34 G. KirchhqF

nennen kann. Dass die Schiebung prop. K sei. wird durch die Versuche bestatigt.

Diese lehren weiter, dass wenn die Schiebung, durch welche der Block anisotrop wurde, die Richtung des Pfeils hat, dann die durch den Zug K eintretende dieselbe Rich- tung hat; hieraus kann man schliessen, dass E3 > El oder dass der Elasticitatscoefticient fur die Richtung, in welcher die permanente Dehnung stattgefunden hat, kleiner ist, als fur die Richtnng, in welcher die permanente Compression eingetreten ist.

111. Ueber stehende Schwi?%gu.ngen e i m r schwerem EZiissigk&t; uon G. K i r c h 1~ off.

(Aus dem Monatsber. d. k. Akad. d. Wiss. zu Berlin, 15. Blai 1879.)

Unter den wenigen Fliissigkeitsbeyegungen, fur welche man die Differentialgleichungen bisher hat integriren kijnnen, nehmen eine wesentliche Stelle die unendlich kleinen Schwin- gungen ein, die eine schwere, nicht reibende, incompressible Flussigkeit in einem verticalen, cylindrischen oder prismati- schen Gefasse mit horizontalem Boden ausfuhren kann. Die Schwingungen einer solchen Fliissigkeit in einem Gefasse. dessen Boden nicht horizontal ist, sind meines Wissens bis jetzt nicht behandelt. E s sollen im Folgenden einige hierher gehorige Falle, und zwar Falle, in denen der Boden aus einer schiefen Ebene oder aus zwei schiefen Ebenen gebildet ist. erortert werden. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Bewe- gung nur von e i n e r horizontalen Ordinate abhangt, die Fliissigkeit also in einer Richtung durch zwei parallele. ver- ticale Wande begrenzt ist.

Es sei x die horizontale Ordinate eines Punktes, die diesen Wanden parallel ist, z die vertidale Ordinate und y das Geschmindiglreitspotential in diesem Punkte zur Zeit t ; dann ist:

oder:

G. Kirchhqf. 35

(1) y = P(z + ia.) + G(z - i~n) . wo i = 1/-7 ist, und F und G Functionszeichen sind. Die Functionen F und G miissen conjugirt sein, da sp reel1 ist. Die freie Oberfkache der Flussigkeit weiche unendlich wenig von der Ebene z = 0 ab, die positive z-Axe sei abwLrts ge- kehrt, und g bezeichne die Beschleunigung eines frei fallen- den Korpers, dann ist fur z = 0:

und unter einer festen horizontalen Ebene.

5% ist die Tiefe eines 'Punktes der freien Oberflliche 9 a t

Nun werde vorausgesetzt, dass sp gleich: sin n t m ,

multiplicirt mit einem von t unabhangigen Factor ist , wo- bei n die Zahl der einfachen Schwingungen bedeutet, die jedes Plussigkeitstheilchen in der Zeiteinheit ausfuhrt. Es is t dann :

I ;* 1 z? also fur z = 0:

a y , wo a = - a aQj - a z 9

Setzt man hier den Werth von q aus der Gleichung (1) ein und bezeichnet durch F und G die Differentialquotienten yon F nnd G nach ihren Argumenten, so erhalt man:

F'(ix) + G ( - i z ) = - a(F(iz) + G ( - i z ) ) . Diese- Gleichung braucht nur fur reelle Werthe x erfiillt z u werden, und zwar fur solche, die Punkten der freien Flussig- keitsoberflache entsprechen; das kann aber nur geschehen. menn sie auch fur jeden complexen Werth von .2: erfiillt wird. Bezeichnet daher 21 eine complexe Variable, so muss allgemein :

F(u) + G ( - N ) = - o(F(7t) + G ( - u)) oder auch:

d

- - - (2)

- - G ( - u)) = - c1 [F(u) + G ( - 7 0 ) (3) sein.

Es ist nun noch die Bedingung aufzustellen: der an der picht freien FlussigkeitsoberflacheY abgesehen Ton den dei

3*

36 G. Kircbhoff.

zz-Ebene parallelen Wanden, zu geniigen ist. Diese Bedin- gung ist die, dass diese Oberflache die Flachen:

qj = const. senkrecht schneidet, dass also fur jeden zusammenhangenden Theil derselben:

F(z + iz) - G(z - iz) = const. ist. Es SOU angenoldrnen werden, dass die ganze nicht freie Oberflache zusammenhangend ist; der Werth der zuletzt ein- gefuhrten Constanten kann dann ohne Beschrankung der All- gemeinheit beliebig gewahlt, die Bedingung also dahin aus- gesprochen werden, dass fur die nicht freie Oberflache: (4) F(z + ii) - G(z -iz) = 0 ist.

