A S 'r R 0 N 0 MIISCH I3 N A C H R I C H T E N. X 1751.

Ueber die Unsicherheit einer Bahnbestimmung aus drei Beobachtungen , wenn dieselben geocentrisch nahe in einem grossten Kreise liegen.

D i e den Beohachtungszeiten t , t', t" entsprechenden helio- centrischen Coordinaten eines Planeten in Bezug auf irgend ein rerhtwinkeliges Coordinatensystem seien resp. X, y , z ; x', y , 2'; xu, yii, z". Siiid T , d, pi' die Radienvectoren und et, v', d' die wahren Ananialien d e s Planeten, urid setat man

s o gelten bekanritlich die Gleichungen :

n y - y'+ nuyl: = o . . . . . . . . . . . . . . ( 1 )

nx - x'+ nYzN = o

nz - z' + n"z" t = 0

Es sei fur die erste Beobachtung

A, ,B die Lange ond Breite des Planeten in Bezug auf die Ekliptik. die ghnlichen Griissen in Bezug auf eine durcb die Sonne gelegte Ebene, deren Neigung gegen die Ekliptik J uod deren aufsteigenden Knoten iiber die Ekliptik d ie Llnge K hat. Der Anfangspunkt der Zahlung fiir G sei der Knotenpunkt K.

0, B die Lange und Breite der Sonne in Bezug anf die Ekliptik.

A, D die ahnlichen Griissen i n Bezug auf d i e neue Ebene, so dass auch -4 von K a u s gezahlt wird.

die Entfernong des Planeten von der Erde. die Entfernung der Sonne von der Erde.

6, 9

A R Fur die zweite und dritte Beohachtung miigen diese

Grassen niit resp. eineni und zwe3 Accenten bezeicbnet werden.

G und g erhalt man aus A , und K , J vermittelst der Gleichungen :

ros g eos G = cnr g sin G ==

eos /3 cos (A- K ) ros /3 sin (A-K) cos J +- sin B an J

= -cos j3 sin (A- R) sin d + sin p rosJ. .

sin g

Ehenso wird . co.9 U cosA =

c0.9 D sin .4 = tws B :'Or ( @ - K ) r0.9 B sin ( 0 - K ) COT J + sip2 B sin J

siii D = -COS B sin (a-K) sin J + sin B cos J . 79r Bd.

Die Breite I3 der Sonne rvird nian hei der ersten Bahn- hestimmung vernachllssigen kijnnen, besanders wenn nian das Aeqninox, auf welrhes nian alle Griissen zu heeiehen hat, so wahlt , dass e s nicht sehr weit entfernt von den Beobachtungszeiten lieat.

Nininit niau die neue Ebene als Ebene der x y eiges rechtwinkeligen Conrdinatensystenr an urid zwar s o , dass die Axe der nach dem Pnnkte K und die Axe der y nach einem Punkte gerichtet ist, der uni 90' i n der Ricbtung der Zahlung von K ahsteht, so werderi die heliocentrischen Coor- dinaten d e s Planeteri f i ir die Zeit der ersten Beohachtung:

x = A cos 9 ropG - R rnv D rov A y = A ros y 6 n G - R rov D sin A z = A sin ,y - R sin I1

Wahlt man die neue Ebene SO, dass der yon ihr an der scbeinbaren Hinimelskugel gebildete griisste Kreis zugleich durcb den ersten und auch durch den dritten vori der Erde a u s gesehenen Planetenort geht , SO wird sowohl g = 0 , als aucb 9' = 0 und wir erhalten zur Bestinimung von J und K die beiden Gleichungen

tg *I sin (A - K ) = lg p tq J .& (A"- K ) = t.4 fi"

wodurcb

wird.

