Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten1

Simulation technischer Systeme, WS 03/04

Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 1

Universität Stuttgart

Institut für Kernenergetik und Energiesysteme

Diese Fragen sollten Sie nach V1 beantworten können

– Wichtige Eigenschaften von Modellen– Modelle und ihre „Fehler“– Gibt es richtige Modelle– Techniken zur Reduktion der Komplexität– Aufgabe von Modellen im Lebenszyklus eines Systems– Wie können Modelle die Realität ergänzen– Wann kann die Realität an Modellen gemessen werden– Überlegen Sie sich ein Beispiel aus Ihrem Umfeld und zeigen

Sie typische Modellierungsschritte auf– Was bringt mir die Vorlesung– Welchen Aufwand will ich investieren





Diese Fragen sollten Sie nach V2 beantworten können - 1

1. Wie können wir Komplexität reduzieren

2. Was meint man mit Stukturierung von Daten

Zerlegung von Aufgaben

Wiederverwendung von Komponenten

Standardisierung von Vorgehen und Schnittstellen

3. Welche Elemente des Qualitätsmanagements müssen wir beachten

4. Was sind technische Objekte und wie können wir sie zu Systemen verbinden

5. Was bedeuten die 3 K des Ingenieurwesens

6. Was bedeuten die 3 S hoher Produktivität






1. Was ist eine virtuelle Anlage und wozu können wir sie einsetzen

2. Was ist ein Modul und welche Typen unterscheiden wir

3. Warum trennen wir Beschreibung und Verhalten und wie hängen beide zusammen, wenn wir Verhalten simulieren

4. Wie unterscheidet sich der modulare Ansatz vom Ansatz der „technischen Objekte“

5. Wie setzt man im klassischen Software Engineering die 3S um






1. Was leisten Prozessmodelle?

2. Wann lohnt sich der Einsatz eines Prozessmodelles?

3. Was leistet der RUP?

4. Was sind die Grundideen des RUP?

5. Welche Hilfsmittel bietet der RUP an?

6. Wie finde ich weitere Informationen im RUP Handbuch?

7. Was ist Tailoring?

8. Zu was ist Tailoring nützlich?

9. Wie passe ich einen Workflow an ein konkretes Problem an?

10. Was sind die Elemente eines Prozessmodelles?






1. Was ist ein Objekt und wie beschreiben wir es

2. Was ist eine Klasse und zu was nutzt sie

3. Welche Beziehungen zwischen Klassen/Objekten kann man zur

Modellierung verwenden

4. Was bedeutet Vererbung

5. Was sind Komponenten und Dienste

6. Ziele des Komponentenansatzes






1. Was ist die UML

2. Wie beschreibt die UML Klassen

3. Wichtige Beziehungen zwischen Klassen

4. Was ist ein Use Case

5. Was ist ein Klassendiagramm

6. Wie beschreibt man eine Komponente

7. Wie liest man ein UML Diagramm






– Was bedeutet testgetriebene Entwicklung – Was ist ein JUnitTest– Geben Sie mindestens 3 Aggregationsstufen an und

beschreiben Sie ihre Funktion bei der Wiederverwendung– Was sind Entwurfsmuster und welche Bedeutung haben sie– Beschreiben Sie das Strategy Pattern– Was sind Frameworks– Beschreiben Sie die Beziehung zwischen Entwurfsmustern,

Frameworks und Komponenten und veranschaulichen Sie sie durch ein UML Diagramm

– Wie entwickelt man ein Framework– Was ist ein Anti Pattern– Wann setzt man Komponenten ein– Beschreiben Sie die 3 Komponentenarchitekturen





Simulation komplexer technischer Anlagen

Vorlesung 6: Modellierung des Verhaltens technischer Komponenten

Grundlagen der Numerik

Das sollten Sie heute lernen• Was ist eine Simulation?• Wie beschreiben wir technische Komponenten• Simulation auf Großrechnern• Rechnen auf endlichen Maschinen• Fehler bei Operationen• Diskretisierung von Funktionen• Integration von Funktionen• Differenzieren von Funktionen





Simulation

Definition nach VDI-Richtlinie 3633Simulation ist die Nachbildung eines dynamischen Prozesses in einem Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind.

