Fakultät Maschinenwesen, Institut für Luft- und Raumfahrttechnik, Arbeitsgruppe Experimentelle Aerodynamik

Praktikumsanleitung

Flachwasseranalogie

Verantwortlicher: Dr.-Ing. Veit Hildebrand

Erstellt von: Dipl.-Ing. Thomas Eipper, Christian ScheibnerStand: Sommersemester 2011

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis 2

Symbolverzeichnis 3

1 Einleitung und Lehrziele 5

2 Grundlagen der Flachwasseranalogie 6

3 Versuchsaufbau 11

4 Versuchsdurchführung 12

5 Auswertung 14

Literaturverzeichnis 16

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Abbildungsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

2.1 Veranschaulichung der verwendeten Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Veranschaulichung der Grundwellengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 Prinzipskizze zum Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

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Symbolverzeichnis

Lateinische Symbole

a Grundwellengeschwindigkeit, ms

c Geschwindigkeit (allgemein), ms

cp Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck, Jkg·K

FR Froude-Zahl, dimensionslos

g Gravitationsbeschleunigung, g = 9,81 ms2

h Wasserhöhe (momentan), m

p Druck, allgemein, bar

T Temperatur, K

x, y, z Kartesische Raumkoordinaten mit Höhe z, m

Griechische Symbole

κ Isentropenexponent, dimensionslos

ρ Fluiddichte, kgm3

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Indizes und hochgestellte Symbole

∞ Unendlich

0 Ausgangszustand, Zustand „0“

dyn Dynamisch

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1 Einleitung und Lehrziele

1 Einleitung und Lehrziele

Ein wichtiges Merkmal einer kompressiblen Strömung ist die Ausbreitung von Druckstörun-

gen und damit einhergehenden Veränderungen der Fluiddichte. Die Ausbreitung der Störungen

erfolgt dabei stets mit Schallgeschwindigkeit.

Die Charakteristika einer solchen gasdynamischen Strömung lassen sich mit Hilfe eines Flach-

wasserkanales visualisieren. Dieser besteht im Wesentlichen aus einer glatten, ebenen, hori-

zontal angeordneten Plattform, über welche Wasser mit geringer Tiefe und freier Oberfläche

fließt. Gasdynamische Prozesse können nun simuliert werden, indem verschiedene Körper in

die Strömung gebracht werden und anschließend das entstehende Strömungsbild interpretiert

wird. Auf diese Weise können zum Beispiel Machsche Linien oder Stoßfronten sichtbar ge-

macht werden.

Ziel dieses Praktikums ist es, die prinzipielle Arbeitsweise eines Flachwasserkanales und die

Methodik der Interpretation eines Strömungsbildes am Beispiel einer 2D-Lavaldüse kennenzu-

lernen.

Zunächst wird dazu im 2. Kapitel auf die strömungsmechanischen Grundlagen der sogenannten

„Flachwasseranalogie“ eingegangen. Im Anschluss werden der Aufbau des Praktikumsversu-

ches und die durchzuführenden praktischen Arbeitsschritte am Flachwasserkanal beschrieben.

Die Auswertung durch die Praktikumsteilnehmer erfolgt über die Anfertigung eines Protokolls,

das den in Kapitel 5 dieser Anleitung aufgelisteten Inhalt haben soll.

Hinweis: Es ist zweckmäßig, zuvor die Anleitung zum Versuch „Lavaldüse“ durchzulesen, da

diese wichtige Zusammenhänge enthält, die zum Verständnis des hier Behandelten beitragen.

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2 Grundlagen der Flachwasseranalogie

2 Grundlagen der Flachwasseranalogie

Die Basis für die Realisierbarkeit der Visualisierung einer gasdynamischen Strömung mit Hilfe

eines Flachwasserkanales bildet die sogenannte Flachwasseranalogie. Sie besagt, dass eine

kompressible Strömung (sowohl eben als auch 2D) und eine Flüssigkeitsströmung mit freier

Oberfläche und geringer Tiefe unter bestimmten Bedingungen durch dieselben Gleichungen be-

schrieben werden können. Bei einer Veränderung der Wassergeschwindigkeit, z.B. durch einen

sich verengenden oder erweiternden Querschnitt, durch welchen das Wasser fließt, kommt es

gleichzeitig zu einer Veränderung der Wasserhöhe. Dabei geht eine Beschleunigung mit ei-

ner Verringerung und eine Verzögerung mit einem Anstieg der Wasserhöhe einher (siehe Abb.