Da jetzt z = - RsinU Z' == A'sin 9'- R'sin Il'

- R".&t DU - +

so ergiebt sich aus der letzten der Gleichnngen (1)

h'sin y' = - n R sin D + R'sin 0- nt1 RU sin D" . . . (2)

Diese Gleichung, auf rvelcher die Bahnhestinmiing hanpt- sacblich beruht, l l s s t sich auf eine etwas arfdere Form hringen. F%brt man nlmlich die Grijssen N und N" eio, welche in Bezug auf die Erdbahn dieselhe Bedeutung haben, als n und nu in Bezug auf die Planetenbahn, setzt man also

R" R' sin (0'' -- 0') R'R sin (a'- 0) 1VU == BUR sin (an- 0) ' R R"sin (@'I- 0) N =

23

355 Nr. 1751. 356

s o wird, wenn man die Sonnenbreiten vernachlassigt:

also N R sin D - Rsin D'+ N" R" .siu D" r 0

A'sin 9' = (N-n) R s i ~ D + (Nil- n") R"sin Du . . . (3)

Diese vollkommen strenge Gleichung wiirde A' geben, wenn n und nrr bekarint wsren. Da sich diese Grbasen abet genahert als Function der Unbekannten r' ausdriicken lassen und r' und A' niit eiriander durch die Gleichung

r'z - - A'2- 2R'cos /3'cos (A'- 0') A'+ H 2 . . . . (4)

verbunden s ind, s o wird es niiiglich se in , auf diese Weise einen genaherten Werth fur r' und A' zu erhalten. Setzt man

k ( P I - t') = 7, k (t1I-t) = r', wo log k = 8,2355614--10

und nimmt man an, wie es im Folgenden s te ts gescheheh SON, dass die Zwischenzeiten nicht gross s ind, s o ist he- kanntlich

ry (T'+ 7 ) 1 T ' ~ (T - 7") - T~ dr' 7 ' { 6 i 3 4 r'4 d r

n = I$

7" { + 7 (7'+ 7') .i 7'2 (7 - 7') + 7 " 3 dr' all = - _ - T1 6 rc3 4 $4 d r . . . ' *

Bei der ersten Hypothese niuss man bei den Gliedern

k ( t ' - t ) = I",

1 1

I.... -- -

-

zweiter Ordnung stehen bleibtn, wodurch

r 71'' (7'+ 7) - 7'' 77'' (;+ 7") . . . ( A ) 6 rI3 - - +

6r'3 7 r' n = - , +

7

wird. und setzt zur Abkiirzung

Substituirt nian diese Ausdriicke fiir n und d' in (3)

so erhalt nian die hekannte Gleichung:

(5) 1" A' = k'- 3 . . . . . . . . . . . . . . . . .

welche i n Verbindung niit ohiger Gleichung ( 4 ) eine erste Bestininiung f i r r' iind A' giebt. Es ist zii bernerken, dass diese Bfeichung ( 5 ) alle Glietler ztveiter Ordnung enthllt, deren Mitnahme bei der ersten Hypothese zuerst von Encke im Jahrbuch fiir 1854 aiisgefiihrt ist, Ohwohl ich iiiich hier hauptsachlich auf d i e erste Hypothese beschriinken werde, SO sei dnch erwahnt, dass man auch bei den folgendem Hypothesen la urid nn mit Hiilfe des zuletzt gefundenen ri

r A n T" Anu n S = 7' - + - rt3 stets leicht aaf die Form n = - 7 ,+ ;3 ,

bringen kann, wodurch ko ungesndert bleiht und 1' = A n . R . ~ n D + h n l l . R"silrDI1f wird. An ist z. B. 1

7 - .- - - '2. ri3, wo y und die Verhiiltnisse der Sec- r' Y -

toren zu den Dreieckon sind. Der Vortheil, der auf diese Weise erreicht wird, tritt hesonders hei ungleichen Zwischen- zeiten auf.

In derselhen Weise wie n und n1l sich entwickeln lassen, niiissen auch N und N" entwickelt werden kiirinen, SO fccn man namlich die Erdhahn als elne rein elliptische betrachten kann. Es wird daher auch s e i n

wo Y und u" eehr kleine Griissen sein nerden. Fiihrt man die Werthe fur n und n" aus (A) u n d die fur N und #I1 aus (B) in die Gleichung (3) ein, s o geht diese iiber i n

Men s ieht , dass y' hiichstens eine Griisse zweiter Ord- Der Kiirze nung in Bemg aiif die Zibischenzeiten s e i n kann.

wegen sei

1 p = - (1' + 7) R sin D + (7'4- R" dn D"

