in ciii rechtwinkliges Stuck Messing eingcsrhraubt werden koiinte, das fur gcw6hiilich zur bifilaren Aufhangung eines anderen hyparats diente. Es hing soinit der Apparat auf dern Kopfe, die getheilte Scheibe wurde daher umgekehrt aufgesteckt. Durch diese neuc Anordnung hatte der Apparat an Stabili- tat gewonnen, da die getbeilte Scheibe, als die gri)fsere, tiefer hing als die kleinere ungetbeille.

Die zur bifilaren Aufhvnguog dienenden iieueii Theile des Apparats sind Fignr 3 Taf. I11 dargestellt. An dem obercn Ende des Apparats befindet sich das erwlhnte kleine Parallelepipedurn (a) aus Messing. A n dieses kilnnen von je z w i gegeniiberliegenden Seiten kleine Messinghleche ( b )

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durcli zwei kleine Stahlschrauben (c) angeschraubt merden. Die Enden der Driihte merden zwischen diesen Blechen und den inittleren Stack (a) eingeklemmt. Ibre Stelle ist durch eine nuf der oberen Flache von (a) gezogene Linie bezeichnet. Dicsein Stiicke (a) mit den Blechen (b) entspricht am oberen Theile ein gleiches (a’) mit gleichen Blechen (b’). Dieses ist durch einen Stab (a) in einem Ringe (e’) urn eine verticale Axe drehbar aufgehangt, und kann durch die Schraube (f‘) festgestellt werden. Dartiber befindct sich eine Rolle (9’).

Zur Aufhangung wurden silberplattirte Kupferdrahte (No. 13) verwandt, die vorher auf die beschriebene Weise ausgegliiht worden waren. Eo wurde ein solcher Draht iiber die Rolle (9’) gehangt, die beiden Halften gerade ge- streckt und die Enden ohne Torsion zwischen (a) und ( b ) ein- gespannt. Nachdem der Apparat einige Tage so gehangen hatte, wahrend welcher Zeit er hin und wicder iii Schwin- gungen versetzt wurde, zog ich auch die Schrauben (c’) fest nn uod schnitt den Draht, der uber die llolle (9’) lief, ab. Ich konnte soillit sicher seyn, dafs beide Drahte in gleicher Spannuug waren.

In jeden Draht war vor der Aufhaugung eine kleine Vorrichtung eiugeschaltet, dic zur Bestimmung des Torsions- inoinents desselben diente. Dieselbe bestand aus eineln kleinen, diinnen Platinbleche a, durch das wit einer Nadel 4 Lbcher gebohrt worden waren. In je zwei dieser Lbcher fafste ein aus Draht gefertigter Haken. An diesen beiden Haken waren die Halften eines der Driihte befestigt. Die- selben waren uin die zusammengebogenen Schenkel des Hakens gewickelt, und zwar, uln das Aufdrillen durch die Oscillationen des Apparats zii vermeiden, so, dafs der Draht erst zwischen den Schenkeln des Hakens bindurcblief und zwischen denselben durch seine eigenen meiteren Windun- gen um den Haken herum eingeprefst war. In Figur 3 ist die ganze kleine Vorrichtung von beiden Seiten dargestellt.

Die Bestimmung der Torsionskraft eines Drahts geschah auf folgende Weise. Es wurde zunachst die Gleichgewichts-

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stellung des Apparats durch das Fernrohr beobachtet. Dar- auf wiirde eincr der besdiriebenen 4 Haken gelsst und von der aoderu Seite wieder in das Blech eingehalit, der Draht also uin 180, tordirt. Der Apparat wurde inaglichst schnell zur Ruhe gebracht, und seine neue Gleicligewichtslage durch das Fernrohr beobachtet. Dieselbe Beobachtung wurde fur eiiic Drehung urn 180" in entgegengesetzter Ricbtung angestellt, uud beide Beobachtungen a m andern Haken je- des Elechs wiederholt. Ich erhielt auf dicse Weisc aus den Bcobachtungen an jedem Draht 4 Gleichiingcn von der Forin

o u O= PE [sin (rp, -C rp , ) - sin y o ] =i= t , [n - rp ,] -C t, cp , (5)

durch die die Torsionsmome~~te z, und z 2 der Drahte durch das Drehungsinomeiit der Schwere ausgedriickt werdeii honnten. In der Formel bezcicbnet P das Gewicht des Ap- parats, o und u die Entfernung der beiden Driihte an den obercn uiid untcreu Einklemlniingsstellen, I die Lange der Driihte. Ferner ist y o die Ablenkung des Apparats aus der Gleichgewichtslage, die er in Folgc der Schwere ein- nehmcn wurde, wenn die Driihte vollstandig ohne Torsion eingespannt waren; qc , diejenigc Ablenkung, die eine Tor- sion eines Drahts uin 160° hervorbringt. Aus den 8 Glei- chungen sind die drei Grbken tl, z, und y o zu bestimmen.

Mau kbnnte dieser Methode zur Bestirnmung des Tor- sionsinome~~ts den Vorwurf machea, dafs die Tordiruiig uni einen so grofsen Winkel das Torsionsnioment Indere, dafs also die Grlnze der Elasticitat des Drahts tiberschritten werde. Diesem Einwande zu begegnen, bestimmte ich die Schwingungsdauer des Apparats in seiner normaleu Auf- hlngnng und darauf dieselbe, nachdem der eiue Draht recbts, der andere links herum urn 180° tordirt war. Ich fand aus je 12 Beobachtungen, die wie die bereits angegebenen an- gestellt wurden, als Werth der auf unendlich kleine Bo- gen reducirten Schwingungszeit bei normaler Stellung

T = 13',1084,

208 bei tordirten l)r%liten

Uabei war T = 13",1051.

yo = u und t , = t, = 0,0549 . P gefutideii worden. Es haben sich demnach durch die Dre- hung uin 180" die Torsionsmomente uin hlichstens den zweitausendsten Theil ihres ganzen Werthes vergrtifsert.

Auf den so abgeiinderten Apparat wandte ich die be- schriebene Modificatiou der G a ufs'schen Metbode, bei der zwei Paar gleich gestalteter Gewiclite benutzt werden, an. In der schon gebrauchten Bezeichnung erhalte ich die Re- sultate der Beobachtungen dargestellt durch die Gleichungeii

( P z + z , + r , ) T'=n2 M

([ P + 2 (m, t m J g 1 ~ + rf, + rf2) T: =rCZ[M + 2 m, (Y + A:) +2m2 (L:+l:)+ 2y,+2p2]

(1 :~+2(m,+rn , )g ]~+r ' ,+ t ' , )~

-- n Z [ l + 2 m , (L:+ 1:)+2m.*(L:+il:)+2~,+2,u,]

Hieriii sind 3 , und z', die Werthe der Torsionsmo- inente bei der Belashing der Drehte durch die Gewichte, l' die 1,tinge derselben bei dieser Belastung die ungestricbe- lieu Buchstaben reprlsentiren dieselbeti Grbfseu fiir den u- belasteten Apparat.

Aus diesen Gleichungeii kann ich das TrBgheitsmouieat M auf doppelte Weisc bestiniinen; einmal, wenn of u und I gemessen sind, aus der ersten Gleichung allein; dann von o und tl unabhiingig, durch die aus den drei Gleiciiungcn folgende Relation, welche wegen der GI. (5) ou nicbt iiiehr entbiilt,

o u P

T2'- Pj7 +rl + T ~

3' * 2 ( ~ 2 - % ) ( 4 - q ) m = (7) [P+2(m, + m ; l g 1 5 + 4 +TI,

Sind o, u und 2" gemessen, so liefern die letzten beiden Gleichungen (6) cine Relation, die zur Controle der GUltigkeit

209

der beiden Gleichungeu verwandt werden kann. Man er- halt niimlich durch Subtraction

([P+2(m~+~,)9]~+z’,+~’,)(Tz2- T,3 =2 z2(ma - ml) ( L 2 - L:) . . (8).

