I 06 1 0 5 4495

A. N. 174.301. (609) [ 1 9 0 6 VF] 1906 Oktober 13: A6 -3' 58!'5, d + I ' 2 ' 38!'0.

174.301. (612) [1906 V N ] 1906 Oktober 1 1 : Beob- achtungszeit 1 3 ~ 1 7 ~ 1 7 ~ .

a) 174.301. ( 6 1 2 ) [ 1 9 0 6 VN] 1906 November 1 1 : A6 +0'47!'7, d +3O 32' 2512 .

)) 174.301. ( 6 1 4 ) [1906 VQ] 1906 Oktober 14: Ad +7'26!'9, d +14~20'13! '2 .

'1 174.303. 1906 WH 1906 Nov. 1 5 : Acr f 1 ~ 4 2 P 0 2 ,

cc 3h 59" 58533.

A. N. 174.303. (619) [1906 WC] 1 9 0 6 Oktober 28: J c z - 1 ~ 4 3 5 7 1 , d 6 -6'12!'4, cc 3h26m41S07, 6 + 4 O 34' 58!'0.

)) 180.235. * 1 2 7 : c( 2 0 ~ 3 1 ~ 4 6 E o 1 und daher 1 8 0 . 2 2 5 . (665) I1908 DK] 1908 Oktober 2 2 : cr

)) 184.327. (678) "909 FS] 1 9 0 9 Mai 7 : A6 -1'12!'3, d app. +14O24'59!'6.

)) 184.341. Q 1 6 0 : a 2 1 ~ 9 ~ ~ 3 9 5 9 6 und daher )) 184.332. (686) "909 HF] 1909 Oktober 20: a

ZOh3Zm 25595.

2 1 ~ 1 ~ ~ 5 5 7 8 .

J. v. Hepperger. __ - ~~- Wien, 1 9 I I Februar 2 5 .

Uber die Unmoglichkeit dreier Losungen bei einer theoretisch vollstandigen Bestimmung einer parabolischen Bahn. Von R. VogeZ.

Die Bestimmung einer Bahn im allgemeinen ohne eine bestimmte Voraussetzung iiber die Exzentrizitat IaOt, wie be- kannt, zwei Losungen zu (die dritte Losung entspricht der Erdbahn). Der spezielle Fall der Bestimmung einer para- bolischen Bahn gabe aber nach Oppolzer bisweilen drei Losungen. Die Moglichkeit dieses Eintretens dreier Losungen ware aber mit anderen Tatsachen unvereinbar. Denn stellen wir uns vor, daO wir eine unbekannte GroOe suchen, die einer bestimmten Bedingung geniigt, und daO wir fur sie mehrere gleichmogliche Losungen erhalten. Jetzt wollen wir von derselben Unbekannten verlangen, daO sie noch einer weiteren neuen Bedingung geniigen solle. Wenn sich diese Bedingung mit der friiheren vertragt und sie nicht beschrankt, so bleibt die Zahl der Losungen die friihere. Wenn sie aber die Zahl der fruheren Moglichkeiten beschrankt, so bekommen wir weniger Losungen. Es ist aber offenbar unmoglich, daO die neu hinzugekommene Bedingung die Anzahl der Losungen vergroOern sollte, denn die alte Bedingung behalt doch ihre Kraft.

Wenn wir also aus drei Beobachtungen eine Bahn ohne bestimmte Voraussetzung iiber die Exzentrizitat berechnen und dabei zwei Losungen erhalten, so konnen wir bei der Berechnung einer para bolischen Bahn im giinstigsten Falle nur zwei und in keinem Falle drei Losungen erhalten (von einer der Erdbahn entsprechenden Losung kann bei einer Parabel selbstverstandlich keine Rede sein).

Die Behauptung Oppolzers, daO die Berechnung einer Parabel nach der Olbersschen Methode drei Losungen geben kann, ist ganz richtig und scheint dem soeben gesagten zu widersprechen. Dieser scheinbare Wderspruch muO also auf- geklart werden. Zu dem Zwecke will ich hier folgendes beweisen :

I ) Eine theoretisch vollstandige Bestimmung einer para- bolischen Bahn la& nur z w e i Losungen zu (von denen eine Losung eine positive, die andere, wie es scheint, gewohnlich eine negative Distanz ergibt).