Q = uRPinD+uflR"sinDU r r t J 6 7' {

wodurch

(7) + Q.. . . . ... . . . . 1 1 2singr = p {F -

wird. q wird stets eine s e h t kleine Griisse und 'in1 Allge- neinen bedeutend kleiner als y sein, denn p ist i b 'Bezug

if die Zwischenzeiten eine Griisse zweiter Ordnung, q da- :en mindestens von der dritten Ordnung, dam ist noch

dR' dies Glied dritter Ordnung, rnit dem sehr kleinen Factor - 1 I d7

multiplicirt. Da - p bei den kleinen Planeten s te ts

positiv und nahe = 1 ist, so'wird g' i m Allgenieinen dasselhe Voraeichen haben niiissen als p . 1st g' sehr klein, so wird auch p sehr klein sein und umgekehrt. g' ist eine Griisse, die sich unmittelbar aus den Beobachtungen ergiebt, ein Beohachtungsfehler wird daher auch g' verfalschen. Um zu untersuchen, rrelchen Einfluss ein Fehler in 9' auf die Be- stimmung ron r' und A' ausiibt, kann man (7) differentiiren, dabei alter p und q , die von den Beohachtungsfehlern un-

ahhfngig s ind , als,constant hetrachten. Man erhalt

sing'dh - dr = -- A"ros g'dg' . . . . . . . . (C) T

357 Nr. 1751. 358

Da y' uad p Grbssen zweiter Ordnung sind, s o wird ein Fehler dg' die Bestiniriiong von r' und A' s te ts niehr oder weniger unsicher niachen, (loch wird man immer ein brauch- bares Resultat erhalten, so lange g' und p im Vetgleich zu eineni Beobachturigsfehler 49' recht gross s i n d . 1st dagegen 9' u n d also auch p sehr klein, s n rvird ein kleiner Pehler i n 9' einen sehr betrlchtlichen Fehler i n r' und A' hervorbringen nnd es kanri sogar koinmen, dass die Gleichung (7) auf ein widersiriniges Resultat mhrt. Denn sind z. 8. p und q beide yosifiv, s n muss nnthwerBdiger Weise fur 7') R' auch 9' pasitiv sein. Wenn 9' sehr klein i s t , so kenncn die Beob- achtangen es recht got als kleine negative Griissen geben,

wodurch nur (7) Y ( R ' folgen miirde. Es ist also klar, class eine BahnhesIiinniun~ s te t s , aher auch nur dann, ver- hlltniseniassig sehr unsicher ist , wenn ,q' aussergewbhnlich klein i d , oder wenn die dlei Planetenbrter peocentrisch nahe i n einem grbssten Kreise liegen. Eine Ausnahnle fitidet nur bei einer Bahn statt, wo r' nahe = R', tletin dann braucht p nicht sehr kleiri zu sein, wenn 9' sehr klein ist und init- hin brancht ein kleiner Fefiler dg' nicht einen sehr grossen Pehler dr' zur Fnlge zu haben, wie unniiftelhar aus (c) folgt.

E s wird v n n lnteressr se in , den Fall, wn die drei Benh- achtungen nalie i n eineni sriissten Kreise liegen, w o also g'= o ist, genauer zu irntersur!ren. Die Gleichung (6) gieht alsdann

Die Factnren vnn R sin D und R" sin D' sind positive Grcssen, diese Gleichung kann also nur erf~llt werden, wenn R sin 6) und R".~iii D'' oder wenn sizi (Q-K) nncl siii(@"-X) entgegengesetzte Vnrzeicben haben , wenn also der Durch- schnittspunkt cles durch den ersten i ind letzten Planetenort gelegtert grbssten Krejses mit der Ekliptik zwischen dem ersten und letzten Sonnennrte liegt. Vernachlassigt man die kleinen Grbsscn u nnd u", so werden die drei Beobachtungen nahe in eineni griissten Kreise liegen, wenn

T 7" I Da genzhert -, = N und 7 e N, also 7 RsinD+

+ --i R'lsin D" = R'sin D', s o wird die Bedingung, dass

die drei Planetencrter geocentrisch nahe in einem griissten Kreise liegen :

r T I

TIi

7

R sin D + R'sin D'+ R" sin Di' = 0 . . . . . . . . . (9) Befindet sich die Sonne zur Zeit T in den1 Durcbmbnitb-

punkte clieses griissten Hreiaes mit der Ekliptik, 30 muss also T zwischen t u n d ti' liegeri, und man erhalt, wenn man die Grbssen zweiter Ordnung veroachlassigt