Erfahrungen– Wir denken nur in Modellen - kein Modell ist auch ein Modell– Modellieren heißt abstrahieren - Fehler durch Weglassen– Modelle sind nicht wahr oder falsch, sondern adäquat

Häufiges Vorgehen– Identifiziere wichtige Komponenten (Analyse)– Beschreibe Verhalten durch Daten und Methoden (Entwurf)– Implementiere in Modul (Numerische Methoden)– Integriere Komponenten in System– Parametrisiere System und seine Komponenten– Untersuche Zeitverhalten– Interpretiere Ergebnisse





Bildung von Modellen

ProblemProblem

mathematischesModell

mathematischesModell

physikalischesModell

physikalischesModell

Analyse des mathe-matischen ModellsExistenz von Lösungen

Analyse des mathe-matischen ModellsExistenz von Lösungen

Numerisches ModellKonsistenz, Konvergenz

Numerisches ModellKonsistenz, Konvergenz

Analyse und Darstellungder Ergebnisse

Analyse und Darstellungder Ergebnisse

Simulation

Daten-Beschaffung

Daten-Beschaffung

ModulVerknüpfung

ModulVerknüpfung

Entwurf und Implementierung eines Programms





Modelle technischer Vorgänge

Basismodell Erhaltungsgleichungen für Masse, Energie und Impuls

Grundform zeitliche Änderung einer Systemgröße y

=

Differenz aus Quellen und Senken

- Simulationsmodelle erfordern mathematische Modelle und darauf abgestimmte Daten

- Datenmodelle müssen Semantik des Weltausschnittes und der Modellierung seines Verhaltens enthalten (Ontologie)

- Mathematische Modelle

a) differentielle Betrachtungsweise

Das ist gewöhnliche Differentialgleichung am Ort xi

b) Integrale Betrachtungsweise an Zeitpunkten tn und tn+1

Das ist eine Integralgleichung

c) Systeme von Differentialgleichungen erhält man, wenn

- mehrere Systemgrößen- mehrere Ortspunkte zu berücksichtigen sind.

dttyftytyn

n

t

tnn ,1

1

y,tftyStyQdt

dy ,,





Beschreibung einer technischen Komponente

Parameter verbinden Modell mit realen Komponenten

Zustand beschreibt Systemgrößen

Schnittstelle verbindet Systemgrößen unterschiedlicher Komponenten nach dem Ursache-Wirkungsprinzip

Methode Simulieren berechnet Werte der Systemgrößen zum Zeitpunkt tn+1





Komponentenbasiertes Modell eines Kreislaufes





The Virtual Powerplant as base for training and distributed student projects

Core simulation by ZIRKUS

System simulation by FLOWNET

Safety analyses

with ATHLET

Validation through

PBMM





MPBR: System Design

P-23--

Generator

Precooler

Recuperator

Reactor

Intercooler

InventoryControlSystem

IntermediateHeat

Exchanger

520.C126.7kg/s

280 C

115 C1.3 kg/s 69.7 C

1.3 kg/s

488.9 C7.99 MPa125.4 kg/s

VesselCooling

HeatExchanger

522.5 C7.89 MPa125.4kg/s

900 C7.73 MPa

509.2 C7.59 MPa

879.4 C7.83 MPa126.7kg/s

799.2 C6.44 MPa

HP Turbine52.8 MW

LP Turbine52.8 MW

PowerTurbine

136.9 MW

719.0 C5.21 MPa

511.0 C2.75 MPa

30 C6.06 MPa

96.1 C2.73 MPa

488.8 C7.99 MPa126.7kg/s

27 C

Effectiveness: 95%Pressure Drop: 0.8%(Hot side)Pressure Drop: 0.13%(Cold side)

Effectiveness: 95%Pressure Drop: 1.77%(hot side)2% (cold side)

PD: 0.8%

PD: 0.8%

30 C2.71 MPa

69.7 C3.57 MPa

30 C3.54 MPa

69.7 C4.67 MPa

30 C4.63 MPa

69.7 C6.11 MPa

69.7 C8.0 MPa

LPC26.1 MW

MPC126.1 MW

MPC226.1 MW

HPC26.1 MW

IntercoolerPD:0.8%

IntercoolerPD:0.8%

Return





Modular program system ZIRKUS for reactor physics calculations

KUGEL (SPHERE)

NIVERM

NEVA

MICROX

MAGRU

HBLOCK

VORNEK

BUCK

NECKAR/THERMIX

SBURN

Core design





Model for annular PBMR core design

Return





PBMM facility of Potchefstoom University South Africa





Anwendung detaillierter Simulationsmodelle

Detaillierte Modelle erlauben– Interpolation zwischen Messwerten (Verringerung teuerer