Ich beobachtete nach den angegebencn Methoden fol- gende Werthe der Torsionsmomente und der auf unendlich kleine Amplituden reducirten Schwingungszeiten

O U ou Z, =0,0551 Pa 7, = 0,0535. P

T = 13’,170 T,= 13”,8 I22 T,= 16”,9047

ou 2,=0,0252 [P+2 (tn,+m,)g] a %‘&A0237 [P+2(m,+m2)g)

T = 13”, I 54

z, = 0,0550. P y z, = 0,0532. P 2 Ferner wurde gefunden

rind es ist nach den bereits angegebenen Werthen P=441,538 Grm.,

2 (m, + m,) g = 39 1,5997 Grm. 2 (m, - m,) (L: - L:) = 7676,96.

Aufserdem mafs ich 2 = 6‘ 5” S 1 5 par. = 932”’,5 par. M.

Eine Vergrdfserung von 1 durch die Belastung konnte nicht wahrgenommen werden, sondern ich fand

I’ = 1. Nach Vollenduug der angegebenen Beobachtungen wur-

den die Drahte dicht an der Einklemmung abgeschnitten, und o und H durch ein verschiebbares Mikroskop gemes sen. Ich faud als Werth der Entfernungen der Mttelpunkte der DrHhte

0 = 3”’,8S par. M. = 0,875 Cm., u = 3“’,89 u = 0,877

ou = 0,768 OCm. PoggeodorfPs Annal. Bd. CXIII. 14

210

Bei dcr Berechuuiig dieser Beohachtungeii liabe icli fur T, t, uiid t? die arithmetischen Mittelwerthe aus den zu Aufang und zu Ende gefuudencn Werthcii eingefiihrt. Icli finde, indeiii ich JZ nus der ersten Gleichnug ( 6 ) berechne,

If = 7626 bezogen, wie friiher auf Centimeter, dagegeii aus der Glei chung (7) in demselhen Maafse

M = 7838. Dicse grorse Abweichung Iafst schon verinuthen, dafs die Glcichuug (8) durch die beobachteten Werthe iiicht erfullt wird. In der That fiiide ich als Werth der linken Seitc

7467 und der rechten

7677 Dieser Mangel an Uebrreins1immung beiveist, dafs im vor- l iegeden Falle die Bestinimung des Tragheitsmoinents iiiit

Hiilfe der angehsngtcn Gewichtc niir zu fehlerhafteir Re- sultalcii filbren kann. Der Grund liierron Iafst sich BUS

deli iiiilgetheilten Versuchen nicht angeben; doch ist es iiiclit unwahrscheiiilicli, dars der Hauplfeliler durch die Rlittliei- lung der Bewcgung au die Luft in Folge der angeliangteii Gewiclite hervorgebracbt wird. L)eiiii die L)iuieiisionen dcr Gewiclite sind niclit uubedeutend gegcn die des Apparats; dieser aber bietet der Luft kauni eiiien Widerstand (nufser der Reibung a n seiuen Flachen, die voii ihm zu unterscheidcn ist); die Gewichte waren aufserdeiii sehr nahe iieben eiii- auder aufgehaugt, FO dafs die diirch eins derselben in der Luft hervorgerufeneu Strudel auf die Bewegung des andern wirkteii. Auf diese Weise niilgeu die Gewichte in hleiue pendelnde Bewegungen versetzt seyn , welche die Schwin- gungszeit des Apparats andern muEstca. Viellcicht aucli siud die vou deli Gewichten bewegten Lufimassen von der Schwin- guugsdauer abbangig I).

1) Welclie Voraursctruog man aucli iibcr den Widerstand der L u h machc,

jedeoralls wird die durch ihn bewii kto Vergrbfscrung der Scllwingungs-

zeit urn so kleiner aurfallco, je grbfser M , also je gr6fscr T irr. Es ist alio io der Formrl ( 7 ) die Diffeicns T2--T, zu klein, ilcmnach

das daraus bcreclincte M zii grofs.

21 1

[ch versriclitc iiocli eiii Mittel, Uebereinstiininung der Kcstiltate Iiervorzubringen. 111 Folge der Reibung der Luft a n den FIRchen des Apparats wird die Schwiligungsdauer desselbeii vergrirbert. Diese Vergriikerung zu bestiuimen, kaiiii man die in der Einleitung mitgetheilten Formeln be- nu tze~i , insbesoudere die Gleichulig (7) 3 1, nach welcher die Schwingungszeit T des in der Luft schwingendeu Appa- rats BUS der fur den luftleeren Raum geltenden T, nach der Forinel

T = T, ( I + i + . . . .) nbgeleitet werdeii kann, wenn e das Decreiiient der natur- licheu Logarithmen der Aiiiplitudeu des Apparats bezeichuet. Es wird mithin die Schwinguugszeit T auf deli luftleeren

Rauiii reducirt, w e m sie init (1 -; etc. uiultiplicirt wird.

T o = T ( 1 - i n - etc.)

Uiese Reduction ) bringe ich an den beobachteten Schwio%ungsdniicrii an, uni sie dnnii i n die Gleichungen (6) , (7) rind (8) einzusetzen. Die gleichzeitig init den Schwinguugs- zeiten beobachteten Amplitude11 des Apparats lassen sich nllerdings nur sehr roh durch eiue geometrische Progres- sion darstelleii. Doch fallen die Abweichungeu so unre- gelmafsig, dafs die aus je zwci eutfernt liegenden Ampli- tuden berechneteu Wer thc des logarithinischen Decrements fast immer gleich sind. Ich habe daher die beobachteten Reihen uiiter Annahme des Gesetzes einer geometrischen Progression iinch der Methode der kleiusten Quadrate be- rechnet, und habe so folgende, den angegebenen Wertheii der Schwingungsdauerii zugeburige Wer the von a ? ) erhalten:

T = 13”,170; e =0,00329 T i = 13,8122; E , = 0,00619 T,= 16”,9047; E,= 0,00332 T L- 13”,154; E = 0,00342.

f ,

Dadurch erhalte ich die reducirten W e r t h e 1 ) Ueber die Zulisrigteit dicser Redilrtion aehe man den SchluL drr 5 . 4. 2 ) In nariirliclicn 1,ogarithmen.

1.1 *

212

T = 13”,156 TI = 13”,7950 T, = 16“,8868 T = 13”,140

uiid setze icli diese i n die Gleichung (7) ein, so erhalle icli M = 7813

uiid aus der ersten Gleichung ( 6 ) M = 7610,

also eine iiw wenig grbfsete Uebereinshnmung. Urn eudlich iioch cine Bestimmung des Trlgheitsmo-

ments zu erhalten, die von deia Widerstandc der Luft un- abblngig ist, wandte ich einc dritte, von Professor N e n - ma iin angegebene Methode an, dereii Princip init der Gaufs’- schen Aehnlichkeit hat. Es wurde aus Blei ein cylindri- scher Ring augefertigt , dessen aurserer Durchmesser gleich dein der kleineren Messiiipscheibe geniacht wurde I). Dieser Rleiriiig wurde auf die Scbeibe so aufgelegt, dafs die au- fseren RGnder beider zusammeofielen. Der Apparat wurde i n der beschriebenen Weise wieder bifilar aufgehlngt und seine Schwingungsdauer bestinirnt, einlnal mit der Belastung drirch den Bleiring , eiumal ohne denselben. Aufscrdeni xvurden bei beiden Belastungen die Torsiousmolnente der Drahte bestimmt. Das Tr5gheitsmoment des Bleiriogs wiirde aus seinem Gewicbt iind seinen Dimensionen berechnet.

