3. 8bier Tonhbhe ufid DdmpfuNg der SchwCfigumgen, von, Sadten 4m uerschCedenm TZ&ssdg&eBten;

vom E ~ m s NartCw, (Jenaer Dissertation.)

I n h a l t e v e r z e i c h n i s : A. Einleitung und Literatur. - Versuchs- anordnung. - Messung der Schwingungsamplitude der Saite. - Fehler- quellen. - B., Saitenschwingungen in Luft. - Die Resonanzkurve. - Die anharmonische Saitenschwingung. - Die Konstante y. - Die beiden lose gekoppelten Schwingungen der Saite. - Ergebnisse fir daa Dekrement. - C. Saitenschwingungen in Wasser. - D, Ergebnisse fur das Dekrement bei Saitenschwingungen in Ftussigkeiten. - E. Ergeb- nisse Wr das Verhtiltnis der Schwingungszahlen in Fliissigkeiten und in Luft. - F. Zusammenfassung.

A. Einleitnng nnd Literatnr. Die Tonhohe eines schwingenden Korpers wird durch das

umgebende Medium beeinfluBt, und zwar wird die Vertiefung des Tones urn so graber, je hoher das spezifische Gewicht der umgebenden Substanz ist. Die Dtimpfung wird gleichfalls erhoht, wenn die Dichte und die innere Reibung der Snbstanz steigt.

Uber die h d e r u n g der Tonhohe durch das umgebende Medium liegen nur wenige Arbeiten vor. Fr iesachl) ver- offentlichte 1867 eine Arbeit: ,,Uber den EinfluS des den Schall fortpflanzenden Mittels auf die Schwingungen eines tonenden Korpers." Darin zeigt er, daS die Schwingunga- zahlen von Saiten verschiedenen Materials, die auf einer Zither gespannt waren, einer konstanten Vertiefung unterlagen, wenn sie in Wasser eingetaucht wurden, und daS diese Ton- vertiefung nur abhing vom Material der Saite; seine auf (1035 Schw./Sek.) in Luft abgestimmten Saiten gaben nach der natiirlichen Tonleiter fur die

-

1) K. F r i e s a c h , Wiener Ber. 66. S. 316. 1867.

H. Bartin. - -

7 2 s

G-Saite der Violine den Ton . . a, fur eine Violindarmsaite den Ton . iis und fur eine Stahlsaite den Ton . h,

oder als Verhaltnis der Schwingungszahlen in Wasser und Luft ausgedruckt bzw. 0,83, 0,70 bzw. 0,g.i.

AuBer Saiten untersuchte er noch die Vertiefung von Silber- und Goldplatten, Glasglocken und Staben aus Eichen- und Buchenholz. Bei den Versuchen mit Holzsttlben fand er das Verhaltnis der Schwingungszahlen zu 0,35. Dieser Wert ist introfern bemerkenswert , weil hier der tonende Korper 3eichter war als die umgebende Flussigkeit.

Auerbach ' ) fand fur vier Stimmgabeln, deren Tijne er durch Eintauchen in Wasser vertiefte, eine kleine Abhangig- keit des Verhaltnisses von der Schwingungszahl, wie folgende Werte zeigen:

- - - -

%uft 132 264 396 528

nH@ 0,90 0,89 0,88 0,87 nLuft

Kolace k2) brachte Stimmgabeln in Quecksilber und kaufliche Schwefelsaure (s = l,?) und erhielt fur das Verhaltnis den Wert 0,48 bzw. 0,83.

In seiner theoretischen Arbeit: ,,Die Frequenziinderung schwingender Saiten und St ibe in Flussigkeiten und Gasencc untersucht A. K a l a h n e 3, den EinfluB des umgebenden Mediums auf die Tonhohe von Saiten. Da er ungedampfte Schwingungen voraussetzt und von der inneren Reibung der Flussigkeit ganz absieht, kann er nur etwas uber die Frequenzerniedrigung aussagen. Das fiir uns wichtige Ergebnis seiner umfangreichen Darlegungen ist , daB das Verhaltnis der Schwingungszahlen in einer Flussigkeit und in Luft sich berechnen la6t nach der Formel :

Das Verhiiltnie ist also nur abhangig von dem Verhaltnis des spezifischen Gewichtes der Flussigkeit (8) und dem der Saite (p).

1) F. Auerbach , Wied. Ann. 3. S. 157. 1878. 2) F. Kolacek , Wied. Ann. 7. S. 23. 1879. 3) A. Kalahne , Ann. d. Phys. 46. S. 1. 1915.

Uber Tonkohe und Bampfung der Schwingungen USW. 7 2 9

Im folgenden SOU iiber Versuche berichtet werden, die Anderung der Tonhijhe und Dampfung von Saiten beim Kin- tauchen in Wasser und andere Fliissigkeiten zu bestimmen. Beides wurde d&ch Aufnahme von Resonanzkurven gemessen, wobei zur Erzeugmg der periodischen Kraft nach vergeblichen Versuchen mit Saiten- und Stimmgabelunterbrecher ein Rohren- sender diente, dessen Schwingungszahl in bequemer W eise geiindert werden kann. Dabei zeigte es sich, da6 die Saiten- schwingungen in Luft sehr vie1 komplizierter sind als man biaher annahm, so daB diese Schwingungen in Luft zun'iichst eingehend untersucht werden multen, ehe an die eigentliche Aufgabe, die Wirkung von umgebenden Fliissigkeiten zu stu- dieren, herangegangen werden konnte.

Die Versuchsanordnung. Die Versuchsanordnung (Fig. 1) bestand aus einem

Schwingungskreis, dessen Strom die Spulen eines Dauermagneten

Fig. 1. Versuchsanordnung.

durchflo6. Dadurch konnte eine Saita, die auf einem Doppel- T-Trfiger ausgespannt war, in^ Schwingung versetzt werden.

IZ Martin.

Die Amplitude der Saitenschwingung wurde rnit einem Mikroskop beobachtet und gemessen.

Der Schwingungskreis mit variabler Frequenz setzte sich zusammen aus einer achtspuligen Selbstinduktion L von zu- sarnmen 1,7.109 cm, einer Kapazittt Cl von Schottschen Glaskondensatoren zwischen 2000 und 200000 cm, einer Kapazitiit C, bestehend aus acht Drehkondensatoren von je 50-1300 cm, einer Telefunkensenderohre Type R W 50, einer Drosselspule D , einem Milliamperemeter MA und einem Thermoelement 27 E rnit Spiegelgalvanometer G. Da Strbme bis 150 Milliampere in Frage kamen, bestand das Thermo- element aus einem Eisendraht von 0,05 mm Durchmesser und einem Manganindraht von 0,07 mm Durchmesser. Hintereinander geschaltet mit der veriinderlichen Selbstinduktion war der Magnet (Bug). Lose gekoppelt mit dem SGhwingungskreis war der aperiodische Telephonkreis (2'). Die Anodenspannung -<on 440 Volt entnahm ich dem stadtischen Netz.

Der Buynet bestand aus einem U-formigen Dauermagneten mit Polschuhen aus weichem Eisen, auf denen sich die Draht- spulen befanden. Ihr Widerstand betrug hochstens 10 Ohm. Die Spulen und Zuleitungen waren in Pizein gebettet, um den Magneten unbeechadet dem Wasser aussetzen zu konnen.

Die Suite war auf einem Doppel-T-Trager von 75 cm Lange gespannt. Sie ruhte auf zwei Stegen von prismatischem Stahl (St Fig. 3), von denen der eine fest angelotet, der andere an- schraubbar war. Ein Hebel diente zum bequemen Spannen der Saite. Kurz hinter dem zweiten verschiebbaren Stege nach der Spannvorrichtung zu wurde die Saite immer noch be- sonders festgeklemmt (Klemmvorrichtung X i , um einen EinfluB infolge des Mitschwingens des freien Endes auszuschalten.

Ferner benutzte ich einen kleinen Doppel-T-Triiger von nur 27 cm Lange. Hier wurde die Saite mit Hilfe von Bohr- futtereinspannungen (B P) gehalten (Fig. 2). Mittels der auf- geschnittenen Gewinde konnte die Spannung der Saite durch Verstellung der Muttern (a) leicht bewirkt werden.

Die Doppel-T-Bagel. versenkte ich fiir den Versuch in Wasser in passende Zinkwannen. Diese wurden immer so hoch rnit luftarmem Wasser gefullt, bis der Wasserspiegel etwa 1 cm iiber der Saite stand.

T30

a e r Tononhohe und Bampfung der Schwinyungen u s w . 7 3 1

Fig. 2.

Fig. 3.

"832 H. Hartin.

Zur Beobachtung wurden die Schienen wagerecht gelegt (Fig. 3). Auf dem Boden der Wanne wurde eine kleine Be- leuchtungsbirne B angebracht, urn die zur Erzeugung von moglicht diffusem Lichte ein Tuchlappchen gebunden war.

Das Mikroskop konnte direkt an dem Doppel-T-TrBger befestigt werden (Fig. 3). Okularmikrometer lieBen bei ver- schiedenen VergroBerungen den Ausschlag der Saite leicht er- mitteln.

Zur Eichung des Schwingungskreises wurde die Tho ms on - sche Formel benutzt. Stimmgabeln dienten als Vergleichstone fur den Ton im Telephon (F).

Um fur die Dauer einor Messung die Stromamplitude konstant zu halten, wurde der sich durch Einschalten anderer Kapazititen oder durch Schwankung der Anodenspannung etwa wenig veriindernde Ausschlag des Galvanometers zwischen jeder Amplitudenmessung kontrolliert und gegebenenfalls durch eine kleine hderung des Heizstromes auf demselben Wert gehalt en.

Xeesung der Schwingungaamplitude der Saite.

Es wurde jedesmal der Durchmesser der Saite in Ruhe bestimmt und moge a Skalenteile dea betreffenden Okular- mikrometers betragen (Fig. 4). gchwingt dam die Saite, so

Fig. 4.

hebt sich der Teil scharf ab und erscheint als schwarzer Strich, der sich bei der Schwingung uberlagert Er moge als Kernsohatten bezeichnet werden. Als Halbschatten (Fig. 4) bildet sich die doppelte Amplitude Bus. Bezeichnen wir den Durchmesser des Kernschattens mit c, dann berechnet sich die Schwingungsweite der Saite zu:

6 a - o A = - = - 2 2

Uber Tonhohe und Dampfung der Schwingunyen usw. T 3

Aufnahme der Resonanzkurve. Nach dem bekannten Bj erknesschen Verfahren sollte die

Resooanzkurve der schwingenden Saite aufgenommen und daraus das Dekrement bestimmt werden. Es galt also die Abhingig- keit des Ausschlages der Saite von der aufgepragten Frequenz zu ermitteln. Bei normalem Verlaufe der Resonanzkurve lie6 sich aus der Stelle des Maximums dsr Amplitude die zu- gehorige Eigenfrequenz ohne weiteres feststellen. Das folgende Protokoll gibt ein Beispiel einer Resonanzkurvenaufnahme.

Kleine Schiene: Stahldraht Durchmesser 0,5 mm. Saiten-

Abstand des Magneten 1 mm. Selbstinduktion 3 Spulen. Riickkopplung 2 ,,

Eigenschwingung in Luft bei 62900 cm Kapazitat. Eichung: 1024 Schw.fSek. bei 93000 cm Daraus Ton der Saite in Luft N = 1245 Schw./Sek. Temperatur des Wassers 20,7O C. Durchmesser a der Saite 54,4 Skalenteile (1 Skt. I l/loe mm). Ausschlag des Spiegelgalvanometers 45 Skalenteile.

Protokoll vom 17. Juli 1924.

lange 9,8 cm.

,,

Kap.

67400 68700 70000 70650 71300 71950 72600 73250 73900 74600 75200 76500 78100

Dnrchmesser

82,4- 135,O 82,s--134,s 83,3-13 4,2 83,s-133,6 84,7--132,s 85,6-131,7 86,l-131,3 85,3-131,9 84,3--132,s 83,7-133,4 83,2--133,s 82,7-134,4 82,3--134,s

0

82,2-134,s 82,2-134,3 83,l--133,s 83,6,-133,3 84,3-182,4 85,3-181,4 85,9- 131,O 85,3--131,s 84,3-132,7 83,7-133,3 83,2--133,s 82,7-134,4

b

1,s 1,s

3,5 3,7 2,4 2,3

4,6 4,7 6,3 6,3 8,3 8,3 9,2 9,3 7,8 7,9 5,s 6,O 4,s 4,7 3,7 3,s 2,7 2,7 178

b,,, = 10

1,s 1,s 2,6 2,5 3,8 4,O 5,O 5,l 6,8 6,8 9,o 9,0

10,1 9,s 8,4 8,5 6,4 6,5 5,2 5,l 4, l 4,2 2,9 2,s 1,9

Die Werte fur die Ausschliige wurden einmal bei fallen- der und dann bei steigender Frequenz ermittelt. Aus der Fig. 5 ergibt sich fur die Resonanzkapazitat die Kapazitat von 72500 cm. Die Eichung mit der Stimmgabel von 1024 Schw./Sek. ergab bei der benutzten Heizung fur diesen Ton die Kapazitlt von 92600 cm oder den Ton 1158 Schw./Sek.

3. Martin. 7 3 4

Das Verhaltnis der Schwingungszahlen berechnet sich somiti - 0,930. zu 7 , - -

Zur Bestimmung des Dekrementes aus der Resonanzkurve wurde die gleiche Formel benutzt, wie sie bei elektrischen Schwingungskreisen Verwendung findet:

1158 1245

Statt der Stromamplitude traten in unserem Falle die Aus- schlage der Saite (A, und A).

6 F' 49

L , + N c- I I I

d2pwo 700M 7 W 76OW W c m

Fig. 5.

Zur Vereinfachung der huswertung wurde der doppelte maximale Ausachlag der Saite b immer gleich 10 gesetzt und 6 fur die Ordinatenwerte 4-8 berechnet. Die Abweichung der Werte fur die einzelnen Punkte einer Resonanzkurve be- trugen einige Prozent. Durch Auswertung von 4-5 Punkten einer Resonanzkurve lie6 sich ein mittlerer Fehler von 1 bis 2 Proz. erreichen.

Fehlerquellen.

Sowohl in Luft wie in Wasser wurden die Doppel-T-Trager immer auf Filz gelegt, um eine nbertragung der Schwingungen und damit irgendwelche Resonanzeffekte zu verhiiten.

Bei allen Versuchen wurde eine Verdrilluog der Saite nach Moglichkeit verhindert.