Die nicht freie Oberflache sei nun die Ebene:

oder wenn man: setzt, die Ebene: 8 = u , und die Flussigkeit befinde sich auf d e r Seite dieser Ebene, nach der die positive x-Axe gekehrt ist, d. h. sie erfulle den Raum, fur den: - 8 < cf ist.

F(pie- ia) - G(- pie+") = 0. Diese Gleichung, die zunachst nur fur positive reelle Werth'e von g erfullt zu werden braucht, muss eben deswegen auch fur complexe gelten; bezeichnet u wiederum eine complexe Variable, und setzt man: so hat man daher:

und infolge der Gleichung (3):

x = p cos 8 , z = Q sin 9

Die Gleichung (4) wird dam:

e - i 2 a = @ , (5) G(u) = F(- pw),

d (6) - d '1L (P(?c) - l i ( B 1 1 ) ) = - n(F(t1) + F(pu)).

Es sei tc mit m commensur'abel und:

wo m und n zwei ganze Zahlen sind, die keinen gemein- samen Factor haben, also:

.?Inn -6-

/3 = e ' I .

G. Kirchhof. 37

Es ist dann p eine primitive nte Wurzel der Einheit, and unter einer sogleich abzuleitenden Bedingung lasst sich der Gleichung (6) geniigen durch:

wo il eine willkiirliche Constante ist, A,, A, 7 . . . Constanten sind, deren Qerhaltnisse auf passende Weise bestimmt wer- den miissen. Setzt man namlich diesen Ausdruck iron F in die Gleichung (6), so erhalt man die folgenden Bedingungs- gleichungen :

(7) S(u) = A, eiau+ A, epkau + A, ep'iau+. .. + An-lePn-lAau

A(Ao - An-1) = - (A, + An-1) 7

p w , - A,) = - (4 + A,) 7

pwA, -a,) = - (A, + A,) . . . . . . . . . . . . P"-'h(A,-,- A,-a) = .- (&-I + A 6 )

oder : A, (A + 1) = 4 - 1 (A - 1) !

f l) = (pa - ') 7

A, (/f2il + 1) = Al (pzA - 1) . . . . . . . . . . . . . An-l(p-la + 1) = ~,-~(p-13.-1).

A,-(- 1)"= A"- 1 ~

I (8)

Multiplicirt man sie mit einander, so erhalt man:

da : ' 7 p, A7 * ' * P n - ' die Wurzeln der Gleichung:

h " - l = O sind. Es folgt daraus, dass, wenn n ungerade ist, die Glei- chungen (8) nicht bestehen konnen, ohne dass alle A ver- schwinden; wenn n gerade ist, aber diese Gleichungen bei einem beliebigen Werthe von il und einem beliebigen Werthe einer der GrBssen A erfiillt werden konnen. Demgemass soll n als gerade angenommen werden.

Die Halfte der Glieder des in (7) fur F aufgestellten Ausdrucks verschwindet, wenn man il einer ganzen Potenz von ,9 gleichsetzt. Wiihlt man eine andere ganze Potenz, so erhalt man einen nur scheinbar verschiedenen Ausdruck fur F. Man mache: n -

2 = p = - 1 ;

38 G. Kirchhof.

es verschwinden dann die A, deren Index oder grosser als _I

ist, A, kann beliebig gewahlt werden und es ist: 2

und : n -- - (121 --pZ a r

~ ( u ) = A,e + ~ , e - " " " + . . . + A,, -- l e ,

Statt der Constanten -4 mijgen hier Constanten B durch die Gleichnngen : ,

11-10 -Lz --

. n-2 - l n

, A, = B,e A,, = B, e 8 >

, n-2 in--

. n-6 - 1n - d, = B , , e

--1 2

_ _ ,4, = Ble , 2 l

eingefuhrt werden; man hat d a m : I t - 6

--pa u - i x __ . n-2 - - a u - - i n -

1 F(zr) = B,e +Ble

_ - - $ ? c L ? L - - ~ z 71-10 - ~ - -p? a t&+ ;,_"I? * + . . . + Bn 8 . --

I '4' I +B,e

es ist B, willkurlich und: B, = I?,, ctg U, B, = Bo ctg u ctg 2 U,

2

B , = B , ~ t g ~ c t g 2 ~ ~ t g 3 ~ . . . B, = B,ctguctg2~...ctg --I U; -- 1 1; 1 2

woraus folgt:

wo die Zeichen - gelten, wenn und zngleichLmfl gerade ist, wahrend in allen anderen Fallen die Zeichen + zu neh- men sind. Bildet man nach (5) und (9) den Ausdruck von G(v) und kehrt die Reihenfolge der Glieder um, so erhalt man hiernach :