2.1).

Abbildung 2.1: Veranschaulichung der verwendeten Größen

Die Aufstellung der stationären, inkompressiblen Bernoulli-Gleichung (folgt aus der Energie-

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2 Grundlagen der Flachwasseranalogie

erhaltung) entlang einer Stromlinie zwischen einem Punkt im „Zustand 0“ und einem beliebi-

gen, stromabwärts befindlichen Punkt im „Zustand momentan“ (siehe Abb. 2.1) ergibt:

p0

ρ+

c20

2+g · z0 =

pρ+

c2

2+g · z (2.1)

Da sich Punkt 0 in der „Beruhigungszone“ des Flachwasserkanals befindet, in welcher das Was-

ser noch nicht strömt, kann die Geschwindigkeit c0 = 0 gesetzt werden. Damit ergibt sich:

p0 +ρ ·g · z0 =c2

2·ρ + p+ρ ·g · z (2.2)

Für jeden Punkt des Wasserfilms gilt mit dem Umgebungsdruck p∞ unter Einbeziehung des

hydrostatischen Drucks:

p = p∞ +ρ ·g · (h− z) (2.3)

Den Zusammenhang 2.3 für den Druck in Gleichung 2.2 eingesetzt liefert:

c2

2= g · (h0−h) = g ·h0−g ·h (2.4)

Ein Vergleich mit dem gasdynamischen Energiesatz in der Form

c2

2= cP ·T0− cP ·T (2.5)

zeigt, dass die Wassertiefe bei einer entsprechenden Anordnung im Flachwasserkanal der Tem-

peratur der zugehörigen gasdynamischen Strömung entspricht:

hh0⇐⇒ T

T0(2.6)

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2 Grundlagen der Flachwasseranalogie

Ein ähnlicher Vergleich über den Ansatz der Masseerhaltung führt bei Aufstellung der Konti-

nuitätsgleichung für Wasser- sowie Gasströmung zu einer Analogie zwischen Wassertiefe h und

Fluiddichte ρ:

hh0⇐⇒ ρ

ρ0(2.7)

Weiterhin wird bei Betrachtung einer Strömung im Flachwasserkanal beobachtet, dass sich klei-

ne Störungen der Wassertiefe h, z.B. verursacht durch einen örtlichen Aufstau, mit der so ge-

nannten Grundwellengeschwindigkeit√

g ·h fortpflanzen (siehe Abbildung 2.2). Dies ist eine

Analogie zur Ausbreitung von Druckstörungen mit der Schallgeschwindigkeit a in einer kom-

pressiblen Strömung. Zum gleichen Ergebnis einer unmittelbaren Analogie zwischen Schallge-

schwindigkeit und Wassertiefe kommt man bei einer weiteren Gegenüberstellung von Gleichun-

gen (Energie- und Bewegungsgleichungen) für die rotationsfreie Flachwasserströmung und die

gasdynamische Strömung. Es ergibt sich also:

a2⇐⇒ g ·h (2.8)

Die in Analogie zur Machzahl M (Verhältnis lokaler Geschwindigkeit zu Schallgeschwindig-

keit) aufgestellte Froude-Zahl FR mit

FR =c√g ·h

=

√2 ·(

h0

h−1)

(2.9)

ist eine Kennzahl für die Bewegungscharakteristik des Wassers. Bei Fr < 1 spricht man von

„fließendem“, bei Fr > 1 von „schießendem“ Wasser.