2) Die Olberssche (richtiger Lambertsche) Methode laOt deswegen drei Losungen zu, weil sie die Aufgabe theoretisch unvollstandig behandelt.

3) Diese theoretische Unvollstandigkeit ist auch die Ursache, warum die Olberssche Methode nicht sechs KO- ordinaten, sondern eigentlich nur fiinf derselben benutzt,

namlich beide Koordinaten der auneren Beobachtungen und von der mittleren nur den Positionswinkel des Kometen am mittleren Sonnenort.

4 ) Wenn die Losung vollstandig sein sollte, so miiOte man unvermeidlich alle sechs Koordinaten, d. h. drei volle Beobachtungen benutzen.

~

I n den Formeln werde ich mich folgender Bezeich- nungen bedienen :

t t, f. die Beobachtungsmomente, n f i &fi1 &fi2 die beob. Langen und Breiten des Kometen, n /I1 if2 die wirklichen Distanzen des Kometen, e el e 2 R R1 R., die Entfernungen der Sonne, L L1 L? x y z

die kurtierten Distanzen des Kometen,

die Langen der Sonne, die heliozentr. linear. Koordinaten d. Kometen.

6 = R ( t z - t t , ) , 61 = K ( t p - t ) , 6, = R ( t 1 - t )

wo R die GauOsche Konstante ist. Vom Beobachtungsort werde ich annehmen, daO er in der Ebene der Ekliptik liegt (locus fictus).

Um das oben gesagte zu beweisen, mu6 ich erst an einige ganz elementare Tatsachen erinnern, die trotz ihres elementaren Charakters oder vielleicht eben deswegen leicht auOer Acht gelassen werden.

I. Um eine Bahn zu bestimmen, miissen, wie bekannt, die

Distanzen des Himmelskorpers in den drei Beobachtungen berechnet werden. Diese Distanzen miissen aber in jedem Falle den folgenden allgemeinen Bedingungen geniigen : I ) miissen die drei beobachteten Bahnpunkte in einer und derselben heliozentrischen Ebene liegen, 2) mussen die Ver- haltnisse zweier Sektorenflachen zur dritten den Zwischen- zeiten proportional sein. Wenn wir aber die Bahn im voraus fur eine Parabel halten, so haben wir noch eine Bedingung, die verschieden, z. B. mittels der Eulerschen Gleichung, aus- gedriickt werden kann. Die ersten zwei Bedingungen mussen offenbar in jedem Falle erfiillt werden, die letzte nur im speziellen Falle einer Parabel.

Nehmen wir die erste Bedingung vor.

I 0 7 4495 I08

Es mussen also die heliozentrischen Koordinaten der drei Punkte der Gleichung

geniigen.

Weisen geschrieben werden, namlich

x(Ylz2-Y221) - ~ l ( Y ~ , - Y 2 Z ) + ~ ? ( Y Z I - Y 1 Z ) = 0 ( 1 )

Diese einzige Gleichung kann aber auf drei verschiedene

x (Yl z2 - Yn 21) - XI (Y 22 - Y2 4 + x? (Y 21 - YI 4 = 0 J ' ( 21x2 - z2.q) -y1 (2x2 - 22.) +y, (2x1 - Z ' X ) = 0 2 (xlyz - x,y1) - 91 (x3'2 -x,y) + 22 (xyl -x,y) = 0

und wenn wir die in den Klammern stehenden Ausdrucke durch die ihnen proportionalen doppelten Dreiecksflachen im Raume n nl np ersetzen, so bekommen wir

(n/nl) .x - x1 .+ ( n 2 / n l ) x4 = 0 ( n h ) y - y1 + (%/nl)Y, = 0 ( 2 )

(.InI) z - z1 + (n2 /n l ) z2 = o . Ea ist also die einzige Bedingung ( I ) durch Einfuhrung

der Unbekannten n/nl und n2/nl durch das System von drei Gleichungen ( 2 ) ersetzt.

