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Johann Sjuts
Unterschiedliche mentale Konstruktionen beim Aufgabenlosen Eine Fallstudie zur Mathematik als Werkzeug zur Wissensprasentation
Zusammenfassung: Die vorliegende Fallstudie gehOrt zu den am Institut fur Kognitive Mathematik der Universitat Osnabn1ck mit kognitionstheoretischen Methoden durchgefiihrten Analysen von Schillereigenproduktionen und Unterrichtsszenen aus dem gymnasialen Mathematikunterricht. Die Studie zeigt, dass beim Lasen bestimmter Aufgaben unterschiedliche, aber typisierbare mentale Konstruktionen aufueten. Diese stehen in Verbindung mit kognitiven Strukturen, die ihrerseits sich als langfristig stabil erweisen. Kognitionsanalysen dieser Art bieten Maglichkeiten, sowohl die diagnostische als auch die didaktische Kompetenz von Studierenden und Lehrenden zu verbessern.
Abstract: This present case study belongs to the analyses of pupils' own productions and teachung scenes taken from grammar school maths lessons. These analyses have been executed by means of cognitive theoretical methods at the Institut fur Kognitive Mathematik at the University of Osnabrueck. The study shows that different mental constructions appear when solving certain problems, which can, however, be standardised. They are connected with cognitive structures, which, in the long term, prove to be stable. Cognitive analyses of this kind offer possibilities to improve the diagnostic but also the didactic competence of students or teachers.
1. Einleitung
Die Mathematikdidaktik betrachtet den Ansatz, Mathematik als Werkzeug zur Wissensreprasentation (Cohors-Fresenborg 1996, 2001) aufzufassen, mittlerweile als eigene didaktische Theorie (Neubrand u.a. 2001). Diese Theorie hat eine Neuorientierung des Mathematikunterrichts zur FoIge, die gekennzeichnet ist durch eine kognitionstheoretische Konzeption, durch ein konstruktivismustheoretisches Arrangement, durch eine wissenstheoretische Legimitation (S juts 1999b) und durch ein ingenieurwissenschaftlich geleitetes Handeln der Lehrpersonen.
1. 1 Die kognitionstheoretische Dimension
Zentrale Begriffe der Kognitionswissenschaften sind Wissen und Reprasentation. Dabei geht es zum einen urn Systematisierungen von Wissen und Wissensarten, urn Wissensspeicherung und -abruf, zum anderen urn die Reprasentation von Wissen. Das Konstrukt der Reprasentationen vermag kognitive Phanomene zu beschreiben und zu erklareno Programmatisch hat Gardner ("Dem Denken auf der Spur") formuliert: "Wir mussen verstehen, wie Kultur sich im Gehirn abbildet - und der Konigsweg zu diesem Verstehen wird die reprasentationale Ebene sein." (Gardner 1989, S. 408)
Zu unterscheiden sind die externen und die internen Reprasentationen, die Darstellungen und die Vorstellungen. 1m Mathematikunterricht heillt das fur die Lemenden: Wie schreibe ich etwas auf? Wie stelle ich mir etwas vor?
Die Kognitionswissenschaften erforschen, wie Menschen sich etwas im Kopf zurechtlegen; sie suchen nach Zusammenhangen zwischen externen und internen Reprasentationen. Nach Schwank (1993, 1996) gibt es fur Reprasentationen bestimmte Praferen-
(JMD 23 (2002) H. 2, S. 106-128)
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zen in der kognitiven Struktur, ja sogar eine Resonanz zwischen ganz bestimmten Darstellungen und ganz bestimmten Vorstellungen. Schwank hat anhand von Experimenten gezeigt, dass es zwei grundlegend versehiedene Praferenzen gibt, die sie als pradikativ und funktional bezeichnet.
Foiglieh hat das Weehselverhilltnis von Darstellungen und Vorstellungen Bestandteil des Mathematikunterriehts zu sein. Aus dem Zusammenwirken von extemen und internen Reprasentationen resultiert gleiehfalls, dass der Unterricht verschiedene Darstellungen fur ein und dasselbe anbieten muss und dass der Weehsel von Darstellungen trainiert werden muss. Diese Forderungen sind nieht neu; allerdings lassen sieh die Arten der Darstellungen erheblieh prazisieren.
Die kognitionstheoretisehe Ausrichtung betont fur das Mathematiklemen die Bedeutung des geistig-mathematisehen Instrumentariurns. Dieses Instrumentarium ermoglicht das Besehreiben, Erfassen und Bearbeiten, kurz: das Explizit-Machen des mathematischen Wissens. Mathematische Theoriebildung und mathematische Modellbildung unterscheiden sich - so gesehen - nichl. Insgesamt sprieht man auch, wenn man den stoffiibergreifenden denkbezogenen Werkzeugcharakter von Mathematik zum Ausdruck bringen mOchte, von kognitiver Mathematik.
1.2 Die konstruktivismustheoretische Dimension
Mit dem kognitionstheoretischen Paradigma hinsichtlich Konzeption korrespondiert das konstruktivismustheoretisehe Paradigma hinsiehtlich Arrangement des Mathematikunterriehts. Zwar sind in ihren Uberzeichnungen (reprasentationStheoretischer) Kognitivismus und (radikaler) Konstruktivismus unvereinbar. Vermeidet man jedoch die Uberzeichnungen, ergeben sich komplementar zu verstehende Positionen, die insgesamt als kognitiver Konstruktivismus firmieren. Demnach bedeutet Lemen, Wissen sowohl zu erfassen als aueh zu sehaffen, sowohl zu entdecken als aueh zu erfinden. Mathematiklemen ist folglich keine reine Inforrnationsverarbeitung, sondem eine individuell bedingte und damit auch vorwissens- und denkstrukturabhangige Aneignung mathematiseher Begriffe und WerkzeUge.
Dem Konstruktivismus zufolge ist Wissen nieht schlicht weiterzugeben, zu ubertragen, zu vermitteln; die lemende Person hat Wissen sich anzueignen, es selbst aufzubauen, es zu gewinnen und nachfolgend zu vertiefen, zu verfeinem, zu differenzieren. Man erwirbt es, urn es zu elaborieren.
Ein kognitions- und konstruktivismustheoriegeleiteter Mathematikunterricht verbindet beide Grundansatze. Aus intuitivem Wissen entsteht mittels entsprechender kognitiver WerkzeUge elaboriertes Wissen. Dabei ist die Vorgehensweise, "vorhandenes Wissen zu prazisieren und zu formalisieren, nieht daran gebunden, ob es sieh urn innermathematisehes Wissen handelt oder urn Wissen aus so genannten Saehsituationen. Der Mathematik wohnt eine spezifisehe, nieht ersetzbare Weise zur gedanklichen ErschlieBung der Wirklichkeit inne; sie besteht darin, das Formale in Denkhandlungen herauszuarbeiten und damit mehr Transparenz und Einsicht in Zusammenhange zu schaff en. " (Cohors-Fresenborg 2001, S. 5) Zur Bedeutungsfindung vorliegenden Wissens sind weiterhin Abstraktion und Begriffsbildung erforderlieh.
Geistige Werkzeuge zur prazisen Darstellung intuitiven Wissens zu entwickeln, ist der zusammenfassende Leitgedanke.
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1.3 Die wissenstbeoretiscbe Dimension
Zu erwiihnen ist als wei teres Kennzeichen die bildungs- und wissenstheoretische Legimitation. Indem mathematische Denkprozesse der Lernenden und Anwendungssituationen von Mathematik zusammengefiihct werden, lassen sicb die Gegensatze von reiner und angewandter Mathematik, von Verstehen und Anwenden, von formaler und materialer Bildung fiberwinden (Sjuts 1999b).
Man spricht heute von Wissensgesellschaft; ihre Anforderungen veclangen nach Wissenskompetenz, also nach Kompetenz im Umgang mit Wissen und Wissensreprasentationen (Sjuts 2001a). Die dem Fach Mathematik innewohnenden Denkweisen und das von der Mathematik gelieferte Instrumentarium zur Weltbeschreibung und -erfassung haben Schlfisselqualitat. Mathematisches Denken zeichnet sich durch exaktes Wissen, klares Verstehen und sinnvolles Anwenden aus.
1.4 Die ingenieurwissenscbaftlicbe Dimension
Der charakterisierte Mathematikunterricht erfordert forschungsbewusste Mathematiklehrerinnen und -lehrer. Gegenstand der Forschung ist die Kognition, sind die Prozesse des Denkens und des Verstehens. Auf diese Weise erweitern sich die Fahigkeiten zur Analyse von Lernvorgangen und zur Konstruktion von Lernsituationen. Ein ingenieurwissenschaftliches Verstandnis entsprechend dem Ansatz von Mathematikdidaktik als design science (Wittmann 1992) verbindet Laborforschung und Unterrichtsgestaltung.
