618

7. Untersuchungen iiher d ie TotaZreflexion; von C l e m e n s Schaefer und Gustnv Gross .

8 1.

Das Interesse, das man der Totalreflexion stets entgegen- gebracht hat, beruht wesentlich auf dem Umstande, daB einer- seits im reflektierten Strahl sich die gesamte Energie des ein- fallenden wiederfindet, und andererseits dennoch auch im zweiten Jfedium ein Strahlungsvorgang stattfindet. Dies folgt aus samt- lichen Lichttheorien in ubereinstimmender Weise. Es ist daher begreiflich, daB man versucht hat, diesen im zweiten Medium verlaufenden StrahlungsprozeB experimentell zu untersuchen.

Lange Zeit -hindurch hat man auf die Existenz dieses Strahles auf folgendem indirektem Wege geschlossen: Es werde die Totalreflexion an der Grenze Glas-Luft dadurch erzeugt, daB man Licht unter 45O an der Hypotenuse eines recht- winkeligen Glasprismas reflektieren 1aBt. Nahert man von hinten die Hypotenusenflache eines zweiten kongruenten Prismas parallel an die des orsten an, so sollte dies - wenn im zweiten Medium gar nichts vor sich geht - so lange nichts ausmachen, als nicht voilstandige Beruhrung der beiden Hypotenusenflachen eingetreten ist, d. h. sich ein homogener Glaswiirfel gebildet hat. Dann muB ja das Licht, ohne eine Reflexion zu erleiden, einfach hindurchtreten. In Wirklichkeit beobachtet man jedoch auch schon bei Entfernungen der beiden Hypotenusenflachen von der GroBenordnung einer Wellenlange, dap nicht mehr alles Licht reflektiert, sondern ein Teil hindurchgelassen wird. Daraus folgt in der Tat , daB auch im zweiten Medium ein fur das Zustandekommen der Totalreflexion wesen tlicher ProxeB vor sich geht, der durch das Hervorbringen der zweiten Flache gestort wird. Dieser Versuch ruhrt im Prinzip schon von Newton') her und wurde von Quinckea) vor einem halben

1) I. N e w t o n , Opt. lib. 2, obs. 1. p. 185. 2) G. Quincke, Pogg. Ann. 127. p. 1 u. 199. 1866. -

Untersuchungen f'ur die Totalreflexion. 649

Jahrhundert in umfassender Weise variiert. Seine Versuchs- ergebnisse hat spater Vo i g t l) fast samtlich theoretisch zu er- klaren vermocht. In der Tat liefern die Lichttheorien auch die vollstandige LGsung dieses Problems, der sogenannten Total- reflexion an einer diinnen Lamelle.2)

Mit derselben Anordnung hat auch kurzlich H a l l 3, ge- nauere Messungen angestellt.

Kine andere Nethode zum Nachweis einer Lichtbewegung in1 zweiten Medium besteht darin, da8 man auf der Trennungs- flache ein Beugungsgitter anbringt ; dann beobachtet man auch im Gebiete der Totalreflexion gebeugtes Licht. Dieser Ver- such ruhrt her von Ditscheinerk), und ist spater noch mehr- mals, wie es scheint unabhangig von Di t sche ine r , angestellt worden, namlich von K. Exner5) und E d s e r und Senior.6) Doch ist dies mehr eine Bestatigung des Huyghens-Fresne l - schen Prinzips, als ein Nachweis dafur, daB auch bei un- gestorter Totalreflexion ein Vorgang im zweiten Medium sich abspiel t. ')

Die Indirektheit der eben geschilderten Methoden hat Voigt8) z u einer neuen Anordnung gefiihrt; sein Gedanken- gang wird aus folgendem Zitat ersichtlich: Jndessen erscheinen diese Beweise als umstandlich, vielleicht sogsr als nicht ganz befriedigend, da j a in den Fallen, wo Licht in das dritte Nedium eindringt, die Reflexion an der Grenze (1,2) eben keine totale ist. Jedenfalls wurde der Nachweis jener im zweiten Medium stattfindenden Schwingungen schlagender sein , wenn es gelknge, dieselben bei faktischer totaler Reflexion ohne das Hilfsmittel eines dritten Rorpers im zweiten Medium selbst sichtbar zu machen.&'

Voigts Methode besteht darin, daB er als Grenzflacbe eine unter stumpfem Winkel geknickte Flache benutzt, SO da6

1) W. Voigt , GStt. Nachr. 1884. p. 49ff. 2) Vgl. z. B. W i n k e l m a n n s Handb. 6. p. 1275ff. (Autor P. Drude). 3) Elmor E. Hall, Physical Review 15. p. 73. 1902. 4) L. D i t s c h e i n e r , Wiener Ber. 60. 11. p. 554. 1870. 5) K. E x n e r , Wiener Ber. 98. IIa. p. 51. 1889. 6) E . E d s e r u. E. S e n i o r , Phil. Mag. (6) 4. p. 346. 1902. 7) Man vgl. etwa die Erklarung des Phiinomens bei E x n e r , 1. c.

8) W. Voigt , G6tt. Nachr. 1898, Heft 3. p. 1 ff. oder bei E d s e r u. Senior , 1. c.

