Ober eine Arbeit von Herrn Tschebotareffl).

Von OTTO SCHREIER in Hamburg.

Wie FROBENIUS gezeigt hat, kann man in bezug auf einen GALOISschen Zahlk0rper ~ jeder rationalen Primzahl (mit endlieh vielen Ausnahmen) eine Klasse konjugierter Elemente der GiLOISschen Gruppe yon ~ zu- orduen. FROBEmUS vermutete, daft die Dichte der zu einer solchen Klasse geh0rigen Primzahlen der Anzahl tier Elemente in der Klasse proportional sei; doch konnte er diese Beziehung nicht for die Klassen selbst, sondern bloB ftir gewisse, im allgemeinen umfassendere Komplexe yon Gruppenelementen, die ,Abte i lungen" , beweisen~). Nunmehr ist es HelTn TSCHEBOTAREFF gelungen, die FROBENIUSSChe Vermutung voll- st~tndig zu beweisenl). Seine LSsung beraht auf der fo]genden Er- kenntnis: Man adjungiere zu ~ einen zu ~ fremden KreiskOrper ~ und lege ftir die rationalen Zahlen jene Kongruenzklasseneinteilung zugrunde, in bezug auf die E KlassenkOrper ist; dann hebt eine solche Kongruenz- klasse aus den Primzahlen, die zu gewissen Abte i lungen in bezug auf den Oberk6rper geh0ren, gerade diejenigen heraus, die zu einer Klasse in bezug auf ~ geh0ren. Diese Erkenntnis wieder folgt aus einer rein gruppentheoretisehen Bemerkung. Es seheint mir nun, daft in der Darstellung yon Herrn TSCHEBOTAREFF dieser klare Grundgedanke nicht gentigend hervortritt, indem einerseits einige Umwege gemacht werden, andererseits die sehr spezielle Wahl des Kreisk0rpers ~; leicht den Eindruek erwecken k0nnte, diese besondere Wahl sei wesentlieh.

In Anbetraeht des sch0nen Ergebnisses m0chte ich im folgenden versuchen, den Beweis yon Herin TSCHEBOTAREFF einfacher darzustellen. Dabei setze ieh weder die TSCHEBOTAREFFSChe noeh die FROBEmUSSehe Untersuchung als bekannt voraus. Aus der Primzahltheorie werden folgende Tatsachen verwenciet: r (p; f) bedeute die Anzahl der Prim- idealteiler ersten Grades der rationalen Primzahl p im K0rper [. Dann ist nach KRONECKER

1 (1) ~ v (p; f) p-S ___-- log ~ +f(s),

wobei p alle Primzahlen durchlauft uud f(s)hier wie im folgenden eine Funktion bedeutet, die ftir s ~ l ~ 0 beschrankt bleibt. Ist ferner

1) N. TSCHEBOTAR~FF, Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge yon Prim- zahlen, welche zu einer gegebenen Substitutionsklasse geh0ren. Math. Ann. 95 (1925) 8. 191--228.

~) G. FROBENIUS, Berl. Ber. 1896, S. 689 if. 1

2 0. Schreier.

ehie Kongruenzklasseneinteilung der rationalen Zahlen gegeben und z die Anzahl der Klassen, in denen Normen yon Idealen aus f liegen

offenbar biIden diese Klassen eine Gruppe -- , so ist

(2) u ( p ; [ ) p - ' 1 log 1 : y + y ( 8 ) ,

wenn p diePrimzahlen in einer jener z Klassen durchl~uft. (2) ist als Spezialfall in einer zuerst yon Herrn H~.CKE s) bewiesenen Gleichung enthalten. Herr TSCHEBOTAP~FF beweist in w167 3 und 4 seiner Arbeit die Gleichung (2) aufs neue, ohne dabei komplexe Veritnderliche zu benutzen. Aus i(2) folgt iibrigens - - was die Bestimmung yon ~ unter Umst~nden erleichtert - - , daft z auch als Anzalfl derjenigen Kongruenz- klassen definiert werden kann, in denen sogar l~ormen yon P r i m i d e a l e n ersten Grades liegen.