Messungen)– Untersuchungen von alternativen Lösungen (Variantenkonstruktion)– Optimierung des Betriebs unter aktuellen – Randbedingungen (Betriebsmanagement)– Untersuchungen in Grenzbereichen Störfallsimulation)– Überwachung der Steuerungstechnik (Fehlererkennung)

Detaillierte Modellierung erfordert– Detaillierung der Beschreibung– Integration neuer Effekte– verlässlichere Materialdaten– zuverlässigere Experimente– exaktere Randbedingungen– Integration von Erfahrungen aus Nachbardisziplinen





Rechnen auf endlichen Maschinen

endlich viele Stellen - Rundungsfehler

endlich viele Werte - Diskretisierungsfehler

endlich viele Schritte - Abbruchfehler

endlich viele Rechnerkomponenten - Rechenergebnisse von Anlage abhängig

Problem gut konditioniert - Rundungsfehler spielen keine Rolle

Problem konsistent - alle Diskretisierungsfehler gleiche Ordnung

Problem konvergent - alle Abbruchfehler gleiche Ordnung

Ziel: Numerische Fehler klein gegen Fehler aus Simulation, Mathematik, Physik





RundungsfehlerFehler der Grundoperationen

Sei a der exakte Wert einer gesuchten Größe und ã eine Näherung, dann sind der absolute Fehler a und der relative Fehler a der Näherung ã definiert durch (1)

Umgekehrt gilt (2)

Für die Genauigkeit eines Resultates ist meist der relative Fehler maßgebend, da er direkt mit der Anzahl N der korrekten bedeutsamen Ziffern in a zusammenhängt:

(3)

Aus (2) folgt Additivität des absoluten Fehlers bei Addition,

und näherungsweise Additivität von kleinen relativen Fehlern bei Multiplikation bzw. Division

Anders verhält sich die Subtraktion. Hier kann aufgrund von Stellenauslöschung der relative Fehler über alle Grenzen wachsen

wird genähert durch

aaa aaa ~

)1(~aaa

aN log10

)()(~~ bababa

)1()1)(1(~~

baba bababa

bafürbac

baccbac

bac

bac

)()(~

Fehler der Grundoperationen

Sei a der exakte Wert einer gesuchten Größe und ã eine Näherung, dann sind der absolute Fehler a und der relative Fehler a der Näherung ã definiert durch (1)

Umgekehrt gilt (2)

Für die Genauigkeit eines Resultates ist meist der relative Fehler maßgebend, da er direkt mit der Anzahl N der korrekten bedeutsamen Ziffern in a zusammenhängt:

(3)

Aus (2) folgt Additivität des absoluten Fehlers bei Addition,

und näherungsweise Additivität von kleinen relativen Fehlern bei Multiplikation bzw. Division

Anders verhält sich die Subtraktion. Hier kann aufgrund von Stellenauslöschung der relative Fehler über alle Grenzen wachsen

wird genähert durch

aaa aaa ~

)1(~aaa

aN log10

)()(~~ bababa




Institut für Kernenergetik und EnergiesystemeInterpolationsformel von Lagrange

Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen

L x L x y yx x

x xk k

k

n

ki

k ii i

n

k

n

0 0 00 ;

An den Stützstellen xi L x y i ni i , ..0muß wegen der Interpolationsbedingung gelten

Für die gelten die Beziehungen L xk i

1 für k = i

0 für k i

und allgemein

Lk

Die Lk sind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist.

Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1.

L x L x yx x

x xy

x x

x xyk k

k

0

11

0 10

0

1 01

L x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xk

k k n

k k n

0 1 1 1

0 1 1 1

1/2

Der Versuch wird durchKlick gestartet

Die mathematische Darstellung der Eulerzahl lautet:

e = f(n) =nn

n

lim

1

1

Die Limesbildung meint, daß bei einem sehr groß gewählten n das numeri-sche Ergebnis und die mathematisch exakte Lösung übereinstimmen. DieseTheorie stimmt jedoch nur solange n so klein bleibt, daß 1/n nicht in den Bereich der Rundungsfehler von 1 gelangt. Auf unseren Rechnern beträgt dieMantissenlänge für double 53 (für float 24) . Daraus ergibt sich ein Rundungs-fehler an der 55 Stelle. Nähert sich n dem Wert ,so erhält man für die Ergebnisfunktion ein Sägezahnprofil mit dem Höchstwert e² bei n= . Steigt n weiter an, dann gilt f(n)=1 Für n < wirkt sich der Rundungsfehler bei dervorgegebenen Zeichengenauigkeit nicht sichtbar aus.