6 50 CE. Schaefer u. G. Gross.

zu ihren beiden Seiten Totalreflexion stattfindet. Aus der Kante des Knickes tritt dann ein sehr feines Lichtbundel aus.

Es scheint uns jedoch - i n Ubereinstimmung mit Drude ' ) - daB auch die Voigtsche Methode ihr Ziel insofern nicht erreicht, als es sich nie urn Totulrefle.zion im strengen Sinne handeln kann, sobald man aus dem Medium (I) noch irgend Licht austreteh sieht, was bei Voigt ja der Fall ist.

Eine vierte, und zwar als direkte zu bezeichnende Methode riibrt von H a l l her. Derselbe bringt auf der Ruckseite der Hypotenusenflache des Prismas als zweites Medium eine licht- empfindliche Gelstineschicht an. LaBt man ein durch ein kreisrundes Diaphragma begrenztes Lichtbiindel unter 45 O

an der Hypotenuse total reflektieren, so zeigt sich bei der Entwickelung der Schicht eine kreisrunde , dem Diaphragma entsprechende Stelle geschwsrzt. Die Schwarzung reicht nur bis zu einer geringen Tiefe. Wiederholt man den Versuch in der Weise, daB die Gelatineschicht nicht unmittelbar an der Glasflache adhariert, sondern einen Abstand von ca. der 4 fachen Wellenlange des benutzten Lichtes davon hat, so bleibt in Ubereinstimmung mit den Ergebnissen der Quincke schen Versuche die Schwarzung aus.

Auch hier bleibt es fraglich, ob nicht die Energie, die zur Schwarzung der Gelatine verbraucht wird, im reflektierten Licht fehlt, ob es sich also im strengen Sinne urn Totalreflexion handelt. Man muB namlich die Frage aufwerfen: Ist es uber- haupt miiglich, ohne die Totalreflexion im strengen Sinne des Wortes zu storen, einen Nachweis der Schwingungen im zweiten Medium zu geben? Wir werden spater sehen, daB dies in der Tat gar nicht der Fall sein kann.

Es ist schon oben erwahnt worden, da5 die elektro- magnetische Theorie die Quinckeschen Versuche der ,,Total- reflexion" an einer sehr dunnen Lamelle zu berechnen ge- stattet. Man erbalt insbesondere ganz bestimmte Werte fur die reflektierte und durchgelassene Energie als Funktion der Dicke d der Lamelle. Natiirlich ist es mit optischen Wellen schwierig , derartige photometrische Messungen auszufiihren ; der gegebene Weg ist hier die Benutzung elektrischer Wellen.

1) Y. D r u d e , Lehrbuch der Optik p. 287

Uktersuchungen uber die TotalrefEexion. 651

Es ist eines der Ziele der vorliegenden Arbeit, zu zeigen, da8 die von der Theorie gelieferten Ausdrucke fur die obigen Gro8en mit dem Experiment vollkommen iibereinstimmen.

s 2-

Bevor wir dazu ubergehen, miissen wir aber noch genauer die Vorgange im zweiten Medium diskutieren, da die An- schauungen daruber offenbar noch nicht vollstandig geklart sind. So z. B. behauptet D r u d e l), da8 der parallel der Trennungsflache im zweiten Medium verlaufende Energiestrom nicht aus transversalen, sondern longitudinalen Weilen bestande. Das ist schwer mit dem Poyntingschen Satze zu vereinbaren, wonach der Poynt ingsche Vektor, d. h. der Lichtstrahl, stets senkrecht auf der durch die elektrische und magnetische Kraft gelegten Ebene steht.

Dieser Widerspruch ist es gewesen, der Hrn. E ichen- w a l d a) veranlabt hat, die Vorgange bei der Totalreflexion im zweiten Medium an der Hand der Theorie noch einmal genau zu diskutieren. Seine Methode besteht wesentlich darin, da8 er rnit Hilfe der schon liingst bekannten Ausdriicke fur die Amplituden der totalreflektierten und ,,gebrochenenCL Strahlen den Poyntingschen Vektor konstruiert. Man erhalt so ein anschauliches Bild dieses Vorganges in allen Einzelheiten. Da die Eichenwaldsche Abhandlung erst vor kurzem in russischer Sprache erschienen ist und daher in weiten Kreisen noch un- bekannt sein diirfte, so sei es uns gestattet, ihren Inhalt in Kurze zu rekapitulieren.

Wir legen folgende Verhaltnisse zugrunde: Die Einfallsebene sei die x z-Ebene; oberhalb der x-Achse

(fur negative z) befinde sich das Medium 1, unterhalb (positive z) das Medium 2. Unter einen Winkel sp falle ein Zug un- begrenzter ebener Wellen ein, die an der Trennungsebene (partiell oder total) reflektiert werden; der Winkel der ge- brochenen Strahlen mit der z- Achse werde durch bezeichnet. Die elektrischen und magnetischen FeldgroSen werden unter

1) P. Drude, Lehrb. der Optik p. 286; ebenso in Winkelmanns

2) A, Eichenwald, Journ. d. russ. physik.-chem. Ges. 41, pliysik. Handb. 6. p. 1277.

Teil. p. 131-153. 1909.

