Embed Size (px)
Citation preview
Untersuchung eh iiber die Wurzelverteilung algebraischer Glleichungen.
Herrn ERHARD SCRM~DT zum 76. aeburtstag gewidmet.
Von WILHELM SPECHT in Erlangen.
(Eingegangen am 16.6.1950.)
I. Eine recht umf angreiche mathematische Literaturl) beschliftigt sich mit.
der Aufgabe, aus gewissen Bedingungen fur die (komplexen) Koeffizienten einer algebraischen Gleichung
f ( z , a) = xn - a, dL-’ + O L ~ ~ ” ’ ~ - + . . . + (-l)”a, = 0
Aussagen iiber die Lsge der Wurzeln der Gleichung in der komplexen Zahlen- ebene, insbesondere etwa uber die absolute GroDe der Wurzeln, zu gewinnen. Mit der Beantwortung derartiger Fragen werden demnach gemeinsame Eigen- schaften der Wurzeln aller algebrakchen Gleichungen, also einer K las se von Gleic h u ngen, angegeben, deren Koeffizienten die aufgestellten Bedingungen erfullen.
Die am hiiufigsten behandelten Beispiele derartiger Klassen lassen sioh unter- die folgenden beiden Typen einordnen :
Die Menge aller dleichungen f ( x , a ) = 0 rnit
A, I Iql S B,, ( v = 1 , 2 , . . . , n),
Norin A,, A,, , . . , A, ; B,, B,, . . . , B , feste nichtnegativeZahlen bazeichnen.
A S la,lm + la,[m + - a + + lanlm S B Die Menge aller deichungen f ( 2 , a) = 0 mit
fur einen beliebigen festen positiven Exponenten m. Die vorliegende Arbeit beschaftigt sich gleichfalls mit Fragen aus diesem
Gedankenkreis, jedoch von einem anderen, wie mir scheint, neuen Stsndpunkte: Allgemein gesprochen sol1 hier nicht allein die Lage der Wurzeln einer Klaese von Gleichungen schlechthin, sondern auch die Hiiuf igke i t (in einem noch genau festzulegenden Sinne) in die Bstrachtunq einbezogen werden, mit der eine kom- plexe Zahl Wurzel der Gleichungen dieser Klasse ist Mit anderen Worten: Es
1) Vgl. M. MARDEN, The geometry of the zeros of a polynomial in a complex variable. Amer. math. SOC. 1949 (Mathematical surveys 111), wo eine umfangreiche Bibliographie zu finden ist.
Specht, Wurzelverteilung algebraischer Gleichungen. 127
sol1 ein Ma13 fur die Wnhrscheinl ichkei t angegeben werden dafiir, daS eine komplexe Zahl Wurzel einer GlAichung der Klasse ist, allgemeiner ein Ma13 fiir die Wahrscheinlichkeit dafiir, daB eine (endliche) Menge von komplexen Zahlen gleichzeitig Wurzeln einer Gleichung der Klassc sind. Es steht diese Aufgabe eng mit einer anderen in Zusammenhang, niimlich mit der Festlegung eines Ma13es fur den Prozentsatz algebraischer Gleichungen, einer vorgegebenen Klasse, die eine bestimmte (endliche) Anzahl oder mindestens diese Anzahl von Wurzeln in einern bestimmten Bereiche der Zahlenebene besitzen.
Eine Reihe von n komplexen Zahlen
al = a, + ib,, az = a, + ib,, . . . ,a,, = a,, + ib, entspricht umkehrbar eindeutig einem Punkt
(1) (4 = (dl, a27 . * . 5 a,) = (a17 4 , a21 b,, . * . 7 atas b,)
des 2n-dimensionalen euklidischen Raumes; ebenso kann jedem Punkte (a) dieses Raumes umkehrbar eindeutig die (komplexe) algebraische Gleichung
(2) f(z,a) = z' - alzn-' + a2zq-' - +. . + (-l)na,L = O
zugeordnet werden. Somit entspricht jeder Teilmenge des 2n-dimensionalen euklidischen Raumes eine eindeutig bestimmte Menge algebraischer Gleichungpn des Grades n.
Unter einer Klasse R algebraischer Gleichungen des Grades n will ich eine Menge derartiger Glejchungen verstehen, deren geometrisches Bild St in eben angegebenem Sinne die nachstehenden Eigenschaften besitetl) :
1. Die Bildmenge 9 im 2n-dimensionalen Rsum ist abgeschlossen und be- schrankt .
2. Die Bildnienge 9 besitzt einen positiven 2n-dimensionden Inhalt JZn (9) . 3. Jeder Schnitt der Bildrnenge 9 mit einer 2 k-dimensionalen Hyperebene
a, = B v o + B y l z l + P y d z 2 + - . . B Y k z k ( v = 1 , 2 , . . . , n; 1 5 kin)
besitzt einen 2 k-dimcnsionalen Inhalt. Der bequemeren und kiirzeren Ausdrucksweise wegen will ich auch das Bild
einer Klasse algebraischer Gleichungen im 2n-dimensionalen Rnume eine Klusse nennen und jeweils mit dem gleichen Buchstaben bezeichnen.
Die eingangs erwlihnten Beispiele sind offenbar Blassen von algebraischen Gleichungen in dem durch die angegebenen Forderungen festgelegten Sinne. Bezeichnet daher R(a) den Abstand des Punktes (a) vom Koordinatenursprung :
R ( a ) = I ( l a , I 2 + I ~ 2 l 2 + . . . + la,tl2)~I,
so ist die Menge RR aller algebraischen Gleichungen f(z, a) = 0 iiiit
eine Blasse. Sind nun weiter 0s R ( a ) s R
0 1 (4 I @, (4 f . ' . f @r (4 ') Unter dem Inhalt einer Menge verstehe ich den Jordanschen Inhalt, unter dem Integral
iiber einen Bereich das Riemannsche Integral. Vgl. hierzu E. SCHMIDT, Uber die Darstellung der Lehre vom Inhalt in der Integralrechnung. Math. Z., Berlin I2 (1922), 298-316.
128 Specht, Wurzelverteilung algebraischer Gleichungen.
in einer Pn-dimensionalen Kugel RR erklarte, eindeutige, stetige und beschrinkte, komplexwertige Funktionen der Argumente ay = a, + ib, (Y = 1 , 2 , . . . , n) , deren partiellen Ableitungen nach den Real- und Imaginiirteilen a,, b, existieren und stetig sind, so wird durch die Bedingungen
0 I R (a) I Y e I I @g (a) I S re (Q == 1 j 2 3 m . I , r)
niit festen Zahlen R, y e , re eine Klasse algebraischer Gleichungen erklart, so- bald die Menge der diesen Bedingungen geniigenden Punkte (a) iiberhaupt eine 2n-dimensionale Kugel von positivem Radius enthalt.
algebraischer Gleichungen des Grades n gehort der ein- deutig bestimmte CTesamtwumlbereich W* = W*(R), d. h. der Bereich der kom- plexen Zahlenebene, der genau aus den Wurzeln samtlicher zu P gehorenden Gleichungen besteht. Fur diesen Bereich gilt der
Satz 1. Der Gesamtwurzelbereich W* einer Klasse P ist beschrankt und a& geschlossen. Er besitzt einen positiven zweidimensionakn Inhalt J , ( W*) .