Diese Berechnung fiihrt zu eiuem sehr sicheren Resul- Late, weun (lie Masse des Ringes homogen ist. Das Trtig- heitsmoment eines Ringes von der Dicbtigkeit D uud der Habe h , dessen innerer Radius r , , desseu aufserer r2 ist, bat den Werth

2 n h rl M ’ = D f f f r 3 d ~ d e d r = - D h ( r : - r : ) . n

2 o o r l

Seiu Gewicht ist

1) Bcnits S. 194 ist erwihot, d& dobei durch cine Unworsiehti8keit d u Mechanicus der Durchmesser der Scheibe urn ctwa f I.i& rerklcinrrt

wurdc.

213

G = D g f f J r d r p d a d r = a D g h ( r : -r:). 2 n h r,

o o r , Also ist

G Ill' = - (r: + r:) .

Diese Forlnel enthtlt keine Differeiiz von zwei beobnch- teten Grdfsen. 1st der Ring, wie es bei dein vou mir an- gewandten der Fall war, nicht genau cylindrisch, sondern etwas konisch, so ist hienii noch eine Correction hinzuzu- fiigen, welche von den Unterschiedeu der beobachteten Werthe der Radien abhangt.

Durch ein uugeiiaues Auflegeu des Ringes auf deli Bu- fseren Rand der Scheibe eutsteht im Triigheitsmoineut nur ein Fehler zweiter Orduung. 1st dcr Mittelpunkt des Rin- ges um die Entfernung d gegeu die Rotntionsare verschoben, SO ist das Tragheitsmoineiit in Bezug auf diese

2g

2 n h r ,+Acosy ,

N'= D f f f r3 d v dz, dr = $ Dh(r:-r:)(r:+r:+;d').

Der Fehler haagt also von dein Quadrate der Verschie- buug ab.

Uie Radien des Bleiriugs wurden mikroskopisch ge- messen, nachdem der Ring auf die Scheibe gekittet war. Das Mikroskop wurde auf die Mitte des Lochs in der Scheibe gerichtet, zu einem Raade geschobeu und d a m auf den andern eingestellt. Die Verschiebung von einem Rande zum andern wurde auf der am Mikroskop angebrachten Theilung abgelesen. Ich wiederholte jcde Messung und fand so: Aeufserer Durchmesser auf der

Aeufserer Durchinesser auf der

Innerer Durchmesser (oben und

o o r ,+Acurcp

oberen Flgche . . . . . = 49'",45; 49"',45

unteren Flacbe . . . . , = 49"',55; 49"',54

unteii) . . . . . . . . = 38"',18; 3&'",18 par. M.

214

Feruer f a d ich das Gewicht des Bleiriugs G = 281,439 Grm.

Uaraus berechue ich seiu Trtigheitsinoweut , bezogeii auf Centimeter

I' = 6996. Ich beobachtele ferner die Torsionsinomelite beiiii UII-

belasteteii Apparat 0 N

t, = t, -T 0,0549. P,,,

die Schwingungszeit desselben, auf uneudlich kleine Bogeu reducirt,

T = 1.3,1173. Dicser Beobachtiing liefs ich cine andere folgen, wclche cnt- scheideii sollte, ob die Reibung des Bleiriogs an der Luft iiierliliclicn Eiutlufs auf die Schwingungszeit haben kihue. Urn deli Haud der Scheibc klebte ich eiiieu Staniolstreifen von der Hehe des Bleiriiigs. Sein Gewicht war 0,3362 Grin. Uie dararif beobachtete Schwioguugsdauer betrug

T = 13",1140; eiii beweis, d d s der EinUufs der Luftreibuiig, die die Schwingungszeit verniehrt babeii wtirde, au deui Staniol- streifeu verschwiiidend klein ist gegen deu der uuregclinii. I'sigeu Aeuderuugeu der Torsionsmomente.

Icb bestinitnte daun die Schwioguugszeit dcs init dem Bleiriug belasteten Apparats uud fand dieselbe

rind darauf die Torsionsu~omeate T, = 14",5341,

ou i , = t'., = 0,0280 (P + G) xe Endlich wurdc noch gemesseu

tiad aus den friihereu Beobachtunge~ entnolnmeu 1 = 933"',2 par. M. = 210,29 Cm.,

ou = 0,768 0 Cm. P = 4.i 1,538 Grin.

Bei allcu angegebenea Zeit - und Torsioiisbeobachluugeii lag die Temperalur zwischeii 21",2 und 22",0 C.

213

Die beobachteten Griifsen sind durclr die Relatioueu verb u n d e ti

( P z+t, +t,) T2 =n*nr 1 (9). [ ( P + G) + t', + t',] Ti =z2 (ill+M')J

Aus beiden Gleichuugen folgt die Formel

( P ~ + z l + . r ~ ) T ' 1 = IIr (10) ((PtG) ~ + Z ' , + T ' , ) U U T l 2 - . ( P ~ + . r l + r . ) T '

x i s der das Tragheitsmoment IM, uiiabhaiigig voii der Ue- stitnmung der kleitieii Langen o und 11 erhalten wird. Durch Einsetzung dcr Zahlenwerthe fiude ich

aus der ersten Gleichung (9)

und etidlich aus der zweitcii

M = 7636,

J l = 7650

JI = 7626. Diese Werthe sind noch einer Verbeoserutig fiihig, da-

durch dnG die Schwinguiigszeiten, aus deneii sic abgeleitet siud, auf den luftleercn Raum reducirt werden. D i e t ge- schieht, wie bereits augegebeii ist, durch Multiplicatioii mit

(1 - +), wo E das Decreinent der niitiirlichen Logarithineii

der Amplituden bezeichnet. Durch Anwendung der Me- ttiode der klciiisten Quadrate auf die gleiclizeitig mit deli Schwiugungszeitcn beobachteten Amplituden fand ich als Wertli dicses Decretnents beitn unbelasteteu Apparat

E = 0,00378, bei dem durch deli Bleiring belasteten

8 , = 0,00226. Hierbei aber ist zu bemerken, dais sich die Ampliluderl iiicht ganz streug durch eiue geometrische Reihe darstel- lerl lassen. Die beobacbteten uud die mit obigeii Werthen berechiieten Amplituden sind folgende.

216

Apprrrt ohne Belrrtung. bcobrchtet. bercchnet.

29",5 30*,8 25 ,6 25 ,9 21 ,7 21 ,8 18 ,2 18 ,3 15 ,2 15 ,.I 12 ,8 12 ,9 10 ,9 10 $35 9 9 7 9 1 1

7 9 7 7 ,5 6 95 6 ,4

Apprrat mit Bleiring. beobrehtrt. berechnet.

36O,3 36",8

30 ,6 30 ,5 27 ,9 27 ,7 25 ,6 25 ,2

33 ,3 33 ,5

23 ,4 22 ,9 21 ,2 20 ,8 18 ,6 19 ,o 17 ,O 17 ,3 15 ,5 15 ,7 14 ,1 1 4 ,3 12 ,9 13 ,O 12 ,1 11 ,8

Uas Zeitintervall zwischen je zwei Beobachtungen war beim unbelasteten Apparat gleich 46 Schwinguugszeiten, beim belasteten gleicii 42.

