Lösungen der Aufgaben

0.1: a) a+b = (4,1,9), a-b = (-2,-1,1), a·b = 23, lai = v'26, axb = (-5,11,1), (abc) = -14, a - Pb(a) = 216 (-43, -23, 38). b) Aus aa + ßb + "(C = 0 folgt a + 3ß + "( = 0, ß - "( = 0, 5a + 4ß + 2"( = 0, also a = ß = "( = O. 0.2: Die Behauptung folgt sofort aus (0.15). 0.3: Es ist xll/(t) = (6,-cost,et ).

( 1 1 2u1 ) 0.4: a) Jx(u) = 1 -1 2u2 ,

b) ~~ (u1(t), u2(t)) = (2t + cos t, 2t - cos t, 4t3 + 4t + 2 sin tcos t). 0.5: y(t) = (t2,sint,t) + (C1,C2,C3) mit Ci = const (i = 1,2,3).

1.1: Alle Koordinatenfunktionen sind in 1= [-211",211"] beliebig oft differenzierbar. Es gilt für alle tEl: x'(t) = (-sint,cost,cos~) und Ix'(t)1 2 = 1 + cos2 ~ =I- O.

Folglich ist (a) erfüllt. Die Gleichung der Tangente für to = ~ ist ~(t) = (1,1, V2) + t(-l,O, ~) = (1 - t, 1, V2 + ~t), t E ill.. Wegen x~ + x~ + x~ = (1 + cost)2 + sin2 t + 4 sin2 ~ = 4 und (Xl - 1)2 + X~ = cos2 t + sin2 t = 1 liegt K; auf beiden Flächen. Die Parametertransformation t(t*) = -2t*, t* E 1* = [-11", +11"] führt zur Umparametrisierung i(t*) = (1 +cos(2t*),-sin(2t*),-2sint*), t* E 1*, die wegen t/. (t*) = -2 orientierungsumkehrend sein muß. 1.2: x(to + h) liegt nach (bzw. vor) x(to), falls h > 0 bzw. h < 0 ist. Also zeigt der Vektor i (x(to + h) - x(to)) unabhängig vom Vorzeichen von h stets in Richtung wachsender t-Werte. Das muß dann auch für den Grenzwert x'(to) gelten. 1.3: Die Funktion t(t(2») hat in t(2) = ~ und t(2) = 5; Unstetigkeitsstellen (Sprünge der Höhe t1l"), so daß sie dort auch nicht differenzierbar sein kann. Dann können

offenbar in diesen Stellen die Funktionen sin t, cos t und folglich auch i(t(2») :=

x(t(t(2»)) nicht differenzierbar sein. t

1.4: Es gilt x' (t) = (1,20, 2t), Ix'(t)1 = 2t+ 1, s = s(t) = J(l + 2u)du = t + t2, t = o

t(s) = -~ + Vi + s und für s E 18 := (0,2) :

192 Lösungen der Aufgaben

1.6: Die Behauptung folgt unmittelbar aus der dritten Frenetschen Gleichung b' = -rn.

1.7: Für die Kurve x = x(s) sei ~ = C = const. Aus der ersten und dritten Fre­netschen Gleichung folgt dann ce + b' = 0 und durch Integration Ct + b = a, wobei a ein konstanter Vektor ist. Ferner gilt cos L(t, a) = I:II~I = v'1~C2 = const, d.h., x(s) ist eine Böschungslinie. Ist umgekehrt x(s) eine Böschungslinie, dann existiert ein konstanter Vektor a mit a . t = C = const, also (a· t)' = a· t' = I\;a· n = 0 und wegen I\; =I- 0 : a· n = O. Hieraus folgt unter Beachtung der dritten Frenetschen Gleichung: a· b' = O. Also gilt a· b = Cl = const. Aus 0 = a· n' = a( -I\;t + rb) = -I\;(a· t) + r(a· b) = -I\;C + rCl folgt die Behauptung.

1.8: Man erhält unter Beachtung von (1.64), (1.65) x(t) = (1, 2t, 3t2), x(t) = (0,2, 6t), x(t) = (0,0,6)

2Jl + 9t2 + 9t4 3 1\;( t) - r ( t) - ---c-;:----:---;-

- (VI + 4t2 + 9t4 )3 ' - 1 + 9t2 + 9t4

1.9: Im Kurvenpunkt xG) gilt nach (1.63) - (1.67) und Definition 1.12 x = (-1,01), x = (0, -1,0), x = (1,0,1), lxi = J2, t = ~( -1,0,1), n = (0, -1, 0), b = ~(1, 0,1),

I\; = ~, r = 1, (J = ~ = 2, ~ = (0,1,0) + 2(0, -1,0) = (0, -1, 0). Schmiegebene: Xl + X3 = 0, Normalebene: -Xl + X3 = 0, Streckebene: X2 - 1 = O.