(t'l- T ) R sin D + ( T - t ) R"Sin D" = 0 . . . . ( lo)

T = + ( t + t ' + t " ) .............. (11)

Hieraus und aus (8) folgt

Aus sin D = - s in(@-K) .sin J etc. erhalt man noch nach (9), wenn J nicht sehr kleirr i s t :

R sin (0 - K ) f R'sin (@'- K ) -/- R"sin (0"- R ) = o

Da K nder 180 + K zrvischen @ uncl 0" liegen niiiss, sn ist genahert s i~a(@-K) = @-g oder = @-(K+180°). Setzt mas diiher nnch R = R'= II", so gieht die Gleichnng

eine Bedingung, dass ,y' aeniihert = 0 k t . Die Falle, i n tlenen eine Bahnhestimmiing besonders un-

giinstig is t , ergehen s i rh s8ninitlich ohne Weiteres aus der Bedingong, dass 9' clann hesonclers klein sein muss, oder dasfi die drei Benhachtungen gencentrisch nahe in einem grbssten Kreise liegen miissen. Eine Unsicherheit wird niehr oder weniger jedesmal eintreten, wenn sin D = - sin ( 0 - K ) dn J und sin D" = - sin (a"-K) sin J kleine Griissen sind, wenn also d klein ist, oder wenn riit ( Q - K ) und siii(QU--R)

beide klein sind. Ganz besonders unsicher, wenn nicht nn- mbglich wird die Bahnhestirnniung werrlen, wenn nahe K = 4 (@+ @'+ 0"). Fallen zwei Benhachtungen nahe zusammen, so liegen stets alle drei Beohachtungen nahe i n einem gr6ssten Kreise und die Bahnbestininiung ist unsicher. Fallen z. B. die erste und letate Beobachtung sehr nahe zusammen, so kann es sein, dass nian rir J und K Werthe erhl l t , d ie ein betrlchtlich grosses 9' ergeben, aber dann ist die Be- stimniung von J und K selbst sehr unsicher.

Mit Hiilfe der bekannten Elemente eines Planeten lasst

sich riach eine andere Bedingung dafiir ableiten, dass drei geoeentrische Oerter desselheo in einem griissten Kreise liegen. A s s den Beiden Gleichungen

tg J Siii (A-K) = tg ,3 und tg J .n'n (A"-K) = tg ,B'i erh'ilt mau leicht, wenn man die heliocentrischen Coordinaten einfiihrt und tq J eliminirt

K- +(@+@'+@") = o oder = 180". . . . ( 1 2 )

r r" sin (u"- u) S ~ T Z (K- a) = r* sin zd'. R sin (0 - K ) - r s i n u . R" sin (aN- K )

r y ~ u ~ + t l tl'l die Atgumente der Breite und a den tlufstei- genden Kooten der Planetenbahn iiber die Ekliptik bezeichnet.

Aus ( lo) folqt aber R"sin(@"--K) = -- R.vin{@--K) t i / . - T T- t

und da auch bis aiif Glieder zweiter Ordnung: T, sinzt,, = t"- T ?'- t - r sinu + __. rltsinua, wo r0 und u, der Zeit T t"- t t'l- t entsprechen, PO wird

23 *

359 Nr. 1751.

4 k (T-t) r rll sin (ZP- u) sin ( K - 56) = - . ~,s i f i~ , Rsil~(@--K).

1st 0, die Sonnenliinge fur die Zeit T, so is t K entweder = 0, oder = @, + 180", also wird

7 1 rr"sitt ( z P - u) sin (ao- Q) = - . - ros in U, R R,siia (ao- 0). k ( T - t ) R ,

= Q. d. h. die mittlere Beobachtung ist s o

die Zwischenzeiten einander gleich sind. T'2 - ( R silt D + RN sin D"). 16

Vernachlassigt man wieder die Glieder zweiter Ordnung, s o ' k a n n man setzen, wenn man niit p den Parameter der Planetenbahn bezeictrnet : rr'lsin(ul~-u) = r ' v p und RR,s in(@,-@) = k(Z'- t ) .