Zli entwickeln sind nfunlich Aufgaben und Materialien; sie sind zu erproben und auszuwerten. Ergebnisse einer solchen Evaluation bieten Moglichkeiten, unterrichtIiche Konzepte zu revidieren oder zu stabilisieren. So kann man sieh bestimmte Aufgaben iiberlegen und dann von Schiilerinnen und Schiilern bearbeiten lassen. Die Losungsvorsehlage, so genannte Eigenproduktionen, geben per Analyse Aufschlfisse fiber das Denken (Sjuts 2001c). So gewonnene Forschungsresultate regen zum Aufbau von Modellvorstellungen (Sjuts 2000) und Rahmungen an, ebenso zur Analyse von Fehlvorstellungen und Fehlern oder zur verstarkten Nutzung gewisser kognitiver Werkzeuge.
Je ausgekliigelter die didaktischen Arrangements sind, desto erfoigreicher ist der Mathematikunterricht. Je ausgeklfigelter etwa die Aufgaben sind, desto besser gelingt es mit ihrer Hilfe, die mentalen Konstruktionen nach auBen zu kehren und sie fUr Lehrende wie Lernende sichtbar, identifizierbar und somit beeinflussbar zu machen (Sjuts 2002). Mathematiklehrerinnen und -lehrer sollten in diesem Sinn Forschen und Unterrichten verknfipfen sowie ihre diagnostische und didaktische Kompetenz gleichermafien weiter entwickeln.
2. Aufgabenanalyse
Die vorliegende Fallstudie beschaftigt sich mit der Analyse einer Aufgabe und der Analyse ausgewahlter Schiilerlosungen. Die Aufgabe besteht aus einem Aufgabentext und einer Erganzung zur Anregung verschiedener Vorstellungsmoglichkeiten zu einer im Grunde aber stets gleichen Aufgabenstellung.
2.1 Aufgabentext
Der Aufgabentext lautet folgenderrnafien:
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Frachter und Zollkreuzer
Urn 10.40 Ubr 1aufi aus dern Ernder Hafen em Frachter aus. Er f!ihrt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 15 Mei1en pro Stunde. Urn 11.15 Ubr wird der loll benachrichtigt, dass der Frachter Schmugge1ware an Bord hat. Urn 11.20 Ubr nimmt em lollkreuzer die Verfo1gung auf. Der Kreuzer erreicht durchschnittlich 25 Mei1en pro Stunde. Der Kapitan des lollkreuzers weill dies alles und fragt sich, ob er den Frachter noch innerha1b der 30-Mei1en-Grenze einho1t.
2.2 Losungsansatze und mentale Konstruktionen
Die im Aufgabentext geschilderte Situation ist ohne gro6e Millie nachzuvollziehen. Allerdings ist die Aufgabe nicht so leicht, dass eine Losung auf Anhieb zu erkennen ist. Diejenigen, die sich mit der Aufgabe beschafugen, werden folglich bemiiht sein, das zu verwenden, was ihnen in den Sinn kommt, was ihnen nahe zu liegen scheint, was sie geistig zu mobilisieren in der Lage sind, urn zu einem Resultat zu gelangen. Setzt man bestimmte Bedingungen voraus, lassen sich zwei Vorgehensweisen hervorheben.
Die eine Vorgehensweise ist zunachst gekennzeichnet durch das Hineinversetzen in die Situation, womoglich in die Rolle des Zollkreuzerkapitiins. Das bedeutet eine Identifizierung mit dem Ziel, den Frachter einzuholen, geradezu mit dem Willen, die gro6ere Geschwindigkeit zur Tilgung des Vorsprungs zu nutzen. Es ist folglich geboten, Uberlegungen zu Vorsprung und Geschwindigkeitsunterschied anzustellen. Diese Uberlegungen beginnen, ohne dass ein erfolgreicher Abschluss garantiert ist. Entsprechende Gedanken dazu wiirden auch hemmen, denn die geistigen Krafte sind auf die jeweils aktuellen Uberlegungen konzentriert. Das Denken ist operativ organisiert. Aus dem Zeitunterschied wird der Vorsprung des Frachters vor dem lollkreuzer ermittelt; der Vorsprung betragt 10 Meilen, und zwar zu dem Zeitpunkt, zu dem der Zollkreuzer die Verfolgung aufnimmt. Nun muss sich der Zollkreuzerkapitan vergegenwartigen, dass der Frachter weiterhin in Bewegung ist, dass also der Zollkreuzer sich dem Frachter nur deshalb nahert, weil er - der Verfolger - schneller fahrt. Er fahrt, so lasst sich berechnen, urn 10 Meilen pro Stunde schneller. Und damit holt er den Schmuggelfrachter nach einer Stunde ein. Die Uberlegungen sind trotzdem nicht abgeschlossen, denn schlie6lich ist noch die Frage zu beantworten, ob der Zollkreuzer den Frachter vor der 30-Meilen-Grenze erreicht. Eine letzte Uberlegung ergibt, dass das der Fall ist, denn der Zollkreuzer schafft in einer Stunde ja 25 Mei1en. Wer sich auf diese Weise in die Lage des Zollkreuzerkapitans hineinversetzt hat, ist gewissermafien doppe1t er1eichtert: Die situationsgesteuerten Gedankengange sind, obwohl dies zu Beginn nicht abzusehen war, zu einem Ergebnis gefiihrt worden. Und der Schmuggelfrachter ist rechtzeitig, und das heiBt vor Verlassen der 30-Mei1en-Zone, gestellt worden.
Die andere Vorgehensweise nimmt die Gesamtsituation in den Blick. Hier dominiert nicht das Hineinversetzen, sondem die AuBenbeobachtung. Gesucht ist eine Beschreibung, die die Fahrt der beiden Schiffe erfasst. Dazu ist die Fahigkeit, Situation samt Vorgang auf passende Weise darzustellen, erforderlich. Erfolg versprechende kognitive Werkzeuge sind die des Prazisierens und Formalisierens, das Ergebnis ist dementsprechend eine algebraische oder auch graphische Darstellung. Egal, ob man an Funktionsgleichungen oder Funktionsgraphen denkt, man betrachtet eine Darstellung der Schiffsbewegungen insgesamt und verlasst sich auf das mathematische Repertoire zur Bestimmung von Zeitpunkt und Ort des Zusammentreffens der beiden Schiffe. Und es ist kIar, dass die Losung gelingt, wenn die Formalisierungsinstrumente richtig benutzt
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werden. Hier ist oicht situationsbezogen ein Denken zu organisieren, hier ist eine situationsunabhangige Kompetenz einzusetzen.
2.3 Erganzung zur Anregung verschiedener Vorstellungsmogiichkeiten
Die bisherigen Erorterungen verweisen auf unterschiedliche Herangehensweisen an die Aufgabe und damit verbundene mentale Konstruktionen. Das fiihrt zur Idee, den oben genannten Aufgabentext urn Anregungen verschiedener Vorstellungsmoglichkeiten zu erganzen.
Die Prasentation einer Aufgabe zu Unterrichtsinhalten, die zeitlich fern liegen, bedeutet ja, dass diejeoigen, die die Aufgabe zu losen baben, in ihren Kopfen etwas aktivieren mUssen, was in ganz unterschiedlichem Mafie hinsichtlich Umfang und Zielgerichtetheit verfiigbar ist. Die einzelnen Personen werden also versuchen, bruchstiickbaftes, fehlerhaftes, unklares Wissen, wohl auch iiberfliissiges Wissen zu erinnem und einzusetzen.
Hinweise und Signale innerhalb des Aufgabentextes sprechen bei denjeoigen, die sich mit der Aufgabe beschaftigen, die ihnen eigenen subjektiven Erfahrungsbereiche (Bauersfeld 1983, 1993) an. Unter der Hand entstehen folgende Fragen: Urn was geht es bei der Aufgabe im ganzen und im einzelnen? Welche Tiitigkeiten des Hervorhebens, des Vemachlassigens, des Umrechnens, des Ausrechnens, des Aufschreibens, des Aufzeichnens dienen der Uisung der gestellten Aufgabe?
Beriicksichtigt man weiterhin, dass die kognitive Struktur eines Menschen durch Praferenzen gekennzeichnet ist, ergibt sich die Frage, ob ganz bestimmte Vorstellungen ausfindig zu machen sind, die durch ganz bestimmte DarsteUungen evoziert werden konnen. Der Aufgabentext konnte folglich auf verschiedene, aber charakteristische Wei sen formuliert werden, die Ausdruck zugehOriger Denkweisen waren.
1m vorliegenden Fall ist nun der Aufgabentext erganzt worden urn vier Varianten von Vorstellungsmoglicheiten:
Du kannst wiihlen:
Entweder:
Der Kapitlin ennittelt, wann er den Fraehter einholt. Gib das Ergebnis an!
Oder:
Der Kapitan ennittelt, wo er den Fraehter einholt. Gib das Ergebnis an!
Oder:
Der Kapitan betraehtet die Gesehwindigkeiten der beiden SehiITe, wirft einen Blick auf die Uhr Wld uberlegt sieh, wann er den Fraehter eingeholt hat. Wann nlimlieh?
