Geometrisierung der Kraftfelder

Max Camenzind

Senioren Uni

Würzburg 2015

60 Jahre Yang-Mills Eichtheorien

Die Yang-Mills-Theorie (nach Chen Ning

Yang und Robert L. Mills) ist eine nicht-

Abelsche Eichtheorie, die zur Beschreibung

der starken und der schwachen

Wechselwirkung herangezogen wird. Sie

wurde 1954 von Yang und Mills als SU(2)-

Eichtheorie eingeführt.

• Das Eichprinzip in der Physik:

• Theorie des Elektrons ist eine Eichtheorie

• Transport von Fermionen-Feldern

• Die Eichgruppe SU(N) für Fermi-Felder.

• Die Quantenchromodynamik als SU(3)-Eichtheorie;

• Die Quantenflavourdynamik als SU(2)xU(1)-Eichtheorie.

• Bestätigung im Experiment.

Themen

Theorie des Elektrons

Das Elektron wird qm durch einen Dirac-Spinor Y beschrieben (Spin-up, Spin-down e- und e+):

Diese folgt aus einem Variationsprinzip mit der Lagrangedichte (Lorentz-Skalar):

Globale Eich-Invarianz unter U(1)

Diese U(1)-Invarianz der Lagrangefunktion erzeugt nach dem Noether-Theorem eine erhaltene Ladung – die elektrische Ladung:

Lokale Eich-Transformation U(1)

Die Lagrangefunktion bleibt nur dann invariant, wenn wir die Ableitung der Phasenfunktion durch ein Vektorfeld Aµ(x) kompensieren:

Eich-Prinzip der Maxwell-Theorie

Wir verlangen von der Theorie des Elektrons, dass sie unter der lokalen Phasentransformation

Y(x) Y`(x) = exp[iQc(x)] Y(x) invariant bleibt eine sog. U(1)-Symmetrie. Dies ist unsere Symmetrietransformation, unter der sich die Physik des Elektrons nicht ändern soll, |Y(x)| = invariant. Dies verlangt die Einführung der kovarianten Ableitung Dµ anstelle der partiellen Ableitung.

Das Eich-Prinzip im Allgemeinen Die Forderung, dass die Theorie unter einer lokalen Phasenverschiebung von Y invariant sein soll, hat das Vektorfeld Aµ(x) erzeugt (eine 1-Form), das sich ebenfalls transformieren muss. Dies nennt man das Eichprinzip: Eine lokale Invarianzbedingung erzeugt ein neues Feld, das man entsprechend Eichfeld nennt. Dieses Eichfeld ist ebenfalls dynamisch und führt zum Feldtensor Fµn(x), der die Maxwell-Gleichungen und die Bianchi-Identität erfüllt. Aus der Forderung nach Eichinvarianz folgt eine

Theorie mit Wechselwirkung, die QED.

Die Quantenelektrodynamik QED

Die Theorie des Elektrons wird vollständig durch die Lagrangefunktion beschrieben und kann entsprechend quantisiert werden:

Warum muss man diese

Feldtheorie quantisieren ?

Richard Feynman löste das

Problem 1949 grafisch

Spacetime approach to Quantum Electrodynamics.

In: Physical Review. Band 76, 1949, S. 769–789

Wer ist Richard Feynman ? Richard („Dick“) Feynman wurde 1918 als Sohn jüdischer Eltern in Far Rockaway, einem Viertel im New Yorker Stadtbezirk Queens, geboren. Seine Eltern, deren Vorfahren aus Russland und Polen eingewandert, beschrieb er als Atheisten. Feynman studierte Physik als undergraduate von 1935 bis 1939 am MIT, und von 1939 bis 1943 besuchte er die Universität von Princeton, wo er Assistent von John Archibald Wheeler wurde. In seiner Dissertation bei Wheeler 1942 entwickelte er auch seine Pfadintegral-formulierung der Quantenphysik, wobei er an eine Idee des Nobelpreisträgers Paul Dirac anknüpfte. Nach dem Krieg war er maßgeblich an einer Formulierung der Quantenelektrodynamik beteiligt. Ab 1951 war er Professor am CalTech.

In der Elementarteilchenphysik hat sich neben der Operator-Mathematik eine weitere Darstellungsmethode für Quantenfeldtheorien etabliert, die sog. Feynman-Diagramme. Mit diesen können die Abläufe der Wechselwirkungen anschaulich dargestellt werden, ohne dabei Formeln zu benötigen. Auf der anderen Seite ist es jederzeit möglich, aus einem Feynman-Diagramm die passenden Formeln zu entwickeln. Feynman-Diagramme sind Raum-Zeit-Diagramme, bei denen die Zeit auf der Ordinate und der Raum auf der Abszisse aufgetragen werden (oder umgekehrt). In den Feynman-Diagrammen werden Fermionen als Linien und Bosonen als Wellenform (Photon), gestrichelte Linie (W±-, Z0-Bosonen) und Spirale (Gluonen) dargestellt. Die Linien treffen sich stets in einem Punkt, dem sog. Vertex.