Der Beweis dieses Satzes wird, um den Zusammenhang der Schilderung der Ergebnisse nicht zu storen, ebenso wie die Beweise der anderen in diesem Ab- schnitte angegebenen Siitze erst in den nachfolgenden Abschnitten erbracht werden .
Allgemeiner will ich unter einem Wurzelbereich W = W(R) der Klasse 9 einen beliebigen abgeschlossenen Teilbereich des Gesamtwurzelbereiches W* (e) verstehen, der einen positiven zweidimensionalen Inhalt J2( W) besitzt.
Dann bezeichne @(V) fur eine feste Zahl k der Reihe k = 0,1 , 2 , . . . , n die Teilmenge aller der Gleichungen aus P, die genau k Wurzeln im Wurzel- bereich W besitzen. Fur diese Mengen gilt der
Sstz 2. Die Teilklasse Rk (W) einer Klasse R besitzt fur jeden Wurzelbereich W und jede Zahl k = 0, 1 , 2, . . . , n einen 2n-dirncnsionakn Inhalt J,,, ( Rk ( W ) ) .
Mit Hilfe dieses Satzes konnen nunmehr die nachstehenden Festsetzungen getroffen werden:
Der Quotient
Zu jeder Klasse
(3)
i s t ein Map fur die Wahrscheinlichkeit, dap eine Gleichung der' Klasse R genazc k Wurzeln im Wurzelbereich W besitzt, oder ein Map fur den Prozentsatz der Glei- chungen der Klasse R, die genau k Wurzeln irn Wurzelbereich W besitzen.
(4)
so stellt i!'(W) die Teilklasse aller Gleichungen aus R dar, die mindes tens k Wurzeln im Wurzelbereich W besitzen; in ahnlicher Weise ist
Setzen wir noch
P ( W ) = R"W) + P ' ( W ) + . * * + V ( W ) ,
(5 ) mqw) = S"W) + $P(W) + - . * + nqw) die Teilklasse aller Gleichungen aus 9, die hochs tens k Wurzeln im Wurzel- hereich W besitzen :
Specht, Wurzelvcrteilung algebraidler Gleichungen. 129
Der Quotient
ist ein M a p fur die Wahrscheinlichkeit, dab eine Cleichung der Klasse S? mindestens k Wurzeln im Wurzelbereich W besitzt, oder e in Map fur den Prozentsatz der Gleibhungen der Klasse 9, die mindestens k Wurzeln im Wurzelbereich W be- sitzen.
Der Quotient
(7)
ist ein Map fiir die Wahrscheinlich~it , .da~ eine Cleichung der Klusse 2 hochtens k Wurzeln ik Wurzelbereich W besitzt, oder ein Map fur den Prozentsatz der Glei- chungen der Klmse 2, die h6chstens k Wurzeln im Wurzelbereich W besitzen.
Da die Teilklassen ek( W ) nach Definition paarweise fremd sind, folgen mittels (4) und (5) die in' (6) und (7) angegebenen Gleichdngen ohne weiteres aus dem $atze 2; aus dem gleichen Grunde gilt die Beziehung
(8) % , ( W ) + % , ( W ) $ % , ( W ) + . . . + X , ( W ) = I .
Aus dem WahrscheinlichkeitsmaB %k ( W ) kann nunmehr auch ein Wurzel- map f u r endliche Punktniengen hergeleitet werden. Sind namlich cl, c2, . . . , ck beliebige Zahlen des Wurzelbereiches W, so bedeutet der Ausdruck
etwa die rnittlere Wahrschinlichkeit in W dafiir, da13 kZahlen aus W gleich- zei t ig Wurzeln einer Gleichung der Klasse R sind. Die Einfiihrung des Wurzel- mal3es Y ( [ , . Ta, . . . , T k ) gelingt dann mit Hilfe des folgenden Satzes:
Sat.z 3. 1st W , 3 W , 3 . . 2 W,, 3 . . . eine FoEge ineinander enthaltmer Wurzel- bereiche der Klasse 9, die genau die Reihe C1, Cz, . . . , ck won k Zahlen a h Durch- schnitt besitzt, so existiert der Grenzwert
und ist von der Wahl der Folge W , unabhangig. Erklart nian noch den Wert v(Cl , cz, . . . , c k ) fur beliebige komplexe Zahlen,
die nicht siinitlich dem Gesamtwurzelbereich W*(R) der Klasse R angehoren, durch
v(c1, t 2 : . . . , c k ) = 0
so erlaubt dieser Satz die nachstehende Festsetzung : Die fiir alle Wertereihen bl, cz, . . . , Ck komplexer Zahlen erklarte Punktion
v (tl, cz, . . . , Ck) ist ein Map fur die Wahrscheinlichkeit, dug die Zahlen C1, Cz , . . . , Ck gleichzeitig Wurzeln einer Gleichung der Klasse f? sind, das Wurzelma,4 fiir k Stelkn in der Klasse 9 algebraischer Gleichungen f i i r k = I , 2 , . . . , n .
Math. Naclir. 1950151, Ud .4 , I I . 1 4 . 9
1 30 Specht, Wurzelverteilung algebraischer Gleichungen.
Insbesondere ist
[ = O fiir ,($W*(R) ein MaB fur die Wahrscheinlichkeit, daB C Wurzel einer Gleichung aus R ist, also das Wurzelmap v f t ) der K b s e R schlechthin.
11.
Eine Gleichung f ( ~ , a) = 0 der Klasse R kann mit Hilfe ihrer Wurzeln wl, w2, . . . , w, in der Gestalt geschrieben werden:
(12) f (2, a) = (z - 01) (z - wg) - * (Z - o&) = 0,
M.1 = E 1 ( 0 ) , a2 = E Z ( W ) , . . . , a, = e,(w)
wobei bekanntlich die Zahlen
die elementarsymmetrischen Funktionen der Wurzeln my sind. Setzen wir weiter- hin stiindig
(13) a, = a, -+ i b , , so kann jedem Punkt (u) der Klasse R der Punkt ( w ) des 2n-dimensionalen euklidischen Raumes zugeordnet werden :
w, = u, + iv, ( Y = 1 , 2 . . , . , n ) ,
(a) -+ (w) oder (al , b1, az, h, . . . > an, 6%) + ( ~ 1 , ~ 1 , uz, 212, . * . > un, vn)* Jedoch ist diese Zuordnung infolge der Symmetrie der Funktionen ey(w) nicht eindeutig, da allen Anordnungen der Zahlen w, der gleiche Originalpunkt (a) entspricht. Um eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen Koeffizienten- reihe (a) und Wurzelreihe (0) einer Gleichung der Klasse R zu erhalten, sind wir daher gezwungen, die Wurzeln einer Gleichung zu ordnen :
Eine Wurzelreihe wl, 02. . . . , on sol1 geordnet heiBen, wenn bei der Zer- legung wv = u, + iv , in Real- und ImagintLrteil die Beziehungen
u 1 2 u , ~ * . . ~ u n
v v 2 v , + , ( v = 1 , 2 , . . . , n)
und im Falle u, = u,+* uberdies noch
erfiillt sind. Durch diese Festsetzung ist nunmehr jedem Punkt (ol) der Blasse R unikehr-
bar eindeutig ein Punkt (w) des geordneten Wurzelraumes B3 zugeordnet, also R umkehrbar eindeutig auf '28 abgebildet.
