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Results in Mathematics Vol. 26 (1994)
0378-6218/94/040264-10$1.50 + 0 .20/0 (c) 1994 Birkhauser Verlag, Basel
UBER FOLGEN, DIE BEZUGLICH
EINES MITTELS REKURRENT SIND
PETER FLOR UND FRANZ HALTER-KoCH
Herm Pro/ul or Janol Acdl 'u leinem 70. Geburnlo.g re'pei::lvoll ge1Uidmel
ABSTR ACT. Let X be a co.nvex subset o.f a finite-dimensio.nal rf!al vecto.r space. A function M: X~ ..... X is called a strict mean value, if M(z:\, . . . ,z:t) lies in the convex hull of >: \, .. ,Z:t , but does not coinciae with one o.f its vertices. A $e<juence (Z:")nell in X is ca lled. M_recursive if O:,,+k = Af(O:n , O:n+I , ... , O:n+k_ l) fo.r all n . We prove that for a cnntinunus strict mean value M every M -recuraive sequence is co.nvergent . We give a necessary ana sufficient co.naitinn fo.r a cnnvergent sequence in X to be M-recuraive for some co.ntinuous strict mean value M , ana we characterize its limit by a functional equation. 39 B 72, 39 852, 40 A 05. Key wnrds: Me&n values, recurrent sequences.
§ 1 TIIEMEN UND ERGEBNISSE
Schon zu Beginn seiner Forscherlaufbahn hat sich unser Jubilar mit der damals aktuellen Theorie der verschiedenen Mittelwertsbegriffe beschrutigt (vgl . etwa [lJ) . In jiingerer Zeit hat er dieses Thema wieder im Zusammenhang mit gewissen Anwendungen aufgegriffen und vor allem mit Hilfe von Funktionalgleichungen behandelt (so beispielsweise in [2J und [3]). Aus diesen Gedanken, die zu immer wieder anderen Definitionen von Mittelwerten fiihren, stammt wohl auch das folgende, von ihm in [4J forrnulierte Problem:
Sei X eine ruchtleere Menge, k eine natiirliche Zahl, k ;?: 2 und Meine Abbildung von Xi nach X . Eine Foige (X"),,EN in X heiBt M -rekurJiv, wenn fUr aIle n gilt:
X,,+k = M(Xn,Xn+I, .. . ,Xn+A:_I).
1st X eine reelles Intervall, 50 heiBt M ein Mittel, wenn fUr alle (XI,' " ,XA:) E XA: die U ngleichungen
Flor and Halter-Koch 265
bestehen; das Mittel heiSt Jtrikt, wenn hier auBer im Faile XI = ... = Xt auf beiden Seiten das echte Kleinerzeichen steht. ACZELS Frage lautete nun, ob fUr ein striktes stetiges Mittel M jedc M -rekursive Folge konvergiert. Diesc Frage hat BORWEIN [51 mit "ja" beantwortct und auch die Grenzfunktionen M· (X I,'" ,X t ) = lim,,_oc X" durch eine FUnktionalgleichung charakterisiert. FLOR (61 zeigte erganzend, daB man weder auf Striktheit noeh auf Stetigkeit verzichten kann.
Unser Ziel ist es hier, das Problem von ACZEL und BORWEINs Siitze auf endlichdimensionaIe Riiume zu verallgemeinern. Daruber hinaus beschreiben wir fUr diese Veraligemeinerung die Struktur M -rekursiver Folgen. Dieses R.esultat schcint auch im eindimensionalen Fall neu zu scin.
In der gesamten Arbeit sei E ein endlich-dimensionaler reeller Vektorraum, X C E sei ei ne nicht-leere konvexe Teilmenge und k:?: 2 eine naturliche Zahl. Fur ein k·tupelA=(alt .. . ,at)EEt sci conv(A) diekonvexe Hullevon {a\ , ... ,at}, extr(A) die Menge der Extremalpunkte von conv{ A) und
C, (A)~ { {. , ) , conv( A) \ ext r(A)
falls al = a2 = ... = at ,
sonst;
conv(A) ist cin konvexes Polyedcr, extr{A) C {al,"" at} die Menge seiner Ecken, und Co(A ) ist stets konvex und niehl·leer.