Mit Htilfe der gefundeiien Werthe von e iiud 8 , er- halte ich die auf den luftleereu Raum reducirten Schnin- gungszeiten

und aus diesen folgende Werlhe des Trlgheitsmomeuts, erstens aus GI. (10)

hf = 7641, zweitens aus der ersten GI. (9)

i?f = 7622 und endlich aus der zweiteu

T = 13',1016 T, = 14,5240

M = 7605. Die so gefundenen Werthe zeigeu eine fiir die beab-

sichtigten Beobacbtungen ilberaus geniigende Uebereinstim- mung. Die grafste Abweicbuog vow Mittelwerthe betrlgt etwa desselben. Die Werthe stimmen ebeuso mil dem frliber gefundenen (S. 212).

iiberein, dem eiazigeii uuter den frfiheren, gegen dessen m = 7610

2 17

Richtigkeit keine erbeblicbe Grunde sprecben. Als Mittel- werth aus diesen vier Bestimmungeii ergiebt sich

M = 7620. Dieser Werth gilt fur den bifilar aufgehaiigteii Apparat

mit der kleineren Messingscheibe. Um aus deinselbeii den fur die unifilare Aufhangung gelteudeu zu findeii, siiid ei- iiige kleine Correctioiien an deinselbeii anzubriiigen. Es ist das Tr+$eitsmoment des rechtwiiikligen Einkleinmungs- stucks der Drathe und des cylindrischen Verbiiidungsstiicks desselben mit dem Apparate von demselben abzoziehen, und dafur das der kleiiien abgerundeteii Scliraubeuinutter hinzuzufligen. Das Eiuklemmuugsstuck w iegt 3,470 Grm., das cylindrische ZwischenstUck 3,799 Grin. uiid eridlicli die Schraubeninutter 1,420 Grin. Das Einkleu~ii~uugsstiick hat eioe Lange von Y,g, eine nreite von 2”‘,8 pariser Maafs, das Zwischenstlick 2 , 6 Durchmesser, und die Schrauben- mutter 3”‘,0 Durchmesser. Darnach siud die Tr~gheitsino- mente der 3 Theile, bezogen auf C e n h e t e r ,

2974, 0,18, 0,098 Die anzubringende Correction betrlgt also nur

- 2,83, sie fallt also vbllig in die Graiizc der mBgliclien Feliler von M. Der Werth M = 7620 kann deinnach aucli fur die unifilare Aufhangung als giiltig angeseheu werdeo.

Aus diesetn fur den Apparat init der kleiiieren Sclicibe geltenden Werth des Traglieitsuioments babe icli die fur Belastung durch die andereii Scheiben giiltigen durch Be- rechnung a m deren Radieu und Gewichten abgeleitet. Bei der Gelegenheit habe ich, utn die ZulYssigkeit einer solchen Berechnung zu prUfen, das Tragheitsmomeiit eines jeden einzeliien Stiicks des Apparats aus seineln Gewicht und sei- nen Dimensiouen berechnet. So habe ich fur das Trsg- beitsmoment des vollstSndigen Apparats niit dei. kleineren Messingscheibe den Werth

7543 gefundea. Derselbe stiinmt bis auf den IOOsten Thcil init

dem aua den Schwingungsbeobachtungen abgelciteten iiber- ein. Dafs er zu klein ausfsllt, sclieiirt vornehmlich darin

218

seinc~i Gruntl zu linben, dnfs die getheiltc Scheibe, dereii Traghcitsinoment { dcs gaiizen ausmacht , nicht boinogen ist; ihr Schwcrpuiikt liegt mehrere Liuicn vom Mittelpunkte entferiit. Bei den [ibrigcn Metallscheiben liefs sicb eine derartige Abweichuag iiicht bemerkeo. Ich glnubte daher, deren bcrecl~~ietc Tragheitsmomente als richtig vorausselzeii zu dlirfen. So faiid ich als Werth dcs Triigheitsmoinents des Apparats

ohne Scheibe . . . . . , . 5880, mit der grfifscren Mcssingscheibe 12390, mit der Weifsblcchschcibe . . 13120,

wiederuin bezogcii aiif Ceritiinetcr und die Dicbtigkeit des Wasscrs als Eiiiheitcii.

Rei tler Glassclieibe habe icli ihrer ungleichen Dicke wegen Anstand gcuoininen , diese Berechnuog auszufulireii, Ich habe deslialb bci Gelegcnheit dcr im folgenden 5. ieit- getheilten Bcobacbtuiigen, (lie init alleii Scheibeii angestcllt wurdeu, die Schwiiigungsdauer des Appnrats init dcr Glas- sclieibe mil der des init der kleinercn Messingscheibe he- lasteteii Apyarats verglicheii wid daraiis das Trlglieitsino- iiieiit des Appnrats

init der Glasscheibe gleich . . . 7200 gefuoden. Dafs diese Vergleicbung, trotz des Eintlusses der Luftreibung erlaubt ist, unterlicgt keiueni Zweifel, (la Tr~ghcitsinonieiit und Radius beider Scheiben iinbezu gleich siud.

Es sey lnir erlaubt, bier eiiie beilaufige Bemerkuiig [iber die Acuderung der Torsionsinomente ausgegluhter Dr#lite durch vergriifserte Belastung anzuschliefsen.

Fiihre ich in die oben angegebeiien Werthe der Tor- sionsluoineute der I)r%htc die iiumerischen Werthe der Bela- stungeii eiii, so erhalte ich fur die Torsiousmomeute bei tler ersteu bifilaren hufhinguug uud bei uubelasteteui Ap- parrate

u u v 1k T , = 243 zi t 2 ~ 2 3 3 4 , ~

219

dagegen bei Belastung durch die vier Gcwichte o u o u

t', =21,0 - ; t I l =19,7 j r ; 41

ebeuso bei der zweiten Aufbanguug uud bei nubelastetem Apparate

o u t, =t2 =24,3- 4 1

wid bci Belastung durch den Bleiriug

4 1 011

t', =tI, =20,5 --. Das Torsioiismoment nirnnit also init wachscntler Beln-

stung i n bedeutendem Grade ab, ohne d a k sicli die Ltiiige der Drabte durcli dieselbe inerklich andert. Es i s t also die Seite 204 ahgeleitete Relation

' 4 1 _ - I I - - 2 A z

iiiclit auf gcgliihte Kupferdriihte niiweudbar; cbcus-o weiiig (lie aiidere

welclie sich aus der schoo benutzteii Gleicliuiig n r * t = - 4 q+I

durclr Eiufuhrutig der Hypothese ergiebt, dali durclr die Belastung uod die dndurcli Iiervorgebrachte Deliuung keine Acuderuiig der Uichtigkeit des Drahts e iutre~e, clafs also

seg. r2 1 = (r +.A r)' ( I + d I ) = (r + d r ) 1 l 2

111. Beobachtungen zur Priifung der Theorie.

9. 4. Bei einer Priifuug der entwickelten Theorie durch die

Beobachtuug ist zunlchst zu uutersiicbeii, ob die Amplitu- deli der Scheibe in der That das Gesetz eiuer geometri- scbeu Reihe befolgeu oud in welcheo Gr$nzeu. Als Bei- spiel Iiierflir wahle ich meiue erste Beobachtung. Dieselbe w r d e mit der griifsereu Messingscheihe angestcllt. Diese

220

war 9 par. Linien tief in Brunnenwasser von 1 I ",O C. ein- getaucbt, das sich in einem Zinkgefilfs befand, dessen Ra- dius etwa 2 Zoll grbfser war als der der Schcibc. Fol- gende Tabelle enthYlt in der ersten Columne die beobach- tete Doppelataplitude, in der zweiten, dercn I3 ri ggs'schen Logarithmus , in der dritteu die Differenz der arif eioaiider folgenden Logarithmen.