Jede Permutation der geordneten Wurzelreihe (w) fuhrt den geordneten Wurzelraum 'ill3 in einen zu '2% kongruenten Teilraum uber, wodurch insgesamt n! im allgemeinen verschiedene, zueinander kongruente RBume erhalten werden. Diese Riiume sind offensichtlich dann und nur dann paarweise fremd, wenn fiir samtliche Punkte (a) der Klasse 9 die Diskriminante
nicht versch windet .
Specht, Wunelverteilung algebraischer Gleichungen. 131
Die Vereinigung .Q dieser n! Teilraume stellt dann den gesamten ungedneten WurzeZraum aller Punkte (w) dar, die Gleichungen f(z, a) = 0 &US L entsprechen. Im Falle, daJ3 die Diskriminante D(a) fur alle Punkte (a) aus R von Nu11 V ~ T -
schieden ist, sind die n! Teilriiume, die durch Permutation der Wurzeln aus dem geordneten Wurzelraum %l entstehen, paarweise fremd, so daB der Inhalt ’.r2,, (83) das n!-fache des Inhaltes J27L(%I) ist, falls dieser existiert.
Der ungeordnete Wurzelraum 23 liefert ferner in seiner Projektion auf die w,-Ebene den Gesanitwurzelbereich W* = W*(R) in der Zahlenebene. Wenn also die Existenz eines positiven Inhaltes J,, (a) nachgewiesen ist, folgt ohne weiteres aus bekannten Griinden die Existenz eines positiven zweidimensionalen Inhaltes J,( W*(L)) in der o,-Ebene.
Die Diskriminante D(a) ist auf Grund der Beschranktheit und Abgeschlossen- heit der Klasse 9 eine in diesem Bereiche iiberall erklarte, eindeutige, stetige und beschrankte Funkticjn :
(15)
Um die Schwierigkeit des etwaigen Verschwindens der Diskriminante zu be- seitigen, wahlen wir zunachst aus L die Teilklasse Ra aller Punkte (a) aus, fur die mit einem festen, positiven 6 die Bedingung
O < 8 5 lD(a)I I d
erfiillt ist. Auch der Abstand R(a) ist als Funktion des Punktes (a) in der ge- samten Klasse 9 stetig und beschrankt :
0 I lD(a)l d d .
0 5 R(a) R .
Nach Voraussetzung hat die Klasse R einen Inhalt J;., (R) ; das gleiche gilt fur die Menge 50 aller Punkte (a), fur die
6 S I D ( a ) I I d und O S R ( a ) z R
erfiillt ist. Mithin besitzt auch der Durchschnitt 9 6 einen Inhalt J2,(R,). Da aber die Funktion __ im Bereiche 9 6 beschriinkt und stetig ist, existiert das 2n-fache Integral m a )
uber die Teilklasse La.
wird auch die Teilklasse Rs mit Hilfe der Transformation Durch die Abbildung der Blasse R auf den geordneten Wurzelbereich %
av = E Y ( 0 ) ( Y = 1,2,. . . , n),
deren Funktionaldiskriminante bekanntlich
Iw4I -- l A ( 4 l 2 ist, auf den ihm entsprechenden geordneten Wurzelraum i& abgebildet. Da in 9 6 die Funktionaldiskriminante iiberall positiv ist, existiert auch der Tnhalt
9*
132 Specht, Wurzelverteilung algehraischer Gleichungen.
J2,(!&) und wird durch das 2n-fache Integral
Gehen wir nun wieder vom geordneten Wurzelraum !& Zuni entsprechendeii ungeordneten Wurzelrauin !& uber, so existiert der Inhalt J,, (88) und wird durch dns 2n-fache Integral
dargestellt. Da aber im angeordneten Wurzelrauni 238 die Funktion 1 D(a) I = l d ( ~ ) ~ \ uberall erkliirt, stetig und beschriinkt ist, findet man fur den Inhalt Jyn (a,) eine Integraldarstellung durch das 2n-fache Integral
Xach Voraussetzung jst die Klasse 9 abgeschlossen und beschriinkt und be- sitzt einen positiven 'Inhalt Jzn (9); ferner gilt
R8, C %% C 9, wenn 6, > 6,.
Ebenso ist der ungeordnete Wurzelraum 8 beschrankt, und ebenso ist
238, c %a, c 8, wenn 6, > 6,. Mithin existieren die Grenzwerte
und
(17) J 2 n ( S ) = lim JZn(ad) = n! %
8+0
Somit besitzt der geordnete Wurzelrauln m, ebenso der ungeordnete Wurzel- raum 8 einen positiven, durch das Integral (17) dargestellten Inhalt. Daher be- sitzt auoh der Gesamtwurzelbereich W*( $) einen positiven Inhalt J,( W*(R)) . Da die Klasse $ abgeschlossen und beschriinkt ist, ist auch der Gesamtwurzel- bereich W* (Q) auf Grund der stetigen Abhiingigkeit der Wurzeln von den Koeffi- zienten einer algebraischen Gleichung abgeschlossen und beschrgnkt. Damit ist der Satz 1 vollstandig bewiesen.
111.
1st nun W = W ( 9) ein beliebiger (abgeschlossener) Wurzelbereich aus W* = V*(Q niit positivem Inhalt J , ( W ) , so bezeichnet @ ( W ) die Teilklasse von R, deren Punkte (a) genau den algebraischen Gleichungen mit k Wurzeln im Wurzelbereich W entsprechen. Mit 9 ist Zk ( W ) beschrankt ; die in I erkliirten Mengen .Qk ( W ) sind abgeschlossen, inithin die Mengen @ ( W ) , abgesehen von P ( W ) , offen.
Specht, Wurzelverteilung algebraischer Gleichungen. 133
Urn die Existenz des Inhaltes J2n ( gk ( W)) der Teilklasse ak ( W) nachzuweisen, gehen wir wiederum zum ungeordneten Wurzelraum 23 iiber und betrachten neben diesem Raume die Menge Dk aller Punkte ( w ) des 2n-dimensionalen euklidischen Raumes, die den Bedingungen
~ E : ol, w 2 , . . . , Wk geordnet aus W , i w ~ . ~ , , L O B + ? , . . . , L O , geordnet aus W * - W
geniigen, wobei, die ersten k Wurzeln, ebenso die weiteren n - k Wurzeln irn friiher angepebenen $inn, jeweils unter sich geordnet sein sollen. Auch Dk hat, da W und W* einen zweidimensionalen Inhalt J2( W ) bzw. J,( W*) heben, einen 2n-dimensionalen Inhalt. Das gleiche gilt daher fur den Durchschnitt
UP = (%, Q),
SO ditl3 insbesondere das 2n-fache Integral
J l A c W w Ilk
iiber den Bereich Ilk aller Punkte (LO) existiert, die die Bedingungen
w , , Q 2 : . . . , wh. geordnet aus W , { cod. -.,, wk+?, . . . , LO,, geordnet aus W*- W U t : ( & " ( L O ) ) E S?;
erfiillen. Da. ttber dieser Raum Ilk durch die Transformation
a, = & , ( L O ) ( v = 1 , 2 , . . . , n )
unikehrbar eindeutig auf den Raum %" ( W ) a.bgebildet wird; existiert jedenfalls der Jnhslt J2,(Rk ( W ) ) und wird somit durch das 2n-fache Integral
J,, ( Qk ( W ) ) =I 'd . = Ji A @ ) l 2 dw SlX(W) l l i dargestellt .
noch verlangte Ordnung der Wurzeln fortfallen lassen zu konnen, haben wir in gleicher Weise wie in1 Abschnitt I1 zunachst nach Wahl einer beliebigen positiven Zahl 6 durch die Bedingung
0 < 6 d I D(a) I S d
i ~us dlen Mengen Teilniengen auszuschneiden und dann zur Grenze 8 -+ 0 uber- zugehen. .4uf diesem Wege, der wohl nicht noch einmal des naheren auseinander- gesetzt zu werden breucht, erhiilt nian schliel3lich fiir den Inhalt J,,, ( ek ( W ) ) der Teilklasse ht'' ( W ) die Integraldarstellung
Urn nun wieieder die in der Menge
iiber den Rauni %k dler Punkte ( w ) des ungeordneten Wurzelraumes 8, die den Bedingungen
geniigen. 'Dnmit ist auch der Eatz 2 vollstandig bewiesen.
1 34 Specht, Wunelverteilung algebraischer Gleichungen.
Die Darstellung des Inhaltes J,, (fi? ( W)) durch das Integral uber den Teil- wurzelraum .& ist fur eine wirkliche Durchfuhrung der Rechnungen zu unbequem. Wir fuhren daher neue Integrale ein, die eine einfachere Darstellung zulassen. Zuniichst sei
U r , . = 1 i d ( w ) l 2 d w ( O S T 1 7 + 8 5 7 ,
4, I
(19)
das 2n-fache Integral uber die Menge aller Punkte ( w ) des ungeordneten Wurzel- raumes 'BJ die die Bedingungen
w1, ma) - * * J E wJ
& , a : ( E V ( W ) ) E '; w Y + I J * . . : E w* - WJ { ~ + 8 + i J w r + s + z , . . . , O, E W* erfullen. Die Existenz des Inhaltes Jz,(@,,s) dieser Menge kann wiederum sehr leicht aus der Existenz der Inhalte J2n(.Q), J a ( W ) und Ja(W*) gafolgert werden.
Fiir diese Integrale gilt offensichtlich die Rekursionsgleichung
(20) 'r,8 = ' T , 8 - 1 - 'Y+1,8-12
&us der sich die Darstellung
gewinnen 1&Bt, so da13 wir uns auf die Integrale
(22, H , = J l d ( w ) p d w (r = 0, I , 2, . . . , n) 6,
uber die Teilmengen Qr des ungeordneten Wurzelraumes ?I3 beschranken konnen, deren Punkte (0) die Bedingungen
Q r : ( ~ ( w ) ) E 9; ~ 1 , ~ 2 , - - . , wr E W erfullen. In diesen Bezeichnungen gilt nach (21)
insbesondere
wofiir auch noch geschrieben werden kann :
n - r Gr,n-r = 2 (-l)'-e.( ) H,.
e=O n - e
Die oben erkliirte Teilmenge gk des Wurzelraumes 23 stinimt nun gerade mit der Menge @ k , n - k uberein, so daB wir schliel3lich erhalten:
1 n .
insbesondere J.,(su) = 7 H , .
Specht, Wumelverteilung algebraischer Gleichungen. 135
Daraus folgt nun
mit entsprechenden Ausdrucken f i i r die MaSe jlk ( w) und ,& ( w) , Ergebnisse, die sich in dem folgenden Satze zusammenfassen lassen:
Satz 4. Bezeichnet
H , = Id (o)12dw ( e = 0 , 1 , 2 , . . . , n)
das Zn-fache Integral uber CEen Raum 8, alkr Pun& (w) dea 2n-dimensionakn euklidischen R a u w 8, die die Bedingungen
s 6,
8,: ( ~ ( w ) ) E Q ; ~ 1 , wa, * - * wQ E W erfulkn, so beatehen fur die Wahrscheinlichkeitsm/?e % k ( w ) , & ( W ) Und p k ( W ) die Gleichungen
(23)
Zum Zwecke einer spiiteren Anwendung gebe ich an dieser Stelle noch die folgenden Beziehungen an:
die man sehr leicht aus den bekannten Gleichungen
0 fur m > A , X X O 1 fur m = 1
herleitet.
IV. Zu dem bisher noch ausstehenden Beweis des Satzes 3 empfehlen sich kleine
Abiinderungen der Bezeichnungen : 1st W = W (9) ein beliebiger Wurzelbereich im Gesamtwurzelbereich W* = W * ( R ) , so werde eine Wurzel, die auf W be- schriinkt bleiben soll, mit 7, eine Wurzel, der keine Beschriinkung (abgesehen von der selbstverstandlichen auf W*) &uferlegt ist, mit o bezeichnet. Liegt also eine Gleichunq f (s , a) = 0 der Blasse R mit den Wurzeln
?I, 7 2 , . . . f 9kl w : + i , W + P , . . ' > W l
vor, so bedeutet diese Bezeichnungsweise, da8 die ersten k Wurzeln in W liegen, wahrend f i i r die weiteren n - k Wurzeln nichts Naheres ausgesagt wird, als daB sie eben dem Gesamtwuuelbereich W* angehoren. Die Diskriminante B(a)
136 Specht, Wunelverteilung algebraischer Gleichungen.
der Gleichung f ( x , a) = 0 niit diesen Wurzeln laBt sich dann in der Gestalt
D (4 = A 2 W w?, 4 A 2 ( 4 schreiben, worin A ( q ) , A ( o ) die bifferenzenprodukte in den Wurzeln q bzw. o bedeuten, wiihrend R (q, w ) die bekannte Resultante
R(q, o) = 17 (7% - wA) PA = 1, 2 , . . . , k; A = k + 1, k + 2, . . . , n) x ,
darstellt. Entsprechend bezeichnet E~ (7, o) fur v = 1, 2 , . . . , n die v-te elementar- symmetrische Funktion in den 7~ GroBen
qi, %, . * . > q k , Wk4-1, '%+P, . . . I o n .
Unter dieser Festsetzung nimmt das Integral Hk der Formel (22) die neue Gestalt an :
Hn; = J Id (7) I2 IR (77, 0.4 I2 Id (0) IZ dq G5.U
___- -'J l~(r)IZIw?, w)lzI~(W)l2d'ldo.
.E k uber den Bereich
Werner ist Qn;: ( E d % w) ) E 9; 71, q 2 , . . . 3 77. E w.
Hk ( J , ( W ) ) * ( J , ( W ) ) k
@k
Die Gestalt dieses Ausdruckes zeigt, da13 fur den Fall k < n unter der Annahme der Existenz des (2n - 2k)-fachen Integrales
z k
uber den (2% - 2k)-diniensionalen Bereich aller Punkte (q, a), die bei fester Wertereihe ql, q2, . . . , q k die Bedingungen
&: ( E Y ( r 1 , 4 ) € 9 erfiillen, fur den Fall k = n unter Festsetzung der Funktion
der Quotient ___ Hk den Mittelwert der Funktion ib(q1, qz, . . . , qk) im Wurzel-
bereich w bei unabhangig variierenden Argumenten ql, q2, . . . , q k darstellt, Daraus folgt aber sogleich, da13 fur eine Folge von Wurzelbereichen
(JZ(W)Y
w, 3 w, 3 . * * 3 W m 3 * * ., die genau die Wertereihe cl, c2, . . . , ck aus W* zum Durchschnitt besitzt,
(27 ) wird.
Gehen wir indes von einem Integral He mit e > k aus, so ist
Xvobei des Integral iiber den Raum
Specht, Wunelvcrteilung algebraischer Gleichungen. 137
abgese1,en vom Faktor H zu erstrecken ist. Mithin ist der Ausdruck 2
(J , ( W))epk, gleich dem Mittelwert der Funktion (J , (W))k ’
le(ql, q2,. . . > q e ) =SIA ( ~ ) I z I R ( ~ , 0)121d ( 0 ) l z d w oe
iiber den oben bereits erklgrten (2n - 2g)-diniensionalen Bereich 2e. Fur eine Folge von Wurzelbereichen
w, 3 w2 3 . . . 3 w, 3 * * )
die genau die Wertereihe c l , tz, . . , ) ck aus W* zum Durchschnitt besitzt, er- halten wir in diesem Falle (unter Voraussetzung der Existenz des ( 2 n - 2 ~ ) - fachen Integrales Ze(qr, qz, . . . ) q,J)
Die im ersten Abschnitt eingef uhrt e mitt lere Wahrscheinlic h kei t X t ( W )
z k ( w ; 51, t2, . . . , tk) =- ( J z ( W))’ nimmt nach Satz 4 die Gestalt an :
Nach (27) und (28) erhalt man hieraus fur eine auf die (endliche) Menge C1, c2 ) . . . .ti. zusammenschrumpfende Wurzelbereichfolge W , sogleich
Somit gilt, falls die Exlstenz des ( 2 n - Zk)-fachen Integrales.Zk(<,, c2, . . . , ti.) nachgewiesen werden kann, der
Satz 5. Das Wurzelma@ v (5, , Cz, . . . , Ck) einer Re& von Zahlen C,, Cz, . . . , i;,. aus dern Gesamtwurzelbereich W*(Q) der Klasse Q wird fur k < n dargestellt durch das ( 2 n - 2 k)-/ache Integral
(29)
uber den ( 2 n - 2k)-dimensionalen Bereich
g k : (‘% (51, 52 , * . . > T ~ J w k + l J w k + B , - * > 0%)) E 9, fur k = n durch die Funktion
Zuni Beweise der Existenz des Integrales lk(cl, c2, . . . , &) geniigt es offen- bar vollig, die Existenz des ( 2 n - 3k)-dimensionalen MaBes J 2 , - . 5 k ( 2 k ) der Menge & nachzuweisen.
138 Specht, Wurzelverteilung algebmischer Gleichungen.
Die Teilklasse R((r) aller Gleichungen f ( z , a) = 0 aus R, die eine vorgegebene Zahlr (notwendig aus W*) als Wurzel besitzen, wird aus R durch die Hyperebene
f(C,a) = r L - a 1 g n - 1 + a2cn--2 - + - - - + [--l)nan = 0
ausgeschnitten. Allgemeiner ist die Teilklasse $(el, c2, . . . , ck) aller Gleichungen f (2, a) = 0 aus $, die diefeste Zahlenreihe el, c z , . . . , c k als gemeinsame Wurzeh besitzen, der Schnitt von Z mit der durch die k Gleichungen
c:’ - a,r:-’ + a 2 x Cn-’ - + . - + (-l),,aa = O (x = 1 , 2, . . . , Ic)
dargestellten Hyperebene. Falls c,, c2, . . . , c k voneinander verschieden sind, ist rliese Teilklasse (2n - 2 k)-dimensional und besitzt nach Voraussetzung einen 2n - 2k)-dimensionalen Inhalt. $ind aber die Zahlen cl, cz, . , . , ck nicht alle
voneinander verschieden, so liefern die Ableitungen
f’(z,a) = 0) f”(z,a) = 0 , . . . , die in diesem Falle zum Teil wenigstens die gleichen Wurzeln besitzen miissen, weitere lineare Bedingungen fur die Koeffizienten a,, a2, . . . , a,, die zeigen, daB in jedem Falle die Teilklasse $(cl, c2, . . . , ck) der Schnitt von 9 mit einer (2n-2 k)-dimensionalen Hyperebene ist, also nach Voraussetzung einen (2n-2 k)- dimensionalen Inhalt besitzt.
Durch die Transformation
a, = F ” ( C , w ) (Y = 1 , 2 , . . . , n)
bei geordneten GroBen wk+l, wk+l, . . . , w,, aus w* wird nun die Teilklasse (el , &, . . . , ck) auf eine (2 n - 2 k)-dimensionale Teilmenge .& des Wurzel-
raumes 8 abgebildet, der demnach gleichfalls einen Inhalt besitzt. Aus mk wiederum geht !& durch Permutation der GroBen ak+l, w k + 2 , . . . , w,, und Bildung der Vereinigungsmenge hervor. Mithin besitzt auch die Menge gk einen (2n - 2 k)- dimensionalen Inhalt.
$etzen wir noch f ( 2 , a) = 0 mit den Nullstellen
f(z, a) = (2 - y,&’ + y 2 2 - ’ - + * + (-1)‘ y k ) x x (X?I-k - p, %n-k-l + ~ ~ ~ n - k - 2 - + * * ’ f ( - l ) n - k B n - k )
an, worin die y. (w = 1 , 2, . . . , k) die elementarsymmetrischen Funktionen der c und die PA (A = 1 , 2, . . . , n - k) die elementarsymmetrischen Funktionen der LO sind, so ist
f (2 , 4 = g(z, B> h(z , r), R(l , 4 = 9 (Cl, B) g(C2, B) * * - S ( T k , Brl 0” = y v + Y”-1 B, + Y v - 2 B 2 + * * * + y, B Y - 1 + B Y ,
wobei man noch
yy = 0 fiir v.> k, By = O fur v > n--k
Specht, Wunelverteilung algebraischer Gleichungen. 139
zu setzen hat. Hieraus erhiilt man auch
z k ( c 1 , 5 2 , * * * > ck) =sIR(c . W ) l a I d ( 0 ) 1 2 d W s k
= ( 1 2 - k ) ! S 1 9 ( 5 1 , B ) Q ( 5 z , B ) . . * s ( c k > B ) l 2 a
ih
wobei das zweite Integral uber den (2% - 2 k)-dimensionalen Bereich
8 k : (4) = ( Y Y + Y Y - 1 + y v - 2 B Z + ' ' - + Y1 &'-I + 81) E 9 zu nehmen ist.
Die WurzelmaBe v ( r l , c,, . . . , ck) lassen eine neue Darstellung der Wahr- scheinlichkeitsmafle $61 (w) , & ( w) , ,uk ( w) fur einen beliebigen Wurzelbereich zu. Denn nach dem Satze5 ist
r(c1, * * . 9 ck) = (3 k l k ( t l > 62, . . * 9 ck)*
Setzen wir also
(30) LL(W) = / v ( t 1 , C p . . . - , c k ) d c ,
wobei das Integral uber die unabhiingig voneinander in W (a) = W variierenden bgumente el, c,, . . . , & zu nehmen ist, so folet fur das Integral H k die Dar- stellung
H €€k = -
( s Lk ( w'. (31)
Mithin erscheinen die WahrscheinlichkeitsmaBe nunmehr in der Gestalt
(33)
Der Beweis des im ersten Abschnitte anqegebenen Satzes 3ist durch den Satz 6 vollstiindig erbracht.
Y. Bevor ich dam ubergehe, einige Beispiele ausfuhrlicher zu behandeln, will
ich eine Anwendung erwiihnen, die die mit t lere Wurzelanzahl einer Klasse R dgebraischer Gleichungen in einem vorgegebenen Wurzelbereich betrifft .
Jede Gleichung f(s, a) = 0 besitzt in einem Wurzelbereich W(R) eine be- stimmte Anzahl nL1(a, W) von Wurzeln. Man kann dann den Quotienten
140 Specht, Wunelverteilung algebraischer Gleichungen .
worin beide Integrale iiber die gesamte Klasse R zu nehmen sind, als die rnittlere Wurzelanzahl der Klasse $ im Wurzelbereich W bezeichnen.
Die Bestimmung dieser Anzahl ist mit Hilfe der friiher eingefiihrten Wurzel- mafie sehr leicht durchzufiihren: Offenbar ist namlich fur eine Gleichung f (x, a) =O der Klasse 9 die Wurzelanzahl n,(a, W) = k , wenn sie zur Teilklasse R k ( W ) gehort. Mithin ist Nl (W) nichts anderes als der Ausdruck
Mit Hilfe der Beziehungen (26) folgt hieraus aber sogleich
und weiter wegen (31)
(37)
worin das Integral uber den Wurzelbereich W zu nehmen ist. Mit dieser Gleichung hat das in (30) eingefiihrte Integral Ll ( W) den sehr an-
schaulichen Sinn der mittleren Wurzelanzahl im Bereiche W erhalten. Auch den weiteren Integralen Lk (W) kann eine iihnliche, freilich nicht mehr so ejnfache und durchsichtige Bedeutung beigelegt werden :
Besitzt eine Gleichung f (2, a) = 0 im Wurzelbereich W etwa rn Wurzeln, so konnen aus diesen genau k-tupel von Wurzeln gebildet werden. Diese
Gleichung besitzt demnach, wie wir sagen wollen, Wurzel-k-tupel im Wurzel- bereich W.
Bezeichnet nun fiir eine Gleichung f ( z , a) = 0 der Klasse R etwa nL (a, W) die Anzahl ihrer Wurzel-k-tupel in W, so kann der Quotient
(3 (3
worin die Integrale wiederum iiber R zu erstrecken sind, als die rnittbre Anzahl der Wurzel-k-tupel in W angesehen werden. Man findet sogleich
(39)
und weiter mit Hilfe von (26) und (31) dik Beziehungen Nh(W) = ( n )- H k = & ( W ) =Jv(C1. 5 2 , . . . , CddC,
E Ho (40)
wobei das Integral uber die unabhiingig voneinander in W variierenden Argu- mente cl, Ca, . . . , [k zu nehmen ist.
VI. Eine algebraische Gleichung
f (z , a) = zn - a, zn-’ + a,zn-2 - + - - - + (-1)” a,, = 0: deren Wurzeln siimtlich im abgeschlossenen Einheitskreise E liegen, erfiillt die Ungleichungen
( v = 1 , 2 , . . . , n ) ,
Specht, Wurzelverteilung algebraischer Gleichungen. i41
gehijrt also zu der durch diese Bedingungen gekennzeichneten Klasse R algebra- ischer Gleichungen.
Der Gesamtwurzelbereich W* (9) dieser Klasse wird, da auch die Gleichung
zu ihr gehort und fiir jede Wurzel w einer Gleichung der Klasse die Abschatzung
2 l w p = lwln + 1a1wn-* -aOr,wn-' + -. - + (-l)n-'+l I ( Iwl + I)"
oder
erhalten werden kann, durch den abgeschlossenen &eis
101 s r72 gegeben, so daB gewiB nicht siimtliche Wurzeln aller Gleichungen der Klasse 9 in E liegen. Es hat daher Sinn, nach der Wahrscheinlichkeit x , ( E ) dafiir zu fragen, dal3 die Wurzeln einer Gleichung dieser Klasse siimtlich in E liegen.
Kun ist
und
bezeichnen, ( v = I , 2 , ...,?h)
Das Integral Ho 1iii3t sich auf folgendem Wege berechnen: Es ist
H , = n ! J da s i
und daher, wenn Polarkoordinaten
a, = cue% eingefiihrt werden,
( Y = 1, 2 , . . . , n)
n
wobei uber den Bereich
zu integrieren ist. Somit erhalt man
. . .
Ho = n ! (.( 7 ) (1). . . (:)p.
142 Specht, Wunelverteilung algebraischer Gleichungen.
Fiir die Berechnung des Integrals H, ist zu beachten, daB die Bedingungen I E, ( w ) I ( :) wegen lo,l 4 1 von selbst erfiillt sind, so daB hier das Integral
H - l d ( ~ ) 1 ~ d w -s 8, uber den Bereich
zu nehmen ist. Nun besitzt d ( w ) die Gestalt
8,: 1w.l s 1 ( Y = 1 , 2 , . . . ,A)
Ll ( w ) = 2 f m y 1 w:*-z * * * w:,, ( 0 )
wobei die Summe iiber alle Permutationen der Indizes zu nehmen, das Vor- zeichen aber positiv oder negativ zu wiihlen ist, je nachdem, ob eine gerade oder ungerade Permutation vorliegt.
Bei verschiedenen Exponenten a, @ verschwindet das Doppelintegral
S c o ? W ! dw, iiber lo,J 5 1
fur jedes Y = 1, 2, . . . , n, weshalb Hn die einfachere GestaJt.
H - Id (0) 12 dw = p Iw:;lw:;2 * * * won I 2 d o 4 ( d
annimmt, also, da die Bedingungen fur Qn in den Argumenten symmetrisch sind,
H, = n! 1 w p - 2 ( 0 J p - d . * - Iwn-1(2do. s Durch Einfiihrung von Polarkoordinaten
w, = ev e@v ( v = 1 , 2 , . . . , n)
ey-' e y 3 . . . en- i 3 e n de, de2 * . * den d p , dpz * * * dqn
( Y = 1 , 2 , . . . , n)
folgt H - n!
uber den Bereich n - s
0 5 ew i 1, 0 5 p, g 2n
und damit schliel3lich 1 1 1 1
n - 2n Ln--i! 4 2 H -n!((2n)n-7...--=zn".
Die Zahl ;c,(E) = 1 -
n ! ( m Gj * * . (X ist also das MaB fur die Wahrscheinlichkeit, daB die Wurzeln einer algebraischen Gleichung f ( x , a) = 0, deren Koeffizienten die Bedingungen
I 4 I 5 (; ) ( Y = 1 , 2 , . . . , n)
erfiillen, sfimtlich im abgeschlossenen Einheitskreis liegen. Bezeichnet man mit or; die k-ten Potenzsummen
a k = w , + o S + . . . + w i k ( k = 1 , 2 , . . . , n) ,
Specht, Wunelverteilung algebraischer Gleichungen. 143
so erfiillen in iihnlicher Weise die Wurzeln einer Gleichung f ( z , a) = 0 , falls sie siimtlich dem abgeschlossenen Einheitskreis E angehoren, die Ungleichungen
lavl S n ( Y = 1 , 2 , . . . , n),
jedoch gilt im allgemeinen nicht das Umgekehrte. Man kann daher auch bei der Klasse $ aller Gleichungen f(x, a) = 0 des Grades n, deren Koeffizienten or, die Bedingungen
erfiillen, nach der Wahrscheinlichkeit xn ( E ) dafiir fragen, daIj die Wurzeln einer Gleichung dieser Klasse siimtlich zu E gehoren. Aus den bekannten Beziehungen
IUY(DC)\ I n ( Y = 1 , 2 , . . .,%)
( - l )er+e .+e .+ . . . (y) p I($) 0 p. '. . . (+ )ew,
a' =g e l ! e z ! . . . e Y !
worin die Summierung uber alle nichtnegativen ganzzahligen Lijsungen von
el + 2 e , + - - + Y e v = IJ
zu erfolgen hat, gewinnt man leicht die Gleichung
H" = n ! J 2 n ( R ) =n !Jda=$ / -do ,
also mit Einfiihrung von Polarkoordinaten
mithin n2* nn H " = T .
Fiir das Integral H, erhalten wir
H - l d ( W ) 1 2 d W
gin: I r J " ~ = I d ; + w ; + ~ . - + w ' n ( d n ; l w y ( d l ( v = 1 , 2 , . . . ) n),
n -1 6, iiber den Bereich
wobei die Bedingungen luvl Daher fjndet man auch hier
also fur die gesuchte Wahrscheinlichkeit den Wert
n als iiberfliissig fortgelassen werden konnen
H, = zn,
nl 79"
x,(E) = L.
v11. Als weiteres Beispiel betrachten wir die Klasse L aller quadratischen Glei-
chungen
deren Koeffizienten den Beschrankungen
f(x, a) = 2 2 - a1 z + az = 0,
[all 5 2, 1421 s Q
144 Specht, Wurzelverteilung algebraischer Gleichungen.
unterworfen sind. Die Wahl dieser Schranken bedeutet keine wesentliche Speziali- sierung, sondern lediglich eine zweckmaljige Normierung.
Der Inhalt J4 (9) wird in Polarkoordinaten
a1 = el e"1, a2 = e2 e'p?
durch das vierfache Integral
J~ (9) = Jda =: J el e2 del de2 drp, dq2 $%
uber
gemessen. Man erhalt
DRS WurzelmatO Y (cl, c2) wird dargestellt durch
3 5 e l S 2 , O S e 2 I a , O s p 1 5 2 n , O s p 2 s 2 z
J 4 ( $ ) = 4n2a2.
Das Wurzelnialj Y([) wird aus dem Integral
erhalten. 1st insbesondere c = 0, so findet man
Y ( 0 ) = --I 4 n2 aa ' ( o I 2 d w uber I w ( S 2 ,
v ( 0 ) =-. 2 n a2
also
Wird weiterhin 5 f 0 angenommen, so kann
0 = -cq, do = l"2dq, (ti'= 2
gesetzt werden : 2 a Y ( C ) = ~ ~ ; ~ 11 +q12dq uber I1-?115--, IqIS-. 22
24 s Es kommt daher auf die Bestimmung des Integrals
J ( a , p) =/( ( I + u)2 + w2) dudv
(u - 1 ) 2 + 212 5 &2,
uber den Bereich u 2 + 112 s p 2
fur jedes Paar positiver Zahlen 6, P an. Durch einfache, jedoch langwierige Rech- nungen erhalt man
J @ , P ) = 0 fiir P + a 5 1 ,
J ( a , 8) = (~9 + 8) a2 fiir 1 5 P - a,
J ( a , P ) = 4 (p2 + 2)P2 fur 1 5 a - p 2
n
Specht, Wurzelverteilung algebraischer Gleirhungen. 145
und schliefilich 3
J ( ~ , B ) = T ( ~ 2 - 3 a z - 3)1/(1+ a + B ) (1 + a - P ) (1 -a + P ) (-1 + + B )
fiir den noch verbleibenden Fall -/? < 1 - (w < p < 1 + u. Wir benotigen diese Integrale fur die Werte
a 2r da allgemein v.(lJ = - 2 ( y = - z ' P = - 22 ' 4,pa2 J(:, ;)
gilt. Fiihren mir daher die folgenden Funktionen ein: 2 + 422
(1.2 + 224
%(Z, a ) = 7 2
P Z ( Z 1 a ) = W) __-
v ( ( z z + a)2 - 4z2)(4z2 - (z2 - a)2) 3(a2 - 12z2 - 3z4) 32.-i2 a2 z4
2 + 422
aL nf a2 + 2 9
P3(2, a ) =
z4 + 4z2 - d
zp - 422 + a2 + ( ($ - arc sin -
+-(;--arcsin-- 2a22 4 , ' so w i d in einer noch notwendig werdenden Fallunterscheidung :
a h l : 0 I Ir I I Vl+a - 1 ,
y ( O = ~3(15'1,a) fur lil + u - - 1 s l ~ l s i ' + a + 1 ,
oglCIs1/1 + a - 1 ,
p3(15'I, a) lil + a - 1 5 l C l s 1 -I=, I J ( O = p2(15'1,a) fiir 1 - V l T S l C ( 2 1 +f1 --a,
v3(I t l3a) fur 1 + l i l - a 5 ( S ~ 5 1 + l i l + a , lo fur 1 +lil+g 1 ~ 1 .
.~ Y I ( l C l , a) fur
fiir 11: + 1 5 1 ~ 1 ; {o [Vl(ICl> 4 fur
a < l :
fur
In1 nachstehenden Bilde ist der Fall a = 3 dargestellt. Deutet man den Kurven- zug als Schnitt durch ein uni den Nullpunkt rotationssymmetrisches Relief iiber der Zahlene'bene, SO erhBlt man ein anschauliches Bild der Verteilung der Wurzelii der Gleichungen der beti xhteten Klasse.
V k )
1 0 Fig. 1. M a l h . NRrIir. 1950/5l, B d . 4 , H. 1-6.
146 Specht, Wurzelverteilung algebrakcher Gleichungen.
Ein recht illustratives Beispiel bietet ein Vergleich der beiden Klassen Q , Q* quadratischer Gleichungen
die den Bedingungen f ( X , a) = x2 - a15 + o(2 = 0,
9: 0' !all 5.2, 0 s la2[ s 1 , P*: 1 s / a 1 i s 2 , O S l a 2 f 1 1
I 4 s1 +IF unterworfen sind, da beide Klassen den Kreis
als Gesamtwurzelbereich besitzen. Dagegen sind ihre WurzelmaBe Y (5) und Y*(Q wesentlich verschieden. Fur die Klasse 8 entnimmt man aus den voran- gehenden Rechnungen, wenn wieder = x gesetzt wird,
1 2 1; (1 + 2x2) fur 0 I 2 I 12- 1 ,
1/2- 1 I z&i-+ 1 ) v ( 0 = ?yl(Z) fiir
l o fur 1/2+ 112, worin
YI(Z) = 3(1- 12z2-32*)
3zna+ 122 - 1 I 1/6z2 - z4 - 1
2 z4$4z3--l 1 + 2 z 4 . z4-422+1 +2(1 + 2x2) (F --resin 42s ) t -8- ($ - W C sm -- 2 22
zu setzen ist. Fur die Klasse R* dagegen ist
J4(S*) = 37c2
Y * ( O = 3n2 15 - W I 2 d W ' s und
als Integral uber den Bereich
ISIT+ w l r 2 , I t W l S l .
1st hierin 5 = 0, so folgt
5 Y * ( O ) = ~ ( ~ I ' - ' d o = - iiber l g l ~ l s 2 ; 3n ' S 2%
fiir 5 + 0 kann man durch eine Transformation die lntegraldarstellung
erhalten, so daB es auf die ljerechnung des Integrals
((1 + u)2 + v2)dudw
4 1
iiber den Rereich
1 - s 22 - (zc-I)2+t%-p O S U 2 + ? I 2 ~ - - 24
ankornmt. Mit dem oben eingefuhrten Integral J ( L Y , p) erhiilt nian deninach die
Speoht, Wunelverteilung algebrakcher Gleichungeii. 147
Nach den verschiedenen Formen des Integrals J(cw, B ) findet man in einer langeren Rechnung
f iir 0 5 2 5 12- 1 ,
fiir 1/2+1 gz, worin noch
1 - 322 -- 324 YZ(2) = T 2 F 1(1 + z + 22) (1 + z - 22) (1 - 2 + 22) (-1 + z + 29)
zu setzen ist. Das nachstehende Bild ILBt die Verschiedenheit der Wurzelverteilungen fiir
beide Klassen deutlich erkennen, obwohl diese den gleichen Gesamtwurzelbereicb besitzen.
VIM. Ein etwas allgemeineres Beispiel ist die Blasse .It aller Gleichungen f(x, a) = 0,
deren Koeffizienten der Bedingung
? : 1 c w 1 1 2 + laz12+... i - Ia , ,12$1
unterworfen sind. Wir wollen hier das WurzelmaB ~ ( 5 ) bestinin~en. Zunachst ist
H - ( L l ( a ) ) p d w = n! d K = 72'' tind folglich 0 - s P s
1 i 1 . . (C - w, ,) ( 2 Id ( w ) 12 dw = - N J I (C - - - n"(n-- l ) ! nn
2 ,
I O*
148 Specht, Wurzclvc.rteilung algebraischer Gleichnngen
mit dem Integral
H = lp -fiIr-2 + -. . . + (-1)n-1Pn-,12dB s uber den Bereich
N-1 c I B Y . , I + TBV l 2 I 1 ( P o = 1 ; Pn = 0). v=n
Unter Einfiihrung abkiirzender Bezeichnungen
2=15'12, u k = I + z + . . . + Z k , v ~ = U o + u , + . . - + U k ( k = 0 , 1 , 2 , . . . )
kann die Bedingung auch in der Gestalt n-1
2 2!z!L 1 % + ----cp+ U7Gv-1 un-l - z"
,,=I U n - v - 1 %-1
geschrieben werden. Setzt miin daher
so verwandelt sich H in das Inteprnl
2 I %-1- Zn I % l 2 + I l ; / n l ' + . . * +ITI,7-11 - u,,-l
Mithin ist H = 0, falls I & , , - L - z7' 5 0 .
Ferner verschwinden die Integtiile
!'v,,drj = J q , , d q = JTI. ?jA dq = 0 fur 5c =I= A ,
so daB allgeniein H die einfiichere Gestalt
anninimt. Hierbei ist unt,er der Voraussetzung
& , & - I -2" > 0 , wie man leicht nachrechnet,
Specht, Wurzelverteilung algebraiselm Gleichungen. 149
Durch einfache, jedoch lnngwierige Rechnungen, die hier ubergangen werden sollen. erhalt man
mit dem Polynoin
1 I1 2 1 K ( z ) = n v : - , x " - ' - ;(u,c 1 - z ) v 7 L - 2 + - p , t 1(21,,-l-z")(2w,-4+2),-2),
wenn noch w k = v o + v , f a . . + v k ( k = 0 , 1 , 2 , . . . )
gesetzt wird. In etwas ubersichtlicherer Gestalt ist
p - 3 ( I -2zn+z,r+1 ' 1 L ( z ) H = - ). 1 - n ! ( 1 -Z")"f% ( I - 2 ) 2
iiiit den1 Polynoin
L ( z ) = (1 - z)2n6z?L-1 (n- 1 - 22 + 2 ~ ' ~ + z ' ~ + ' ) + ( 1 - z")' (n 4- 1 - nz - 22" +- z"+')
und somit unter der Abkurzung I r l z = z
