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Uber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik.
Von ERICH KAHLER in Hamburg.
,
Bei der Untersuchung der Invarianten einer reell 2 n-dimensionalen HERMITESehen )Setrik ~)
(1) ds ~ ----- X gi~ dxi dxk
gegenfiber den. ,,pseudokonformen" Transformationen
!
Xi -~ ~ i (Xl , X], "" ", Xn) (2) ~[ = Vi (~, x~, . . . , ~n) (i = 1, 2, . . . , n)
ist es naheliegend, neben (1) die alternierende quadratische Differential- form (forme ext4rieure)
zu betrachten, in der d(xi , ~k) das sog. aut~ere Produkt ~) der Diffe-
rentiale dxi, ds also eine Differentialdeterminante O (xi, ~k) d s d t o (s, t) bedeutet. Diese invariant mit (1) verkniipfte Form ~ gibt Gelegenheit, den eleganten Kalktil der symbolischen Differentialformen 8) zur Her- stellung yon Invarianten zu verwenden. So ist z. B. die Ableitung
~' : ~ d Cq,~, xi, G) = _ . ~ d (xz, xi, ~ d (~, xi,
bereits eine neue invariante Form, und durch Kombination yon dieser mit ~ ergeben sich weitere Invarianten.
Bei dieser Betrachtungsweise bietet sich der Fall ~ ' - ~ - 0 als bemerkenswerte Ausnahme dar. Es zeigt sich, dal~ sich dann die Metrik in folgender Weise:
(3) d ~ ' = ~ ~ U xi 3Xk d x i dXk
1) ~ bedeutet allgemein die konjugiert komplexe GrSfie zu x. Die auf kon- jugierte Variable �9 beztiglichen Indizes sind stets iiberstrichen.
2) Um Verwechslung mit der gewShnlichen Multiplikation zu vermeiden~ sind ~ufiere Produkte yon Differentialen dx, dy, dz durch d (x, y, z) bezeichnet.
3) E. CARTAS, Invariants int6graux, Chap.VI,VH. Paris (1922). -- GOURSAT, Lemons sur le probl6me de Pfaff, Chap. III. Paris (1922).
174 E. Ki~hler.
aus einem ,,Potential" U ableitet, was offenbar eine invariante, und zwar mit ~'-----0 gleichwertige Aussage ist.
Zu diesem Typus geh(iren gewisse in der Theorie der automorphen Funktionen auftretende Metriken. Sind ni~mlich
, L i (x) __ a i o ~ - a ~ l x l ~ . . ' ~ a i n x n ( i - ~ 1 2 . . . , n) ( 4 ) Xi - - i o ( x ) O~oo-~- ~Ol x l -~- . . �9 -~- go~ Xn ' '
projektive Transformationen, die die Einheitshyperkugel
1 - - x l x l - - x 2 x2 . . . . . xn xn ---- 0
in sich fiberftihren, so ist wegen
( i - -~x~x-~) = ( i - -~xv~ x,~){Lo (x). Lo (~::))-1
die mit
y = k log
gebildete Metrik
0 ~ U dxi d'xk
(k eine Konstante)
invariant gegenfiber der Gruppe der,,hyperfuchsschen" Transformationen(4). Analog ist ffir die ,,hyperabelschen" Transformationen
, ~i x ~ § ~ X i - - Y i x i § (i ~ 1, 2, . . . , n) ,
die die Einheitskreise
1 - - x i x i - ~ 0 ( i --~ ] , 2 , . . . , n )
festlassen, die aus dem Potential n
U ~ ~_+ ki log (1 - - xi x i ) (ki Konstanten) i ~ 1
ableitbare Metrik invariant, und es ist klar, daf auch alle Zwischenfi~lle, etwa die aus hyperfuchsschen Transformationen in r u n d s ( r + s ~ - n )
Variablen komponierten Gruppen, zu Metriken yon jenem Typus ffihren. Diese Zusammenhi~nge werden es rechtfertigen, wenn im folgenden
einige formale Betrachtungen fiber die Metrik (3) mitgeteilt werden; denn yon der Geschmeidigkeit dieser Metrik hi~ngt viel ab in dem algebraischen Studium der automorphen Funktionen.
