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6. Ueber dde von e h e m eElipt4ech echw4m@em&en Ion em&drte und absorbirte lhergie;

urn M a x PEanck. (Bus dem Jubelband ftir H. A. Lorentz, Arch. NBerl. p. 164. 1900,

mitgeteilt vom Verfasser.)

Unter den Vorstellungen , welche man sich gegenwiirtig von den Vorgiingen bilden kann, die in den Centren der Emission und der Absorption der Licht- und Wiirmestrahlung sich ab- spielen, besitzt durch ihre Einfachheit und Verwendbarkeit die griissten Vorziige die namentlich von H. A. L o r e n t z ausgebildete Amahme, dass die Quelle aller Strahlungs- erscheinungen in schnellen Schwingungen discreter elektrisch geladener Teilchen, der Ionen oder Elektronen, besteht, welche ihre Schwingungsenergie durch Ausstrahlung dem umgebdnden Aether mitteilen, und umgekehrt d m h Absorption von ihm empfangen k8nnen. In den gewZIhnlichen ponderabeln Kiirpern hat man sich diese schwingenden Ionen sehr nahe aneinander- liegend zu denken, sodass die unmittelbar benachbarten mit sehr bedeutenden Kriiften aufeinander wirken werden. Aber die Fkhigkeit eines schwingenden Ions, Energie zu emittiren und auffallende Strahlnng zu absorbiren, ist ihrem Wesen nach nicht notwendig an das Vorhandensein benachbarter Ionen, sondern vielmehr an die Schwingungsvorgiinge des Ions selbst gebunden; und wenn man auch aus der Emission und Ab- sorption eines einzelnen Ions noch keineswegs unmittelbar auf die entaprechenden Griissen in einem System von dicht an- einander gelagerten Ionen schliessen kann, so dWte es doch ale Vorarbeit fiir die Behandlung zusammengesetzter Fille nutzlich sein, die quantitative Berechnung der von einem ein- zelnen schwingenden Ion emittirten und absorbirten Energie auszufiihren.

ZunBchst sol1 uber die Schwingungsform des Ions gar keine specielle Annahme gemacht werden. Die einzige Voraus- setzung, von der wir ausgehen, ist, dass dae im Vaczuum be- findliche Ion, mit einem anderen ruhenden Ion von gleicher

620 JL Planck.

und entgegengesetzter Ladung zu einem Moleciil vereinigt, schnelle Schwingungen ausfiihrt und daher in jedem Augen- blick mit jenem zusammen einen elektrischen Dipol vorstellt, von schnell wechselndem Moment, und dass die Dimensionen dieses Dipols bestindig klein sind gegen die Lange der von ihm in das Vacuum ausgesendeten Welle, oder, fir un- periodische Vorgllnge , gegen diejenige Lange, welche erhalten wird, wenn man die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes im Vacuum dividirt durch die ,,verhaltnismilssigeGeschwindigkeit" 1 IX. dX/c?t der Schwingungen des Ions, wohei X irgend eine Schwingungscomponente bedeutet. Nur unter dieser Voraus- setzung iet namlich der elektrische Zustand des Moleciils durch sein elektrisches Moment als vollkommen bestimmt anzusehen, da sonst die elektrische Kraft eine meskliche Zeit brauchen wiirde, um sich von einer Stelle des Molecule zu einer anderen fortzupflanzen, und nur unter dieser Voraussetzung kann man die elektrischen Vorgange im umgebenden Felde, immer in bestimmtem Sinne in eine ,,primare", von aussen 4uf das Ion fallende und dasselbe erregende, und in eine ,,flecundilFe'L, vom Ion ah Centrum ausgehende Welle zerlegen, ebenso wie auch nur dann die gesamta vorhandene Energie sich aerlegen lbst in einen Teil, der von dem sugenblicklichen Schwingungs- zustand des Ions abhangt, und den wir die Schwingungsenergie des Ions nennen wollen, und in einen snderen Ted, den wir die Energie des umgebenden Feldes nennen.

