Vergessen mußt, was früher Du gelernt!

„Unser Bildner hat zu den Sinnen den Geist gefügt, nicht bloß,

damit sich der Mensch seinen Lebensunterhalt erwerbe, sondern auch dazu,

daß wir vom Sein der Dinge, die wir mit unseren Augen betrachten,

zu den Ursachen ihres Seins und Werdens vordringen,

wenn auch weiter kein Nutzen damit verbunden ist.“

Johannes Kepler

SPEZIELLE und ALLGEMEINESPEZIELLE und ALLGEMEINE

RELATIVITÄTSTHEORIERELATIVITÄTSTHEORIE

Dozent: Jan KalischDozent: Jan Kalisch© Jan Kalisch, 2004© Jan Kalisch, 2004

„Von der Relativitätstheorie werden Sie überzeugt sein, wenn Sie dieselbe studiert haben werden.

Deshalb verteidige ich Sie Ihnen mit keinem Wort.“

Albert Einstein* Ulm, 14.3.1879, † Princeton, 18.4.1955

WICHTIGE ARBEITEN EINSTEINS

1905 „Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden

heuristischen Gesichtspunkt“ – Photoeffekt,

„Zur Elektrodynamik bewegter Körper“ – erste Arbeit zur SRT,

„Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?“

– E = m c²

1911 „Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes“

– erste entscheidende Ideen zur ART

1913 „Entwurf einer Verallgemeinerten Relativitätstheorie

und eine Theorie der Gravitation“ (mit Großmann)

1915 „Zur Allgemeinen Relativitätstheorie“,

„Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der ART“,

„Feldgleichungen der Gravitation“

1923 Physik-Nobelpreis für seine „Verdienste um die Theoretische Physik,

besonders für die Entdeckung des für den Photoelektrischen Effekts

geltenden Gesetzes“

DIE PHYSIK ALS EXAKTE NATURWISSENSCHAFT• physikalische Theorie

– besteht aus möglichst wenig Axiomen (Grundannahmen) – beschreibt möglichst viele Phänomene (Versuche)– aus den Axiomen folgen logisch alle anderen Gesetze

• physikalisches Gesetz– nicht beweisbar– kann nur durch endliche Anzahl von Versuchen unterstützt werden– ist Aussage über den Zusammenhang physikalischer Größen– muß experimentell überprüfbar sein => Größen müssen meßbar sein

• physikalische Größe – durch Meßvorschrift definiert– Messung muß prinzipiell überall und jederzeit durchführbar sein

• Messen– Vergleich des Wertes einer Größe mit einem Bezugswert

• Bezugswert– Wert der Größe für einen Bezugszustand oder –prozeß– zugewiesener Zahlenwert legt physikalische Einheit fest

ENTWICKLUNG DER PHYSIK IM GROBEN

KLASSISCHEMECHANIK

ELEKTRO-DYNAMIK &

OPTIK

NEWTONSGRAVITATIONS-

GESETZ

SPEZIELLERELATIVITÄTS-

THEORIE

ALLGEMEINE RELATIVITÄTS-

THEORIE

KLASSISCHEQUANTEN-MECHANIK

SPEZIELL-RELATIVISTISCHE-

QUANTEN-MECHANIK

?

KLASSISCHE MECHANIK UND ELEKTRODYNAMIK

• Vorwort

• ‚Relativ‘ und ‚absolut‘

• Grundbegriffe jeder Mechanik

• Geometrie und Raumbegriff der Physik

• Grundbegriffe in der Klassischen Mechanik (1)

• Geradlinig gleichförmige Bewegung

• Kräftefreie Bewegung (Bewegung aus Trägheit)

• Trägheitsgesetz und Inertialsysteme

• Galilei-Transformationen

• Relativitätsprinzip der Klassischen Mechanik

• Klassisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten

• Äthertheorie

• Maxwells Elektrodynamik

• Konsequenzen

• Auflösung durch Einstein

„Am Anfang (wenn es einen solchen gab), schuf Gott Newtons

Bewegungsgesetze samt den notwendigen Massen und Kräften.

Dies ist alles; das Weitere ergibt die Ausbildung geeigneter

mathematischer Methoden durch Deduktion.“

‚RELATIV‘ UND ‚ABSOLUT‘

• relativ = vom Beobachter abhängig

• absolut = vom Beobachter unabhängig, für alle Beobachter gleich

GRUNDBEGRIFFE JEDER MECHANIK

• Thema: Bewegung der Körper und die auf sie wirkenden Kräfte

• Bewegung = Änderung des Ortes im Raum mit der Zeit

• Körper = Objekt mit einer Masse• => Grundbegriffe der Mechanik: Raum, Zeit, Masse, Kraft

GEOMETRIE UND RAUMBEGRIFF DER PHYSIK

• Ortsbestimmung setzt Längenmessung voraus

• Längenmessung setzt Abstandsdefinition voraus

• Definition:

Zwei Punkte eines starren Körpers haben stets den gleichen Abstand.

• Definition ordnet dem mathematischen Begriff ‚Abstand‘ ein physikalisch

reales Objekt zu

• Axiome einer Geometrie (Mathematik) nun auf realen Raum übertragbar

=> Zutreffen der Axiome auf realen Raum experimentell prüfbar

• Messungen => Geometrie, die den realen Raum am besten beschreibt

• Längenmessung: Konstruiere (kürzeste) Verbindungslinie gemäß dieser

Geometrie, trage Linie mit starren Stäbchen bekannter Länge ab

• Geodäte := kürzeste Verbindungslinie zwischen zwei Punkten

„Insofern die Geometrie sicher ist, sagt sie nichts über die wirkliche Welt aus, und

insofern sie über unsere Erfahrung etwas aussagt, ist sie nicht sicher.“

GRUNDBEGRIFFE IN DER KLASSISCHEN MECHANIK

RAUM• Newton postulierte die Existenz eines Absoluten Raumes

• Eigenschaften des Absoluten Raumes

– existiert unabhängig von jeder Materie

– wird durch Materie in ihm nicht beeinflußt

– ist Ruhesystem des Äthers– dreidimensional

– räumlicher Abstand von Ereignissen ist absolut

– euklidisch (Satz des Pythagoras gilt überall)

– kein Ort vor anderen ausgezeichnet (homogen)

– keine Richtung vor anderen ausgezeichnet (isotrop)• Messung räumlicher Abstände = Abtragen der Verbindungsgeraden mit

starren Stäbchen bekannter Länge

• Orts- und Zeitangaben nur bei Angabe des Bezugssystems vollständig

• hier nur kartesische Koordinatensysteme

Isaac Newton

ZEIT

• Newton postulierte die Existenz einer Absoluten Zeit

• Eigenschaften der Absoluten Zeit (Newton):

– wird durch Materie nicht beeinflußt

– zeitlicher Abstand von Ereignissen ist absolut

=> Gleichzeitigkeit ist absolut

– eindimensional

– homogen und isotrop• Messung zeitlicher Abstände = Zählen der Ticks einer Uhr

• Messung räumlicher und zeitlicher Abstände ist nun definiert

=> Bewegungsgrößen wie Geschwindigkeit v := dx/dt und Beschleunigung

a:= d²x/dt² sind meßbar

GERADLINIG GLEICHFÖRMIGE BEWEGUNG

Def.: Eine Bewegung x(t) heißt geradlinig gleichförmig in bezug auf einKoordinatensystem (KS), wenn x(t) in diesem KS eine Gerade ist

(also d²x/dt² ≡ 0)

KRÄFTEFREIE BEWEGUNG (BEWEGUNG AUS TRÄGHEIT)

• Kraft = Folge der Wechselwirkung mit anderen Körpern• nimmt mit dem Abstand ab (Feldkräfte) oder verschwindet (Kontaktkräfte)

=> Ein von allen anderen Körpern hinreichend entfernter Körper bewegt

sich praktisch kräftefrei

TRÄGHEITSGESETZ UND INERTIALSYSTEME• Newtonsche Axiome gelten nur in speziellen KSen, den Inertialsystemen

• 1. Axiom legt Inertialsysteme fest: Ein kräftefreier Körper bewegt sich in

allen Inertialsystemen geradlinig gleichförmig

• Umgekehrt: Sind alle kräftefreien Bewegungen in einem KS

geradlinig gleichförmig, so ist das KS ein Inertialsystem (IS)

GALILEI-TRANSFORMATIONEN (GT)

x‘ = x – v t, t‘ = t (einfachster Fall)

• Alle ISe sind durch GT verbunden (gegeneinander

geradlinig gleichförmig und drehungsfrei bewegt)

• Beweis:

Sei x(t) kräftefrei und daher d²x/dt² = 0 im IS K.