1013

n 1000

253

n 1013

253

Auswirkungen von Rundungsfehler bei der Berechnung von e

n 1000 n 1013





Bestimmung von e

Ein Beispiel soll die Wirkung von Rundungsfehlern erläutern. Zu berechnen sei

Nach dieser Formel wurden die folgenden Werte mit 10stelliger Dezimalarithmetik berechnet.

Die Abweichungen in der rechten Spalte sind Folge von Rundungsfehlern.

So gilt etwa für n = 2 • 10‘ für 1/n = 5 • 10-10 und gerundet 10-9.

Für n = 2.5 • 10‘ erhält man für 1/2 = 4 • 10-10 und gerundet gerade 0. Die Verwendung der Potenzreihe

für würde hier Abhilfe schaffen.

Im Rahmen der numerischen Experimente wird ein entsprechender Versuch mit einem 32 bit-Rechner angeboten.

enfn

n

nnf

)(lim,

11)(

)1( 1nnl

n f(n) n f(n)

50 000 2.7182 54646 125 000 2.7182 81828 = e

100 000 2.7182 54646 125 001 2.7183 03575

120 000 2.7181 73099 1.0 109 2.7182 81828 = e

124 998 2.7182 38336 2.0 109 7.3890 56098 = e2

124 999 2.7181 58501 2.5 109 1.0000 00000

n f(n) n f(n)

50 000 2.7182 54646 125 000 2.7182 81828 = e

100 000 2.7182 54646 125 001 2.7183 03575

120 000 2.7181 73099 1.0 109 2.7182 81828 = e

124 998 2.7182 38336 2.0 109 7.3890 56098 = e2

124 999 2.7181 58501 2.5 109 1.0000 00000





Berechnet man aus einer Größe x über einen Algorithmus f(x) eine Größe y, so gibt es zwei Ursachen für Fehler

– Fehler in x

– Fehler in Operation

Daraus folgt

Darin bedeutet den absoluten Fehler durch die Operation

den absoluten Fehler durch das Argument

Nach dem Mittelwertsatz gilt

oder

Damit wird

cond f heißt Kondition der Operation. Für cond f < 1 führt die wiederholte Anwendung einer Operation zum Verschwinden des Fehlers durch das Argument, man sagt, die Operation ist stabil.

xx x )1(~

f)1(f~

f

)()~()~(

)~()1()~(~

)()~(~

)~(~~

xfxfxff

xfxfwirdxfxfmitxfy

y

fy

)~(xff

)()~( xfxf

fcondxfxfx

xf

xfxfxf

bcaab

afbfcf

xfxfy

y

x

)()('

)(

)()()('

)()()('

Fehler bei Operationen






L x L x y yx x

x xk k

k

n

ki

k ii i

n

k

n

0 0 00 ;



1 für k = i

0 für k i

und allgemein

Lk



L x L x yx x

x xy

x x

x xyk k

k

0

11

0 10

0

1 01


k k n

k k n

0 1 1 1

0 1 1 1

1/2

Die Summe der einzelnen Fehler ist eine normal verteilte Größe. Die Streu-ung der Normalverteilung ist . Wobei n die Zahl der Operationen und die Proportionalitätskonstante vom Rundungsfehler der einzelnen Opera-tionen abhängt.

In der Visualisierung sind dargestellt:a)die Einzelfehlerb)die Summenfehler c)der 2 Sigma Bereich für den Summenfehler

Bei diesem Versuch werden Zufallszahlen (a) generiert und durch die Vor-schrift (a/b+1)-1 gerundet. Die Differenz zwischen der ursprünglichen und der gerundeten Zufallszahl ergibt den Rundungsfehler (Rundfe). Wobeib=10 gilt.

Rundfe = a -a

bb

1 1


n

Fehlerfortpflanzung bei Addition





Diskretisierung von FunktionenNeben der diskreten Darstellung der Zahlen interessieren in der Numerik vor allem die diskrete Darstellung von Verläufen (Funktionen) und der darauf möglichen Operationen (vor allem Integration und Differentiation).

