Math. Ann. 244, 185-191 (1979) Mathematische Annalen © by Springcr-Vcrlag 1979

Untere Schranken f'dr Polynome in Werten der p-adischen Exponentialfunktion

Peter Bundschuh ~ und Rolf Wallisser 2

Mathematisches Institut der Universit~t, Weyertal 86-90, D-5000 K61n 41, Federal Republic of Germany

2 Mathematisches Institut der Universit~it, Albertstr. 23b, D-7800 Freiburg i. Br., Federal Republic of Germany

1. Einleitung

Ffir die p-adische Exponentialfunktion Z Z 2 eZ=l+~+~. + . . . .

1 die bekanntlich ftir alle p-adischen Zahlen z mit Izlp <p P-1 existiert, hat Mahler [2] bcreits 1932 gezeigt, dab sie in ihrem Existenzgebiet an jeder algebraischen p-adischen Stelle z 4- 0 eine transzendente p-adische Zahl darstellt. Es fehlt jedoch bis heute ein dem Lindemannschen Satz fiber algebraische Unabh~ingigkeit yon Werten der Exponentialfunktion entsprechendes Resultat im p-adischen.

Hier soll mit einer auf Mahler [1] 1 zuriickgehenden Methode, mit der dieser unter anderem den Lindemannschen Satz quantitativ gefaBt hat, gezeigt werden, dab die Werte der p-adischen Exponentialfunktion an rational linear unabh~in- gigen algebraischen p-adischen Stellen ein gegebenes Polynom nicht zu Null machen k6nnen, falls diese Stellen ,,gentigend" klein sind. Bezeichnet man mit Q die rationalen Zahlen, mit lip die durch IP lp=p-1 normierte p-adische Bewertung von Q, mit ~p die p-adische Vervollst/indigung des algebraischen Abschlusses von Qp und mit & die fiber Q algebraischen Etemente von t12p, so gilt der

Satz. Seien o~ 1 . . . . . ~sE~L'p('hDk und fiber t~ l inear unabhiingig, 1

t ~ I p < p p-1 (t~=l . . . . . s);

sei lK : = Q(~I,---, ~), [IK :Q] = r. Sei P~7£[X1 , . . . ,X~] , 40, yore Gesamtgrad k und der H 6 h e H. Dann gibt es e f fekt iv berechenbare posi t ive K o n s t a n t e n c 1 u n d c 2, die nur yon k, p, s, cq, ...,ct~ abhi~ngen, so dafl f f i r alle

a > max(c l, 6r logH),

die reine Po tenzen yon p sind, gilt

]P(e "~, .... e°~')l p > e - c2a .

1 Im Prinzip sogar auf Hermite

0025-5831/79/0244/0185/$01.40

186 P. Bundschuh und R. Wallisser

2. Die Hilfsfunktionen yon Hermite-Mahler

Wie Mahler in [ t ] gezeigt hat, gibt es zu m nicht negativen ganzen Zahlen a 1 . . . . . % und m paarweise verschiedenen komplexen Zahlen fll . . . . . fl,, m Polyno- me

Ak(Z fl,, "",tim] ( k : l . . . . . m) (1) \ ai, ...,a~]

yore Grad a,, so dab die N~herungsform

(zl 'B-t: \ tal, ..,a,,] k=l .... a,.]

in z = 0 yon der Ordnung m - 1 + ~ ~r~ verschwindet, Die Potenzreihenentwicklun- gen dieser Funkt ionen lassen sich explizit angeben, sie lauten

' ol \ a l , . . , a m ]

~ = 0 27! " r l + . . . + ~ k + . , , + ~ m = e ' k - - ~ v # k

c~ Z v - 1 +m+ ~a~z

mit

~,+...+~,,=~k v, / ' " '

T v -t- O'v) m "~v

( - 1)~+~ 1-1 ~-~ ( / ~ k - / L ) 1 + ,v+~v , (3)

(4)

3. Konstruktion weiterer Approximationsformen Rk(z)

Mit einem t ~ N w~ihlt man (al, ..., a,,) auf m verschiedene Weisen zu ( t - 1 + 6kl,-- ' , t - - 1 + 6k,,) ftir k = 1,..., m, 6 u das Kroneckersymbol , und setzt :

Rk(z ) :=R z t - 1 +Ski, . , t - - t +~$km '

I ..... ) t-- l +~kl, . , t-- l +6k, .