652 CI. Sehaefer u. G. GTOSS.

diesen Umstanden von y unabhangig, und die Maxwellschen Gleichungen zerfallen in zwei unabhangige Gruppen, bei denen

I

+z Fig. 1.

entweder der elektrische oder der magnetische Vebtor in der Einfallsebene liegt. Wir behandeln nur den letzteren Fall.

Setzt man fur die einfallende Welle:

so folgt fur die refiektierten Wellen:

1

) I I 01

1: = 9Is 1 J

2 n i x s i n p - z c o s p _ _ (j - ( 5,. = %* cos fp 6;

( 2 ) 1 N,. = %ssin y o < e 7'

und fur die gebrochenen Wellen:

1

'I % (t - x s i n y + e c o a g

%'a 1 j

( L, =- D s c o s y ~ <

(3) { Nd = a , s i n y ~ < e T

Yd = B8

Dabei bedeuten ul und v2 die Geschwindigkeiten des Lichtes im ersten bzw. zweiten Medium; ferner sind und s2 die

Gztersuchunyen uber die Totalrepeezion. 653

beiden Dielektrizitatskonstanten ; die Permeabilifat ist fur beide Medien gleich 1 gesetzt. Endlich bedeuten !J18 und SD, folgende Bbkiirzungen :

Von den komplexen Ausdriicken sind natiirlich nur die reellen Teile zu nehmen.

Solange man sich im Qebiete der partiellen Reflexion befindet, sind die GrGBen D,, c o s y reell. Dies Lndert sich, wenn man zu solchen Werten von 'p iibergeht - dies ist nur moglich, wenn > 8% -, daB

Nun ist aber sin 'p > 3

82

der Brechungsexponent des ersten Mediums, in bezug auf das zweite. In diesem Falle ist nach dem Brechungsgesetz:

sin cp, sin y = - 121

und

oder, da nach Voraussetzung sinz ' p /n12 > 1 ,

(5)

Daraus folgt nach (4), dab X, und D8 komplex werden; letztere GroBen ,konnen dnher in die Form gebracht werden:

93, = i%,j e - i s l ,

(61 { SD, = lD81e-i8a,

Auf die Werte von i5Bai, a,, S, kommt es im folgenden nicht weiter an; (!JIt,l = 1. Setzt man nun die Ausdrucke (5) und (6)

__ ~~ ~ . ~ _ ~

cos = - j,/'* lz,* - 1 = - i k v , .

1) Weshalb der cos des Minuszeichen erhalten mu6, vgl. bei Drude, Lebrbuch der Optik p. 281.

654

in (l), (Z), (3) ein, so erhalt man folgende reellen Teile, noch el = 1 gesetzt wird (zweites Medium = Vakuum):

CI. Schaefer u. G. Gross.

zsincp + acospl

2'1

a sin 'p -b x cos rp

Le = - cos sp

(la) 3, = + I 2'1

z sin q -b a cos cp I 1 ye= T 01

zs inp-aaoscp 2'1

L, = cos cp . 16; . cos

N, = sin g, . J / E ~ . cos . . . . . . . . . -

I;= cos [ . . . . . . . . .

Man erhiilt also fur die gesamte magnetische Kraft im Medium :

1; = Je -j- L, = l J ~ C 0 S f p " - C O S d + C O S P ] ,

N = N , + N , = % sing,[ C O S U + C O S P ] ,

wenn a und in ( l a ) und (2a) gesetzt werden. gleichung der magnetischen Eraftlinien im ersten Medium

zur AbkUrzung fur die Argument0 der Kosinusse Also lautet die Differential-

- cos a + cos @ - d z - - cosa + cosp d a l

die nach Einsetzen der Werte fur a und P leicht integriert werden kann. Diese Kraftlinien sind graphisch dargestellt in den punktierteo Kurven des oberen Teiles der Fig. 2 l), und

1) cp I= 450; der Brechungsexponent ist so gewghlt, da6 rp = 45O gerade gleich dem Grenxwinkel wird.

Unte r su chuny en u b er die Totalre fiexion, 655

zwar gelten dieselben fur den Zeitmoment t = 0 ; fiir alle anderen Zeiten erhalt man ein Rild derselben, indem man die ganze Zeichnung starr parallel zur x-Achse in deren positiver Richtung mit der Geschwindigkeit v1 /sin y verschiebt.

Im zweiten Medium erhalt man ebenso:

Auch diese Differentialgleichung la6t sich leicht integrieren, und die der erhaltenen Gleichung entsprechenden Kurven sind im unteren Teile der Fig. 2, ebenfalls wieder fur t = 0, punktiert dnrgestellt. Fur alle spatcren Zeitmomente muB die Figur auch in der unteren HLlfte mit der Geschwindigkeit v l / s iny parallel der positiven x-Achse verschoben werden.

Die elektrischen Kraftlinien sind Gerade parallel der 3-Achse; daraus ergibt sich, da6 die Linien, welche den P o y n t ing schen Kraftvektor darstellen, einfach die ortho- gonalen Trajektorien zu den magnetischen Kraftlinien dar-

656

stellen. Es sind dies die stark gezeichneten Kurven der Fig. 2; es sei hervorgehoben, daB die Fig. 2 der genannten Arbeit von E ichenwa ld entnommen ist.

