Math. Nachr. 89,71-85 (1979)

uber Naherungsverfahren zur Losung der nichtlinearen Schrodinger-Gleichung mit selbstkonsistentem Potential

Dem 30. Jahrestag der DDR gewidmet

Von HERBERT GAJEWSKI und KLAUS ZACHARIAS in Berlin

(Eingegangen am 23.3.1977)

In dieser Arbeit beschiiftigen wir uns mit dem folgenden System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen :

iut +u,,+(ar-w)u=O, i=-,

wt + v, = 0.

Im Rahmen der sogenannten hydrodynamischen Niiherung beschreibt dieses System die Wechselwirkung zwischen hochfrequenten Elektronen und niederfrequenten Ionen in einem rliumlich eindimensionalen Plasma. Dabei ist u die komplexe (zeitlich langsam veranderliche) Amplitude des hochfrequenten elektrischen Feldes E = u exp (-&opt), wp die Plasmafrequenz, v die Ionengeschwindigkeit und w die Abweichung von der

inittleren Ionendichte. Vernachlassigt man den Term - (va), und setzt man zudem die

reellen Parameter a und 8 gleich Null, so liiBt sich (0.1) offenbar in der Form

(0.2)

1 2

iu, + u,, - wu = 0, w,t - w,, = IuI:z

schreiben. Das ist die raumlich eindimensionale Version eines zuerst von ZAKHAROV [8] abgeleiteten Systems, das hiiufig (vgl. z. B. [l], [3]) als mathematische Grundlage fur die numerische Modellierung von Plasmaschwingungen dient.

Fur das System (0.1) werden wir Existenz- und Einzigkeitsaussagen beweisen und Naherungsverfahren begrunden. Viele unserer Ergebnisse gelten nur unter der ein- schriinkenden Voraussetzung 8 > 0 und lassen sich daher nicht ohne weiteres auf das , , Z ~ g ~ ~ ~ o v - S y s t e m " (0.2) anwenden.1)

1. Bezeichnungen

1st z eine komplexe Zahl, so bezeichnen 121, Rez bzw. Im z Betrag, Real- bzw. Imaginarteil von z und f die zu z konjugiert-komplexe Zahl.

Fur ein Gebiet SZ des Rn bezeichnen wir durch C1(8), Lp(9) und Hf(S2) die ublichen Raume auf 9 definierter komplexwertiger Funktionen (vgl. z. B. [a], [6]). Zur Ab-

1) Anmerkung bei der Korrektur: Der Fall /I = 0 wurde inzwischen behandelt in: H. GSJEWSKI. K. ZACIIARUS, On the Convergence of Fourier's Method for Nonlinear Wave-Envelope Equa- tions, ZAMM 69 (1979).

72 Gajewski/Zacharias, Uber Niiherungsverfahren

kurzung schreiben wir :

H = La(O, L ) , V = (u E Hl(0 , L ) I u(0) = u(L)I.

Wir identifizieren H mit seinem dualen Raum und konnen H somit als Teilraum des zu V dualen Raumes V* ansehen. Im Einklang damit benutzen wir das Symbol (. , .) auch zur Bezeichnung der Paarbildung zwischen Elementen aus V* und V . Fur beliebiges u E H definieren wir 21, E V* durch

du Offenbar gilt u, = - wenn u E V ist. In diesem Falle gilt auch ([4])

dx '

Mit F , bezeichnen wir den durch

definierten Projektor von H auf die abgeschlossene lineare Hiille Hn der Funktionen h-n, . , ., h, . Bekanntlich gilt

Fng + Q in IPnSl l 5 llSll* Dabei bezeichnet ,,+" starke und ,, - " schwache Konvergenz.

Fur einen BANAcH-Raum B bezeichnen wir durch :

- (B)3 = B x B x B das dreifache kartesische Produkt von B mit sich; - C1(S;B) den BANAcH-Raum der auf S stetigen und 1-ma1 stetig differenzierbaren

Sei im folgenden stets S = [0, TI ein beschriinktes Zeitintervall und G = S x [0, L] .