Abbildung 2.2: Veranschaulichung der Grundwellengeschwindigkeit

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2 Grundlagen der Flachwasseranalogie

Über die umgeformte ideale Gasgleichung

pp0

=ρ

ρ0· T

T0(2.10)

kann schließlich noch eine Analogiebeziehung zwischen Druck und Wasserhöhe gefunden wer-

den:

pp0⇐⇒

(hh0

)2

(2.11)

Eine Situation, in der die Wasserhöhe auf sehr kurzer Strecke schlagartig ansteigt, wird als

Wassersprung bezeichnet. Er visualisiert gemäß Zusammenhang 2.11 einen gasdynamischen

Verdichtungsstoß, bei welchem sich der Druck im strömenden Fluid (z.B. auf Grund von star-

kem Gegendruck) plötzlich erhöht. Er kann nur in einer überschallschnellen Strömung auftre-

ten, d.h. im Flachwasserkanal bei Fr > 1. Ein Verdichtungstoß bzw. ein Wassersprung ist jedoch

kein isentroper Vorgang, weshalb beim Auftreten dieses Phänomens von den bisher genannten

Analogien nur die Beziehung 2.7 ihre Gültigkeit behält.

Die etwas umgeformte, im Praktikum „Lavaldüse“ (Gleichung 2.8 in der gleichnamigen Anlei-

tung) verwendete Isentropenbeziehung

T ·ρ1−κ = konst. (2.12)

auf die Situation des Flachwasserkanals mit T ↔ h und ρ ↔ h angewendet ergibt:

h ·h1−κ = konst. (2.13)

Aus Gleichung 2.13 folgt ganz offensichtlich, dass die vorher gefundenen Analogien zwischen

gasdynamischer Strömung und Flachwasserströmung nur für einen Isentropenexponenten von

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2 Grundlagen der Flachwasseranalogie

Gasdynamische Strömung Flachwasserkanalströmung

TemperaturverhältnisTT0

Wassertiefenverhältnishh0

Dichteverhältnisρ

ρ0Wassertiefenverhältnis

hh0

Druckverhältnispp0

Quadriertes Wassertiefenverhältnis(

hh0

)2

Schallgeschwindigkeit a Grundwellengeschwindigkeit√

g ·h

Machzahl M =ca

Froude-Zahl FR =c√g ·h

=

√2 ·(

h0h −1

)

Unterschallströmung M < 1 FR < 1⇒ strömendes Wasser

Überschallströmung M > 1 FR > 1⇒ schießendes Wasser

(Verdichtungsstoß) (Wassersprung)

Tabelle 2.1: Zusammenfassung der Analogiebeziehungen

κ = 2 gültig sind. Ein solches Gas existiert jedoch in der Natur nicht. Ergebnisse aus Flachwas-

serexperimenten sind daher für kompressible Gasströmungen nur qualitativ, nicht aber quanti-

tativ repräsentativ.

Tabelle 2.1 fasst alle gefundenen Analogiebeziehungen zwischen gasdynamischer Strömung

und Flachwasserströmung nocheinmal zusammen.

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3 Versuchsaufbau

3 Versuchsaufbau

Der Versuch zum Praktikum "Flachwasseranalogie“ wird in den Räumen des Hochgeschwin-

digkeitswindkanals (HWK), einer Außenstelle der TU Dresden, durchgeführt. Die Anlage be-

findet sich in einem Bergwerk der „Kali und Salz GmbH“ in Merkers/Rhön, Thüringen.

Der prinzipielle Aufbau besteht entsprechend Abbildung 3.1 aus dem Flachwasserkanal, einem

2D-Modell einer Lavaldüse, einer Beleuchtungseinheit, einer Kamera und einem Schrägrohr-

manometer (nicht Bestandteil der Skizze).

Abbildung 3.1: Prinzipskizze zum Versuchsaufbau

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4 Versuchsdurchführung

4 Versuchsdurchführung

Zu Beginn des Versuches ist der Teststand bereits entsprechend Abbildung 3.1 aufgebaut. Die

durchzuführenden Arbeitsschritte gliedern sich in die nachfolgendenden 4 Punkte:

1. Einstellung des überexpandierenden, angepassten und unterexpandierenden Zustandes

der in der Wasserströmung befindlichen Lavaldüse

Die verschiedenen Betriebszustände einer Lavaldüse können mittels der Flachwasseranalogie

simuliert werden. Dazu ist es notwendig, die entsprechenden Verhältnisse der vorliegenden

Wasserhöhen zu regulieren. Die Funktionsweise dieser Anpassung wird Ihnen zum Praktikum

am Flachwasserkanal erläutert. Bei Unklarheiten bezüglich der Begriffe „angepasst“ und „über-

bzw. unterexpandierend“ wird an dieser Stelle auf das 2. Kapitel der Anleitung zum Versuch

„Lavaldüse“ verwiesen.