Uns interessieren insbesondere die Stromungslinien der Energie in dem unteren Teile der Zeichnung. Man erkennt folgendes: die Xnergie striimt an gewissen Stellen aus dem ersten ,Medium in das zzueite, urn an anderen Stellen wieder vollstandig ins erste Medium zuriickzukehren.

So versteht man unmittelbar, wie das Restehen eines Strahlungsvorganges im zweiten Medium mit totaler Reflexion vereinbar ist.

Beachtet man, daB die Figur mit einer gewissen Ge- schwindigkeit sich parallel der x-Achse verschiebt, so erkennt man ferner folgendes: die Stromung der Energie durch die Trennungsebene (xy-Ebene) ist in toto gleich Bull; dagegen ist die Energiestromung durch eine Ebene parallel zur y z-Ehene stets positiu: Dies i s t der parallel der Grenzflache verlaufende Eneryiestrom, vnn dem in den Arbeiten vo)t Voigt und D r u d e die Rede ist.

Man erkennt endlich, daB man es hier mi t einein trans- versalen Vorgang zu tun hat, d a der Poyntingsche Vektor in der Tat stets senkrecht zur elektrischen und inagnetischen Kraft stromt.

Die hier mitgeteilten Satze sind die Resultate E i c h e n - w a lds ; wir ziehen aus ihnen unmittelbar folgenden SchluB: Jeder Tor.gay, der den Eneryiestrom im zweiten Medium irgend- wie aeriindert, oder einen Teil dcsselben absorbiert, vernichtet gleichzritig die totale Refiexion. Dies ist der Fall bei den Versuchen von Qu incke und Di tsche iner , nicht minder aber bei denjenigen von Voigt (da j a ein Lichtbiindel aus dem Knick austritt) und bei dem von H a l l (wo zur Schwarzung der Gelatine Lichtenergie verbraucht und dem Energiestrom im zweiten Medium entzogen wird). Man darf also uberhanpt iiicht die F’orderung stellen, bei faklischer totaler Reflexion auf irgend eine Weise den Energiestrom im zweiten Medium nachzuweisen.

Cl. Scliaefer u. G. Gross.

8 3.

Man wird den Wunsch haben, auch fur den theoretisch durchfiihrbaren Fall der ,,Totalreflexion an einer sehr diinnen

Unlersuchungen uber die TotalrefEexion. 657

Lame1:e" (Quinckescher Versuch) einen vollsfandigen Einblick in . den Verlauf der Energiestromung zu erhalten. Dies ist auf dieselbe Weise wie oben miiglich, wenn auch erhebliclr komplizierter und miihsamer. Wir haben dennoch die lang- wierige Rechnung durchgefuhrt und teilen sie im folgenden mit.

Die benutzten Formeln sind der bereits genannten Arbeit von H a l l entnommen.

Im ersten Medium ( E ~ ) hnben wir, wie bisher, folgende Gleichungen fur die einfallende und reflektierte Welle:

1 ( t - E n r p + z c o s +

Lv = SS cos sp y<

\ Tr =

Im zweiten Medium haben wir nun jedoch zwei' Wellen, eine einfallende und eine von der hinteren Grenze reflektierte, zu nnterscheiden :

Le' = - B8' cos lp Y E 2

1; = D8'

(L ;= B s f C O S ? / q / <

(t - xsin y + z c o s i p "?

und

(11) jai.= D i r s i n v l <

Fr' = "

Die Formeln (10) und (11) gelten in dem Bereich des zweiten Mediums; d. h. also, wenn wir dessen Dicke mit d bezeichnen, von z = 0 bis z=d.

Im dritten Medium endlich, welches wir dem Material nach als mit dem ersten identisch nehmen wollen (e3 = el), haben wir endlich nur eine einzige fortschreitende Welle zu berucksichtigen:

Annslen der Physik. IV. Folge. 32. 42

CI. Schaefbr u. G. Gross.

I; = TDs I Dazu treten nuu die bekannten Grenzbedingungen der Max- wellschen Theorie, welche in unserem Falle lauten :

Diese ergebeii folgende Relationen : (1 - 92J cos qj 1/< = (a; - a;’) cos 1p 1;. , (1 + %*) = D&’ + Q8” ,

? n i d co* p

2 xi cl co1 p

- ___-

- a6’e-‘& + a 8 ” e + u = . v i t .

I (I5) c o s v f i (9: e-7c - B:e+u) = Qs. e 21 . cos cp v<, I \

Dabei bedeuten : 2 n d c o s y . 2 7 I d C O B Y ) .

2 , 2 = ____ u=--- T Z12 A,

I, = To1. (16)

1st nun, was wir voraussetzen, cp groBer als der Grenzninkel, so ist cos 1~ komplex und gegeben durch Gleichung (5). Dan11 erhalten wir statt (15) und (16), wenn wir noch

p = n, El

setzen : C O S V ”1

cos ql 1 - = (Ba’- BE”) A,

1 + %&. = D8‘ + Q6”,

Untersuchungen iiber die TotalrefEexion. 659

Man erkennt aus (lsa), da6 u nunmehr reell geworden ist. Die Gleichungen (15a) reichen aus, um R8, Ds, D8', SD," zu be- rechnen. Wir haben dies fur einen speziellen Fall, urn . die Kraftlinien zeichnen zu kiinnen, numerisoh ausgefuhrt :

Als Medium 1 (= Medium 3) wurde Paraffin (el = E~ = 2,33) angenommen, als Medium 2 Luft; ferner der Einfallswinkel 9~ = 45O, der unter diesen Urnstanden g136er ist als der Grenz- winkel; n1 ist = 0,655; d wurde gleich + A l angenommen.