I diu( t ) - Funktionen niit Werten in B, versehen mit der Norm IIuIJct(s ; B , = C max ( C ( S ; B ) = cys; B ) ) ; j=o t E S 11 i B *

- C,(S; B ) den Rauni der auf S schwach stetigen Funktionen mit Werten in B ; - LP(8; B) den BANAcH-Raum der (BOCHNER-)meflbaren Funktionen mit Wehen in B,

T fur die I ( U I ( $ , , ( ~ ; ~ ) = -/ Ilu(t)llb dt < 00 ist;

0

Gajewski/Zacharias, Uber Niherungsverfahren 73

- g * ( S ; B) den Raum der Distributionen uber (0, T) init Werten in B ;

- ut = - die Ableitung einer Funktion u E L1(S; B) , verstanden im Sinne des du

dt Raunies g * ( S ; B).

Offenbar ist Lp(S; Lp(0, L)) = P ( G ) (1 5 p 5 00). DemgeniiiB werden wir gelegentlich ,,gewohnliche" Funktionen als ,,abstrakte" Funktionen ansehen und umgekehrt. Aus (1.1) folgt fur u E L"(S; V )

2. Problemstellung

Wir betrachten das folgende Rand-Anfangswertproblem

(2.1) iut + u,, + (a - w) u = 0, u(0) = u,,

1 (2.2) ?It + (2 va - pv, + w + lu12) = 0 , v ( 0 ) = ?la,

2

(2.3) w, + v, = 0, w(0) = w,,

(2.4)

Dabei sind a und p reelle Parameter, p > 0. Uher die Anfangswerte setzen wir bis zum Ende der Arbeit voraus

u, v , w E C(S; H ) n C,(S; V ) , u l , u1, wl E C,(S; V*) .

- (2.5) uo, va, wa E V , 11, = a,, w, = w,.

Bemerkung 2.1. Einige Ergebnisse der Arbeit lassen sich unter etwas schwacheren Bedingungen an die An fangswerte beweisen. (Vgl. dazu Bemerkung 4.2).

Benierkung 2.2. Beziiglich der physikalischen Interpretation des Systems (2.1)- (2.3)

Bemerkung 2.3. Gleichung (2.1) geht im Fall der sogenannten quasistatischen Niiherung w = -lula (vgl. [I]) in die nichtlineare ScHRonINaER-Gleichung uber, die in [4] behandelt wurde. Die ersten drei Terme in (2.2) sind mit den Termen der BURGERS- Gleichung identisch. Die Ergebnisse dieser Arbeit lassen sich leicht auf den Fall iiber- tragen, daB der Dissipationsterm -~zI,, in (2.2) durch einen Dispersionsterm der Form -yvZtt ersetzt oder ergiinzt wird. (Vgl. dam [Z].)

verweisen wir auf die Arbeiten [l-31, [7], [8].

3. A priori Absehiitzungen

Wir werden unseren Existenzsatz im nachsten Abschnitt init Hilfe des GALERKIN- Verfahrens beweisen, das unter unseren Bedingungen mit der FomtmRschen Methode identisch ist. Grundlage dafiir sind einige a priori Abschatzungen, die wir in diesein

74 Gajewski/Zacharias, uber Niiherungsverfahren

Gajewski/Zacharias, Uber Niiheriingsverfehren 75

Die beiden folgenden Lemmata enthalten die benotigten a priori Abschatzungen.

Lemma 3.1. Zu jedem n = 0, 1, 2, . . . exiatiert genau eine (GALERKIN-) L&ung (unr vn) wn) E (C1(S; Hn))3 von (3.1)-(3.3). Fiir diese gilt

(3.6) IIunIIc(s;v) + lbnIlc(s;v) + IIwnIIc(s;v) + lIvnlh(s;v*~ < k - 0 -

Dabei ist ko eine explizit bekannte Konstante.

