B r a u e r , Ober unvollstlndige Anger-Webersche Funktionen. 177 2. angew. Math. Mech. Bd. 21 Nr. 3 Juni 1941

Uber unvollst andige An g er - W e b er sche Funktionen *). Von Peter und Elfriede Brauer in Munchen.

(Am den Physikalischen Instituten der T e c h . Hochschule Miinchen und der Bergakademie Freiberg i . Sa.)

Die unvollstandigen A ng e r schen und We b e r schen Funktionen ruerdefl durch ihre Integraldarstellung eingefiihrt. Eine Reihendarstellung wird fiir sie gegeben. Fiir einen wiehtigen Sonderfall werden Tafeln im Interwall 0 I n s z berechnet, die sich aber - wie abschliebend gezeigt rvird - wit Hilfe eiu- facher Formeln auch bei beliebigsm reellen. Argument verruercden lassen.

1. Einleitung. Versucht man die durch ihre naturliche Gleichung 2, a)

. . . . . . . . . . . . . (1) K = r (cosp n - 1)

bestimmte Kurve in rechtwinkligen Koordinaten zc und w darzustellen, so ergibt sich folgende Parameterdarstellung

U

u = 5 cos (r sin (I -pa) d n . . . . . . . . . . (24, 0 U

v = 5 sin (r sin o - p a) d (I . . . . . . . . . . (2b).

Setzt man in den Integralen fur die obere Grenze n = n ein, so bemerkt man, dab man - bis auf den felilenden Faktor ; - im Falle (2a) die Angersche Funktion J p ( r ) und im

Falle (2 b) bis auf den Faktor - ; die W e be rsche Funktion E p ( r ) vor sich hat 3. Bekannt- lich gehen ihrerseits die Angerschen Funktionen fur ganzzahliges p in Besse leche Funk- tionen uber. - Wir wollen in (2) setzen u=u:(n) und v=v',(o). Es gilt also

0

1

1

und . . . . . . . . . . . . . u; (n) = 7c J p ( r ) (3@,

v', (n) = - n G P ( r ) . . . . . . . . . . . . (3b).

2. Reihenentwicklung. Wir wollen fSr die Funktionen @) Reihenentwicklungen angeben. Wir erllutern unser Vorgehen an der Funktion u. Es ist

U U U

ah = { cos (r sin o - p o) d o = 1 cos (r sin 0) cosyn d a+! sin (r sin n) s inpo d a. 0 U 0

Hierin lassen sich cos (rs in n) und sin (rsin o) nach J a c o b i in Four i e r sche Reihen ent-

cos (r sin o) =J, (r) + 2 3 J~~ (r) cos 2n o

sin (r sin 0) =

mickeln : m

1 m

2 3 J ~ ~ + ~ (r) sin (2n + I) n. U

Da diese im Interval1 0 5 o 5 2n gleichmafiig konvergieren, tun es auch diejenigen Reihen, die &us ihnen durcli gliedweise Multiplikation mit dem konstanten, d. h. von n unabhangigen Faktor COY p o bzw. sin p o hervorgehen. Wir kbnnen also gliedweise integrieren :

U m a

u = J, (r) 5 cos p o d n + 2 2~ Jzn (r) { cos 2 n o cospa d o 0 1 0

m U

+ 2 2% (r) {s in (212 + 1) asin pa d o . 0 n

1) Bezeichnung nach Vorsehlag von Herrn Prof. F r i t z E m d e .

2) Es bedeutet K die Kriimmung, u die Bogenlange der Kurve. p und T Konstante.

3) Diese Gleichung trat bei Verfolgung einer teehnischen Aufgabe nuP. Siehe hiemu P. B r a u e r , Strane Die Behandlung der Aufgabe, bessere Ubergangsbogen irn StraDenbau auf Grund kine- Bd. 7 (194U). 8. 356 bis 357.

rnatiseher Uherlegnngen anzustreben, wurde von W a. 0 s t w+a Id (StraOe Bd. 7 (1940), S. 144 his 145) angercgt.