2 2

G. KirchhoJ: 39

wo uber das Doppelzeichen nach derselben Regel zu ent- scheiden ist. Nach (1) ist:

y = F ( 4 + G(u) 9

wenn : r s = z + i x , v = z - i i N

gesetzt wird, und F(u) und G(v) sind conjngirt. Die Expo; nenten in den entsprechenden Gliedern der fur diese Functio- nen aufgestellten Ausdrucke sind conjugirt ; 4araus folgt,

rn + gerade sind, dass B, reel1 sein muss, wenn nicht und rein imaginar, wenn diese beiden Zahlen gerade s i d . In beiden Fallen ist sp gleich dem Doppelten des reellen Theiles des in (9) fur F(u) aufgestellten Ausdrucks.

Fuhrt man statt x und z wieder die Polarcoordinaten g und 6 ein, so hat man: ? i = p ( s i n a + i c o s a ) , P u = e ( s i n ( 2 ~ + 1 9 . ) + i c o s ( 2 ~ + 8 ) ) ,

~ 2 u = e(sin (4cc + 6) + i cos (4u + 3)) . . .

n

2 -1 ;32 u = 4 (sin ((n 2) cc + 39) + i cos ((n - 2) u + 8)) .'

Man ersieht hieraus, dass im allgemeinen bei den hier aufgestellten Formeln sp unendlich wird innerhalb des von der Flussigkeit erfullten Raumes, in dem e von 0 bis nn- endlich, 6 von 0 bis uvariir t ; nur, wenn:

ist, findet dieses nicht statt, und fur 4 = ce wid, wenn man 2 B, = 1 macht,

2 R ( z + iz) = e ( s ) , c p = e - a z c o s + x + a T ) . 12- 2 -as-j

Bei beliebigen Werthen von x und z hat man dann fur n = 2 :

fiir 7i = 4:

- - - h ( ! + i Z ) -az 2 F ( z + ir) = e , cp = e cosas ;

-as - 3 $ . 5 1 / 3 ) n ' p= - e sin a x + 7 3 . e cos 2(z 1/3 - z)

Nimmt man in der Gleichung (7) h unendlich klein an und entwickelt die Exponentialgrossen nach Potenzen der Exponenten, so erhalt man fur F(u) eine ganze rationale Function von u. Die allgemeinste Function dieser Art, die der Gleichung (6) genugt, findet man, indem man in diese Gleichung :

h h+l F(u) = Ahu + A ZL + . . . + A,u"'

h+l

setzt, wo h und h' ganze Zahlen bedeuten, und h' > h ist. Es ergibt sich dann:

h h' a A 11+@-' 1 - p = 0 , 1 + p = o , A = - lz k - l k ' l - s k '

~0 k jede der Zahlen h + 1 , ft + 2, . . . h' sein kann, wah- rend Ah willkiirlich bleibt. Man kann diesen Bedingungen genugen, indem man h = 0 oder einem Vielfachen von n und:

h ' = h + z 2

setzt. E in besonderes Interesse hat der Fall, dass die auf dime

Weise gebildete Function F(u) vom zweiten Grade ist; das findet statt, wenn n = 4 ist und h = 0 gewahlt wird.

0: =- also ,!I= - i ;

a 2 Q 2 . dann hat man:

F(u) = A,, (1 - a?r(l -i) - 7 2 2 ,

Es sei: 7r

4 ,

1 woraus nach (5) folgt:

f f t y 2 1 - a v ( l + i ) +-i).

2 /

G. Kirchiiof. 41

Da F(u) und G (v) conjugirt sind, so muss hiernach -Ao reel1 sein. Setzt man A, = 4, so .erhalt man:

und als Gleichung der Stromlinien, d. h. der Linien, welche die Linien y = const. senkrecht schneiden:

fp = 1 - n ( z + .) + u2zx ,

11,s

2 const. = (I ( z - .r) - - (9 - x 2 ) .

Zu diesen Linien geh6rt auch die Gerade z - x = O ; fur sie ist die mit const. bezeichnete Grosse =O; eine zweite Gerade muss zu derselben Stromlinie gehoren; sie ist die Gerade:

2 z + x = - .

1 die die erste in dem Punkte z = r = cb schneidet. Die ge- dachte Bewegung kann daher auch bestehen, wenn die Flus- sigkeit ausser durch die Wand z = x noch durch die Wand

z + x = $ begrenzt ist; wenn sie also in einem prismati- tischen Gefasse sich befindet, dessen Kante nach unten ge- kehrt, dessen Winkel ein rechter ist, und dessen Seitenfllichen gegen die Verticale gleich geneigt sind; a ist die grosste Tiefe der Flussigkeit.