Drei Möglichkeiten der Diskretisierung von Verläufen sollen im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden. Ausgang ist

y = f(x)

x steht für die unabhängigen Variablen,

y steht für die abhängigen Variablen,

f gibt den Verlauf an und wird im Folgenden als Operation auf x gedeutet, die die Gerade y ergibt.

a) Diskretisierung der unabhängigen Variablen

wird durch Werte yi= f(xi) dargestellt.

Für weitere Operationen kann zwischen den Werten y i interpoliert werden. Als Interpolationsfunktion werden häufig Lagrange-Polynome verwendet.

yyixx

~

y~





Diskretisierung von Funktionen -2

b) Diskretisierung der abhängigen Variablen

Wählbar sind die Entwicklungsfunktionen Ni(x), die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten ai und die Art der Näherung von

c) Diskretisierung durch statistische Methode

wird über Werte beschrieben, wo xi zufällig bestimmt und nach verteilt sind. y~

xi

Ni iayy ~

yany~

xxfxf *

xf * x





Lineare Interpolation -1-

y wird durch zwei Punkte xo und x1 beschrieben. ist eine Gerade durch die Punkte (xo, yo) und (x1, y1)

Fasst man die Glieder mit yo und y1 zusammen, so gilt

Die Ausdrücke vor den Werten yo und y1 sind Funktionen von x. Wir bezeichnen sie mit

Offensichtlich gilt

und

100

1

01

1

0

01

11

0

xundxmitxx

xx

y~

1001

01

0

0

~ xxxyyxx

xxyy

1

01

0

0

01

1~ yxx

xxy

xx

xxy

xx 1

1

1

0 und

010

1

11

1

1

01

01

1

xundxmitxx

xx

xyyi

ii

11

0

~





Lineare Interpolation -2-

Höhere Interpolation

heißen Lagrange-Polynome.

Es gilt

xyy n

ii

n

i

0

~

xn

i

,.

01

jifürjifürj

xni





Ihre allgemeine Form lautet:

Für n = 3

Lagrange Polynome -1

))...()()...((

))...()()...((

110

110

0 niiiiii

nii

mi

mn

imm

nm xxxxxxxx

xxxxxxxx

xx

xxx





Lagrange Polynome -2

Mit diesen Interpolationsfunktionen lässt sich eine Funktion y(x) etwa folgendermaßen nähern:

)()3

o ii

(xy(x)y~(x)y xi

x0 x1 x2 x3

xy

xy~






L x L x y yx x

x xk k

k

n

ki

k ii i

n

k

n

0 0 00 ;



1 für k = i

0 für k i

und allgemein

Lk



L x L x yx x

x xy

x x

x xyk k

k

0

11

0 10

0

1 01


k k n

k k n

0 1 1 1

0 1 1 1

1/2

Versuch:Mit Hilfe von der Lagrangefunktion wird xsin(x) angenähert. Variiert werden der Approximationsbereich und der Grad der Approximation. Das Approximations-gebiet wird dann in n äquidistante Intervalle unterteilt. Als n+1 Stützstellen werden die Intervallgrenzen gewählt.


Lagrange

Interpolationsformel von Lagrange - 2





Taylor-Reihenentwicklung

Folgende Festlegungen führen zur Taylor-Entwicklung:

– Entwicklungsfunktionen Polynome von (x - xo)

– Entwicklungkoeffizienten Wert und Ableitung an Stelle x0:

xn

n

n

x

x

xfdx

d

na

xfdx

da

xfdx

da

xfa

/)(!

1

..........

/)(!2

1

/)(

)(

2

2

2

1

00

• Art der Näherung y und stimmen an der Stelle x0 in Wert und allen Ableitungen bis zur Ordnung n überein.

y~





Taylor-Reihenentwicklung -2

Ergebnis der Näherung

• Abbruch- oder Verstümmelungs-Fehler entspricht erstem vernachlässigtem Glied

• Konvergenz

xoxf

ndx

nd

n

noxx

xoxf

dx

dxxxfxyxy /)(

!