Die GroDen n/nl und n2/n1 sind sehr bequem, um die zweite Bedingung einzufuhren, da sie durch die Zwischen-

zeiten ausgedriickt werden konnen, dann haben wir die drei Gleichungen (2 ) zur Bestimmung der drei Distanzen, d. h. so vie1 Gleichungen, wie eben notig und geniigend sind.

Eliminieren wir n/nl und a2/nl aus dem System (z), so bekommen wir offenbar die Bedingung ( I ) . Daraus folgt, daO, welche Ausdriicke wir auch fur n/nl und a2/n1 in die Gleichungen ( 2 ) einsetzen mogen (wir konnten dafiir auch ganz falsche Ausdrucke nehmen), die aus dem System ( 2 )

ermittelten Distanzen jedenfalls immer der Bedingung ( I ) ge- niigen werden, d. h. die ermittelten drei Bahnpunkte werden in einer Ebene niit dem Sonnenzentrum liegen. Wenn wir aber bei der Bahnbestimmung nicht alle drei Gleichungen (z), sondern nur zwei von ihnen benutzen und die dritte durch eine neue Bedingung ersetzen, wie es die Olberssche Methode tut, so wird die Gleichung ( I ) nicht erfullt sein und die er- mittelten drei Bahnpunkte werden iiberhaupt nicht in einer Ebene mit der Sonne liegen, d. h. die drei berechneten Radien- vektoren Y r1 Y, werden einen korperlichen Winkel ini Raume bilden.

Jetzt wenden wir uns zur Olbersschen Methode. Aus der zweiten und dritten Gleichung ( 2 ) (die erste bleibt un- benutzt) bekommt man dort auf bekannte Weise die Gleichung

Fiihren wir jetzt statt der Langen und Breiten spharisch- polare Koordinaten ein, namlich den Winkelabstand i " ~ des Himtnelskorpers in jeder Beobachtung voni mittleren Sonnen- ort und den Positionswinkel p (von dem nordlichen Teile des Breitenkreises aus gezahlt) an demselben zweiten Sonnen- orte. Diese Koordinaten werden der Natur der Sache mehr entsprechen, und der Kurze wegen werden wir sie )>natiirliche Koordinaten(( nennen. Llie Langen und Breiten, so wie auch die Rektaszensionen und Deklinationen sind kiinstliche Ko- ordinaten, die auf Ebenen bezogen sind, von denen die erste durch die jahrliche, die zweite durch die tagliche Bewegung

der Erde bestimmt ist. Der Komet selbst hat aber mit diesen' Bewegungen nichts zu tun und, da seine Bewegung nur an die Sonne gebunden ist, so ist es natiirlicher, seine Lage in bezug auf diese zu bestimmen. Dann ist die eine Koordinate (76) ganz frei von der Richtung der jahrlichen Bewegung der Erde und in der zweiten ist nur der Anfang der Zahlung ron dieser Richtung abhangig. Das letztere ist aber unver- meidlich, da wir doch den Kometen von der Erde aus be- obachten.

Wenn man diese naturlichen Koordinaten statt der Langen und Breiten in die Formeln (3) einfuhrt, so findet man

n s inns in (p l - -p ) -.'d - -- cosp, Rsin(L1-L) _ _ n sin(L2-Ll) ntp sin n2 sin ( p 2 - p , ) A? = ~

sinn2 s i n ( p , - Z ( n 2 R s i n ( L , - T )

in welchem Ausdrucke nur fiinf Koordinaten vorkommen, da die sechste 761 darin nicht enthalten ist ').

huller der Gleichung (3) wird in der Olbersschen Methode anstatt der ersten Gleichung ( 2 ) die Eulersche Gleichung benutzt, die eigentlich eine neue Relation zwischen e2 und e vorstellt und die Moglichkeit gibt e und e2, also auch Y und rZ zu beitiminen.