=> d²x‘/dt‘² = d²x‘/dt² = d²(x – v t)/dt² = d²x/dt² = > d²x‘/dt‘² = 0

=> Bewegung auch in K‘ geradlinig gleichförmig => K‘ ist IS.

Wegen der Beliebigkeit von v folgt daraus die Behauptung.

Galileo Galilei

RELATIVITÄTSPRINZIP DER KLASSISCHEN MECHANIK

• 2. Axiom: F = dp/dt, p := m v bzw. für Massenpunkt: F = m d²x/dt²

• gilt nach Voraussetzung in allen ISen, also auch F‘ = m‘ d²x‘/dt‘²

• Masse nicht geschwindigkeitsabhängig:

• d²x‘/dt‘² = d²x/dt² (s.o.)

=> F‘ = m‘ d²x‘/dt‘² = m d²x‘/dt‘² = m d²x/dt² = F

=> Kräfte in beiden ISen gleich

=> IS-Wechsel ändert Bewegungsgleichung nicht

=>

Bedeutung: Führt man die gleichen Experimente in verschiedenen Inertial-

systemen durch, so wird man anhand der Ergebnisse auf dieselben allge-

meinen Gleichungen kommen.

Umgekehrt gelten dieselben allgemeinen Gesetze in allen Inertialsystemen.

m‘ = m

Relativitätsprinzip der KM: Alle Inertialsysteme sind zur Beschreibung der Physik gleichberechtigt

IS-Wechsel = GT => KM ist ‚galilei-invariant‘

KLASSISCHES ADDITIONSTHEOREM FÜR GESCHWINDIGKEITEN

• Zug (K‘) mit Geschwindigkeit v relativ zum Gleis (K),

Mann mit Geschwindigkeit w‘ relativ zum Zug

Wie groß ist die Geschwindigkeit w des Mannes relativ zum Gleis?

• Steht der Mann eine Zeit ∆t still, so bewegt er sich relativ zum Bahnhof um v ∆t. Er bewegt sich nun aber noch innerhalb des Zuges um w‘∆t. Insgesamt bewegt er sich also um ∆x = v ∆t + w‘∆t. Wegen ∆x = w ∆t folgt

• v, w‘ dürfen zeitabhängig sein, weil nur kleine Zeit ∆t betrachtet wird

w = v + w‘

ÄTHERTHEORIE

• Newton: Kraftübertragung erfolgt ohne Einfluß des dazwischenliegenden

Raumes und damit ohne Zeitverzögerung

=> keine Erklärung für Fernwirkungen wie Gravitation, Elektromagnetismus

• Licht und Schall haben Welleneigenschaften

• Schall = Schwingung der Luft

=> Vermutung: Licht = Schwingung eines elastischen

Mediums ‚Äther‘, das den gesamten Raum ausfüllt

(mechanische Lichttheorie)

• Faraday: Ätherkonzept erklärt Fernwirkungskräfte durch

Übertragung von Zug- und Druckspannungen im Äther

• Maxwell: Schwingungen des Äthers breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus => Licht als elektromagnetische Welle deutbar

• Newton: Das Ruhesystem des Äthers definiert den Absoluten Raum und

ist ein Inertialsystem; er selbst mochte weder Äther noch Absoluten Raum

Michael Faraday

MAXWELLS ELEKTRODYNAMIK

• elektrisches Feld E gibt an, welche Kraft auf eine

ruhende Ladung durch andere Ladungen wirkt

• magnetisches Feld B gibt an, welche Kraft auf einen

Strom (bewegte Ladung) durch andere Ströme wirkt

• Unterscheidung zwischen ruhenden und bewegten

Ladungen relativ

=> elektrische und magnetische Phänomene sind

zwei Seiten derselben Medaille ‚Elektromagnetismus‘,

nur der Winkel, unter dem man auf diese Medaille schaut, ist von

Beobachter zu Beobachter verschieden

• Maxwell-Gleichungen beschreiben Eigenschaften und Zusammenhang

von E- und B-Feld

• Maxwell-Gleichungen sind nicht galilei-invariant

James Clerk Maxwell

PROBLEME

Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

• astronomische Beobachtungen (DeSitter) => Vakuumlichtgeschwindigkeit

c ist unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle und des Beobachters

• Interferenzversuch (Michelson): keine Bewegung der

Erde durch den Äther nachgewiesen – c konstant

=> gleisfester (K‘) bzw. zugfester (K) Beobachter mißt für

den Lichtstrahl einer zugfesten Lampe: w‘ = c bzw. w = c

Relativitätsprinzip der KM

• klassische Addition von Geschwindigkeiten: w = v + w‘

=> gleisfester bzw. zugfester Beobachter mißt für den Lichtstrahl einer

zugfesten Lampe: w‘ = c bzw. w = v + c

=> Widerspruch zwischen Konstanz der Lichtgeschwindigkeit und

Relativitätsprinzip der KM

Albert Michelson

Auflösungsversuch mit der Ätherhypothese

• Erde schleppt Äther (= Trägermedium des Lichts) in ihrer Nähe mit

=> entweder:

c in großer Entfernung beobachterabhängig – niemals nachgewiesen

oder:

gesamter Äther des Universums wird von der Erde mitgenommen – sehr

exzentrischer Gedanke

• Konstanz von c experimentell sehr genau bestätigt

=> Relativitätsprinzip muß falsch sein,

=> physikalische Gesetze müssen in einem bestimmten KS besonders

einfach sein

Vorschlag von Lorentz (Lorentz-Kontraktion):

• Bewegung eines Körpers im Äther führt zur Kontraktion

• Kontraktion wird durch Lorentz-Transformationen (LT) beschrieben

(einfachster Fall): x‘ = γ (x – v t), t‘ = γ (t – v x/c²), γ := [1 – v²/c²] – ½

• Problem: Kontraktion prinzipiell nicht nachweisbar, denn jeder Maßstab

erführe gleiche Kontraktion – Aussage physikalisch wertlos

Hendrik Antoon Lorentz

AUFLÖSUNG DURCH EINSTEIN (1905)

• Einstein postuliert: Relativitätsprinzip (Gleichberechtigung aller IS) und

Konstanz der Lichtgeschwindigkeit sind beide richtig

=> (1) Lorentz-Transformationen sind die realen Transformationsgesetze

für Raum und Zeit in verschiedenen Inertialsystemen,

(2) Äthertheorie überflüssig

• Einstein zeigt: Maxwells Elektrodynamik ist lorentz-invariant !!!

=> Newtonsche Mechanik ist falsch und muß durch eine lorentz-invariante

Form ersetzt werden

SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE

• Vorwort• Grundbegriffe in der Speziellen Relativitätstheorie• Relativitätsprinzip• Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit• Relativität der Gleichzeitigkeit• Lorentz-Transformationen• Relativität räumlicher Abstände• Relativität zeitlicher Abstände• Additionstheorem für Geschwindigkeiten• Minkowski-Diagramme• Vierdimensionale Raumzeit• Einteilung der Raumzeit und Kausalitätsprinzip• Definition von Meter und Sekunde• Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse• Masse-Energie-Äquivalenz• Massen- und Energieerhaltung• Optischer Doppler-Effekt und Hubble-Gesetz

„Der gesunde Menschenverstand, das ist die Summe aller unserer bis zum 18. Lebensjahr

angesammelten Vorurteile.“

„Der normale Erwachsene denkt über die Raum-Zeit-Probleme kaum

nach. Das hat er nach seiner Meinung bereits als Kind getan.

Ich hingegen habe mich geistig derart langsam entwickelt, daß ich

erst als Erwachsener anfing, mich über Raum und Zeit zu

wundern. Naturgemäß bin ich dann tiefer in die Problematik

eingedrungen als die normal veranlagten Kinder.“

GRUNDBEGRIFFE IN DER SPEZIELLEN RELATIVITÄTSTHEORIE

RAUM

• Einstein postulierte folgende Eigenschaften:

– wird durch Materie in ihm nicht beeinflußt

– dreidimensional

– euklidisch

– homogen

– isotrop

• Messung räumlicher Abstände = Abtragen der Verbindungsgeraden mit (möglichst) starren Stäbchen

ZEIT

• Einstein postulierte folgende Eigenschaften:

– eindimensional

– homogen

• Messung zeitlicher Abstände s.u.

