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Physik IV

Umweltphysik

W. Aeschbach-Hertig

Physik IV – Umweltphysik, 4. Strömungen Universität HeidelbergInstitut für Umweltphysik 2

Inhalte der Vorlesung

1. Einführung in die Umweltphysik: Das System Erde und seine Kompartimente, Statik der Geofluide

2. Strahlung und Klima: Strahlungsbilanz, Treibhauseffekt und Strahlungstransport

3. Geophysikalische Fluiddynamik: Kontinuumsmechanik, Navier-Stokes-Gleichung und Turbulenz, Transport

4. Strömungen in Atmosphäre und Ozean: Geostrophische Näherung, globale Zirkulation, Grenzschichten

5. Grundwasser und Boden: Laminare Strömungen und Transport in porösen Medien

6. Eis, Isotope und Paläoklima: Eisschilde, Isotopen-methoden,Klimaarchive und -geschichte

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4. Strömungen in Atmosphäre und Ozean

1) Näherungen in der Navier-Stokes-Gleichung2) Geostrophische Näherung

– Großräumige Strömungen in Atmosphäre und Ozean3) Strömung in Grenzschichten

– Prandtl-Schicht, logarithmisches Windprofil– Ekman-Schicht, Ekman-Spirale

4) Globale Zirkulation– Globale atmosphärische Zirkulation– Globale ozeanische Zirkulation

Geostrophische Näherung, globale Zirkulation, Grenzschichten

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4.1 Näherungen in der N-S-Gleichung

( )v 1v v p 2( v) vt

∂+ ⋅∇ = −∇Φ − ∇ − Ω× + ν∆

∂ ρ

• Navier-Stokes Gleichung lässt sich nur näherungsweise lösen• Näherung durch Abschätzung der Größenordnung der Terme• Ersetze Größen durch Kombinationen typischer Werte

(Geschwindigkeit etc.) bzw. typischer Skalen (Länge)

z.B.: mit typ. Geschwindigkeit U, Längenskala L werden

Zeitskala T: LTU

=

Geschwindigkeitsgradient: UvL

∇ ∼

Geschwindigkeitsänderung:2v U U

t T L∂

=∂∼

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Atmosphäre OzeanHorizontale Distanz (Lh) 106 m 106 mVertikale Distanz (Lv) 104 m 4·103 m

Horizontale Geschw. (U, V) 10 m·s-1 10-1 m·s-1

Vertikale Geschw. (W) 10-1 m·s-1 10-4 m·s-1

Zeitskala (Lh /U ~ Lv/W) 105 s (≈ 1 d) 107 s (≈ 4 M.)

Horiz. Druckgradient (∆p/L)h 10-3 kg m-2s-2 10-2 kg m-2s-2

Vert. Druckgradient (∆p/L)v 10 kg m-2s-2 104 kg m-2s-2

Größenordnung der Skalen synoptischer Systeme

Gesucht: Näherungen für stationäre (∂v/∂t = 0) Strömungen auf großen Skalen (synoptische Systeme)

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Größenordnung der Terme der N-S-Gleichung

Synoptische Systeme im Ozean (f ~ 10-4 s-1; ν ~ 10-6 m2/s)

10-8 10 10 10-5 10-16

vertikal:

v

UWL

g fU 2v

WLν

Wert (m/s2):

Dimension:

1 p0 gz∂

= − −ρ ∂

Stationärzustand: Hydrostatisches Gleichgewicht

( ) ( )w 1 pv w g 2 ucos wt z

∂ ∂= − ⋅∇ − − + ω ϕ + ν∆

∂ ρ ∂

v

pL∆ρ

2

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Größenordnung der Terme der N-S-Gleichung

Synoptische Systeme im Ozean (f ~ 10-4 s-1; ν ~ 10-6 m2/s)

10-8 10-5 10-8 10-5 10-19

horizontal:

( ) ( )u 1 pv u 2 w cos v sin ut x

∂ ∂= − ⋅∇ − − ω ϕ − ϕ + ν∆

∂ ρ ∂2

h

UL h

pL∆ρ

fW fU 2h

ULν

Wert (m/s2):

Dimension:

1 p0 fvx∂

= − +ρ ∂

Stationärzustand: Geostrophisches Gleichgewicht

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Stationärzustand horizontal: Geostrophisches Gleichgewicht

1 p0 2 v sinx∂

= − + Ω ϕρ ∂

1 p0 2 u siny∂

= − − Ω ϕρ ∂

bzw.:

1 p 1 pu und vf y f x∂ ∂

= − =ρ ∂ ρ ∂

Mit f = 2Ω·sinϕ folgt:

1 p 1 pfv und fux y∂ ∂

= = −ρ ∂ ρ ∂

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4.2 Geostrophische NäherungGeostrophisch: Stationäre Strömungen ohne ReibungAus dem Gleichgewicht Druckgradientenkraft = Corioliskraft folgen die geostrophischen Geschwindigkeiten:

g g1 p 1 pu und vf y f x∂ ∂

= − =ρ ∂ ρ ∂

Geostrophische Strömungen verlaufen senkrecht zum Druckgradienten!