F u r z = 0 (wie fur jeden constanten Werth von z) wird 9 eine lineare Function von z; daraus folgt, dass die freie Oberflache der Flussigkeit bei der Bewegung stets eine Ebene hleibt. Die Dauer einer einfachen Schwingung ist der Gleichung (2) zufolge:

1

i7 -~ - -. 'v ag

d. h. gleich der Schwingungsdauer eines einfachen Pendels, dessen Lange der grossten Tiefe der Flussigkeit gleich ist. Die Fliissigkeitstheilchen bewegen sich in den gleichseitigen Hyperbeln, deren Asymptoten die Gefasswande bilden.

Die beschriebene Bewegung ist eine von unendlich vielen Schwingungsarten, die eine Fliissigkeit in einem Gef&sse der bezeichneten Ar t ausfuhren kann. Auch die anderen schnel- leren Schwingungen lassen sich theoretisch verfolgen. Man kommt auf sie. wenn man die Constanten h und a in dem

42 G. Kirchhff .

fur F(u) in der Gleichung (7) aufgestellten Ausdruck so zu bestimmen sucht, dass fur Z+ z = 2c (wo c die grosste Tiefe der Fliissigkeit bedeutet :

F(z + i ~ ) - G (Z - i x ) = 0 ist. Nach der Gleichung (a), in der fur ,8 sein Werth - i zu setzen ist, wird diese Bedingung:

~ ( w ) = P( - 11 + 2 c (1 + i ) ) . Die Gleichung (7) ist hier:

(10) und zwischen den Constanten A hat man die Gleichungen:

(11) { die nene, eben abgeleitete Bedingung gibt zwei Gleichungen, namlich :

F(u) = A, e la t6 + A, e--ilal‘ + A, e--la*h + A3eikar,

A, ( - i l + 1) =A, (- i3,- 1), A, ( - 2. + 1) = Al(-A - 1) , A, ( i l + 1 ) = A, (iL - l ) ,

A, = A,, &a$c(l+i) und A - A, e i a 2 c ( l - - i ) . 3 -

Diese fiinf Gleichungen reichen gerade aus zur Bestimmung der fiinf Grossen A,, A?, A,, ?,,-a. Durch Elimination der drei ersten erhalt man:

Multiplicirt man diese Gleichungen einmal, dividirt sie das andere ma1 und zieht jedesmal die Quadratwurzel, so sieht man, dass entweder:

1 + il 1 - 1. 1- ib

e%/ .ac = ’-+-’* und e i 2 ~ a c - oder :

e 2 1 n e = - 1 + 1- uncl e i 2 1 a e , - l + i l ~

.1- i. 1- il

sein muss. Man setze:

so hat man im ersten Falle die Gleichungen: l a c = p ,

oder: A = t g p , $p= t.g ( p + ;) ,

in1 zweiten:

oder:

Die beiden transcendenten Gleichungen, deren einer p ge- niigen muss, lassen sich in die %ne:

e”+ ,-2P cos 2 p ~~ = 1 2

zusaminenfassen, welches die Gleichung ist, die die Schwin- gungszahlen eines elastischen, an beiden Enden freien Stabes bestimmt. Die Wurzeln derselben sind bekannt; aus diesen Wurzeln findet man hier die Schwingungszahlen der Flus- sigkeitsmasse, namlich die Werthe der Grosse a (die den Quadraten der Schwingungszahlen proportinal sind) im ersten der beiden unterschiedenen Falle durch die Gleichung :

im zweiten (lurch die Gleichung: I

f l c = - p tgp.

Die Gleichnng e 2 p = tg ( p + ;) hat zuniichst die dreifache

Wurzel p = 0; bei dem Probleme des elastischen, schwingen- den Stabes hat dieselbe keine Bedeutung, da sie dort einer unendlich grossen Schwingungsdauer entspricht ; anders ist es hier, fur p = 0 wird hier:

a c = 1; der hierdurch bestilnmte Werth yon a bezieht sich auf die vorher erorterten Schwingungen , bei denen die Oberflache der Flussigkeit stets eben bleibt. Die folgenden Wurzeln der genannten Gleichung fiir p sind etwas kleiner als:

Die Genauigkeit dieser Naherungswerthe ist nm so grosser, je grosser ihre Ordnungszahl; schon bei dem ersten ist sie bedentend , es ist namlich:

.) z _ - - 3,92699, 4

44 G. Kirchhqf.

wahrend der entsprechende Werth von p : = 3,92660 ist.