RELATIVITÄTSPRINZIPDie Naturgesetze nehmen in allen Inertialsystemen die gleiche Form an, d.h. alle Inertialsysteme sind zur Beschreibung der Physik gleichberechtigt.Inertialsysteme sind (wie in der KM) durch geradlinig gleichförmige Bewegungen kräftefreier Körper definiert.

PRINZIP DER KONSTANZ DER LICHTGESCHWINDIGKEITLicht breitet sich im Vakuum in allen Inertialsystemen mit der Geschwindigkeit c = 299.792.458 m/s aus - unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle.

Die übrigen Aussagen über Raum und Zeit folgen aus der Kombination mit folgenden Postulaten:

RELATIVITÄT DER GLEICHZEITIGKEIT

• Behauptung: An zwei Orten A und B schlägt gleichzeitig ein Blitz ein.

Was bedeutet ‚gleichzeitig‘?

Mit welcher Meßvorschrift kann man Gleichzeitigkeit prüfen?

• Vorschlag zur Definition: Apparat in die Mitte M der Strecke AB stellen:

erstes Eintreffen eines Lichtstrahls startet Uhr,

zweites Eintreffen eines Lichtstrahls stoppt Uhr.

Zeigt die Uhr null an, so nenne man die Ereignisse gleichzeitig.

• Kritik

- Definition setzt gleiche Geschwindigkeit des Lichts auf den Strecken

AM und BM voraus

- diese Annahme ist erst prüfbar, wenn Zeitmessung schon bekannt ist

• Scheinbar dreht man sich logisch gesehen im Kreis

• Kritik an der Kritik: – Vorschlag macht in Wirklichkeit keine Voraussetzung über das Licht,

denn Gleichzeitigkeit hat bisher noch keinen Sinn

=> ihre Definition muß nur eine experimentelle Entscheidung über das Zutreffen des zu definierenden Begriffs ‚Gleichzeitigkeit‘ ermöglichen –

das tut sie

=> Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist keine Voraussetzung oder

Annahme, sondern Festlegung

• bisher nur Messung räumlicher Abstände definiert • Festlegen der Lichtausbreitungsgeschwindigkeit => Definition zeitlicher Abstände

• Seien A und B gleichzeitig im obigen Sinne und ebenso B und C• Vorstellung fordert Gleichzeitigkeit (im obigen Sinne) von A und C

• Zutreffen dieser Aussage ist nicht selbstverständlich, sondern Annahme

über das Gesetz der Lichtausbreitung

• nur wenn A, B, C gleichzeitig im obigen Sinne sind, ist es sinnvoll, an der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit festzuhalten

=> sinnvolle Zeitdefinition:

überall baugleiche Uhren aufstellen, die gleichzeitig (im obigen Sinne)

alle den gleichen Zeigerstand haben (synchron)=> Zeit eines Ereignisses = Zeigerstand auf der unmittelbar benachbarten

Uhr

• Synchronisation von Uhren:

– Abstand di zwischen Uhr i und Uhr 0 messen,

– Aussenden eines Lichtblitzes von der Uhr 0 zu ihrer Zeit t0,

– bei Eintreffen des Lichtstrahls Uhr i auf ti = di/c stellen • so wird heutzutage die Weltzeit mit Atomuhren festgelegt

• Additionstheorem für Geschwindigkeiten der KM => Widerspruch zurKonstanz der Lichtgeschwindigkeit

• Herleitung enthielt zwei Annahmen, die genau genommen falsch sind:

– (1) vergeht im Gleissystem die Zeit ∆t, so vergeht genauso viel Zeit im Zugsystem

– (2) legt der Mann im Zugsystem die Strecke ∆x‘ zurück, so legt er eine genauso große Strecke im Gleissystem zurück

– KM: räumliche und zeitliche Abstände absolut => Annahmen erlaubt

SRT

• Zug-KS: Blitzeinschläge an den Orten A‘ und B‘• Zug-KS: Mittelpunkt der Strecke A‘B‘ ist M‘

• Gleis-KS: M‘ fällt im Augenblick der Blitzeinschläge mit M zusammen, bewegt sich aber mit v weiter

• => eilt dem von B kommenden Lichtstrahl entgegen bzw. dem von A kommenden voraus

• => Zug-KS: B findet früher statt als A

• => Gleichzeitigkeit ist relativ

LORENTZ-TRANSFORMATIONEN (LT)

• Suche eineindeutige Transformationen x‘(x,t) und t‘(x,t) für die Koordina-

ten zweier Inertialsysteme, so daß Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in

beiden Systemen gilt.

• einzige Lösung:

• gehen für c → ∞ in Galilei-Transformationen über

• |v| > c => imaginäre Längen und Zeiten – nicht sinnvoll

=> c ist obere Grenze für Geschwindigkeiten

• Konstanz der Lichtgeschwindigkeit erfüllt, denn:

Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit in K (x = c t)

<=> Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit in K‘ (x‘ = c t‘)

Lorentz-Transformationen (hier einfachster Spezialfall)x‘ = γ (x – v t), t‘ = γ (t – v x/c²), γ =1/Wurzel[1 – v²/c²]

RELATIVITÄT RÄUMLICHER ABSTÄNDE

• Stab der Länge L ruhe in K‘ : x‘(A) = 0, x‘(E) = L ∀ t‘• Wie lang ist er in K ? (zur festen aber beliebigen Zeit t)

• LT => 0 = γ (x(A) – v t), L = γ (x(E) – v t)

=> x(E) – x(A) = L/γ = L * Wurzel[1 – v²/c²]

RELATIVITÄT ZEITLICHER ABSTÄNDE

• Uhr mit Taktlänge T ruhe in K‘ : t‘(A) = 0, t‘(E) = T ∀ x‘• Wie lange dauert der Takt in K ? (am festen aber beliebigen Ort x)

• LT => 0 = γ (t(A) – v x/c²), T = γ (t(E) – v x/c²),

=> t(E) – t(A) = T/γ = T * Wurzel[1 – v²/c²]

• Experimenteller Beweis für beide Effekte: Myonen – der Weg zur Erde ist

verkürzt bzw. ihre Uhren gehen langsamer

Zeitdilatation: Der Takt einer bewegten Uhr ist verkürzt, in ihrem Ruhe-system dauert er am längsten. Die Zeit vergeht in bewegten IS langsamer.

Lorentz-Kontraktion: Ein bewegter Stab ist verkürzt,in seinem Ruhesystem hat er die größte Länge

ADDITIONSTHEOREM FÜR GESCHWINDIGKEITEN IN DER SRT• Skizze wie bei KM

• LT: x‘ = γ (x – v t), t‘ = γ (t – v x/c²) <=> x = γ (x‘ + v t‘), t = γ (t‘ + v x‘/c²) • x‘ = Ort des Fahrgasts im Zug-KS => x‘ = w‘ t‘• x = Ort des Fahrgasts im Gleis-KS => x = w t

=>

• Experimenteller Beweis: Lichtausbreitung in strömender Flüssigkeit:

– kohärenten Lichtstrahl aufspalten

– einen Teilstrahl durch ruhendes, anderen durch strömendes Medium

schicken– anschließend beide zur Interferenz bringen

– v = Strömungsgeschwindigkeit,

– w‘ = c/n = Lichtgeschwindigkeit relativ zur Flüssigkeit

=> w = (c/n + v)/(1 + v/n c) ≈ c/n +v (1 – 1/n²) – empirische Formel vonFizeau (1849)

w = (v + w‘)/(1 + v w‘/c²)

Bewegungen mit Unterlicht- bzw. Lichtgeschwindigkeit

erfolgen in allen IS mit Unterlicht- bzw. Lichtgeschwindigkeit

MINKOWSKI-DIAGRAMME (MD)

• erlauben graphische Lösung räumlich eindimensionaler SRT-Probleme

KONSTRUKTION(1) x- und ct-Achse: gleicher Maßstab, senkrecht aufeinander; Haupt- und Nebendiagonale = Weltlinien des am Ursprung gezündeten Lichtblitzes(2) LT => Gleichungen für x‘-Achse (ct‘= 0) und ct‘-Achse (x‘= 0): ct = v/c * x bzw. x = v/c * ct=> x‘-Achse gegenüber x-Achse um Winkel α mit tan α = v/c in Richtung Hauptdiagonale geneigt (analog für ct‘-Achse)(3) x² - (ct)² = x‘² - (ct‘)² => Betrachte (x‘,t‘) = (1,0) => Hyperbelgleichung.Schnittpunkte von Hyperbel und x‘-Achse hat x‘=1 (analog für ct‘-Achse).LT linear => wiederholtes Abtragen der Strecke liefert richtige Skala für x‘- undct‘-Achse(4) Koordinatenlinien = Parallelen zu Achsen des betreffenden KSBildschirmpräsentation: Betrachten der einzelnen Schritte

• Bisher nur einfachster Spezialfall der LT (Systeme in Standard-

Konfiguration) und eindimensionale Probleme:

– x‘- und x-Achse fallen zusammen und haben gleiche Orientierung

– Ursprung von S bewegt sich längs x-Achse mit v = const.