Oder:
Dec Kapitlin betraehtet die Gesehwindigkeiten dec beiden SehiITe, denkt an den VOCSpfWlg Wld uberlegt sieh, wo er diesen getilgt hat. Wo nlimlieh?
Diese Erganzungen sollen keine sachlichen und inhaltlichen Erweiterungen oder Erklarungen sein; sie sollen ebenso wenig gezielte Hilfen zur Lbsung bieten und damit einen bestimmten Uisungsweg induzieren. Sie sollen dagegen - ganz im Sinne des Konstruktivismus - fur eine Einstimmung sorgen, Sichtweisen anregen, ein ZurechtIegen
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im Kopf veranlassen, einen Gedankengang auslosen. Man konnte somit sagen, es wird nicht eine Aufgabe "gestellt", sondern "vorgelegt".
Variante 1 und 3 wei sen auf Zeit-Uberlegungen hin, Variante 2 und 4 aufWeg-Uberlegungen. Variante 3 und 4 akzentuieren die Geschwindigkeiten. Damit wird vermittelt, dass vielfaltige Losungsgange zugelassen sind. Vor allem aber ist angestrebt, dass die Aufgabe Widerhall findet und keine Abwehrhaltung aufbaut. Denn jemand, der sich in die Situation hineinversetzen kann, verfiigt gewissermallen von selbst iiber die Bereitschaft und die Fahigkeit, sich mit der Aufgabe auseinander zu setzen, wahrendjemand, dem Situation und Aufgabe nicht behagen, nur kraft seines erworbenen Konnens in der Lage ist, das notige Vertrauen in sich und seine (beispielsweise algebraische) Kompetenz zu mobilisieren.
So ist denkbar, dass der dynamische Vorgang der Verfolgung, der verstiirkt wird durch die Betonung des Blickwinkels des Zollkreuzerkapitans, eine funktionale kognitive Struktur anspricht, dagegen eine pradikative kognitive Struktur (Schwank 1993, 1996) abstofit. Eine erfolgreiche Bearbeitung ist bei einer vorliegenden funktionalen Priiferenz durchaus zu erwarten, wahrend sie sich bei einer pradikativen Priiferenz erst durch das Training zur Formalisierung von Wissen erreichen lasst.
2.4 Kognitive und metakognitive Analyse
Die Bearbeitung der Aufgabe ist mit kognitiven und metakognitiven Aktivitiiten verbunden, die einer eigenen Analyse bediirfen.
2.4.1 Denkaufgabe
Der Bewiiltigung der Aufgabe per Modellbildung sind Anforderungen vorgelagert, die in der Komplexitiit der Sprachlogik und in der Komplexitat der Denkvorgange liegen (Neubrand u.a. 2001, Cohors-Fresenborg & Sjuts 2001).
Bei der sprachlogischen Komplexitat ist zu beachten, inwieweit der sprachliche Fluss bei der Aufgabenstellung mit dem Losungsgang in einem mathematischen Modell iibereinstimmt. Die Aufgabe lasst sich nicht unmittelbar in eine mathematische Darstellung transformieren; die sprachlogische Komplexitat ist demgemiiB recht hoch.
Die Komplexitat der Denkvorgange erfasst, ob die Losung einer Aufgabe mittels paralleler und darnit gleichzeitig zu berucksichtigender Denkschritte erfolgt oder ob eine Staffelung von Denkschritten in einer zu beachtenden Reihenfolge stattfindet. Die Mehrschrittigkeit ist erkennbar; daher muss die betrachtete Aufgabe hinsichtlich ihrer kognitiven Komplexitat als hoch eingestuft werden.
"Von eigener Art und Bedeutung ist die Kompetenz zur Formalisierung von Wissen. Hiermit ist nun nicht gemeint, inwieweit die Modellierung kompliziert in einem mathematisch-technischen Sinne ist, sondern, in welchem Malle Werkzeuge des Prazisierens, Formalisierens, Abstrahierens und Generalisierens niitzlich oder sogar unverzichtbar sind. Das Anforderungsprofil ,Formalisierung von Wissen' driickt aus, inwieweit die Wahrscheinlichkeit, eine Aufgabe zu losen, von der Fahigkeit abhiingt, solche Werkzeuge einzusetzen." (Cohors-Fresenborg & Sjuts 2001, S. 151) Die Aufgabe zeichnet sich gerade dadurch aus, dass die Kompetenz zur Formalisierung von Wissen die Losungswahrscheinlichkeit maJlgeblkh bestimmt, und zwar beim pradikativen Denken noch mehr als beim funktionalen Denken.
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Zu betrachten ist noch die Metakognition, also cIas Denken tiber das eigene Denken und die Steuerung des eigenen Denkens. Wer sein Denken organisiert, tiberwacht es zugleich. Kriterien der Beurteilung sind indes nicht unmittelbar ersichtlich. Wer dagegen mittels formaler Wissensreprasentation vorgeht, tiberwacht sein Denken dadurch, dass er die erstellten Reprasentationen einer Beurteilung unterzieht (Sjuts 1999a, 2001b).
2.4.2 ProblemlOseaufgabe
Die Aufgabe eignet sich ebenfalls als Aufgabe zorn Testen von Problemlosefahigkeiten. Wird die Aufgabe nicht gerade im Physikunterricht zur Kinematik oder im Mathematikunterricht zu linearen Funktionen und Gleichungen gestellt, sondem in einer curricular davon entfemten Situation, erhalt sie den Stellenwert, mathematical literacy oder mathematische Grundbildung im Sinne von PISA (Neubrand u.a. 2001, Baumert u.a. 2001) zu tiberprtifen. Es wird untersucht, "inwieweit mathematisches Wissenfunktional, flexibel und mit . Einsicht zur Bearbeitung vielfaItiger kontextbezogener Probleme eingesetzt werden kann" (Baumert u.a. 2001, S. 139).
Bezogen auf die im PIS A-Framework ausgewiesenen Kompetenzklassen handelt es sich bei der Aufgabe urn eine aus der Klasse der mehrschrittigen Modellierungen. Denn: "Die Struktur der Modellierung ist mehrschrittig, d.h. bei der Losung der Aufgabe ist entweder Wissen aus mehreren mathematischen Zusammenhangen einzusetzen oder mehrfach gleiche Schritte sind vorzunehmen und zu kombinieren." (Neubrand u.a. 2001, S. 9) Zu erwahnen ist an dieser Stelle, class auch das PISA-Framework den BegrifI der Modellierung konsequent auf aufier- wie innermathematische Aufgaben bezieht, da die kognitiven Prozesse sich dabei nicht unterscheiden (Neubrand u.a. 2001).
Stem und Hardy (2001) nennen Problemlosekompetenz als die zentrale Herausforderung fur den Mathematikunterricht. Sie illustrieren ihre These mit einer aus dem japanischen Mathematikunterricht stammenden Aufgabe "Mtinzen" (in diesem Beitrag an spaterer Stelle dokumentiert), die ihrer Auffassung zufolge ein vielfaItiges Potenzial fur den Einsatz mathematischer Denkwerkzeuge bietet (Stem & Hardy 2001, S. 156). Denn die Variabilitat von Losungszugangen fordert in entscheidender Weise cIas mathematische Verstandnis - erst recht dann, wenn die Angemessenheit mathematischer Werkzeuge zur Losung von Problemen thematisiert wird. Dabei ist es auch nach Stem und Hardy unerheblich, ob die Werkzeuge bei inner- oder auBermathematischen Problemen zur Anwendung kommen; entscheidend ist die Anregung zur Konstruktion anspruchsvoller mathematischer Problemloseschemata (Stem & Hardy 2001, S. 155).
2.5 Kinematische und algebraische Analyse
Die genannte Schiffsaufgabe gilt in der Physik als Bewegungsaufgabe und in der Mathematik als Schnittpunktsaufgabe, aber auch als Anwendungsaufgabe.
2.5.1 Bewegungsaufgabe
Eine solche Bewegungsaufgabe ist im Fach Physik ganz gangig. Sie tritt in der Kinematik auf. Idealisiert handelt es sich bei den Bewegungen.der beiden Schiffe urn geradlinige Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit, um sogenannte gleichformige Bewegungen. Sie werden durch Zeit-Weg-Funktionen und Zeit-Weg-Diagramme
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beschrieben (Dom & Bader 1998). Die auftretenden GroBen sind dann Zeit, Weg und Geschwindigkeit, die zugeMrigen Einheiten ublicherweise Sekunde, Meter und Meter pro Sekunde.
Eine Tucke enthalt die Aufgabe insofem, als die angegebenen Daten erst umgerechnet werden mussen. Aufierdem mussen passende Einheiten gewahlt werden, etwa Minuten, Meilen und Meilen pro Minute. Diese Ubedegungen ruhren zu dem Schluss, dass physikalische Kenntnisse aus der Kinematik rur die Losung der Aufgabe erfordedich sind.
