KRULL, W. Math. Annalen, Bd. 126, S. 377--380 (1953).

0ber gewisse Homomorphismen von Polynomgruppen. Von

WOLFGANG KRULL in Bonn.

I m folgenden sell ein von Her rn SCHVrT in dieser Zeitsehrfft ffir , ,Gruppen- pol)mome" bewiesener Satz unter Benu tzung eines yon Her rn Scm~K ge- wonnenen Resul ta ts wesentlich verallgemeinert werdenl). - - Es sei ® bzw. ~ , bzw. PA, eine beliebige Gruppe bzw. die freie Gruppe mi t den Erzeugenden x I . . . . . x n bzw. die freie ABELsche Gruppe mi t den Erzeugenden Y1 . . . . . y n . Mit e bzw. e I bzw. e a bezeichnen wir das Einhei tselement yon ~5 bzw. ~:n bzw. -~[,~, m i t a bzw. 7~ (x) bzw. ~ (y) ein beliebiges Element aus ~ bzw. ~n bzw. 91 n . Unte r ~5 x ~:n bzw. ~5 x 0An verstehen wir die Gruppe aller Paare (a, g (x)) bzw. (a, g (y)) mit der Multiplikationsregel

(al, xq (x))" (a 2 , g2 (x)) = (a 1 a2, ~1 (x). rtu(x)) bzw.

(al, 7~l(Y)) " (a2, ~t2(Y)) = (¢~1" a2, 7~l(Y)" ~ (Y) ) ;

(~), el) bzw. (~, ea) sei die zu ~ isomorpJ~e Untergruppe aller (a, el) bzw. (a, ea) aus ~ x ~ : n bzw. ~x9.1 n. SehlieBlich sei ~ [ x l , . . . , xn] das (unter Identff izierung yon e u n d e f gebildete) [reie Produkt yon ~ und ~n , also die Polynomgruppe in x 1 . . . . . x n fiber ~5 im Sinne yon SCHVFF2). - - Jedes F ( x ) aus ~5 [Xl . . . . . x , ] besitzt (unend~eh viele) Darstel lungen der F o r m F ( x ) = a 1 7t1(x) . . . a n ~ ( x ) an+ I , wobei a = a l . . . aa+ 1 bzw. rt(x) = z t l ( x ) . . . ~.(x) (lurch F (x) allein eindeutig bes t immt ist. Die Zuordnung F (x)-~ (a, ~ (x)) definiert den kanonischen Homomorphismus H x yon ~ [x 1 . . . . ,. xn] auf ~ x ~ , , bei dem insbesondere ~ in die isomorphe Gruppe (~, el) iibergeht. En t -

~) Das Resultat yon Herrn Sc~IEx ist in der dieser Note unmittelbar vorangehenden Arbeit abgeleitet. Im tibrigen vgl.: H. K. SbHUFF: ~ber Wurzeln yon Gruppenpolynomen, diese Zeitschrift 124 (1952), S. 294--297. In der Terminologie schlietle ich reich nieht an Herrn Se~urT, sondern an die gel/~ufige Sprache der Gruppentheorie an. AuBerdem be- nutze ich zur Wurzeldefinition im Gegensatz zu SCHVFr nicht den Begriff der Speziali- siertmg, sondern den des Homomorphismus, was natfirlich praktisch auf das gleiche herauskommt.

*) Zu den Begq~iffen ,,freie Gruppe" und ,,freies Produkt" vgl. z.B.: W. M~o~us: Allgemeine Gruppentheorie, Enzyklopadie d. Math. Wiss. 1 1,9 (2. Aufl., 1939); Nr. 14 und 15. Es sei damn erinnert, dat~ man die freie Gruppe und das freie Produkt fotgender- maBen charakterisieren kann: ~n ist die (his auf Isomorphie eindeutig bestimmte) kleinste Gruppe derart, daft jede Gruppe mit h6chstens n Erzeugenden homomorphes Bild yon ~n ist. ])as freie Produkt der Gruppen ~x und ~ , ist die kteinste Gruppe Y) mit der Eigen- schaft, dab ~I homomorphes Bild yon 0 sein muI}, wenn ~1 die klelnste gemeinschafthche Obergruppe zweier Untergruppen ~I~, 1t~ darstellt, die ihrerseit~ homomorphe Bilder v o n ~ und ~ii~ sind. - - Ferner sei darauf hingewiesen, dal~ man ~!i x ~:n als da~ direlde Produkt yon ~) und ~n bezeichnen kfnnte. (Genau genommen ist ~ x~a direktes Produkt yon (~), el) und (e, ~n)).

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3 7 8 ~rOLFGANG KRULL :

sprechend erhalten wir den kanonischen Homomorphismus Hz, y von ~ x ~

xOA., wenn wit einem beliebigen Element /(x) = (a, x~' . . . x~)" au f

( (ei= ± 1) aus N x ~ jeweils das Element [(g) = (a, ~(y)) = a, g~ , ' . . . Y~'s

aus 1~ x~l,~ zuordnenZ). Sehlieglieh wird der kanonisehe Homomorph i smus H~ yon N [x 1 . . . . , xn] auf N x 9.1 n dureh die Hint~ereinanderausftihrung yon H~ und H v gewonnen.

