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lfber Spin und Strahlung&raft*) Von W . Wesse l

Die vorliegende Mitteilung bildet eine Forteetzung der Versuche des Verfassers, die aus der Elektronentheorie bekannte Reaktionskraft . der Strahlung in die Quantenmechanik einzufiihren. Man versteht unter dieser Strahlungskraft eineii aus den Geschwindigkeiten, Beschleunigun- gen und Beschleunigungsiinderungen gebildeten Vierervektor, der, ah eine Kraft verstanden, die Bewegung eines geladenen Teilchens genau so beeinfluBt, wie es die von ihm ausgesandte Strahlung tut. Die so veranderte, klassische Bewegung steht in. einer sehr engen Analogie zu der Bewegung unter dem Einflusse des Elektronenspins, wie sie die Diracsche Theorie beschreibt. Der Grund dafiir liegt, wie friiher aus- einandergesetzt wurdel), darin, daB die Strahlungskraft dritte Bblei- tungen nach der Zeit enthiilt. Man bekommt dadurch Geschwindigkeiten und Impulse als unabhangige Variable nebeneinander, und es zeigt sich2), daB ihre Bewegungsgleichungen in genauer Analogie zu denen der Spintheorie stehen, die ja auf dieser Unabhiingigkeit geradezu beruht. Drei Unterschiede bleiben bestehen. Erstens ist die als MaB fur die Strahlungskraft zu betrachtende natiirliche Linienbreite etwa im Ver- hiiltnis der Feinstrukturkonstanten kleiner a h die Feinstruktur selber. Dementsprechend unterscheiden sich die Gleichungen fiir die Geschwin- digkeit um einen dimensionslosen Faktor von dieser GroBenordnung. Zweitens wird eine periodische Bewegung mit einer aperiodischen ver- glichen, was a. a. 0. zu einer ungelosten Realitiitsschwierigkeit AnlaB gab. Drittens ist die Energie des Spinelektrons konstant; man mu13 daher in der klassischen Theorie die emittierte Energie irgendwie mitzlhlen, rind es zeigte sich, daB die Analogie auch in diesem Punkte erhalten bleibt, menn man sie bestandig der Ruhmmae hinzurechnet.

Dieses Verfahren, daa sehr daran erinnert, daB man in der Quanten- theorie der Felder die Selbstenergie der Teilchen von der Feldenergie nicht t,rennen kann, wird auch hier beibehalten. Es diirfte mehr bedeuten als einen bloBen formalen Kunstgriff, denn es erlaubt eine sonst schwer verstandliche, grundlegende Eigentumlichkeit der D ir a cschen Theorie zu deuten. Mit seiner Hilfe konnen wir, nachdem wir in der letzten Mitteilung von dieser Theorie ausgegangen waren, nun wieder, zur klassi- Hchen Theorie zuriickkehren und die Frage stellen: wekhe Vertau- schungsrelalionen a i d mit den 80 veranderten khaisehen Gkichungen vertriiglieh oder wie mup man dierre Gkichungen etwa weiter veranda% einfache Vertuusehungsrelalionen einfiihren zu konnen? Man kann ja ZU

* ) Herrn Gohoimrat A. Son1 m o r f c l d zum 75. Geburtzitfl!;o a111 5. 1% 1943 gewidrnet.

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einem gegebenen System von Bewegungsgleichungen nicht irgendwelche Vertauschungsrelationen hinzufugen, sondern diese mussen partikuliire Integrale sein, genau so, wie in der Llteren Quantenmechanik die ,, Quan- tenbedingungen" Integralinvarianten. Es migt sich, daB man so auf kiirzestem Wege wieder zur Diracschen Hamiltonfunktion und bia auf Abweichungen wn der Choflewdnung der Strahlungakraft auch zu den Diracschen Vertauschungsrelationen gefuhrt wird. Die Umstiinde, unter denen diem Betrachtungen entstanden, erlaubten es noch nicht, diese eigentlich interessierenden Abweichungen zu bestimmen, doch diirfte mit dem Vorliegenden die Herleitung der reinen Spinthemie ale eraten Naherung einer Theorie mit Strahlungakraft einigermaBen zum AbschluB gebracht sein.