2.5.2 Schnittpunktsaufgabe
Die Aufgabe Hisst sich auch als Schnittpunktsaufgabe betrachten. Die auftretenden Funktionen sind lineare Funktionen, die zugeMrigen Graphen Geradenabschnitte. Denkbar sind zwei mogliche Beschreibungen, je nachdem, ob man 10.40 Uhr oder 11.20 Uhr als zeitlichen Nullpunkt wahlt.
1m ersten Fall erhalt man als Zeit-Weg-Funktion rur Frachter und Zollkreuzer:
15 25 tI (t) = 60 . t und Zr (t) = 60 . (t - 40)
Die Schnittpunktsbestimmung erfolgt durch das Losen der nachstehenden linearen Gleichung:
15 25 15 25 1000 10 1000 _·t= -·(t-40)~ _·t= _·t- -- ~- _·t=- -- ~t= 100 60 60 60 60 60 60 60
1m zweiten Fall erbalt man:
15 tIr (t) = 10 + - . t und
60 Und bier ist folgende lineare Gleichung zu losen:
15 25 10 10 + - ·t = _·t ~ 10 = _·t ~ t = 60
60 60 60
25 Zrr (t) = - . t
60
(Logischerweise) beide Rechnungen ergeben, dass der Zollkreuzer den Frachter um 12.20 Uhr einholt, und zwar 25 Meilen von der Kuste entfemt, wie man ebenfalls rechnerisch ermitteln kann. Die grapbischen Darstellungen der genannten Funktionen konnen verdeuthchen, welchen Vorsprung der Frachter vor dem Zollkreuzer hat, im ersten Fall den Zeit-Vorsprung, namIich 40 Minuten, im zweiten Fall den Weg-Vorsprung, namlich 10 Meilen.
2.5.3 Anwendungsaufgabe
Die Aufgabe ist eine Textaufgabe, didaktisch gesprochen: eine Modellbildungsaufgabe. Die Modellbildung (Schupp 1988, Blum 1996, Henn 1997) erfolgt in vier Schritten: Die reale Situation wird - idealisierend, strukturierend, vereinfachend, prazisierend - in ein reales Modell uberfiihrt. Das reale Modell wird per Mathematisierung zu einem mathematischen Modell. Sodann erfolgt eine mathematische Bearbeitung, die zu mathematischen Ergebnissen fiihrt. Schlie.Blich werden diese Ergebnisse mit Blick auf die reale Situation interpretiert. AIle Schritte sollten am Ende evaluiert werden. Daraus kann resultieren, den Modellbildungskreislauf emeut zu durchlaufen.
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Die Aufgabe etfordert im ersten Schritt die bereits erwahnte Idealisierung: Die Bewegungen werden als geradlinig und gleichformig betrachtet. Au6erdem bewegen sich die Schiffe im rechten Winkel zur Kiiste, urn keine Komplikationen mit der 30-MeilenGrenze entstehen zu lassen. Zu vemachlassigen ist die Uhrzeit, zu der der Zoll benachrichtigt wird. Diese Voriiberlegungen bleiben zumeist ohne explizite Erwahnung. Denn die eigentlichen Uberlegungen beziehen sich auf Zeit, Weg, Geschwindigkeit, besonders aber auf den Zeit- bzw. Weg-Vorsprung. Und hier setzt der zweite Schritt an. Dabei sind dann die oben genannten Umrechnungen durchzufiihren und geeignete Reprasentationen zu tinden. Innerhalb der gewahlten Reprasentationen etfolgt der dritte Schritt, die Bearbeitung bis zu einem Ergebnis. Und letzteres wird im vierten Schritt auf die Ausgangssituation bezogen.
Es ist anzumerken, dass mehrere Vorgehensweisen denkbar sind, dass vor allem mehrere Reprasentationen moglich sind. Gerade sie verweisen darauf, dass bereits im ersten Schritt Prazisierungen und Formalisierungen aufireten, die durch die Vorkenntnisse und die Voretfahrungen sowie durch die Intentionen und die Interessen der modellbildenden Person bedingt sind.
2.6 Weitere Aufgaben
Es ist zunachst eine Hypothese, dass die Bewegungsaufgabe sich eignet, mentale Modelle (subjektive Etfahrungsbereiche) und kognitive Strukturen zu erschliefien. Aufgaben vergleichbarer Art miissten eingesetzt werden, urn gewonnene Ergebnisse abzusichem. Und dabei ware zu priifen, ob sich ein stabiles Verhalten hinsichtlich der Auswahl kognitiver Werkzeuge - insbesondere bei der Wissensreprasentation -beobachten lasst.
Eine Vergleichsaufgabe ist die folgende Aufgabe. Sie zeichnet sich durch eine fast iibereinstimmende Struktur zur Schiffsaufgabe aus, es gibt nur geringe Anderungen.
Ferngesteuerte Autos
Roland und Timo lassen ihre ferngesteuerten Autos auf einer Tartanbahn wn die Wette fahren. Die Strecke fi1hrt ilber 400 m. Rolands Auto schaffi durchschnittlich 6 mis, Timos dagegen 8 mls. Deshalb startet Timos Auto 16 s spAter als Rolands Auto.
Du kannst wahlen:
ENTWEDER:
Ennittle zunachst, wann, und danach, wo Timos Auto Rolands Auto einholt!
ODER:
Ennittle, wo Timos Auto Rolands Auto einholt!
ODER:
Timo vergleicht die Geschwindigkeit der beiden Autos, denkt an den zeitlichen Vorteil von Rolands Auto und ilberlegt sich erst, wann, und danach, wo sein Auto Rolands Auto einholt. Wo niimlich?
ODER:
Timo vergleicht die Geschwindigkeiten der beiden Autos, denkt an den Vorsprung von Rolands Auto und ilberlegt sich, wo sein Auto Rolands Auto einholt. Wo niimlich?
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Bewegungsaufgaben finden sich in Schulbuchem der Mathematik bei Schnittpunktsberechnungen, der Physik bei Uberhol- und Bewegungsvorgangen. Sie gelten als schwierige und unangenehme Aufgaben.
Allerdings gehOren nicht nur Bewegungsaufgaben zum hier betrachteten Aufgabentyp, auch andere Vorgangsaufgaben weisen charakteristische Merkmale dieses Typs auf. Die Strukturgleichheit ist gekennzeichnet durch ein Problem mit zwei gleich- oder gegenlaufigen (dynarnischen und zumeist zeitabhangigen) Vorgangen, das mittels einer (linearen) (Un-) Gleichung gelost werden kann. Dementsprechend gehOrt auch die bereits erwahnte Problernloseaufgabe "Mtinzen" zu diesem Typ.
3. SchiilerlOsungen
Zu der Bewegungsaufgabe "Frachter und Zollkreuzer" liegen Schiilerlosungen im Klassensatz vor. Davon sollen nun einige analysiert werden. Da das Hauptinteresse den Denkprozessen gilt, bedarf die Analyse weiterer Absicherungen. Zugleich mit der Aufgabe "Frachter und Zollkreuzer" ist eine Parallelaufgabe vom Typ "Mtinzen" zu bearbeiten gewesen, allerdings nicht die Aufgabe "Mtinzen" selbst. Die dazu angefertigten Losungen bilden eine unmittelbare Beziehung zu den Losungen der Schiffsaufgabe, da keine Intervention durch Lebrperson oder Lemgruppe erfolgen konnte.
Erst im Abstand von drei Wochen fand eine etwa halbsmndige Besprechung einiger Losungswege (samt auftretender Fehler) zur Schiffsaufgabe statt. Es schloss sich eine Bearbeitung der Kontrollaufgabe "Femgesteuerte Autos" an. Deren Losungen durch die Schillerinnen und SchUler lassen sich nun heranziehen, urn eine langerfristige Stabilitat von Denkstrukturen aufzuzeigen. Zudem existieren aus der Nachbesprechung noch Vnterrichtsprotokolle mit wortlichen Zitaten zu den gestellten Aufgaben und den angefertigten Losungen. Auch auf diese Aufierungen grtindet sich die Analyse.
3.1 Analyse von ScbiilerlOsungen
Es sei daran erinnert, dass die Aufgabe nicht mit dem gerade aktuellen Mathematikoder Physikunterricht in Verbindung stand. Da die Aufgabe in einer 11. Klasse zu bearbeiten war, galten die vorauszusetzenden (hier: physikalischen) Grundvorstellungen (vom Hofe 1995) als gewahrleistet.
3.1.1 Jessicas Losung
Diese SchUlerin ermittelt zunachst den Weg-Vorsprung, den der Frachter vor dem Zollkreuzer hat, narnIich 10 Meilen. Vnd dieses Resultat bestimmt ihr weiteres Denken, allerdings in einer geradezu klassischen Weise, wie sich zeigen wird. Sie wahlt zunachst den Dreisatz, urn auszurechnen, wie lange der Zollkreuzer fur die eben ermittelte Strecke von 10 Meilen benotigt; das Ergebnis lautet: 24 Minuten. Vnd dann gelangt sie zu dem berUhmten Fehlschluss, dass der Kreuzer nach 24 Minuten den Frachter eingeholt hat. Man fiihlt sich sofort an "Achilles und die Schildkrote" nach dem Paradoxon von Zenon (Becker 1975, Meschkowski 1985) erinnert.