2. Vermessung der Wasserhöhen und der dynamischen Drücke entlang der Düsenachse

Für einen beliebigen Betriebszustand ist mittels einer in den Teststand integrierten Abtastvor-

richtung der Verlauf der Wasserhöhen innerhalb der Düse entlang ihrer Achse zu messen. Die

Vorrichtung ist auf Rollen gelagert und parallel zur Düsenachse verschiebbar.

Weiterhin soll mittels eines Schrägrohrmanometers die Messung des Verlaufes des dynami-

schen Druckes entlang der Düsenachse erfolgen. Im Rahmen der späteren Auswertung kann

daraus die entsprechende Strömungsgeschwindigkeit ermittelt werden, um mit der gemessenen

Wasserhöhenverteilung auf den Verlauf der Froude-Zahl FR rückzuschließen.

3. Vermessung des entstehenden Strömungsbildes hinter der Düse für den unterexpandie-

renden Fall

Stellen Sie entsprechend Punkt 1 den Betriebszustand „unterexpandierend“ ein! Vermessen Sie

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4 Versuchsdurchführung

nun mit Hilfe der Abtastvorrichtung das Wasserhöhenprofil im Düsennachlauf! Achten Sie beim

Notieren der Höhenwerte auf die Zuordnung zu den entsprechenden Koordinaten (x, y)!

4. Fotometrische Erfassung

Fertigen Sie für verschiedene Strömungssituationen Fotoaufnahmen des Nachlaufprofils der

Lavaldüse an!

Von jeder Praktikumsgruppe sind vor dem Versuch Tabellen anzufertigen, in welche die

gemessenen Größen eingetragen werden können.

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5 Auswertung

5 Auswertung

Zu diesem Praktikum ist von jeder teilnehmenden Gruppe ein Protokoll mit dem nachfolgen-

den Inhalt anzufertigen. Zur Auswertung des im Praktikum durchgeführten Versuches soll das

Protokoll neben den unter a) - d) gelisteten Aufgaben weiterhin Standardangaben wie eine kur-

ze Beschreibung des Versuchsaufbaus, der Versuchsdurchführung und eine Fehlerdiskussion

enthalten.

a) Stellen Sie einen der entsprechend Kapitel 4 (Punkt 2) gemessenen Höhenverläufe entlang

der Düsenachse grafisch dar!

b) Ermitteln Sie gemäß der Definition des dynamischen Drucks

pdyn =ρ

2· c2 (5.1)

den Verlauf der Strömungsgeschwindigkeit entlang der Düsenachse und tragen Sie die

berechneten Werte ebenfalls in das unter a) angefertigte Diagramm ein! Verwenden Sie

eine Wasserdichte von ρ = 998,2 kgm3 = konst.

c) Berechnen Sie mit Hilfe von Gleichung 2.9 den Verlauf der Froude-Zahl FR und tragen

Sie auch diese Entwicklung in das Diagramm ein. Welches theoretische Wasserhöhenver-

hältnis hh0

liegt im engsten Querschnitt der Düse vor? Vergleichen Sie die Verläufe der

Wasserhöhe und der Froude-Zahl mit denen der äquivalenten Größen der vermessenen,

gasdynamischen Strömung im Praktikumsversuch „Lavaldüse“ (gleichen Betriebszustand

beachten)!

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5 Auswertung

d) Stellen Sie die für den unterexpandierenden Betriebszustand gemessenen Höhen im

Nachlauf der Lavaldüse in einem Diagramm (z.B. Koordindaten x,y als Ebene und Höhe

z als Farbe) dar und vergleichen Sie das entstehende Schaubild mit der fotometrischen

Aufnahme vom gleichen Strömungszustand!

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Literaturverzeichnis

Literaturverzeichnis

[1] HELLER, WINFRIED: Manuskript zur Vorlesung Gasdynamik. Technische Universität

Dresden, 2008.

[2] KUHLMANN, HENDRIK: Anleitung zur Laborübung „Flachwasserkanal“. Institut für Strö-

mungsmechanik und Wärmeübertragung, Technische Universität Wien, 2011.

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