)(.../)(

!10)

0()(~)(

1)(0ˆ/)(1

1

)!1(

1)( noxx

oxxf

ndx

nd

n

noxx

)1(0ˆ)1(0ˆ1)(0

nhnxn

oxx





Stückweise Näherung -1

Häufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlussstellen und erreicht das dadurch, dass je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann

sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz-Funktionen je der Ordnung nj. Die Näherung heißt stückweise stetig.

xnji

m

j

nj

iiyy

1 0

~

xnj





Stückweise Näherung -2

In den folgenden Bildern vergleichen wir stückweise stetige Näherungen der Funktion

durch Diskretisierungen von x und y jeweils mit verschiedenen Ordnungen und verschiedenen Aufteilungen in Untergebiete. Als Versuchsfunktionen wurden Polynome 1.Ordnung verwendet. Bei der Diskretisierung von y erfolgte die Anpassung so, dass das Integral unter Funktion und Näherung identisch sind:

2xy

Diskretisierung von x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21Diskretisierung von y

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

b

a

b

adxyydx ~





NullstellensucheZu jedem Problem

existiert ein Umkehrproblem

Die Bestimmung des Wertes xp zu einem vorgegebenen Wert yp heißt Nullstellensuche.

Zu lösen ist das Problem

Für komplizierte Verläufe von f(x) kann dies nur näherungsweise geschehen. Folgender Algorithmus hat sich bewährt:

Nähere xp durch

Berechne

Für

sonst

Der Algorithmus heißt Iteration.

xfy

xFxyfyfx 11

0p

yxfxg

0

0 xxp

np

n

pxFx 1

Ende,1 n

p

n

pxx

1 nn





Nullstellensuche -2-

Die Iteration wird also abgebrochen, wenn kleiner als eine vorgegebene Schranke ist.

Wird diese Schranke unterschritten, so sagt man, die Folge der sei konvergent.

Folgende Fragen sind zu klären:

a) Wie findet man eine passende Iterationsvorschrift?

b) Welche Anfangswerte sind zu wählen?

c) Unter welchen Bedingungen konvergiert die Folge der ?

d) Wie schnell konvergiert die Folge der ?

Antworten finden wir experimentell am Beispiel

n

p

n

pxx 1

n

px

n

px

n

px

ax 2





Nullstellensuche -3-

Sie sollen am folgenden Beispiel erläutert werden:

Folgende Iterationsvorschriften bieten sich an:

Dieses Verfahren heißt Newton-Verfahren.

0222 axxxgxxfap

y

xFx

ax

xg

xgxx

xgfürund

xgxxxgxgxga

xFxxaxxaa

xFxaxaxa

ip

ip

ip

ipi

pip

ip

ip

ip

ip

ip

ip

ip

ip

ip

ip

ipi

3

2

1

1

113

2

2122

112

2

0

0

0

/





Numerische Integration

1. Unterteile Integrationsgebiet a, b in Teilgebiete ai, bi

2. Nähere Funktion in Teilgebiete durch bekannte Funktionen

2.1 Lagrange

2.2 Gauß

xjixj

fxf ~

ff

xj

Nxf jj

an~

vonAnpassungfürVorschrift

~





Verfahren nach Newton Cotes -1

3. Integriere Näherungslösung

Ausgang: Lagrange Interpolation

Integration:

Tabellierung: Die Werte des sind für verschiedene Ordnungen von Lagrange-Funktionen tabelliert.

xjj i

xfxf

~

dxxjiaibj

xf

dxxibia

jj

xfdxibia

xf

j

j

10

~

dxxj

10





Verfahren nach Newton Cotes -2

Tabelle der normierten Integrale:

n Ordnung der Näherung, i Stützstelle

nsi

RegelWeddle

1400

9840412162727227216416

-12096

2752881975505075195

RegelMilne945

890732123274

)a"pulcherrim("Regel3/8

80

3813313

RegelSimpson90

161412

lTrapezrege12

12111

99

67

67

45

45

23

fh

fh

fh

fh

fh

fh

NameFehlernsn i

nsi

iaibi

xfI

Integralwert,





Verfahren nach GaußAusgang: Entwicklung nach Funktionen

Wo Nj (x) Legendere Polynome

Nj = f (xj) Funktionswerte an Gauß-Punkten xi

und die Anpassung von so erfolgt,

dass bei einer Näherung der Ordnung n die Fläche unter einer Kurve der Ordnung 2n exakt genähert wird. Stützstellen heißen Gauß Punkte

Integration:

Tabellierung: Tabelliert sind die Gauß-Punkte und die Integrale.

xNxfi

ji ~

xfanxf~

dxxNaibi

xf

dxxNxfdxxf

ii

i

bi

aiii

i

bi

ai

1

12

~

i





KonvergenzverbesserungIst die Konvergenzordnung mit 0 (hh-1) bekannt, so gilt

Daraus kann man zwei Methoden zur Lösungsverbesserung ableiten:

a) Richardson-Extrapolation

Verändert man h q • h, so gilt

Eliminiert man a, so gilt

Dies ist die Richardson-Extrapolation.

b) Romberg-Tableau

Wiederholt man eine Rechnung mit verschiedenen

Maschenweiten h0,h1, ... hn, so kann man auf je zwei

Ergebnisse eine Richardson-Extrapolation anwenden. Dies führt zum folgenden Rechenschema (Romberg-Tableau).