Ost-West Nord-Süd N-S O-W

Faustregel zur Richtung geostrophischer Strömungen:

N-Halbkugel: Höherer Druck zur Rechten der StrömungS-Halbkugel:umgekehrt

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Geostrophische Strömungen

Umströmung von Hoch- und Tiefdruckgebieten:

N-Halbkugel: Gegenuhrzeigersinn um Tiefdruckgebiet (Zyklone)Uhrzeigersinn um Hochdruckgebiet (Antizyklone)

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Einstellen des geostrophischen Gleichgewichts

nicht stationär,beschleunigt

stationär,geostrophisch

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Geostrophischer Wind in der Atmosphäre

Wetterkarte am 30. Oktober 2002, 0 Uhr UTC

Fp

Fc

V

3

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Geostrophische Strömungen im Ozean

Barotrope Druckgradienten: Bei konstanter Dichte entstehen horizontale Druckgradienten nur durch Neigung der Wasseroberfläche.Barotropes Druckfeld in Ozean mit konstanter Dichte:

( )( )h x,y

z

p h p hp x,y,z g dz' g , gx x y y∂ ∂ ∂ ∂

= ρ ⇒ = ρ = ρ∂ ∂ ∂ ∂∫

Bei Geostrophie:

g gg h g hu , vf y f x∂ ∂= − =∂ ∂

Messung der Meeresoberfläche mit Satelliten ⇒ Strömungen

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Dynamische Topographie der Meeresoberfläche

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4.3 Strömung in GrenzschichtenGeostrophische, d.h. reibungsfreie, Strömungen gibt es nur in der freien Atmosphäre bzw. im offenen Ozean.Am "Rand" der Kompartimente spielt Reibung eine Rolle.Extremfall: Molekular-viskose Grenzschicht

– laminare Strömung, keine TurbulenzAbschätzbar via Reynoldszahl: Laminar für Re < Rec ~ 1000

U L 1000Re 1000 LU

⋅ ⋅ ν= < ⇒ <ν

Ozean: ν ≈ 10-6 m2/s, U ≈ 0.1 m/s ⇒ L ≈ 1 cmAtmosphäre: ν ≈ 10-5 m2/s, U ≈ 2 m/s ⇒ L ≈ 5 mm

Sehr dünne Schichten, aber wichtig z.B. für Gasaustausch

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Höhe (m)

10-3

10-2

0,1

1

10

102

103

104

Laminare Grenzschicht;molekular-viskose Schicht

Oberflächen-Grenzschicht;„Prandtl-Schicht“turbulente Reibung

Ekman-Schicht

Freie Atmosphäre; geostrophische Näherung

Boden

Tropopause

τ ≈ 0

τ ≈ const.

PBL

Grenzschichten der Atmosphäre

Planetary Boundary Layer

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Impulsdiffusion in der Prandtl-Schicht

( ) ( ) ( )xz pz pzu uconst. K z K z

z z∂ ρ ∂

τ = = − = −ρ∂ ∂

( )pzK z u * z= χ ⋅ ⋅

u*: Schubspannungsgeschwindigkeitχ : von Kármán-Konstante, χ ≈ 0.4

Kpz nimmt linear mit der Höhe über dem Boden zu

Ansätze aus Dimensionsbetrachtungen:

( )2xz const. u *τ = = −ρ ⋅

u 1 u *z z∂

=∂ χund

Es folgt:

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Logarithmisches Windprofil

( )0

u * zu z lnz

=χ

z0: Rauhigkeitslänge, abhängig von Bodenbeschaffenheit

Für das vertikale Windprofil u(z) folgt ausu 1 u *z z∂

=∂ χ

Die Windgeschwindigkeit nimmt logarithmisch mit der Höhe zu

Anwendung: u(z) messen ⇒ z0, u*, Kpz ⇒ mit c(z) Stoffflüsse!