Wir wollen uns zunachst mit der ,,secUnd&ren", vom schwingenden Ion ausgehenden Welle beschiiftigen, indem wir etwa annehmen, dam gar keine ei~egende Welle vorhanden ist und nur einfaches Abklingen stattfindet. Ee handelt sich d a m um die Berechnung der von dem schwingenden Ion emittirten Energie. Sei der Vector, welcher das elektrische Moment des im Anfangspunkt der Coordinaten befindlichen Dipols darstellt, mit m bezeichnet'); dann ist die von dem

1) Die Bezeichnungen echliessen sich ganz denen von H. A. Lorentz in seinem ,,Versuch einer Theorie der elektrischen und optiachen Er- scheinugen in bewegten Karpern" an, mit der alleinigen Ausnahme, dasa ich hier, urn den Zneammenhang mit meinen Wheren Arbeiten aufrecht zu erhalten, f h die elektrischen Uromem daa elektroetstisehe Masenayetern benutze.

_ _ _ _

Emittirte und tzbsorbirte Energie. 62 1.

Moleciil sich nach aussen fortpflanzende elektromagnetische Welle an irgend einem Ort 2, y, z, dessen Entfernung r vom Molectil gross ist gegen die Dimeneionen deseelben, zn irgend einer Zeit t gegeben durch die Componenten der elektriechen Kraft :

as m, a $ 3, = -- - A (-:), . . .

und der magnetischen Kraft:

Hierbei ist

und in m,, my, m, ist, wie auch uberall im Folgenden, statt des Argumentes t der Wert t - t/ P (7 Lichtgeschwindigkeit) zu setzen, sodass jede dieser drei Grassen Function von t - r / P ist.

Bedenkt man, dass:

so kann man auch schreiben:

(3) as 1 m, 3 s 8 3 r

5 = -- ----,..,

und erkennt, dass in der N&he des Dipols, wo die @lieder mit der ersten Potenz von r im Nenner gegen die mit h6heren Potenzen verschwiuden, die elektrische Kraft 3 ein Potential hat, vom Werte:

herrnhrend von dem elektrischen Moment m des Dipols.

1) H. A. Lorente, 1. 0. p. 53, woselbst die Liienng fiir den ell- gememeren Fall gegeben ist, dsee daa Molecfil eke Tranelationsge schwindigkeit p beeitzt.

622 Al. Planck.

Emittirte Energie.

Urn die von dem schwingenden Ion nach allen Richtungen emittirte Energie zu erhalten, legen wir urn das Moleciil eine Kugelflache mit dem gegen seine Dimensionen grossen, aber gegen die Wellenlange kleinen Radius r, und berechnen nach dem Poynting'schen Satz die in der Zeit d t nach aussen striimende Energie:

d E = d t . - . l [ 3 . @ ] , d o . V 4.n

Der Ausdruck hinter dem Integralzeichen bedeutet die in der Richtung der tiusseren Normale n von d B, d. h. des Kugel- radius r , genommene Componente des Vectorproductes aus elektrischer und magnetischer Kraft. Ordnen wir die Glieder nach den Componenten g,, gy, gE der elektrischen Kraft, so ergiebt sich :

oder, mit Benutzung der aus (1) und (2) folgenden Identitat:

Diese in der Zeit d t durch die Kugelflache nach aussen striimende Energie d E ist aber nicht identisch mit der in der- selben Zeit emittirten Energie. Denn sie enthalt gewisse, und zwar sehr grosse Glieder , welche sich als vollstjindige DXe- rentialquotienten nach der Zeit darstellen und deren zeitliches Integral daher nur von dem augenblicklichen Schwingungs- zustand des Dipols abhangt, d. h. ebenso wie das elektrische Moment m bald zu und bald abnimmt. Diese Energie stromt also durch die Kugelflache hin und her, abwechselnd nach der einen und nach der anderen Seite, sie ist daher nicht der emittirten Energie, welche den Dipol dauernd verlasst und in das umgebende Feld ubergeht, sondern der Eigenenergie des Molecules zuzurechnen, die sich abwechselnd auf griissere und kleinere Entfernungen vom Dipol hin verbreitet. Da es

Emittir te und ahsorhirte Energie . 623

sich hier nun lediglich um die Berechnung der endgiiltig emittirten Energie handelt, so sind in dem Ausdrack von d E alle diejenigen Glieder wegzulassen , welche als vollstiindige Differentialquotienten der Zeit dargestellt werden kiinnen. Allerdings lie@ in dieser Abspaltung einzelner Glieder eine gewisse Unbestimmtheit , aber die damit verbundene Willklir wird urn so geringer, f i r je grossere Zeiten man die emittirte Energie berechnet. Bei der Ljcht- und W i l r m d M u n g spielt dieselbe wohl niemals eine Rolle, da hier fur die emittirte Energie immer nur solche Zeiten in Betracht kommen, die gegen die Dauer einer Schwingung ungeheuer gross sind.