Mittels der au0eren Radienvektoren r2 und Y und der drei Beobachtungsmomente kann man auf dem von Bessel ?)

gegebenem Wege die weiteren Hypothesen und schlieDlich auch die Bahnelemente berechnen, ohne die GroDen y1 und el zu kennen

Nach Ermittelung der Bahnelemente konnen wir nach den Gleichungen

(ti - T) Q-'" = &-' 1/1 (tg '12 U l -k '13 tg3 '/z U 1 )

yI = Q sec21/2 v1

eine gewisse GroOe rl berechnen, die immer eindeutig be- stimmt. sein wird, weil die erste Gleichung bei positivem tl - T nur eine positive und bei negativem tl - T nur eine negative Losung fur die wahre Anomalie zulal3t.

Wenn wir Y~ fur den mittleren Radiusvektor halten wollen, so entsprechen ihm iiberhaupt zwei Werte von Al nach den Gleichungen

I ) Darauf hat schon Bessel aufmerksam gemacht, siehe SAbhandlungen von F. W. Bessel. Bd. I S. 14. ') Beitrag zur Kometentheorie. Abhandl. Bd. I S. 13. ') Der Moment tl muO um die Licbtzeit korrigiert werden. Dazu genugt aber fur Al den Wert ( 0 . A + O2 A,) : O1 zu nehmen oder

bei nahezu gleichen Zwischenzeiten 1/2(A+A,), da sich diese Werte nur urn GroOen 2. Ordnung von dem wahren unterscheiden.

I 09 4495 I I 0

COSB, cos(A1 -L1) = cosq, r12 = ( J - R 1 cosq1)2 + R,' sin", .

Von diesen Werten nehmen wir denjenigen, der den GroOen A und A, am nachsten ist.

Die Abtragung der Entfernung Al auf der durch die Koordinaten gegebenen Richtung ergibt einen Punkt, der uberhaupt nicht in der durch Y, und Y bestiinmten Ebene liegen wird, weil bei der Olbersschen Bahnbestimmung die Bedingung ( I ) uberhaupt nicht erfullt ist (und noch weniger fur den zweiten Wert von A,, der sich noch mehr von A und A' unterscheidet).

Wenn wir aber die nach den angegebenen Formeln er- mittelte GroOe y1 als in der Ebene r, Y gelegen annehmen und den Endpunkt von Y, niit dem zweiten Beobachtungsort durch eine Gerade verbinden, so wird die Lange und Breite, sowie auch die Entfernung dieses Endpunktes eine andere sein. Unterscheidet man diese neuen Werte von den fruheren durch Klammern, so hat man

(A1)cos(Bl) sin[(A,)-&l] = Y~ sin(w+v,) cosi + R~ sin (L, - a)

(4 1 sin (a, ) Wie soeben gesagt war, wird der durch die Koordinaten

1, B1 dl bestimmte Punkt uberhaupt nicht in der durch Y,

und Y bestimmten Ebene liegen. Das wird aber stattfinden, wenn die zu bestimmende Bahn wirklich eine Parabel ist. In der Tat, stellen wir uns vor, daO wir die Distanzen mittels des Systems der drei Gleichungen ( 2 ) bestimmt haben. Wenn der Himmelskorper wirklich eine parabolische Bahn beschreibt, so werden die mittels des Systems ( 2 ) erhaltenen Radienvektoren u. s. w. offenbar der Eulerschen Gleichung geniigen. Also auch umgekehrt, wenn die Unbekannten nur aus der zweiten und dritten Gleichung ( 2 ) und der Euler- schen Gleichung bestimmt sind, so werden sie auch der ersten Gleichung (2) , d. h. auch der Bedingung ( I ) geniigen und es wird sein At = (Al) , b1 = (&), A, = (A1). Des- wegen ist es auch notwendig, die Differenzen 1, - (A,) und 8, - (8,) zu berechnen, denn die Olberssche Methode gibt

(A,) cos (k , ) cos [(A,) - n1 = Y1 cos (,+,,) + R, cos (L, - n)

= rl s i n ( o + q ) sini .

jedenfalls e i n e Losung (auch in dem Falle, wenn die Bahn ke ine Parabel ist), weil deren dnzahl drei sein kann und die Wurzeln nur paarweise imaginar werden konnen.