Mit diesen Bezeichnungen verallgemeinern wir ACZtLs Definition wie folgt:
Definitio n 1. Unter einem Mittel verstehen wir eine Funktion M: Xl ..... X mit M(XIt ... , xl)Econv(xl , ... , Xl) fur aile (x\, . .. , xl) E X·. Gilt schiirfer
so nennen wir M em Jtriklu Miuel .
Fur diesen Begriff gilt nun die genaue Verallgerneinerung des BORWEINschen Konvergenzsatzes: 1st M ein stetiges striktes Mittel, so konvergiert jede M -rekursive Folge. Dies ist ein Teil unscres Hauptergebnisses, der Charakterisierung M-rekursiver Folgen. Urn letzere zu formulieren, benotigen wir noch die folgende weitere Definition .
Definition 2. Eine Foige (a")"EN in E heiBt k.kontrahierend , wenn fur aBe n E N die Beziehung
erfiillt ist.
Mit diesen Bezeiehnungen gelten die folgenden Charakterisierungen M-rekursiver Fol· gen fur strikte Mittel M:
266 F10T and Halter-Koch
Satz 1. 1st M: X· -+ X ein striktes Mittel, so ist jede M -rekursive Falge k-kantrahierend. Umgekehrt is! jede k·kontrahicrcnde Folge M -I"Ckursiv fiir ein geeignetes striktes Mittel M: E" ..... E.
Satz 2. 1st M: X" ..... X ein stetiges striktes Mittel, so ist jcde M -rckursive Folge k-kontrahierend und konvcrgent. Umgekehrt ist jede k-kontrahicrende konvergente Folgc M -rekursiv fur ein geeignetes striktes Mittel M: E* -+ E def Regu/aritatsklasse Coo .
Schlie61ich konnen WiT fur stctige strikte Mittel auch noch BORWEINs Charakterisierung def Grenzfunktion def Rekursion verallgemeinern.
Fur ein stetiges striktcs Mittel M sci das Grenzmittel M O: X· --t X definicrt dUTch
M O(xl, ... , x,.) = lim z" , .-~
wenn (X"),,EN die von (X1, ... ,%I<) ausgehende (konvcrgente) M -rekursive Folgc ist.
Sah 3. $ei M: X" ..... X cin stctiges striktcs Mittel. Dann ist auch das Grenzmiuel M · von M ein stetigcs striktes Mittel.
Fur eine bcliebige Abbildung L : X k ...... X sjnd die folgcnden Aussagcn iiqujvalent: a) L = M · .
b) List stetig, L(z, ... x) = z fiiI" alle % E X , und L(zlt ... , x,, ) = L(X2'" . , Xb M (x., ... , %,,» fur aile ( XI "' " x,,) E Xk .
c) L isteinMittel, und L(xl, ... ,x,,)=L(Z2, .. . , Xk , M(zlt ... ,%k)) furalle (zl, ... ,x,, )E X k.
Bemerkung. Die betrachtete mehrdimensionale Verallgemeinerung des ACZELschen Mittelbegriffs kann wie folgt vari iert werden. Fur ein k-tupel A E Ek .sci CO(A) das (topalogische) Innere von conv(A) in der affinen Hiille von A. Ersctzt man in den Definitionen 1 und 2 den Operator Co durch C~ , so bleiben die Sitze 1, 2 und 3 unveriindert giiltig. 1m Eindimensionalen fallen die beiden Begriffe zusammen .
§ 2 HILFSSATZE
1m folgenden sci " ~ {{x, ... ,x)lxEE}CE·
die Diagonale von Ek.
Lemma 1. Scien A und B konvexe Teilmengen von E mit B C A ; dann folge B n extr(A) C extr(B ).