Die Bewegungsgleichung eines punktformigen, negativen Elektrons lautet in Gegenwart auBerer elektromagnetischer Felder F,,, bei Be- riicksichtigung der Strahlungsriickwirkungs)

2 e2 m c u ' ~ = - e F,,, u,, + (u", - u,, @',,)a) .

up c ist die Vierergeschwindigkeit, e und c Hind die Elementarkonstanten und m die Ruhmasse. Die Striche deuten Ableitungen nach der Eigen- zeit an. Die Metrik ist so gewiihlt, daB up* = - 1 gilt. Griechische In- laufen von 1 bis 4, lateinische von 1 bis 3.

Wir versuchen dime Gleichung so umzuschreiben, daB die rechte Seite gleich der Ableitung eines Skabrs nach einer Koordinate, die linke gleich der vollstiindigen Ableitung eines Vektors nach der Zeit wird, urn dieaen Vektor als Impuls einzufiihren, und betrachten dazu zuniichst die Strahlungskraft, daa sind die beiden letzten .Glider rechts. Sie enthiilt erstem ein Glied mit u",,; dies kann natiirlich ohne weiteres auf die linke Seite geschlagen werden. Es ist dynamisch eigentlich recht unwichtig, weil es nur reversible hderungen der Energie bewirkt4), aber ausschlag- gebend fiir die Abanderung der Kinematik. Die eigentliche Bremskraft wird durch daa zweite Glied in der Klammer dargestellt. Sie ist, da das Quadrat der Viererbeschleunigung bekanntlich steta positiv ist; der Geschwindigkeit stets entgegengesetzt gerichtet und verzehrt dauernd Energie. Wir wollen diese Energie, wie gesagt, bestiindig der Ruhmasse zurechnen und bestimmen sie daher fur das mitbewegb System. Der gesuchte Energieverlust ist durch die mit -ic multiplizierte vierte Kom- ponente des letzten Gliedea von (l), also durch

2 e2 3 c -- i 11, (u',,)2

gegeben. Im mitbewegten System ist % = i ; die Zunahme der Ruhmasse folgt hiermit aus (2) durch Division mit cz und Vorzeichenumkehr. Wir

(3) haben also 2 ez

zu setzen, und danach liiBt sich das letzte Glied rechterhand in (1) rnit der linken Seite zu (mcu,)' vereinigen. SchlieBlich setzen wir wie gewohnlich unter Einfuhrung eines Vektorpotentials A,

m'=-- 3 c3 (U'd2

und konnen dann (1) mit Einfuhrung eines Impulses 2 e2 - - - e p , = m c up - - A I' 3 cz "'P (5 )

in der gewiinschten Form a

eAV% (6) p', = - - a 9

schreiben. Fiir die k d e r u n g der Vierergeschwindigkeit folgt dann aus (5 ) die Gleichung

Die Gleichungen (3), (6) und'(7) in Verbindung mitder Definition der Vierergeschwindigkeit

bilden nun daa vollstandige System der Bewegungsgleichungen fiir Koordinaten, Geschwindigkeiten, Impulse und Masse.

W b gehen schliefilich noch, urn unabhiingige Variable zu haben, von der Vierergeschwindigkeit zur gewohnlichen Geachwindigkeit n uber und fuhren au& statt der Eigenzeit die gewohnliche Zeit ein. Die Differentia- tion danach werde durch einen Punkt bezeichnet6). Statt (8) und (6) hat man dann einfach

5; = b (8)

(9) 5 . = 2). I 3

(10) a n pi = - - e (aT- V ) a xi

(j = 1, 2 , 3 ; V = - i A , = skalares Potential), und fur aich nach einer kleinen Rechnung aus (7) mit den Abkiirzungen

selbst ergibt

(11) e

' D = P + ; l r- Po = m. c I: 1 - p 2

(/I = v /c ) die Gleichung

Wie man sieht, erscheint die Masse nur in der Verbindung (12); wir betrachten also Po als unabhangige Verancterliche und fugen ihre Be- wegungsgleichung dem System (9), (lo), (13) hinzu. Man findet dafur mit Benutzung von (3) und (13) nach einiger Rechnung

oder auch

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Diese einfache Formel, aus der der Energiesatz leicht zu folgern ist, wird die eigentliche Briicke zur Quantenmechanik bilden. Wir versuchen namlich jetzt Vertauschungsrelationen zu finden, die mit (9), (lo), (13) und (15) vereinbar sind. In erster Linie verlangen wir naturlich das Erfiilltsein der Relation

der H e i s e n b e r g s c h e n Mechanik.*) Sol1 das fiir alle Zeiten gelten, so muR