Aus allem oben gesagten ist es klar, daO die Olbers- sche Methode nicht einen speziellen Fall der allgemeinen Frage, sondern eine ganz besondere Aufgabe lost. Wurde eine Methode den speziellen Fall der allgemeinen Aufgabe losen, so miiOte sie die Bahn unter folgenden Bedingungen berechnen: I ) daO die drei beobachteten Punkte in einer heliozentrischen Ebene liegen mussen, 2 ) daO die Verhalt- nisse zweier Sektorenflachen zur dritten im Verhaltnis der Zwischenzeiten stehen miissen und 3) daO auOerdem die Bahn eine Parabel sei. Solch eine Methode konnte in keinem Falle zu drei Losungen fuhren. Wenn aber die Olberssche Methode nicht drei Losungen (wie es in Wirklichkeit ist), sondern nur zwei Losungen geben wurde, so ware das von diesem Standpunkte aus keine Notwendigkeit, sondern ein reiner Zufall.

11. Jetzt wollen wir eine Methode entwickeln, die die oben

aufgestellten Forderungen erfullt, d. h. in der Tat den spe- ziellen Fall der allgemeinen Aufgabe lost.

Zu dem Zwecke werden wir alle drei Gleichungen ( 2 )

(also auch alle sechs Koordinaten) benutzen und auOerdem in diese Gleichungen die Bedingung einfuhren, daO die Bahn eine Parabel ist.

Eliminiert man e2 und el aus dein System (2 ) , so er- halt man das Formelsystem:

K = tgBsin(L,-Al) - tgB1sin(&--il) + tg,&sin(A,--IZ) c = R [ t g a sin(Al-L ) - tgb, sin(&--L )]

C, = R~ [tgB, sin(Al-L2) - tgB1 sinj-il, -&)I

wo K dritter Ordnung in bezug auf die heliozentrische Be- wegung, C Cl und C? erster, Cl- C und C2- C1 zweiter Ordnung ist.

Die Verhaltnisse der lheiecksflachen bis auf GroOen dritter Ordnung inklusive sind :

Cl = RI [tgh, sin(A1-Ll) - tg,& sin(&-&)]

Ke= C - (4.) C1 + (d.1 C'

( 5 )

Fuhrt man diese Ausdriicke ein und setzt:

NC1- c) + (4/4 (c1- C2)l = B-P ( 7 ) 4 B A, [ C1- C, (82/8)] (Y, - Y ) ( ~ 2 + Y) - I = I;. E

"13 (81/8) [(8i2- 8') C1 - 8, (82- 8 ) CZ] = P

so wird (K/F) e +D = ( I + e) (Y, + ~ ) - 3 .

Es ist leicht sich zu uberzeugen, daO P und D . P dritter Ordnung (wie K ) und 6 zweiter Ordnung ist. Da aber offenbar K / F und D beide nullter Ordnung sind, SO

kann e vernachlassigt und gesetzt werden

( K / P ) ~ + D = (r2+y)-3 ( 8 )

( K / F ) e + B > o . (9)

und da Y,+Y positiv ist, so ist

Bis jetzt haben wir die Bedingung, daO die Bahn eine Parabel ist, noch nicht eingefuhrt, deswegen ist die Gleichung (8) genahert auch auf die Erde anwendbar. Wenn wir also e = 0, Y = R, r2 = R2 annehmen, so finden wir annahernd B = (R,+R)-3 oder ungefahr ' is. Daraus sieht man, daO bei mafligen Zwischenzeiten D positiv ist. Setzen wir diesen Wert von B ein, so ergibt (8)

(K/P) e = ( Y ~ + 4 - 3 - (R, +R)-3

d. h. K und P haben dasselbe Zeichen, wenn der Komet naher zur Sonne steht als die Erde, und verschiedene, wenn er weiter absteht. Dasselbe gilt auch fur das Verhaltnis K/C,, weil P und C, bei 8, = 8 nach ( 7 ) immer das gleiche Zeichen haben. Wenn annahernd Y~ + Y = Re +R, so ist K nahe gleich null.