1. Sei St ein GALOISSeher ZahlkC~rper n- ten Grades, ~ seine GALOISsche Gruppe, p eine nicht in der Diskriminante yon St aufgehende rationale Primzalfl und p ein Primidealteiler yon p-in St. Dann gibt es eine und nur eine Substitution 8 aus ~ derart, daft for jede ganze Zahl a aus St die Kongruenz

(3) aP ~ 8a (mod p)

gilt'). Filr ein zu p konjugiertes Primideal Tp folgt hieraus, wenn wir noch a durch T - x a ersetzen:

a~ ~ T S T - x a (mod Tp).

Es ist also auf diese Weise der Primzahl p eine Klasse yon konjugierten Elementen der Oruppe ~ zugeordnet; wit s agen: ,p g e h o r t zur Klasse yon 8" oder ~ gehOrt zu (8)." Aus dieser Definition folgeu unmittelbar die beiden SIttze:

I. Es geh~re p in dem Galoisschen K~,per St rait der r zur Klasse yon 8; 9] sei ein Normalteiler yon ~ und st* der zu ~ .qeh~rige (Oaloissche) Unterk6rper yon St; dann geh~rt p in St* zur Klasse yon 9~8.

]I. St und St' seien teilerfremde (Taloissche K6rper mit den Grutrpen ~ , ~ ' ; St = {st, St'} sei der aus ihnen eusammengesetzle K6rper, seine OrulrPe also dos direkte Pro&&t yon ~ und ~ ' .

Dann sind die beiden Aussagen (a) . p geh~t in St zur Klasse yon 8 . E 'u, (b) ,,p geh6rt in St e~ (8) und in St' eu (S'~"

qleichwertig.

:) E. HZcl~B, GStt. Na~hr. 1917, S. 818. 4) Vgl. z . B . H . W~cBgg, Lehrbuch der Algebra II, 2. buff. (1899), S. 655 f.

fiber eiae Arbeit yon Herin Tschebotareff. 3

2. Es sei nun ~) eine Unter~uppe der Ordnung m yon (~ und ! der zu ~) gehSrige Unterk0rper yon ~ . Dana gilt:

HI. Oeh~rt p in St zur Klasse van S, so ist die Anzatd v (p; f) der Primteiler ersten Grades yon p in f gleich dent m-ten Te~ der Anzahl der Elemente T aus @, f a r die T S T -x in ~ liegt.

Ist nitmlich p* ein Primtefler ersten Grades yon p in ~, so ist for jede ganze Zahl # aus

(5) ~P ~ B (mod p*).

Tp sei ein Primideal in ~ , das in p* aufgeht. Dann gilt (5)erst reeht rood Tp und ferner ist nach (4)

~P ~ T~T-*,O (mod Tp).

Also besteht f~r alle ganzen Zahlen ~ aus t die Kongruenz

,8 ~ T~T-*# (rood Tp).

Da aber 17 nicht in der Diskriminante yon 9 , erst reeht nieht in der yon r aufgeht, geh0rt demnach T E T - * zu ~. Liegt umgekehrt T E T -~ in ~), so zeigt dieselbe Uberlegung, daft der Tp enthaltende Primteiler p* von p in f yore ersten Grade ist. Nun enth~dt p* neben Tp aUe mad nut die Primideale H T p , wo H ein Element aus ~) bedeutet. Demnach fiihren je m Elemente T zu demselben Primteiler ersten Grades.