Man erhBlt unter diesen Annahmen folgende (angenaherte) Werte:

J = 0,9 e i+ ,

(17) , 1,84e*,1*ni , %8"= - 0,15 e0,46n i.

Fur die Kraftlinien im ersten Medium erhalten wir dem- nnch folgende Differentialgleichung, die fur den Zeitmoment t = O gilt:

Hier nehmen wir, was den im Experiment spater realisierten Verhaltnissen entspricht,

.A, = .___ (da 9 = 45*) = 20 rni sinq, cosrp

an, und erhalten d a m :

oder, wenn man als neue Variable

(1 9) benutzt :

42*

660

oder noch einfacher unter Benutzung der Substitution:

(2. Sc1iaefZ.r u. G. Gross.

- cos u -b 0,9 cos v d ( Z L + 2%) ~ - + C 0 3 18 -!- o,%+ C0.3 ?' d ( U - 2 , ) ' (21)

Daraus findet man leicht als Gleichung der Kraftlinie in u und v :

(22) sin u + 0,9 sin v = Const.

Bei der Konstruktion der Kraftlinien geht man am besten von der Uberlegung aus, daB der groBte bzw. kleinste Wert, den die rechte Seite von (23) annehmen kann, gleich & l , 9 ist. Dnnn sind z. B. im F'alle des Pluszeichens die Losungen, wenn k und k' beliebige game ZahIen bezeichnen:

(23)

irn Falle des Minuszeichens:

(232)

Aus jedem Wertepaare von u und 21 folgt ein Paar x und z ; d. h. die Kraftlinien sind fur diesen Wert der Konstante zu Punkten zusammeiigeschrumpft. Damit erhalt man eine erste Orientierung; denn die kleineren sbsoluten Werten der Kon- stante entsprechenden Kraftlinien schlingen sich urn diese Piinkte herum. Das so berechnete Kraftlinienbild ist in der oberen Partie der Fig. 3 punktiert eingetragen; um sich ein Bild des Vorganges fur spatere Zeiten zu machen, hat man die Figur starr mit der Qeschwindigkeit v1 /sin (p langs der positiven x-Achse zu verschieben.

Im zweiten Medium (Lut't) erhalt man folgende Werte fur die magnetischen Kraftkomponenten aus (lo), (1 1) und (1 7) fur die Zeit t = 0:

Untersuchungen uber die Ibtulre$exion. 66 1

Daraus folgt fur die magnetischen Kraftlinien die Differential- gleichung :

0,75 e -o~122 sin - x - 0,147~ _ _ _ _ _ - ~ - - [I",

[I", [:, (24) ,-0,12 z cos - -- x - 0,14n - 0,16 e+0912z cos - x - 0,413~

Diese Gleichung lafit sich nicht durch Quadraturen inte- grieren. Man muB vielmehr hier ein Approximationsverfahren anwenden, und Punkt fur Punkt aus einander berechnen.

Wir benutzten zuerst das von C. Rungel ) angegebene Verfahren, das sich indes nach einigen Versuchen fur unsere Zwecke als uberfliissig genau, und als recht zeitraubend erwies. Wir haben dann mit gutem Erfolge das alte von L. E u l e r herruhrende einfachere Verfahren benutzt, das auf folgendem Gedankengang beruht. Es sei die Differentialgleichung ge- geben :

(a) dl;

Hier geht man von einem bestimmten Wertepaare (zoyo) aus, uncl erteilt der unabhangigen Variabeln, z. B. I, einen Zu- wachs A x .

d y - = f (x y).

Dann ist nach (a):

(b) A Y = f k o Y y o ) d E *

XI = Eo + A x , Daraus ergibt sich ein zweites Wertepaar:

r = y o + Ay. (4

&lit diesem wird der ProzeW wiederholt und so Punkt fur P u n k t der Kurve berechnet. Es ist dabei zu beachten, daB

1) C. Runge, Math. Ann. 46. p. 167. 1895.

662 CI. Schaefer u. G. Gross.

das Verfahren nur dann konvergent ist, wenn A y l A x < 1 ist. 1st das nicht der Fall, so ist also A x / A y < 1, d. h. man muB d a m y als unabhkngige Variable nehmen.

0 II N

U

I1 N

Untersuchungen iiber die Totalrefiexion. 663

Dieses Verfahren, auf die Gleichung (24) angewendet, er- gibt die punktiert gezeichneten Kurven der Fig. 3 zwischen z = O und z = d . Fur jede Kurve sind die Ausgangswerte (zoyo) so gewahlt, daB sie sich an die Kraftlinien des ersten Mediums anschlieBen.

Im dritten Medium endlich liegt die Sache sehr einfach. Denn nach Gleichung (12) haben wir, fur t = 0, die Differen- tialgleichung der Kraftlinien :

dx - c tgy = __ d % '

die also gerade Linien darstellt, die unter 45O gegen die nega- tive x-Achse geneigt sind.