1.10: Im Beispiel 1.16 wurde gezeigt: I\; = ~ = T2~c2,n(s) = -(cosq.,sinq.,O) mit

l = Jr2 + c2 . Folglich ist nach (1.66) ~(s) = ({r - c.} cos §. {r - c.} sin §. c§.) mit r - C. = -~.

Tl' Tl' Irr

( cosh t sinh t et )

1.11:Esistx·(xxx)(t)=det sinht cosht et =0,alsonach(1.66)r(t) =::0. cosh t sinh t et

1.12: (a) so(t) = J2rsinht, I\;(t) = r(t) = 1 2 ' I\;(s) = r(s) = 2 2 r 2' 2rcosh t r + s

(b) die Behauptung folgt aus dem Fundamentalsatz, da die natürlichen Gleichungen beider Kurven übereinstimmen.

1.13: Es sei K durch x = x(s) gegeben, und x* bezeichne den Punkt auf K*, in dem beide Hauptnormalen übereinstimmen. Dann gilt also x* = x(s) + a(s)n(s) und (x*)' = x' + o:'n + an' = (1 - al\;)t + a'n + arb. Aus n(x*)' = a' = 0 folgt a = const und daher Ix* - x(s)1 = lai = const. Ist t* der Tangenteneinheitsvektor

ds* zu x* = x + an, so folgt (t*t)' = 1\;* Ts(n*t) + I\;(t*n) = 0, also t*t = const.

2.1: Es gilt ds = J(x'(<p))2 + (y'(<p))2d<p = J(r'( <p) cos <p - r( <p) sin <p)2 + (r'( <p) sin <p + r( <p) cos <p)2dt = J(r'( <p))2 + (r( <p) )2d<p. 2.2: Benutze (2.5) und (2.20).

Lösungen der Aufgaben 193

2.3: Es gilt: x(t) = a(l - cost), i(t) = y(t) = asint, y(t) = acost, Ix(t)1 =

,li + l = 2a sin~, t(t) = (~~~i~(l)), 0 < t < 211"), s(211") = [lx(t)ldt = 8a, K(t) = -1

4asin t . x

2.4: y' = sinh~, ds = cosh ~dx, s(x) = J cosh ~du = asinh ~dx, y" = ~ cosh ~ = o

!:X' fl = ~ (beachte: cosh2 x - sinh2 x = 1). 2 5·(F) - 0 - -(Fyy)o - 3 •. yO- ,KO- (F,,)o -8a·

2.6: x(ip) = eaCP(cosip,sinip), Ix(ip) I = eacp y'l +a2, cosL(x,x') = ~, y1+a-

K(ip) = e-acp = 1 (s. (2.23)) s(ip) = J Ix'(ip) I dip = ~(r(cp)-l). ~ r(cp)~ , 0 a

2.7: Aus der Abbildung erkennt man, daß 0, P, P* stets auf einer Geraden liegen.

o

zu Aufgabe 2.7

M sei der gemeinsame Mittelpunkt der Strecken PP* und AB. Dann gilt r = OM + MP, r* = OM - MP* = OM - MP, (OM)2 = a2 -(AM)2 sowie (MP)2 = b2 - (AM)2. Damit fin­det man r· r* = (OM)2 - (MP)2 = a2 - (AM)2-b2+(AM)2 = a2-b2. Nimmt man an, daß sich P auf einer Geraden bewegt, die nicp.t durch 0 geht, ihre Polargleichung laute r = sr~(~~:), dann folgt r* = a2 _b2 _ (a2 -b2 ) • ( _ ) _ a2 _b2 ( !!: _ )

r - ro sin Cl< sm a ip - ro sin Cl< COS ip + 2 a. Zieht man von 0 den zur Geraden senkrechten Strahl OQ, so ist LP*OQ = =r=(ip + ~ - a). Wählt man auf dem Strahl OQ den Punkt Ao mit

OAo = r~2si::, so folgt aus r* = OAo cos(ip + ~ - a), daß LAoP*O ein Rechter ist. Da dies für jedes ip, für den P auf der Geraden liegt, zutrifft, bewegt sich P* auf dem Kreis mit dem Durchmesser OAo. 2.8: Fx = -3x2 + 2ax, Fy = 2by, 60 = 4b(a - 3x). Zu 1. a > 0, b> 0 60 > 0, Einsiedlerpunkt in (0,0), Zu 2. b > 0, a = 0, 60 = 0, Spitze in (0,0); Auflösung: y = ~v'x Zu 3. a > 0, b > 0, 60 < 0, Doppelpunkt in (0,0); analog 4., 5.

2.9: Zu zeigen ist, daß der Abstand zwischen ~(t) und dem Schnittpunkt T(t) der t

Tangente mit der x-Achse gleich a ist. Aus (2.37) folgt ~'(t) = (tan2 i, -tanhta ). a cosh a

Aus der Bedingung y(t) + Ay'(t) = 0 erhält man A = 8 coth ~ und wegen (A~')2 =

a2 tanh2 ~ + a2(cosh-2~) = a2 den gesuchten Abstand IA~'(t)1 = a.