Beweis. Bei (3.1)-(3.3) handelt es sich, wie aus (3.4) zu ersehen ist, um ein Anfangs- wertproblem fur ein System nichtlinearer gewohnlicher Differentialgleichungen zur Bestimmung der GfiEBm-Koeffizienten (anl, bnl, cnl). Auf Grund der speziellen Bau- art dieses Systems folgt seine Losbarkeit aus klassischen Ergebnissen der Theorie gewohnlicher Differentialgleichungen in Zusammenhang mit der a priori Abschatzung (3.6), die wir jetzt beweisen. Zunachst erhalten wir aus (3.1)

L

IIun(t)IIf = j ’ (UntEn + unznt) = 21m (iunt + unzz + (a - wn)un, un) ( t ) = 0, 0

d. h., es ist fur jedes t E S

(3.7) IIun(t)I12 == IIuunI12 5 IIuuI12 = k:* Weiter ergibtpich aus (3.1)-(3.3)

76 Gajewski/Zacharias, uber Niiherungsverfahren

Zwecks Herleitung der noch ausstehenden Abschiitzungen (fur Ilvnz(t)ll und Ilwnx(t)ll) multiplizieren wir (3.2) mit - wnzz und erhalten

Nun ist wegen (1.1)

Daniit ergibt sich

Aus (3.7), (3.10), (3.11) und (3.12) folgt die gewiinschte a priori Abschiitzung (3.6). Damit ist Lemma 3.1 bewiesen.

Gajewski/Zacharias, Uber Niiherungsverfahren 77

Lemma 3.2. Es gilt

(3.13) IIUntllc(s; v*) + ll~ntIlc(s;v*j + IIWntllc(s;a) 5 C *

Die Folge (u,,, vn, wn) zkt in (L2(G))3 (stark) kmpakt.

der Koordinatenfunktionen h, finden wir wegen Lemma 3.1 aus (3.1) Beweis. Sei g E V beliebig und Gn = F,,g. Unter Ausnutzung der Orthogonalitat

l(unt(t), g)l = I(unt(t), Gn)l = I(unzz + (a - wn) Un, Gn) (t)l

5 IIunz(t)II IIGnzII + IIun(t)IIm Ib - wn(t)ll IIGnII

5 c IIGnllv 5 c llgllv 9

d* h.7 IIUntIIC(s;v*j 5 C.

Aus (3.2) erhalten wir

5 c IlGnzll 5 c 11gllvt

d* h.3 lluntllc(s; v*j < = c.

Weiter folgt aus (3.3)

Ilwnt(t)ll = IIvnz(t)ll 5 k2, d* h.9 IIWntllC(s;a) 5 k2.

Die Kompaktheit der Folge (un, vn, wn) in (L2(G))3 schlieBlich ergibt sich auf Grund von (3.6) und (3.13) aus einem bekannten Lemma (vgl. Theoreme 5.1, Chap. I in [5] ) . Damit ist das Lemma 3.2 bewiesen.

4. Existenz- und Einzigkeitssatz, Konvergenz des Galerkin-Verfahrens

Wir konnen jetzt den angekiindigten Existenz- und Einzigkeitssatz beweisen.

Satz 4.1. Dns Problem (2.1)-(2.4) hat (unter den Voraussetzungen (2.5) und B > 0)

Beweis. (Existenz) Auf Grund von Lemma 3.1 und Lemma 3.2 existieren eine

genau eine Liisung (u, I ) , w).

Teilfolge (ui, vi, wi) der GALERKrN-Folge (un, vn, w,) und Elemente u, v, w so, daB

(4.1 1 ui - u, vi - v in La(&'; V ) , wi - w in La(&'; V ) ,

(4.2) u i + u , vi + v in L2(G),

(4.3) u j t - ut , vit - v f , wit - wt in La(&'; V * ) ,

(4.4) ui(0) + u(O), vi(0) -+ v(O), wi(0) -+ w(0) in H .