– Ebenen y‘ = 0 und z‘ = 0 fallen stets mit den Ebenen y = 0 und z = 0

zusammen

– Uhren zeigen im Moment des Zusammenfallens beider Systeme t‘=0=t

• komplizierter:

Fotos bewegter Körper:

Überlagerung von Lorentz-

Kontraktion und Laufzeiteffekten

VIERDIMENSIONALE RAUMZEIT

• Minkowski:

Raum und Zeit sind völlig gleichberechtigte Koordinaten einer

vierdimensionalen Raumzeit ‚Welt‘ mit x1 := x, x2 := y, x3 := z, x4 := i c t.

• Weltpunkt, Punktereignis = Ereignis ohne zeitliche Dauer und räumliche

Ausdehnung

• Weltlinie = Verbindungslinie der Weltpunkte

einer Punktmasse

• Abstand ∆s zweier beliebiger Weltpunkte xi und yi:

∆s² = ∑ (yi – xi)² (wie Pythagoras),

• denn: Raum der SRT ist euklidisch und

• Raumzeit ist pseudo-euklidisch, wegen „–“ c² t²

„... früher war Einstein ein richtiger Faulpelz. Um die

Mathematik hat er sich überhaupt nicht gekümmert.“

∆s ist für zwei beliebige Weltpunkte invariant unter allen Lorentz-Trafos

Hermann Minkowski

EINTEILUNG DER RAUMZEIT UND KAUSALITÄTSPRINZIP• Wechselwirkungen und Informationen breiten sich höchstens mit c aus

• => in bezug auf den Ursprung U = {0,0,0,0} können alle Ereignisse

– mit t > 0 und Wurzel[x²+y²+z²] ≤ c t Wirkung (Zukunft)

– mit t < 0 und Wurzel[x²+y²+z²] ≤ - c t Ursache (Vergangenheit)

– mit Wurzel[x²+y²+z²] ≥ |c t| weder Ursache noch Wirkung (Gegenwart)

von U sein. Anders formuliert:

• Für zeitartige Ereignisse gibt es immer ein IS, in dem der räumliche

Abstand verschwindet

• für raumartige Ereignisse gibt es immer ein IS, in dem der zeitliche

Abstand verschwindet

• ∆s² invariant unter LT => zeitartige Ereignisse bleiben zeitartig,

raumartige bleiben raumartig

zeitartig

raumartig

zeitartig

∆s² ≤ 0∆t > 0Zukunft

∆s² > 0Gegenwart

∆s² ≤ 0∆t < 0Vergangenheit

• Ereignisse mit Wirkungszusammenhang sind offenbar zeitartig,

Ereignisse ohne Wirkungszusammenhang raumartig miteinander verknüpft

• Besonderheit der Zeit: sie läuft nur in eine Richtung ab*

=> Kausalitätsprinzip: Läßt sich von zwei Ereignissen A und B A als

Ursache von B erklären, so muß A zeitlich vor B stattgefunden haben

• KM: Zeit absolut => falls A für einen Beobachter vor B, so auch für alle anderen

• SRT: Zeit relativ => Kann das Kausalitätsprinzip durch irgendeinen

Beobachter, d.h. in irgendeinem IS verletzt werden?

• Nein! Beweis:

- (1) Besteht in einem IS ein Wirkungszusammenhang, so sind die Ereignisse dort zeitartig zueinander

- (2) Dann bleiben die Ereignisse in allen IS zeitartig zueinander

- (3) Da die ct-Achsen in allen IS nach oben* zeigen, bleibt die zeitliche

Abfolge aller zueinander zeitartigen Ereignisse erhalten

• Weitere Konsequenz: es gibt keinen absolut starren Körper

1D 2D - Lichtkegel

• für geometrische Punkte ist v > c erlaubt: Drehen einer Taschenlampe:

Lichtfleck auf weit entfernter Wand kann v > c haben, aber Informations-

übertragung geschieht zwischen Lampe und Wand (mit v ≤ c), nicht zwischen verschiedenen Punkten der Wand

DEFINITION VON METER UND SEKUNDE

• nutzt Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

• Relativitätspostulat => Bei zwei Experimenten mit gleichem Aufbau und gleichem Anfangszustand vergeht unter gleichen Bedingungen bis zum

(ersten) Eintreten des Folgezustands dieselbe Zeit.

• für periodische Vorgänge ist die Zeitdauer einer Periode immer gleich

=> Definition: 1 Sekunde := 9.192.631.770fache Periodendauer der beim

Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des

Grundzustandes von 133Cs emittierten Strahlung

=> Definition: 1 Meter := 1/299.792.458 der vom Licht in einer Sekunde zurückgelegten Strecke

GESCHWINDIGKEITSABHÄNGIGKEIT DER MASSE

• Wand ruht in K parallel zur x-Achse

• Kugel bewegt sich mit Geschwindigkeit w parallel zur y-Achse

• Einschlag in Wand = vollkommen unelastischer Stoß

• Kugel bleibt stecken => überträgt gesamten Impuls p = m w

=> Tiefe des Loches = Maß für den Impuls

• K‘ bewegt sich parallel (x-Richtung) zur Wand mit v

=> gleiche Lochtiefe (y‘ = y) => p‘ = p

• Zeitdilatation (t = t‘/γ) => Kugel hat Geschwindigkeit w‘ = w / γ

=> m‘ w‘ = m w => m‘ = γ(v) m

m = dynamische Masse, m0 = Ruhemasse

• Kein Körper darf eine unendliche Masse haben => v < c

• Ausnahme: m0 = 0 – Photonen

alternative Herleitung: beide Beobachter stellen Gleichgewicht fest,

beurteilen aber Raum und Zeit verschieden => Masse verschieden

m = γ m0

MASSE-ENERGIE-ÄQUIVALENZ

• Ekin = Arbeit zur Beschleunigung aus der Ruhe auf die Geschwindigkeit v

• Arbeit W := ∫F.dx = ∫F. v dt, F = dp/dt, p = m(v(t)) v(t)

=> Ekin(v) = ... = m0 c² (γ – 1) = m c² - m0 c² ≈ m0 v²/2 für |v/c|<<1

• W12 = ∆E = Ekin(v2) – Ekin(v1) = [m(v2) - m(v1)] c²

=> Führt man einem Körper die Energie W zu, so erhöht sich dadurch seine

Masse um W/c², d.h. ∆E = ∆m c²

=> Massenzuwachs bei Erwärmung

• Postulat: wenn man alle Masse abführt, bleibt keine Energie übrig

lim E (m�0) = 0

=> Masse ist eine Form der Energie (und umgekehrt)

• Kein Körper darf unendlich viel Energie haben => v < c (außer Photonen)

• E0 := E (v = 0) = m0 c² heißt Ruhenergie

• im Gegensatz zur KM ist der absolute Wert der Energie festgelegt

• zur Umwandelbarkeit von Masse in Energie ist damit noch nichts gesagt

E = m c²

MASSEN- UND ENERGIEERHALTUNG• KM: Massen- und Energieerhaltungssatz sind unabhängig voneinander• SRT: keine Massenerhaltung, dafür aber Zusammenhang zwischen

Masse und Energie:„Das wichtigste Ergebnis der Speziellen Relativitätstheorie betraf die träge Masse

körperlicher Systeme. Es ergab sich, daß die Trägheit eines Systems von seinem Energieinhalt abhängen müsse, und man gelangte geradezu zur Auffassung, daß träge Masse nichts anderes sei als latente Energie.