4) Siehe z.B. R. W e y r i c h : Zylinderfunktionen, Leipzig 1937, S. 87 oder C. N. W a t s o n : A Treatise on the

12 Theory of Bessel Functions, Cambridge 19%2, S. 308.

2. angew. Math. Meoh. 178 B r a u e r , ober unvollstindige Anger-Webersche Funktionen. Bd.21 Nr. 3 Juni 1941

Die Integrale kdnnen nach Teilen integriert werden, so dab wir erhalten m

u = - 1 J, ( r ) sin p o + 2 2 J2 ?, (r) &-? (sin 2 n o cos p o - - P cos 2 n o sin p o 2 n

1 P

m ' (4a).

2 n i ( - [ I - cos (2n + 1) ocosp 01 +-- sin (2 n + 1 ) osinp o

1

Y 2 n + l

V

Setzen wir hierin o = n, so erhalten wir m

' (4b).

Diese Reihen mussen nach (3) mit den W e b e r schen Reihen6) fur n .J,, bzw. -- n @,,

ubereinstimmen. Zum Beweise setzen wir in (5) fur J die zugehorige Potenzreihe

ein und ordnen die Summenglieder in (5) innerhalb einer Klamnier dann nach Potenzen von r. Dabei ergeben sich die Glieder mit r p (unter Weglassung des in (5) vor der Klammer

stehenden Faktors - ) zu s inp n 1 - c o s p n bzw. - --__- 1) P

wenn ,u=Zm+Zn g e r a d e ist. Weglassung des Faktors sin y x bzw. (1 + cosp n))

1st p = 2 2 + ( 2 n + l ) u n g e r a d e , so haben wir (unter

5 ) H. F. W e b e r : Ann. Phys. (111) Bd. 8 (1879). S. 407 bia 5. 444 siehe S. 319 und 8. 420.

B r a u e r , Uber unvollstsndige Anger-Webersche Funktionen. 17 9 Z. augew. Math. Mech. Bd.21 Nr.3 duni1941

Diese Ausdrucke stellen aber die Partialbruchzerlegungen der entsprechenden Glieder in (6) EL -

bzw. u- 1

dar, wie man durch eine kleine Rechnung zeigen kann. In Lhnlicher Weise kann man versuchen, die Reihen (4) fur Bruchteile von n zu be-

rechnen, doch erlialt man keine so einfachen zur numerischen Rechnung geeigneten Ausdrucke.

3. Tafel. Setzt man besonders p = r , so erhalt man den fur die Anwendungen wichtigen Fall, bei dem die Anfangskriimmung der Kurve, deren rechtwinklige Koordinaten u und 2,

1 sind, verschwindet. p hat dann die Bedeutung des mit - ; multiplizierten Winkels zwischen den Kurventangenten in den Punkten a=O und u = n e ) . Fur diesen wichtigen Fall wird die Tafel gegeben fur eine Reihe von Werten von p zwischen 0 und 0,s. Ihre Berechnung geschah mittels tabellarisclier Integration. Das Interval1 0 I u I n wurde dam in 20 gleiche

Teile der Breite h = - get.eilt und fur jedes a = n 9, der Integrand in (2), mit Hilfe einer 20 siebenstelligen sin- und cos-Tafel7 berechnet. Das Differenzenschema wurde bis zu den 6ten Differenzen ausgedehnt, wozu die Integrandenfunktion auf beiden Seiten des Intervalles um je drei Intervalle erweitert werden muhte. Zur Berechnung der Teilintegrale mit den

Grenzen 2n 20 und (2 n + 2)-, sowie derjenigen rnit den Grenzen (2n + 1) To und (2nf-3) 20 wurde die Formels)

7L z

n 7L 31, ?l

20

?t

2u 7c -

verwendet, zur Berechnung der ,,AnschluPintegrale" 1 bzw. 5 hingegen die Formele) 0 !!?t

'LO

1 A ' + A a 11 A ' + A " 12 2 720 2 [' d ,, = Ib("p-'"! _ _ - -L-! f - > - __ ____

"0

Nach diesem Verfahren ergaben sich die Integralwerte rnit 8 zahlenden Stellen nach dem Komma. Unsere Tafel wurde auf 6 Stellen abgerundet. Eine Kontrolle lieh sich hequem durchfuhren, da die Berechnung der Endwerte (a = n) auch rnit den Reilien (6) durchgefuhrt werden konnteiO). Die festgestellten Abweichungen betrugen im Hbchstfalle weniger a19 3 Einheiten der 8. Stelle nach dem Komma. Deshalb wurde bei den Teilintegralen, bei deren Abrundung eine um den jeweils mbglichen Fehler geanderte 8. Stelle die 6. beeinfluht hatte, diese unter- oder uberstrichen. Eine unterstrichene 6. Stelle ist also schlimmsten falls um 1 Einheit zu groh, eine uberstrichene ware zu klein.

4. Erweiterung fur beliebiges Argument. Es sei darauf hingewiesen, dab Funktionswerte jeder der beiden Funktionen fur b e l i e b i g e s reelles Argument sich linear durch die Funktions- werte beider Funktionen im t'r s t e n Duanten (d. h. 0 5 u I: n) ausdrucken- lassen. -

6) Siehe P. B r a u e r a. a. 0. S. 354 GI. (20a).

7 ) Opus Palatinum. Sinus- nnd Cosinus-Tafeln. Heransgegeben von Dr. W. Jordan, Hannover und Leipzig 1913.

8 ) Siehe z. B. C. R u n g e und H. K o n i g : Vorlesungen iiber numerisches Rechnen, Berlin 1924, 5. 239 01. (1).

9) C. R u n g e und H . K o n i g : a. a. 0. S. 211 GI. (2).

10) Hierbei wurden die 10 stellipen Tafeln. herausgegeben vom Reiehsanlt fur Landesaufnahme unter wissen-

12. schaftlicher Leitung von Prof. Dr. J . P e t e r s , Berlin 1919 und 19132, verwendet.

0,oo

0,lO

0,20

0,25

0,05

0: 15

0,30

0,35

0,

40

0,45

0,50

0,55

0,60

0365

0,

70

0,75

480

0,85

0,90

0,95

1,oo

p=

o

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0 00

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150 0

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000

450

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550

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000

650

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750

000

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000

250

000

299

999

349

997

399

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449

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969

549

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599

899

649

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948

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765

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000

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000

150 0

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200

000

249

999

299

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93

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__

.__

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0 00

0

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199 9

99

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__

p =

0,zo

0,00

0 00

0

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199 9

99

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298

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692

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00

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p =

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0,00

0 00

0

050

000

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00

150 0

00

199 9

99

249

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930

399

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449

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499

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597

472

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0,00

0 00

0

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100

000

150 0

00

199 9

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299

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150 0

00

199 9

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399

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99

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99

199 9

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0,00

0 00

0

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99

199 9

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299

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o

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0

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p =

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p =

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409

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032

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0 00

0

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298

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000

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000

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000

816

001

977

004

063

007

445

012

540

019

789

029

650

042

568

058

956

079

165

103,

457

131 9

73

164

714

2001

520

242

068

285

879

33?

339

p =

0,45

0,00

0 00

0

000

004

000

058

000

292

000

918

002

225

004

57 1

008

375

014

103

022

251

033

325

047

813

066

157

088

714

115

723

147 2

66

183 2

38

223

334

267

039

313

652

362

322

0,00

0 00

0

000

004

000

064

000

325

001 0

20

002

472

005

078

009

304

015

666

024

709

036

969

053

031

073

298

098

142

127

759

162

145

201

062

214

015

290

264

338

848

388

643

Z. angew. Math. Mech. Bd.21 Nr. 3 Juni1941 182 K r a u e r , Uber unvollstiindige Anger-Webersche Funktionen.

V

Uild 1 . Ziir Bestimmung von Funktiooswert,en fur beliebiges reelles Argument. Die Ziffern 1 bis 3 bezeichnen den jeweiligen Nullpunkt des ein- bis dreimal gespiegelten Koordinatensystems, dessen 2) -Achse die Verbindungslinie voo 2 mit dem Nollpunkt iet.

Bild 2 . Uovollstaudige Angersche Fuoktion.

Bild 3. Unvo1lstandige)We bersche Funktion. Darstellung der Funktions- werte mit umgekehrtem Vorzeichen.

Bild 3.

Man gelangt dazu durch folgende elementare Uberlegung. Dic Kurve @ (w, a) = 0 (Bild 1) setzt sicli in den Intervallen 2 r ~ n 5 a 5 ( 2 ~ + 1) n aus gleichen Kurvenstucken, in den Inter. vallen (2 n + 1) n 5 a (2 m + 2) n aus hierzu spiegelbildlich gleichen Kurvenstucken zusammen, wie man sofort aus der Periodizitat der natiirlichen GI. (1) schlieken kann. Man gelangt, wie man am einfachsten aus Bild 1 abliest, durch Spiegelung des Koordinatensystems an der Kurvennormalen nn (Rild 1) zu einer neucn relativen Lage von Kurvenstiick und Koordinaten- system, welche die zu den Argumentwerten des 2ten Duanten (n 5 a 5 2n) gehorigen Funktions- werte ad und v als Koordinaten der Kurvenpunkte des urspriinglichen Kurvenstiickes ablesen lafit. Fur den nachstfolgenden Duanten (272 5 a 5 3n) gelangt man durch Spiegelung des ersten Spiegelbildes an der Kurvennormalen no im An fangspunkt des Kurvenstuckes zur richtigen Lage des Koordinatensystems. Durch sukzessive Befolgung dieser Vorschrift er- halt man fur die Funktionswerte ZG und u im nteu Duanten ((n -- 1) n 5 a 5 n n) auf eleinen. tarein analytischen Wege folgende einfaclie Ausdrucke

at, (a) = + w (a‘) cos my n + {w (a’) - v*> sin my n, tt, (a) = - u (a‘) cos (n + 1) p n + { v (0’) - us> sin (n + 1) p n , v (a)= + u ( d ) sin m p n + {v (0‘) - u*i c o s n y n -v*, w (a) =; - u (a’) sin (n + 1) y

Hierin ist 0’ der ein ganzzahliges Vielfaches von n iiberschreitende Betrag der Bogenlange, also m n + d = n. w (a’) und v (a’) sind demnach die der Tafel zu entnehmenden Funktions- werte im l ten Duanten. v* ist die Konstante

(u2 gerade) (u2 ungerade)

(n gerade) bZW.

+ {v (a‘) - v”} cos (n + 1) y ~t - v*, (n ungerade).

v*=v (n) - u. (7r)cotyn.

Naturlich karin man auch, wie Bild 1 lelirt, sehr sehnell durch Konstruktion rriit Zirkel und Lineal zu den weiteren Funktionswerten gelangeo, welches Verfahren zur Herstellung der Rilder 2 und 8 benutzt wurde.

Unser Dank gebuhrt den Herren Prof. F r i t z E m d e (Stuttgart) und H. P o e v e r l e i n und Dr. H. V o i t (Munchen) fiir nutzliche Ratschlage und den Herren Prof. R. T o m a s c h e k (Munchen) und Prof. G. G r u L (Freiberg i. Sa.) fur die freundliche Erlaubnis zur Benutzung von Rechenmaschinen. 257