Es ist zweckmaBig, fur die weitere Diskussion die Kurven der Fig. 3 mit denen der (Eichenwaldschen) Fig. 2 zu ver- gleichen.

Man erkennt zunachst, da6 im Medium 1 die Fig. 2 in Quadrate zerfallt , innerhalb deren die geschlossenen Kraft- linien verlaufen. Diese selbst sind kreisahnliche, etwas ab- geplattete Kurven. Dagegen zerfallt in Fig. 3 im ersten Medium die Zeichnung in Rhomben, und ahnlich sind die Kraft- linien nach einer Seite hin yestreckt. Das Verhaltnis der Diagonalen jedes Rhombus steht offenbar in einfacher Be- ziehung zu der GroBe l%J, die man qualitativ so aussprechen kann, da6 j e kleiner /'$I8! (d. h. je kleiner die Dicke d des zweiten Mediums) ist, urn so gestreckter die Rhomben und mit ihnen die eingeschlossenen Kraftlinien werden.. Im Grenzfalle

= 0, was dann eintritt, wenn d = 0 (d. h. gar keine Tren- nungsflache zwischen dem identischen Medium 1 und 3 vor- handen ist), degenerieren die Rhomben zu geraden Linien, die unter 45O gegen die Abszissenachse geneigt sind. In diesem Falle sind die orthogonalen Trajektorien , die Stromungslinien der Energie, ebenfalls Gerade, die unter (90 + 45O) gegen die Abszissenachse geneigt sind. Wir haben in diesem Falle ein- fach eine ebene Welle, namlich die einfallende Welle.

Im Medium 2 kann man die Kraftlinien der Fig. 2 so charakterisieren: Sie erleiden an der Trennungsflache einen h i c k und schliepen sich slimtlich, wenn auch zum Teil erst in sehr groBer Entfernung von der Trennungsflache. Ahn-

66 4 c'l. Schaefer u. G. Gross.

liches gilt von der Fig. 3, aber mit dem wesentlichen Unter- schiede, da6 niciit ulle Kraftlinien sich im Medium 2 schlieben, sondern einzelne (und zwar urn so mehr, je kleiner die Dicked des zweiten Mediums ist) an der Grenzflache z = d des zweiten und dritten Uediums nochmals einen Knick erleiden, urn dann als Parallele ins Unendliche zu verlaufen.

Dies gilt mutntis mutandis auch fur die StrGmungslinien der Energie, die ausgezogenen Kurven der Fig. 3. Insbeson- dere erkennt man, daB beim Vorhandensein eines dritten Mediums in endlicher Entfernung d von der Trennungsflache des ersten und zweiten, nie die gunze aus Medium 1 nach 2 austretende Bneryie ins erste Medium zuriicktreten Ram, sondern dap stets ein Teil iris dyitte Xedium eindringt. Dieser letztere wird, wie man unmittelbar aus der Fig. 3 ablesen kann, urn so grofier, je kleiner die Zwischensclliclzt d des zweiten Mediums ist.

Damit ist der Newton-Quinckesche Versuch i n allen Einzelheiten anfgekliirt.

8 4. Aus den Gleichungen (15a) und (16a) ergeben sich folgende

Formeln fur die Intensitat der durchgelassenen und reflektierten Strahlung :

4 cos2 rp (sin2 cp - n I 2 a n 2 u (1 - m , ~ ) ~ + 4 C O S ~ 'p (sin2 'p - m,*) '

Bin2 u (1 - 12, 2)2

e t n z u (1 - n12j2 -I- 4 cos2 q (siu2 cp - / E , Y J '

\ DS = -,

I 2?$ = -. (26)

und ebenso fir den Fall, daB der elektrische Vektor parallel der Einfallsebene schwingt

4 m14 cosZ cp (sin2 cp - m12)

Ginz u (1 - m I 2 ) (sin2 'p-w12 cos2 cp)%

\ D p = Btn~~~(1--n12)2(si~12cp--nl~cos~cp)2+ 4r/,4cos2cp(sin2tp-n1')' ( 2 7 )

Aus (36) und (27) folgt sofort: - q + R * = 1, D p + R p = 1.

Wie schon im 9 1 erwkhnt wurde, sind diese Ausdriicke nie- mnls quantitativ untersucht worden, was mit Lichtwellen auch

Untersuchungen iiber die Totalreflexion. 6 65

wohl unmoglich ware. Wir haben deshalb eine solche Prii- fung mit elektrischen Wellen vorgenommen.

Versuche uber Totalreflexion mit elektrischen Wellen finden sich bereits in der Literatur vor. A. Righi’) hat mit zwei Paraffinprismen den Newt on -Quinc keschen Versuch wiederholt, indem er zeigte, dab die Totalreflexion aufhorte, wenn die Hypotenusenflache des zweiten Prismas der des ersteii auf einen Abstand von l / z h , genahert wurde. Zu quanti- tativen Messungen war aber R igh i s Funkenresonator nicht geeignet.

R igh i s Versuch wurde spater wiederholt von E. Oppen2), der ein KlemendiEsches Thermoelement als Empfanger be- nutzte, und daher irnstande gewesen ware, genaue quantitative Messungen auszufuhren. Seine quantitativen Resultate sind indessen f’alsch, ohne da8 wir jedoch imstande waren, den Punbt seiner Versuchsanordnung zu bezeichnen , dem diese Fehler in der Hauptsache zuzuschreiben waren. So fiihrt diese Arbeit nicht weiter als die Righische.