Es sei noch bemerkt, daft
0~U ds2 -~ ~-+ dxi dxk dxt dxk
~ber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik. 175
eine L(isung der Einsteinschen Gravitationsgleichungen
R,~ ~ ~ g,~fl
darstellt, wenn das Potential U der Gleichung
0 s U = _____ e~ ~
O xi 0 xir genfigt.
.
Der Nachweis, dab aus ~ ' = 0 die Darstellung (3) folgt, ist leicht erbracht. Durch Nullsetzen der Koefiizienten yon ~' erhi~lt man
wonaeh
Ogi~ Ogii Ogi~ O.qth - - O~ - - O, O xt O xi O ~t O ~k
gesetzt werden kann.
~ v / ~v~ gi~--
O xa O xi
Die Integrabiliti~tsbedingungen
d.h. Oxi Oxz
zeigen dann, dab die Ausdrticke O x~ O xi
- - nieht yon den ~ abhangen:
~v~ ~v~ (5) - - - - ~ i~(x l , x~, . . . , x , ) .
O Xt O Xi
Nun kann man n Funktionen V~, V~, . . . , V,~ yon Xl, X2, " ' "
stimmen, dab ~v" ov{
-- ~i~r x ~ , �9 � 9 xn) O x~ O xi
, x n so be-
sind; denn diese Gleichungen lassen sich zusammenfassen zu
( - - ~ V[ dxi) ' = ~_~ cfil d(x i , x~).
Notwendige und hinreichende Bedingung daffir, dab eine Differential- form ~_,~i~ ( x l , . . . , xn )d (x i , xl) als Ableitung einer anderen nur in der Variablen x enthaltenden Form dargestellt werden kann, ist aber das Verschwinden der Ableitung
176 E. Kiihler.
Y ~efil d(xm, Xl) O, ( y , d(x , = _ x . =
was wegen der Gestalt der linken Seite yon (5) der Fall ist. Offenbar kann man, ohne die Gleichungen
zu verletzen, Vi durch Vi--V[ ersetzen mit dem Erfolg, daft ffir die neuen Vi die Gleiehungen
ov~ ov~ - - o
O xt O xi
Danach sind die Vi darstellbar in der Form
0W Oxi
gelten.
V i - -
und ftir gi~ ergibt sich
.q~T, - - ~ xk ~ xi ~ Yk + ~ x=k ~ x~ ~-~k '
wenn U : W-Jr - x l ~/'l+X21/)2+ . . . "Jf-Xnl/lrt
gesetzt wird.
(6)
Man sieht sofort, dalt auch ftir jede Metrik
ds ~ ~ ~ __O~ U dxi dxk
die zugeh(frige i~uBere Differentialform
0 ~ U d(xi , xk)
integrabel ist (~' ~ 0).
3. Von der Metrik (3) wollen wir jetzt den Riemannschen Krfimmungs-
tensor und insbesondere den verjiingten Krfimmungstensor R,~ bereehnen. Es empfiehlt sich dabei, um den AnschluB an die fibliche Bezeiehnungs- weise zu haben, den Faktor 2 anzubringen:
02U ds ~ ~-- 2 0 xi O----~k dxi dxk --~ g,~ d x , dx~.
Mit grieehischen Buchstaben sollen ktinftig immer die Indizes bezeichnet werden, die aller 2n Werte 1, 2, . . . , n , 1, 2, . . . , ~ fiihig sind, wahrend die lateinischen Buchstaben Zahlen der Reihe 1, 2 , . . . , n, die tiber- striehenen Buchstaben die Zahlen 1, 2, . . . , ~ bezeichnen. Ferner sollen nach fiblicher Weise die Summationszeichen weggelassen werden.
~ber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik. 177
In der quadratischen Form .q,~fl dx,~ dx~ fehlen die Terme g~, gT~ und dementsprechend sind auch
gik ~ O ~
wi~hrend
gi~ ~ _ _
g i k ~ O,
D~z D
ist, unter D i~ die mit riehtigem Vorzeichen versehene, zum Element Ui~ ~) geh0rige Minore yon
D = D ( U ) ---- I U, l verstanden.
Die Christoffelsymbole / a / / berechnen sich am rasehesten als
Koeffizienten yon &. ~ in dem mit der kinetisehen Energie
T Ui~ & x~
gebildeten Lagrangesehen Ausdnmk
Man findet
[?] : Ui#z, [ i l k ] - - ~-,,,
und alle fibrigen Christoffelsymbole sind gleich Null. Damit ist auch der Kriimmungstensor gleich bekannt; nur die Komponenten vom Typus R~.tm sind yon Null verschieden~), und zwar ist
R i ~ , l ~ = - - U i ~ l ~ + gr~ U~l~ U~-~r.