BeweY . Sei a E Bnextr(A) ; dann ist a nicht innerer Punkt dner ganz in A liegenden Strcckc, also crst recht nieht einer in B liegcndcn. 0
Flar and Halter-Koch 267
Lemm a 2. I Sci (a" )nEN eine nicht-konstante k-kontrahierende Folge in E; (ur mEN sei An=(an,an+I, ... ,Un+I:_ll. DanngiJt{iir a1le m,nEN:
; )A"~". ii) Aus m 2:: n (oIgt conv(Am) C conv(An).
iii) Aus m 2:: n + k {oJgt cxtr(A m} n extr(Anl conv(Am) n extr(An} = 0.
iv ) Aus m =I- n (oIgt Am =I- A".
0, conv(Am} c;: conv{Anl U/ul
Bewt£.!. ii) Fur aile n E N ist a"H E CoCA,,) C conv(A,,}, also
conv(An+d C conv(An };
daraus folgt die Bchauptung durch Induktion nach m.
i) Ware Al E to. , also al = ... = Uk, so folgte aus a,,+k E Co(A,,} durch Induktion a,,+.t = 01 fur allc n E fIr!; claim ware aber (On)"EN konstant, ein Wiclcrspruch! Ist
n E N mit A" V:. to. , so folgt a"H V:. extr(Anl, aber a' E extr(A,,) fur ein I mit n < I < n + k (da conv(A,,) mindestens zwei &ken besitzt}. Da a' und anH beide zu A,,+I gehoren, ist A,,+I V:. to. , und i) folgt durch Induktion.
iii), iv ) Sei n E fir! fest und I maximal mit n::; I < n+k und a, E extr(A n}. Wegen i) cnthiilt extr(A"l mindestens zwei Punkte, und daber ist I> n. Nach Definition von I ist zunachst al V:. extr(A,,} fur 1< t < n + k; fur t 2:: n + kist a, rf:- extr(AI_k} wegen At_I: i. to.; aus ii) und Lemma 1 folgt daher al rf:- extr(An}. Wegco a, E cxtr(A,,} und at i. extr(An) fur alle t > I folgt Am =I- An fiir alle m > n und extr(Am)nextr(An) = 0 fur aUe m 2:: n + k; fur diese mist drum aber auch conv(Am) =I- conv(A"l und daher extr(An} n conv(Am} = 0. 0
Lemma 3. Sei (a .. )nEN eine k-kontrabierende Folgein E und a E E ein Hiiu{ungswert von (O"l"EN. Dann {olgt
{ur aIle n E fIr!.
BtwtiJ. Sei wieder An = (an, 0,,+1, ... ,0,,+1:_1); nach Lemma 2 ist
(conv(A"»"EN
cine absteigende Folge kompakter Mengen; daher folgt 0 E conv(A,,) fur alle n EN. Fur n E N ist extr(A n} n extr(A,,+I:) = 0 nach Lemma 2, also conv(A,,+d C Co(A,,} und daber a E Co(A,,}. 0
IDie wichtige Aussage iv) dieses Lemmas geht auf eine Diskussionsbemerkung vOn G. Rote (Graz) zuruck.
268
Lemma 4. Sei (C")"EN eine konvergente Folge in Ek,
B = lim en E E" , "~-
und sei conv(Cn}::J conv(Cn+d fur alJe n EN. Dann foJgt
conv{B) = n conv(C .. } .
"EN
J( ~ n conv(C") "EN
Flor and Halter-Koch
ist konvcx. Fur aIle II 2: n und aile i E {l, ... ,k) ist Ci ... E conv(C .. ), also wegen der Kompaktheit von conv( en) auch bi E conv( en); daraus folgt bl , ... , bl: E K und schlieBlich conv(b1 , .•. , bt } C K .