$i xk - xk pi + pi k k - &k pi = 0 (17)

sein. Nun sind die Iji nicht von den pi und die xi nicht von den xi ab- hangig, wohl aber beide von den Geschwindigkeitskomponenten. Die Gleichungen (17) sind also auf einfache Weise nur zu erfiillen, wenn man Vertuuschbarkeit aller Koordinaten und Impulse mit den Geschwindiqkeits- lcomponenten annimmt. Es sol1 also sein

v1 x1 - XI v, = 0 v, x1 - XI w, = 0 v3 x1 - X1V3 = 0

u. 9. w. Daraus folgt wegen il = wl:

.3, x1 = x1 6, v, x1 - x1 v, = v1 11, - 21, r1 v3 x1 - x1 v3 = 21, v3 - v3 v1

Wir wollen schlieBlich annehmen, daB auch Po, das ist im wesentlichen die Mmse, mit den Koordinaten und Impulsen vertauschbar sei. Wir be- ginnen auch hier mit den Koordinaten:

Differentiieren wir auch diese Bedingung nach der Zeit, z. B. fur i = 1:

so ergibt sich mit Riicksicht auf (15)

(19) u. 9. w.

Po xi- xi Po = 0 . (20)

(21)

-(q3X1-X1q3)--q3 xl--xl- -1 Pou1-v1P,=0. (22)

Po x1 - Xl Po + Po v1 - v1 Po = 0 ,

C (: C u ) d

Hier gibt der erste Term gemaB der kanonischen Relation (16) einfach

- -_ . Im zweiten Term setzen wir aus (19) ein. So folgt, nach wl auf-

gelost :

h it, i c

. a v l = - { P 2 (v2 711 - U1 712) -t p3 (v3 v1 - Vl v3) i c (Yo v1 - *1 Po) } (23)

Aber da8 lLBt sich offenbar auffassen als

*) / b steht liior un.1 im folgenden fur h / h .

iiiit

H = 'u D + c Po (25) uiid das ist, bis auf tlas skaiare Potential. dss nim, als niit D vertausch- bar. hinzufugen kann, gerade die Diracsche Hamiltonfunktion. Ails ihr folgen in bekannter Weise arich die Gleichungen (9) und (10) durch Vertaiischen mit zi und pi. Damit sind wir der Untersuchung der bisher stillschweigend vorausgesetzten Vertauschbarkeit der xi unter sich und der pi unter sich enthoben. Es folgt weiter. wenn man (15) symmetrisiert in der Form

und D aus (23) einset.zt, nuch

Po = f ( H P,, - P,, H ) ,

(26)

f27)

ivuiiiit alle Be\r.e#uiigsgleichiingcii an H angeschlosscn siiid. Mit Hilfu der let.zten Beziehung nnd der entsprechenden fur pi beweist, man clann auch leicht, da.R Po pi - pi Po = 0 fiir i = 1, 2 , 3 partikulares Integml ist. wie nhen angenornmeri und inzwischen mchrfach benutzt wurde. In Frage stehen jetzt nur noch die Kegeln fur die Vertauschung der.Kom- ponenten von t, linter sich und rnit Po, denn diese bleiben ja in (23) giinz offen.

Bevor wir darauf eingehen. wolleri wir jedoch die sich aufdrangende Frege beantworten. \vie die Veranderlichkeit der Ruhmasse in der Diracschen Theorie aufzufassen sei. Die fo rnde 'Ubereinstirnmung in der Hamiltonfunktion ist vollkommen, denn der hier c Po genannt,e Massenoperator ist bei D i r a c ebenfalls selbstandige Variable. Hat man also die Ruhmasse in der D i r a c scheri Theorie wirklich als veriinderlich zu bet,rachten? Wit glnuben in dcr Tat, daR man darnit die Bedeutung theses vierteri Operators erst richtig ve-teht. DaB bei DiFac auner den Koordinaten und Impulsen noch vier Operatoren auftreten, ist eine der wesentlichst,cn Eigent umlichkeiten seiner Theorie, besonders gegen- iiber der P a u l ischen Theorie des Spins. Die Sechzehngliedrigkeit des mit, ihr verknupften hyperkomplexen Systems hat darin ihre Wurzel. Man sieht in dieser 1-ierzahl nieist nur ein Kennzeichen der ,,relat,ivisti- when Syrnmetrie", wozu man insofern AnlaB hat, als sich fur die fmg- lichen vier GroBen, wenn man von der Welkngleichung ausgeht, die Operatoren des Viereratrmes wahlen lassen. Im a h m e n der reinen Mechanik, die wir hier treiben, hort aber diese Syrnmetrie auf, denn die Komponenten der Vierergeschwindigkeit sind ja durch die drei Kompo- nenten der gewohnlichen Geschwindigkeit bestimmt; dafiir erscheint als viertes Element ein mit der Masse verknupfter Operator, und zwar entspricht unserm Po = m c 1'1 -bz bei D i r a c ein Term m,ce,, wobei m, die Massenkonstante ist. Wollte man allgemein8) e3 als quanten- mechanischen Vertreter von 11 - B* auffassen, so ware die Unabhangig- keit von den Geschwindigkeitskomponenten physikalisch nicht einzu- sehen. Sie wird aber sofort verstiindlich, wenn man. wie es hier geschehen ist, die Ruhmasse m als beschleunigungsveriinderlich behandelt. Unter