Stiren, ja vollkommen falschen, konnten kleine Luft- blaschen eine Dekrementsbestimmung, falls sie sich in gro6erer Anzahl an die Saite ansetzten und dadurch den Auftrieb ver-

uber Tonhiihe und Bampfung der SchwiTigungen usw. 735

anderten. Da in gewohnlichem Leitungswasser schon nach ganz kurzer Zeit sich die Saite mit zahllosen Blichen be- deckt, wurde das zu benutzende Wasser nach und nach in einer groSen Flasche mit Hilfe einer Wasserstrshlpumpe luft- arm. gemacht. Wahrend eines Versuches wurden die etwa an- haftenden Luftblasen mit einem Haarpinsel dauernd entfernt.

B. Saitensehwingungen h Luff.

Die Resonanskurve von Saitenechwingungen.

Alu ich versuchte, die Resonanzkurve schwingender Saiten in Luft zu bestimmen, zeigten sich sehr erhebliche Schwierig- keiten, die nach liingerer Untersuchung auf folgende Griinde zur uckge fiihrt wurden :

a) Die Tonhiihe der Saiten hangt von der Amplitude ab, infolgedessen treten anharmonische Schwingungen ein.

b) Die Saiten besitzen nicht eine Grundschwingung, sondern stets zwei nahe beieinander liegende Schwingungen, die mit- einander lose gekoppelt sind.

Fig. 6. Resonanzkurve einer schwingenden Saite in Luft.

Alle Resonanzkurven zeigen mehr oder weniger den Ver- lauf, wie ihn sehr ausgeprligt Fig. 6 darstellt. Beobachtet man den Ausschlag in Abhangigkeit von der aufgepragten Frequenz, so hat man folgendes zu unterscheiden : Verkleinert man langsam die Frequenz, so kommt man von A bis B. Hier schaukelt sich bei nur ganz geringer weiterer Vertiefung der Ausachlag boch, urn bei E wieder einen festen Wert an- zunehmen. Von E nach F ist der Verlauf wieder stetig, wenn man die aufgepragte Frequenz weiter verringert. Im um-

H; Martin.

gekehrten Falle, bei steigender Frequenz, fdlt der Ausschlag der Saite nach Uberschreitung des Punktes C momentan ab, um bei B, bei dem regelrechten Werte, stehen zu bleiben und dem ursprunglichen Verlaufe zu folgen. Das Kurvenstuck zwisohen B und C l&Bt sich experimentell ale0 nicht verwirklichen.

H a r t m a n n -Ktimpfl) bekam bei seinen Dekrements- untersuchungen von Stimmgabeln auch keine regelmiiiSigen

Besonanzkurven. Er hat ge- zeigt, daS bei Stimmgabel- schwingungen der Eigenton mit wachsendem Ausschlage etwas tiefer wird. Das zeigt auch die Resonanzkurve in Fig. 7, die ich mit einer K o h 1 schen Stimmaabel

336

v

Fig. 7. Resonanzkurve der Schwingungen einer Stimmgabel. (5 12 Schw.-Sek.) aufgenommen

habe; nur liegt hier die labile Stelle im Gegensatz zu den Saitenschwingungen nach der Seite der tieferen Schwingung, entsprechend dem Tieferwerden des Tones mit wachsender Amplitude.

Die labile Stelle im Verlaufe der Resonanzkurve ist das charakteristische Zeichen der anharmonischen Eigenart der Schwingung.

Die anharmonieohen Saitenschwingungen.

Fur die anharmonischen Schwingungen gilt folgende Diff erentialgleichung 2):

darin bedeutet: h = Maximalintensitat der wirkenden Kraft des Erreger-

x = Dampfungsfaktor der schwingenden Saite, a = Kreiseigenfrequenz der schwingenden Saite,

magneten auf die Masseneinheit,

1) R. Hartmann-Kempf , Dies. Wiirzburg 1902. 2) G. D uf f i n g , Erzwungene Schwingungen bei verlnderlicher

V. A p p l e t o n , On the Anomalous Behaeour of a Vibration, Eigenfrequenz, Braunschweig 1918.

Phil. Mag. 47. S. 609. 1924.

Vber Tonhiihe und Bampfung der Schwingungen zcsw. 7 3 7

y = Konstante, deren Wert noch diskutiert werden SOU, x = Amplitude der erzwungenen Saitenschwingung, w' = Kreisfrequenz des erregenden Schwingungskreises. Die Gleichung (1) laBt sich nicht streng losen, und wir

setzen als angenaherte Lbsung: (2) x = A.sinwt+B.coswt, wofur wir auch

(3) schreiben kbnnen.

2 = C.sin(wt - E )

C ist d a m bestimmt durch:

(4) Da wir vorderhand nur stationare Bedingungen ins Auge fassen, sind darin A und 3 bzw. C Konstanten, die nur noch von w abhangen, d. h. zu jedem w gehiirt ein ganz bestimmter Wert von C. Als Bestimmungsgleichungen fur A und B be- kommt man: (5) und

k. B + x * w (AS + 232) = 0

Diem beiden Gleichungen weichen durch das Glied mit y von den gewohnlichen Resonanzgleichungen ab und zeigen, dab die Abweichung urn so groSer ist, je groBer die Kraft k und damit die Resonanzamplitude ist. Wir werden uns also um so mehr der normalen Resonanz und der ihr entsprechenden Knrve niihern, je kleiner die Amplitude ist.

In einem rechtwinkeligen Koordinatensystem A, B stellt Qleichung (5 ) einen Kreis, und Gleichung (6) eine Parabel dar. Fiir ein bestimmtes w gibt die Entfernung des Schnittpunktes zwischen Kreis und Parabel vom Koordinatenanfangspukte den gesuchten Amplitudenwert zu C.

Beispiel fur die Komtruktion einer Resonanekurve der anharmonischen Schwingungen.

Die Resonanzkurven von Saitenschwingungen in Luft zeigen, daS sich der Resonanzvorgang nur in einem sehr kleinen Gebiet der veranderten aufgepragten Frequenz abspielt. In den Formeln:

Annalen der Physik. IV. Folge. 77. 49

' B - 0 , A' + B2 + - k 2 n ~ N

in denen N die Frequenz der aufgepriigten Schwingungszahl bedeutet und y, x, k Konstanten sind, nehmen wir deshalb N als Konstante an und setzen es gleich der Resonanzfrequenz fiir kleine Amplituden. Betrachten wir die Fig. 6, so sehen wir, daB sich der gesamte Vorgang bei einer Anderung der Schwingungszahl urn Proz. abspielt. Urn die Konstanten y , x und K zu bestimmen, konnen wir einmal mehrere Punkte der experimentellen Resonanzkurve zur Auswertung heran- ziehen. Andererseits kSnnen wir fur kleine Amplituden noch harmonische Schwingungen voraussetzen und nach der gewohn- lichen Weise 4 und damit x berechnen. Jeder Punkt der experimentell ermittelten Resonanzkurve gibt uns dann einen Wert f ir y. Die Konstante K ist dadurch festgelegt, daB wir den maximalen Ausschlag der Saite wie immer fur die Kon- struktion gleich 10 setzen. Er betragt in Wirklichkeit im vorliegenden Falle 0,025 cm. Die Resonanzfrequenz fur kleine Amplituden in Fig. 6 ist N = 664,8 Schw./Sek. Fur kleine Ausschlage ergibt sich aus Fig. 6 das Dekrement zu 0,0010, wodurch ,y den Wert 2,5 erhalt. Als Mittelwert fur y wurde der Wert y = - 500 gefunden.

Unter Benutzung der Werte fur y = - 500, x = 2,5 und und K = 104300 erhalten wir fur die Gleichungen ( 5 4 und (6a):

(5 b)

(6b)

A'+ Ba + 10B = 0,

A + 5 * A N * B - 0,363' = 0 .

Darin bedeutet A N die Abweichung von der Resonanzfrequenz 664,3 Schw./Sek.

In Fig. 8 ist die mit Hilfe der Formeln (6b) und (6b) konstruierte Resonanzkurve gezeichnet. Die experimentell ge- fundenen Werte aus Fig. 6 sind in Fig. 8 mit eingetragen und stimmen mit den theoretischen Werten bis auf die Werte in der Spitze der Resonanzkurve gut uberein. Die punktierte regelmii6ige Resonanzkurve ist konstruiert unter der Annahme, da6 y I 0 ist. Fig. 8 zeigt, daB fur kleine Amplituden rechts

Uber Tonhohe und Bampfung der Schwingungen usw. 739

und links von der maximalen Resonanz die Resonanzkurven der rein harmonischen Schwingungen (7 = 0) und der anhar- monischen Schwingungen ubereinstimmen.

Was nun die Labilitat einiger Punkte betrifft, so lassen sich diese durch weitere Betrachtungen finden, Vollstandig

A

4 i 2

t t I N

66.5 664

Fig. 8.

durchgefuhrt ist dies in der erwahnten Arbeit von Appleton. Man setzt in dem Ansatz (2):

z = A s i n w t f B c o s o t

A und B nicht mehr ale Konstanten an, sonderq betrachtet sie als Funktionen der Zeit. Dann fa& man kleine binderungen A A und A B ins Auge. Durch die Ansatze:

und d B = C " * e m t

erhalt man bestimmte Gleichungen fii m. TJnter Beriicksichtigung , da6 mr negatives 712 stabile Werte der Amplitude er- geben kann, lassen sich diese finden. Man kann so fur verschiedene maxi- male Ausschlage die Fig. 9. Theoretische Resonanzkurven. Grenzgebiete bestimmen, in denen die AusschlBge sterbil bzw, instabil sind. Die Fig. 9 ist der Arbeit von Appleton entnommen, und das schraffierte

49 *

I d B = (7'Bemt

lp4Q H. Nattin.

Gebiet iat das der instabilen Punkte. In Fig. 8 liegt dieses zwischen den Punkten P und P’. Fig. 10 zeigt entsprechend Fig. 9 drei Resonanzkurven, wie ich sie experimentell auf- genommen habe.

Fig. 10.

Die Konatante y.

Wir gehen aus von den Gleichungen (6a) und (64. Im Fane des maximalen Ausschlagee wird A gleich 0 und damit B gleich C. Wir erhalten dann fir:

und for:

hierin bedeutet h den maximalen Ausschlag in der Mitte der Saite, N die Schwingungszahl der Resonanzstelle und AN den Unterschied der Schwingungszahlen fur kleine Ausschliige und der der Resonanzstelle. Es wird die hderung der Schwingungs- zahl bedingt durch die VergrSBerung der Spannung infolge des Ausschlags der Saite. Mit stiirkerer Spannung geht der Ton in die Hahe, wodurch die veranderliche Eigenfrequenz der Saite zustande kommt. Nun verhalten sich zwei Schwingungs- zahlen Nl und ATB wie die, Wurzeln aus den zugeh6rigen Spannungen PI und P,. Dann ist:

&er Tonhohe und Dampfung der Schwingtingen usw. 7 4 1

wobei:

sei. N , > N , , P 2 = P , + P " , N , - N , = - A N

Fur die zusatzliche Spannung P erhalten wir aua der Formel fiir den Elastizit&tsmodul :

P".l a=-. I * ¶

Die Beziehung: Dy n/qcm. P" E - l -=-

P I (I = Lange der Saite, .E = Elastizithtsmodul, 12 = Verliingerung

durch P".) Desgleichen lUt sich die Spannung der Saite aua der Formel fur die Schwingungszahl:

berechnen und ergibt:

- = 4s la N2 Dyn/qcm. 9

(s = Dichte, E = Lange.) I m idealen Falle stellt eine schwingende Saite eine Sinuslinie dar von der Form:

y = hesin-2, (h = maximale Amplitude, I = Lange.)

D M ~ ~ U B ergibt sich fiir den Ausachlag h die Verlangerung der Saite in erster Annaherung:

II 1

unter Benutzung der Formeln erhalten wir fur die Differenz der Schwingungszahlen :

und somit fur y: (b),

E - n 4 y=---- 3 . s . p

Hieraus sehen wir, daB die Eonstante y in erster Annaherung unabhangig vom Radius, von der Spmnung und Schwingungs-

H. Bartin. 7 4 2 zahl der Saite ist. Da6 y tatsachlich eine Konstante fur eine bestimmte Saitenlange beim gleichen Material ist, zeigt folgende Tabelle :

Durcfimeseer in crn

0,081 0,081 0,081 0,081 0,081 0,051 0,051 0,030 0,030

N

481 48 1 481 389 389 707 707 814 662

Nbeob.

- 1,l - 0,l - 0,51 - 2,28 - 0,60 - 1,4 - 0,38 - 0,89 - 0,52

hbeob. in crn

0,037 0,027 0,012 0,050 0,028 0,055 0,027 0,040 0,026

A N . "f 8ne = 0,75 'ha

- 4,4.107

- 3,s. 107

- 3,6.107 - 3,6.107

- 3,2010~ - 3,5* lo7 - 3,8.107 - 4,8*107 - 5,4-107

Die Ltinge der Stahlsaiten betrug in jedem Falle 40 cm und es wurde immer die erste Oberschwingung erregt. Trotz- dem drei Saiten V Q ~ verschiedenem Querschnitt benutzt wurden und die Bestimmung von AN, besonders bei diinnen Saiten infolge der Doppelschwingung der Saite, die im nachsten Ab- schnitt gezeigt werden wird, sehr erschwert werden kann, ist eine f ~ r die vorliegenden Verhiiltnisse zufriedenstellende Uber- einstimmung mit dem theoretischen Wert nach Formel (b):

2000.109. n4 y = - = - 5,3.107 3.7,8*204

vorhanden. Dabei ist der Elastizitititsmodul mit 2000 lo9 und die Dichte der Saite mit 7,s eingesetzt.

Die beiden lose gekoppelten Schwingungen der Saite.

Zupft man eine gespannte Saite in Luft an, so hart man in der Regel keinen einfachen Ton, sondern man hort Schwe- bungen. Die Anzahl dieser Schwebungen ist abhangig von der Art der Auflage bzw. Einspannung, von der Dicke, von der Spannung und vom Material der Saite. Beobachtet man die Abnahme des Ausschlages einer angezupften Saite, so be- merkt man, da6 die Amplitude nicht gleichm'EBig abnimmt, sondern da6 ihre Abnahme etwa in der Art verlauft, wie es die Skizze in Fig. 11 zeigt.

Es stimmt die zeitliche Entfernung zweier Maxima mit der Dauer einer Schwebung iiberein. Sieht man sich den

Ober Tonhiihe und Dampfnng der Xchwingungen usw. 743

Verlauf der Abnahme in zwei senkrecht zueinander htehenden Mikroskopen an, so sieht man in beiden das gleiche Bild. DaS nicht allein die Auflage der Saite auf Stege - die Schwebungen lassen sich im ubrigen auch an anderen Musik- instrumenten, Klavier, Geige und Gitarre nachweisen - verantwortlich zu machen ist, zeigt der Umstand, dai3 auch bei Bohrfuttereinspannung, wo die Saite symmetrisch an vier Stellen gefai3t wird, die beiden Schwingungen vor-

A

handen sind. Die Saite ~ t schwingt also mit zwei Fig. 11. Schwingungen , deren Fre- quenzen urn die Anzahl der Schwebungen verschieden sind, und die Energie wandert infolge einer bestehenden Kopplung bei freiem Abklingen zwischen den beiden Schwingungen hin und her.

Wenn es sich um die Feststellung der Doppelschwingung handelte, wurde immer mit zwei Mikroskopen beobachtet. Fig. 12 zeigt das Ergebnis einer solchen Messung.

I

Fig. 18.

Mit dem Yikroskop ik' I wurde die Schwingung senkrecht zu den Stegkanten verfolgt und ergab das Bild der schwach gedampften Schwingung. Die strichpunktierte Linie zeigt den Verlauf der Schwingungsamplitude in der Stegebene, wie er sich mit dem Mikroskop MI1 feststellen lieB. Der Magnet befand sich etwas seitwarts von der Saite, wie das in Fig. 12 angedeutet ist. Die Anzahl der in Luft mit Hilfe einer Stopp-

744 H. Martin.

uhr pro Sekunde geziihlten Schwebungen betrug 1,6. Dieselbe Zahl ergibt sich aus Fig. 12, wenn man den Unterschied der Schwingungszahlen fur kleine Amplituden ins Auge fa&. Wurde der Magnet nun so gestellt, dad er die schwach ge- dampfte Schwingung genau senkrecht erregte, so konnte die zweite Schwingung fIir kleine Amplituden ausgeschaltet werden.

Fig. 13 zeigt die Projektion einer Saitenschwingung, bei der die Saite mit Hilfe des erwahnten Bohrfutters eingespannt worden war. Hier wiire jede Schwingungsrichtung gleich wahr- scheinlich. Trotzdem schwingt die Saite auch hier in zwei bevorzugten Richtungen, wie das aus Fig. 13 zu ersehen ist.

Fig. 13. Fig. 14.

Liegen die Resonanzfrequenzen der beiden Schwingungen sehr nahe beieinander, dam kann eine neue Erscheinung auf- treten. Bei dem geringen Frequeazunterschied sind die Dampfungen nicht sehr verschieden, und wir haben eine starke Abhiingigkeit der Amplitude von der aufgepragten Frequenz. Auch veriindert sich mit dem Ausschlag die Eigenfiequenz fur jede Schwingung etwas. Die bestehende Kopplung bringt es dann mit sich, da6 die Amplituden in einem kleinen Gebiete der Resonanzkurven keine stationken Werte annehmen, son- dern zwischen ganz bestimmten Werten hin und her pendeln.

In Fig. 14 habe ich die entsprechenden Werte, die ich nacheinander mit den beiden Mikroskopen beobachtet habe,

Uber Tonhiihe und Bampfung der Schwingunyen usw. 3 4 5

verbunden, und wir sehen, daS das Unstetigkeitsgebiet zwischen 662,2 und 662,7 Schw./Sek. liegt.

Wie aus den Darlegungen und Kurven dieses Abschnittes hervorgeht, haben wir es bei einer Saitenschwingung in Luft neben der anharmonischen Eigenart der Sohwingung noch mit einem zweiten verwickelten Vorgang zu tun. Die Saite unter- liegt von sich aus zwei Kriiften, die die verschiedenen Schwin- gungszahlen der beiden miteinander lose gekoppelten Schwin- gungen veranlassen. Um noch uber die Form (Gerade, Kreis) der erzwungenen Schwingung und vor allen Dingen uber den Ubergang von einer Schwingung in die andere bei freiem Abklingen und fremder Erregung etwas aussagen zu kbnnen, versuchte ich den Verlauf der Saitenschwingungen irgendwie sichtbar zu machen und gelangte zu folgender Versuchs- anordnung: Auf der Saite wird ein ganz kleines Glassplitter- chen mit Hilfe von etwas Pizein angekittet. Beleuchtet man dieses Splitterchen mit einer kleinen Lampe und Lqe , so I $ t sich die Stellung von Lampe und Lupe immer so wahlen, da8 man in einem schriig von oben von der Saite auf das Splitterchen eingestellten Mikroskope einen oder mehrere scharfe, hell leuchtende Punkte erblickt. CJnd diese Punkte geben uns ein Bild von der charakteristischen Schwingungsform der Saite.

Zupft man die Saite so an, da8 nur die Grundschwingung erregt wird, so sieht man ttls Lissajoussche Figur eine Ge- rade, die durch Ellipse und Kreis wieder in eine Gerade in einer zweiten Richtung ubergeht, urn dann ebeneo in die alte Richtung zuriickzukehren. Der zeitliche Abstand zwischen zwei gleichen Figuren entspricht der Dauer einer Schwebung.

Wird dagegen die Saite so angezupft, daS auch noch Oberschwingungen vorhanden sind, dann sieht man ganz cha- rakteristische Ausbuchtungen der Schwingungsfigur um diese herumwandern. Dieser Effekt zeigt sich bei einer dunnen Saite besser als bei einer dicken.

Der in Fig. 12 dargestellte Fall gibt fur die beiden Resonanzstellen als Schwingungsfiguren Gerade, da die Eigen- frequenzen sehr weit auseinander liegen, wllhrend die Saite in Fig. 13 in zwei Ellipsen mit verschiedenen Hauptachsen- richtungen schwingt. Beim Pendeln der Schwingungen wandert eine Ellipse zwischen zwei Stellungen hin und her.

H. Martin. 346 Was die Verschiedenheit der Diimpfung anbetrifft, so la&

sich das Dekrement nur messen, wenn die beiden Schwingungen sich nicht mehr merklich gegenseitig beeinflussen. Die De- kremente der in Fig. 13 dargestellten Resonanzkurven ver- halten sich wie 1 : 6; und es ist das anch das grijEte Ver- hiiltnis, welches ich bis jetzt beobachtet habe.l)

Ergebnisse f ir das logarithmische Dekrement bei Saitenachwingungen in Luft.

Durch diese beiden Komplikationen : den anharmonischen Schwingungscharakter und das Vorhandensein zweier Eigen- schwingungen wird die Bestimmung des Dekrementes sehr er- schwert. Man muS dazu entweder Resonanzkurven mit sehr kleinen Amplituden benutzen, wodurch die Berechnung ungenau wird, oder man muE Amplituden zur Auswertung benutzen, welche von dem eigentlichen Resonanzpunkt weit entfernt sind. Ebenso ist die doppelte Schwhgungszahl hinderlich, weil die beiden Schwingungen sehr sohwer isoliert werden kijnnen; es gelingt dies vijllig nur dann, wenn die beiden Schwingungen nicht zu nahe beieinander liegen. Die im folgenden angegebenen Dekremente sind daher nur als Niiherungswerte zu betrachten, geben aber ein Bild von der geringen Diimpfung der Saiten in Luft. Gerade auf diesem geringen Dekrement beruht auch der starke EinfluB der Eomplikationen und die Schwierigkeit der Messung.

Samtliche Werte der folgenden Tabelle sind mit Hilfe der langen Schiene (vgl. S. 630) und der Auflage der Saiten auf den Stegen ermittelt. Die Erregung der Duraluminiumsaite wird S. 652 besohrieben werden.

1) Wenn die Entfernung des Magneten weniger als einen Millimeter betrug, dann wurde die Eigenfrequenz und die Dampfung der Saiten- schwingung durch den Magneten verandert. Der Ton der Saite wurde tiefer, und das Dekrement nahm zu. Ein zu naher Magnet bewirkte sogar, da6 die Konstante y ihr Vorreichen iinderte und infolgedessen die anharmonische Resonanzkurve ihren charakteristischen Verlauf nach der Saite der tieferen Schwingungen hin nahm. Durch geeignete Wahl von Abstand und Ausschlag konnte man es erreichen, da8 die beiden Wirkungen sich auf heben und die Resonanzkurve einer Saitenschwingung in Luft merklich normal verlief.

Uber Tonhiihe und Dampfzng der Schwingunyen usw. 7 4 7

Material

Stahl

Dural.

Durch- messer in mm

0,81

0,81 0,81 0,81 0,81 0,81 0,81 0,81 0,81 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50

0,81

Lange d. Saite

33,4 58,9 58,9 58,9 58,9 33,4 58,9 58,9 58,9 58,9 58,9 58,9 58,9 340 30,O 58,9 58,9 58,9 40,O 40,O 40,O 40,O

Amah1 I. Bguche

1 2 4 5 7 1 1 2 3 4 2 4 5 1 2 2 3 4 1 2 1 2

N

219 252 505 635 904 356 230 462 694 928 474 950

1190 442 884 441 615 824 327 556 327 618

P in w w m

q7.109 1,7*10@ 1,7.10@ 1,7 * lo9 1,7 *lo9 4,4 - 109 5,5.109 5,5 . l o 9

5,5.109 6,i. 109 6,i. 109 6,i. 109 5,5.109 5,5.109 2,o - 109 2,o. 109 2,o. 109 2,o. 109 2,o. 109 1,2.109 i,z. 109

5,5 - 10'

Delzre- ment

0,002 0,0007 0,0005 0,0008 0,0009 0,001 0,001 0,0007 0,0004 0,0004 0,002 0,0009

0,002 0,001 0,002 0,004 0,001 0,0024 0,001 6 0,002 0,001

0,0007

Aus den vorstehenden Werten geht hervor, daS im all- gemeinen das Dekrement fiir hijhere Tone kleiner ist als fur tiefe. Die Dekremente fiir die Duraluminiumsaite (p = 2,s) sind grijBer als die fiir Stahlsaiten (p = 7,s).

C. Saitenscthwingnngen in Waseer. Die starke Dampfung der Saitenschwingung in Wasser

und anderen Flussigkeiten hat zur Folge, daS die bei den Schwingungen in Luft so stark hervortretenden Schwierigkeiten hier sehr vie1 geringer sind, so daB sie zum Teil ganz ver- schwanden.

Die Wirkung der anharmonischen Form der Schwingung tritt vor allem ganz zuruck, und auch bei dicken Saiten, wo die Dampfung doch verhaltnism&Big gering ist, war davon nichts mehr zu spuren. Wohl aber lieBen sich noch die beiden Schwingungsformen besonders bei dickeren Saiten feststellen. Nur unter ganz bestimmten Voraussetznngen beeinfluBtea sich bei ihrer loeen Kopplung die beiden Schwingungen. In allen Fallen gelang es, die Tonhiihe und das Dekrement mit Sicher-

7 4 8 B. Martin.

heit zu bestimmen. Ehe jedoch die Resultate angegeben wer- den, sol1 noch an einigen Beispielen das Auftreten der beiden Schwingungen und die Reguliertmg der gegenseitigen Einwir- kung dargelegt werden.

Erregte ich eine dicke Stahlsaite zu stark, dann erhielt ich eine Resonanzkurve mit zwei Maximis. Dieser Effekt war, wie Fig. 15 zeigt, insofern vom Ausschlage abhangig, als er

O t E L

,&-

I I 1 I -- N 420 4 B 470

Fig. 15. EinfluS der Amplitude auf den Verlauf der Resonanzkurve.

sich von einem bestimmten Werte der Resonanzamplitude an einstellte. Wie der Verlauf zustande kommt, zeigt der foL gende Versuch:

Eine Stahlsaite von 0,81 mm Durchmesser hatte ihre beiden Resonanzfrequenzen in Luft bei 458 und 452 Schw.1- Sek. und war auf der langen Schiene ausgespannt. Zuerst

wurde die schwachgedampfte Schwingung erregt und die

ma1 senkrecht zur Erregungs- richtung und d a m in dieser

A beobachtet, wozu der Doppel- T-Wager im letzteren Falle hochgestellt und die Saite in

v = a935 geeigneter Weise beleuchtet werden mnI3te.- Das Ergebnis zeigen die fur zwei verschieden

starke Erregungen gezeichneten Kurven in Fig. 16. Daraus ist ersichtlich, da6 sich die Doppelschwingung der Saite um so starker bemerkbar macht, je grbBer der Ausschlag der

Amplitude der Schwingung ein-

Fig. 16.

Ober Tonhohe und Dampfung der Schwingungen usw. 349

Saite wird. Charakteristisch ist das plijtzliche Anspringen der Schwingung in der zweiten Schwingungsrichtung bei gr6Seren Amplituden.

Dann erregte ich die Saitenschwingung in der Stegebene und damit die in Luft starker gedampfte und tiefere Schwin- gung. Far groBe Amplituden erhielt ich die Kurven in Fig. 17. Auch hier haben wir wieder das Auftreten und pliitzliche Anspringen der Schwingung senkrecht zur wirkenden &aft

Der verschiedene Verlauf der Resonanzkurve Magneten. fallender und steigender Frequenz an der Stelle des kleinen I

des b ei

JD,

N Fig. 17.

Maximums in Fig. 17 lieB sich fast immer in solchen F a e n beobachten und irjt auf das Konto des Ziehens der Schwin- gungen zu setzen.

Bei einem regelmaaigen Verlauf der Resonamkurve habe ich keinerlei Abhiingigkeit der Werte fiir das Dekrement fiir verschiedene Resonanzamplituden feststellen kiinnen.

D. Ergebnisse iiir das Dekrement bei 8aitensehwingungen in Fllissigkeiten.

Drts Dekrement in Abbgngigkeit von der Liinge, Spannung und Schwingungszahl der Saite.

Bei meinen Untersuchungen der Dekremente in Fliissig- keiten habe ich gefunden, da6 fur das Dekrement allein die Schwingungszahl der Saite maI3gebend ist ; denn eine Verande- rungen von Liinge und Spannung derart, daB die Schwingungs- zahl der Saite erhalten blieb, ergab immer dasselbe Dekrement. Eine starke Verhderung in obigem Sinne war ja auch nur

H. Martin.

bei dunnen Stahlsaiten miiglich., Fur die Unabhfngigkeit des Dekrementes von der Lange und Spannung miigen folgende Werte als Beleg dienen:

7 l 5 0

Durch- messer

mm

0,51

Durch- messer

mm

0,30

0,51

0,81

N

900

l0m

40,O 20,o 25,O 12,5 32,O 25,2

0,064 0,012) 0,041 0,048) 0,050 0,046}

Stahlsaite.