I m Ansehlug an die SCI-IUFFsehe Arbeit, wo allerdings nur ~ [x 1 . . . . . xn] bet raehte t wurde, definieren wir je tz t : F (x) ~ ~ [ x 1 . . . . . x~] bzw. / (x) ~ N x ~ bzw. [ (x) E ~ x ~,1~ besitzt eine Wurzel, wenn ein Homomorph i smus 0 exist±err, be± dem zwar F (x) bzw. /(x) bzw. /(y), aber kein a bzw. (a, el) bzw. (a, ea) mit a # e dem Einhei tselement der Bildgruppe zugeordnet wird. - - Aus dieser Definition folgt unmit te lbar : F ( x ) b z w . / ( x ) b z w . / ( 9 ) besitzt dann und nur dann eine Wurzel, wenn die kleinste, F (x) bzw. /(x) bzw. [(g) enthaltende, invariante Untergruppe von ~ [x 1 . . . . . x~] bzw. ~5 X~n bzw. ~ x 9A n mit bzw. (~, es) bzw. (~, %) nur das Einhei tselement gemein hat. I s t / (x) bzw. / (y) das Bild yon F ( x ) hinsiehtlich H~ bzw. H~, so besitzt sicher F ( x ) eine Wurzel, falls / (x) oder / (y) eine Wurzel hat.

Satz 1. / (x ) = (a, r~ (x)) (x~ (x) ~= e~) hat dann und nur dann eine Wurzel, wenn a dem Zentrum ~ von q~ angeh6rt.

a) Es sei b beliebig aus ~ . Dann enth/ilt eine invariante Untergruppe yon ~ x ~ . mi t (a, 7t(x)) stets aueh (b -~ a- lb , e~ ~ ~ ( X ) -1 el) • (a, ~r(x)) = = (b- 1 a- 1 b a, e~). Soll nun (a, ~ (x)) eine Wurzel haben, so muB immer e = b -x a -1 b a, b a = a b werden. Wir haben also a ~ ~, d . h . die Bedingung yon Satz 1 ist notwendig.

b) Lieg~ a = G in ~, so besteht, wie mfihelos zu sehen, die kleinste (G, ~ (x)) enthal tende invar iante Untergruppe yon ~ x~:~ aus allen Elementen der Fo rm :

(1) (G ~ + ' ' ' + ~ ¢ , H 7t~(x) -~ ~(x) ~ ~r~(x)) (%= ± 1). k = l

Soll in einem solchen Elemente die zweite Komponen te gleich e I werden, so muB, wie SCHIEK gezeigt hat4), stets e l÷ " ' " ÷ e~¢= 0 sein, d . h . das be- treffende Element muB das Einhei tselement aus ~ x ~ n darstellen. Unsere Bedingung a -- G E ~ ist also auch hinreichend.

Da sieher :~ (x) ~ e I sein mul~, wenn (a, 7~ (x)) ~ (e, el) eine Wurzel haben soll, ist durch Satz 1 das Wurzelexistenzproblem ffir ~5 x ~ n gelSst. - - Wie unmi t te lbar zu sehen, gilt Satz 1 ohne weitere _~nderung des Wor t lau t s auch dann, wenn wir ~5 x ~ n dureh ff~ x9,1,~, / (x ) = (a, rt(x)) durch / ( y ) = (a, ~(y)) e r s e t z e n . D e r Beweis yon b) wird in diesem Falle trivial, da an Stelle yon (1)

(2) (G~,+...+~N, ~(y)~l+-..+~) (~= ± 1)

8) Beach t e , dab jedes r~ (x) in der F o r m x~l . . . x~i v darste l lbar ist.

4) Vgl. die in 1) zitierte Arbeit yon SCHIEK.

l~ber Homomorphismen in Polynomgruppen. 379

t r i t t und es unmit te lbar klar ±st, dal~ aus zt(y)Q= ea, ~ ( y ) 4= ea stets a = 0 folgt. - - Aus Satz 1 ergibt sich unmi t te lbar :

Satz 2. F (x) E ~ Ix I . . . . . x~] hat sicher eine Wur~ l , wenn bei dem homo- morphen Bild (a, ~ (x)) von F (x) h i~ ich t l i ch H~ das Element a in ~ liegt und

(x) =~ e r ±st. U m aus Satz 2 das Kr i te r ium yon SCHU~ herzuleiten, fiihren wit noch den

Bewertungsbegriff ein. Un te r einer (diskreten) Bewertung B der beliebigen Gruppe 0 vers teht man einen Homomorphismus yon ~9 au f die addit ive Gruppe der ganzen Zahlen; ±st m das Bild yon a E 0 be± B, so schreiben wir: W (a) = m. Jedes Element ~ (y)E ~[n besitzt eine eindeutig bes t immte Dar-

stellung ~ ( y ) = y ~ t . . . Yn (m~= 0, ± 1, ± 2, . .). Dureh die Festsetzung ~n we((a, y~ ' . . . Yn ))= m~ erhalten wir eine Bewer tung Bu, e yon (~ x ~[n(~ =1 . . . . n).