.4iiuuIeii der Plirsik. 5. Folge. 43. : l i

570 Annalen der Physik. 5. F o ~ Q . Band 43. 1943

e3 ist dann m 1/1 - /32/rno zu verstehen, und das ist unabhangige Variable, weil m unabhangig ist.

Wir wenden uns nun den noch ausstehenden Vertauschungsrela- tionen der Geschwindigkeitskomponenten untereinander und mit dem Massenoperator zu. Um sie zu bestimnien, ziehen wir die noch nicht beriicksichtigte klassische Gleichung (13) heran und vergleichen sie hinsichtlich der Koeffizienten von $ und Po mit der quantentheoreti- schen Gleichung (23). Dort ist der Koeffizient von Pl gleich Null. SOU das auch in der ersten Gleichung (13) der Fall sein, so muB

sein. Entsprechendes gilt fur v, und v,. Damit haben wir auch die charak- teristischen Normierungsrelationen der Geschwindigkeitskomponenten wiedergefunden. Wir haben nun noch die Koeffizienten von P,, P3 und das Glied mit Po in (23) und der ersten Gleichung (13) zu vergleichen. Um die klassische Gleichung hierfiir geeignet zu machen, miissen wir sie zunachat symmetrisieren. Die erste Komponente lautet dann, wenn wir (28) gleicli bkriicksichtigen und einen Faktor c2 heben:

d l - - - 4 e 2 (1 - / 3 2 ) ( ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ + ~ 1 ~ ~ ) + ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ + ~ ~ ~ 3 ) + ~ ( P o ~ ~ + ~ ~ P ~ ) } . (29)

Es stehen Rich also bei ehem Vergleich mit (23) gegeniiber, wenn wir die Feinstrukturkonstante

3 c

e2

= 71c einfiihren :

3 i (Po t+ - 1’1 Po) und - (1 - ,P) (Po vl + vl Po) .

4 Y Wir konnen hier offen lassen, welche Bedeutung man quantentheoretisch dem Faktor 1 -pa zu geben hat, denn mindestens die in den beiden ersten Zeilen einander gegeniibergestellten GroBen konnen nicht mehr einander gleich gesetzt werden, weil ihre Symmetrie dem entgegensteht. Die linken Seiten kehren ja ihre Vorzeichen um, wenn man 1 und 2 ver- tauscht, was schon eintritt, wenn man von w, statt von v1 ausgeht, wiihrend die rechten Seiten ihre Zeichen beibehalten. Auch die dritta Zeile diirfte nicht als Gleichung moglich sein; sie ist es jedenfalls nicht, wenn man v1 mit 1 - j32 als vertauschbar betrachtet, weil dann Rechts- und Iinksmultiplikation mit vl wegen (28) auf einen Widerspruch fuhrt. Die richtigen Vertauschungsrelationen der vui und Po bleiben also noch aufzufinden. Wahrscheinlich ist die klassische Gleichung (13) nicht richtig. Wir konnen aber aus dem Vergleich (31) eine wichtige Abschiit- zuiq herleiten. Denn wie die fraglichen Relationen auch lauten mogen,

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so miissen sie doch von solcher Art sein, daB die rechten und linken Seiten in (31) Erwartungswerte gleicher GroPenordnung ergeben. Eine erste Voraussetzung dafiir ist erfullt : beide Seiten sind bei heriniteschen vi, P , hennitesch. Die Realitatsschwierigkeit in unseren friiheren Arbeiten ist damit behoben. Aber auch das Auftreten der Feinstrukturkonstanten macht die beiden Seiten in (31) nicht mehr unvereinbar: die antikommu- tative Verbindung (der hermitesche Realteil von v1 vz) rechterhand mu13 nur im Verhaltnis y klein werden zu der kommutativen (dem hermite- schen Imaginarteil) links, und das ist leicht moglich. Setzt man namlich

so ist i - (vi vk - tik vi) = 2 c2

sin Ti,

(32)