78 Gajewski/Zacharias, Ober NiGherungsverfahren

Aus (4.4) folgt zunllchst u(0) = u,, w(0) = wa,, w(0) = w,. Unter Benutzung von (4.1)-(4.3) finden wir fur jedes g E C ( S ; H f l )

und T T

J (wt + wz, g ) dt = lim J (wit + qz, g) dt = 0. 0 j+m 0

W

Wegen u H , = P folgen aus den eben bewiesenen Beziehungen die Gleichungen (2.1)

bis (2.3) als Gleichungen in La(S; P*). Es bleibt noch (2.4) zu beweisen. Zuniichst folgt u, w, w E C(S; H ) aus (4.1), (4.3) (vgl. z. B. [6], [ S ] ) . Zusammen mit der wegen (3.6) und (4.1) geltenden Beziehung u, w, w E Lm(S; V ) bedeutet das u, w, w E C,(S; V ) . Die Gleichungen (2.1)- (2.3) implizieren schlieBlich ut, vt E CW(8, V*) und wt C,(S; H ) .

(Einzigkeit) Seien (uh, vh, wk), k = 1, 2, zwei Lijsungen von (2.1)-(2.4). Wir setzeii u = u1 - ~ 2 , v = w1 - w2, w = wl - Wa und erhalten aus (2.1)

f l = O

Gajewski/Zacharias, vber Niiherungeverfahren 79

und aus (2.2), (2.3)

f

= J’G (vl + v2) + u 1 ~ + m2, U, ds 0 1

5 J(+ 11% + 4 l m llvll + ( I I ~ l l l o c + IIu2llm) llull 11%11 d5 0 1

f

t t

5 c J (llv1l2 + Ilul12) ds + B J llvz1I2 ds.

Ilu(W + llW1I2 + Ilw(t)l12 5 c J (Ilul12 + 11412 + llw1I2) 6%.

0 0

Durch Addition dieser Ungleichungen ergibt sich

1

0

Mit Hilfe des GaoNwuschen Lemmas folgt daraus u = 0, v = 0, w = 0, d. h., u1 = u2, v1 = v2, w1 = w2. Damit ist Satz 4.1 bewiesen.

Bemerkung 4.1. Mit Hilfe der in Lemma 3.1 bewiesenen a priori-Abschiitzung fur / ~ w n ~ ~ L , ~ s ~ v , ~ laDt sich leicht zeigen, daB die Losung (u, v, w) von (2.1)-(2.3) die folgenden uber (2.4) hinausgehenden Eigenschaften besitzt :

v E L2(S; V z ) n C(S; V ) , wt E L2(S; V ) n C(S; H ) .

wt E L2(S; H ) , w E C(S; V ) ,

Bemerkung 4.2. Die Existenz einer Losung (u, v, w) E (C(S; H ) ) 3 von (2.1)-(2.3) mit den Eigenschaften u E C,(S; V ) , ut E C,(S; V*) , v E La@; V ) , vt E La@; V*) , wt < L2(S; H ) laDt sich unter der gegenuber (2.6) abgeschwachten Voraussetzung

(4.5) u a € V , va, wa E H

beweisen. Ausschlaggebend fur den Beweis dieser Existenzaussage sind die auch unter der Voraussetzung (4.5) geltenden Abschatzungen (3.10) und (3.11). Die genannten Liisungseigenschaften reichen uns jedoch fur eine entsprechende Einzigkeitsaussage nicht Bus.

Bemerkung 4.3. In der physikalischen Literatur wird, dem Beispiel ZAKHAROVS [8] folgend, anstelle der Gleichung (2.2) die formal einfachere Gleichung

(2.2)’ vt + (W + lu12)z = 0 , ~ ( 0 ) = va,

betrachtet. Fur das System (2.1), (2.2)’, (2.3) l aB t sich mit unseren Mitteln die Existenz einer Lasung u E C,(S; V ) n C ( S ; H ) , v, w E C,(S; H ) , (uf, of, w;) E (C,(S; V*))3 unter der Voraussetzung (4.5) zeigen.

80 Gajewski/Zaoharias, Uber Niiherungsverfahren

satz 4.2. Die Folge (u,, v,, w,) der GALERKIN-Naherungen konvergiert in (C(S; H ) ) 3

Beweis. Zuniichst folgt aus (4.2) und der Einzigkeitsaussage von Satz 4.1

qegen die L&ung (u, v, w) von (2.1)-(2.4).

(4.6) u , + u , v , + v in L a ( G ) = L a ( S ; H ) .