I I 2 I 1 1 449 5

Die Enckesche Transformation der Eulerschen Gleichung ergibt mit der HilfsgroDe p , die Hilfstafeln (z. B. Tafel XXII in der Bauschingerschen Sammlung) zu entnehmen ist,

s = 2 8, p (r2+r)-+. (10)

Andererseits berechnet sich s durch das Formelsystem s2 = (he - gcosy)2 + g2sin2y

h cos 5 sin (H- A,) = sin ( Iv2 - A ) 1 g s i n ( G - L 2 ) = Rsin (L2- -L) h c o s 5 c o s ( N - I ~ ~ ) = M - c0s(A2-L) g cos (G-LZ) === R, --R cos (L, -L) (1 1)

h sin5 = Mtgfi, - tgB = C O S ~ COS(W- G ) .

&fit al = (g,/h) cosy, a2 = (g/h) s iny ( 1 2 )

wird s2 = h2 [ (@-aa , )2+a l ,2 ] . iius (9) und (8) folgt aber such ~2 = 4 d I 2 p 2 [(KII;) e + D]'/' und durch Vergleichen beider Werte

h2 [(@-a,)* + @.'I = [(KIP) @ f D]'i84d12p:. (13)

Der Faktor p ist von der Einheit nur um GroDen zweiter Ordnung verschieden. Nimmt man also p = I , so begeht man in der Gleichung (13) einen Fehler von nur vierter Ordnung, weil der Faktor von pa zweiter Ordnung ist (wie auch die linke Seite derselben Gleichung), denn h und 8, sind von der ersten Ordnung.

4d12h-* = bo , ( A : / P ) ~ ~ ~ = bl, Dbo3 = b, (14)

(1 5 )

Setzt man also

so bekommt man die Gleichung 6. Grades: (e-al)z + a,' = (ble+bz)l la

aus der die (allen oben gestellten Forderungen genugende) kurtierte Distanz e bestimmt werden kann.

Um die Anzahl der reellen Wurzeln dieser Gleichung zu bestimmen, schreiben wir die Gleichung in der Form

9 - 0 ~ = x, nlbl+b2 = c, (x2+a2z )3 = blx+c. (16)

Es sind demnach die Wurzeln der Gleichung (15) die A4bszissen der Durchschnittspunkte der Kurve 6. Grades

.lus der Gleichung der Kurve 6. Grades folgt, daO sie zur y-Achse symmetrisch ist, und da x ' + ~ ~ ~ immer positiv, so ist sie ganz uber der x-Achse gelegen. Da man die Gleichung der Kurre bekommt, wenn man in der Parabel y = x')+aZ2 jede Ordinate zur dritten Potenz er- hebt, so ist die Kurve einer Iangs ihrer hchse stark aus- gezogenen Parabel ahnlich und hat keine Wendepunkte. Davon kann man sich auch unmittelbar uberzeugen, wenn man die zweite Derivierte von y nach x der Null gleich setzt, denn diese Gleichung hat keine reellen Wurzeln. Die Gerade y = blx+c kann also die Kurve 6. Grades nur in zwei Punkten schneiden, d. h. Gleichung ( I 5 ) kann nur zwei reelle Wurzeln haben.

Daraus folgt, dat3 die alle notigen Bedingungen be- rucksichtigende Bestimmung einer parabolischen Bahn nur zwei Losungen zulaat.

Wenn eine Wurzel der Gleichung (15) negativ sein sollte, so muO sie freilich verworfen werden, ebenso auch, wenn sie der Ungleichheit (9) nicht genugt ').

= (,2+,, 2 ) 3 niit der Geraden y = bl.x+c.

~ _ _ . -__

Die Hauptgleichung ( I 5 ) kann man aus (5 ) auch durch Einfuhrung des Wertes (r2 + r ) = 4 $1 p2 s-' in das zweite Glied der Reihen (6) erhalten. P ie Bedingung, daO die Bahn eine Parabel ist, wird also durch die Ausdrucke (6) eingefuhrt.