Der Satz von der Erhaltung der Masse verlor seine Selbständigkeit und verschmolz mit dem von der Erhaltung der Energie.“

Experimentelle Bestätigung: ist groß, gelb und (fast) jeden Tag zu sehen...• E = m c² ist die einzige Erklärung für den enormen Energieumsatz der

Sonne unter Berücksichtigung ihres enormen Alters: • 584 Mio. t Wasserstoff fusionieren pro Sekunde zu 580 Mio. t Helium, die

restlichen 4 Mio. t zerstrahlen zu Energie.• nach klassischen Vorstellungen wäre die Sonne schon längst so stark

abgekühlt, daß ihr Licht für unser Überleben nicht genügen würde.Weitere Bestätigung...

E = m c²(1905)

„Es existiert vorläufig nicht der leiseste Anhalt dafür, ob und wann jemals diese Energiegewinnung erzielt

werden könnte.“ (1920)

„Einige neuere Untersuchungen von Enrico Fermi und Leo Szilard, die mir im Manuskript zugänglich wurden,

lassen mich erwarten, daß das Element Uran zu einer neuen und wichtigen Energiequelle in der unmittelbaren

Zukunft werden kann...“ (1939)

Bildschirmpräsentation: nach Zitat 3 etwas warten

• Wichtig für Elementarteilchenphysik: Energie-Impuls-Beziehung:

E² = c² p² + E0²

Energie- und Impulserhaltung => E und p experimentell bestimmbar,

Formel => E0 bzw. Ruhemasse m0

Experimentelle Bestätigung in unzähligen Versuchen mit

Teilchenbeschleunigern

• Gleichung ist Schlüssel zur speziell-relativistischen Quantenmechanik

• Impulserhaltung gilt in der SRT in allen Inertialsystemen

OPTISCHER DOPPLER-EFFEKT UND HUBBLE-GESETZ

• akustischer Doppler-Effekt:

Frequenz des Schalls ist von der Bewegung der Schallquelle und des

Beobachters relativ zum Medium der Schallausbreitung (Luft) abhängig

• Schall und Licht haben Welleneigenschaften => optischer Doppler-Effekt

• c = const. in allen ISen => nur Relativbewegung von Quelle und

Beobachter wichtig

• c = λ f => Wellenlänge bzw. Frequenz beobachterabhängig

• bei Energiezufuhr emittiert jedes Element Lichtquanten mit für das

Element typischen Frequenzen (Fingerabdruck)

• im Licht eines Sterns, der diese Elemente enthält, fehlen diese

Frequenzen (Frauenhofer-Linien)

=> Rückschluß auf chemische Zusammensetzung

• Licht von sich mit v entfernenden Galaxien: optischer Doppler-Effekt

=> Frequenzen aller Linien verändert gemäß fE = [(c – v)/(c + v)] fS

• => Wellenlängen-Verhältnisse ändern sich nicht => Zuordnung der Linien

zu den Elementen

• Vergleich mit Wellenlängen auf der Erde => Faktor des Doppler-Effekts

=> Relativgeschwindigkeit der Galaxie zur Erde

• Beobachtung (Hubble, 1925): die meisten Galaxien entfernen sich von

uns gemäß: v = H r (H = Hubble-Konstante)

• gerade noch erlaubt: v = c => größtmögliche Entfernung – Annahme:

Rand des Universums liegt in dieser Entfernung

• Weltall hat sich zu allen Zeiten höchstens mit c ausgebreitet

=> H = 1/Weltalter = ca. 10 – 20 Mrd. Jahre

• Doppler-Effekt => Entfernung von GalaxienEdwin Hubble

RELATIVISTISCHE PHYSIK

Von der Masse-Energie-Äquivalenz und die Energie-Impuls-Beziehung

abgesehen, haben wir bisher nur beschrieben, wie sich physikalische

Größen bei einem Wechsel des Bezugssystems ändern.

Die eigentliche Physik, d.h. der Zusammenhang zwischen verschiedenen

physikalischen Größen, fehlt noch.

In SRT und ART werden diese Gesetze konsequent mit Vierervektoren und

entsprechend mit 4x4-Matrizen formuliert. Nur in dieser Darstellung

entfalten die Gleichungen ihre volle Schönheit.

Hierfür muß ich (leider) auf die entsprechende Fachliteratur verweisen.

Viel zu lernen Du noch hast!

„Wichtig ist, daß man nicht aufhört zu fragen.

Neugier hat ihren eigenen Seinsgrund.

Man kann nicht anders als die Geheimnisse von Ewigkeit, Leben

oder die wunderbare Struktur der Wirklichkeit ehrfurchtsvoll zu

bestaunen. Es genügt, wenn man versucht, an jedem Tag lediglich

ein wenig von diesem Geheimnis zu erfassen.

Diese heilige Neugier soll man nie verlieren.“

ALSO FRAGEN WIR:

WARUM IST DIE SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE SPEZIELL ?

WARUM GIBT ES DIE ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE ?

ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE

Vorwort

Grundbegriffe in der KM (2)- Masse

- Meßvorschrift für träge Massen

- Meßvorschrift für schwere Massen

- Äquivalenz von schwerer und träger Masse

- KraftDas Wichtigste aus der SRT

Kritik an KM und SRT

- Scheinkräfte in der KM

- Kritik am Trägheitsgesetz

- Gravitationsgesetz fehltDas Äquivalenzprinzip

Uhren und Maßstäbe im Gravitationsfeld

ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE

Nichteuklidische Geometrien und Beschreibung gekrümmter Räume

- Gaußsche Geometrie gekrümmter Flächen- Andere Geometrien

- Gaußsche Koordinatensysteme

- Metrik

- Riemannsche Geometrie

- Bedeutung für die ART- Eigenschaften der (pseudo-)riemannschen Raumzeit

Äquivalenzprinzip

Allgemeines Relativitätsprinzip

Einsteinsche Feldgleichungen

Allgemeinrelativistische Effekte- Lichtablenkung im Gravitationsfeld

- Gravitationswellen

- Gravitationswellendetektor

- Gravitationsrotverschiebung

Über die Mathematik in der Allgemeinen Relativitätstheorie:

„Seitdem die Mathematiker über meine Relativitätstheorie

hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.“

GRUNDBEGRIFFE IN DER KM (2)

MASSE

• jeder materielle Körper hat folgende Eigenschaften:

– träge Masse mT = Maß für Trägheit gegenüber Beschleunigungen

– schwere Masse mS = Maß für gravitative Wechselwirkungen

• für beide Arten von Masse gilt:

– Die Masse eines zusammengesetzten Körpers ist gleich der Summe

der Teilmassen (5. Axiom)

– Die Masse ist geschwindigkeitsunabhängig (6. Axiom)

– Die Summe aller Massen ist konstant (7. Axiom)

MESSVORSCHRIFT FÜR TRÄGE MASSEN

• wähle einen Körper und weise seiner trägen Masse m1T einen beliebigen

aber festen Wert zu (=> m1T bekannt)

• 3. Axiom (actio = reactio): Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander

ausüben, sind gleichgroß und von entgegengesetzter Richtung:

F12 = – F21

=> Läßt man eine beliebige Masse m2T mit m1T wechselwirken, so ist die

Summe beider Kräfte null

• 2. Axiom (IS !) => m1T a1 + m2T a2 = 0

• Beschleunigungen sind meßbar

=> m2T berechenbar

MESSVORSCHRIFT FÜR SCHWERE MASSEN

• die träge Masse kann als bekannt vorausgesetzt werden

• NGG (in Bodennähe): F = m1S g

• g hängt nur von Erdgrößen (Masse, Radius) und G ab

• G ist noch nicht festgelegt

• 2. Axiom (IS !) => F = m1T a1

=> m1S/m1T g = a1 (als Fallbeschleunigung meßbar)

• Galilei fand experimentell:

Alle Körper fallen mit der gleichen Beschleunigung zu Boden

– unabhängig von ihrer Zusammensetzung und Größe

• g nach Voraussetzung für alle Körper gleich => m1S/m1T = m2S/m2T

• g (bzw. G) kann so gewählt werden, daß m1S/m1T = 1 gilt

=> mS/mT =1 für alle Körper

• Newton wußte, daß dies nicht selbstverständlich ist – in der KM waren

Deutung und Schlußfolgerungen jedoch nicht notwendig

• experimentell mit einer relativen Genauigkeit von 10-11 gesichert

ÄQUIVALENZ VON SCHWERER UND TRÄGER MASSE: Das

Verhältnis von träger und schwerer Masse ist für alle Körper gleich.