Schliesslich wird also die gesuchte Bedingung

S ~ I Z U, = - R, (a,- a). . . . . . . . .( t 3) h Liegt yo in der Nahe van 90' oder 270', s o kann diese

Gleichung nicht erfiillt wertlen, weil dann S ~ E (0 - 52) > f kommen wurde. FIllt die Zeit 2' nahe mit der Oppositiob zusammen, so wird nahe u, = 180 t @,,-a, also .rinu, nahe = - sirz(@,-a). Nun andert sich aher @,-a vie1 rascher als u0, wlchst daher der absolute Werth von sinu,, s o wird fiir eine spatere Zeit, a ls die der Opposition, die Gleichung (15) stattfinden, vorausgesetzt, dass sin ZL klein genug hleiht. 1st sin u zur Zeit cler Opposition sehr klein, s o wird fiir diese Erscheinung der Gleichuug (13) zwei oder aurh drei Ma1 Geniige geleistet werden kiinnen. Mit Hiilfe dieser Gleichung kann nian also irir Voraus die Zeit Y' he- stimnlen, f i r welche sie erfiillt wird. wiihlt inan dann drei Beohachtungen so, d a s s 1' das Mittel der Beobachtungszeiten ist, EO werden diese cirei Oertcr geocentrisch stets sehr nahe i n einem griissteri Kreisc liegen.

Kehren wir jetzt wieder zur allgemeinen Gleichung (7) zuruck, welche zeigt, das s 9' classelhe Vorzeichen haherr

Nimmt mao an, t"-t sei 20 Tage

so wird etwa

A'sing' = p = 1373"(Rsin

360

muss , aIs p oder aIs (r'+ 7 ) B sin I) + (T'+ T") R"sin D". Denkt man sich rri sehr klein, a lso 7 nahe = T', s o wird 9' dasselbe Vorzeichen haben, a l s 2 R sin D + Rllsin Dll. L h s t man nun wachsen, his es nahe 7' w i d , so wird g' schliess- lich dasselhe Vorzeichen haben, wie R sin D + 2 R" sin D". Haben daher 2 R sit& D + R"sin Dii und R sin D + 2 R"sin D" entgegengesetzte Vorzeichen, s o muss fiir eine Zeit zwischen der ersten und dritten Beobachtnng g' = 0 werden, der die- se r Zeit entsprechende Planetenort niuss also mit den heideo andern geocentrisch i n einem griissten Kreise liegen. Wie aus dem Vorheigehended folgt, ist dies aher der nngunstigste Fall f i r eine Bahnhestimmung, e s wird daher riicht ohne lnteresse sein, zu untersuchen, wie man die mittlere Beob- achtung bei gegebenen ausseren Beohachtungen auszuwahleo hat, damit die Bahnbestimmung eine miiglichst giinstige sei. Dafiir muss 9' oder auch

7 7 u

67' . p = - { (;+ 7) R sin D + (T*+ R ~ ~ ~ - i t l D"

drJ d i

dem ahsoluten Werthe nach ein Maximum, also - = 0

werden. Dies gieht, weil rll = 7'- I ist:

o = (7'2- 3 $) - ( T ' ~ - 3 I") m

R' sin D" R sin D wo m = , also

. (t"- t) . . . . . . , . . . . . . . . . . . (14) 1 gv$.-(1'+m+mz)

oder t ' - t = 8 1

T' I -m 1-m 1 TVf(I+ m + m2) - ____ - -

Aus der Bedingung 7'>7" folpt, dass man s te ts das ohere Zeichen xu wzhlen ha t , ausser in dew Fnlle, wo m negativ und 2 > ( - m ) > 4 ist. Alsdann sirid beide Zeichen zulassig, doch tritt der gtinstigste Fall ein, wenri das obere Zeichen fiir (- m) < 1 und das untere fur (-m)> 1 ge-

wahlt wird, wie man leicht aus

p = ?f 6 f ~ + m ~ ~ ~ ( l + m + m z )

erhslt. 1st m positiv. s o wird

71' - is t also nahe I'

zu wahlen, dass

Damit wird p =

.... 1

und - - R' 3

, D + R" sin

I - - r'3 - D") .

