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Unterlagen

Brigitte Wessenberg

Kompetenzorientierte RDP

mit Technologie-Einsatz Unterlagen für den Nachmittag

5. – 7. November 2012

5.11.Nachmittag

13:30-14:00 -Allgemeines zu kompetenzorientiertem Unterricht -Info über die HUM-Unterrichts-Aufgabenpools

-Vorführung einer ko. Unterrichtsaufgabe zur Finanzmathematik

14:00-15:00 -Analyse einer Unterrichtsaufgabe zur Finanzmathematik in Zweiergruppen -Diskussion

15‘ Pause

15:15 -15:45 Erklärung der PBL-Lernstufen anhand von Tilgungsplänen

15:45 -17:30 -Erstellen von Arbeitsblättern 1. und 2. Lernstufe zu vorgegebener Zielaufgabe „Schuldtilgung“ -Diskussion

6.11. Nachmittag

13:00-13:30 -Matura 2015, Ablauf

-Info Kompensationsprüfung

-Info zu Aufgabenpool BIFIE; Aufgabenerstellung; Schularbeit

13:30-15:00 -Information über die Kriterien für die Erstellung von SRDP-Aufgaben

15‘ Pause

15:00 -16:30 -Analyse und Korrektur Schularbeitangabe 1. Klasse in Zweiergruppen

-Diskussion

7.11. Vormittagsteil und Nachmittag

11:15-12:00 -Mündliche RP, Aufgabenpool der Bundes-Arge

-Besprechung einer MP-Aufgabe

Mittagspause

13:00-14:15 -Mit Expertenpuzzle zu einer MP-Aufgabe in die Wahrscheinlichkeit

15‘ Pause

14:30 -16:00 -Erstellen von Arbeitsblättern zu MP-Aufgabe aus Wahrscheinlichkeit

-Diskussion

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I Kompetenzorientiertes Unterrichten

Kompetenzorientiertes Unterrichten soll bei den SchülerInnen fachbezogene wie auch soziale und

personale Kompetenzen fördern.

1. Fachliche Kompetenzen

Sie orientieren sich am Bildungsstandard mit Kompetenzmodell, die Handlung und Inhalt empfehlen.

Handlungsdimensionen: Modellieren & Transferieren, Interpretieren & Dokumentieren, Argumentieren &

Kommunizieren; Operieren und Technologieeinsatz

Inhalt: Zahlen + Maße, Algebra + Geometrie, Funktionale Zusammenhänge, Analysis, Stochastik

Ein Überblick über die für HUM wichtigen Aufgabenpools für die Arbeit im Unterricht

http://teaching.eduhi.at/Mam

2. Einige bekannte und bewährte Methoden

Genauere Beschreibung: http://teaching.schule.at/Mam/bundesarge/Methodik.pdf

Für den Mathematik-Unterricht ist zu beachten, dass im Allgemeinen bei den Studierenden nur wenige

Vorkenntnisse vorhanden sind und der Lehrstoff möglichst sofort FEHLERFREI vermittelt werden muss.

Daher empfiehlt es sich, dass neue Stoffgebiete in den meisten Fällen zuerst vom Lehrenden in einem

geschickt den Schüler einbindenden Prozess erklärt und im gesamten Plenum eingeübt werden. Oft können

erst dann zur Vertiefung, zum Begreifen und Erweiterung andere Methoden greifen.

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II. Unterrichtsaufgabe in Finanzmathematik

1. Trainingseinheit UA

Analyse einer Unterrichtsaufgabe in Zweiergruppe: Analysieren Sie die nachfolgende Aufgabenstellung nach den folgenden Kriterien:

Kriterien für die Aufgabenerstellung für den Unterricht: 1. Hat i.A. einen kleinen Themenumfang 2. Begreifbare Ausgangspunkte: Messungen durchführen, Erfahrungswelten ansprechen etc… 3. Praxisbezogen und theoretischer Hintergrund 4. Alle Handlungsdimensionen sollen vorkommen 5. Teilaufgaben müssen nicht unabhängig voneinander lösbar sein. 6. Arbeitsblätter für unterschiedliche Unterrichtsmethoden, Arbeitsaufträge für selbständiges Arbeiten 7. Einfache Sprache, Erklärung von Begriffen 8. Kommunikation, Präsentationen ermöglichen 9. Technologieeinsatz oder händisch rechnen, Vorgabe möglich

3 A,B,C,D Geldverleih

a) Erstellen Sie eine Funktion, die das Wachstum einer Schuld von € 10.000 bei 5% p.a. beschreibt! b) Entscheiden und argumentieren Sie, welcher der drei Graphen Abb.1, Abb.2 oder Abb.3 ein Wachstum

einer Schuld beschreibt und warum die anderen das nicht tun.

Abb.1 Abb.2 Abb.3

c) Ermitteln Sie, nach welchem Zeitraum sich die Schulden bei einer Verzinsung von 5% p.a. verdoppeln! d) Familie D. hat sich € 10.000 geliehen. Berechnen Sie auf welchen Betrag die Schulden nach 1,5 Jahren

angewachsen sind! e) Frau M bietet der Familie D. an, den Kredit von € 10.000 nach einem Jahr durch einen Betrag von €

13.000 zu begleichen bei 5% Zinsen p.a. Herr B verlangt für den Kredit von € 10.000 ein Jahr lang monatliche Raten von € 1.000 ebenfalls bei 5% p.a. Argumentieren Sie, ob Frau M. mit Ihrem Angebot für die Familie D. am günstiger ist als Herr B.

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2. Info zu PBL-Lernstufen an Tilgungsplänen

Beginn: Überlegen, was an Vorkenntnissen bereits vorhanden ist.

In diesem Beispiel ist Zinseszinsrechnung und Rentenrechnung bekannt.

Lernstufe 1: Neue Information vom Lehrer, didaktisch aufbereitet

Begriffe klären: Annuität, Tilgungsrate, Zinsen, Restschuld

Lehrziel: Tilgungsplan mit 2 Zeilen per Hand mit gegebener Annuität aufstellen

Lernstufe 2: Geführte einfache Übung im Plenum der Klasse

Lehrer zeigt vor und ist Coach,

Lehrziel: Tilgungsplan mit per TE mit zu berechnender Annuität aufstellen

Anleitung geben für die Verwendung der Technologie

zB Vorzeigen bei der folgenden Rechenaufgabe

Eine Schuld von S 100.000.- soll in 10 Jahren bei einem Zinssatz 5 % p.a. (Bearbeitungsgebühren sind im

Zinssatz berücksichtigt) zurückgezahlt werden. Erstellen Sie einen kompletten Tilgungsplan!

Zuerst mit Finance TVM-solver die Annuität berechnen

Dann wird mit STAT EDIt und 2nd Lists/Ops gerbeitet Folgen gibt man mit seq ein Lists / OPS/ 5 seq (Ausdruck, Variable, Anfangswert, Endwert [,Schrittweite]) ergibt eine Liste über die Berechnung des Ausdrucks mit x für die Variable x, von Beginn bis Ende, Schrittweite kann man auch eingeben)

Man definiert vier Listen über das Menü. Wenn man will, dass die Listen sich mit dem TVM-Solver verändern sollen, dann gibt man die Befehle unter Anführungsstrichen! Die Listen können im Rechner bleiben!

STAT > 1:Edit > INS > Name mit ins einfügen, Definition folgendermaßen:

die Laufzeit N muss aus dem Menü [FINANCE] > VARS > 1:N. eingegeben werden.

JR=“seq(X,X,1,N)“ … Ausdruck ist x, Variable = x, 1 ist Beginn, N ist Ende …Jahr

ZINS=“seq(∑Int(X,X),X,1,N)“ … Zinsanteil (Interest)

TILG=“seq(∑Prn(X,X),X,1,N)“ … Tilgungsanteil (Principal)

REST=“seq(- bal(X),X,1,N)“ … Restschuld (Balance) negativ, dass positive Werte kommen

Durch das negative Vorzeichen bei BAL erhalten wir positive Beträge.

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[STAT] > 1:Edit durch Scrollen sieht man den Tilgungsplan. In der Tabelle können nur 5 signifikante Stellen

ausgegeben werden, aber in der Anzeige in der unteren Zeile kann der exakte Wert erfragt werden, etwa

ZINS(5)=3 286,63.

Lösung mit Geogebra

Zuerst wird Barwert b, Zinssatz i und Aufzinsungsfaktor r im Algebrafenster eingegeben und

sind damit jeweils definiert. (Dieser Schritt muss nicht unbedingt sein, man kann auch direkt in der Tabelle allein arbeiten.)

Im zweiten Schritt definiert man in den Tabellen die Spalten Jr, An , Zi, Ti und Re

Die Tabelle mit den passenden Differenzen definieren und ziehen.

Spalte A JR: Jahre eingeben, Zeile für JR 0 freilassen, Spalte E 100 000 Schuld eingeben

In Zeile 3 die Formeln eingeben

Spalte B AN: Annuität, Formel eingeben, = b*r^10+(r-1)/(r^10-1) über die 10 Jahre ziehen,

1. Zeile frei lassen.

Spalte C ZI: = i* E2

Spalte D TI: = D3-B3 Spalte E RE: = E2-C3

alle drei gemeinsam ziehen.

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Arbeitsblätter zum selbstständigen Arbeiten: Lernstufen führen auf eine Zielaufgabe

Man überlegt sich vorweg, welche Aufgabe S allein zu Hause lösen soll und bereitet darauf mit anderen

Aufgabenstellungen in Lernschritten vor.

Zielaufgabe zB aus dem BIFIE Aufgabenpool entnehmen (teilweise oder ganz)

http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/index.php?action=14

Immobilienhandel

Das Kaufangebot für eine Immobilie wird mit einem Barwert von € 4.400.000 beziffert.

a.) Ein Kaufinteressent könnte die 1. Hälfte des Betrages sofort bezahlen, die 2. Hälfte aber erst nach einem Jahr. Argumentieren Sie ohne zu rechnen, welche Zusatzforderungen an den Käufer mindestens gestellt werden müssten, damit der Verkäufer mit einem Zahlungsaufschub der zweiten Hälfte einverstanden sein könnte. Beurteilen Sie, welche Gründe der Verkäufer haben könnte, wenn er trotz Erfüllung der Zusatzanforderungen diese Zahlungsvariante ausschlägt.

b.) Der Käufer muss zur Aufbringung des Kaufpreises für die Immobilie ein Darlehen von € 2.000.000 aufnehmen. Das Darlehen soll in 15 Jahren durch gleichbleibende nachschüssige jährliche Annuitäten bei einem Zinssatz von 5 % p.a. getilgt werden. (Dieser Zinssatz berücksichtigt auftretende Gebühren und Steuern.) Erstellen Sie den Tilgungsplan für die ersten zwei Jahre.

Zeitpunkt(Jahr) Annuität A

Zinsenanteil Z (5%)

Tilgungsanteil T

Restschuld R

0 € 2.000.000,00

1

2

Lernstufe 3: Arbeitsblatt für Einzelarbeit, 10 Minuten

a) Eine Schuld von 1 Mio. Euro soll in 20 Jahren mit gleichbleibenden nachschüssigen

Jahreszahlungen beglichen werden. Berechne, wie hoch die Jahresraten sind.

( 4,5% p.a., Gebühren sind im Zinssatz berücksichtigt)

b) Erkläre: Wie werden diese Jahresraten genannt?

Wie hängen sie mit den Tilgungsraten der Schuld zusammen?

Lernstufe 4: Arbeitsblatt für Zweiergruppe, 20 Minuten

a) Eine Schuld von 1 Mio Euro soll mit gleichbleibenden Jahresraten von 72 000 Euro nachschüssig

beglichen werden. 4,5 % p.a. (Gebühren sind im Zinssatz berücksichtigt)

Zeichne eine Zeitlinie mit den angegebenen Werten.

b) Erstelle einen kompletten Tilgungsplan

c) Interpretiere aus dem Tilgungsplan, wie oft die jährliche Rückzahlungsrate zur Gänze bezahlt werden

musste und wie groß die Restzahlung zum Zeitpunkt der letzten Rückzahlung ist.

Lernstufe 5: Präsentation und Besprechung der beiden Aufgaben im Plenum der Klasse ca. 20 Minuten.

Lernstufe 6: Aufgabe in Einzelarbeit daheim, die Zielaufgabe

6

3. Trainingseinheit PBL

Erstellen von 2 Arbeitsblättern zu vorgegebener Zielaufgabe „Schuldtilgung“

Lösung mit 2 Technologien für sich selber machen. Lösung kommt NICHT auf das Arbeitsblatt!

Jemand nimmt ein Darlehen von 62 000 € bei einer jährlichen Verzinsung von 5,2% auf. (Anfallende

Gebühren sind im Zinssatz berücksichtigt.)

Das Darlehen soll in 5 Jahren durch gleichbleibende nachschüssige Monatsraten getilgt werden.

a) Stellen Sie die Situation auf einer Zeitlinie grafisch dar.

b) Erstellen Sie die Gleichung, mit der man die Höhe der monatlichen Zahlungen berechnen kann.

c) Berechnen Sie die Monatsraten mit Technologieeinsatz und dokumentieren Sie die Eingabe.

d) Erstellen Sie den vollständigen Tilgungsplan in Jahresschritten

Zeitpunkt(Jahr) Annuität A

Zinsenanteil Z

Tilgungsanteil T= A-Z

Restschuld in €

0 62000 1 2 3

4

5

Lösung von c) und d) - nicht auf das Arbeitsblatt!

TI82stats

c) Wenn Tabellen wie vorher beschrieben vorbereitet sind, dann geht es sehr einfach:

Finance/TVM-solver/N=5*12, I = 100 *(1,052^(1/12)-1),PV negativ, damit PMT positiv weitergeht

PMT/ solve.

d) Bei Finance auf Jahre N = 5 umschalten und I = 5,2%, PMT/solve dann auf STAT/ EDIT und fertig.

Beachte: Mehr als 5 Ziffern nur mit Cursor ablesbar!

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III. Übungsklausuraufgaben und Schularbeit

1. Übungsklausuren in der BIFIE homepage: http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/index.php?action=14

Die standardisierte Reife- und Diplomprüfung (SRDP) in Angewandter Mathematik soll den Nachweis

erbringen, dass die Absolventinnen und Absolventen das erforderliche Maß an mathematischen

Kompetenzen für das der Schulart entsprechende Ausbildungsziel erreicht haben. Es werden daher

Prüfungsaufgaben erstellt, die in Teil A aus einheitlichen Aufgabenstellungen für alle BHS-Formen bestehen,

in Teil B aber zusätzlich auch den spezifischen Erfordernissen des jeweils angestrebten Berufsfeldes gerecht

werden.

WICHTIG: Es ist den Aufgaben-Erstellern nicht möglich, diese Aufgaben in der Feldtestung zu erproben.

daher wird gebeten, dass man Mängel, die auffallen, sofort an Martin Hofer m.hofer@bifie.at meldet,

damit Verbesserungen sofort vorgenommen werden können.

2. Kriterien für die Aufgabenerstellung sRDP und auch Schularbeit

1. Inhalt mit Deskriptoren (Kompetenzkatalog Teil A) abgleichen Kompetenzliste Anhang

2. BIFIE-FORMBLATT beachten (wie schreibt man was?) Anhang (für ganz Genaue!)

3. Eine Aufgabe (TASK) hat mindestens 3 und höchstens 4 Items

4. Parameter, Fachausdrücke, Symbole etc. werden erklärt und ggf. mit den entsprechenden Einheiten

angegeben. (Begriffe aus dem Begriffe-Katalog müssen nicht erklärt werden)

5. Items sind streng unabhängig:

6. Möglichst viele Ausprägungen der Handlungsdimensionen (HD) in einem Task unterbringen:

- Jede Ausprägung der HD höchsten 2-Mal!

7. KEINE überflüssigen Informationen:

- Text kurz und einfach halten.

- Keine Angaben (Zahlen), die nicht benötigt werden.

8. Arbeitsaufträge nicht mit „und“ verbinden sondern jeweils übersichtlich in eigene Zeilen geben und mit

Bulletpoint versehen. Keine Fragen stellen.

9. Arbeitsaufträge weitgehend mit Signalwörtern formulieren. Aber nicht verkrampft. Anhang

10. Rechenweg darf im Sinne von der Ausprägung der HD „Operieren/Technologieeinsatz“ nicht

eingefordert werden.

11. Punktevergabe dient bei der Erstellung zur Unterscheidung von Kompetenzen.

A-Items höchstens 2 Punkte

B-Items höchstens 4 Punkte! Jedem Punkt wird im LS eine Ausprägung der HD zugewiesen.

12. Es soll ein verbales Bewertungsraster geben. Derzeit noch nicht fixiert, in Erprobung.--> Anhang

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9

Punkte 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17

Note 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4

A 2 6 33%

C 7 11 64%

B 8 12 68%

D 2 4 50%

Genügend 19

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3. Trainingseinheit zur Schularbeit

Die Aufgabe:

Analyse nach Handlungsdimensionen, Lehrplankonformität ( 2 Themen sollten vorkommen),

Schwierigkeitsgrad, Zeitbedarf, Unabhängigkeit der Items, Verständliche Formulierung. Welche Items

sind keine sRDP-Aufgaben

1. JG: 2. Schularbeit, 2.Semester 1. Eine der folgenden Aussagen kann grafisch durch

nebenstehende Abbildung dargestellt werden.

Für den Druck eines Plakates werden in einer Druckerei pro Plakat 9 € verlangt. Zusätzlich werden 1,2 € pro Plakat für das Stecken der Druckplatte verrechnet.

Eine junge Frau möchte für ein Fest Namensanstecker bestellen. Die Kosten dafür betragen 1,2 € pro Anstecker und 9 € beträgt die Liefergebühr.

a. (2 P) Argumentiere, welche der beiden Aussagen mit der Graphik übereinstimmt? Begründe deine Wahl.

b. (1 P)Gib den Term jener Funktion an, die nicht durch deine Wahl erfasst worden ist.

c. (2 P) Interpretiere die Grafik, welcher Funktionswert sich für 10 STK ergibt und welcher welche Stückzahl auf einen Funktionswert von 20 € führt.

d. (1 P) Erkläre den Satz: "Der Definitionsbereich entspricht den positiven Werten" 2. (4 P) Gegeben ist die Funktion f(x) = k · x + d.

Kreuze die richtigen Aussagen an und begründe, warum sie wahr sind.

Je größer k, umso steiler verläuft die Gerade.

Die Steigung einer Geraden ist der Quotient von Höhenunterschied und waagrechter Entfernung zweier ihrer Punkte.

In der Gleichung einer linearen Funktion wird mit d der x–Achsenabschnitt bezeichnet. 3. Bei gleich bleibender Geschwindigkeit kann der zurückgelegte Weg mit der Formel:

Weg = Geschwindigkeit mal Zeit s = v . t berechnet werden. a. (3P) Erstelle ein Weg-Zeit-Diagramm für eine Geschwindigkeit von 75 km/h. (x-Achse: Zeit; y-

Achse: Weg). Erkläre, wie die Geschwindigkeit das Bild der Funktion beeinflusst. b. (1P) Interpretiere, wie sich der zurückgelegte Weg verändert, wenn die Geschwindigkeit sich

verdoppelt. c. (1P) Jemand möchte in derselben Zeit die dreifache Wegstrecke wie sonst zurücklegen. Erkläre, wie

er die neue Geschwindigkeit wählen muss. d. (2P) Frau Matis benötigt 50 Minuten für die tägliche Fahrt zur Arbeit, eine Distanz von 70 km. Sie

fährt eines Tages 5 Minuten später weg. Berechne, wie viel schneller als sonst sie fahren muss, wenn sie zur gleichen Zeit ankommen möchte wie sonst auch.

4. Gegeben sind die Funktion f(x) = -2x + 4 und die Funktion g(x) = 0,5 x + 1,5 a. (3P) Zeichne die gegebenen Funktionen in ein Koordinatensystem ein und lies beide Nullstellen

sowie den Schnittpunkt der Graphen ab. b. (2 P) Argumentiere, was man an g(x) ändern müsste, damit beide Funktionsgraphen keinen

Schnittpunkt haben. c. (1P) Erkläre, wie man den Schnittpunkt der Funktionsgraphen berechnen kann.

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5. Von einem Rechteck kennt man den Flächeninhalt von 48cm2.

a. (3 Punkte) Stelle die Breite des Rechtecks als Funktion der Länge dar und gib die Funktionsgleichung an.

b. (1 Punkte) Interpretiere, wie sich die Breite ändert, wenn die Länge variiert. c. (2 Punkte) Bestimme den Definitions- und den Wertebereich der Funktion.

Notenschlüssel:

29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4

Gemeinsame Kommentierung und gleichzeitige Korrektur vor Ort. Das Ergebnis der 1. Korrektur siehe nächste Seite

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Musterschularbeit, 2. Schularbeit, 2.Semester 1. JG 1. Gegeben sind die beiden Gleichungen 1) … y = –2x + 4 und 2) … x – 2y = 3

a. Löse das Gleichungssystem. Dokumentiere den Lösungsweg, den du gewählt hast.

b. Erkläre, wie man die 2. Gleichung ändern müsste, damit das System keine Lösung hat.

2P 1xB 1xC 1P 1xD

2. Martina bestellt Burger und Pommes. a. 1 Burger und 3 Portionen Pommes kosten € 6,00. 3 Burger und 2 Portionen Pommes

kosten € 6,80. Berechne wie viel eine Portion Pommes kostet.

b. Argumentiere, warum die Aufgabe mit folgender Angabe nicht eindeutig lösbar ist: 1 Burger und 3 Portionen Pommes kosten € 6,00. 2 Burger und 6 Portionen Pommes kosten € 12,00.

2P 1xA 1xB 2P 1xA 1xD

6. Eine der folgenden Aussagen kann durch die Funktionsgleichung f(x) = 1,2x + 9

näherungsweise dargestellt werden. x… Menge in Stück (STK) f(x) … Geldbetrag in Euro (€) bei x STK

1. Aussage: Für den Druck eines einzelnen Plakats werden in einer Druckerei 9 € verlangt. Zusätzlich werden 1,2 € pro Plakat für die Einrichtung der Druckvorrichtung verrechnet.

2. Aussage: Eine junge Frau möchte für ein Fest Namensanstecker besorgen. Die Kosten dafür betragen 1,2 € pro Anstecker und 9 € beträgt die Liefergebühr.

e. Gib an, welche der beiden Aussagen mit der gegebenen Funktion beschrieben werden kann. Begründe deine Wahl.

f. Berechne, welcher Funktionswert sich für 10 STK ergibt. g. Erkläre, warum der Definitionsbereich der gegebenen Funktion die Menge der ganzen

Zahlen größer null ist.

3P 2xA 1xD 1P 1xB 1P 1xD

7. Gegeben ist die Funktion f(x) = k · x + d, wobei k > 0 und d < 0 sei soll. a. Skizziere einen beliebigen Funktionsgraphen, für den diese Bedingung zutrifft. b. Berechne den Parameter k, wenn der Punkt (1,2) auf dem Graphen der Funktion mit d = -1 liegt.

1xC 2P 1xB 1P 1xB

8. Bei gleich bleibender Geschwindigkeit kann der zurückgelegte Weg mit der Formel: Weg = Geschwindigkeit mal Zeit s(t) = v . t berechnet werden. a. s(t) ist eine lineare Funktion. Lies den Anstieg k und den Ordinatenabschnitt d ab. b. Erstelle ein Weg-Zeit-Diagramm für eine Geschwindigkeit von 75 km/h.

(x-Achse: Zeit; y-Achse: Weg). c. Interpretiere, wie sich der zurückgelegte Weg verändert, wenn die Geschwindigkeit

sich verdoppelt. d. Frau Matis benötigt 50 Minuten für die tägliche Fahrt zur Arbeit, eine Distanz von 70

km. Sie fährt eines Tages 5 Minuten später weg. Berechne, wie viel schneller als sonst sie fahren muss, wenn sie zur gleichen Zeit ankommen möchte wie sonst auch.

2P 2xC 2P 1xA 1xB 1P 1xC 2P 1xA 1xB

Notenschlüssel:

22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

A 6 B 7 C 5 D 4

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Analyse einer sRDP-Aufgabe

Analysieren Sie den folgenden sRDP-Aufgaben-Entwurf genau nach Checkliste,

Rechnen Sie mittels TE die Aufgabe nach.

Der Intelligenzquotient (IQ) ist eine Kenngröße zur Bewertung des allgemeinen intellektuellen Leistungsvermögens (Intelligenz) eines Menschen. a) Bei einem IQ-Test erreichte eine Gruppe von 31 Schüler/inne/n folgende Werte:

IQ 80 85 90 95 100 105 110 115

Häufigkeit 1. GR 6 5 9 7 4

Häufigkeit 2. Gr. 1 3 6 7 10 3 1

Berechnen Sie den Median in beiden Gruppen. Ermitteln und interpretieren Sie die Streuungsmaße „Spannweite“ und „Standardabweichung“ (n-gewichtet) der beiden Stichproben. b) Eine Gruppe von 10 Schüler/inne/n machte einen Intelligenztest und füllte einen Fragebogen aus, der Aufschluss über das Selbstbewusstsein gibt. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

Geben Sie die Gleichung der Regressionsgeraden an.

Ermitteln Sie den Korrelationskoeffizienten r.

Stellen Sie die „Punktwolke“ und die Regressionsgerade grafisch dar.

c) Untersuchungen haben gezeigt, dass zwischen dem Intelligenzquotienten und den Schulnoten eine

Korrelation r von durchschnittlich 0,7 besteht.

Interpretieren Sie diesen Korrelationskoeffizienten.

Lösung mit TE

TI82stats: a) STAT/EDIT L1, L2 und L3 ausfüllen.

Stat/Calc/ 1-VarStats/L1,L2

Geogebra a) Zahlen in die Tabelle eingeben. Mit Erzeuge Liste die 3 Listen im Algebrafenster erzeugen Befehle: med1= Median[Liste1,Liste2] ..gleich med2 STABW1=Standardabweichung[Liste1, Liste2]… gleich STABW2 Spannweite aus Tabelle bestimmen

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85

STAT/CALC/1-var_stats L1,L3

Med1=100, STABW1=6,47, SPW1=20 Med2= 95, StABW2=7,20 , SPW2=35 b) Eingabe in STAT/EDIT/ L4,L5 STAT/CALC L4,L5 4linRegress

Für die Zeichnung: SAT Plot / enter/ Punkte/ L4, L5 ergibt die Listen punkte Y1= Vars 5 / statistic/ 1 EQ reg / enter Ergibt die Gerade

b) Zahlen in die Tabelle eingeben Liste von Punkten erzeugen Trendlinie[Liste1]

ODER:

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Window einrichten:

c) Korrelationskoeffizienten, die größer als 0,7 sind, sprechen für eine gute Korrelation. Die Schulnoten hängen daher mit dem Intelligenzquotienten gut zusammen, je höher der IQ, desto bessere Noten sind i. A. zu erwarten. Allerdings spielen bei den Noten noch andere Faktoren mit, daher ist die Korrelation nicht noch näher bei 1.

Perspektive Tabelle und Grafik/ Statistische Auswertung/2 Variablen/ Regression linear wählen:

c) wie links

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IV. U-Aufgabe mit Blick auf die sRDP in Statistik Frontales Entwickeln: Lehrer – Schüler – Austausch

Überlegen Sie bitte realistisch, wie Sie eine Unterrichtssequenz über die Einführung von Statistik

kompetenzorientiert gestalten.

1. Frage: Welche Vorkenntnisse sind vorhanden?

zB…Nur Alltagswissen, darauf aufbauen

2. Frage: Welche Mittel sind realistischerweise verfügbar?

Tafel, Papier, Flipchart, 1 PC mit Internet und Beamer oder Whiteboard

3. Frage: Welche Situation liefert einen brauchbaren Einstieg in die Statistik?

z.B. Seiten der Diplomarbeit der S. einer Klasse

Statistik und Regression als Unterrichtssequenz (halbfrontal mit TI82stats) Sie unterrichten eine Klasse mit 32 SchülerInnen. Sie rufen einen S. zum VorführPC oder Whiteboard. und geben die folgende Aufgabe.

Aufgabe S. soll auf dem PC-Rechner in STAT/EDIT L1 aufschreiben, wie viele Seiten die Diplomarbeit der einzelnen S. hat: Die Seiten werden von den S. angegeben: 19 20 21 19 21 24 25 21 24 22 23 19 23 20 20 22 23 21 23 22 22 23 24 20 21 22 22 22 25 23 23 22

F1: Was kann man diesen Daten machen? Erwartete Antwort A im Gespräch mit der Klasse: sortieren, abzählen, wie viele Arbeiten mit gleicher Seitenzahl (L: Häufigkeit erklären), grafisch darstellen (L: Möglichkeiten erklären: Unterschied zwischen Stab-, Säulen-, Balkendiagramm und Histogramm klar machen) F2: Wie kann man die Daten sortieren? S findet das allein heraus: A: Stat /SortA/L1 … S führt das vor F3: Wie wird eine Tabelle mit absoluten Häufigkeiten erstellt? L. erklärt: Die Listenwerte-Definitionen macht man, indem man den Cursor ganz nach oben zum Listennamen bringt und enter klickt. seq …2nd/List/Ops 5 sum…2nd/List/Math 5 Liste L2: = seq(x,x, kleinster Wert, größter Wert) liefert die Einzelwerte aller Daten Liste L3: = seq (sum (L1=I),I,kleinster Wert, größter Wert) liefert zu L2 die absolute Häufigkeitsliste. Schüler führt das nach Diktat und mit Hilfe durch den L aus:

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F3: wie kann man das grafisch darstellen? A: Histogramm L. hilft: 2nd stat Plot/ Enter/on/enter Typ Histogramm/enter/Liste L2/ enter Frequenz;L3 enter/ Quit/ Window einstellen: Zoom stat Tipp: in y sollen die Funktionen deaktiviert sein (mit Cursor auf = und enter). Mit Trace kann man am Bild entlanggehen und bekommt die Häufigkeiten angezeigt. Schüler führt das aus:

Lösung mit Geogebra: Unterrichtssequenz läuft gleich wie vorher ab

In Algebra kann man die Listen eingeben und sie umbenennenz.B. Liste1 url usw. Eingabebefehle: Url: Urliste, Eingabe aller Daten (geht am besten über eine Tabelle) Häufigk: Häufigkeit [url] klassen: Klassen[url, Anfangswert 18, Klassenbreite 1] damit man zu jeder Häufigkeit eine Klasse mit Anfangs –und Endwert hat. Klassen daher um 1 mehr als Häufigkeitswerte! Die Klasse zählt bei diesem Befehl > 18 incl. 19! > 19 incl 20! Usw. Die Grafik wird erstellt mit Befehl:

Histogramm[Klassenliste, Häufigkeitsliste]

Man kann sich noch die Häufigkeitstabelle zur Grafik ausgeben lassen.

Häufigkeitstabelle [url]

Stabdiagramm gibt es nicht, „Balkendiagramm“ steht neben dem Histogramm höchstens zur Auswahl. Es hat den Vorteil, dass man die Balken eng machen kann, was in diesem Fall besser wäre! Diskrete

Merkmale.

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V. Trainingseinheit Unterrichtssequenz

Erstellen Sie in Stichworten eine geordnete Überlegung zu einer Unterrichtssequenz, die die S. befähigen

die folgende Übungs-Klausuraufgabe zu bewältigen.

Ölabfüllung

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Lösung mit TE

TI82stats a) Werte in STAT/ Edit , L1 eingeben STAT/CALC/1-Var-STATS

Nochmals mit einem höheren Maximum: ZB 310 Kopieren der Spalte: Cursor auf L2 / Enter = L1 eingeben 304 durch 310 ersetzen

Vergleich auch grafisch mit BOXPLOTS Eingabe STAT PLOT 1 und STATplot 2mit L2 on/Boxplot/L1/1 1. Plot ist ganz oben, weitere folgen unten!

Geogebra: a) Werte in Tabelle eingeben Perspektive: Grafik, Tabelle wählen Die Werte in Spalte markieren Analyse 1 Variable Mit max 304

Die 1. Spalte nach B kopieren, 304 z.B. durch Max 310 ändern. Analyse mit mehreren Datensätzen wählen

Der hohe Wert von 310 wird als Ausreißer interpretiert. Median, Q1, Q3 und min bleiben gleich. Mittelwert und Standardabweichungen verändern sich. Boxplot veranschaulicht das gut (ist aber in dieser Aufgabe nicht verlangt!)

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ZOOM 9 = Zoom Stat wählen, um die Bilder betrachten zu können.

b) Boxplot aus Kenndaten erstellen TI 82stats Punkte mit L3={295,296,298,298,298,301,304} Trick: 3x den Median eingeben, dann bestimmt TI die Quartile Q1 und Q3 richtig! und man kann den Boxplot mit diesen Werten zeichnen lassen. Mit trace kann man die Werte erfahren.

Geogebra Befehl im Algebrafenster: boxplot(0.5,0.1,295,296,298,301,304) Die ersten beiden Zahlen: der y-Abstand von der x-Achse. y-Skalierung. Bei Einstellungen Min und Max festlegen für x und y.

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VI. Die Mündliche RP

Website: http://epmp.bmbwk.gv.at/ Passwort bei ARGE-Leiter zu erhalten

1. Der Ablauf der Prüfung Die mündliche Prüfungsaufgabe ist laut Vorschlag des BMUKK Sache des Lehrerkollegiums am jeweiligen

Schulstandort. Das Problem dabei ist, dass es sehr viele Aufgaben je Prüfung benötigt, damit die

Kandidaten alle gleiche Bedingungen vorfinden. Aus diesem Grund bietet die Bundes-ARGE für AM der

HUM einen von Lehrern erstellten passwortgeschützten Aufgabenpool an, aus dem sich die Lehrer für die

Mündliche Prüfung beliebig bedienen können. Sie suchen sich dann dort Aufgaben aus, die zu ihrem

Unterricht passen und ändern auch uU daran noch etwas. Ein Vorschlag für eine Bewertung ist inkludiert.

Nach Vorschlag der Bundes-ARGE werden 6 Themenkreise mit Aufgabenstellungen bestückt:

1) Gleichungen, (Matrizen), Gleichungs- und Ungleichungssysteme

2) Potenz-, Polynom- und Winkelfunktionen

3) Wachstum und Zerfall

4) Zinseszins- und Rentenrechnung, Sparen, Kredite und Schuldtilgung

5) Preis- und Kostentheorie

6) Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Termin für die gemeinsame Durchsicht und Korrektur der Aufgaben: 28.2. und 1.3. in Krems.

Der Kandidat zieht blind 2 Themenkreise

Einen kann er ablehnen.

Aus dem gewählten ordnet ihm der Prüfer eine Aufgabe zu.

2. Analysekriterien einer MP Kriterien für die Aufgabenerstellung mündlich:

1. Muss zum Themenbereich passen, nicht wechseln!

2. Praxisbezogen und theoretischer Hintergrund

3. Alle Handlungsdimensionen sollen vorkommen

4. 4 Unteraufgaben (nicht schwierig), die gut kommunizierbar sind

5. Teilaufgaben sollen unabhängig voneinander lösbar sein.

6. Lösungsblatt mit Bewertungsraster dabei (Vorschlag der Bundes-ARGE übernehmen oder ein eigenes

erzeugen!)

7. Einfache Sprache, Erklärung von Begriffen.

Besprechung auf Grund dieser Kriterien der Aufgabe „Maturareise“ aus dem Aufgabenpool

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4. Aufgabenerstellung: Analyse der noch nicht korrigierten Aufgabe Maturareise Ein Maturareise-Veranstalter muss erfahrungsgemäß werden etwa 5 % der Buchungen kurzfristig stornieren. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von drei Maturantinnen, die bei diesem Veranstalter gebucht

haben, genau eine kurzfristig storniert! Demonstrieren Sie Ihre Berechnung anhand eines Baumdiagramms!

b) Der Veranstalter nimmt genau 1 000 Buchungen an.

Stellen Sie eine Formel auf, mit der man die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, dass 960 oder 961 Betten tatsächlich belegt sein werden!

c) Man kann davon näherungsweise ausgehen, dass bei diesem Veranstalter die Zufallsvariable

𝑋 = „Anzahl der tatsächlich belegten Betten“ normalverteilt ist mit dem Erwartungswert 𝜇 = 950 und der Standardabweichung 𝜎 = 6,892. Ermitteln Sie, wie viele Betten mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit tatsächlich belegt sein werden! Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise anhand einer Skizze der Gauß’schen Glockenkurve!

d) Interpretieren Sie, welche Sachverhalte über die Buchungen bei diesem Veranstalter durch die folgenden

beiden Grafiken dargestellt sind:

Abb1

Abb.2

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Lösungserwartung:

a)

𝑃(𝑋 = 1) = 3 ⋅ 0,952 ⋅ 0,05 ≈ 𝟏𝟑, 𝟓𝟒 %

b) 𝑃(960 ≤ 𝑋 ≤ 961) = (1 000960

) ⋅ 0,95960 ⋅ 0,0540 + (1 000961

) ⋅ 0,95961 ⋅ 0,0539

c)

mit Einsatz von Geogebra

TI82stats

Es soll 𝑃(𝑋 ≥ 𝑘) = 0,95 gelten.

Entweder mit solver (universal): Math/Solver/ 0= normcdf(x, EE99, 950, 6.892)–0.95 enter/x = 100 / solve

x = 938,6636…

oder:

Distr/INVnorm(0.05, 950, 6.892)= 938,6636

Aus dem Kontext ist ersichtlich, dass abgerundet werden muss, daher:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % sind mindesten 938 Betten belegt

d) (Abb.1)

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 965 Betten tatsächlich belegt sein werden, beträgt 1,4 %.

(Abb.2)

Die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 945 und 960 Betten tatsächlich belegt sein werden, beträgt 69,46 %.

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5. Überlegung zur Beurteilung mündlich:

Bewertungsschlüssel Insgesamt Erreichte Punkte

1. Fachliche Qualität Gesamtpunkte aus den 4 Unteraufgaben: ri ............ kein Fehler i.W.ri ...... im Wesentlichen richtig: z. B. Rechenfehler, Rechengang richtig tw.ri ....... teilweise richtig: es kommen richtige (kreativ interessante) Anteile vor, die

anrechenbar sind, aber die Aufgabe ist nicht richtig gelöst. f ............ es gibt keine anrechenbaren richtigen Anteile (Das Item ist nicht gelöst oder ist

überwiegend falsch)

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2. Qualität der Gliederung: Folgerichtiger Aufbau, Wesentliches erkennen, Zusammenhänge erkennen

1

3. Qualität der Darlegung: Fachsprache einsetzen, sich verständlich ausdrücken können

1

4. Qualität der Kommunikation: Auf Fragen eingehen, Hilfen aufgreifen können

1

5. Werkzeugkompetenz: Ad hoc diverse Technologie zur Darstellung von Sachverhalten, die sich aus der Prüfungssituation ergeben, einsetzen können

1

Summe 16

Punkte zusammenzählen, in Prozent:

100%–90% Sehr gut 16,15 unter 90%–80% Gut 14,13

unter 80%–65% Befriedigend 12,11 unter 65%–50% Genügend 10,9,8

unter 50% Nicht genügend < 8

ri i.W.ri tw.ri f

3 2 1 0

VII. Verkürztes Expertenpuzzle im Unterricht führt auf eine RP

1. Wie geht man vor?

Man bildet am besten je 2 Zweiergruppen, die ganz leicht eine Vierergruppe bilden können

(z.B. zwei Bankreihen hintereinander durch Umdrehen.)