Durch geeignete Wahl der Gravitationskonstanten kann es auf eins

gesetzt werden.

KRAFT

• Massen und Beschleunigungen sind nun meßbar

=> erstmals Kräfte berechenbar mit F = m a

• durch Beobachtung der Beschleunigung wurden nun Kraftgesetze F(x,v,t)

(z.B. für Federn) abgeleitet

• Kräfte sind also nicht direkt meßbar

• erst durch das 2. Axiom wird der Kraftbegriff definiert

• dieses enthält also noch gar keine eigenständige Aussage über die

Eigenschaften der Kraft, die eine unabhängige Meßvorschrift zuließe

DAS WICHTIGSTE AUS DER SRT

• Raum und Zeit sind relativ

• euklidischer Raum + Zeit � pseudoeuklidische Raumzeit

• allgemeine Naturgesetze haben in allen IS die gleiche Form

• Lichtgeschwindigkeit ist im Vakuum in allen IS gleich

=> allgemeine Naturgesetze sind lorentz-invariant

• alle Wirkungen breiten sich höchstens mit Lichtgeschwindigkeit aus

• kein absolut starrer Körper möglich

• einheitliche Beschreibung von Elektromagnetismus und Mechanik

• (träge) Masse ist relativ

• Masse-Energie-Äquivalenz

• Aussagen beziehen sich zwar auf IS, sind aber auf beliebige KS – auch

beschleunigte – umrechenbar (reine Mathematik)

KRITIK AN KM UND SRT

SCHEINKRÄFTE IN DER KM

• Wirkt in einem IS K auf einen Körper die Kraft F, so gilt für seine

Bewegung x(t): F = m d²x/dt²

• der Ursprung eines Nicht-IS K‘ bewege sich in K mit x0 (t) *

=> Bewegung des Körpers in K‘: x‘(t) = x(t) – x0 (t)

=> m d²x‘/dt² = m (d²x/dt² – d²x0/dt²) = F – m d²x0/dt²

=> bei der Beschreibung einer Bewegung im Nicht-IS treten zusätzliche

Kräfte „– m d²x0/dt²“ auf

• man nennt sie Scheinkräfte, weil sie nur durch den Wechsel des KS, also

durch die Beschleunigung des Beobachters, entstehen

• SRT: gleiches Phänomen, aber Zeit und Raum in K und K‘ verschieden

* zusätzlich auch Drehung der Systeme gegeneinander denkbar – s. Bsp.

Beispiel:

• Kind auf Karussell (Nicht-IS) spürt nach außen gerichtete Zentrifugalkraft

FZF = m ω² r

• Eltern auf dem Boden (IS): es gibt eine nach innen gerichtete Zentripetal-

kraft FZP = m aZP

• diese bewirkt eine Zentripetalbeschleunigung aZP = – ω² r und damit eine

Kreisbahn

KRITIK AM TRÄGHEITSGESETZ

• Die auf einen Körper wirkenden Scheinkräfte werden nicht durch andere

Körper verursacht, sondern nur durch die Bewegung relativ zu einem IS

• Ursache ist daher die Raumzeit an sich, d.h.

• Scheinkräfte sind eine Aktion der Raumzeit auf einen Körper

• es gibt aber keine Rückwirkung (Reaktion) des Körpers auf die Raumzeit

• actio = reactio gilt also nur in IS

• Auszeichnung bestimmter Bewegungszustände zur Beschreibung der

Natur ist inkonsequent – insbesondere bei Bewegungen, zu deren

Erhaltung keines äußeren Einflusses bedarf, z.B. gleichmäßige Rotation

• Newton kannte diesen Einwand, konnte ihn aber nicht entkräften

„Was hat die Natur mit den von uns eingeführten Koordinatensystemen und deren

Bewegungszustand zu tun? Wenn es schon für die Naturbeschreibung nötig ist,

sich eines von uns willkürlich eingeführten Koordinatensystems zu bedienen, so

sollte die Wahl von dessen Bewegungszustand keiner Beschränkung unterworfen

sein.“

GRAVITATIONSGESETZ FEHLT

• 2 Punktladungen: Coulomb-Gesetz: FC = (1/4 π ε0) q1 q2 /r²

• 2 Punktmassen: Newtons Gravitationsgesetz (NGG) : FG = – G m1 m2 /r²

• kontinuierlich verteilte Ladung mit Ladungsdichte ρQ(x,t): ∆φ = – ρQ/ε0

• kontinuierlich verteilte Materie mit Massendichte ρm(x,t): ∆φ = 4 π G ρm,

eine Punktmasse wird dabei am Ort x zur Zeit t gemäß d²x/dt² = – ∇φ

beschleunigt

• φ(x,t) = Coulomb- bzw. Gravitationspotential

• große Ähnlichkeit – schon Maxwell versuchte Vereinigung von EM und G

• Problem: EM-Felder können abgeschirmt werden, G-Felder nicht – es gibt

keine Körper mit negativer Masse, also keine gravitative Abstoßung

• NGG => gravitative Wechselwirkungen breiten sich ohne Zeitverzögerung

aus – Widerspruch zur SRT: c ist Obergrenze

• Forderungen an sinnvolle Gravitationstheorie in der SRT:

– lorentz-invariant

– NGG als Grenzfall zeitunabhängiger Felder und |v/c| <<1

• so eine Theorie gibt es nicht

=> Gravitation im Rahmen der SRT nicht beschreibbar

DAS ÄQUIVALENZPRINZIP

• Gleichheit von schwerer und träger Masse => Einstein vermutet:

Gravitation und Trägheit sind zwei Seiten derselben Medaille

Gedankenexperiment: Fahrstuhl

• gegeben sei ein IS K und ein darin ruhender

Beobachter A in einem kräftefreien Raumbereich

• im gleichen Raumbereich ruhe ein Kasten K‘ mit

einem darin ruhenden Beobachter B

• an der Deckenmitte des Kastens ist außen ein

Haken und daran ein Seil angebracht

• nun ziehe eine konstante Kraft F an dem Seil

A

• Kasten wird gleichmäßig beschleunigt – Nichtinertialsystem (NIS)

• B nimmt Druck des Kastenbodens mit seinen Beinen auf

• Trägheit sorgt für die Bodenhaftung

B

• Beine drücken auf den Boden

• fühlt sich nach unten gezogen, als wenn er auf einer Planetenoberfläche

stünde

• offenbar sorgt ein Schwerefeld für die Bodenhaftung

• nun nimmt B einige Körper in die Hand und läßt sie los

A

• nach dem Loslassen wird auf sie keine Kraft mehr übertragen

=> geradlinig gleichförmige Bewegung (aus Trägheit) mit der letzten

Geschwindigkeit vor dem Loslassen, also a = 0

• der Boden nähert sich allen mit der gleichen Beschleunigung a0

B

• das Schwerefeld zieht die Körper an

=> sie fallen beschleunigt zu Boden

• alle fallen mit der gleichen Beschleunigung a‘= – a0 zu Boden

- das geht nur, wenn die Gleichheit von schwerer und träger Masse stimmt

Schlußfolgerung von B aus dem Wissen über Gravitationsfelder:

„Ich befinde mich offenbar in einem Gravitationsfeld konstanter Stärke.