1 84 " ,4 141 ,6 110 ,6 87 ,9 69 ,3 51 ,5 J2 ,9 33 ,a 2G ,6 20 ,8 16 ,2 12 ,8 10 ,2 8 ,1 6 14

2,2658 2,1511 2,0438 1,9460 1,8407 1,7364 1,6325 1,5289 1,4249 1,3181 1,2095 1,1072 1,0086 0,9099 0,8062

0,1147 0,1073 0,0998 0,1033 0,1043 0,1039 0,1035

0,1068

O,m3 0,1086 0,1001 0, I023

0,1040

0, I085

Die iu der letzten Columne enthalteoen Zahlen sollten nach der Theorie gleicb seyn. Sie siiid es nicbt vollstan- dig; uamentlirh zeigt die erste Differenz eine gro te Ab- weichong. Dieh rlihrt daher, dab beim Beginn der Beob- achtung die Bewegung noch uicbt so lange gedauert hatte, als nilthig war, uni die in deu Scblutformeln der Theorie gemachten Annlherungeu rechtfertigeu zu kbnnen. Ich liatte in der That nur drei oder vier Schwingungen vor- Libergehen lassen, a h ich die Beobachtung beganu. Uie folgenden Werthe des Decrements siud constanter, sie wei- chen vom Mittelwertbe hOchstens urn etwa den 25sten Theil desselben ab. Bessere Uebereinstimmung findet mau, wenn man je zwei entfernt Iiegende Beobachtuogeo benutzt, den Werth des Decreloeuts zu berechiien. So fiiide ich aus

22 1

der zweiteii und letzten, der dritten uud vorletzten Beob- whtung u. s. f. als W e r t h e des Decrements

0,1034; 0,1032; 0,1050; 0,1048 U. Y. W.

Zahlen, die um weniger als ihreii hundertsteii Theil von ihrem Mittelwerthe nbweicheii. Es ist demuach als erwie- sen anzusehen, d a b die Amplitudeii nach dem Gesetz einer geoinetrischen Progression abnehmen.

Hieran schliefst sich die Fragc, in welcher Wei se die Geschwiiidigkeit eiues Fliissigkeitstheilchens mit wachsender Eiitfcriiiiug von der Scheibe nbnimnit. Ich habe keine di- recte Versuche angestellt, die Hichtigkeit des theoretisch gefuiideneii Gesetzes naclizuweisen. Ich babe mich nur iiberzeugt, dals die Bewegung in aufserordentlich geringcr Entfernung von der Scheibe als verschwindend klein gc- gen die der Scheibe zu betracliten ist. Der socbeii uritge- theilten Beobachtung liefs ich in derselbeii Weise cine an- dere folgen, bei der der Rand der Scheibe nur einen Zoll von dcr W a n d des Gefafses entfcrnt war. Ich fand aus je zwci entferiit liegeudeii Beobnchtungen die Wer the des Decrcinents, ebeiifalls iii B r i g g s 'srhen Logarithinen,

0,1031; 0,1010; 0,1038; 0,1036. Bracbte ich darauf die Scheibe wieder in die Mitte des Ge- fifses, so fand ich auf dieselbe Wcise die Wer the :

0,1040; 0,1042; 0,1040; 0,1044. Wghrend der Beobachtung war die Teinperatur des ange- wandten Wassers yon l l O , O C. auf 11",5 C. gestiegen. Aus allen drei Beobachtuiigen erhalte ich als mittlere Wer the aus obigeii Zalilcn

0,1041 0,1036 0,1041.

Der Einflufs der Gefiifswand auf die Bewegung der Scheibe ist also nicht zu bemerken, d. h. die Bewegung dcr Scheibe pflanzt sich nicht einen Zoll weit in die Flus sigkeit hinein fort. Man kanii sich, wie ich bereits erwahnt babe, leicht iibeneugen, dafs sie bereits in sehr vie1 gerin- gcrer Entfernung verschwindet, indem man namlich die

222

Scheibe dicht unter die Oberflliche briugt und die Ober- fliiche :nit leichteri Kihpern bestreut.

Bequelner IaCst sich die Frage nach dcr gesiichten Entfer- nung, bis zu welcher sich die Bewegung der Scheibe merk- lich fortpflauzt, entscheiden, indem man die Scheibe in ver- schiedeneu Tiefeu unler der Oberfliiche beobacbtet. Diese Versuche babe ich zweimd angestellt, einmal mil Brunnen- wasser, das drei Tage a n der Luft gestanden batte, einmal wit frisch geschbpftem Brunnenwasser. Die Scbeibe hiug an einem andern Draht, a h bei den vorher angegebenen Beobachtungen; die Zahleii sind also nicht init den frliheren vergleichbar.

Die Teinperatur des abgestaiiderien Wassers war 17",4 C. Icli f a d , iiidein ich in der angedeuteten Weise das Mittcl ails deu beobachteten Wertlien zog, folgeode Werthe des logarithmischen Decrements fiir Br iggs'sche Logarithmen. Beriihrte die Scheibe niir mil der untercn Fliiche die Ober- llaclie dcs Wasaers, so ergab sich

0,0355; Inuclite ich sic so tief ciii, als oi)thig war, dars clas Wnsser sicli uber ilir vercinigtc, also bis zur Tiefe der capillnren I7rhehungeii aiii l\irude eines Gefafses, so faiid ich fiir dic- selbe GriiLe

0,74 I ; bei 3"' (par. Mads) Tiefe beobachtete ich

0,l u40, bei 6"' Tiefe

0,104s wid eiidlich bei 12"' Tiefc

0,I041. Ebeiiso faiid ich bei dein friscberi Brunneowasser, dcsscii

Teinperatur watireiid des Versuchs vou 12,5 auf 13",2 C. stieg, bei Beriihrung der Oberfllche :nil der unteren Seite

0,0539, beim Eiiitauclieu bis zur Tiefe der capillaren HOhe

0,09 17, bei 12" Tide

0,1106

22 3

Aus diesen Ikobachtungen geht hervor, tlafs i n hiiclistens 3 Liuien Entferniing VOII der Scheibe die Geschwiudigkeit der Flussigkeit weiiiger als deli Iiunder~sten Theil von der der Scheibe betragt. Diefs ist in aufserordeutlicher Ueber- einstilnlnuog niit deiii bereclineteii W e r t h e clieser Entfer- ~iuug, deu mati aus der theoretiech abgeleiteten Foriiiel un- ter Beuatziing des beob;ichteten Wcrlhs von

Zugleich folgt i11ls deli Beobachlungen als zweites be- uierkciiswerthes Kesultat, dafs die capillarc Erhebring des Wassers aiii Raiide der halb eiugetauchten Scheibe keineu Einflds auf die Beweguog der Flussigkeit wie der Scheibe ausubt. D e n n sollen die Foruicln des 8. 1 auf dieses Experi- iiient angewaudt werdeu, so is1 iu dcuselben R1 diirch $ R' zu ersctzen. Mit Vernnrhlassiguag des Quadrats des loga- rithiiiischen Decrements gcgcii dieses selber, iiiidet inan also diescs im Falle der halb eingetiiuclitcn Scheibe halb so grofs \vie i iu Falle der vollsthdig eiiigetanchteu , vorausgesetzt c1af.s die Ccscl~dfeubeit der Obcrlliiclie deu Vorgang niclit alterir t. Verdopple icli n u n die fur die halb eingetauchte Sclreibc: gefurideiicn I~ccree ieu te

so Iiutle icli die Zalrlen 0,1110 und 0,1056,

die von (leu fur die p i i z eiugc!auchte Scheibe beobachteteu

nicht vie1 verschieden siiid. Dassclbe Resultat haltc ein iuit der kleiiiereii Wessingscheibe augestellter Versuch; ich faud fur die halh eingetauchte Scheibe bei einer Tempera- tur des Wassers von 1YU,0 C.

0,02028 = . 0,04W6 uud fur die gaiiz eiiigetauclite

erhslt.