Unsere Versuchsanordnung wird durch die Fig. 4 illu- striert. Darin bedeuten: E den Erreger der elektrischen Wellen, die durch den Hohlspiegel El parallel gemacht werden ; an der Riickseite des feststehenden Paraffinprismas P, findet die Totalreflexion statt. Y . ist ein zweites genau gleiches Prisma, welches auf einer beweglichen Platte A ruht, die durch die Schraube G gegen den Tisch T verschoben werden kann;

1) A. R i g h i , Optik d. elektr. Schwingungen p. 161ff. 3) E. O p p e n , Rostocker 1naug.-Diss. 1906. 3) Wir wollen nicht unerwahnt Iassen, daB Hr. L a m p a (Wiener

Ber. (118) 108. p. 786. 1899) den Versuch gemacht hat, die D i t - sche iner -Exnersche Uberlegung (a 1) mit elektrischen Wellen zu reali- sieren. Seine Anordnung ist vom heutigen Standpunkt als sehr ver- besserungsbediirftig zu bezeichnen; abgesehen davon ist uns folgender Purrkt unverstandlich gehlieben: Bei dem Exnerscben Versuche war ein Beugungsgitter auf der total reflektierenden Flache angebracht. Hr. L a m p a arbeitet mit Wellen von ca. 80mm Lange; das Gitter, welches er auf die Hypotenusenflache eines Paraffinprismas kleht , besteht aus Stanniolstreifen von 3 mm Breite in ebenso groSen Abstiinden. Die Periode seines Gitters ist also etwa ljIS der Wellenliinge; dieses i s t mit- hin gar kein Beugungsgitter im gewohnliehen Sinne des Wortes! Die Beziehung des Lampaschen Versuches zu der Exnersehen Deduktion ist uns demnach unklar geblieben.

666 Cl. Schaefer u. G. Gross.

ein Zeiger 2 gestattet an einer Skala Sk die GroBe dieser Verschiebung zu messen. Die reFektierten Strahlen werden durch den Hohlspiegel H, auf den Empfanger Th, einem KlemenEiE schen Thermoresonator konzentriert. Zur Unter- suchung der dwchgelassenen Strahlen wurde El2 mit Empfinger in die Stellung H,' gebracht.

- - i D , D

,'

T

\ -Th / \ 'I , H>-!:-' 2 ii

zum Gdvanornetei

Fig. 4

Die Dimensionen der Apparate waren folgende : Die Wellenlange in Luft des Erregers war A, = 15cm;

sie wurde mittels der B ol tzmannschen Interferenzmethode bestimmt. Die Kathetenflachen .der beiden Prismen betrugen 55 x 55 cm2; das Diaphragma B , welches den Strahlengang begrenzte, hatte eine Offnung yon 50 x 50 em2.

I m allgemeinen lag der elektrische Vektor horizontal, also nach Ausweis der Fig. 4 in der Einfallsebene. Bei einigen Versuchsreihen jedoch wurde durch Drehen des Erregers urn 900 um eine horizontale Achse auch der Fall untersucht, daB der elektrische Vektor senkrecht zur Einfallsebene stand.

Die Versuche wurden nun folgendermaBen angestellt : Zunachst wurde das zweite Prisma P, so weit abgekurbelt,

Untersuchungen iiber die Totalrefiexion. 667

daB keine Anderung des Ausschlags mit wachsendem d mehr auftrat. Dann hatte man also faktisch Totalreflexion. Dam

0.0 -1 -2 3 -4 -5 .6 7 -8 .9 1-0 11 12 1-3

Fig. 5.

wurde Pz langsam genahert und nun R, als Funktion von d, oder, wie es in den Figuren aufgetragen ist, als Funktion von d/A2 bestimmt. Nachdem vollstandige Beriihrung der beiden

668 Cl. Sciiaefer u. G. Gross.

Prismen eingetreten war, wurde P, wieder riickwgrts gekurbelt und eine zweite Reihe im umgekehrten Sinne aufgenommen. Durch Mittelbildung wird die regelrnaBige Abnahme der vom Erreger gelieferten Energie eliminiert. In den Figg. 5 und 6 sind die beobachteten und bereclineten Werte von R, und RA fur einen Einfallswinkel y = 45 O eingetragen. Na,n erkennt, daB die Uijbereinstimmung so gut ist, als man nur erwarten kann.

In derselben Weise wurde, nachdem der Empfangerhohl- spiegel in die Stellung lgZ' gebracht war, auch Dp (Fig. 7) aufgenommen.

Nach Gleichung (28) sind nun 22, und B, komplementiir zueinander. Um zu zeigen, daB dies in der Tat cler Fall ist, geben wir in der folgenden Tabelle einige zusammen- gehorige Werte von Rp und Bp in Prozenten ihres Maximal- betrages.

Man erkennt aus der Tabelle, daB die Relation (28) inner- halb der Versuchsfehler vollkommen erfiillt ist. Dies kann als ein Kriterium fur die Brauchbarkeit und Fehlerlosigkeit unserer Anordnung angesehen werden. Die Tabelle ist in Fig. 8 dargestellt.