Weiter gilt wegen u, v E C,(S; V ) fur U , = P,U, V , = F,v

(4.7) U n + u , V , + v in P(S; V).

Wir setzen zur Abkiirzung

p , = u, - u , P , = u - U , , q, = v, - v, Q, = v - V , , r , = w, - w

und erhalten unter Benutzung von (3.6) und (3.13) aus (2.1) und (3.1)

! IIPn(t)IIa = IlPn(0)I12 - 2 ~e J (Pnt, P n )

0

t + 2 ~m J ((Pnz, Pnz) + ((wn - a) Pn + rnu, Pn + pn)) 0

t

d IIP.(o)lla + 2 J' (IlPntlIV. IlPnllV + IlPnzll IlPnzll 0

+ ( I F n - aIIm IIPnII + IIrnII IbIIm) (IIpnII + IIPnII))

5 I b a n - %Il' + C(IIP,IlL'(G) + IIPnllL',S;V)) --f 0 fur n + 00.

Weiter ergibt sich aus (2.2), (2.3), (3.2) und (3.3)

t

fur n + 00. Damit ist Satz 4.2 bewiesen.

Bemerkung 4.4. Aus dem Beweis von Satz 4.2 ergeben sioh unmittelbar die Aussagen

?I,, + vz, writ + wt in L'(S; H).

GajewskilZacharias, tfber Niiherungsverfahren 81

uberdies folgen aus (3.6), (3.13), Satz 4.1 und Satz 4.2 fur jedes t E S die Beziehungen

u,(t) - u( t ) , cn(t) - v( t ) , w,(t) - w(t) in 8,

unt(t) - u,(t), vnt(t) - vt(t) in V*, wnl(t) - ,wt(t) in H .

5. Iterationsverfahren

Wir werden in diesem Abschnitt Iterationsverfahren zur Losung des Systems (2.1) - (2.4) und der GaLERKlX-Gleichungen (3.1) - (3.3) begriinden. Dam benotigen wir den durch

definierten Projektor P der komplexen Ebene auf den Kreis mit dem Radius k = co(k, + k,) und den durch

definierten Projektor Q von H auf die Kugc., mit dem Radius k,. Dabei sind k , unl k, die irn Beweis von Lemma 3.1 eingefuhrten Konstanten. Wegen (l.l), (3.10), (3.12) und Bemerkung 4.4 gelten fur die Losungen (u, v, w) von (2.1)-(2.4) und (u,, v,, w,) von (3.1)-(3.3) die Beziehungen P u = u, Pun = u, sowie Qv = v, Qv, = v,. uberdies sind die Operatoren P und Q bekanntlich nichtexpansiv, d. h., fur beliebige komplexe Zahlen zl, z, und beliebige Funktionen v,, v2 E H gilt

l p z l - Pzzl 5 121 - 221 7 IlQv1 - Qvzll 5 11v1 - v~ll *

Sata 6.1. Sei (u, v, w) die Ldsung des Problems (2.1)-(2.4) und (uo, vo, wo) E (L2(S; V ) n C ( S ; H ) ) 3 ein beliebiger Startwert. Dann konvergiert die durch

(5.1) iUj, + uj,, + Oruj = wj-1PUj-1, U j ( 0 ) = u,,

(5.3) wit + vjz = 0 , Wj(0) = w,

definierte Iterationsfolge (ui, vj, wj) in (G(S; H ) ) 3 und (La(S; V ) ) 3 gegen (u, v, w).

Beweis. Zuniichst uberzeugt man sich an Hand bekannter Aussagen iiber lineare Wellengleichungen ([4], [6]) davon, daB das Iterationsverfahren (5.1) - (5.3) im h u m (Lz(S; V ) n C(S; H ) ) 3 unbeschrankt durchfiihrbar ist. Wir setzen nun

pi = uj - u , qj = vj - v, r j = wi - w

6 Math. Nachr. 89

82 Gajewski/Zacharias, Uber Niiherungsverfahren

und erhalten unter Beachtung von (2.1)-(2.4) und (6.1)- (5.3) sowie der Eigenschaften der Operatoren P und Q

und

Die Addition dieser Abschatzungen ergibt

Gajewski/Zacharias, Uber Niiherungsverfahren 83

erhalten wir daraus

Fur hinreichend kleines E und geniigend groDes 1 folgt hieraus

1 i Ilzjli: I Ilzj-111: 5 5 (+) IIZOII:.