Durch Hintereinanderausf i ihrung der Homomorph i smen H~ und By,~ bzw. Hx, ~ und By,~ ents teht eine Bewertung Bq bzw. By,~ von (~ Ix 1 . . . . . xv. ] bzw. (~ x ~ . . Stellt man (was au f unendlieh viele ~Veisen mSglich ±st), F,(x) C ~ii[x I , . . . x~] in der Fo rm F ( x ) = ~i ~ 2 - - - ~ M dar, wobei ~i jeweils ein a~ oder

eines der 2 n Elemente x~ i aus ~:n bedeutet , so gilt offenbar: Es wird W ( F ( x ) )

= a e - bQ, /alls x~ bzw. x [ 1 unter den ~¢~ etwa a~-m~l bzw. be-real vorkommt; w o (F (x)) ~ 0 besagt also soy±el wie a e - bq~ 0. Unte r Beriieksichtigung dieser Bemerkung kann man das SCHUFFsche Kri ter ium in der Terminologie der Bewertungstheorie so formulieren:

Satz 3: F (x) C ~5[x 1 . . . . , x~] hat sicher eine Wurzel, wenn be± dem homo- morphen Bild (a, ~ (y)) von F (x) hinsichtlich H~ das Element a = G zum Zentrum yon ~) geh6rt und wenn auflerdem u~ (F (x) ) ~ 0 ±st liar mindestens ein ~.

I n der Tat, ±st w e ( F ( x ) ) ~ - O , so ±st auch w~(a, ~(y))~= 0 und dami t (y) ~ e a. Wir haben somit erst recht 7e (x) ~ e~, falls (a, ~ (x)) das homo-

morphe Bild yon F (x) hinsichtlich H~ bedeutet , und kSnnen Satz 2 anwenden. Das Sc~uFFsche Kr i te r ium ents teht also aus Satz 2 durch Spezialisierung. Nu t fiir n = 1 sind Satz 2 und Satz 3 g]eichwertig. Fiir n ~ 2 ha t z. B. ]edes Element F (x) = x~ ~ a~ x~ ~ ae x~ a a x~ mit ax a~ a a ~ ~ naeh Satz 2 eine Wurzel , w~hrend sich Satz 3 au f F (x) nicht anwenden l~Bt. ~ b e r Satz 2 hinaus fiihrt das yon B. H. N n U ~ N N ~) bewiesene Theorem, dab ]edes Polynom dec Form a x n e i n e Wurzel besitzt (aueh fiir a ~ ~). Will ma n das Problem der Wurzelexistenz in ~5[x~, x~ . . . . . x~.] allgemein angreifen, so liegt es nach unseren Resul ta ten nahe, zwei F~lle zu unterscheiden:

a) Das Element F(x) wird dutch den Homomorph i smus H~ auf ein Element der Fo rm (a, e~) abgebildet. Hier sieht man sofort, da~ z. B. ]cein Element der Form

(3) F ( x ) = 7 ~ 1 ( x ) - l a 1 1 . . . a ~ - ~ ~ + l ( x ) - ~ a ~ , + ~ ( x ) a ~ . . . a ~ 7 ~ ( x ) (a=~e)

eine Wurzel besitzt. Gilt also in diesem FaUe i iberhaupt ein allgemeiner Satz, so kann er nur besagen, dal] nie eine Wurzet existierta).

a) Adjunct±on of elements to groups, J. London Math. Soc. 18, 4--11. *) PersSnlich mSchte ich eher annehmen, dal~ es auch im Falle a) Elemente mit ~¥urzeln

gibt.

380 WOr.~OA~G KRULL: t~ber Homomorphismen in Polynomgruppen.

b) Bei dem homomorphen Bild (a, ~ (x)) ist z~ (x):~ el. Hier ha t m a n Satz 2 zur Verfiigung, und im iibrigen gilt nach dem Beweise yon Satz 1 b) bzw. nach dem yon I t . SCHIEK gewonnenen Resul ta t allgemein:

Satz d. Is t :~ (x) ~ e I bei dem H, -Bi ld (a, :~ (x)) von F (x) und ist G (x) = a ein zu ~ gehSriges Element aus der kleinsten F {x) enthaltenden, in ~5[ x 1 . . . . . Xn] invarianten Gruppe, so muff G (x) die/olgende Gestalt besitzen :

lg (4) a(X) = H F k ( x ) - l . F ( x ) e k F k ( x ) (~k = -4- 1; ~1 + ' ' ' + ~N= 0).

k = l

(Man beachte die Definit ion yon It~ und die Tatsache, dab G (x) = a soviel besagt wie die Gtiltigkeit yon ~(x) = ef bei dem H~-Bild (a, z (x ) ) yon G(x). - - Vielleieht kann man Satz 4 als Ausgangspunkt w~hlen zum Beweis der Ver- mutung, dab F (x) im Falle b) stets eine Nullstelle besitzt.

(Eingegangen am 10. Februar 1953.)