Aber warum falle ich dann nicht samt Kasten?“

Er blickt zur Decke und sieht den Haken und das Seil:

„Ach so, mein Kasten ist im Gravitationsfeld ruhend aufgehängt.“

Insgesamt:

• A: Ich ruhe, der Kasten bewegt sich beschleunigt mit a = a0

• B: Ich ruhe samt Kasten in einem Gravitationsfeld der Stärke g = – a0

KM

• A ist das IS und hat deshalb Recht

• das von B beschriebene Gravitationsfeld ist in Wirklichkeit eine

Scheinkraft

• beim Wechsel ins IS K verschwindet sie

ART

• Aussagen von A und B sind experimentell nicht unterscheidbar, wenn

Gleichheit von schwerer und träger Masse gilt

=> A und B können mit gleichem Recht ihr eigenes System als ruhend

ansehen, denn

• Scheinkräfte sind ebenso gut als Auswirkungen eines realen Gravitations-

feldes deutbar, das durch Koordinatentrafo ins IS K verschwindet

„In einem homogenen Gravitationsfeld gehen alle Bewegungen so vor sich wie bei

Abwesenheit eines Gravitationsfeldes in bezug auf ein gleichförmig beschleunigtes

Koordinatensystem.“

• Einstein postulierte: obige Erkenntnis gilt nicht nur für das betrachtete

mechanische Beispiel sondern für alle physikalischen Vorgänge:

ÄQUIVALENZPRINZIP:

• Jedes G-Feld kann lokal durch eine entsprechende Beschleunigung

ersetzt werden

• Umgekehrt: Jedes G-Feld kann durch Übergang auf ein lokal frei

fallendes (beschleunigtes) Bezugssystem lokal wegtransformiert werden.

• Solche lokal frei fallenden Bezugssysteme haben sämtliche

Eigenschaften eines IS ohne Schwerkraft

• In jedem G-Feld existiert zu jedem Raumzeit-Punkt ein lokales IS, in dem

sämtliche Naturgesetze lokal dieselbe Form wie in einem unbeschleunig-

ten gravitationsfreien System annehmen – also die Form der SRT

• ART: zwei Ursachen für Gravitationsfelder:

– das verwendete KS

– die Gravitationswirkung der im Weltall verteilten Massen

• Es gibt allerdings kein KS, in dem die Gravitationswirkung der Massen

global verschwindet

Konsequenzen für

UHREN UND MASSSTÄBE IM GRAVITATIONSFELD

• Betrachte Gebiet, in dem in bezug auf ein gegebenes KS K kein G-Feld wirkt => in bezug auf K gelten Gesetze der SRT

• In diesem Gebiet rotiere eine Scheibe mit scheibenfestem KS K‘

• Mittelpunkt sei relativ zu K geradlinig gleichförmig bewegt

• Beobachter R auf dem Scheibenrand spürt nach außen gerichtete Kraft,

die er als Wirkung eines G-Feldes ansehen darf

• so ein G-Felder ist in der KM unmöglich, denn seine Stärke (Zentrifugal-

kraft) wächst (!) mit dem Abstand vom Mittelpunkt

• Beobachter M (im Mittelpunkt der Scheibe) und R stellen scheibenfeste Uhren auf:

• Uhr R bewegt sich relativ zu K, Uhr M nicht

• SRT => Uhr R geht in bezug auf Uhr M dauernd langsamer

=> im G-Feld ist der Gang einer Uhr vom Ort abhängig, in dem sie ruht

=> keine dauerhafte Synchronisation der Uhren

=> Zeit-Definition durch relativ zu einem KS ruhende Uhren nicht möglich

• Definition der relativen Ruhe setzt außerdem schon Ortsmessung voraus

Problem:

• R legt Stäbchen entlang des Scheibenrandes => Umfang

• Stäbchen bewegen sich in Längsrichtung relativ zu K

• SRT => Stäbchenlänge in bezug auf K verkürzt

• R legt Stäbchen radial vom Mittelpunkt zum Rand => Radius

• Stäbchen bewegen sich in Querrichtung relativ zu K

• SRT => Stäbchen in bezug auf K dünner, aber keine Längenänderung

=> U/r > 2 π

=> auf der Scheibe und allgemein in allen G-Feldern:

euklidische Geometrie ungültig

• anderes Beispiel: Atomuhr ruht relativ zu einer Masse in deren G-Feld

=> Frequenz des Lichts vom Ort abhängig (G-Rotverschiebung)

=> Periodendauer ortsabhängig

=> Zeitmessung ortsabhängig

=> in anderen KS auch Änderung der Ortsmessung

=> G-Feld ändert Geometrie der Raumzeit

NICHTEUKLIDISCHE GEOMETRIEN UND

BESCHREIBUNG GEKRÜMMTER RÄUME

GAUSS‘SCHE GEOMETRIE GEKRÜMMTER FLÄCHEN

Gauß führte als erster bewußt eine nichteuklidische Geometrie ein, als er

das folgende Problem untersuchte:

• Es sei eine beliebig gebogene Fläche im dreidimensionalen euklidischen

Raum eingebettet. In dieser Fläche lebt ein einsamer Planaer, dessen

einzige Freude die Geometrie ist. Er kennt die Eigenschaften aller

möglichen Geometrien aus den mathematischen Überlieferungen seiner

Vorfahren – auch wenn ihm der Gedanke von mehr als zwei Dimensionen

reichlich fantastisch erscheint.

• Kann er allein aus Abstandsmessungen innerhalb der Fläche feststellen,

ob sie euklidisch ist (Ebene) oder einer anderen Geometrie gehorcht?

• Gauß: Ja, es gibt sog. innere Eigenschaften, die aus solchen Messungen

bestimmt werden können und charakteristisch für die Geometrie sind.

Beispiel: Die Fläche sei eine Kugeloberfläche.

Der Planaer wählt sich einen Punkt P auf der Fläche und konstruiert um

diesen einen Kreis mit Radius r, indem er alle Punkte mit Abstand r von P

verbindet.

Im dreidimensionalen euklidischen Raum, in dem die Kugelfläche eingebet-

tet ist, beobachtet ein ‚Höherdimensionaler‘ das Geschehen. Er konstruiert

sogleich die Ebene, in der alle Punkte des Kreises liegen. Das Verhältnis

von Umfang und Radius beträgt U/R = 2 Pi.

Nun bestimmt der Planaer das Verhältnis

von Umfang U und Radius r: U/r < 2 Pi

Seine Welt ist nicht-euklidisch!“

weitere Eigenschaft des Euklidischen Raumes:

• in jedem Dreieck beträgt die Winkelsumme 180°

• Gauß wurde mit Landvermessungen in Norddeutschland beauftragt. Er

ließ dabei sehr genau die Winkelsumme eines Dreiecks prüfen, das durch

die Spitzen dreier Berge im Harz gegeben wurde – die Euklidizität des realen Raumes war für ihn nicht selbstverständlich. Die Meßgenauigkeit

war für den Beweis der Nichteuklidizität jedoch nicht ausreichend.

Carl Friedrich Gauß

ANDERE GEOMETRIEN

GAUSS‘SCHE KOORDINATENSYSTEME

• mathematische Behandlung von Räume erfordert ein KS, das jedem

Punkt des Raumes genau n Zahlen eindeutig zuordnet

• Dimension n des Raumes = kleinste Zahl von Kurvenscharen, mit der alle

Punkte des Raumes erfaßt werden

• Eindeutigkeit der Zuordnung verlangt:

- Kurven verschiedener Scharen schneiden sich nur in einem Punkt

- entlang einer Kurve ändert sich nur eine bestimmte Koordinate

- Kurven ein und derselben Schar liegen dicht (füllen den Raum

kontinuierlich aus)

- Kurven ein und derselben Schar dürfen einander nicht schneiden

• ansonsten können die Kurven beliebig krumm sein – es müssen nicht

Geraden sein, wie es bei kartesischen Koordinaten der Fall ist

• durch jeden Punkt geht genau eine Kurve jeder Kurvenschar

• die so eingeführten KS heißen Gaußsche KS

METRIK

gekrümmte Fläche (2D):

• jeder Punkt in der Fläche wird durch zwei Koordinaten {u,v} eines Gaußschen KS beschrieben

• jeder Punkt der Fläche ist gleichzeitig ein Punkt im euklidischen Raum (3D), in dem die Fläche eingebettet ist

=> es gibt eine Funktion, die jedem Paar Gaußscher Koordinaten {u,v} die Koordinaten {x,y,z} des entsprechenden Punktes im euklidischen Raum zuordnet: {x (u,v), y(u,v), z(u,v)} – die Funktion sei im folgenden bekannt

• Betrachte zwei in der Fläche liegende, unmittelbar benachbarte Punkte {x, y, z} und {x + dx, y + dy, z + dz}

• Satz des Pythagoras => Abstand ds: ds² = dx² + dy² + dz²

• für Punkte in der Fläche gilt: dx = ∂x/∂u du + ∂x/∂v dv, dy = ...