3. Nunmehr sei S ein Element der 0rdnung f aus (~. Wir wenden III. auf die yon 8 erzeugte zyklische Gruppe und ihre Untergruppen

$ an. FOr jeden Teiler d yon f s e t z e n wit Sd==S d. ~ sei die yon Sd erzeugte zyklisehe Gmppe, ja die Anzahl der mit ~ konjugierten Untergruppen von (~, also n :jd die 0rdnung des Normalisators yon ~z, fd der zu ~d gehOrige KOrper. Aus III. lesen wir unmittelbar ab:

(p; fa)-~-0, wenn p zu keiner der in ~ vertretenen Klassen geh6rt.

v(2;fd)------d ' j- t ' wenn p zu (8 u) geh0rt, w o t l d und ( p , f ) = .

Fassen wit demnaeh die Klassen yon S ~ mit (p, f ) = f : t zu der A b t e i i u n g yon St zusammen und setzen ~ (s; t) = ~ p - ' , wo p aUe zur Abteilung von Sz gehOrigen Primzahlen durchl~uft, so ist naeh (1)

~ n l o g ~ 1 t ) = rid

Multiplizieren wit dies mit --~-~ ~ d s~mieren fiber alle Teller

d yea f , so erhalten wir

~ ( s ; f ) - J f ~ ( f ) log 1 n + f ( s ) .

1"

4 O. 8chreier.

Beaehten wir nocb, dab in jeder der mit ~ f konjugierten Gruppen ~ ( f ) Elemente der Abteilung yon S vorkommen und keine zwei dieser Gruppen ein Element der Abtei]ung gemein haben - - denn ein solehes Element erzeugt die betreffende Gruppe - - , so haben wir den

Satz yon FROBENtUS: Die Dichte der zu einer Abteilung geh~rigen Primzahlen ist der Ancahl tier in der Abteilung. enthaltenen Elemente Froportional.

4. Es sei ~ eine primitive L-te Einheitswurzel, K(~) der yon ihr erzeugte KOrper. DieAussage ,~ gehOrt in bezug aufK(~) zur Substitution C "~) ist dann gleiehbedeutend mit ,~# = C~". Da aber ~ nur yon der Restklasse m0d L abhitngt, in der p liegt, ist die Verteilung der Primzahlen auf die Substitutionen der Gruppe von K(~) identisch mit der auf die Restklassen mod L, a lso nach DIRICHLET eine gleichm~d$ige. Indem wir I. anwenden, erhalten wir

IV. Injedem Kreisk~per ist die Verteilung der Prirazahlen auf die Skbstitutionen seiner OrulrPe identisch mit der dureh eine ge~sse Kon- gruenzklassengr~q~pe gegebenen.

5. Es sei jetzt ~ wieder ein beliebiger GAL0XSseher K6rper n-ten Grades mit der Gruppe q~, ~ ein zu ~ fremder Kreisk~rper _N-ten Grades mit der Gruppe ~I. S sei ein beliebiges Element aus ~, A ein belie- biges Element aus ~I, f die 0rdhung y o n 8 und g. die yon A. Wir wollen (2) auf den Unterk0rper f des aus ~ trod ~ zusammengesetzten KOrpers ~ anwenden, der zu der zyklischen, yon 8A erzeugten Unter- gruppe yon q~t gehOrt. Als Kongruenzklasseneinteflung legen wir die "dutch die Substitutionen yon ~ hervorgel~tene zugrunde. (Vgl. IV.) Nach HI. gehoren die Normen tier Primideale ersten Grades yon f zu einer der Klassen ( ~ A #) in bezug auf ~, also naeh IL zu einer der g Substitutionen A # in bezug auf {L Nach dem Satz yon FROn~.NIUS gibt es aber insbesondere PriInzahlen, die in ~ zu der Abteflung yon 8 A , also naeh H. in ~: zu einer Substitution A ~ gehOren, wo A ~ die Ordnung g hat. Da nun die Kongruenzklassen, in denen Idealnormen }iegen,. eine Gruppe bilden, so gehOren demnach zu allen Klassen A # (p ~--- 0, 1, 2, . . . , g - - l ) Primzahlen, die in (2) auftretende Zahl z ist also hier gleich g. Als Kongruenzklasse, fiber deren Primzahlen wir summieren woIlen, withlen wir die der Substitution Avon ~ entsprechende. GehSrt p in ~ zu (8~A u) und in {~ zu A, so muff p ~--- 1 (modg) sein. Wenn wir also annehmen, daft g dutch f teflbar i s t , so gehOrt dann p zu (SA) in ~, mithin naeh I I . zu (8) in ~. Es ist also v (iv; f) nut filr die Primzahlen zu bestimmen, die in ~ zu (E) und in {~ zu A gehOren. Die Anzahl der Elemente T aus @. 9/, fftr die