Unteisuchungen Gber die Ibtalrefiexion. 669

d 1.2

1 I0 2

10 4 10 6 10 8 10 10 10

~. .

-

-

-

- ..

__

-

Fig. 8.

Eine weitere, zur experimentellen Priifung geeignete Folge- rung liefert ein Vergleich der Formeln (26) und (28). Aus ihnen ergibt sich, daf3 beim Beginn der ,,Totalreflexioni', d. h. wenn y nur wenig grijBer ist als der Grenzwinkel, Rs > A',. Dies Verhaltnis kehrt sich fur groDe Einfallswinkel urn. Der erstere Fall ist realisiert bei einem Winkel sp = 45", der zweite

670

fur einen Einfallswinkel von 60°. dies Verhalten aufs deutlichste.

CI. 8chaefer u. G. Gross.

Die Figg. 9 und 10 zeigen

.2

Fig. 10.

Fig. 9.

d -

In Fig. 10 ist noch eine punktierte Kurve eingetragen: sie stellt eine unter gleichen Redingungen gewonnene Kurve von

Untersuchungen uber die Totalrefiexion. 671

E!. Oppen dar. Man sieht hier in der Tat unser oben aus- gesprochenes Urteil bestiatigt. l)

Wir durfen nach unseren Messungen den SchluB ziehen, daB innerhalb der Beobachtungsfehler die Theorie vollkommen bestatigt wird.

g 5.

Es liegt der Gedanke nahe, den im zweiten Medium parallel der Trennungsflache verlaufenden Energiestrom direkt dadurch nachzuweisen, daB man nach Entfernung des Prismas Pz einen Thermoresonator ohne Hohlspiegel direkt hinter die Hypotenusenflache von Pl bringt. Man erhalt dann in der Tat groBe Ausschlage, die abnehmen, wenn man den Reso- nator in senkrechter Richtung von der Grenzflache entfernt.

Indessen ist diese Anordnung noch nicht hinreichend ein- wandfrei, denn das Phanomen der Totalreflexion wird dadurch gestort, daB auger den durch den Hohlspiegel HI parallel ge- machten StraLlen des Erregers auch noch die direkte diver- gente Strahlung auf die Qrenzflache auf€allt, die zum grogen Teile partieZZ reflektiert wird. Man miBt also mit dem Thermo- element nicht nur die der Totalreflexion eigentumliche Strah- lung im zweiten Medium, sondern noch zum betrachtlichen Teile direkt durchgelassene, gewohnliche gebrochene Strahlung. Um dies zu vermeiden, haben wir den Hohlspiegel HI bei diesen Versuchen ersetzt durch eine Petroleumlinse von ca. 40 cm Durchmesser; gleichzeitig wurde die Offnuug des Diaphragmas B entsprechend verkleinert.

So gelang es uns, die ,,irregulare" Strahlung so stark in ihrem Betrage herabzudrucken, daS sie das Resultat nicht mehr merklich beeintlussen konnte.

In der Tat zeigte das Thermoelement auch jetzt noch - nach Beseitigung der falschen Strahlung - eine mit wachsen- dcr Entfernung von der Trennungsflache abnehmende Strahlung

1) Hr. Oppen erledigt die nach seinen Versuchen zwischen Theorie und Experiment bestehende Diskrepanz durch die Bemerkung , daB die elektrischen Welien gediimpft seien. Durch unsere Versuche ist diese Meinung als irrig nnchgewiesen. fjberhaupt bedarf die Behauptung, daB derartig groBe Abweichungen zwischen Theorie und Experiment auf die E m p f u n g zu schiebcn seien, in jedem Falle des Beweises.

612 Cl. Schaefer u. G. Gross. Untersuchuiigen usto.

an.]) Dab diese wirklich dem gesuchten Phanomen zuzu- schreiben ist, la& sich in einwandfreier Weise so zeigen, daB man quantitativ die Abnahme mit der Entfernung von der Trennungsflache priift und mit der Theorie vergleicht.

Nach Gleichung (3 a) haben alle Kraftkomponenten i m 3 n k -__

zweiten Medium den Faktor e T ', wo K durch Gleichung(5) definiert ist. Setzen wir hier unsere Werte ein, so erhalten wir daher: e-oJ62, oder fur den Faktor, den die Intensitaten haben: e-ol32z. Die ausgezogene Kurve der Fig. 11 zeigt den Verlauf der theoretischen Kurve, wahrend die Punkte die Beobachtungen wiedergeben. Man erkennt, daB die nijberein- stimmung so gut ist, als man nur erwarten kana.

Pig. 11.

Dieser Nachweis der Strahlung im zweiten

?Abstand van der

Hypotenu,,e

Medium bei I

Totalreflexion ist ebenso direkt, wie der Versuch von H a l l (5 1); e r hat jedoch vor letzterem den Vorzug, guantitatiz:e Resultate zu geben.

Rres l au , Physik. Inst. d. Univ., im Marz 1910. ~~

1) Der Versuch ist auch als Vorlesungsesperimeiit geeignet und leicht ausfuhrbsr.

(Eiagegangen 17. Mar2 1910).

Druck YOU iIIeteger & 'Wittig in Leipzig.