In der Nachbesprechung fallt es der Klasse nicht schwer, die Fehlvorstellung zu benennen. Ein Schiller sagt: "Der Frachter jahrt ja auch selbst. Wenn der Frachter steht,
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ware das richtig. " Und ein anderer: "Nach 24 Minuten ist der Kreuzer da, wo der Frachter zu der Zeit war, als er 10 Meilen Vorsprung halte. "
Der Kapitan ermittelt, wann er den Frachter einholt. Gib das Ergebnis an! boYl"\on~U;~ 6:J[V\\f\='1S~\QN\ .
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Der Kapitan ennittelt, wo er den Frachter einholt. Gib das Ergebnis an! rQ..ch '2..~ m\("\
Jessicas Vorgehen ist weder im Modellierungsansatz noch in der durchgefuhrten Rechnung faIsch, zweifellos dagegen unvollstandig. Allerdings konnte sie durchaus iiberzeugt gewesen sein, mit der Losung fertig zu sein.
SchlieJUich ist ihrer Vorstellung zufolge der Vorsprung ja getilgt. Warum sie nicht bedenkt, dass auch der Frachter weitergefahren ist, ist nicht genau zu kHiren. Sieher ist, dass nicht der Text, auch nicht die Reehnung, sondem eine nicht mehr reflektierte Vorstellung dazu fuhrt, dass sie sich mit einem nieht zu Ende gedachten Ergebnis zufrieden gibt. Zu erkennen ist ihre statische Sicht, nieht nur in der eben skizzierten Vorstellung, sondem auch in der Rechenweise des Dreisatzes.
Ennittle zunlchst, wann, und danach. wo Timos Auto Rolands Auto einholtl no.cl- ~ fI'\ s\o-<\d. ,',,'no.!!. ~ ~ o.M2 .... s.~ ~~ QS 1\,2 S ,~& ~ ~\ -~\ eo\o.I)d ~n ~~ ~'2.tv\ ~~~ -\r\s~SOJn." o.>.S.o 1\68' '(1),
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Es ist nicht verwunderlich, dass Jessica beim verwandten Kontrollproblem "Femgesteuerte Autos". auf ihr offensichtlieh sehr stabiles Denkmuster zurOckgreift und wieder nach der Art "Achilles und die Schildkrote" vorgeht. Allerdings beendet sie die Uberlegung nicht nach dem ersten Schritt, sondem Hisst weitere folgen, ohne indes an ein Ende zu gelangen.
3.1.2 Sandras Losung
Sandra kommentiert ihre LOsung spater wie folgt: "Ich habe es als Text geschrieben, weil ich mit erst klar werden wollte, was ich brauche und was ich habe. Wie lange wurden die beiden fur 30 Meilen brauchen? 112 Minuten und 120 Minuten. Der is! also
Mentale Konstruktionen beim Aufgabenl6sen 117 - ---------------
8 Minuten schneller. Der Kreuzer hat ihn 8 Minuten vor der Grenze eingeho/t. Die Rechnung danach ist ja/sch. " (Diese Rechnung ist hier auch nicht mehr dokumentiert.)
Es fallt auf, dass Sandra auch beim Selbstkommentar ihren Fehlschluss nicht bemerkt, denn emeut spricht sie davon, dass der Kreuzer den Frachter 8 Minuten vor der 30-Meilen-Grenze einholt. Sandra ist auf zeitliche Betrachtungen fixiert. So lost sie das Problem, und so formuliert sie ihr Resultat. Eine korrekte Umrechnung in eine Ortsangabe gelingt ihr nicht.
Bei der Kontrollaufgabe "Femgesteuerte Autos" wiederholt sie ihren FeWer dagegen Dicht. Sie wahlt den Losungsgang mittels Relativgeschwindigkeit.
ErminIe zunachst, wann, und danach, wo Timos Auto Rolands Auto einholtl
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Spater befragt, verhehlt Sandra ihre Einstellung zu den verschiedenen Losungsmoglichkeiten nicht. Eine Losung mittels graphischer Darstellung halt sie fur "akzeptabel", eine mittels Gleichungen fur "stumpj und sprode", wahrend sie die dynamische Betrachtung zur Tilgung des (zeitlichen) Vorsprungs iiberaus schatzt, wei! dies" den Geist mehr anregt", wie sie mit entlarvenden Worten erklart.
3.1.3 Thilos Losung
In der Nachbesprechung entwickelt sich folgendes Gesprach. Thilo: "Sie sind 1 0 Meilen auseinander. Der hintere kommt an den anderen pro Stunde 10 Meilen ran. Vol/ig
118 Johann Sjuts
ega/, wie schnell sie Jahren. " Lehrer: "Am Ende steht ein AusruJezeichen. Warum?" Thilo: "Das mache ich immer. Da bin ichfroh, dass ich ein Ergebnis habe. "
Der Kapitin betrachtet die Geschwindigkeiten der heiden Schiffe, denkt an den Vorspruog und iiberlegt sich, wo er diesen getilgt hat. Wo nim1ich1
L.... ~O i\M,"" U 4 "f. ~ v~ ~ A.() AkA1.- • ~ Sf-..A. Ul :c ,(j) ~ ~.
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~AZ. Zo< ~
Thilo ist froh, dass er ein Ergebnis hat, wohl aueh, dass er den Fraehter eingeholt hat und den Zeitpunkt kennt. Und er ist uberzeugt von der Riehtigkeit. Dabei ubersieht er, dass er die eigentliche Frage (Wo namIieh?) gar nieht beantwortet hat.
Die Kontrollaufgabe "Femgesteuerte Autos" bestatigt den Denkstil Thilos auf eindrueksvolle Weise.
Timo vergleicht die Geschwindigkeiten der heiden Autos, denkt an den zeitIichcn Vorteil von Rolands Auto und iiberlegt sicb erst, wann, und danacb, wo sein Auto Rolands Auto einholt. Wonamlich?
~ TlDlo vergleiclrt die Gescbwindigkeiten der heiden. Autos, denlet an den Vorsprung von Rolanda Auto und iiberlegt sich, wo scin Auto Rolands Auto einbolt. Wo nImlidl?
t1taL A0 S-lc ~ t ~ ''II """. fro dck w.'-;L~ ~~ q, .. 2:;.4f ,.t4tstC ;,~ "f' <-J i ~ ~<--k dA.Ao ~frP.J-~ To r· ~r ::; ~f~ B4::2 d'y ~
Der Losungsgang ist genau so, nur dass am Ende dec Ort des Zusammentreffens bestimmt wird. Die bei der vierten Variante notierte Losung wird spater per Pfeil der
Mentale Konstruktionen beim Aufgabenl6sen 119
dritten Variante zugeordnet, was auch richtig ist, da Thilo erst ausgerechnet hat, wann, und danach, wo das eine Auto das andere Auto einholt.
Besonders hervorhebenswert ist allerdings der geschriebene Losungstext. Da hellit es: "Naeh 48 sec sind T und R dann nebeneinander aus Siehl von T "Der gar nicht erforderliche Zusatz "aus Siehl von T" verrat, dass Thilo bei der Beurteilung des Problems gewissermaBen im Auto von T sitzt - ein starker Hinweis auf die prozesshafte Denkstruktur Thilos.
1m Text stehen zwei Ausrufezeichen, wiederum als Zeichen fur die Uberzeugtheit von der Richtigkeit. Wer sich so sicher ist, braucht keine weiteren metakognitiven Mechanismen mehr zu bemiihen.
3.1.4 Bertrams Losung
Dec Kapitlin betrachtet die Geschwindigkeiten der heiden Schiffe, denkt an den Vorsprung und liberlegt sich. wo er diesen getilgt bat. Wo nAmIich?
Diese Losung ist auf den ersten Blick wie die vorige. Tatsachlich aber unterscheidet sie sich von der eben betrachteten Losung. Bertram "wechselt" zwischendurch das Schiff, vom Zollkreuzer auf den Frachter. Auf die spater gestellte Frage, warum er das tut, antwortet er: "Das is! doeh ganz egal. wenn die am gleiehen Zeitpunkl sind. " Er hat also offenbar eine Sicht von auBen. Dafiir spricht auch, dass er es nicht versaumt, genau zu ermitteln, wo der Zollkreuzer den Frachter einholt.
In der Parallelaufgabe greift er auf seine Fahlgkeiten zur Formalisierung von Wissen zurUck, die es ihm erlauben, sowohl die Aufgabe zu losen als auch seine eigenen Gedanken metakognitiv zu uberwachen.