Von dem verjtingten Tensor
bleiben demnach auch nur die Komponenten R ~ mit gemischten Indizes ~ibrig; denn es ist z. B.
~ R
was nur fiir ein fl = k yon Null verschieden ist. In
R ~ = - - gr~ R ~ = gr~ ~ r ~ - - g ~ g~ U~ U ~ ,
t) Zur Vereinfachung werden ferner die Ableitungen einer Funktion dutch hn- 02U
h~ngen der Indizes der Differentiationsvariablen bezeichnet. Z .B . - - ---- U~.
2) Und natiirllch auch P~k, ~ usw.
17 8 E. Ki~hler.
lafit sich aber der Ausdruck auf der rechten Seite sehr elegant zusammen- fassen zu
Oxi Ox~ (log D ( U ) ) ,
was wir durch Nachrechnen besti~tigen wollen. Es gilt
~D -- IF ~ U~i,
8x~
- - -- D r~ Ur~i~ ~- Ur~i Ul~ D ~ ~ x~ 0 ~
~ U,~ U ~ geh0rige zweite Minore von D bezeichnet. wobei D r~ die zu U~ U~
Daraus folgt
O xi O xk
1 O~D 1 8D ~D - - ( l o g D) ~ --~ ~ xi oSk D 2 ~ xi ~ 5k
r$ D "~ / D ~
und wegen der leicht zu beweisenden Determinantenidentit~t ~)
r~ D. D ~ --/F ~ D ~ + D ~7~ D ~ = 0
ist dies gleiehwertig mit
g~ U ~ - - . q ~ g~ U~i U ~ ---- R;~.
Man hat also
(7) R~ - - ~x~ ~xk (lag D ( U ) ) .
Dr~ Dl"~ 1 ],
,
8'V _ (V= log D(U)), gibt Anlal] zu einer Der Tensor R ~ = 8 xi O xk '
zweiten alternierenden Differentialform
P. =- R ~ d (xi, xk) ~ ViE d (xi, xk),
deren Ableitung P-' verschwindet, weil ~ dieselbe Gestalt hat wie
Ubrigens sind ja beide Formen direkt als Ableitungen yon Formen ersten Grades darstellbar:
') Man halte in dem Ausdruck der linken Seite r , ~, l fest und bezeichne ihn mit Z ~. In den sofort ersichtlichen Gleichungen ~ U ~ Z ~ ~ 0 (flit i * r) zusammen mit Z T ~ 0 hat man n homogene Gleichungen, aus denen Z ~ = 0 folgt.
t~ber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik. 179
. , = dx )' = r i s k ) ' (S)
P. ~-- - - (Vi dxij' = (V~dxk)'.
Diese beiden Formen co und P- geben nun durch ~u~ere Multiplikation eine Reihe yon weiteren invarianten Differentialformen, unter denen die Formen zweiten Grades ~)
(9) .o2" ~o"-~, (v : 0, 1.. 2, . . . , n) die die Gestalt
A . d (xl, x---l, x2, �9 �9 ", xn)
haben, einiges Interesse verdienen. Zuni~chst ist
COn : ~! I Vikl d(xl , Xl , X2, " �9 ' , Xrt)
bis auf einen konstanten F a k t o r gleich dem Volumendifferential
d~) = Vlgt~fll d(Xl, Xl , x2, . . ., xn) ------ t Uikl d(Xl, Xl , x2, "" ", x n ) .
Ferner ist
t.~ ~n-1 = (n - - 1) ! Rig D i~ d (x~, ~ , x~, . . . , xn) (n - - 1) ! Ri~ g~k. D . d (x~, ~ , x2, �9 �9 xn)
( n - - 1 ) ! . R . d v ,
wo R der Krtimmungsskalar ist.
Die Integrale j ' 52 ~ o~ ~-r k(innen alle in Randintegrale umgeformt
werden, indem man o~ ~on-~ als Ableitung einer Form schreibt, was auf verschiedene Weise m~iglich ist. Man hat z. B.
{on ---- Uik, d(xi xk) " o)n-1 -~- (U~ dxk)', oo n-1 = [ ( U z d ~ ) O)Tt--1] ',
well c o ' = 0 ist; oder auch
= - - [ ( u i d x i ) .