0,0535 U l l d 0,0539,

o , i u i unti o,iin6

0,0412. Kann nian diefs Resultat als cine Bcstgtigung der Tbcorie

anseheu, so gilt dasselbe von der Relation zwischen der Vrr- griifserung der Schwingiingsdauer durch die Reib i~ng tler Flussigtcit bei halb und ganz eingetaucbter Scheibe. Nncli der Theorit. sol1 dieselbe iin letzteren Fallc nngenlhert (lop-

224

pelt so grols seyn wie im ersteren. Diefs bestYtigeii fol- geode zwei Beobachtangen. Der Apparat hatte mit der gri)Cseren Scheibe in dcr Luft eioe Schwingungsdauer von

l2“,371; wurde die Scheibe iu Wasser von 17”,75 C. halb einge- taucht, so betrug die Schwningungszeit

12‘323, sie wurde also durch die Reibung an der unteren F l k h e vermebrt urn

O”,J49 = +.0”,898; tauchle ic l die Scheibc ganz, etwa 1” tief, ein, so fand ich

I3‘,263, also eine Vcrinehruug voo

0”,889. Ebeoso fand ich die Schwiogungsdauer des Apparals init der kleiueren Messingscheibe in der Luft

und , war die Scheibe zur Hlilfte iu Wasser von 19”,0 C. eiogetaucht,

9”,86O, und bei vdliger Eintauchung bis zur Tiefe vou etwa 1”

1 O”,OO. Die Vennehruugen betrugen also

O‘J27 = 4 . 0”,234 und 0”,265. Nach der Theorie soil ferner dieae Zunahme der Scbwnin-

gungsdauer in Folge der Reibung der FlUssigkeit dem Un- terschiede der logaritbmischen Decremente bei Schwingun- gen in der Fliissigkeit und in der Luft proportional seyn; oder genauer, es sol1 nach der im 5. 1. gebraucbteu Be- zeichnung die Gleichung

9”, 733,

erfiillt seyn.

setzes angestellten Beobachlungen, Folgeode Tabelle enthalt die zur Prtifung diesee Ge-

225

Z % i ? % Z 8 ~ C - a w a a

t t t l t l t l t t t t t s s S s g % q g & g g , ~ - 9 %

0 - 0 - 0 - s o o o o o o o o o

s ~ % ~ ~ m o , , , c o * o a w m - c 5 w d w c 1 m 8 0 0 0 0 0 0 0 m c 9 c J N e ~ 0- 0- 0- 0- 0- 0- 0- 0- 0- 0- 0- 0- 0-

226

Iu dieaer Tabelle enthalt die ersie Columne die Be- zeichnung der angewandten FIUssigkeit, die zweite die Tem- peratur derselben in Centesimalgraden, die dritte die Schwin- gungsdauer in der FIUssigkeit, die vierte dieselbe in der Luft, die flinfte das logarithmiache Dercrement der Ampli- tuden in der Fltlssigkeit, in Brigge’schen Logarithmen, die sechste dasselbe verkleinert um das Decrement bei Schwin- gungen in der Luft ebenfalls iu Brigg’schen Logarithmen, die siebente ist aus der dritten und vierten berechnet, die achte aus der sechsteu und auf nattirliche Logarithmen reducirt, die neunte euthllt die Differenz der beiden letzten.

Die Uebereinstimlnuug der beiden vorletzten Columnen ist so grot, wie man erwarten darf, da der Werth von T mit Ausnahme der beiden ersten Beobachtungen nur durch eine einzige Messung von einigen Schwingtingsdauern be- stimmt wordea ist.

Zu allen in vorstebender Tabelle enthaltenen Beobach- tungen diente die kleinere Messingscheibe. Ich werde wei- ter unten noch eine Versuchsreihe iiber denselben Gegen- genstand angebeu, die mit allen Scheiben ausgeflihrt wurde.

Ich wende mich vorher zu einer andern Prlifung der Theorie, dereu Zweck namentlich der ist, zu entscheiden, ob die von mir angewandten Scheiben grofs genug sind, urn die bei Herleitung der Theorie gemachten Annlherun- gen rechtfertigen zu kllnnen, ich meine, zur Priifung des Gesetzes, nach welchem das logarithmische Decrement voin Radius der Scheibe abhlngen 6011.

Die Resultate der eraten Reihe von Beobachtungen, welche zu der genannten Priifung der Tbeorie dienen soll- ten, Bind in folgender Tabelle zueammengestellt.

Tcmperrtnr.

15 ,75

6 L L 16 ,1

1 ) mit dem anfanglichen qblscren Radiur. 2 ) d. h. nor mit den kleiocn Eioklcmmun(ucheibcn.

Logar. Dccr.

0,0987 0,0407 0,0104 0,00120 0,004 I2

227

Die erste Columne enthllt die Ordnungszahlen der Beob- achtungen, die zweite die Angabe der angewandten Scheibe, die dritte die Ternperatur des zum Versuche benutzten Brun- nenwassers, die vierte das logarithmische Decrement in Br i ggs'schen Logarithmen. Aufserdem wurde bei Anwen- dung der grafsereu Scheibe beobacbtet die Schwingungs- dauer in der Luft

T = 10",54 und das logarithmische Decrement der Schwingungen der- selben in der Luft

ebenfalls in Br ig g s ' schen Logarithmen. Die Ausfiihrung der gleicheu Beobachtungen fur die kleiuere Scheibe und den Apparat ohne Scheibe wurde leider dadurch verhindert, dafs der benutzte Draht verbogen und dadurch zur fernereii Benutzung untauglich wurde.

Ich habe daher diese Beobachtungeu unter der Voraus- setzung in die Rechnuug eingefiihrt, dafs das logarithmische Decrement der Amplitudeo in der Luft fur alle 3 Anord- nungen des Apparats dasselbe sey, und d a t daa Torsions- moment des Drahts durch die Belastung durch die Scheibe nicht erheblich geiindert werde. Ich habe micb daher auch mit der ersten angenaherten Form des Gesetzes begniigt, und zwar demselben die Gestalt

0,0020,

gegeben. Als Werth dieser Constanten finde ich aus deu angefuhrten Beobachtuugen, nachdem dieselben durch lineare Interpolation auf 15",9 C. reducirt sind, fur natiirliche Lo- garithmen:

grbhere Messingscheibe : 0,0656 kleinere Messingscheibe : 0,0687 Apparat ohne Scheibe: 0,0847

Die grofse Abweichung fiir den Apparat ohne Scheibe kann nicht auffallen, da die Einklemmungsscheiben einen

15"

228

sebr kleineu Radius haben. Es sind daher die Voraussez- zungen der Tbeorie nicht erfUllt, uod aulserdem ist die Reibang des Wassers an dem zum Theil mit eingetauchteii Stiel des Apparats nicht gegen die an dieser kleinen Scheibe zu vernachllssigen. Will ich die Reibung am Stiel mit iu Recbnuiig ziehen, so babe ich das Gesetz in der Form

in die Recbnung einzufiibren, wo E , und M, das logarith- miscbe Decrement und das Trllgheitsmoment des Apparats obne Scheibe, R , und 6, Radius und Dicke der Einklem- niungsscheiben bezeiclinen. So erhalte icb als Wertb der Constanten aus der Beobachtung init der

gr6fseren Scbeibe: 0,0656 kleiueren Scbeibe: 0,0669.

Die Uebereinstimmung ist also jetzt weit gr6fser als bei der ersten ungeiiaiieren Berecbaung.

Eineu Whulichcn Grad ron Uebereinstimmung zeigt eiiie zweite Reibe von Beobachtungen, die ebenfalls mit den beiden Messingscheiben in Brunnenwasser, aber mit eineni aiidern Aofb;?oguogsdrahte angestellt wurden. Die Tempe- ratur des Wassers war 11",75 C. Der Radius der klei- neren Scheibe ist der ursprfingliche grofsere. Die angege- beiien logarithmischen Decremente bezieben sich auf B r igga- sche Logarithmen.