(33)

zu setzen, denn die Quadratsumme dieser beiden GroBen wird wegen (28) gleich eins. Damit folgt aus (31) der GroBenordnung (-) nach

ctg ri, y . (34) Der U’inkel Ti, ist also nahezu gleich einem Rechten und daher auch cos Ti, - y . Es muB also zufolge (32) sein

i * I? ,, und damit haben wir auch die bekannten Vertauschungsrelationen der Geschwindigkeitskomponenten bis auf Abweichungen der GroBen- ordnung y gewonnen. Da die Feinstrukturkonstante als das Verhaltnis der fur die Strahlungskraft charakteristischen Gro13e e2/c2 und der entsprechenden quantentheoretischen Konstanten h/c zustandekommt, erscheint hiermit die Diracsche Spintheorie als erste Naherung einer die Strahlungsreaktion umfassenden Theorie. Es ist von Wichtigkeit wegen der Existenz von ungeladenen Teilchen mit Spin, daB in der Quantentheorie die Strahlungskraft ganz in die Vertauschungsrelationen riickt, sodaB mit ihrem Verschwinden nicht die ganze Spinkinematik umgesto13en wird. - Gemalj der letzten Zeile in (31) ist schlieljlich noch zu erganzen

v. v i P o ~ + - P o - y m o c , c c

wobei mo die Elektronenmasse ist. Danlit folgt aus (25) fur verschwin- dendes y in bekannter Weise Po2 = const. als partikuliires Integral.

Relationen der Form (32) sind zur Einfiihrung des Schwerefeldes mehrfach untersucht worden’). Es gibt einfache Darstellungen dafiir, auch in Verbindung mit einer entsprechenden Relation fur Po. Die Losung der Symmetrieschwierigkeit ist aber wohl nicht in solchen Betrachtungen zu suchen. Dagegen ist es moglichs), sie zu beheben oder wenigstens einen offenen Widerspruch zu vermeiden, wenn man die Diracsche

3:.

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Theorie durch Heranziehung ihrer noch nicht benutzten Variablen klassisch strenger analogisiert. Dabei treten verschiedene GroRen ausein- ander, die in Gleichung (13) als identisch erscheinen. Es wollte aber noch nicht gelingen, Darstellungen fur die so sich ergebenden Vertau- schungsrelationen zu finden. Ferner ist im Auge zu behalten, daB das quantentheoretische Gegenstuck zu der durch (13) beschriebenen, klassi- schen Bewegung die Schrodingersche ,,Zitterbewegung" ist. Die Auf- losung der in (31) auftretenden Diskrepanz steht also sicher im Zusam- menhang mit den Problemen des positiven Elektrons. Das Vorzeichen der Ladung bestimmt auch, wie schon in der vorigen Mitteilung gezeigt wurde, das Vorzeichen der rechten Seite von (13) bzw. (31) in dem Sinne, daR bei Verwandlung von - e in + e und gleichzeitiger Vor- zeichenumkehr von p , $ und Po die rechte Seite von (13) das Zeirhen wechselt, wahrend alle andern Gleichungen in sich ubergehen.

FuRno ten

1) W. Wessel. 2s. f. Phys. 92, 407, 1934; 110, 625, 1938. 2) Derselhe, Naturwissengchaften 30, 606, 1942. 3) P. A. M. Dirac, Proc. Roy. SOC. (A) 167, 148, 1938; L. I n f e l d und P. R.

4) G . A. Scho t t , Phil. Mag. (6) 29, 49, 1915. 5) Anders als in der zuletzt genannten Mitteilung des Verf., wo nich der Punkt

6) Es trifft zd fur den Zeitmittelwert bei kriiftefreier Bewegung (auch noch

7 ) Vgl. E. Schrodinger , Bed. Ber. 1932 Nr. 11/12, S. 105. 8) Diese Bemerkung wurde nachtriiglich gemacht.

Wallace, Phys. nev. 67, 797, 1940.

auf die Eigenzeit hezog.

im konxtanten Magnetfelde), vgl V. Fock , ZS. f. Phys. 68, 522, 1931.

(Eingegangen 19. September 1943.)