1st umgekehrt x E K, so besitzt x fur jedes n E N cine Darstellung ,
mit
x = LAinein '0;1
, Ain E [0,1] und LA;n = 1.
i;l
Die (beschrankte) Folge «Air,, " " Ah))nEN clef Koeffizientenvektoren besitzt cine konvergente Teilfolgc; deren Limes stellt x als konvexe Linearkombination von b1 , ... , bJ: dar, woraus x E conv(B) folgt . 0
LemmaS. Sejen al, .. . ,a",aeE. i) 1st aE Co(aJ, ... , al; ), sogibt es "\, ... ,'\.1: E (0,1) mit
, , L).; =l und L).;a; = a. i=l i='
Bewei$. 1m Falle (al, ... ,ak) E t::. ist das Lemma trivial. Sei also (al, ... ,ak) ¢ t::., und sci o. B. d. A. extr{at, ... ,a*) = {al, ... ,aj} (mit . 2 0:::; j 0:::; k und paarweise verschiedenen a" ... ,a;).
i) 1st a E Co(a" . .. , a.l:), so besitzt a eine eindeutige Darstellung als konvexe Linear-kombination von a" ... ,aj , bei der kcin Koeffizient den Wert 1 hat.
ii) Offensichtliehist aEeonv(al, ... ,a*). Ware aEextr(a" ... ,a*),etwa a=al, so ware in (*) sieher '\2 = 0, ein Widerspruch. 0
Flor and Halter-Koch 269
Lemma 6. Sei (A,,)nEN eine Folge paarwcise verschiedener Punkte in Et \ 6 ohne Hiiufungswerte in Et \ 6; fur jedes n E N sei Cn E Co( A) vorgegeben. Dann existiert ein striktes Mittel M : Et -+ E der ReguJaritiitskJasse Coo, das fur aile n E N die Beziehung
erfU1Jt.
Bewei.,. Sei An = (al n,"" ah) ; nach Lemma 5 gibt es Darstellungen
• e" = L "\;"0;,, mit ..\ ;" E [0,1) und
;: 1
Da (A")"EN in Ek \ 6 keinen Hiiufungswert besitzt kann man die An in paarweise disjunkte Kugeln K" C E k\6 (beziiglich irgendeiner festen Norm von E) einschlieBen. Dann gibt es C""-F\mktionen Ifn: E- -+ [0,11 mit "' .. (%) = 1 genau fUr % = An und lPn(Ek \ Kn) = {O}. Wir definieren nun F\mktionen ..\" ... ,..\t: Et -+ R durch
I ~ I ,;(z) ~ k + L (';" - j;)¢"(z) ;
,,=1
diese sind Coo-Funktionen , mit konstantem Wert 11k au6erhalb der Kugeln K n , und mit Werten zwischen 11k und ..\in auf K ... Insbesondere folgt
• ..\ ;(%)E[O,I) und L..\;(%) = 1 fiirailexEEk
;= 1
sowle
..\i(An ) = ..\ in , und ..\ i(X} "f:. 0 fur alle iibrigen x E Et.
Nun definieren wir M: Et -+ E durch
• M(XI, '" , XI:) = L ..\ ;(XI,·· · ,X t )%; ;
i= 1
Mist eine Coo-Funktion,
• M(An} = L ..\ina;n = Cn ,
;:1
und aus Lemma 5 folgt M(x" ... , Xt ) E Co(x" . .. ,Xt) fUr alle (x" ... , Xt) E E"'. Daher ist M ein striktes Mittel def Regularitatsklasse Coo. 0
270 F10r and Halter-Koch
Bemerkung. Das in Lemma 6 konstruierte Mittel Mist von spezieller Gestalt. Nicht jedes stetige strikte Mittel M: EI: --+ E ist von dec Form
• M(XI, ... ,Xk) = L),i(Xl1 .. . ,X.l:)xi
i~1
mit stetigen Funktionen Ai: Ek --+ E. Als cinfachstes Beispiel betrachte man (mit X = R 1 k = 2) das Mittel M: R2 --+ R, definiert durch
mit
{
1+15in I A( ) 2 4 11',-%,1'
:l:l,X2 = 1 , falls Xl # Xl ,
falls X I = Xl .