111. Wenn die Olberssche Methode drei Losungen gibt, SO

kann man unsere Gleichung (IS) benutzen, urn die richtige Wurzel herauszufinden. Es ist selbstverstandlich , daO die Gleichung ( I 5 ) den numerischen Wert dieser Wurzel weniger genau geben wird (Fehler zweiter Ordnung), als die Olbers- schen Formeln (Fehler dritter Ordnung), denn in unseren Formeln kommt das grot3e Ureieck nl vor, das in den Olbers- schen Formeln nicht enthalten ist. Die Genauigkeit unserer Formel wird also ungefahr dieselbe sein, wie die der ersten Hypothese der GauDschen Methode. Fur den Zweck, von dem hier die Rede ist, ist aber diese Genauigkeit vollig genugend.

In betreff der zweiten Hypothese u. S.W. ist folgendes hervorzuheben. Unsere Methode benutzt die drei Gleichun- gen ( z ) , in welche die Reihen (6) eingesetzt werden, die jedem Kegelschnitte zukommen. Weiter fuhrt man noch die Bedingung ein, dat3 die Bahn eine Parabel ist. Wenn sie aber keine Parabel, sondern z. B. eine scharf ausgepragte Ellipse ist, dann enthalten diese Gleickungen einen inneren Widerspruch. Wir haben oben bewiesen, daD die drei Gleichungen ( 2 ) auch dann noch befriedigt werden konnen, wenn fur die Verhaltnisse der Dreiecksflachen ganz falsche Ausdrucke eingesetzt werden. Worin wird sich also der er- wahnte Widerspruch a d e r n , wenn wir doch in jeder Hypo- these drei Distanzen finden konnen, die die Gleichungen ( 2 )

befriedigen ? Offenbar darin, daO die aufeinanderfolgenden Hypothesen gar nicht konvergieren werden. Die Sprunge von einer Hypothese zur andern werden desto kleiner sein, je mehr die Bahn einer Parabel gleicht, und wenn die Rahn wirklich eine Parabel ist, oder genauer, wenn die Heobach- tungen wirklich einer Parabel entsprechen, dann werden die Hypothesen (weil kein Widerspruch vorhanden) konvergieren.

Fur den theoretischen Zweck ist ein Eingehen auf die Formeln der zweiten Hypothese uberflussig, und fur. den praktischen genugt schon die erste Hypothese.

IV. Es bleibt noch ubrig, die AGwendung der Formel ( I 5)

an einem Beispiele zu erlautern. Dazu nehmen wir das be- kannte Oppenheimsche Beispiel (Astr. Nachr. 2468 S. 3 IS) , d. h. die drei am 18., 19. und 2 0 . September 1882 in Co- imbra angestellten Beobachtungen des Kometen Cruls :

') Diese Ungleichheit mu0 dann beachtet werden, wenn K / F negativ ist. Bei positivem Werte dieser GroDe wird (9) durch jedes positives p befriedigt, weil D positiv ist.

1 ' 3

- 1'37' 1416 - 3 23 26.1 - 4 48 20.3

4495

1 7 5 ' 2 7 ' 419 0.00183 176 2 5 1 2 . 7 0 . 0 0 1 7 1

1 7 7 23 28.1 0.00158

A u fn a h ni e n auf d e r K o n i g s t u h 1 - S t e r n w a r t e.

1911 April 4.

(598) [1906 UC] I 1qh34m7 1 1 4 ~ 1 3 " s 1 + 3' 5' 113m5 1 H

Fiir dieses Beispiel hat Oppolzer drei Losungen ge- funden, deren genaue Werte (mit 5 Ilezimalen) sind:

I I1 ,111 l o g d 9.54849 9.86995 0.03251 loge 9.54832 9.86978 0 . 0 3 2 . ~ .

Die Formeln (5) und ( 7 ) geben l)

log C = 6.82179 l o g K = 5.95092 I o g P = 4.40205 IogD = 9 . 0 9 0 1 6 .

Die auch fur die Olbersschen Formeln notigen Groflen sind : l o g M = 0 . 0 2 1 4 5 ~ ) l o g g = 8.53137 l og /z= 8.97274

log C, = 7.03548 log C2 = 7.17818

G = ~67 '23 .~5 W = 1 2 5 O 55!5 y = 1 ~ 6 ~ ~ 8 . ~ 6 .

Aus ( 1 2 ) und (14) bekonimt man die Koeffizienten der Gleichung ( 1 5 )

logal = 9 . ~ 3 7 8 6 ~ logb, = 0.71703 log%2 = 8.92222 logb, = 8 . 2 5 8 3 2 .