Was sind Feynman-Diagramme ?

Elementares Feynman-Diagramm

Vertex

Feynman-Diagram schwache WW

Vertex

Feynman-Diagramm starke WW

Vertex

Elektronstreuung nach Feynman

Kombiniert man zwei Diagramme erster Ordnung, so ergibt sich ein Diagramm zweiter Ordnung, also eines mit 2 Vertices. Eine solche Wechselwirkung ist z.B. die Elektron-Elektron-Streuung, an der ein virtuelles Photon mit Impuls q beteiligt ist. Impulse bleiben erhalten (SRT).

Elektronstreuung nach Feynman

Vertex

In jedem Vertex sind Energie, Impuls und Ladungen erhalten. EM Wechselwirkung erfolgt durch Austausch virtueller Photonen.

Elektron-Positron Vernichtung

im LEP-Beschleuniger µ+µ-

Elektron und Positron vernichten sich in einem Feuerball (E = 200 GeV), aus dem dann neue Teilchen entstehen können.

Feuerball mit E = 200 GeV

Elektron-Positron Vernichtung

im ILC-Beschleuniger µ+µ- + j

Jets

Jets

µ+

µ-

Geometrie der QED Faserbündel

Bei der Einführung der Yang-Mills Theorie im Jahre 1954

war bereits bekannt, dass die Quantenversion der Maxwell-

Theorie – bekannt als Quantenelektrodynamik QED – eine

sehr exakte Beschreibung der quantisierten elektromag-

netischen Felder und Kräfte ergab. War es also möglich eine

Verallgemeinerung dieser Theorie für die Beschreibung der

andern Kräfte der Natur zu finden, insbesondere für die

schwache Wechselwirkung (radioaktive Zerfälle) und die

starken Kernkräfte (zuständig für die Bindung der p und n in

Kernen)?

Es zeigte sich, dass diese Yang-Mills Felder masselos sein

müssen!

Problem: schwache und Kernkräfte sind nicht

langreichweitig!

60 Jahre Yang & Mills Eichtheorien

Beginn: Isospin-Multipletts

Quark-Modell Mesonen Gell-Mann

Starker Isospin

Strangeness S

Baryonen-Oktett Gell-Mann 1963

Das Elektron hat 2 Ladungen: Elektrische Ladung & schwacher Isospin

Elektr.

10-13 m Schwach

10-17 m

Neutrino-Streuung an Elektronen

Neutrinos

haben keine

elektrische

Ladung,

jedoch

schwachen

Isospin

Z-Austausch

Fermionen sind die Grundbausteine der Natur.

Sie werden durch Dirac-Felder repräsentiert.

Ladungen erzeugen die Wechselwirkungen.

Fermionen kommen in 3 Generationen

Massen der Fermionen

SU(N) Eichtheorien

Die moderne Auffassung einer Eichtheorie als Folge eines

lokal veränderlichen Phasenfaktors der Wellenfunktion

wird meist Hermann Weyl (1929) zugeschrieben, findet sich

aber auch schon 1926 von Wladimir Fock formuliert. Das

geschah im Rahmen der Diskussion der relativistischen

Wellengleichung für massive skalare Teilchen, wobei das

Vektorpotential über die minimale Kopplung einfließt.

Weyl hatte schon 1919 vor der Entwicklung der

Quantenmechanik im Rahmen eines Versuchs der

Erweiterung der Allgemeinen Relativitätstheorie, die auch

die Elektrodynamik umfasst, einen lokal veränderlichen

Längenmaßstab als Eichfaktor eingeführt. Durch eine

Umformulierung auf komplexe Phasen im Rahmen der

Quantenmechanik gab er 1929 die Formulierung von

Eichtheorien im heutigen Sinn.

Das Eichprinzip – N Ladungen

+ Invarianzforderung

Die auf Yang und Mills zurückgehende Idee der Eichtheorien besteht darin,

anstelle der globalen Invarianz eine lokale Eichinvarianz zu fordern, die Wirkung

S soll also unter ortsabhängigen Eichtransformationen U(x) unverändert bleiben:

Das Eichprinzip Invarianz

der Lagrange-Dichte

Dazu wird die äußere Ableitung ersetzt durch

eine eichkovariante Ableitung „Transport“

Das auffallend Neue an der Quanten-Elektrodynamik

ergibt sich aus der Kombination von zwei Begriffen: dem

des elektromagnetischen Feldes und dem des Photons als

Teilchenaspekt elektromagnetischer Wellen. Da Photonen

auch elektromagnetische Wellen und da diese Wellen

elektromagnetische Felder sind, müssen die Photonen

Manifestationen elektromagnetischer Felder sein. Daher

kommt der Begriff „Quantenfeld“, d.h. ein Feld, das die

Form von Quanten oder Teilchen annehmen kann. Dies ist

tatsächlich ein völlig neuer Begriff, der auf die

Beschreibung aller subatomaren Partikel und ihrer

Wechselwirkungen ausgedehnt wurde, wobei jeder

Teilchentyp einem anderen Feld entspricht.