Dieses Beispiel ist zahlreicher Variantcn und hoherdimensionaler Verallgemeinerungen fahig, insbesondere auch solcher, bei denen die Unstetigkeitsstellen dec Ai nicht auf 6-licgcn.
§ 3 BEWEIS DER SATZE
Bewei~ von Sat: 1. 1st M ein striktes Mittel, so ist nam Definition jede M-rekursive Folge k-kontrahierencl. Sci nun (an)nEN cine k-kontrahierencle Folge in E. 1st sie konstant, so ist sie M-rekursiv fur jedes Mittel; ist sie nicht konstant , so ist die Folge ((a", a,,+I, ' .. , a"+k-d),,EN wiederholungsfrei nam Lemma 2, und wir erhalten ein striktes Mittel M: Et -+ E der gewunschten Art wie folgt:
1st (Xl , . . . ,Xt) = (a", ... ,a,,+k) fur ein n E N, sosetzen wir
andernfalls sei
Bewei., von Satz £ (I. Teil). Sei M: Xk -+ X ein stetiges striktes Mittel und (an)nEN eine M -rekursive Folge; diese ist dann k-kontrahierend, und wir mussen ihre Konvergenz beweisen. Seien G, H: X k -+ X t definiert durch
G(XI, ... ,Xk)=(X2, . . . ,XbM(XI"",Xk» und H=GIr.= Go .. ·o G . ~
k-mal
Dann sind G und H stetig; nach Lemma 2 gilt conv( H( x I , . . . , XI< » C conv( XI , ... , XI<) fur aile (X I"", Xt) E Xl< , mit GJeichheit genau fur Xl = ... = Xk ,also (xt, ... , XI<) E t::..
Flor and Halter-Koch 271
Fur n E N sei A" = (0",0,,+1 , ... ,0,,+4-_1) E XJ:. Die Folge (On)"EN liegt in der kompakten Menge conv(Al), daher besitzt die Folge (A"),,EN cine konvergente Teilfolge, etwa {AnW)jEN mit einer o. B. d. A . streng monoton wachsenden Auswahlfolge (n(j))nEN. Sei
aus der Stetigkeit von H folgt
Wegen nU + k) ;:: nU) + kist
conv(A"(j+4-» C conv(An(j)+4-) ,
und durch den Grenzubergang j -+ 00 erhait man hieraus mit Hilfe von Lemma 4
conv(B) C conv(H(B» .
Da die umgekehrte Inklusion stets und Gleichheit nur fur BEl!. gilt, folgt B = (b, ... , b) mit bE X , und wir behaupten, daB (an)nEN gegen b konvergiert.
Sei dazu Seine beliebige konvexe Umgebung von b. Wcgcn
lim An(j) = B = (b, ... ,b) ,_00
folgt An(j) E SJ: fur ein j EN, also conv{An(j) C S. Die Mengenfolge (conv(An»"EN ist monoton abnehmend; daher erhalten wir conv(An) C S und daher On E S fur aile n;::n(j).
Be1J}ei~ von Sat: 2 (2. Ted). Sei (On)"EN eine k-kontrahierende Folge in E; ist sie konstant, so ist sic k-kontrahierend fur jedes strikte Ceo-Mittel, also beipielsweise fur M(Xh '" ,Xk) = (Xl + ... + xk)/k.