120
3.1.5 Friederikes Losung
Johann Sjuts
~ .{ ~ ku-- ctr ru...... ~'iodt.~ ~i.~Q..cR\ t QJ1.~o }..J.J..o
Bei der Prasentation dieser Losung in der Klasse erklart Friederike: "Ich habe genau aufgeschrieben. was x sein soil. " Lehrer: "Wieso hast du es so aufgeschrieben?" Friederike: "So rnusste ich nicht so viel schreiben. "Prazision und Pragnanz bestimmen also die Vorgehensweise dieser Schiilerin. Und es iiberrascht nicht, dass sie auch bei der Parallelaufgabe einen solehen Losungsweg einschlagt. Einerseits bekennt sie, nicht gem viel schreiben zu wollen, aber andererseits macht sie sich doch die Miihe, die Variable (x: Anzahl der Stunden, die der Zollkreuzer benotigt, urn den Frachter einzuholen) unmissverstandlich zu deklarieren. Indes fehlt auch bei ihr die Ortsbestimmung.
3.1.6 Clemens' Uisung
Der Schwer Clemens lost die Aufgaben "Frachter und Zollkreuzer" und "Femgesteuerte Autos" auf gleiche Art. Einiger Auffalligkeiten wegen ist hier nur die Losung der letztgenannten dokumentiert.
Man konnte versucht sein, die Darstellung als Indiz zu nehmen fur ein strukturiertes Vorgehen, das von einer Beobachterperspektive aus entstanden ist. Dagegen spricht aber, dass Clemens die Schreibweise mit funktionaler Abhangigkeit wahlt und sogar R(t) und T(t) schreibt, urn die Identifizierung mit Roland und Timo zum Ausdruck zu bringen. Offenbar denkt er bei t an die Zeitabhangigkeit, aber er deklariert die Variable vorher nicht. Und dann benutzt er im Funktionsterm die Variable x. Diese Prazisionsnachlassigkeit gefahrdet den weiteren Losungsweg T(48)= 8 . 48 = 384 nicht, denn er setzt die fur x ermittelte Zahl 48 fur t ein. Clemens denkt in Funktionen; offensichtlich ist ihm die Darstellung auf dem Papier weniger wichtig. Das berechnete Ergebnis ist
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korrekt; es wird dann mit eigenen, Dicht im Aufgabentext vorgegebenen Worten formuliert (" iiberholen", "Marke ").
3.2 LOsungsvergieicbe
Untersucht man die vorliegenden Losungen auf Charakteristika, kristallisieren sich ganz spezifische Vorgehensweisen heraus. Insbesondere eine vergleichende Gegeniiberstellung zeigt, dass jedes Mal zwei Ausformungen in besonderer Weise zu erkennen sind.
3.2.1 Sandra und Friederike im Vergleich
Sandra mag "stumpfe und sprode" Gleichungen nicht; sie bevorzugt das, was den "Geist mehr anregt". Friederike mochte weDig 'Text verfassen, aber genau und sicher sein. Sandra lost die Aufgabe Dicht ganz korrekt, obwohl ihr die Aufgabe liegt, Friederike gelingt eine erfolgreiche Bearbeitung, obwohl ihr die Aufgabe Dicht liegt.
Sandra muss permanent denken, ja durchgangig ihr Denken organisieren. Sie muss zurn richtigen Zeitpunkt Richtiges tun. Dazu steht sie; das m6chte sie auch. Friederike dagegen verHisst sich auf die formale Wissensreprasentation und die nachfolgende Bearbeitung mit Werkzeugen des Gleichungslosens; sie muss dann weDiger organisieren, vielleicht sogar weDiger denken. Sie macht sich das, was ihr Dicht ganz gefallt oder ihr schwer fallt, so leichter. Sie setzt beschreibbares Wissen in Beziehung, beachtet dabei, alles "genau" binzuschreiben. Und sie setzt die Werkzeuge ein, die man perfekt einsetzen muss, urn die Aufgabe zu losen. Selbstverstandlieh konnten ihr dabei Fehler unterlaufen, aber ihre Dokumentation ist derart, dass Fehler auffallen wiirden.
Ob ein mathernatisches Problem schwierig ist oder Dieht, hangt damit Dicht allein von der Aufgabe selbst ab, auch Dicht allein vom zugehOrigen Wissensstand oder Leistungsvermogen, sondern auch von der Passung AufgabentyplPersonentyp, wobei bier die Denkstruktur der Person gemeint ist. Somit bestirnrnt sich die Erfolgswahrscheinlichkeit Dicht allein durch den Anspruch an das Nachdenken, nicht allein dadurch, genau, kritisch, reflektiert und kontrolliert zu arbeiten, Dicht allein dadurch, heuristische, variable und vielf<iltige Strategien einzusetzen, sondern durch ein geschlossenes, gewissermafien ganzheitliches Herangehen, das durch die Art der Wissensreprasentation gepragt ist.
Sandras Starke ist es, sich die Problemsituation samt Losung gut vorzustellen; sie hat aber Mtihe, alles prazise darzustellen. Friederike hat Miihe, sich die Problemsituation samt Losung vorzustellen; ihre Starke ist es, den Sachverhalt fur eine Losungsbearbeitung passend darzustellen. Beide Schiilerinnen kornrnen mit der Komplexitat der Aufgabe "Frachter und Zollkreuzer" zurecht. Sandra gelingt dies, weil sie sich sowohl in die Situation des Frachters als auch in die des Zollkreuzers bineinzuversetzen scheint. Fiir beide errnittelt sie, wann sie die 30-Meilen-Grenze erreichen wiirden. Friederikes Welt sind "Papier und Bleistift", urn zur Losung zu gelangen.
Hier ist nun ein Riickbezug zur bereits erwahnten kognitiven Komplexitat und deren Bewaltigung angebracht. Friederikes Vorgehen verringert die Gefahr, Teile zu iibersehen, und enthalt Kontrollstrukturen, die Metakognition geradezu als absichtlich erscheinen lassen. Die Uberwachung der eigenen Tatigkeiten ist mit der forrnalen Wissensreprasentation verkniipft und nicht nur Charaktereigenschaft einer Person. Jedoch
122 Johann Sjuts
muss die erforderliche Kompetenz erworben werden. Sie muss freilich auch recht ausgeprilgt sein, bevor man das notige Vertrauen hat, bevor man unbefangen und unvoreingenommen sich auf diese Kompetenz verlassen kann.
3.2.2 Friederike und Clemens im Vergleich
Auf den ersten Blick scheinen Friederikes und Clemens' LOsung von gleicher Art zu sein. FUr den Teil, in dem eine lineare Gleichung gelost wird, trim das auch zu. Beide verfiigen uber das technische Kannen, Gleichungen aufzustellen und zu lasen. Indes sind die Schritte davor und danach unterschiedlich. Friederike deklariert die auftretende Variable in expliziter Form, Clemens tut das implizit uber die funktionale Abhangigkeit. Fur Clemens ist das Funktionswerkzeug fester Bestandteil seiner Vorgehensweise, denn er benutzt es nach seiner Rechnung emeut, urn das vollstandige Ergebnis zu erzielen. Friederike dagegen benutzt das Funktionswerkzeug uberhaupt nicht; sie findet eine Ergebnisinterpretation durch Riickbezug auf Variablendeklaration und Text.
Wiederum ist zu konstatieren, dass nicht die Aufgabe allein das Denken bestimmt, sondem aufierdem die eigene kognitive Praferenz. Clemens notiert erst die den Vorgang erfassenden Funktionsgleichungen, Friederike gleich die den Zustand des Eingeholtseins ausdruckende Gleichung. Der dynamischen Reprasentation steht die statische gegenuber.
tIber Clemens und Friederike existieren uber mehrere Jahre hinweg erhobene Untersuchungsergebnisse. Sie bestatigen eine bemerkenswerte Stabilitat der kognitiven Praferenzen. In einer Untersuchung war der ihnen vorgelegte Satz "Meine Vorstellung von der Funktion,. die gegeben is! durch: n(x) = 0 = x - x = 0 . XU fortzusetzen (Sjuts 2001c).
Von Clemens stammt:
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• 1.1 • I Iv I I I! ... 1 I it.'
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Er bevorzugt eine Maschinenvorstellung, und zwar die des Loschens, wie er in seinem ersten Satz zum Ausdruck bringt (" denn bei der Funktion verschwindet die Zahl x von der Bildjlache und 0 ist das Ergehnis"). Clemens gehOrt zu einer Klasse, in der ein Unterricht nach dem Registermaschinenkonzept (Sjuts 1999b) stattgefunden hat. Der nachste Satz ("x wird in der Funkiion nicht benotigt") legt nahe, dass diesem Schiller eine nach Schwank (1993, 1996) funktionale kognitive Struktur zuzuordnen ist. Und im letzten Satz (" ohne irgendeine Zahl x ktmnte die Maschine das richtige Ergebnis
Mentale Konstruktionen beim Aufgabenl6sen 123
ergeben H) zieht er aus seiner Analyse die Konsequenz, dass es sich urn eine O-stellige Funktion handelt.