Die Gleichung e a P = ctg p + hat die einfache Wurzel p = 0, die aber einer unendlichen Schwingungsdauer ent- spricht; ihre folgenden Wurzeln sind etwas grosser ah :

3n 77r 11%

( 4)

- - ~ 4 1 4 1 4 , ” ‘ Die erste von ihnen ist genauer 2,36502,

wahrend : 3 n - = 2,35620 ist. 4

Nennt man die Schwingungsart , bei der die Obedgche der Fliissigkeit eine Ebene bleibt, die erste, und setzt ihre Schwingungszahl = 1, so sind hiernach die Schwingungs- zahlen der Schwingungsarten ungerader Ordnungszahl:

1 , 1,9824, 2,6586, 3,1953, und die der Schwingungsarten gerader Ordnungszahl:

1,5243, 2,3448, 2,9393.

Neben der Schwingungszahl sind fur jede der mijglichen Schwingungsarten von Interesse gewisse ausgezeichnete Punkte der Oberflache, die K n o t e n namlich, d. h. die Punkte, in denen die verticale Bewegung Null ist, und die B a u c h e , in denen die verticale Bewegung ein Maximum ist, die Tan- gente an die Oberflache also horizontal bleibt. Urn diese zu finden, muss der Ausdruck von r.p aufgestellt werden.

F u r die Schwingungsarten ungerader Ordnungszahl sind die Gleichungen (1 1) :

A 1 - - - @pAO , A2 = - e”A, , A, = - e - i 2 p A, , nach (10) ist also, wenn man iiber die willkiirliche Con- stante A, anf gewisse Weise verfiigt:

i F ( 4 = cosp - + 1 - i ) - cosp (t - 1 - i), “ei

G. Kirchhof. 45

und nach (5) :

iG(v)= - cosp

Um isp zn erhalten, hat man diese beiden Gleichungen zu addiren und u = z + ix, v = z - i x zu setzen. Man braucht rp nur fur die OberfWche kennen zu +lernen, man kann also z = 0 setzen; uberdies moge:

- = l - E 2

C

gemacht werden; es ergibt sich dann : i sp=cosp(E- i ) -cosp( l+ ik) - c o s p ( ~ + i ) + c o s p ( l - i ~ )

sp = (eP - e-p) sinpg + s inp (&- e-PE). oder: Nach der transcendenten Gleichung, der p geniigt, ist:

wo das von sin stanten

In den

2 - e - P sinp ~- - - - --? 2 ycos 2p

Vorzeichen der Quadratwurzel m’it dem Vorzeichen p ubereinstimmen muss; abgesehen von einem con-- Factor hat man daher auch:

Fur die Schwingungsarten gerader Ordnungszahl ist A, = A, e 2 p ,

und daher, wenn man wiederurn uber A, auf gewisse Weise verfugt :

2 F ( u ) = e

oder :

A, = A, ei2p, A, = A, r i 2 p ,

p (; - -1 -a .) + e-:p(+i) +,.(+) + ?C7l-i)

+ cosp (+- 1 + i ) ,

und fur die Oberflliche: q = cosp (6- i) + cosp (1 + iE) + cosp(k + i) + cosp(1- il)

46 E. Dorn.

Ordnungszahl

1 2 3

4 - 5 -

-

-

oder:

Es ist aber:

WQ dns Vorzeichen der Wurzelgrosse mit dem von C Q S ~

iibereinstimmen muss. Abgesehen von einem constanten Factor hat man daher auch:

y = ( e p + e - p ) cospl + cosy (eP6 + e - p t ) .

eP+ e-y cosp ____ - ___ - - - - ? 2 l'cos 21'

e P s + e-PE y = cosp6 + p G x p

- Sohwingungszahl Kuoteu BSiuche

- 1 0 1,5243 &0,55170 0

- &0,73550 - 2,3445 f0,2Y83S 0

1,9824 0 +0,39325

- z t 0,s 11 11 f 0,56000 2,659G 0 f0 ,22263 - f0,44644 f0,65776 - 50,95310 -

- a Auch hier ist in den Knoten sp = 0, in den Bauchen 6 = 0 ,

d. h.: , P L e--P5

2 0 = sinpl - V' cas 2p

15. Mein experimentelles Resultat steht in Widerspruch mit dem von Hm. E d l u n d erhaltenen3, der bei gleicher Q-e-

1) Fortsetzung 1-011 9. p. 952. 2 ) Edlnnd, Wed. Ann. 1. p. 173. 19i7 u. S. 11. 127 ff, 1579.