Um die Wurzeln der Gleichung ( I 5 ) zu finden, setzen

d = log([(@ -a1)2 + 4 2 3 (b, g + b,)-"3). wir

Wenn wir auf eine Wurzel g kommen, so wird d = 0. \Venn aber el und e2 zwei willkurliche Werte sind und dl und d. die ihnen entsprechenden Werte von a', so ist

log e = log g, - [d, : ( d . - d,)] (log pz -- log el) . Es ist leicht zu sehen, daD die. Gleichung (15) eine

positive Wurzel 'hat, die in der Nahe von + I liegt und groDer als I ist, und eine negative in der Nahe von Ndl . Uni die erste zu bestimmen, nehtnen wir an logg, = o.ooooo und loge2 = 0.08000, dann ist

Kiew, Sternwarte, I 9 I I Januar.

Objekt 1M.Z.Kgst.la 1911.0/ d 1 9 1 1 . o 1 Gr. /Bb.

1911 LM (393) Lampetia Io 29.9 ~ Io 23.1 1 -. 4 7 12.2 j M

l oh 6"1 ~ loh35m5 I +IO' 1 1 ' 14molW,H

Tagl. Beweg.: (393) -007'5 +7' .

a', = -0.04461, d2 = +o.o5610, loge = 0.03544.

Nimmt man jetzt logel = 0.030oo und loge2 = 0.04000, so hat man

a'i = - 0 . 0 0 7 5 1 , dz = fO.00503, loge = 0.03599.

Auf dieselbe Weise findet man, daD die negative Wurzel loge = 7 . 4 8 1 ~ ist.

Nachdem der genaherte ' Wert der positiven Wurzel gefunden ist (die negative braucht gar nicht berechnet zu werden), mul3 man ihren genaueren Wert nach den Formeln der Olbersschen Methode berechnen und die Bahnbestimmung in gewohnter Weise fortsetzen. Fur diesen genaueren Wert (aus funfstelliger Rechnung) fanden wir loge = 0.03224.

Um in demselben Beispiele die richtige Wurzel zu finden, war Oppolzer genotigt, aus seiner Formel die ge- naherten Werte dreier Wurzeln zu berechnen, dann nach den Formeln der Olbersschen Methode ihre genaueren Werte zu finden, weiter die ihnen entsprechenden drei Elenienten- systeme zu bestimmen und schlieDlich rnit allen drei Ele- mentensystemen den Ort des Kometen fur die Zeit der zweiten Beobachtung zu ermitteln. Man sieht also, wie vie1 Muhe man ersparen kann, wenn man sich der Gleichung (15) bedient. Die Anwendung dieser Gleichung ist aber nicht auf den nur seltenen Fall dreier Idsungen beschrankt, denn so lange wir kein Mittel besitzen, aus bloDer Betrachtung der Reobachtungen zu entscheiden, ob eine oder drei Losungen zii erwarten sind, ist es durchaus nutzlich, sich bei jeder Bahnbestimmung eines Kometen die GewiDheit zu verschaffen, daD man nicht zufallig auf eine falsche Wurzel gestoDen ist.

Robert Vogel.

1911 LN ~ 9 55.' (477) Italia 1911 LM I

') K wurde mit 7 Dezimalen, C C, und (1. mit 6 Dezirnalen berechnet und dann auf 5 Dezimalen abgerundet.

') Hier ist .M das Verhaltnis der kurtierten (nicht wirklichen) Distanzen.

In IF ist das Glied O2 (02- 6) C, vernachlassigt worden.

'0 31.3 I 0 3 2 . 5 10 35.6

1911 April 16. I

1911 LR (neu) (673) [I908 EAI

1911 April 18.

9 28.2 9 47.2

1 0 43.9 >

>> >)

1 2 58.6 13 46.4 13 56.2

1 2 40.2 I 2 37.0

1 2 41,3

+ 2 5 7 - 8 18 - 8 I I

- 1 2 5 - 7 4 .- 7 23

9.5 12.3 12.3 13.5 12.4 1 2 . 8

8