Von Friederike stammt:
~ lJc)' )(-oX'
~ ~~ ~N(. ~~"t\\.~1 ~ -..:--l< -0 \~'c
u..n.d.. \.~ ~~ ~\.)S\'-k.~ ~ ~~
'<'~ ~ \l~~ ~\\Ic..
Friederikes Sicht bezieht sich auf die Darstellungsebene, nicht auf die Wirkungsweise der Funktion. Dies entspricht nach Schwank einer priidikativen kognitiven Struktur.
Weitere Untersuchungen zu kognitiven Strukturen fanden unter Laborbedingungen statt. Diese Forschungen sind unter den Titeln "Qualitatives Diagnoseinstrument fur pradikatives versus funktionales Denken" (Schwank 2001) und "Individuelle Unterschiede in der mentalen Reprasentation von Termumformungen" (Striethorst 2001) bekannt. Auch diese Untersuchungen bestatigen fur Friederike und Clemens die hier ermittelten kognitiven Praferenzen.
3.3 Losungen zu einer verwandten Aufgabe
Die Aufgaben "Frachter und Zollkreuzer" und "Femgesteuerte Autos" zeichnen sich durch die bereits erwahnten Ubereinstimmungen aus, insbesondere dadurch, dass sie Vorgiinge enthalten, die man mit linearen Funktionen beschreiben kann. Indessen verbirgt diese sachanalytische Aussage die kognitive Komplexitiit. Die Aufgaben gelten ja als sperrig und schwierig, besonders deshalb, weil die erforderliche Mehrschrittigkeit das unmittelbare Erkennen der Losung verhindert. Die vorgenommenen Erlauterungen moglicher wie tatsachlich erfolgter Losungen liefem hierfiir auch Belege.
3.3.1 Aufgabe
StruktuIVerwandt ist die folgende Aufgabe (Stem & Hardy 2001, S. 156):
Monzen
Vor einem Monat kam die Mutter von Ichiros ins Krankenhaus. Ichiros hatte sich entschiossen, zusammen mit seinem kleineren Bruder jeden Morgen in einem nahe gelegenen Tempel fUr die Gesundheit der Mutter zu beten und dabei jedes Mal etwas Geld zu spenden. Es gab achtzehn Zehn-Yen-Miinzen in Ichiros' Geldbeutel und zweiunclzwanzig Filnf-Yen-M11nzen im Geldbeutel des kleinen Bruders. Jeder der beiden Jungen nahm nach dem Gebet im Tempel eine M11nze aus seinem Geldbeutel und legte sie in den Opferkasten. Beide Jungen wollten so lange beten, bis ihre Geldbeutelleer waren. Eines Tages, nachdem sie ihr Gebet beendet hatten, schauten sich die Briider gegenseitig in ihre Geldbeutel und sahen, dass die Geldmenge im Geldbeutel des kleineren Bruders grofier war als die im Geldbeute1 von Ichiros.
Vor wie vielen Tagen hatten die beiden Jungen angefangen zu beten?
124 Johann Sjuts
Die Strukturverwandtschaft liegt vor aHem in den moglichen Sichtweisen auf die gegebene Situation, in entsprechenden Herangehensweisen und schlielHich in den Vorgehensweisen zur BewiUtigung und Losung. Denn einerseits kann man den Vorgang der mit unterschiedlichem Tempo geringer werdenden Geldmenge der Bruder und damit die geringer werdende Differenz ihres Geldes in den Blick nehmen (der kleine Bruder holt den grofien Bruder ein), andererseits kann man den Zeitpunkt betrachten, zu dem die Geldmenge des kleinen Bruders genauso grofi ist wie die des grofien Bruders, was sich durch eine diesen Sachverhalt beschreibende Gleichung ausdriicken Hisst.
3.3.2 Losungen
Wieder ist die individuelle kognitive Struktur herausgefordert. Findet sie eine Resonanz zur Aufgabe, ergibt sich eine entsprechende Losnng. Die Aufgabe "MUnzen" ist in einem schulischen Mathematik-Wettbewerb fur die Jahrgange 7 bis 9 gestellt worden. Schillerinnen nnd Schiller verschiedener Klassen (mit unterschiedlichen Lehrkraften) haben diese Aufgabe gelost. Zwei Losungen sind naehfolgend dokumentiert. Dabei solI Dieht nnerwiUmt bleiben, dass keine Verbindungen zu Lern- nnd Lehrpersonen der vorherigen Aufgaben und Losungen bestehen.
3.3.2.1 Konrads LOsung
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=:;:~:~= ::;!f •••. : 2~~ ~ .•..• : ~'"".~. : ... ~. ~ ~:i~ ~~ ~='-Konrad wahlt die dynamisehe Variante. Er betraehtet die geringer werdende Geldmengendifferenz der beiden Bruder. (Dabei lasst er sieh nieht dureh den Widersprueh zur
Mentale Konstruktionen beim Aufgabenlosen 125 ----------------------------------
Alltagsverwendung des Wortes Summe fur einen Geldbetrag verwirren; vielleieht spUrt er ihn aueh gar nieht.) Auch Konrad organisiert sein Denken. Allerdings interpretiert er seine Losung nieht riehtig. Es miisste heillen: Yom 15. Tag an hat der kleine Bruder mehr Yen in seinem Beutel als der grolk
3.3.2.2 Anjas Losung
"'0- "'0'" .. A"'O - 6~ \ - "''''6 ~ ","0 - ""O-c ~ - ~.c. I + 40 v
Anjas Losung ist gepragt von der Prazision auf der Besehreibungsebene. Sie nimmt eine Variablendeklaration vor; sie dokumentiert ihren Losungsgang und ihre Interpretation sehr sorgfaItig. Sie unterzieht ihr Ergebnis einer doppelten Reflexion. Zum einen priift sie ihr Resultat in Abgleieh mit dem Aufgabentext, zum anderen siehert sie das Ergebnis dureh eine Probe gegeniiber Fehlern abo Anja ist urn Perfektion bemiiht: Raben die Jungen I5-mal Geld gespendet, heillt das, dass sie vor 14 Tagen angefangen haben zu beten. .
1m Gegensatz zu Konrad, der Komplexes zu organisieren versteht, ohne immer prazise zu sein, setzt Anja ihre Kompetenz zur Wissensreprasentation ein, die dureh Prazision bestimmt ist und Metakognition als inharent erseheinen lasst.
Konrad und Anja verhalten sieh beim Aufgabenlosen in ahnlieher Weise wie Clemens und Friederike, obwohl die Unterriehts- und Lemsituationen ganz untersehiedlich sind, obwohllediglieh strukturverwandte Aufgaben zu lasen sind und die jeweiligen Vorkenntnisse kaum zu vergleichen sind. Diese Feststellung stiitzt die Annahme einer
126 Johann Sjuts
aufgaben- und personenubergreifenden Typisierbarkeit von Praferenzen in der kognitiyen Struktur.
4. Schluss
Die vorliegende Studie zeigt, dass beim Aufgabenlosen mentale Konstruktionen auftreten, die ein WechselverhaItnis zwischen Art der Losung und individueller kognitiver Struktur zum Ausdruck bringen. Die Studie untermauert das, was Cohors-Fresenborg & Schwank (1996) bei einer kognitionstheoretischen Analyse eines ganz anderen Bereichs, namlich des Business Reengineering in der Organisation und Fiihrung von Untemehmen, dargelegt haben. Sie stellten in dem Zusammenhang fest: "Nicht die Aufgabe bestimmt, wie mit ihr umgegangen wird, sondem die individuelle kognitive Struktur. Diese wirkt wie eine Brille, durch die man die Aufgabe wahrnimmt." (Cohors-Fresenborg & Schwank 1996, S. 237) Dabei treten zwei Praferenzen hervor, die pi-adikative und die funktionale. Die Bauteile des pradikativen Denkens sind Feststellungen fiber Eigenschaften und Strukturen, die des funktionalen Denkens sind Organisieren von Prozessen. Zu ein und derselben aullerlichen Aufgabenstellung bauen sich Menschen individuell unterschiedliche mentale Modelle. Die Losung findet im jeweiligen mentalen Modell statt. Am Ende "bleibt festzustellen, dass sich beide Arten der kognitiven Strukturen als Werkzeuge bewahren kOnnen. Es gibt nicht einfach die als solche richtige Sichtweise der Welt." (Cohors-Fresenborg & Schwank 1996, S. 240)
Selbst wenn sich der betriebliche Kontext von dem des unterrichtlichen erheblich unterscheidet, lasst sich eine zunachst nicht ersichtliche Ubereinstimmung formulieren. Fiir das Gelingen oder Scheitem von Business-Reengineering-Projekten sind ErkHirungen denkbar, die nicht in den Organisationsstrukturen liegen, sondem vielmehr ihre Ursache haben in einer yom Typ her unterschiedlichen mentalen Modellbildung der fur Entscheidung verantwortlichen Personen. Auch Erfolge oder Misserfolge mathematikdidaktischer Konzepte konnen eine kognitive Erklarung haben. Daher ist es geboten, Kognitionsanalysen von Schiilereigenproduktionen und Unterrichtsszenen vermehrt zu nutzen, wie das etwa mit dem multimediabasierten mathematikdidaktischen Analysesystem MUMAS (Cohors-Fresenborg u.a. 1999) moglich ist, in dem Videoaufnahmen geeigneter Unterrichtsszenen und zugehOrige Transkripte sowie passende Aufgaben und Schfilereigenproduktionen digital vorliegen und in einem umfangreichen Kategoriensystem vemetzt sind.