Das Integral f R d v ist fiir eine allgemeine Metrik (mit n ~ l )
nieht in ein Randintegral iiberffihrbar, well ja die Variation dieses Integrals fiir mehr als 2 Dimensionen gerade die Einsteinschen Gravi- tationsgleiehungen (in der alten Fassung) liefert.
Ffir unsere Metriken dagegen hat man
( n - l)! f R d v ~- f ~o) n-1 = ~ (Y~ dx--k)'. ~ n - I : ~.J~[(V~ d-xk)" oon-i] !
1) Es wird wohl kein Mil~ersti~ndnis geben, wenn symbolisch multiplizierte Formen einfach nebeneinander gesehrieben werden. Man mul~ stets auf die Reihenfolge achten und bei Vertauschung yon Faktoren evtl. das Vorzeiehen umkehren.
180 E. Kithler.
so dal~ nach dem allgemeinen Stokesschen Satz
fc l f ~ (Vr~d~k)'~176 (10) R d v - ( n - - l ) ! (c)
ist, unter C eine 2 n-dimensionMe Zelle mit dem Rand !R (C) verstanden. Es gilt auch
j ; 1 L (Vidx,)oon_l, R d v - - ( n - - 1)l (c)
und durch Addition zu (10) erhi~lt man in
1 ~ (V~d~k-V'dxi)'~n-I (11) R d v -~- 2 . ( n - - l ) ! (c)
eine reelle Gestalt ffir den Integranden auf der rechten Seite. Diese Formel erinnert an den Satz yon GAUSS-BONNET, jedoch fehlt
zur vollsti~ndigen Analogie die Invarianz des Randintegranden. Bei einer pseudokonformen Transformation (2) geht V ~ log D(U) fiber in
a(xl, �9 .. x,) V' = V + log A + log ~-, fl = x~, , t t Xn ) 0 (x~, x2 , �9 �9 �9
also Vr~ dxk- -V i dxi in
aV ~_, aV , a- -, axk----~x, i dxi+dlog-~ Oxk wegen
denn
aa 8Zi 0x~ - - - , - - 0. O Xk
Der ganze Integrand i~ndert sieh mithin um
8~U ~ U d (x~ ~k) - - , d (x~. x-/~) co ~ 8 x i Ox-k 8 x i 8x-~
bleibt ja ungetndert. Wenn es nun geli~nge, eine mit den ( 2 n - - l ) dimensionalen Hyper-
fli~chen derart verbundene Kovariante A zu finden, daI3 sich A bei einer pseudokonformen Transformation um
fl log-~
andert, so kann man den Integranden
( V~ dSk- - Vi dxi) ~ o "
t~ber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik. 181
durch Addition yon d A.
invariant machen, ohne die Gleichung (11) wesentlich zu zerst6ren. Denn dA.~'~-x ist integrabel ((dA.~o~-~) ' ~ 0), und deshalb ist das
a ~
fiber die randlose Hyperfli~che ~(C) erstreckte Integral J - d A .
invariant bei stetiger Deformation yon ~ (C). Ffir n = 1, also eine zweidimensionale Metrik, ist es leicht, eine
solche Kovariante A zu finden. Ist x = x(t) , 5 = ~(t) die Gleichung einer Linie, so hat
dx dt dx
A - - - - l og d5 ~ - - 2 a r g . dt
dt
die OV d 5 OV dx Ox d t Ox d t ' also
d ~ dx d~x d ~ dP dt dt ~ d t
gewfinschte Eigenschaft und der mit d A korrigierte Ausdruck
U ~ d5 Ux~ dx dx d 5 ~- Ux---T d t Ux~ dt ' dt dt
ist im wesentlichen die geodi~tische Krfimmung der Randlinie !R(C).
Das Integral J dA hat bei einfacher positiver Umkreisung auf !R(C)
den Wert - - 4 ~ . Es sei tibrigens bemerkt, dab jede zweidimensionale Metrik auf die Gestalt
~sU ds ~ - - O x d ~ d X d ~ : - - A U ( d x ~ + d ~ ) ( x = x ~ + ' i x ~ )
gebracht werden kann. Es ware ftir die Theorie der automorphen Funktionen yon groBer
Bedeutung, wenn das Kriimmungsintegral ( l l ) oder irgendeines der
anderen Integrale J-q'" co n-~ in ein bei pseudokonformen Transformationen
invariantes Randintegral yon dem eben beschriebenen Typus fibergeftihrt werden k6nnte.
,
Die einfache Gestalt (7) des verjtingten Krfimmungstensors R ~ liiBt eine L6sung der Einsteinschen Gleichungen
182 E. Kiihler.
erraten. Ftir ungemisehte Indizes (a, ~) = (i, k) oder (a, B) = (i, k) sind diese Gleiehungen im Falle der Metrik
O*U (13) d s ~ ~ 2 ~ Xi O-------~k d xi d Xk
stets erftillt, und die Gleichungen
Ri~ ~ Zg~ verlangen:
~ ~ U xi ~ xk (log D (U)) = X ~ xi O----~k '
Die Differenz log D ( U ) - ;~ U ~ ~ muff also eine ,,n-harmonisehe" Funk- tion sein, d. h. sie muff den ftir die Realteile analytischer Funktionen charakteristisehen Differentialgleichungen
~ -- 0 ~x~ ~X-k
genfigen. Jede solche Funktion ist darstellbar in der Form
= e (x~, x~, . . . , x~) + ? ( . ~ , ~ , . . . , 5.). Die Gleiehung
(14) l o g D ( U ) - - , ~ U -= ~ p ( x t , . . . , x n ) + ~ p ( ~ , . . . , ~.n)
ist offenbar aueh hinreiehend daftir, dab (13) den Gravitationsgleiehungen (12) genfigt.
Die letztere Gleichung li~l~t sich darch eine pseudokonforme Trans- formation noch vereinfachen. Bei einer solchen Transformation andert sieh n~mlich log D ( U ) um
O (x,, x~, . . . , xn) + log 0 (x-l, ~:2; "- ", X-n) log ~ ; . , , --x;~) ~ ( ~ , x-~, i*-~) '
und man kann stets eine Transformation
!
Xif ~ Xi (Xl~ X2 ~ . . . ~ Xn )
finden yon der Art, datt
2~" '~ " ' " * n ) o (-1, x~, . . . , x~) = ~p(xI' x~, ,
ist. So erreieht man, dal3 in (14) ~p = ~ = 0 wird. Sueht man also nur die wesentlieh versehiedenen Metriken, die (12)
geniigen, so kann man sieh auf die L(isung der Gleiehung
beschr~tnken. D ( U ) = d v
?3ber eine bemerkenswer te Hermi tesche Metrik. 183
Die zu
U -~- - - log ( 1 - - ~ x ~ )
gehOrige Metrik, die bei den hyperfuehssehen Transformationen invariant bleibt, ist eine LOsung der Einsteinsehen Gleichungen.
Man hat n~,mlich
xk Jik k Ui~ - - S~ S {~ik = O, i #
~ii ~--- 1
X - l X l - - S x l x 2 �9 �9 �9 x l x n
D ( U ) = S -2'~ . . . . . . . . . . . . . ~ x l ~ x~ ~ S . . . .
-x,,x~ . . . ~ x , ~ - - S I
berechnet sich am leichtesten, indem man sie als Determinante des homogenen Gleichungssystems
(15) ~V_,xi xk Yk : A . Y i k
mit den Unbekannten Yi ftir .4 = S auffal~t. Aus (15) folgt
x i " (~_~ xk Yk) ~-- .4 Y i , k
woraus als nulldimensionale Ltisung
(16) Y1 : Y~ : " " : Yn ---~ x l : x~ : . . . : x,~.
und
~ x k yk = o (.4 = o)
als (n =- 1)-dimensionale L(/sung abzulesen sind. Darum mug der Eigen- wert .4 = 0 mindestens (n - -1 ) f ach sein und da noch der zu (16) gehtirige Eigenwert .4 ---- ~ x k ~-k hinzutritt , ist .4 = 0 genau (n- -1) fach . Also ist
k
und ftir ,4 = S = ~ xk ~k - - 1 kommt als Wert der fragliehen Deter- minante heraus:
( 1 - - ~ Xk -Xk) n-l, so daft
(17) D ( U ) = (1 - - ~_~Xk xk) - n - 1 = e (n+l) v
ist. F~" die hyperabelsche Metrik, die mit
i
Die Determinante in
184 E. Ki~hler.
gebfldet ist, besteht eine ahnliche Gleichung
(18) D ( U ) = e =~T.