2.10: Es ist 80 = t, t(t) = (-sint,cost), also nach (2.36): f:(t) = cost - tsint, y = sin t - t cos t, t E [0,211"]. 2.11: Die Evolute ist der Kreis x(t) = acost, y(t) = asint. (s. (2.33)).

2.12: Aus (2.33) und (2.15) folgt wegen K(t) = -(4asin ~)-1 : M(t) = a(t + sint), y = -a(l - cost). Setzt man T = t - 11", so erhält man M(T + 11") = X(T) +

194 Lösungen der Aufgaben

a-rr, y(r + -rr) = y(r) - 2a. Die Evolute ist also die in Richtung der x-Achse um a-rr und in Richtung der y-Achse um -2a verschobene Ausgangskurve. 2.13: Behauptung (a) folgt aus cosh2 t - sinh2 t = 1; Zu (b): Aus den expliziten Darstellungen y = ±~v"x"2 ---a"'2 (Vorzeichen ist abhängig vom Vorzeichen von y!) und (2.8), (2.16) folgt:

Tangentengleichung: y - Yo = ~~~ (x - xo), • 2

NormalengleIchung: y - yo = -~b 0 (x - xo). Xo

Schließlich erhält man aus lim (~) = ±~ die Asymptoten y = ±(~)x (s. [PfS]). x-+oo

4.1: Zu (0.34): Dem Sphärenpunkt Xo entsprechen die Parameterwerte Uo = (UÖ, uij) = (i, i)· Man erhält: Xul(UO) = ~(-1,1,0); Xu2(UO) = ~(1,1,-V2), N(uo) = -Xo· Tangentialebene: (1) x(vl,v2) = Xo +ViXui (uo) = H(1-v1+v2), (1+v 1+v2), (V2-V2v2)) oder (Xl - xt{uo)) + (X2 - X2(UO)) + V2(X3 - X3(UO)) = 0.

Zu (4.9): Xo entspricht Uo = ~(1,1). Es ist: Xul(UO) = (1,0,- ~),Xu2(UO) =

(0,1, - ~),N(uo) = Xo·

Zu (4.19): Xo entspricht Uo = (ro,<po) = ~(1, 1). Es ist: xr(uo) = ~(1, 1, -V2), - 1 -xcp(uo) = 2(-1,1,0), N(uo) = Xo· 4.2: Aus den bereits in Beispiel 4.6 bereitgestellten Größen entnimmt man: 911 =

211"211" r2, 912 = 0, 922 = (rcosu1 + a)2, y'g = r(rcosu1 + a); O(F) = r J J(a +

o 0 r cos u1 )du1du2 = 4-rr2ar. 4.3: 911 = 2; 912 = 0, 922 = (u1)2. Die Formeln (4.38) und (4.41) liefern für

t 11" t 11"

ü1 = ~eV2, ü2 = 1, ü*l = 1, ü*2 = 0: so(-rr) = J V2e V2 dt = V2(e V2 - 1) und

° 1 t 9nÜ e -72 1 0

cos<p= t =V2,d.h.<p=45 (=const). y'gi1 ( V2e 72 )

4.4: Aus (4.55) folgt nach längerer Rechnung: IIu = r(du1)2 + (a + rcosu1) cosu1(du2)2. 4.5: I = r2(du1)2 + (du2)2, II = _r(du1)2, E = {(e,e)lr2(e)2 + (e)2 =

1}, ~n(e,e) = -r(e)2,min~n(e) = -~ für e = e(l) = (-~,O),max~n(e) = 0, eEE eEE

für e=e(2) = (0,1); xel= -~Xul, x6= Xu2.

4.6: Parameterdarstellung: x(u1, u2) = (u\ u2, (u1)2 + (u2)3), Xul = (1,0, 2u1), XU2 = (0,1, 3(u2)\ N = (4(U1)2 + 9(u2)4 + 1)-~ (-2u1, _3(u2)2, 1), XU1Ul = (2,0,0),

Xulu2 = 0, Xu2u2 = (0,0,6u2, bn = XUlul . N = 2(4(u1)2 + 9(u2)4 + 1)-~, b12 = 0, 2 1 2 2 4 1 12u2

b22 = X u2u2 • N = 6u (4(u) + 9(u) + 1)-2, b = 2 4; signb = (4(u1) +9(u2) +1

sign K = sign u 2 .