Weiterhin zeigt sich, dass die Ausformung einer individuellen kognitiven Struktur langfristig stabil ist. Einige der hier genannten Schfilerinnen und Schiller haben sichja fiber einen langeren Zeitraum verschiedenen Kognitionserforschungen unterzogen. Auch in anderen Langsschnittstudien (Griep 2002) und Unterrichtsbeobachtungen (Kaune 2002) hat sich der Sachverhalt der Stabilitat bestatigt.
Die vorliegende Fallstudie benutzt die didaktische Theorie der Mathematik als Werkzeug zur Wissensreprasentation und die Theorie der kognitiven Strukturen als Rahmen fur eine interpretative Analyse unterschiedlicher mentaler Konstruktionen beim Aufgabenlosen. Sie stellt einen Versuch dar, bei der Auswertung empirischen Materials stoffdidaktische und kognitionstheoretische Sichtweisen zu verbinden.
Mentale Konstruktionen beim Aufgabenlosen 127 -------------------------------
Literaturverzeichnis:
Bauersfeld, Heinrich (1983): Subjektive Erfahrungsbereiche als Grundlage einer Interaktionstheorie des Mathematiklernens und -lehrens. In: Bauersfe1d, Heinrich u.a. (Hrsg.): Lemen und Lehren von Mathematik. S. 1-56. Koln 1983
Bauersfeld, Heinrich (1993): Mathematische Lehr-Lern-Prozesse bei Hochbegabten. Bemerkungen zu Theorie, Erfahrungen und moglicher Forderung. In: Journal fur Mathematik-Didaktik, Jahrgang 14, Heft 3/4, S. 243-267, 1993
Baumert, Jilrgen u.a. (Hrsg.): PISA 2000. Basiskompetenzen von Schulerinnen und SchUlern im internationalen Vergleich. Opladen 2001
Becker, Oskar (1975): Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. 1975
Blum, Werner (1996): AnwendungsbezUge im Mathematikunterricht - Trends und Perspektiven. In: Kadunz, Gert u.a. (Hrsg.): Trends und Perspektiven. Beitrage zum 7. Internationalen Symposium zur ,,Didaktik der Mathematik" in Klagenfurt vom 26.-30.9.1994. S. 15-38. Wien 1996
Cohors-Fresenborg, Elmar (1996): Mathematik als Werkzeug zur Wissensreprasentation. Eine neue Sicht der Schulmathematik. In: Kadunz, Gert u.a. (Hrsg.): Trends und Perspektiven. Beitrage zum 7. Internationalen Symposium zur ,,Didaktik der Mathematik" in Klagenfurt vom 26.-30.9.1994. S. 85-90. Wien 1996
Cohors-Fresenborg, Elmar (2001): Mathematik als Werkzeug zur Wissensreprasentation: das Osnabrucker Curriculum. In: Der Mathematikunterricht, Jahrgang 47, Heft 1, S. 5-13,2001
Cohors-Fresenborg, Elmar & Schwank, Inge (1996): Kognitive Aspekte des Business Reengineering. In: Gestalt Theory, Vol. 18, No.4, p. 233-256, 1996
Cohors-Fresenborg, Elmar & Sjuts, Johann (2001): Die Berucksichtigung von kognitiver und metakognitiver Dimension bei zu erbringenden und zu beurteilenden Leistungen im Mathematikunterricht. In: Solzbacher, Claudia & Freitag, Christine (Hrsg.): Anpassen, Verandern, Abschaffen? Schulische Leistungsbewertung in der Diskussion. S. 147-162. Bad Heilbrunn 2001
Cohors-Fresenborg, Elmar u.a. (1999): Verbesserung der mathematikdidaktischen AusbildWlg durch den Einsatz eines multimediabasierten mathematikdidaktischen Analysesystems (MUMAS). In: Beitrage zum Mathematikunterricht 1999, S. 137-140
Dorn, Friedrich & Bader, Franz (Hrsg.) (1998): Physik 11. Hannover 1998
Gardner, Howard (1989): Dem Denken auf der Spur. Der Weg der Kognitionswissenschaft. Stuttgart 1989
Griep, Mathilde (2002): Zur Stabilitat von kognitiven Strukturen. In: Beitrage zum Mathematikunterricht 2002
Henn, Hans-Wolfgang (1997): Mathematik als Orientierung in einer komplexen Welt. In: Der Mathematikunterricht, Jahrgang 43, Heft 5, S. 6-13, 1997
vom Hofe, Rudolf (1995): Grundvorstellungen mathematischer Inhalte. Heidelberg, Berlin, Oxford 1995
Kaune, Christa (2002): Unterschiede in den kognitiven Strukturen als Grundlage zur Erklarung von Unterrichtsbeitragen. In: Beitrage zum Mathematikunterricht 2002
Meschkowski, Herbert (1985): Wandlungen des mathematischen Denkens. Eine Einfilhrung in die Grundlagenprobleme der Mathematik. 5. Auflage. Miinchen 1985
128 Johann Sjuts
Neubrand, Michael u.a. (2001): Gnmdlagen der Ergiinzung des internationalen PISA-Mathematik-Tests in dec deutschen Zusatzerhebung. In: Zentralblatt fur Didaktik der Mathematik, Jahrgang 33, Heft 2, S. 45-59, 2001
Schupp, Hans (1988): Anwendungsorientierter Mathernatikunterricht in der Sekundarstufe I zwischen Tradition und neuen Impulsen. In: Der Mathematikunterricht, Jahrgang 34, Heft 6, S. 5-16, 1988
Schwank, Inge (1993): Verschiedene Repriisentationen algorithmischer Begriffe und der Aufbau rnentaler Modelle. In: Der Mathematikunterricht, Jahrgang 39, Heft 3, S. 12-26, 1993
Schwank, Inge (1996): Zur Konzeption prlidikativer versus funktionaler kognitiver Strukturen und ihrer Anwendung. In: Zentralblatt fur Didaktik der Mathematik, Jahrgang 28, Heft 6, S. 168-183, 1996
Schwank, Inge (2001): Prlidikative versus funlctionale Art logischen Denkens. In: Beitrage zum Mathematikunterricht 2001, S. 560-563
Sjuts, Johann (1999a): Meiakognition im Mathematikunterricht. In: Beitriige zum Mathematikunterricht 1999, S. 497-500
Sjuts, Johann (1999b): Mathematik als Werkzeug zur Wissensrepriisentation. Theoretische Einordnung, konzeptionelle Abgrenzung und interpretative Auswertung eines kognitions- und konstruktivismustheoretischen Mathematikunterrichts. Osnabrock 1999
Sjuts, Johann (2000): Deftnieren, Abstrahieren, Beweisen - wie tragfahig fur das Lemen sind passende Modellvorstellungen? In: Beitriige zum Mathematikunterricht 2000, S. 618-621
Sjuts, Johann (2001 a): Aufgabenstellungen zurn Umgang mit Wissen(srepriisentationen). In: Der Mathematikunterricht, Jahrgang 47, Heft 1, S. 47-60, 2001
Sjuts, Johann (2001 b): Metakognition beim Mathernatiklemen: das Denken tiber das Denken als Hilfe zur Selbsthi1fe. In: Der Mathematikunterricht, Jahrgang 47, Heft 1, S. 61-68,2001
Sjuts, Johann (2001c): Eigenproduktionen und Metakognition. In: Beitrage zum Mathematikunterricht 2001, S. 588-591
Sjuts, Johann (2002): Analyse von Denkvorgiingen und ihre Bedeutung fur die Gestaltung von Lernprozessen. In: Beitrage zum Mathematikunterricht 2002
Stern, Elsbeth & Hardy, Donca (2001): Schulleistungen im Bereich der mathematischen Bildung. In: Weinert, Franz E. (Hrsg.): Leistungsmessungen in Schulen. S. 153-168. Weinheim, Basel 2001
Striethorst, Ansgar (2001): Zum Unterschied zwischen pradikativer/funktionaler Verwendung von Regeln bei der Symbolverwendung. In: Beitriige zum Mathematikunterricht 2001, S. 604-607
Wittmann, Erich Christian (1992): Mathematikdidaktik als "design science". In: Journal fur Mathematik-Didaktik, Jahrgang 13, Heft 1, S. 55-70, 1992
Dr. Johann Sjuts Studienseminar Leer Evenburg - Am Schlosspark 25 26789 Leer
Manuskripteingang: 26. Februar 2002 Typoskripteingang: 24. Juni 2002
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