1 N 1 P D ~ ~ ; ~ c ~ 1 Dekrement

'/lo

l5 '/lo

502 513 512 519 478 476

0,81

0,81

13.10'

5,1*109 1,3 * 10'

3,3.109

7,2.109 4,5.109

665

681

0,143 f 0,003 0,148 f 0,003 0,083 f 0,001

0,053 rt 0,001 0,055 f 0,001

0,081 f 0,001

Abhiingigkeit des Dekrementes von der Temperatur des Wctssers.

Die innere Reibung q einer Flussigkeit ist abhangig von der Temperatur. Aus der folgenden Zusammenstellung :

Stahlsaite.

t%,O

21,5 ll,o 30,2 17,O 17,O 10,o

q.105

1307

4 I 8 4

geht hervor, daB sich das Dekrement einer Saitenschwingung in Wasser fur verschiedene Temperaturen etwa halb so stark andert wie die innere Reibung. DaB das Dekrement tat- sachlich proportional der Wurzel aus der inneren Reibung seine Werte annimmt, zeigen auch noch die spateren MeB- ergebnisse (vgl. S. 653).

Fur die folgenden Zusammenstellungen der Ergebnisse werden die Dekremente fur 18O C und als unabhangige Va- riable wird immer die Schwingungszahl in I;@ angegeben.

Abhlingigkeit des Dekrementes von der Schwingungseahl nnd vom Radius der Saite.

In Fig. 18 habe ich die Ergebnisse fur drei Stahlsaiten von verschiedenem Radius zusammengestellt. Als Ordinate ist der reziproke Wert des Dekrementes und als Abszisse die

ober Tonhiihe und Bampfung der Schwingungen usw. 3 5 1

Wurzel aus der Sohwingungszahl aufgetragen, wobei jedoch die Schwingungszahl an der betreffenden Stelle angegeben ist. Der Neigungswinkel jeder sich durch diese Darstellung ergeben- den Geraden ist als Mittelwert aus den samtlichen Winkeln fur jeden einzehen Punkt genommen. Aus der Fig. 18 geht

Fig. 18. Die Abhangigkeit des Dekrementes von der Schwingungs- zahl und vom Radius der Saite.

hervor, da8 zwischen Dekrement und Schwingungsaahl die Be-

besteht. Wir halten somit d s wichtiges Resultat, da6 das Dekrement sich umgekehrt proportional mit der Wurzel aus der Schwingungszahl Lndert. Fur jede Gerade hat C einen bestimmten Wert. Aus der Darstellung erhalten wir diesen fur die einzelnen Saiten zu

C*R = c" Durchmesser in ern

0,081 0,049 0,051 ~ f ~ 0,048 0,030 0,049

Multiplizieren wir die Werte von C mit dem zugehorigen Radius, so erhalten wir fur alle drei Saiten denselben Wert Czy d. h. das Dekrement andert sich umgekehrt proportional mit dem Radius der Saite.

H. Martin. 7 5 2

Abhangigkeit dee Dekrementes vom epesifischen Gewicht des Saite.

Um die Abhhgigkeit des Dekrementes vom spezifischen Gewicht der Saite zu ermitteln, sollten auSer Stahlsaiten eine Silbersaits (Durchmesser 0,049 cm, 8 = 10,4), eine Duralumi- niumsaite (Durchmesser 0,05 cm, 8 = 2,8), und eine Darm- seite (Durchmesser 0,06 cm, 8 = 1,4) benutzt werden. Um diese Saiten zu erregen, wurde ein kurzer dunner Eisendraht (Durch- messer 0,023 cm) um die betreffende Saite gewickelt. Das Gewicht des Eisendrahtchens betrug irn ungiinstigsten Falle

16

Fig. 19. Dekremente der Schwingungen einer Silbersaite von 0,05 cm Durchmesser.

l/lo des Gewichtes der Saite. Bei der Silbersaite war die Einwirkung sehr gering. Dagegen verursachte sie bei der Duraluminiumsaite (groBer Unterschied der spezifischen Gewichte, groBes nbergewicht auf ein kleines Gebiet konzentriert) ziemlich groBe Abweichungen von den erwarteten Werten. Da wir durch besondere Umstande (S. 656) den EinfluB des Eisendrahtchens in Rechnung setzen konnen, geben wir hier erst nur die Er- gebnisse der Dekremente bei Silbersaiten. In Fig. 19 sind die Werte eingezeichnet. Es zeigt sich, daS das Dekrement sich ebenfalls umgekehrt proportional mit dem spezifischen Gewicht

Uber Tonhiihe und Bampfung der Xchwingu~tgen usw. 7 5 3

der Saite andert; denn die Konstante CA, ist gleich 1,56 und die Konstanten ( C ' - Q ) ~ ~ = 0,38 und (C"*~)A, = 0,39 zeigen die nbtige Ubereinstimmung.

Bei den Versuchen, das Dekrement von Darmsaiten- schwingungen zu ermitteln, stieB ich auf unterwartete Schwierig- keiten. Die Darmsaiten quellen in- ;Vasser auf und werden dadurch schwerer. Zum andern andern sie ihre Spannungen so stark, daf3 der Ton einer Darmsaite, die nach dem Versuch unter Spannung getrocknet wurde, uber 2 Oktaven tiefer war als der Ausgangston. Der Ubersicht helber fiihre ich eine Messung an, wobei die Resonanzkurve zweimal kurz hinter- einander in der ublichen Weise aufgenommen wurde:

Dichte = 1,4 cm, Liinge = 16,l cm, Durchmeeser = 0,06 cm, N = 665 Schw./Sek,

Erster Wert 9. = 0,41, zweiter Wert 6 = 0,32. Der theoretische Wert unter Benutzung des Wertes von Stahl- saiten, umgekehrt proportional dem Radius und dem spezi- Sschen Gewicht, ware 6 = 0,35.

Abhangigkeit dee Dekrementes vom speziflschen Qewicht und der inneren Reibung der Fluesigkeit.

Endlich konnte ich festellen, daf3 das Dekrement, sich ein- mal wie schon erwahnt, proportional der Wurzel aus der inneren Reibung, zum andern aber ebenfalls auch proportional der Wurzel aus dem spezifischen Gewicht der Flussigkeit andert. Um nur kleine Fliissigkeitsmengen zu brauchen, stellte ich mir noch ein drittes Gefa6 her (9 : 2,5 : 2). Das GefkB bestand eus Zink- blech. Auf der Vorder- und Hinterseite war eine Glasscheibe mit Hilfe von Pizein eingekittet. Zwei kurze Messingrohrchen, .die an den Seitenflachen eingelotet waren, ermijglichten unter Benutzung von einem Stuck Gummischlauch eine direkte Ver- bindung mit der Bohrfuttereinspannung. Die Saite ging 80-

mit mitten durch das GefaB hindurch, wurde von der Hinter- seite beleuchtet und von vorn beobachtet. Das GefaB faf3te rund 25 ccm und wurde zueret mit Wasser geeicht und dann mit der zu untersuchenden Fltissigkeit geftillt. Bei der ersten Angabe ist der Wert fiis die innere Reibung den Tabellen yon Landolt-Bijrnstein entnommen, wahrend fur die nach-

Annalen der Physik. IV. Folge. 77. 50

H . Martin.

sten Werte die innere Reibung nach der Methode von Hosc king1) bestimmt wurde.