4.7: a) Xul = (1, 0, 3(u1)2_3(u2)2), Xu2 = (0,1,-6u1u2), Xulul = (0,0,6u1), Xulu2 =

Lösungen der Aufgaben 195

(0,0, -6u2), X U 2 U 2 = (0,0, -6ul ), g11 = 1 + [3(Ul )2 - 3(U2)2]2, g12 = _6UlU2[3(Ul )2 - 3(U2)2], g22 = 1 + 36(Ul )2(U2)2, N = q;(_3(Ul )2 + 3(u2)2,6ulu2, 1) mit q; :=

(1 + 9(ul )4 + 18(ul )2(u2)2 + 9(u2)4)_~, b11 = 6ul q;, b12 = -6u2q;, b22 = -6ul q;, K = _36[(ul )2 + (u2)2]q;\ H = [_27(ul )5 + 54(Ul )3(u2)2 + 81ul (u2)4]q;3. b) In Xo = 0 gilt: bij = ° und folglich /i;n(e,e) == 0. Xo ist Flachpunkt.

c) Aus dem Ansatz ui = oh und der Differentialgleichung ul (i/)2 - 2U2Ülii -ul (Ü2 )2 = ° erhält man ~)*(t) = (O,t,O), x*(t) = (±V3t,t,O).

4.8: HK: /i;l = -/i;2 = b 2; Differentialgleichung (4.77): (b2 +a2(u2)2)(ül )2 b2 + a2(u2)

= a2(ü2{ Lösungen: u2(Ul ) = +~ sinh(ul-ct}, u2(ul ) = -~ sinh(ul-C2), (Cl, C2 = a a

du2 ü2

const), (beachte: du l = ü l )'

4.9: In Beispiel 4.22 wurde berechnet: /i;l = -/i;2 = 2. Alle Voraussetzungen (4.85) für die Wahl des Koordinatensystems sind erfüllt. Aus (4.88) erhält man die Indi­katrix: 2(X*2 _ y*2) = ±1.

4.10: Aus ul = t, u2 = const, ü l = 1, ü2 = 0, üi = ° und (4.112) folgt /i;g

ril y'g 3 •

(g11) "2

4.11: Es ist g11 = r2, g12 = 0, g22 = 1 + 4r2 (vgl. Beispiel 4.24). Aus (4.113) folgt

(/i;g)r=ro = ro~' 4.12: Ist x*(t) Geodätische, so ist /i;g(t) = 0. Ist x*(t) Asymptotenlinie, so ist nach Definition 4.18 auch /i;n(t) = 0. Aus (4.108) folgt /i;(t) = ° und damit die Behaup­tung. 4.13: Aus (4.70) folgt (/i;l cos2 cp + /i;2 sin2 cp) + (/i;l cos2(cp + ~) + /i;2 sin2(cp + ~)) = /i;l + "'2 = 2H. 4.14: Nach (4.19) ist Nui == 0, also N konstant. 4.15 r~t= - sin u2 cos u2, rb= r~t= cot u2 (alle übrigen gleich Null).

k 1 hi - f11f22 . 4.16: rijk = fijik, rij = - fijik, R12l2 = 2 2' wobeI h := fx, 12

9 1+h +12 f y, f11 = fxx, ft2 = fxy, 122 = fyy· 4.17: Der Ursprung (0,0,0) ist einziger singulärer Punkt.

5.1: Aus Xul = x' + U2x", X U 2 = x' folgt g11 = XulXul = (x' + U2x")2 = 1 + (u2)2Ix"12 = 1 + (u2)2/i;2, g12 = (x' + U2x")X' = X/2 = 1, g22 = X/2 = 1. 5.2: Nach Satz 5.2 ist K == ° charakteristisch, was nach (4.83) mit fxxfyy - !';y = ° gleichbedeutend ist. 5.3: Sind n(u1), b(u1) Haupt- und Binormalenvektor der gegebenen Kurve x(u1) und u1 o.B.d.A. die Bogenlänge von x(u1), dann erhält man für die Haupt- und Binormalenfläche x(u\u2) = x(u1) + u2n(u1), x(u1,u2) = x(u1) + u2b(u1) nach Satz 1.6:

196 Lösungen der Aufgaben

(x' x n)n' = (x' x n)( -~x' + Tb) = T(X' x n)b = (x' x b)b' = 0 {::} T = o. Die Behauptung folgt nun unmittelbar aus Satz 5.1. 5.4: Aus (1.38), (1.42) folgt x(u1) = (rcosu\rsinu1,cu1), n(u1) = -(cosu\sinu\O)j also nach der Parametertransformation r - u1 -* u1, u2 -* u2 : x(u1,u2) = (u2cosu1,u2sinu\cu1) (siehe Aufgabe 4.8). 5.5: Es ist Xul = (-r(u2) sinu1,r(u2) cosu2, 0), X u 2 = (r'(u2) cosu\r'(u2) sinu1 ,

h'(u2)),lxu l x xu 21 = n/r,2 + h,2 = 0 genau dann, wenn r = 0 ist. 5.8: Aus F>.(x, y, Zj A) = -2(z - A) = 0 folgt Z = A. Die Charakteristiken sind also zur x, y-Ebene parallele Kreise. Setzt man A = Z in F(x, y, Zj A) = 0 ein, so erhält man als Hüllfläche den Kreiszylinder x 2 + y2 = 1.