I Logaritlrm. Decr. I Scbwin-

Klcinere Scheibe 0,0420 0,0013 9",72 Gr6liere Scheibe 0,1057 la ,s Apparrt obne Sclieibc I 0,0026 1 1 8 $3

Nehme ich wieder an, dafs das logarithmiache Decrement der Scbwingungen in der Luft fur alle drei Versucbe das- selbe ist, und berechne die Venruche uach der zuletzt an- gegebeaen Formel, so finde ich a l ~ Werthe der Constanten aus der Beobacbtang mit der

229

grtifseren Scheibe: 0,0713 kleinereu Scheibe: 0,0723.

Nehme ich dagegen auf die Aenderung des Torsioirsmomeuts mit der Belastung Rticksicht, schreibe also das Gesetz in der slrengeren Form

c M c s M a yT, - -iz = const.,

( R + $ ) ' - ( R 3 +$) wo T, = 8",53 ist, so finde ich fur die Coilstante die Werthe:

grafsere Scheibe: 0,214 kleiuere Scheibe: 0,217,

also eine Uebereinstimmung von derselben Ordiiung. Die aus den Beobachtungen mit der kleineren Scheibe berechneten Wer the der Constanten sind iminer um etwa den 70ste11 Theil des ganzen Werths grijfser.

Eudlich babe ich noch eine Reihe von Beobacbtungen mit alleu Scheiben angestellt, theils in der Absicht, die zu- letzt erarterteii Gesetze durch schlrfere Beobaclitung und strengere Rechnung zu prtifen, theils zu dein Zwecke, die bisher stillschweigend gemachte Voranssctzung, dafs das Wasser fest an der Oberflache der Scheibeu hafte, dafs also die Constaute E der lufseren Reibung unendlich grofs sey, fur die augewandten Scheiben als richtig nachzuweisen.

Bei den Versuchen vergr6fserte ich, um eine llngere Reihe von Beobachtungen jedes logaritbmischeu Decrements und jeder Schwinguogsdauer zu erhalten, das Trligheitsmo- ment des Apparats urn das des fruher heschriebcnen Blei- rings. Ich legte denselben auf die getheilte Scheibe, auf der seine richtige Lage durch feiiie Striche mnrkirt wurde. Ich babe denselben auch bei manchen anderu Beobachluu- gen, bei denen ich eine ltingere Dauer der Schwingun- gen wiinchte, beautzt. Er ist deshalb in der beigelegten Zeichnung des Apparats (Fig. 2, m, Taf. 111) iu dieser Lage dargestellt. Ich beobachtete die Schwiogungcn der Schei. beu in der Luft und in destillirtem Wasser, und zwar be-

230

stimmte ich logarithmisches Decrement und Scbwingungs- dauer in der Luft gleichzeitig durch Beobachtungen in Inter- vallen von 5Minuten, ferner nach einander das logarithmische Decrement im Wasser durch Beobacbtung jeder Schwinguog und die Schwingungsdauer im Wasser durch so hrulige Beobacbtung, als das Zahlen der Uhrschliige erlaubte. Ich wiederholte in der Regel diese Beobachtung so lange, bis die Doppelamplitude des Apparats von der anfiinglicben von 120" auf 20° sich erniedrigt hatte. Aua jeder Reibe von Beobachtungen nurde die gesuchte Grotse nach der Methode der kleinsten Quadrate berechnet. In folgender Tabelle habe ich bei jeder Grclfse die Anzahl der Beob- acbtungen angegeben, aus der dieselbe abgeleitet ist. Da- bei bedeutet *), dda die Beobachtungen zwei verscbiedenen Reihen angehoren; **), dafs 3 Reihen zur Berechnung dien- ten. Die aufgeftibrten logarithmischen Decremente sind auf B r i g gs'sche Logarithmen bezogen. Der Durchmesser der kleineren Scbeibe ist bei diesen Beobacbtungen der kleinere 49",57 par.

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233

dem Apparat ohne Scheibe 0,0005517 der kleineren Messingschcibe 0,0004379 der Glasscheibe 0,0004378 der grbfseren Messingscheibe 0,0004163 der Weifsblechscheibe 0,0003747.

Diese Zablen zeigen also statt der gewiinschten Uebereiu- stimmung die regelmafsigste Abnahme mit wachsendem Ra- dius der Scheibe.

Berecbne ich aber die Constante nach der strengen Form des Gesetzes

To: c-co 5 € - c o const. = p + 2 R S B [T + (y)' +

1 +a (5+. . . . . 9

wo jetzt c und e, die natiirlichen Logarithmeu, also das 2,3025 fache der angegebcnen logarithmischeli Decremente, bezeichnen, 80 erhalte ich als Werthe der Constanten atis der Beobachtung an

dem Apparat ohne Scheibe 0,0004047 der kleineren Messingscheibe 0,0003257 der Glasscheibe 0,0003269 der grbfseren Messingschcibe 0,0003190 der Weifsblechscheibe 0,0003166.

Berticksichtige ich noch die magliche Aenderung des Tor- sionsmoments durch die Belastung, schreibe also das Gesetz in der Form

M [ y +(?)I + $ ( 7 ) 3

+ T(y)* 9 +. .. .] ( R S + ~ R ~ ) VT; const. =

so erhalte ick ale Werthe der Constanten: Apparat ohne Scheibe 0,09 I94 Kleinere Messingscheibe 0,07388 Glasscbeibe 0,07421 Grabere Messingscheibe 0,07254 Weifsblechscheibe 0,07 159.

234

Diese, wie die vorher angegebeuen Zahlen zeigeu den- selben Grad von Uebereinstimmung, bis auf etwa den 30sten Theil des ganzen Werthes, wenn man von der Beobach- tung am Apparat ohne Scheibe absieht. Die grobe Ab- weichung dieser Beobachtung I a t t vermutheo, dab bei den kleineren Scheiben die Reibung an der cylindrischen Axe des Apparats merklichen Einflufs haben kbnnte. Ich babe daher die Beobachtungen auch nach den Formeln

+ 4 + 2 (3). + . . . . ] 4 z

in denen c s und (R: t 2 R: S,) sich auf den Apparat ohne Scheibe beziehen, in denen also

e,=0,00166.2,3023,. . , und R: + 2Ri6, = 39,4 in Centimetern ist, berechnet uod als Wertbe der Con- stanten erhalten:

Kleinere Messingscheibe 0,0003258 ; 0,07390 Glasscheibe 0,0003213; 0,07362 Grilhere Messiogscheibe 0,0003175; 0,07220 Weifsblechscbei be QOOO3 I80 ; 407 191.

Alle angegebenen Werthe der nach der Theorie con- stanten Grbbe sind also nicht vallig constant, sondern es zeigt sich deutlich mit wachsendem Halbmesser der Scheibe eine geringe Abnahme des Werthes. Es ist demnach wohl nicht zu bezweifeln, d a t , wenigstens bei den kleineren Scheiben, die bei der Herleitung der Theorie gemachten Voraussetzungen iiicht so weit gerecbtfertigt sind, dab der begaugeue Fehler von der Ordnung der m6glichen Beob- acbtungsfehler wlre. Diefs ist urn so mehr zu bedauern, da ich, mi& stutzend auf die Resultate der friiheren rohe- ren Beobachtungen, fast alle Beslimruungen der Reibungs-

235

constanteu mit der bleineren Messiugscheibe ausgefuhrt habe. Die von mir gefundenen Zahlen sind daher ein nenig zu grofs. Diefs ist in Uebereinstimmung lnit dem Einflufs der bei der theoretischen Behandlung des Problems eingefuhr- tcn Anniiherungen. Uort habe ich einen Theil der Reibung vernachllssigt, den ich lnit beobachte. Die Berechnung des Experiments nach der angenaherten Fonnel giebt also zu grofse Werthe der Reibuugsconstaoten.