Ersetzt man nun in dem letzten Ausdruck von d E die elektrische Kraft &, By, & durch ihre in (3) angegebenen Werte, so erhalt man hinter dem Integralzeichen zunachst das Glied:

welches sich bei naherer Untersuchung als ein vollsttlndiger Differentialquotient nach der Zeit t herausstellt, und zwar ale der Differentialquotient der Function :

wie man auch durch Differentiation dieser Function nach t unter Berucksichtigung des Ausdruckes (2) von S erkennen kann.

Nach den obigen Ausfuhrungen liefert dieses Glied keinen Beitrag zur emittirten Energie und kmn daher weggelassen werden.

Der Rest von d E betragt:

Nun ist

Folglich :

(4) mz 1 in, _ - - - _ - _ _ - a lir,

a r r r* V r '

624 M. Planck.

Die Einsetzung dieses Wertes in den Energieausdruck ergiebt abermals ein Glied, welches einen vollstsndigen Diffe- rentialausdruck nach t darstellt, namlich das Glied :

mz ritz r rz

-.- und daher wegzulassen ist. Es bleibt iibrig:

Endlich fiihren wir die Componente des Momentes m in der Richtung r ein:

X Y X m - + m - + + - = m m , . mr Y r z r

Dann ist .. zitiz +yiIiy + zitiz = T m T

und mit Beriicksichtigung von (2) und (4):

wodurch sich, unter Weglassung eines weiteren Gliedes, die emittirte Energie in der Form ergiebt:

oder kiirzer geschrieben l) :

Hier kiSnnen iri und iti?, statt als Functionen von t - r / 7, als Functionen von t allein angesehen werden, da nach der Voraussetzung r klein ist gegen die Wellenllinge. Dies Resultat liisst sich folgendermaassen in Worte fassen:

Die von einem-elektrischen Dipol mit dem veranderlichen Moment m nach irgend einer,Richtung r emittirte Energie ist proportional dem Quadrate der senkrecht zu T genommenen Componente des Vectors iri. Da ferner m durch das Product der unveranderlichen Ladung des beweglichen Ions und seiner

1) iri bedeutet nicht den zweiten Differentialquotienten der Griisse des Vectors m, sondern die Grijsse des Vectors, welcher die Componenten hiz, i~&,, iti. besitzt. (H. A. Lorentz, 1. c. p. 10.)

Ernittide und absorbirte Energie. 625

Entfernung ' von dem entgegengesetzt geladenen als ruhend an- genommenen Ion gegeben ist, so wird die Ausstrahlung in der Richtung t bedingt durch die senkrecht zu T genommene Com- ponente der Beschleunigung des beweglichen Ions.

Zur Berechnung der Gesamtemission setzen wir den Winkel, welchen die Richtung des Vectors iri mit T bildet, gleich 8, und

d a = r 2 s i n 8 d 6 d y . Dann folgt fur die ganze in der Zeit d t vom schwingenden

Ion emittirte Energie: n ? n

Die nach allen Richtungen emittirte Energie setzt sich also additiv zusammen aus den von den drei linearen Schwin- gungen ma, my, m, emittirten Energien.

Vorstehendes Resultat wird sich jedenfalls noch leichter ableiten lassen, wenn man statt der rechtwinkligen Coordinaten x, y, z von vornherein Polarcoordinaten benutzt.

Abeorbirte Energie.

Wenn das betrachtete Ion von einer im umgebenden Felde fortschreitenden elektromagnetischen Welle getroffen wird , so wird auf seine Ladung eine &aft ausgeubt und dadurch Energie iibertragen werden. Diese Energie, welche den Schwingungen des Ions zugefuhrt wird, geht der erregenden, primaren Welle verloren und ist daher als von dem Ion absorbirt zu bezeichnen. Die Berechnung derselben ist sehr einfach. Nennen wir jetzt &, &, & die Componenten der elektrischen Kraft der er- regenden Welle am Orte des Ions, wobei wir wieder voraus- setzen, dass die Dimensionen der Bahn des Ions so klein sind, dass diese Griissen von ihr nicht abhangen, so ist die Arbeit, melche die erregende Welle an dem bewegten Ion in der Zeit d t leistet, nach unserer bivherigen Bezeichnung:

und dies daher auch die von dem bewegten Ion in der Zeit d t absorbirte Energie. In der Licht- und Wllrmestrahlnng wird

(6) (8, Ib, + gy my + 8, lit,) d t

Ahnnalen der Phpsik. IV. FOlge. 9. 41

626 M . Planck.

diese Grosse gewohnlich als wesentlich positiv angesehen; das ist aber nur dann zutreffend, wenn die absorbirte Energie nicht fur ein Zeitelement, sondern fur eine im Verhaltnis zu einer Schwingungsperiode grosse Zeit genommen w i d .