0,9,

Nr. 1751.

Als Beispiel miigen folgende Oerter de'r P h o c a e a die- nen, die aus den Elenrenten dieses Planeten, %vie s ie sich im Jahrbuch fur 1856 finden, unter Vernachlassigung der Sonnenbreiten berechnet sind. Die Daten heziehen sich auf das niittlere Aequinox 1856,o.

1853

Mai 090 490 8 r O

1290 1630 2090

- h

221'37' 1"4 220 25 39,7 219 13 40,8 218 2 45,7 216 54 33,6 215 50 34,2

- P -- +so 1'25"2 + 5 55 1,7 4-6 48 0 , 3

4-8 29 41,2 +9 17 23,O

+7 39 44,5

L o g r L o g b -- 0,33516 0,06361 0,33286 0,05948 0,33055 0,05700 0,'32823 0.05614 0,32592 0,05686 0,32361 0,05907

Die Opposition findet Mai 1 statt, fiir diese Zeit ist u nahe = 8', es niiissen also nach der Opposition drei Oerter i n einem griissten Kreise liegen. Nach (13) wnrde die Zeit T gesucht und dafiir Mai 8,6 gefundeu. Wiihlt nian daher drei Oerter init kurzen Zwischenzeiten s o , dass das Mittel derselhen Mai 8 , 6 wird, s o iiiiisseii dieselhen uahe i n einein griissten Kreise sich hefinden. Der Durchschnittspunkt die- ses griissten Kreises mit der Ekliptik wird dort liegen, wo die Sonrie sich Mai 8,6 hefand, die Liinge desselben i u der Ekliptik wird daher uahe 48"19' sein.

Betrachtet man Mai 0 , o als ersten i i i ic l Mai 20,o als letzten Beohachtungsort, die einer Bahnbestininiung zu Grunde gelegt wertleii sollen, s o findet sich hieraus

K = 48°14'41'13 und J = 37°17'37'12.

Mit tliescn Wertheo eihiilt man R .& D = +0,087701 und R" sin D'/ = - 0,177608. Da 2 R sin I) -+ R" sin Do positiv und R sin D + 2 RNsin D" negativ is t , so wird 9' anfangs von Null nach der positiven Seite hin wachsen, dar- auf ahnehnien, durch Null gehen u n d negativ werden. A m Ende muss es wieder abnehnien u n d fiir Mai 20,O wieder Null werden. Fiir g' finden also 2 Maxima statt, die Zeiten t', und t i derselben erhiilt man nach (14) , da hier m = -1,341 u n d v # ( l + m + n i 2 ) = 0 . 6 9 7 is t :

1 + 0 . 6 9 7 2 .341

t i- t = 20 = 1495

1 - 0 . 6 9 7 t i- t = ~- . 2 0 = 2 . 6 2.341

Die heiden Maxima finden also Mai 14,5 und Mai 2 , 6 ' statt, und zwaF wird d a s erstere, absolut .genomt~ien, den griissten Werth ftir p und 9' ergeben, weil (- m) > 1. Die Gleichuug ( i 5 ) giebt diesen Werthen entsprechend:

p1 = -73'9, pa = +i4"4.

Nimmt man A' und r' ale hekannt a n , so wiirde g' aus 1 1

A'. 9' = p {jp - p} erhalten werden. I n unserem Falle

1 1 i d etwa log /p - ,.sf 9.937 und log A' 0 .060 ,

woraus g', = -56" und g: = +I 1'' folgeri wurde. Die Zeit, fur welche der mittlere Sonnennrf mit K iihereinstimmt, ist I' = Mai 8,53. Hieraiis erhl l t man die Zeit t', fiir welche p und 9' durch Null gehen, nach ( 1 1 )

t' = 31'- (t + t") = Mai 5,59.