6.2:a) Wegen r(u1) = h(u1) = u 1 ist K == O. b) folgt aus Bemerkung 6.3 bzw. 2 2

Satz 6.2. c) Die Abbildung 4>(x(u1,u2)) = x(u1,u2) = V2u1(cos ~,sin ~,O) ist

wegen g11 = 911 = 2, g12 = 912 = 0, g22 = 922 = (u1)2 (siehe Aufgabe 4.3) eine Isometrie auf den Ebenensektor E := {(r,e)IO < r < 00,0::; e < V2?r} mit den

u2 Polarkoordinaten r := V2u1 und e := V2(s. Abbildung zu 6.2).

d) Die Geodätische und ihre Länge l zwischen zwei Kegelpunkten x( uo 1 , uo2) und X(Ul 1,UI 2 ) ist nach Bemerkung 6.2 das Urbild (bzw. die Länge) der Geraden zwi­schen den Bildpunktenx(uo1, uo2) und X(Ul 1, U1 2). Unter Beachtung von x = rcos e, y = rsine erhält man je nach Koordinatenwahl für die Anfangspunkte (AP), End­punkte (EP) der Geodätischen und für die Geodätischen selbst:

Fall u1 u2 r 8 x y Geodätische l

AP 0 0 0 0 0 0 x(t) = t,y(t) = 0,0::; t::; 1 1 a EP ..!" 0 1 0 1 0 u1(t) = ~r(t) = t,u2(t) = v'28(t) = 0 .,f2

AP ;72 0 1 0 1 0 x(t) = 1,y(t) = t,O::; t::; 1 ß EP 1 ~ v'2 " 1 1 u1(t) = ~r(t) = ,ttt2

, 1 4 4"

u2(t) = v'28(t) = arctant

6.3: Für F(u2, t) := ?rcosu2 - 2t - sin2t = 0 folgt aus (0.43)

?rsin u2 • 2(1 + cos 2t) . Nach (4.34) 1st wegen Yu 1 = 0 und Yu2 = Yttu2

2 2· 2 2t - d (-) [d (Xul Yu 1 )] (smu COS)2 . 2 2 9 = et g .. = et = = sm u = g. '3 Xu2 Yu2 1 + cos 2t

6.4: Gäbe es eine solche Karte, dann würde aus (6.12) und (6.16) c = 1, also die Längentreue folgen, was Satz 6.3 widerspräche (Bemerkung 6.5). 6.5: 4> : x(u\ u2) I-t (x(u1, u2), y(u1, u2)) = (tan u2 cos u1, tan u2 sin u1). Jeder Groß­kreisbogen geht in eine Gerade über.

Lösungen der Aufgaben 197

z

'*:--+-----y

Geodätische Zu Aufgabe 6.2

7.1.: Benutze Beispiele 4.19, 4.21 (siehe auch Beispiel 4.13).

Zu Aufgabe 7.2

7.2: Die Radien der Randkreise K1 und K2 seien r1 und r2. Führt man einen Schnitt von K1 nach K2, so wird die von der Gesamtkurve berandete Fläche einfach zusammenhängend (Abb. zu Aufgabe 7.2). Aus K = 0, K,g = K, und O!i = ~, (i = 1,2,3,4) folgt nach (7.2)

211" 211" ! K,gds + ! K,gds = 211" - 211" = - ! :1 hd<p) + ! :2 (r2 d<p). }(j}(2 0 0

7.3: Die Behauptung folgt aus (7.7) und (7.8). 7.4: Jedes von diesen Geodätischen gebildete Viereck hat die Winkelsumme 211". Nach (7.3) ist für jedes Viereck J J KdO = 0, also K == 0.

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Bildquellennachweis

[dCa] [Fis] [GiSe]

Seiten 104, 105,63: Seiten 76,77,79: Seiten 145,104,122,144,353,350, 355,357,247 :

[Gra] Seiten 181,314: [HiTr] Seiten 112/113: [Klo] Seite 71: [Sehe] Seiten 102, 106: [Stru] Bd. 2, Seiten 172, 189: Pressefoto Mühlberger München:

Abbildungen 4.10; 4.11; 4.12; 5.11 Abbildung 5.14 Abbildungen 5.2; 5.3; 5.9; 5.10; 5.12; 5.17; 5.18; 5.19 Abbildungen 4.2; 5.8 Abbildungen 5.21; 7.3 Abbildung 6.4 Abbildungen 2.16; 2.17 Abbildungen 6.5; 6.7 Abbildung 5.23