1~ nhayy

1~

1~

nhqq

aqhyy

nhanyy

20

1

~~~ nhmit

nq

qnyny

nyy

2

21

221

11

0

h

h

h

y

y

yyy

y

y





Numerisches Differenzieren -1

...!2 2

22

iiiiiix

dx

ydxx

dx

dyxxyxxy i

...2

2

!2

21

11

...2

2

!2

2

1giltso

111

11und

dSetzen wir

ixdx

ydixixdx

dyixiyiy

ixdx

ydixixdx

dyixiyiy

ixyixixyiyixyixixyiy

ixyiy

Ausgang ist die Taylor-Reihenentwicklung:





Numerisches Differenzieren -2

Daraus ergibt sich folgende Strategie zur Bestimmung von Ableitungen diskretisierter Funktionen.

1. Stelle Taylor-Reihen-Entwicklung bis zur n-ten Ableitung auf.

2. Ist n größer 1, so müssen n-1 Ableitungen niederer Ordnung eliminiert werden. Dazu sind n-1 weitere Taylor-Entwicklungen an der selben Stelle x i aufzustellen

(z.B. yi-1, yi+2, yi-2, ...).

3. Eliminiert man die Ableitungen niederer Ordnung, so erhält man

...,1, ixixfyndx

ndix

Das erste vernachlässigte Glied

ixy

ndx

nd

n

nix

1

1

1

1

Allgemein gilt: Zur Approximation eines Differentialquotienten nach Ordnung sind mindestens Funktionswerte an n+1 Maschenpunkten nötig. Der Abbruchfehler ist von der Ordnung xn+1 und der Diskretisierungsfehler hat die Ordnung x





Beispiel 1 Berechnung von

A1) Aus yi+1 folgt durch Abbruch nach dem zweiten Glied:

Der Abbruchfehler ist

A2) Aus yi-1 folgt durch Abbruch nach dem zweiten Glied:


ydx

d

i

ii

i x

yyy

dx

d1

i

i

i

i ydx

dxy

dx

dx3

32

2

2

!3!2

1

1

i

ii

i x

yyy

dx

d

i

i

i

i ydx

dxy

dx

dx3

32

1

2

2

1

!3!2





Beispiel 1 - Fortsetzung

A3) Kombiniert man beide Näherungen, so erhält man:


Nach dem Mittelwert der Differentialrechnung gibt es einen Wert

derart, dass = 0 wird. In der Regel ist

ii

ii

i xx

yyy

dx

d

1

11

i

ii

ii

i

ii

ii ydx

d

xx

xxy

dx

d

xx

xx3

3

1

3

1

3

2

2

1

2

1

2

6

1

1*

1:* ixixixix

*ixix





Beispiele 2 Näherung von

Aus der Summe von yi+1 und yi-1 folgt:

Spezialfall

1

1

1

1

1

1

2

2 22

21i

ii

i

ii

ii

i

ii

iy

xx

xyy

xx

x

xxy

dx

d

i

iii

iy

dx

dx

x

yyyy

dx

d i

4

42

2

11

2

2

!4

2mit

2

xxxii

1

ydx

d2

2





Ist Ausgang der Näherung eine Diskretisierung der abhängigen Variablen, so gilt

und für die Ableitungen

Die Qualität dieser Näherung hängt jetzt stark von der Art der Anpassung

von an y, also von der Art der Wichtung und der Basisfunktionen, ab.

Es ist auch möglich, den ai die Bedeutung von Ableitungen zu geben (siehe Taylor-Reihen).

Bildung von Differentialen bei Funktionsentwicklungen

y~

xi

Nn

i iay

0

~

xi

Nndx

ndn

i iay

ndx

nd

0

~

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Universität Stuttgart Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation technischer Systeme, WS 03/04Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten1