Unternehmensinteraktion (20119) - Übung 9 Hotellings Modell · Unternehmensinteraktion (20119) Ubung 9 { Hotellings Modell Matthias Held Welle I: 22. Januar, Welle II: 29. Januar

Unternehmensinteraktion (20119)Ubung 9 – Hotellings Modell

Matthias Held

Welle I: 22. Januar, Welle II: 29. Januar

Robert und Karl eroffnen entlang Monacos Kustenstraße je einenStore, um Ihre Shirts naher am Kunden anzubieten. Entlang die-ser Straße der Lange L = 100 wohnen die Kunden dicht besetztund gleichverteilt. Roberts Roberto Geissini Flaghsip Store befin-det sich lR = 20 Einheiten vom westlichen Ortsausgang (Ende derKustenstraße) entfernt, der KARL LAGERFELD Store liegt lK = 30Einheiten vom ostlichen Ende der Straße entfernt. Jeder Kunde ent-lang der Straße wird genau ein Shirt kaufen. Bei der jeweiligen Kauf-entscheidung fliessen der Kaufpreis und die Transporkosten ein. DieTransportkosten von Kunde x hangen linear von der zuruckgelegtenStrecke zwischen x und dem Handlerstandort ab, den Transportkos-tensatz schatzen Sie zu t = 0.10. Pro Shirt entstehen sowohl Robertals auch Karl Kosten von k = 5.

Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 2

Standortwahl / Produktdifferenzierung

• Siehe Hotelling (1929)

• Standortwahl: Suche den optimalen Standort in Abhangigkeitvom Standort der Konkurrenz und Verteilung der Kunden,Kunde x hat neben dem Preis p noch Transportkosten zumProduzenten in Hohe von t|x − l |

• Produktdifferenzierung: L ist Verteilung desKundengeschmacks, Kunde x erfahrt neben dem Preis p nochDisnutzen durch Abweichung von seinerZielproduktcharacteristik x in Hohe von t|x − l |


Identifizierung des indifferenten Kunden

• Kunde x kann genau eine Einheit des Gutes bei Robert oderKarl kaufen

• Kauft er bei Anbieter i entstehen ihm dadurch Kosten

pi + t|x − li |

• Der Kunde wird bei dem Anbieter kaufen, der ihm diegeringsten Gesamtkosten verursacht

• Robert kann somit auf zwei Wege Kunden auf sich ziehen:• In Stufe 2: Durch die Verringerung des Preises• In Stufe 1: Durch Vergoßerung seines Einzugsbereiches

(Standortwahl)



• Wenn wir davon ausgehen, dass der indifferente Kunde xirgendwo zwischen Robert und Karl liegt, lR < x < (L− lK ),dann muss fur diesen gelten:

pR︸︷︷︸Preis

+ t(x − lR)︸︷︷︸Transportkosten︸︷︷︸

wenn Kauf bei Robert

= pK︸︷︷︸Preis

+ t((L− lK )− x)︸︷︷︸Transportkosten︸︷︷︸

wenn Kauf bei Karl

• Umstellen nach x liefert den indifferenten Kunden:

x =L− lK + lR

2︸︷︷︸Mitte der Standorte

+pK − pR

2t︸︷︷︸Verschiebung durch Preis



x =L− lK + lR

2︸︷︷︸Mitte der Standorte

+pK − pR

2t︸︷︷︸Verschiebung durch Preis

• pK − pR > 0: mehr Kunden aus der Mitte zu Robert

• Bei steigenden Transportkosten t hat die Preisdifferenz einenfallenden Einfluss auf die Position des indifferenten Kunden:Fur t →∞ liegt x genau zwischen Robert und Karl





x =L− lK + lR

2+

pK − pR2t

= 45 + 5(pK − pR)

• pR = 10 e, pK = 10 e:

→ x = 45

→ πR = x(pR − k) = 45× 5 e = 225 e

→ πK = (L− x)(pK − k) = 55× 5 e = 275 e

• pR = 10 e, pK = 16 e: ACHTUNG

→ x = L

→ πR = x(pR − k) = 100× 5 e = 500 e

→ πK = (L− x)(pK − k) = 0× 11 e = 0 e



x =L− lK + lR

2+

pK − pR2t

= 45 + 5(pK − pR)

• pR = 12 e, pK = 10 e:

→ x = 35

→ πR = x(pR − k) = 35× 7 e = 245 e

→ πK = (L− x)(pK − k) = 65× 5 e = 325 e

• pR = 12 e, pK = 16 e:

→ x = 65

→ πR = x(pR − k) = 65× 7 e = 455 e

→ πK = (L− x)(pK − k) = 35× 11 e = 385 e


Preiswahl und Profit

• Wahlt Robert einen hinreichend kleinen Preis, wird er dengesamten Markt abdecken, x = L

• Grenzfall I: Robert bearbeitet den gesamten Markt bis zu KarlsStandort,x = L− lR , Karl bearbeitet nur sein Hinterland lK

• ’Normaler’ Markt: Robert bearbeitet sein Hinterland und einTeil der Distanz zwischen den beiden Anbietern, siehe oben

• Grenzfall II: Robert bearbeitet nur sein Hinterland, x = lR ,Karl bearbeitet den restlichen Markt, L− lR

• Wahlt Robert einen zu großen Preis, wird er nichts am Marktabsetzen


Preiswahl und Absatz



5 ≤ pR ≤ 15 : x =L− lK + lR

2+

pK − pR2t

= 95− 5pR

qR = x =

100 wenn pR < 5

95− 5pR wenn 5 ≤ pR ≤ 150 wenn pR > 15




Preiswahl und Profit


Preiswettbewerb

• Befinden sich beide Wettbewerber an der gleichen Stelle,lR = L− lK , dann. . .

• . . . setzt ein brutaler Preiswettbewerb ein• . . . Wettbewerb halt an bis Preis=Grenzkosten

(Gleichgewicht?)• . . . Anbieter teilen sich die Nachfragen je zur Halfte

• Sind die Anbieter hinreichend raumlich voneinander getrennt,lR < L− lK , dann. . .

• . . . konnen beide die Preise anheben und Profite einfahren• . . . kann beim Grenzpreis nur noch das Hinterland bearbeitet

werden• . . . gibt es ein Preisgleichgewicht das beiden Profite ermoglicht


Preiswettbewerb

• Gegeben der Standorte lR und lK sowie Karls Preiswahl pK istRoberts Profit

πR = qR(pR − k) = x(pR , pK , lR , lK )(pR − k)

=

(L− lK + lR

2+

pK − pR2t

)(pR − k)

• Robert maximiert seinen Profit: (FOC und Losung)

0!

=∂πR∂pR

=L− lK + lR

2+

pK − 2pR + k

2t

⇒ p∗R(pK ) =pK + k

2+

t(L− lK + lR)

2= 7 + 0.5pK


Preiswettbewerb

• Karls Reaktionsfunktion ist analog dazu:

p∗K (pR) =pR + k

2+

t(L− lR + lK )

2= 8 + 0.5pR

• Beachten Sie die Symmetrie: Aus Karls Sicht ist Robert derKarl ©


Preiswettbewerb


Preiswettbewerb• Einsetzen der Reaktionsfunktionen liefert

pR = p∗R(p∗K (pR)) =

(pR+k

2 + t(L−lR+lK )2

)+ k

2+

t(L− lK + lR)

2

⇒ p∗R = k +t(3L− lK + lR)

3= 14.66 e

⇒ p∗K = k +t(3L− lR + lK )

3= 15.33 e

• Im Gleichgewicht gilt:

q∗R = x = 45 + 5(15.33− 14.66) = 48.33

π∗R = qR ∗ (pR − k) = 48.33(14.66− 5) = 467.22 e

π∗K = (L− q∗R)(pK − k) = 51.67(15.33− 5) = 533.88 e


Exkursion: Der Umhullendensatz

• Sei x∗(a) die stetige Losung des stetigen Problems

maxx

f (x , a)

• Sei M(a) = f (x∗(a), a) die Maximalwertfunktion, dann gilt:

∂M(a)

∂a=∂f (x , a)

∂a

∣∣∣∣x=x∗(a)

• Andert man a, so hat dies keinen indirekten Einfluss auf dasOptimum, d.h. kein Einfluss via ∂f

∂x∗∂x∗

∂a


Exkursion: Der Umhullendensatz

• Beweis:

∂M(a)

∂a=∂f (x , a)

∂a

∣∣∣∣x=x∗(a)

=∂f (x , a)

∂x

∣∣∣∣x=x∗(a)︸︷︷︸

=0

∂x∗(a)

∂a+∂f (x , a)

∂a

∣∣∣∣x=x∗(a)

=∂f (x , a)

∂a

∣∣∣∣x=x∗(a)

• An der Stelle x = x∗(a) besitzt f (x , a) gerade ein Maximum,somit ist die Ableitung der Funktion hier Null


Standortwechsel

• Wie verandert sich Roberts Profit, wenn er seinen Standort lRum eine kleine Einheit in Richtung Karl verandert?

• Roberts Profit (funktional)

πR = (p∗R(lR)− k) qR (p∗R(lR), p∗K (lR), lR)

• Wir konnen hier den Umhullendensatz anwenden: RobertsReaktion p∗R ist gerade die optimale Antwort, die seinen ProfitπR maximiert!

• Dies gilt naturlich nicht fur p∗K (lR), dies ist Karls optimaleWahl, die πK maximiert


Standortwechsel• Anwendung des Umhullendensatzes:

∂πR∂lR

=∂πR∂pR

pRlR

∣∣∣∣pR=p∗R(lR)︸︷︷︸

=0

+∂πR∂lR

∣∣∣∣pR=p∗R(lR)

= (p∗R(lR)− k)

∂qR∂pK

∂p∗K∂lR︸︷︷︸

SE

+∂qR∂lR︸︷︷︸NE

• NE Nachfrageeffekt: Vergroßerung des Einzugsgebietes, mehr

Kunden (positiv)• SE Strategischer Effekt: Wegen Annaherung senkt Karl die

Preise (Reaktion auf Roberts lR), Kunden gehen verloren(negativ)


Standortwechsel

• Falls der Nachfrageeffekt der starkere ist, lohnt es sich naheran den Konkurrenten zu ziehen, im Extremfall ziehen beide indie Mitte

• Wenn der strategische Effekt dominiert, lohnt es sich weitervom Konkurrenten wegzuziehen, im Extremfall ziehen beidean den jeweiligen Rand


Standortwechsel

• Die Komponenten:

qR =L− lK + lR

2+

p∗K − p∗R2t

⇒ ∂qR∂lR

=1

2

⇒ ∂qR∂pK

=1

2t

p∗K = k +t(3L− lR + lK )

3

⇒∂p∗K∂lR

= − t

3


Standortwechsel

• Strategischer Effekt:

∂qR∂pK

∂p∗K∂lR

=1

2t

(− t

3

)= −1

6

• Nachfrageeffekt:

∂qR∂lR

=1

2

• NE+SE = 12 −

16 > 0: Es ist fur Roberts stets (!) sinnvoll,

seine Position naher an Karl zu verlagern, da derNachfrageeffekt dominiert


Dynamik

• Es ist fur Roberts stets (!) sinnvoll, seine Position naher anKarl zu verlagern (bzw. sich zwischen Karl und den Großteilder Nachfrage zu setzen)

• Dasselbe gilt fur Karl

• Treffen sich in der Mitte

• In der Mitte findet der Preiskampf bis P=GK statt

• Wenn P=GK, starker Anreiz von der Mitte abzuweichen umPreise zu differenzieren

• Keine stabile Losung → Kein Gleichgewicht


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