Sachregister

Abbildung -, affine 19, 172 - Gauß- 111, 179 -, geodätische 172 -, inhaltstreue 171 -, isometrische 19, 169 -, konforme 169 -,längentreue 165, 171 - von Flächen 164 -, winkeltreue 169 Ableitungsgleichungen 129 Abwicklung 166, 186 Ähnlichkeitsabbildung 169 Äquivalenzklasse 38 Affensattel 125 Allgemeine Relativitätstheorie 132 Astroide 79 Asymptote 87 Asymptotenrichtung 124 Asymptotenlinie 124

Bahnbeschleunigung 62 Bahnkurve 20, 30ff., 61 Bahnschraubenlinie 157 Basiskurve 143f. Berührung 60,79 Beleuchtungsgeometrie 187 Bertrand-Kurve 62, 93 Beschleunigung 61 Bewegfläche 163 Bewegung 18ff., 43, 61, 103 Biegungsinvariante 166 Binormale 46, 49 Binormalenbild, sphärisches 52 Binormalenfläche 148 Binormalenvektor 46ff. Böschungslinie 50,61 Böschungsfläche 148 Bogendifferential 40 Bogenelement 40, 65

Bogenlänge 39ff., 45, 59, 75, 107 Bogenpolygon 177 Brachistochrone 71 Breitenkreis 24, 96, 150, 173

CAGD 185 Cassinische Kurve 87 Cesaro-Kurve 93 Chaos-Theorie 74, 78 Charakteristik 163 Christoffelsymbole - erster Art 130 - zweiter Art 130 Computerprogramme 93, 185

Dachfläche, windschiefe 144 Darbouxscher Drehvektor 54 Differentialgeometrie -, globale 30, 89 -, lokale 30 Doppelpunkt 34, 74 Drall 149 Drehachse 150 Drehellipsoid 152 Drehfläche 150 - konstanter Gaußscher Krümmung 152ff. -, pseudosphärische 153f. -, sphärische 152 Drehparaboloid 151 Drehung 19, 65, 72 Drehwinkel 150 Dreibein -, begleitendes 47ff. -, Gaußsches begleitendes 105 Dupinsche Indikatrix 128

Eichfeldtheorie 187 Eifläche 183 Eigenschatten 149 Eilinie 92f. Einsiedlerpunkt 74

204

Einsteinsche Summenkonvention 104 Ellipse 67ff., 79, 93, 115, 152 Ellipsoid 101, 120, 180, 183 Enveloppe 82, 163, 189 Entwurf von Archimedes und Lambert 174 Epizykloide 84 Erlanger Programm 190 Erzeugende 143 Eulersche Charakteristik 182 Eulersche Polyederformel 182 Evolute 79, 188 Evolvente 80, 188 Evolventenverzahnung 83 Exzeß 179

Flachpunkt 119 Fläche 97, 102 -, abwickelbare 166 -, geradlinige 143 -, geschlossene 180 -, kompakte 180, 184 - konstanter Gaußscher Krümmung 140, 168 - konstanter mittlerer Krümmung 162 -, Künsche 153 -, reguläre 102 -, starre 166 -, streng konvexe 183 -, triangulierte 181 -, unverbiegbare 166 -, verbiegbare 166 - zweiter Ordnung 38, 100 Flächen -, aufeinander abwickelbare 166 -, homöomorphe 180 -, ineinander verbiegbare 166 -, isometrische 167 -, kongruente 183 Flächendarstellung -, explizite 99 -, implizite 100 Flächenfamilie, einparametrige 163 Flächeninhalt 16, 70, 75, 89, 109 Flächenkurve 103f., 107 Flächennormalenvektor 105, 111, 177 Flächenpunkt -, elliptischer 119 -, hyperbolischer 119 -, parabolischer 119 -, singulärer 142

Flächensatz 62 Flächenstück 75 -, parametrisiertes 95, 97, 102 -, reguläres 102 Flächentheorie -, globale 30,176 -, lokale 30, 95 Flächenvisualisierung 187 Formel

Sachregister

- von Bertrand und Puiseux 141 - von Darboux 53 - von Tissot 173 Fraktal 78 Frenetsche Gleichungen 66 - kinematische Deutung 51 Frenetsches Dreibein 47 Fräsen 152, 158 Fundamentalform -, erste 107 -, zweite 112f., 115 Fundamentalgrößen -, Gaußsche 107 -, metrische 107, 136 Fundamentalsatz - der lokalen Flächentheorie 133 - der lokalen Kurventheorie 57

Gaußsche Gleichung 131 Gelenkendoprothesen 186 Geodätische 138, 156, 167, 176, 178, 189 -, Differentialgleichung der 141f. -, geschlossene 184 geodätisches Dreieck 178, 189 geodätisches Netz 139 Geometrie -, elliptische 156 -, euklidische 155 -, fraktale 77ff. -, hyperbolische 156 -, innere 166 -, konstruktive 93, 185 -, nichteuklidische 155 -, Riemannsche 185, 190 geometrische Datenverarbeitung 185 geometrische Eigenschaften 42, 57 Geometrisierung der Physik 187 Geradenscharen 144 Gesamtkrümmung 178f., 181, 189 Geschlecht einer Fläche 181

Sachregister

Geschwindigkeitsvektor 21, 32, 61 Gleichdick 93 Gleichungen - von Frenet 51 - von Darboux 53 -, natürliche 58 Gratlinie 147

Halbsphäre 100 Hauptfaserbündel 187 Hauptkrümmung 116, 121, 186, 189 Hauptkrümmungsrichtung 116, 118 Hauptnormale 45, 49, 60 Hauptnormalenbild, sphärisches 52, 180 Hauptnormalenfläche 148 Hauptnormalenvektor 45,47,65,68 Hauptverzerrungen 173 Hauptverzerrungsrichtungen 173 Hüllfläche 163, 189 Hüllkurve 82 Hüllschraubfläche 158 Hundekurve 81 Hyperbel 87 Hyperboloid 100 -, einschaliges 101, 120, 144 -, zweischaliges 101 Hypozykloide, gemeine 84

injektiv 22 Innenwinkel 177, 189 innergeometrische Größe 166 Integrabilitätsbedingungen 131 Invariante, differentialgeometrische 42 Invariantensystem, vollständiges 43 Inversor von Peaucellier 72 Isometrie 19, 165 isoperimetrische Ungleichung 89 isoperimetrisches Problem 89 isophotische Flächenelemente 187

kanonische Darstellung 55 Kapillarfläche 163 Kardioide 72, 85 Kartennetzentwürfe 173 Katenoid 161, 167 Kegel 50, 101, 110, 148, 152, 168, 179 Kehllinie 149 Keplersches Gesetz, zweites 62 Kettenfläche 161 Kettenlinie 71, 80, 160

Kettenregel 22,37,42 -, verallgemeinerte 27 Klothoide 83, 85f. Kochsche Schneeflockenkurve 75 konischer Knotenpunkt 147 Konturpunkt 149 konvexer Körper 183 Koordinaten 13 -, Gaußsche 98 -, isotherme 170 -, krummlinige 98 Koordinatenfunktion 20ff., 34 Koordinatensystem 12 Kreis 32, 64 Kreisschraubfläche 158 Krümmung - einer ebenen Kurve 66 - einer Raumkurve 45ff. -, Gaußsche 119f., 130, 132, 136, 140,

147, 152, 168, 177, 179f., 189 -, geodätische 66, 134ff., 167, 177f., 189 -, mittlere 119, 159 Krümmungskreis 60, 79 Krümmungslinie 122 Krümmungsmittelpunkt 60f., 68ff. Krümmungsradius 60f., 68f., 188 Krümmungstensor 131 kubische Schmiegparabel 55 Kurve 31 -, ebene 31, 63fI., 75, 78, 188 -, einfache 88f., 92 -, geschlossene 88f., 92, 159, 180 -, glatte 36, 75 -, injektive 38 -, konvexe 92 -, parametrisierte 31ff., 38f., 59f., 63 -, positiv orientierte 91 -, reguläre 36ff., 41, 72, 75, 78 -, unparametrisierte 38 -, Vivianische 39 Kurvendarstellung -, explizite 63 -, implizite 64 Kurventheorie -, globale 30,88 -, lokale 30, 36 kürzeste Verbindungslinie 134, 141

Längenkreis 24, 96, 151, 173

205

206

Längenmessung 108 Längenverzerrung 173f. Lambertscher Azimutalentwurf 172 Lancret Gleichung 52 Leitkurve 143 Lemniskate 69, 73f., 86 Liesche Gruppe 187 Linienfiäche 143 Linkssystem 15, 19 Lissajous-Kurve 87 Loxodrome 109, 174

Mainardi-Codazzi-Gleichungen 131 Mannigfaltigkeit 187 Maple 185 Mathematica 94, 185 Mercator-Entwurf 173 Meridian 151,174 Minimalfiäche 159, 189 - von Scherk 162 - von Schwarz 161 Möbiusband 145, 179 Mollweidescher Entwurf 175

Nabelpunkt 118 natürliche Gleichungen 58 natürlicher Parameter 44 Normalanteil135 Normalbeschleunigung 62 Normale 65 Normalebene 47, 61, 188 Normalenabbildung 111,179 Normalenabschnitt 67 Normalenvektor 17f., 65ff., 78, 104 Normalkrümmung 113f., 135, 189 Normalschnitt 114 numerische Exzentrizität 68

Oberflächenelement 110, 177 Orientierung - einer Fläche 179 - einer Kurve 32, 92 orientierungstreu 19, 103, 105 orientierungsumkehrend 19, 103 orthogonal 12 orthonormal12 Orthonormalsystem 12 Ortsvektor 12

Parabel 69

Sachregister

-, kubische 56 -, Neilsche 55 -, semikubische 55 Paraboloid 138 -, elliptisches 101, 123, 141 -, hyperbolisches 101, 121, 125, 143 Parallelenaxiom 155 Parallelkurve 83 Parameterbereich - einer Kurve 31 - eines Flächenstückes 96 Parameterdarstellung 30 - einer Kurve 31, 63 - eines Flächenstückes 96 Parameterlinien 96, 139 Parametertransformation 37ff., 42, 102 -,orientierungstreue 37, 103 -,orientierungsumkehrende 37, 103, 179 Parametrisierung 30, 35, 38ff., 42, 44 - einer Kurve 31, 34f., 37, 43f. - eines Flächenstückes 96 - nach der Bogenlänge 43 -, lokale 38 Pendel, isochrones 71 Plateausches Problem 159 Poincare-Modell156 Polargleichung 64 Polarkoordinaten 27, 64, 69 -, geodätische 139, 168, 189 Profilkurve 150 Projektion -, skalare 14 -, stereographische 170 -, Vektor- 14 Pseudosphäre 152ff., 179 Punkt -, regulärer 100 -, singulärer 73f., 83

Radiusfunktion 64 Radlinie 84 Rechtssystem 15f., 19, 47 Regelfiäche 143 -, windschiefe 149 rektifizierbar 41, 75 rektifizierende Ebene 47 Richtkegel 50 Richtungskosinus 13 Richtungskurve 143

Sachregister

Rollkurve 84 Rotationsindex 91

Sattelfläche 125 Sattelpunkt 120 Satz - von Euler 118 - von Gauß-Bonnet 178 - von Meusnier 114 - von Rodrigues 118 - von Whitney 63 Schalen 186 Scheitel 67ff., 92 Schleppkurve 81 Schmiegebene 47ff., 60f. Schmiegkreis 79 Schraubenlinie 21, 33, 36, 40, 44, 49f., 61, 96, 106, 138, 148f., 160, 167 -, hyperbolische 62 Schraubfläche 157 -, zyklische 158 Schraubsinn 50 Schraubtorse 158 Schraubung 19 Seifenblase 159 Seilkurve 71 Seitenkrümmung 136 Selbstähnlichkeitsdimension 77 Selbstberührung 74 Sierpinski Dreieck 76f. Skalarprodukt 11f. Spat produkt 16 Sphäre 24, 96, 98, 101, 107, 112, 115f., 118, 121, 137f., 150, 152, 168, 174f. Spirale -, Archimedische 70 -, Cornusche 85 -, gleichwinklige 72 -, logarithmische 72 Spitze 74, 83 Spur 34f., 41 - einer Fläche 95 - einer Kurve 32ff., 37, 39f., 63, 88 Sternkurve 79 Strahlfläche 143 Strahlschraubfläche 157 Streckebene 47, 50, 61 Stützebene 183 Subnormalenabschnitt 67

Subtangentenabschnitt 67

Tangente 36, 39, 45f., 49f., 60, 74, 188 Tangentenabschnitt 67f. Tangentenbild, sphärisches 52, 90 Tangenteneinheitsvektor 45, 64f., 68 Tangentenfläche 168 Tangentenindikatrix 90 Tangentenvektor 32, 104 Tangentialanteil 135 Tangentialbeschleunigung 62 Tangentialebene 50, 104f., 108, 189 Tensor 111 -, metrischer 111 Theorema egregium 132, 189 Theorema elegantissimum 178 Torse 146, 152, 168 - in der Technik 186 Torsion 30, 48, 50, 59, 61, 63, 188 Torus 105, 110, 113, 120, 150f., 180 Totalkrümmung 52 Traktrix 81, 86, 154 Translationsfläche 163 Trochoide 84

Umlaufsatz 92 Umlaufzahl 91 Umparametrisierung 37, 43f., 103, 105 Umriß -, scheinbarer 149 -, wahrer 149 Umrißpunkt 149 Unverbiegbarkeit der Eiflächen 183

Vektorfunktion 20, 22ff., 31, 34f., 39, 95 -, differenzierbare 22, 25ff., 31, 75, 95 -, stückweise differenzierbare 22 Vektorprodukt 15,27,47 Verbiegbarkeit, infinitesimale 184 Verbiegung 165ff. Verebnung 166 Verfolgungskurve 81 Vierscheitelsatz 93

Weingartenabbildung 117 Weingartenmatrix 117 Wendelfläche 125, 149, 157, 160, 167 Wendepunkt 46, 78, 188 Wickellaminate 186 Wickelpunkt 85

207

208

Windung 21, 33, 40, 48, 188 Winkel 12, 108 Winkelgeschwindigkeit 53 Winkelmessung 108

Zentripedalbeschleunigung 62, 86 Zinderkurve 93 Zissoside 83f.

Zykloide 71, 81, 84

-, gemeine 84

-, gewöhnliche 70, 84

Zykloidenpendel 71, 83

Zykloidenverzahnung 85

Sachregister

Zylinder 96, 116, 142, 147, 151, 174