Elliptisch schwingendes Ion. Die vollstandigen Bewegungsgleichungen des Ions konnen

erst dann aufgestellt werden, wenn die Abhangigkeit seiner Schwingungsenergie von seinem elektrischen Xoment m und dessen zeitlichen Differentialquotienten rir bekannt sind. Der einfachste Fall, den wir wegen seiner Bedeutung f~ die Licht- und Warmestrahlung im Folgenden noch kurz betrachten wollen, ist der der nahezu elliptisohen Schwingung. Dieser Vorgang ist nahezu periodisch; er wird streng periodisch, wenn Energie im Ganzen weder emittirt noch absorbirt wird. Bei angenlherter Periodicitat machen sich die Einfliisse der Emission und Absorption von Energie nur verhaltnismassig langsam, erst nach Ablauf einer grossen Anzahl von Schwingungen, merklich geltend.' Sehen wir zunachst von diesen Einfliissen ganz ab, so ist die Energie des schwingenden Ions constant zu setzen. Der Ausdrnck derselben hat in dem betrachteten Falle die ein- fache Form:

+x(mi + my'+ m;) + &L(I% + it; + ritz'), wobei K und I/ Constante. Die Bewegungsgleichungen des schwingenden Ions, ohne . Dampfung und ohne Erregung, sind dann:

Kmz + Liit, = 0, . . * Die Schwingungsdauer betriigt :

1'= Z n E .

Ziehen wir nun die durch Energieemission verursachte Dampfung in Betracht. Die Dampfung bedingt in der Schwin- gungsgleichung ein Zusatzglied, sodass dieselbe lautet:

(7) xm, + Liitz + Mrir, = 0, . . . Das letzte Glied entspricht der Dampfung und ist bei

angenaherter Periodicitat klein gegen jedes der beiden ersten. Der Wert der positiven Constanten M ergiebt sich durch

Emittirte und absmbirte Energie. 627

Die in der Zeit I einer Schwingung ver- folgende Rechnung. lorene Schwingungsenergie betragt :

t + T - [+ K + m; + m 3 + y L (ITtX 1 ' 2 + m; + tit:)]t

= - [(Kmzilz + . . . + JritXili% + . . . ) d t

=IN(?$ +. . . ) d t .

t + T

t

und nach (7): t + T

t

Andererseits ist nach (5 ) die in der Zeit eiher Periode emittirte Energie :

t + T

t

oder durch partielle Integration : t + T

oder, da nach (7) angenahert: K . I, z . m, = - - nt

t + T

gJ$+t + . . .). t

Da nun die Dampfung nur durch die Emission bedingt sein 5011, so ist dies zugleich auch die verlorene Schwingungs- energie, und daher:

1 K M = 2 -.-

S ' V 3 L Die Schwingungsgleichung lautet mithin :

2K . Km, + Am, + -mX = 0, . . . 3 V 3 L

Die ausdriicklich eingefuhrte Voraussetzung, dass das DPmpfungsglied klein sein sol1 gegen jedes der beiden anderen Glieder, erfordert, dass

K klein gegen P A g . 41 *

628 M. Planck. Bmittirte und absor&irte Energie.

Wird endlich das Ion von aussen her zu Schwingungen angeregt, so kommt noch die Absorption von Energie hinzu, und damit vervollstindigt sich die Schwingungsgleichung mit Rucksicht auf (6)? wie leicht einzusehen, in folgender Weise:

Km, + 5 iit, + 2 K lit,=&, .. . Diese Gleichung stel1t::also die Rewegung eines nahezu

elliptisch schwingenden Ions vor, welches seine Energie durch Strahlung emittirt und zugleich aus auffallender Strahlung Energie absorbirt. Sie ist eine Verallgemeinerung einer friiher von mir auf anderem Wege fur eine geradlinige Schwingung abgeleiteten Gleichung. l)

1) M. Planck, Wied. Ann. 60. p. 592. 1897.

(Eingegangen 20. Juli 1902.)