Indefs kann der Fehler meiner Zahlen nicht so bedeu- tend seyn, dars sich dadurch die Abweichung von den Re- sultaten andrer Beobachtungen erklareii liebe. Deuu nach den oben angegebenen Zahlen sind bei den beideu gril- fseren Scheiben die Voraussetzuogen der Theorie bis zur Grlnze der Genauigkeit der Beobachtuageo erfiillt. Die durch diese beiden Scheiben gefundenen Werthe der con- stanten Grilfsen sind also a h richtig anzusehen; die aus den init den kleineren Scheiben angestellten Beobachtungen abgeleiteten Werthe dieser Constailten kbnneu deinnach hihhstens eineii Febler von j, des ganzen Werths enthal- ten. Diese Constante ist der Quadratwunel aus dem Rei- bungscoefticienten proportional. Der aus den Versucheu mit den kleineren Scheiben berechnete Werth des Reibungs- coefficienten ist also inindestens bis auf den 15. Theil seines ganzen Werths verblirgt.

Es folgt am den Beobachtungen ferner das bereits er- wahnte Resultat, dafs die Reibung des Wassers an der Scheibe in der That als unendlich grofs anzusehen ist. Denn die Beobachtuugen an der Glasscheibe zeigen eine vollsttin- dige Uebereinstimmung lnit denen an der kleineren Messing- scheibe; und ebenso stimmen die an den beiden grbfseren Scheiben gefundenen Resultate so gut wie vollkommen fiberein. Die Reibung des Wassers an der gl3sernen, den messingnen und der Zinn-Oberflsche ist also dieselbe. Nrin ist aus P o i s e u i l l e s Ve!suchen ') bekannt, dafs die Rei- bung des Wassers am Glase als unendlich betrachtet wer- den darf. Dasselbe ist also von den Oberflgchen ineiuer

1) H e l n i h o l t r und v. P i o t r o w s k i a. a. 0. S. 56.

236 Messing- und Weifsblecbacheiben zu behaupten. FUr Mes- sing ist dasselbe Resultat bereits durch Jacobsou’e Ver- suche I ) nachgewiesea.

Ich benutzte ferner die angefahrten Beobachtuugen zu einer Controle der zwischen den logarithmiechen Uecre- menten und den Schwingungsdauern statffindendeu Relation, Gleichung (24), Q. I, F - f o b € - t o 9 + - + ( ( T)s + 7 (?)+ + . . . . I

wo unter den a und I , nieder die natiirlicben Logarithmen zu verstehen sind. Ich erhalte ale Werth der

linkeo rcchten Seite der Gleichung

beim Apparat ohne Scheibe . . O,OOO8 0,0013 bei der kleineren Messingscheibe 0,0147 0,0123 1) JJ Glasecheibe . . . . . 0,0186 0,0235 II grbfseren Messingscheibe 0,0451 0,0417 PI m Weitblechscheibe . . 0,1473 0,1439 Diese Zahlen zeigen, wenn auch keine befriedigende

Uebereiustimmung, doch ein lholiches Gesetz ; und mehr ist wegen der Kleiuheit der Unterschiede der Schwiogungs- zeiten uiid der Verbderlichkeit derselben nicht zu erwarten.

Ich habe endlich diese Beobachtungen, soweit sie in der Luft angestellt sind, benutzt, uin fIir die Keibung der Luft tlasselbe Gesetz, wie fur troyfbare FlOssigkeiteu nachzu- weisen. Durch Reduction der direct beobachteten Zahlen verrnbge h e a r e r Iuterpolatiou auf lS0,O C. Lufttemperatur erhalte ich fur den in der Luft schwingeiiden Apparat fol- geode Werthe der Schwinguugszeit und des logarithmischen Decrements.

Ohne Scheibe . . . . 7”,5370 0,000608 Kleinere Messingscheibe 8”,0276 0,000846 Glasscheibe . . . . 7”,9084 0,000715 Grbfsere Messiugecheibe 9”,2304 0,000830 Weifsblechscheibe . . 9”,4258 0,001679.

1 ) Reichert’s UOJ dir Boir’ Arcliiv 1860.

237

Die logarithmischen Decremente sind in Briggs’schen Lo- garithmen angegeben.

Mit Vernachl%ssigung der Glieder, welchc von dew Pro- druct der Widerstandsconstante cc des Drahts in Potenzen des Reibungscoefficienten und der Dichtigkeit der Luft ab- hangen, bestchen die logarithmischen Decremeute aus drei Theilen. Der crste riihrt allein vom Widerstande des Drah- tes ber, der zweite von der Reibnug der Luft an der ge- theilten Scheibe mil dem auf ihr liegenden Bleiring und der dritte von der Reibung an der andern ungetheilten Scheibe. Die Reibung an den librigen Theilen des Apparats kann vernncblassigt werdeu. Bei Fortlassung der Glieder zweiter Ordnung hat uach den fruheren Entwicklungen das loga- rithmische Decrement die Form :

worin R, und do Radius und Dicke der getheilten Scheibe und R , , R,, 8 , den iuneren und aufscren Radius und die Dicke des Bleiriugs bezeichnen; 77, uud P o sind die iu- nere Reibungsconstaute und die Dichtigkeit der atmosphari- schen Luft, alle iibrigeii Zeichen haben die bisherigen Be- deutungeu. Die nulnerischen Werthe der hier vorkommen- den Graben sind mit Ausnahme der Hahe 6, des Bleirings, bereits oben angegebeu. Diese Hahe betragt 6, = 2”,87 par. M. Diese Forlnel wende ich auf die oben angegebenen Beobachtungen an und berechne aus denselben die allein unbekannten constanteu Coefficienten a uud V v o e o nach der Methode der kleinsten Quadrate. Dabei nehme ich alle Grgfsen aufser 6 , als richtig beobachtet an, weil die Bestimmung von b o , als der kleiusten Grafse, die unsicberste von alleu ist.

Ich finde so als Werthe der beiden gesuchten GrOfsen

-

__ a = 0,967 V q , P o = 0,0006836

bezogen auf Ceutimeter und Secunden als Einheiten. Setze ich diese Zahlcn in die obige theoretische Formel for ein, so erhalte ich folgende berechnete Werthe dieser Grafse;

238

daneben stelle icb die beobachteteii und die Differenz beider.

Apparat ohne Scheibe . 0,0006601 ; 0,000608; +0,0000521 Kleinere Messingscheibe 0,0007164; 0,000866 ; - 0,0001296 Glasscheibe . . . . 0,0007596; 0,000715; +0,0000446 Gr6fsere Messingscbeibe 0,0008596; 0,000830; +0,0000296 Weifsblecbscbeibe . . 0,0016816; 0,001679; +0,0000026

Das ist eine Uebereinstimmndg, wie sie bei 80 kleiuen be- obachteten Gr6fsen nicht besser gewiinscbt werden kann.

Die berecbneten logaritbrniscben Decremente siod in folgender Weise aus den drei Theilen, 1 ) dem von dern Widerstande des Drahts, 2) dew von der Reibung der Luft an der getheilten, 3) an der ungetheihen Scheibe berrtih- renden Tbeile zusarnmengesetzt.

1. 2. 3. Apparat ohne Scheibe 0,0001227; 0,0005325; 0,0000049 Kleinere Messiugscbeibe 0,0001 152; 0,0004553; 0,0001159 Glasscheibe . . . . 0,0001169; 0,0004961; 0,0001466 Grbfsere Messingscheibe 0,0001001; 0,0003946; 0,0003646 Weifshlecbscheibe . . 0,0000983; 0,0003822; 0,0012011 Die Reibung der Luft hat also auf die Abnahme der Am- plituden des Apparats einen weit gr6fseren Einflufs als der Widerstand, den der Aufhiinguugsdraht der Bewegung bietet. Hierin lie$ der Grund fur die fruher (S. 211) eingefuhrte Reduction der Schwingungsdauer auf den luhleeren Rauni.

( S c h l u f s i m n 5 c h r t c n Heft . )

berechnet; beobrchtet ; Differens.