In der Praxis verwendet man meist die Geschwindigkeit ur in der Referenzhöhe zr = 10 m als Bezugsgröße. Dann gilt:

( ) ( ) ( )( )

0rr r r

0 r 0 r 0

ln z / zzu *u ln u* u u z uz ln z / z ln z / z

χ= ⇒ = ⇒ =

χ

Drag-Koeffizient (Rauhigkeitsmaß):( )

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Dr r 0

u *cu ln z / z

⎛ ⎞⎛ ⎞ χ= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

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Logarithmisches Windprofil

„Wasseroberfläche“ „Getreide“

z0 = 10-5 mcD = 0.8·10-3

z0 = 10-3 mcD = 1.9·10-3

z0 = 10-1 mcD = 7.6·10-3

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Windrichtung in Bodennähe

Kräftediagramme und Zirkulationsmuster (für N-Halbkugel):

a) ohne Reibung (geostr. Näherung)

b) mit Reibung (Prandtl-Schicht)

vFcFp

vFc

Fp

FR

Infolge der Reibung weicht die Windrichtung in der Prandtl-Schicht von derjenigen in der freien Atmosphäre ab.

Abbau von Druckgradienten!

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Höhe (m)

10-3

10-2

0,1

1

10

102

103

104

Laminare Grenzschicht;molekular-viskose Schicht

Oberflächen-Grenzschicht;„Prandtl-Schicht“turbulente Reibung

Ekman-Schicht

Freie Atmosphäre; geostrophische Näherung

Boden

Tropopause

τ ≈ 0

τ ≈ const.

PBL

Grenzschichten der Atmosphäre

Planetary Boundary Layer

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Die Ekman-Spirale in der AtmosphäreEkman-Schicht: Übergang zwischen geostrophischem Wind und Bodenwind

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Die Ekman-Spirale im Ozean (NH)

D ≈ 100 m

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Windantrieb der Ozeanoberflächenströmung (NH)

T H

5

25

4.4 Globale ZirkulationA) Globale atmosphärische Zirkulation

Antrieb: Breitenabhängige Strahlungsbilanz ⇒ Äquator - Pol Temperaturgradienten ⇒ horizontale Druckgradienten⇒ geostrophische Winde + Reibung am Boden

Erwärmung in den Tropen führt zu Konvektion:⇒ thermische Zirkulationszellen

Corioliskraft verhindert Bildung von hemisphärischen Zellen:⇒ Aufteilung in drei Breitenstreifen

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Isobaren(p = konst.)

z

0

M g dzR T(z)

0 SR T(z)p(z) p e mit z (T)

M g

⋅− ⋅⋅∫ ⋅

= ⋅ =⋅

Thermische Zirkulation

Isothermen(T = konst.)

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Globale troposphärische Zirkulation

hypothetische Zirkulation auf nichtrotierender Erde:Je eine Konvektionszelle zwischen Äquator und Pol

reale Zirkulation auf rotierender Erde:Je drei Konvektionszellen zwischen Äquator und Pol

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Globale troposphärische Zirkulation

29

Hadley Zirkulation

release of latent heat

Alti

tude

(km

)

18

14

10

tropopause

Θ = 380 K

Θ = 330 K

Tropical low pressure(convergence)

Subtropical highPressure (divergence)

thermische Zirkulation zwischen Tropen und Subtropen, f klein

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Globale ZirkulationB) Globale ozeanische Zirkulation

Antriebe: Wind

- Direkt via Windschub in Ekman-Schicht - Indirekt über Kon-/Divergenz und Druckgradienten

Wärme- und Wasserbilanz - Temperatur und Salzgradienten- horizontale Dichte- und Druckgradienten ⇒ Thermo-haline Zirkulation

Ränder beeinflussen die Zirkulation (Reibung, Druckgrad.)

6

31

Windantrieb und Druckgradienten

T H

~ 1 mIndirekt (via Druck) angetriebene geostro-phische Strömung hat die selbe Richtung wie der Wind

32

Ozeanoberflächenströmungen

33

Vergleich von Wind und Ozeanströmungen

Wind

Ozeanzirkulation

Asymmetrie im Ozean wegen Vorticity-Erhaltung34

Wärmebilanz der Ozeane (NH)

Qs: solare Einstrahlung

Qe: VerdunstungQh: Wärmeleitung

Qb: Rückstrahlung

35

Salinität des Ozean-Oberflächenwassers (in ‰)

Starker Einfluss der Bilanz von Verdunstung und Niederschlag:Evaporation (E) – Precipitation (P) > 0 (Subtropen) ⇒ S hoch

36

Thermohaline Zirkulation(Förderband)

7

37

Thermohaline Zirkulation

Rahmstorf, 2002. Nature 419:207-214.38

Zusammenfassung

• Geostrophische Näherung– Großräumige, reibungsfreie Strömungen– Gleichgewicht zw. Druckgradienten- und Corioliskraft– Strömung 90° zu Druckgradient!

• Strömung in Grenzschichten– Reibung führt zu Richtungsänderung– Ekman-Spirale in Atmosphäre und Ozean

• Globale Zirkulation– Atmosphäre: thermische Zirkulation – Ozean: Thermohaline Zirkulation