D a n n gelten die Identitiiten

Rk(Z ) = ~ Pku(z) e t~'~ (k = 1,..., m). (71 , u= l

Fiir die Determinante D(z ) := Det (Pku(Z)) lal3t sich leicht zeigen, dab sie von l <k,,u<=m

der F o r m c . z TM, c+O, ist, so dab die Rk(Z) ftir jedes z4 :0 ein linear unabh~ingiges Linearformensystem in den e ~." bilden.

m 2 Es wird in (3) fiber alle (m- 1)-Tupel (vl ..... Zk-1, ~k + 1,'", z,.) summiert mit ~ z v = a k- z

v=l v4:k

p-adische Exponentialfunktion 187

4. Absch~itzen der Rk(z) und Pk~(z) im p-adischen

Da bei der Kons t ruk t ion der Hilfsfunktionen nur algebraische Hilfsmittel verwen- det werden, gelten diese auch im p-adischen unter der hinreichenden Vorausset- zung

i

Jfl.t~ < p ~- ~, IzI~_<- 1.

Nach (4) gilt

oo v ~ m - I t Rk(z)=t!( t --1 ). z ~ ~ avz

~=o (mt + v)f

und v

]a,lp<p . - I

und daraus

,Rk(Z)lp<,t'(t--1),m-',flz,p t max (p " : ' , z , ; , ( m t l ). • v>=O y ) ! l p

Verwendet m a n noch die Formel fiir den p-adischen Wert der Fakul ta ten

p p-l<lt!lp<=p v~l-~ogp v 1 ,

so gilt schliel31ich

IR,(z)lp < p3mtm ]Zit~t .

Setzt man

6: = max 1

1

so ist 6 > pP-1, da 1

]fl~- fl~[p<__max(lfl,[p, ]fl~]p) < p p-1

gilt, und aus (3) und (6) folgt

~'m~ tP- (z)l -<6 max [zl~ < 6 m' max [zl~

fiir alle k, 1~ mit 1 < k, # < m.

(8)

(9)

5. Struktur des Beweises

Sci

P(X 1 . . . . , Xs) : = ~. P(il . . . . . is)X~'.. Xi~ il +... +i~.~k

188 P. Bundschuh und R. Wallisser

mit p(il, ..., i,)e 7 /und Ip(.--)l --< H ; sei N > k ein Parameter , der sp~iter noch geeignet

gew~ihlt wird, und seien schliel31ich fll = 0, f12 . . . . , fl,, die m = Linearkombi-

nat ionen ~ c@j, wobei die 2j nicht negativ ganzzahlig sind und der Bedingung j = l

21 + ... + 2 s =< N geniigen. Wegen der vorausgesetzten linearen Unabh~ingigkeit der c~j tiber Q sind die fli paarweise verschieden und aus

1 1

to~j[p < p p- 1 ergibt sich l[~j[p < p- b-=-i, j = 1,. . . , m.

(N ;÷,) Ist nun acCp, 0<[alp< 1, so sind die folgenden m I = Linearformen

L o ' = ~ lo, ea~", 0 = 1 . . . . . ml , (10) ¢t=l

die aus den m s Po lynomen

x k ' . . X k ' p ( x ~ . . . . . Xs) mit kl + . . . + k s < N - k

dadurch entstehen, dab X j durch e ~" ersetzt wird, linear unabh~ingig tiber Cp. Dabei sind die lo, entweder Null oder gewisse Koeffizienten des Polynoms P, also alle aus ~ und vom komplexen Betrag h/Schstens H. Nimmt man ferner ftir die flu in (2)-(4) die soeben definierten, so kann man aus den Linearformen (7) m - m s Sttick ausw~ihlen, etwa

Rk~(a)= ~. Pkou(a)e "~' , Q = m I + 1, . . . , m , (11) ,u=l

.... 1~ "~

• . . ~ lml,m

. . . . Pkml +1, m (a)

Pk,,~, l(a), "" ", Pk,,,m(a)

L1 ' I i 2 . . . . . ll m N

Lml, Im~, 2, "" ", tmhm

Rk,,, ' + ~(a), Pk . . . . . 2 . . . . , Pk . . . . . m(a)

Rk..(a), Pk,.,, 2 . . . . . Pk,~,.,(a)

l < k , , , + l < . . . < k , , N m , so dab

r" t11,

lml 1' 6" := Det

ekml +2, l(a),

= Det (12)

nicht verschwindet.

p-adische Exponentialfunktion 189

Seien IK und r wie im Satz, sei [1~, veS~ die Menge aller archimedischen

Bewertungen von IK, sei ferner II~ll := max ]el~ fiir aelK. Die flu sind dann alle aus v~Sco

IK. Ist auBerdem aelK, so liegen die P~u_(a) alle in IK, so dab 8*~IK gilt. Ist a ganz in 8

IK und wird ~e N so gewahlt, dab ~ ganz ist in IK fiir alle (#, v),/~ 4= v, so ist

t ! 6mtPk(a ) ganz in IK und damit wird 6 : = 8*(t ! ~mt)m-,,, ganz in IK und 4= 0. Daher ist 1fly> 11811-~, also

(tt jmt)- ¢(,,-,, 1)I18" I{ -" = [18 II -¢ < 18Iv = r o t m - m l =lS*lvlt!8 ]p • (13)

Um den Beweis des Satzes zu erbringen, hat man nun aus (13) far 18*lp eine obere und untere Abschatzung zu gewinnen.