TPs4

Wasser , . . . Wasser . . . . Glyserinl. . . .

K,CO,-LBS. . . . K,CO,-LBs. . . ,

71 . . .

Fliissigkeit spez' G' I s

1 - 1926 1 1,32 1,03 1,06

abeob.

0,067 0,105 0,077 0,130 0,110 0,099

0,103

0,131 0,116 0,097

Fassen wir die samtlichen Zrgebnisse fur die Abhangigkcit des aekrements zusammen, so stellt sich diese Abhangigkeit von den einzelnen Fariablen durch die Formel

dar. Der Faktor C ergibt sich aus den Messungen mit Stahl- saiten zu 3,6.

Wenn wir uns erdreisten, diese Formel auch auf Luft als umgebendes Stadium auszudehnen und nach der Formel die Werte fur das Dekrement bei Saitenschwingungen in Luft zu berechnen, so erhalten wir Werte, die mit den gefundenen der GroBenordnung nach iibereinstimmen.

Ganz die gleiche Abhangigkeit des Dekrementes von den einzelnen Variablen hat Klemencic2) in seiner Arbeit ,,ffber die Diimpfung der Schwingungen fester Korper in Fliissig- keiten" auf theoretischem Wege gefunden. Fur einen Zylinder, der um seine Achse schwingt, ist das Dekrement nach der genannten Arbeit

9. = R.e * j7- 4 ~ 2 . ~ . N - R S . ~ P . N '

___- 1 2 n . t l . s 3tl 271.5

und fur einen Zylinder, der urn eine zu seiner Achse senk- rechte Richtung schwingt,

N ist auch hier die Schwingungszahl in Luft, und das erste

1) R. Hosking, Phil. Mag. VI. 17. S. 504. 1909. 2) I. H l e m e n c i c , Wien. Ber. 84. S. 146. 1881.

&er Fonhiil'Le und Diimpfung der Schwingungen usw. 3 5 5

Glied ist in jedem Falle bei weitem das gr6Ste und fiir den Wert des Dekrementes mabgebend. Die Konstante C ware in diesen beiden Fallen 2,5.

E. Ergebnisse iiir ass Verhtiltnis der Schwingungszahlen in Fliissigkeiten nnd in Lnft.

Bus der Resonanzkurve fur eine Saitenschwingung in einer Fliissigkeit ergibt sich zugleich die Eigenfrequenz. Die Schwingungszahl der Saite in Luft wurde zu Beginn jedes Versuches ermittelt. Nach der in der Einleitung angefiihrten Formel yon Kalahne ist das Verhaltnis der Schwingungs- zahlen gegeben durch

N 7 ~~~ -~~ 250 0,932 420 0,930 420 0,934 430 0,935 480 0,932 635 0,936 642 0,930 710 0,938 720 0,936 1270 0,934 1470 0,937

Mittel 0,934 -

Bedeutende Abweichungen von dieser Formel habe ich in keinem Falle feststellen kBnnen. Fiir Stahlsaiten ( g = 7,73 bis 7,78) betragt der theoretische Wert P - 0,936. Die Er- gebnisse meiner Messungen fur die drei benutzten Stahlsaiten sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.

Durch- messer in cm

0,051

Durch messei in cm

0,081

in cm

0,030

e

~~~

~~~

260 0,919 445 0,924 500 0,924 515 0,925 620 0,930 630 0,924 880 0,928 900 0,926 1110 0,925 1170 0,927 1230 0,924 1440 0,930 1660 0,930

, 1770 0,930

- ~

N

230 360 560 645 645 710 715 735 780 850 910 1240 1570

~

~

~ -

- ~

v

0,925 0,935 0,930 0,931 0,929 0,932 0,930 0,930 0,930 0,935 0,932 0,930 0,929

~

~

~ -

11 Mittel 0,9% Mittel U,Y31

Daraus ersehen wir, daS dieses Verhiiltnis zwischen dicken und diinnen Saiten sich um 1 Proz. andert, also in geringem MaBe vom Radius der Saite abhBngig ist. Die gute Uberein- stimmung zwischen Theorie und Versuch zeigen auch folgende Werte, wobei das spezifische Gewicht der Flussigkeit verandert wurde:

H. Martin.

Auch fur Silberdraht stimmen die Werte gut, nnr i3t hier zu beriicksichtigen, dald um den Silberdraht ein kleines Eisen- drahtchen gewickelt war. Der theoretische Wert ist 0,952. Fur die in Fig. 19 angegebenen Werte ergab sich dieses Ver- haltnis bei

Die Dekremente der Schwingungen der Duraluminium- saiten zeigten grolde Abweichungen von den erwarteten Werten. Auch stimmte das Verhaltnis der Schwingungszahlen in Wasaer und Luft vie1 schlechter, als das nach den bisherigen Resul- taten eigentlich der Fall sein diirfte. Es zeigte sich, da8 die Abweichungen auf Konto des diinnen Eisendrahtchens zu setzen waren, das ich um die Saite herumgewickelt hatte und das hier infolge des niedrigen spez. Gewichtes der Dur- aluminiumsaite eine grolde Wirkung hatte; denn berechnete ich das wirkende spezifische Qewicht nach dem Vorgang von Kalahnel) aua der Tonvertiefung und benutzte dieses zur Berechnung des Dekrementes, dann erhielt ich Werte, die mit den anderen Messungen vollkommen im Einklang standen.

Zusammenfassung. 1. Es wird eine Methode beschrieben, mit Hilfe der Auf-

nahme von Resonanzkurven die Tonhohe unddas Dekrement von Saitsnschwingungen in Luft und Flussigkeiten zu bestimmen.

1) A. K a l a h n e gibt (Ber. d. D. Phys. Ges. S. 83. 1914) das um- gekehrte Verftrhren an, aus der Tonvertiefung das spezifisehe Gewieht des umgebenden Mediums zu bestimmen.

-

+957 Uber Tonhiihe und Dampfung der Sch,wingungen usw.

2. In Luft stellten sich der Bestimmung des Dekrementes unerwartete Schwierigkeiten entgegen, weil die Saitenschwin- gungen hier anharmonischen Charakter tragen und die Saite mit zwei nahe beieinander liegenden, lose gekoppelten Schwin- gungen schwingt. Infolgedessen lieBen sich die Dekremente nur der GraBenordnung nach angeben.

3. Fur das Dekrement von Saitenschwingungen in Flussig- keiten wird die Abhangigkeit von der Schwingungszahl, vom Radius und spezifischen Gewichte der Saite, vom spezifischen Gewichte und der inneren Reibung der Flussigkeit ermittelt.

4. Die GrSBe der Tonvertiefung durch das umgebende Medium wird experimentell festgestellt und ergibt Werte, die mit der theoretischen Formel von Kaliihne gut uberein- stimmen.

Die vorliegende Arbeit wurde im Physikalischen Institut ausgefiihrt und bei der Preisverteilung am 20. Juni 1925 mit einem Preis ausgezeichnet. Es sei mir gestattet, Hrn. Geh. Hofrat Prof. Dr. M. Wien fiir seine Aaregungen und seine stetig f6rdernde Anteilnahme meinen herzlichsten Dank aus- zusprechen. Ferner bin ich der Firma Schott und Glen. fur die freundliche ffberlassung von einigen PreEglaskondensatoren zu Danke verp5ichtet.

J e n a , Physikal. Inst. d. Universitat, 1. August 1925.

(Eingegangen 4. August 1925.)