Beide Gruppen bekommen unterschiedliche Arbeitsblätter mit Lerneinheiten! zur Bearbeitung.

Die Blätter bilden Puzzles einer Gesamtheit und ergänzen sich.

Hö. 15 Minuten Arbeitszeit für die Zweiergruppe. Beide Gruppen studieren das Blatt und

fertigen gemeinsam eine Visualisierung des Inhalts an. EXPERTE.

Zusammenschluss mit der 2. Zweiergruppe. Beide Gruppen erklären einander das jeweils eigene

Arbeitsblatt.

Abschluss: einen gemeinsamen Arbeitsauftrag in der ganzen Klasse,

Puzzle zusammenschließen: Aufgabe zur Vertiefung.

Es lässt sich das in Mathematik sehr gut an einer kompetenzorientierten Unterrichtsaufgabe machen, die zu einer Klausuraufgabe oder einer MP führt.

Ein Beispiel: Vorhandenes Vorwissen

S. kennt die statistischen Größen

S weiß die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

S kennt die Binomialverteilung

S kennt die Normalverteilung

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2. Zielaufgabe wählen

Schüler üben an den Aufgaben des Expertenpuzzles die Thematik ein und sollen dann die folgende Aufgabe allein lösen können. (z.B. als Hausübung)

Baustoff1

Ein Baustoff wird automatisch abgefüllt. Die Füllmasse ist normalverteilt mit dem Erwartungswert

µ = 49,50 kg und der Standardabweichung σ = 0,2 kg. Vorgeschrieben ist ein Toleranzbereich von 49,2 kg bis

50,8 kg.

a) Erklären Sie die Bedeutung der Parameter µ und σ einer Normalverteilung.

b) Berechnen Sie die Prozent an Baustoff-Füllmenge, die nicht im oben angegebenen Toleranzbereich

liegen.

c) Berechnen Sie, wo die untere Grenze a und die obere Grenze b liegen, wenn sich höchstens 2%

außerhalb des symmetrisch um den Mittelwert befindlichen Toleranzbereichs befinden sollen.

d) In den folgenden Abbildungen sind 2 verschiedene Toleranzbereiche bei µ = 49,5 kg für die

Baustoffabfüllung farbig angedeutet.

-Vergleichen Sie die Graphen hinsichtlich ihrer Toleranzgrenzen und erklären Sie, was die schraffierte

Fläche bedeutet.

-Schätzen Sie aus der Zeichnung und mit Hilfe der Standardabweichung ungefähr den prozentuellen

Anteil jener Baustoffmenge ab, der laut Abbildung 1 innerhalb der Toleranzgrenzen abgefüllt wird.

Abb.1

Abb.2

1 Veränderte Aufgabe nach Timischl-Kaiser, Ingenieurmathematik 4, Dorner Verlag, Wien 2003, S. 60

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1. Arbeitsblatt an eine Zweiergruppe: Graphik und Berechnung

Messwerte sind normalverteilt mit µ = 50 und σ = 5

Beschrifte die Grafiken, schraffiere die jeweiligen Lösungen und berechne mittels Technologie, wie groß die

Wahrscheinlichkeit ist, dass

a) höchstens 60 b) mindestens 42 c) zwischen 47 und 53 liegt

d) mit 2σ von µ abweicht.

a)

b)

c)

d)

Lösung mit Geogebra

Perspektiven: Tabellen und Grafik. Auf Grafik klicken dort Wahrscheinlichkeitsrechner, normal, und die

Felder ausfüllen.

Geogebra liefert die Berechnung und Grafik zusammen.

a)

b)

c) d)

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Lösung mit TI82stats

Liefert ebenfalls die Grafik mit Berechnung. Problem: Einstellung von Window:

Tipp X-Bereich: Mittelwert - 4mal σ unten und oben Mittelwert + 4 mal σ

also x min = 30, x max 90

bei y etwas negativ lassen, dass der Graph nicht überschrieben wird und y max sehr klein (0,1)

2nd / Distr/ /draw/ shadenorm(0,60,50,5)

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2. Arbeitsblatt

Messwerte sind normalverteilt µ = 50 und mit σ = 5.

a) Berechne, wo die Grenzen a und b liegen, wenn höchstens 2% außerhalb des Toleranzbereichs liegen.

b) Skizziere den in a) bestimmten Toleranzbereich mit Hilfe einer Normalverteilungs-Dichtefunktion.

Lösung mit Geogebra

a) Bietet bei CAS keinen guten Gleichungssolver …

Lösung im Algebrafenster mit

P(X≤a) = 0,01

a = InversNormal(µ,σ,0.01) = 38,37

b) Perspektive Tabelle Grafik

auf Histogramm klicken, dort Wahrscheinlichkeitsrechner

wählen

Daten eingeben.

Lösung mit TI 82 stats

a) P(X≤a) = 0,01

Solver: 2nd/Distr/normcdf(0,a,50,5)-0.01/Enter/x = 50 / solve

Untere Grenze a= 38,37

Obere Grenze: 50 + 50 – 38,37 = 61,63

Oder man berechnet den nächsten Schritt in der Gleichung und gibt ein:

2nd/ DISTR/ 3 INV Norm(0.01, 50,5) und erhält a. (Reihenfolge in der Klammer umgekehrt wie Geogebra!)

b) Toleranzbereich