Daraus folgt unmittelbar die Behauptung von Satz 5.1.

Bemerkung 6.1. Satz 5.1 bleibt, wie man leicht nachpruft, gultig, wenn man ent- weder in (5.1) wj-l durch wi oder in (5.2) IPui-112 durch lPujlz ersetzt.

(5.2) durch

(5.1)'

Bemerkung 6.2. Satz 5.1 bleibt giiltig, wenn man die Iterationsvorschrift (5.1),

iuit + ujzz + (a - wj-]) ui = 0, uj(0) = u,,

(5.2)' vjt + (wj - Bvjz)z + Vj-lvjz = -(IPuj-l12)z, vj(0) = va,

ersetzt. Die Iterationsvorschrift (5.1), (5.2) besitzt jedoch den Vorteil, daD bei ihrer numerischen Realisierung lediglich Gleichungen mit konstanten Koeffizienten zu losen sind.

Bemerkung 6.3. Die Gleichungen (5.2) und (5.3) sind offenbar der linearen Wellen- gleichung

w@) = w,, w j m = -V,z,

aquivalent. Die Bemerkungen 5.1 und 5.2 gelten sinngemal3 auch fur das im folgenden Satz

definierte Iterationsverfahren zur Losung der nichtlinearen GammN-Gleichungen (3.1)- (3.3).

Satz 6.2. S e i (u,, v,, w,) die n-te GALERmN-Naherung u r n (u, v, w) und (uno, vn0, wno) E (C(S; H ) ) s ein beliebiger Startvektor. Dann konvergiert die durch die folgenden Bezie-

6*

a4 Gajewski/Zacharias, tfber Nalierungsverfahren

hungen definierte IterutionsfoQe (unj, unit inni) i l l (('(8: "))a gegeqt (u,, v,, w,):

Beweis. Man priift leicht nach, daB (unj, vni, wni) die Losung des Problems

(iunjt + unjzz + aunj - wnj-1Punj-1, I&) 1 0, unj(O) = u a n ,

unit + - q)nj-lQVnj-l - P2.nj.z + punj + IPUnj-1 1~ = 0 , V n j ( 0 ) = van, ( ( k I2L ( ~ n j t + vnjz, h) = 0, Wnj(0) = wan, V E Hn,

ist. Daraus wird klar, daB Satz 5.2 in Analogie zu Satz 5.1 bewiesen werden kann.

Bemerkung 6.4. Fur die numerische Realisierung des Iterationsverfahrens (5.6) hat sich das folgende Vorgehen als zweckmiiBig erwiesen : Zuniichst zerlegt man das Zeit- intervall [0, TI in m Teilintervalle [to = 0, t l ] , ..., [t,-], t,,, = TI. Durch Iteration bestimmt man dann die GALERm-Niiherungen sukzessive in den diskreten Zeitpunkten t l , t,, . . ., t,. Einen Startwert fiir die Iteration im i-ten Zeitpunkt ermittelt man dabei durch Extrapolation aus den vorhergehenden Zeitpunkten, etwa aus ti-2 und ti-l.

Gajewski/Znchariits, Uber Niiherungsverfahren

Integrale der Form

85

t"2-1

ersetzt man naherungsweise durch

tm-1

Integrale iiber das Interval1 [0, L] berechnet man etwa mit Grlussschen Quadratur- formeln.

Bemerkung 5.5. Das Iterationsverfa,hren (5.6) wurde mit Erfolg zur numerischen Losung des ZAKHAROV-SYStemS

2 iu, + u,, - wu = 0 , U j , - 1u,, = IUJ,,

verwendet, obwohl dieses System die fiir unseren Konvergenzbeweis wichtige Voraus- setzung ,!l > 0 nicht erfiillt.

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