6.
Der Differentialausdruck D (U) kann durch Variation eines Integrals
f ~ (u ) d (x~, ~1, x, , . . . , ~,~)
erhalten werden, wodurch die L6sung der Gleichung
~ ( U ) = e k~
auf ein Variationsproblem zurtickgeftihrt werden kann. Der Integrand g(U) ist die yon WIaTINGER ~) auf n Variable ver-
allgemeinerte LEvIsche Integralinvariante, die in der Theorie der drei- dimensionalen Singularitiitengebilde yon analytischen Funktionen zweier Variablen auftritt:
o u~ u~ . . . u~
u1 u ~ Ul~ . . . ~ ( u ) = u~ u2~ u~ . . .
U,~ . . . U,~
In der Symbolik tier Differentialformen hat man
(n- - l ) ! g(U) d(x~, ~ , x2, . . . , ~,~) = (Ui dx~) (U~ d~k) (U~d(x* , -~"))'*-~,
und die Variation des Integrals
I = f z = f (~Sdx~).(U~d~k).(U~d(x,5.)) .-1
ergibt (~ U ~ v gesetzt)
mit
Man iiberzeugt sich durch Ausrechnen nach den Regeln fiir die Ableitung symbolischer Differentialformen, dal~
l) WIRTINGER, Zur formalen Theorie der Funktionen yon mehr komplexen Ver- imderlichen. Math. Ann. 97 (1926), 8. 363.
{~61 ~-- (Vi dxi) . (Ukdxk) . (Ul"~d(xl Xm)) n-1
+ (Vidx~) . (v~ a~k)" (U~d(x*~,~)) "-1
+ ( n - 1). (Uidx i ) . (Uycdxk). (vl-~ d(XlXm)) �9 (Vr~d(Xr-Xs)) n-2.
t~ber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik. 185
(19)
~ = - - (n-4- 1) .v . (Ui~d(xi~k)) n
-~ (n - - 1 ) . [( Ui d xi). ( Uk d ~k)" (VT d Yl)" ( U~ d (xr ~-s))n-2] '
- - n [y . (Yi dxi) . (Ul-~ d(xl Xm))n-i] t
+ [~. (u~ d ~k). ( U ~ d (x~ ~ ,3)" -q '
ist, daft also ~ I bis auf ein Randintegral mit
- - ( n - ~ 1)!
tibereinstimmt. Die Gleiehung
f D(U). v. d(Xl, Xl, x2, "" ", X'n)
D ( U ) = d 'v
wird mithin durch Variation yon
(20)
erhalten.
f ( E ( U ) + n (n @ 1 ) k ~v) d ( x l ' ~ l ' x 2 ' ' ' ' ' ~ n )
Wenn es sich um die Bestimmung einer positiv definiten Metrik
~ U ds ~ = 2 dxi dxk
Oxi O~k
handelt, ist der Integrand yon (20) positiv; denn die quadratische Form
ist dann auch positiv definit, und
gi~ ~ U 3 x i
ist gerade gleich
U D i'c
0~k D
~ ( u )
D ( U ) "
U~U~
In der Theorie der hyperabelschen Funktionen spielt auch die Gleichung (21) D(U) = 0
eine Rolle, die unter der Nebenbedingung
~ ( u ) > o
zu 10sen ist. Nach obigem hat man hier in
f ~ (u) d @1, ~i, x~, . . . , ~,)
ein Integral, dessen Variation auf (21) ffihrt.
186 E. Ki~hler.
Auf die Verwendung der vorliegenden formalen Entwicklungen ffir die Theorie der automorphen Funktionen und auf die Analogie der Gleichungen
D ( U ) ~--- O, D ( U ) = e kv
mit den klassischen Differentialgleichungen
/IU--= 0, AU~-- e kU
auf die bereits G. GIRAUD 1) und A. BLOCH ~) hmgewiesen haben, gedenke ich in einer spi~teren Arbeit einzugehen.
1) G. GIRAUD, Sur une 6quation aux d~riv6es partieUes, non lin~aire etc. Comptes Rendus 166, I (1918), p. 893.
2) A. ]3LOCH, Sur une nouvelle et importante g~n4ralisation de l'dquation de Laplace. L'Enseignement Math~m. 26 (1927), p. 52.
H a m b u r g , den 22. Oktober 1932.