Sci also (an) "EN nicht-konstant, und sci An = (a",a,,+I, ... ,a,,+J:_L) E Ek. Nach Lemma 2 ist die Folge (An)"EN wiederholungsfrei, und aus limn_ eo a" = b folgt
lim A" = (b, . .. ,b) E 6. "-00
Daher besitzt (An)nEN keinen Haufungswert in E k\6, und wir erhalten aus Lemma 6 die Existenz eines striktcn Mittels M: EJ: ..... E der Regularitatsklasse Coo mit M(A,,) = on+J: fur a.lle n EN; fur dieses ist die Folge (On)nEN M -rekursiv. 0
Be1J}ei~ von Satz 9 (1. Teil) . Wir betrachten wieder die Funktion G: XJ: ..... Xk, definiert dillch G(Xl,···,Xk) = (X2",.,Xk,M(XI" " ,XJ:)); G und aile Iterierten Gn von G sind
272 Flor and Halter-Koch
stetig. 1st (Xl"'" X,I,) E X" und (Xn)"EN die clavon ausgehende (k-kontrahiercllde und konvergente) M-rekursiveFolgein X ,so folgt C"(XI, ... ,X,I,) =(Xn+ l, ... ,X,,+k) fur alle n EN , die Mengenfolge (COIlV(Cn(XJ"",x"»)nEN ist monoton abnehmend nach Lemma 2, und aus
x=M"(XI, . .. ,xd= lim Xn "-~
folgt x E Co(xJ, ... ,Xk) nach Lemma 3 und
{x} = n conv(C"(xll· .. ,Xk))
"" nam Lemma 4. Insbesondere ist M" ein striktes MitteL
Zum Nachweis def Stetigkeit von M O sci A E Xl;, b = M O(A) E X und 5 cine beliebige offene konvexe Umgebung yon b in X. Wegco
Hm G"(A) ~( b, ... , b) "-~
gibt es ein mEN mit Cm(A) E SA:. Nun ist Sk C X k offen und Gm stetig; dahcr gibt es cine Umgebung U von A in Xl: mit Cm(U) C SA:. Fur aile C E U ist dano aber M O(e) E cony (Gm(c» c S, da S konvex ist. Damit folgt die Stetigkeit von M O.
Bewei., VQn Satz 9 (t. Teil). Wichtigstes Hilfsmittel ist wieder die bcrcits im 1. Teil eingeClihrte Funktion G j mit ihr kann man die Beziehung
£(Xl, ... ,X.I:) = £(X2,···, Xk, M(xJ, .. . ,X.I:»
in der Form L = LoG schreiben.
Aw a) /olgt b). Das ist offensichtlich, da M" ein stetiges Mittel ist und der Funktionalgleichung M" = M " 0 C genugt .
Aw b) /olgt c). Sei (xt, ... ,X.I:)EX", (Xn)REN diedavonausgehende M-rekursive Folge und
Aus LoC = L folgt LoCR = L fur aile n E N; wegen
lim Cn (xt. ... ,Xk)=(X, ... ,x) "-~
und der Stetigkeit von L erha.lten wir hieraus
L(x), ... ,x ,,) = lim LoCn(Xl> ... ,Xk)=L(x, ... ,x)=x=M"(x" ... ,x,,)j "-~
daher ist L ein Mittel.
Au.! c) /olgt a). Sei AEX.l:jfiiralle nEN ist L(A)=LoCR(A)Econv(CR(A», da L ein Mittel ist; daraus folgt
L(A) E n conv(G"(A)) ~ {M ' (A)) ,
"EN
also L = M " . 0
Flor and Halter-Koch 273
LITERATUR
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[2J J . Aczel and F . S. Roberts, On the pO$$i6le merging funclio..." Ma.thematical Social Sciences 17
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[4J J . Aczel, Problem 291, Aequationes Math , 46 (1993), 199. [SJ J . Borwein, Problem 291, Solu/ion 1, Aequationes Math. 47 (1994), 115 - liS.
[6J P. Flor, Problem 291, Remark 1, Aequationes Math (1994 (zur Publikation angenommen» .
PETER FLOR
FRANZ H ALT ER- KoCH
l NSTlTUT F UR M ATH EMATIK
K A i'lL-FRANZENS- U I'll Y ERSIT;;' T
H EINRI CHSTRASSE 36/IV
A-SOlO GRAt, OST£RR£ICIt .
Eingegangen am 14. Juli 1994