Quantenelektrodynamik als Eichtheorie

In diesen Quanten-Feldtheorien ist der klassische

Gegensatz zwischen festen Teilchen und dem

umgebenden Raum völlig überwunden. Das

Quantenfeld wird als die fundamentale physikalische

Einheit betrachtet, ein kontinuierliches Medium, das

überall im Raum vorhanden ist. Teilchen sind lediglich

eine örtliche Verdichtung des Feldes, eine Konzentration

von Energie, die kommt und geht und dabei ihren

individuellen Charakter verliert und sich im zu Grunde

liegenden Feld auflöst. Mit den Worten Albert Einsteins:

„Wir können daher Materie als den Bereich des Raumes

betrachten, in dem das Feld extrem dicht ist (…) in dieser

neuen Physik ist kein Platz für beides, Feld und

Materie, denn das Feld ist die einzige Realität.“

Feynman-Diagramm schwache WW

Vertex:

Elektron

tauscht

elektrische

& schwache

Ladung aus

und wird

zu einem

völlig neuen

Teilchen

Die Kovarianz der Eichableitung

Eichfelder = Krümmung

Quarks tragen 3 Ladungen: “Farbe”

Quantenchromodynamik QCD 1972 Gell-Mann, Fritzsch & Leutwyler

Lie Algebra

der SU(3)

Gluonen

Die Quantenchromodynamik QCD II

3 starke Ladungen erzeugen 8 Gluonenfelder G

Die Gluonen sind wie Photonen masselos.

Es gibt nicht-triviale Feldkonfigurationen

auch im Vakuum nur im Computer lösbar.

Struktur des QCD-Vakuums

Derek Leinweber Adelaide

Derek Leinweber Adelaide

Längenskala: 1 Fermi

Zeitskala: 10-25 sec

QCD

“Farbsprache”

Struktur eines Mesons in QCD

Derek Leinweber Adelaide

Mesonenkonfiguration in QCD

Derek Leinweber Adelaide

Chromoelektrische Felder QCD

QCD Phasenübergang Tc = 170 MeV

Chromomagnetische Felder QCD

Derek Leinweber Adelaide

Struktur des Protons in QCD

Masse des Protons in QCD

Masse des Protons in QCD

Jülich, 27. März 2015 – Nur weil das Neutron ein ganz

klein wenig schwerer ist als das Proton, haben Atomkerne

genau die Eigenschaften, die unsere Welt und letztlich

unsere Existenz ermöglichen. 80 Jahre nach der

Entdeckung des Neutrons ist es einem Team aus

Frankreich, Deutschland und Ungarn unter Führung des

Wuppertaler Forschers Zoltán Fodor nun endlich

gelungen, diese winzige Massendifferenz zu berechnen. Das

Ergebnis, das in der aktuellen Ausgabe der Fachzeitschrift

"Science" erscheint, wird von vielen Physikern als

Meilenstein und Bestätigung der Theorie der starken

Wechselwirkung angesehen. Entscheidend für die

Simulation war dabei JUQUEEN am Forschungszentrum

Jülich, einer der leistungsstärksten Rechner der Welt.

Massendifferenz Proton - Neutron

Supercomputer JUQUEEN Jülich

Ph

ase

nü

ber

ga

ng

im

Qu

ark

-Glu

on

Pla

sma

170 MeV

Massen der Hadronen QCD

Asymptotische Freiheit der QCD

Asymptotische Freiheit der QCD

Laufende Kopplungskonstanten

Q: relativistischer Impulsübertrag

Die elektroschwache Wechselwirkung

W-Bosonen und Higgs-Feld

Gugelhupf-

Potenzial

Massen W-Bosonen & Higgs-Feld

Massen-Terme für W & Z

Massen der W- und Z-Bosonen

Photonenfeld & Weinberg-Winkel

Anzahl Fermionen-Generationen

W-Massen am LEP & TEVATRON

Large Hadronen Collider LHC

Eichtheorien auf der Prüfbank

ATLAS Detektor am LHC CERN

Top-Masse am LHC CERN

Top-W-Massen am LHC CERN

ATLAS – Higgs 2-Photonen Zerfall

ATLAS – Higgs ZZ 2µ Paare

Higgs-Masse am LHC CERN 2015

• Elektromagnetische, schwache und

starke Wechselwirkung werden erfolg-

reich durch Eichtheorien modelliert.

• Auch der LHC hat zum Test dieser

Vorstellungen beigetragen.

• Diese entsprechen geometrischen

Strukturen auf der RaumZeit – sog.

Faserbündel mit Zusammenhang.

• Es bestehen dadurch fundamentale

geometrische Unterschiede zwischen

Materiefeldern und Kraftfeldern.

Zusammenfassung