Diese Aiigahen finden sich durch die directe Rechnung nahe bestgtigt, die Rechniing eraiebt rigmlich, je nachdem man Mai 4 , 8, 12 otler 16 fur den mittleren Ort anninimt:

9 P !I - - - Mai 090 O"0 O"0

490 + 897 + l o 9 9 +0"3 890 -1997 -2,798 -198

1270 -5199 -6393 -490 1610 - 5 5 ~ 9 - 6 9 . 3 -396 20r0 070 010

lliliIri sieht hicraus. (lass r/ selhst hei kleinen Zwischen- zeiten schon merklich w i r t l , be*onders wegen der Mond- stiirungen. Bercchriet i ~ a n 9 linter (lpr Voraussetzong, dass

die Erdliahti zwischcvi den iiusscrn Beobachtungen Mai O , O uncl Mai 20,O eirle rein Glliptische s e i , die fur diese heicien Zeiteu riiit der wahren Bahn zusainnierrfiele, so rviirde rilan er h a1 ten

bIai 470. q = O"0

890 -Or i 1290 -093 1690 -093

Die Gleichung ( 1 3) liisst aiisser der hier als Beispiel be- handelten T = Mai 8,6 noch eine andere LSsung fiir dieselbe Erscheinung der P h o c a e a zu, n5rnlich fiir T = Aug.19,2, wo freilich der Planet wohl kauin uoch heohachtet werclen konnte. Fur dieee Zeit ist @ = 146'31'. Bestinimt man K aus deli gencentrischen Larigen rind Breifeu des Planeten f i r Aug. 9,O utid Aiig. 19,0, fiir welche

h = 222'28' O"7, f3 = +16"43'14"8 h"= 231 0 5699, fl"= +17 8 5695

is t , so hekonimt man K = -146'54'50"l. Die Ueberein- stimmung von K oder 180°+ K mit den) Sorinenorte, welche der aus (13) ahgaleifcten Zeit T entspricht, wird nur bei verschwindend kleinen Zwischenzeiten eine vollstandige sein,

363 Nr. 1751. 364

kannt geworden i s t , niehrfache Nachl'orschungen nach dew- selhen am hiesigen Refractor (lurch Herrn Geheimrath Struve bis jetzt ebenfalls erfolglos geweseu s i n d , sn habe ich die Epherneride in der friiheren Form fortgesetzt. Da nach der gewohnlichen Annahme die Lichtstarke des Cometen am letzten

In Bezug auf q ist noch zii bemerken, d a s s diese Griisse, welche = v.Rsin D + Y " RUsin D" ist, stefs eine sehr kleine Griisse sein wird, wenn die drei Beobachtiingen nahe in einern griissten Kreise liegen. Derin da R siiz D un t l Ri'sin D" dann entgegengesetzte Vorzeichcn haben, so s i n d s ie in Bezug auf die Zwischenzeiten Griissen erster Orrlnung. In dew Falle, wo p verschwindend klein ist, stiitzt sich die Rahnbestininiung aber hauptsachlich auf q , da tlann A ' . h 9' = q wird, man wird daher jedesmal ein hiirhst unsicheres Resultat erhalten,

M 6 d n nach dem Perihel von L858 = 0.43 war, so ist zu hoffeen, daes der Cornet in der allernachsten Zeit anfgefundm werden wird. Bei der Entdeckung durch Herrn Dr. Win- necke ini Jahre 1858 (zwei Monate vor dern Perihel) betrug die Lichtstarke sehr nahe 2.

1 ' wenn die Beobachturigen geocentrisch nahe i n einem griissten Kreise liegert oder wenn die Sonne sich zu einer Zeit T in dent Durchschnittspunkte dieses griissterr Kreises mit der Ekliptik befindet, welche nahe das Mittel a u s den drei Beobachtungszeiten ist. Die Bahnbestirnmung wird aber urn so sicherer werden, je griisser die Abweichung d e s niittlereri Ortes von den1 durch die beiden andern Beobachtungen ge- legten griissten Kreise ist.

B e r l i n , 1869 MIrz22. F. Tietjen.

12h mittl. Berl. Zt.

1869 Bdiirz30 31

April 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 1 1 12 1 3 1 4 15 16 17 18 1 9 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Mai , t 2 3

a & - 10h40m9

3899 3790 3390 339 1 3192 2993 2794 2596 23 9 %

2290 2092 1895 1678 1592 1336 1290 1095

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C. Linsser.