5) Die Gruppe yon K (C) ist Abelsch, ihre Klassen enthslten daher nut je eine Substitution.

Uber eine Arbeit yon Herrn Tschebotareff.

T S A T -1 :-- S /~A ~, ist leieht zu bestimmen: Zunitehst muff p ~ 1 sein, da die Darstellung eines Elements yon (~. ~[ als Produkt vort Elementen aus f~ und ~I eindeutig und A mit allen Elementen yon (~. ~[ ver- tausehbar ist. Es muff demnach T mit 8 vertauschbar sein und die Zahl dieser Elemente ist n N : h , wenn h die Anzahl tier in ~ mit 8

konjugierten Elemente bedeutet.

folglieh naeh (2)

(6) ~ ,u'~'-,+, t p - ' - - p zu A in g

Naeh ILL ist also ~ (p;f)~----

1 h 1 log 3k (s). _ v n 8-- -fl +

_ATn

g h '

Diese Gleichung gilt fftr alle Elemente A aus ~ , deren 0rdnung d - r c h f teflbar ist; bezeichnen wir die Anzahl dieser Elemente :von ~[ mit Ny und addieren wir die entsprechenden Formeln (6)l Dann durchlltuft p jeden- falls nur Primzahlen, die in ~ zu ($) gehSren. Also ist

und

N ~- l o g ~ -I-f(s)

p--s

(7) lim ~,n(s3 > .N'j. h 1 = N n s ~ + o l o g -

s - 1

6. Offenbar kann ~ so gew~hlt werden, daft ~[ eine beliebige end- liche Abelsche Gruppe ist. Wir wollen zeigen, daft dureh geeignete Wahl yon ~[ der Brueh ATI: N beliebig nahe an 1 gebracht werden kann. Sei nitmlich f - - q~l q~ . . . q~, die Zerlegung yon f in Primfaktoren (q~ # qk flit i # k). Withlen w i r dann ~ z.B. als zyklische Gruppe

b~ ac-1 der 0rdnung N ~ qb, qb~ .... q~, SO gibt es (q~--q~ ) Element~ in ~[,

deren Ordnung eine Potenz von qi und ~ q~ ist~ daher ist

" ~ H bt a~--I - - - - )

und demnach Nf: N mr hinlitnglich gro•e b~ beliebig wenig yon 1 ver- schieden. Aus (7) folgt also

P-s h lim p zu(~ > _

1 ~- n s-~l+o log s - - 1

6 0. Schreier .

Addieren wir die analogen Formeln fiir die fibrigen Klassen yon q~, so erhalten wir

l i m pnieh~tzu(8) ~o-s ~ n - - h

1 = J - . l+o log s - - 1

Demnach gilt

l q lim PZ~u(s)p-a ~ ~ p-a p nicht r.u (8)

1 s~l+o log s - - 1

---- 1 n --- e-~l+o log s - - 1

> lira "~'s)P-* y + n--__~h > h + n - - h - - 1 n ~ n n

s-~l+o log "s-- 1

.

Ersichtlich muff bier fiberall das Gleiehheitszeiehen gelten, also ist

zu•(8 P- - s

lim P ) h 1 n ' 8-~1+o log

s - - I

womit die Vermutung yon FROBENIUS bewiesen ist.

H a m b u r g , Mathematisches Seminar, im Mai 1926.