6. Obere Absch~itzung f'tir [6"[~,

Wegen L~ = eaYk~'~P(e a~l, .... e "'~) gilt

ILol v = IN(e"=, , . . . , e~=s)]p.

Aus (12) finden wir

¢n t

6 * = E LoAo+ ~ Rko(a).Ae, (14) f f = l Q = m l + l

wobei die AQ die Minoren der ersten Spalte von 6" sind. Aus (14) ergibt sich zusammen mit (8) und (9)

]8*Iv =< max (]P(e"~l,..., C~)[J mr("- m'~'p3mtm]al"~ t jmt(,,- ml)),

also

IS*Iv < jm.m-m,)max (ip(e.~,, .... ea~)lp, p3~"t"lal"~' ) . (15)

7. Obere Abschiitzung yon ]]6"]]

Aus (12) gewinnt man

118" II < m !H ml/max IIPk.(a)ll) m-m~ . (16) k,# ]

Mit O : = max 1, max folgt aus der expliziten Formel fiir die Pk(z) nach ."a; [I/~.- (6) und (3)

([Pk,(a)ll < i max(l , liaII) 2t+,._l_~(RO)~t_~ ~=o z!

~ 2m+ t(20)mt exp (max(4~ 9Naj, ) ) . (17)

190 P. Bundschuh und R. WaUisser

8. Schlull des Bewe i se s

Verwendet man (15)-(17) in (13), so m u g gelten

(t !$m~)-,~,,-,,Om!- r H - . . ,

{~,, +, . . . . . , {max(i , llal{)~ - r("-"~) • ~z t z t ~ ) e x p , - ~-O })

< It !1~"-"')8"*" -"1) max ([P(e"% ..., ea~s)lp ,p3mtmlal'~t), (18)

N u n versucht man, a~ N so zu w~ihlen, dab [P(...)[p hier das M a x i m u m ist. Dann m u g gelten

p t [a[p. (19) [P(e"%... , e"=')lp > 3,, ,, ,,,

Setzt man o.B.d,A, a = p b als reine p-Potenz an, so ist wegen la[p=a -1 (19) erf'tillt, falls

a,,t > pZmt-(m , ), H,,, ~ ( 2,, + t( 2 0 )-t eXP ~ o ) rl" - " °

• $ " ( " - " ' ~ l t !l~'-'~(t !3"') "("- "~) (20)

ist. Eine weitere VerscNirfung yon (19) beinhaltet das Bestehen der Ungleichung

r a - - m 1

a t > p2tm'H'(40&~)mm-'~) t! exp (21)

Koppe l t man nun t mit a, indem man

setzt, so gilt (21) wegen

a 2a

loga - - loga

fiir a > e 2, falls die folgende Ungle ichung besteht

a > 2 logp + loga + r logm + r l o g H

+ ~ 2 ( m - ml) r log(4066) + r m-m rnl 3a. (23)

m ~ ... 1 - --,0 far N ~ o e , kann man N > k in N + s

Abhgngigkei t von k, s, r so w~ihlen, dab fiir N > No(k, s, r) gilt

3r m - m 1 < ± (24) m

p-adische Exponentialfunktion

Fix ier t m a n ein N > N o u n d w~ihlt a so, d a b

a > max(12 logp, 10, ( 4065) 1 z(,,-,,,)r, 6r logm)

= c l ( k , r , s , p , ~ 1 . . . . ,c~)

ist, so bes teht (23) sicher, falls zus~itzlich zu (25) noch

5a a > ~ - + r l o g H d.h. a > 6 r l o g H

gew~ihlt wird. Ist a lso schliel31ich

a > max(e 1, 6r l o g H ) ,

so gilt (19) u n d m a n f indet mi t (22)

I P ( e ' L . . . , e'~"gl > a - ,,,7 > e - 2ma

mit m = = re(k, r, s, ~1 . . . . , ~ ) .

D a m i t ist der Satz bewiesen.

191

(25)

Literatur

1. Mahler, K.: Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus, Teil I. J. Reine Angew, Math. 166, 118-136 (1932)

2. Mahler, K. : Ein Beweis der Transzendenz der P-adischen Exponentialfunktion. J. Reine Angew. Math. 149, 61-66 (1932)

Eingegangen am 23. Mai 1977