=> ds² = ((∂x/∂u)²+ (∂y/∂u)²+ (∂z/∂u)²) du²

+ 2 (∂x/∂u ∂x/∂v + ∂y/∂u ∂y/∂v + ∂z/∂u ∂z/∂v) du dv

+ ((∂x/∂v)²+ (∂y/∂v)²+ (∂z/∂v)²) dv²

• Definition: Metrikkoeffizienten

guu (u,v) := (∂x/∂u)²+ (∂y/∂u)²+ (∂z/∂u)²

guv (u,v) := (∂x/∂u ∂x/∂v + ∂y/∂u ∂y/∂v + ∂z/∂u ∂z/∂v) =: gvu (u,v)

gvv (u,v) := (∂x/∂v)²+ (∂y/∂v)²+ (∂z/∂v)²

• bilden zusammen eine Matrix, die sog. Metrik

• du dv = dv du => Metrik immer symmetrisch: guv = gvu

• alle Abstände in der Fläche sind prinzipiell durch Integration nach ds

bestimmbar – diese ist möglich, sobald die Metrik bekannt ist

• Gauß => es gibt Größen, die den Flächentyp eindeutig charakterisieren

• sie dürfen nicht davon abhängen, welches spezielle Gaußsche KS zur

Flächenbeschreibung gewählt wird – die Fläche ist ja stets dieselbe

• sie heißen Krümmungstensoren und enthalten die Metrikkoeffizienten und

deren erste und zweite Ableitungen nach den Gaußschen Koordinaten

RIEMANNSCHE GEOMETRIE

• Riemann verallgemeinerte das Konzept der inneren Eigenschaften von

Gauß‘ Flächengeometrie auf nicht-euklidische höherdimensionale Räume

• Riemannsche Geometrie := Geometrie mit

ds² = ∑k ∑l gkl (xm) dxk dxl und gkl hat positive

Eigenwerte

BEDEUTUNG FÜR DIE ART

• Raumzeit der SRT ist pseudo-euklidisch

• Raumzeit der ART ist pseudo-riemannsch: gkl

hat drei positive und einen negativen Eigenwert

Einsteins Antwort an eine Schülerin, die über Matheprobleme klagte:

„Mach Dir keine Sorgen wegen Deiner Schwierigkeiten mit der Mathematik; ich

kann Dir versichern, daß meine noch größer sind.“

Georg Friedrich Bernhard Riemann

EIGENSCHAFTEN DER (PSEUDO-)RIEMANNSCHEN RAUMZEIT

• in jedem Punkt läßt sich ein lokal (pseudo-)euklidisches KS konstruieren

• global (pseudo-)euklidisches KS nicht möglich; anschaulich:

• eine Kugel kann man nicht glatt mit einem Blatt Papier einwickeln und

eine Orangenschale kann man nicht ohne Zerreißen eben machen

• dabei ändern sich nämlich die Abstandsverhältnisse innerhalb der Fläche,

also die Geometrie

• hingegen kann man ein Blatt glatt um einen Zylinder wickeln

• in jedem Punkt ist die Raumzeit lokal isotrop

• nun präzisere Formulierung des möglich:

• Außerdem postulierte Einstein ein

ALLGEMEINES RELATIVITÄTSPRINZIP

Die allgemeinen Naturgesetze lassen sich so formulieren, daß sie in jedem

beliebigen (Gaußschen) Koordinatensystem dieselbe Form annehmen.

ÄQUIVALENZPRINZIP

Die Gesetze der SRT gelten in allen lokal ebenen Systemen der ART.

Ein lokal ebenes System ist definiert durch:

gij (xk = uk = 0) = ηij und ∂gij/∂xk (xk = uk = 0) = 0

mit gij = ∑k ∑l ηkl ∂xk/∂ui ∂xl/∂uj und xl = Koordinaten des lokal ebenen

Systems, ul = Gaußsche Koordinaten und ηkl = Metrik des lokal ebenen KS

= Metrik der SRT = 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 –1

EINSTEINSCHE FELDGLEICHUNGEN

• G-Feld ändert Geometrie bzw. Metrik der Raumzeit

• Zusammenhang wird durch Einsteinsche Feldgleichungen beschrieben:

• System nichtlinearer partieller DG 2. Ordnung – Lösung sehr schwierig

• Massenverteilung => G-Feld => Krümmung der Raumzeit

• umgekehrt: Körper und Photonen, auf die außer der Gravitation keine

Kräfte wirken, bewegen sich entlang sogenannter Geodäten

• Geodäte = kürzeste Verbindungslinie zweier Punkte in der Raumzeit (ist

unabhängig vom gewählten KS)

• Geodäten sind i.a. keine Geraden wie in der Euklidischen Geometrie

• Krümmung der Raumzeit beeinflußt also Bewegung aller Körper

EINSTEINS GLEICHUNGEN FÜR DAS GRAVITATIONSFELD

– 8 π G /c² Mij = Rij – R/2 gij

• links: Energie- bzw. Massendichte

• rechts: Krümmung der Raumzeit (Metrik und deren Ableitungen)

• Einsteins Ableitung der Feldgleichungen enthält folgende Annahmen:

• (1) Feldgleichungen müssen Allgemeines Relativitätsprinzip erfüllen

• (2) Für die felderregende Wirkung von Materie ist allein die träge Masse

(bzw. Energie) verantwortlich

• (3) G-Feld und Materie zusammen müssen Energie- und Impulserhaltung

erfüllen

• Für schwache zeitunabhängige G-Felder erhält man das NGG

„Das eine ist sicher, daß ich mich im Leben noch nicht annähernd so geplagt habe

und daß ich große Hochachtung für die Mathematik eingeflößt

bekommen habe, die ich bis jetzt in ihren subtileren Teilen in

meiner Einfalt für puren Luxus ansah.“

Bei der mathematischen Formulierung der ART wurde

Einstein von seinem Kommilitonen Marcel Großmann

unterstützt, der inzwischen Professor für Mathematik

geworden war. Marcel

Großmann

„Newton verzeih‘ mir;

Du fandest den einzigen Weg, der zu Deiner Zeit für einen

Menschen von höchster Denk- und Gestaltungskraft eben noch

möglich war. Die Begriffe, die Du schufst, sind auch jetzt noch

führend in unserem physikalischen Denken, obwohl wir nun

wissen, daß sie durch andere, der Sphäre der unmittelbaren

Erfahrung ferner stehende, ersetzt werden müssen, wenn wir

ein tieferes Begreifen der Zusammenhänge anstreben.“

LICHTABLENKUNG IM GRAVITATIONSFELD

• Photon hat Masse => Anziehung durch andere Massen (Sonne)

=> Abweichung von gerader Bahn (NGG, SRT) => ∆ϕ = 2 G M/(R0 c²)

• ART: zusätzlich: Raumkrümmung durch G-Feld => ∆ϕ ≈ 4 G M/(R0 c²)

• Experimentelle Bestätigung (Eddington): Sonnenfinsternis 1919:

Vergleich berechneter und scheinbarer Position von Sternen liefert

Ablenkwinkel ∆ϕ

1,5...2,2“1,75“0,88“

MessungARTSRT

Arthur Stanley Eddington

GRAVITATIONSWELLEN

• beschleunigte Ladung sendet EM-Wellen aus – analog:

• beschleunigte Masse sendet G-Wellen aus

• Einsteinsche Feldgleichungen lassen ebene Wellen als Lösung zu

• diese sind transversal und breiten sich wie das G-Feld mit c aus

• trifft die Welle auf den Körper, so wird er verformt und zu Resonanz-

schwingungen angeregt

• ringförmig um die Zylindermitte angeordnete Piezokristalle wandeln die

Verformung in elektrische Signale um

• Verformungen sehr klein => Apparatur (massiver Alu-Zylinder) tiefgekühlt

und vibrationsfrei in Vakuumkammer aufhängen

• Quellen hinreichend starker G-Wellen:

– Doppelsterne, die einander schnell umkreisen

– Gravitationskollaps von Sternen

– Supernovae

GRAVITATIONSWELLENDETEKTOR (D = 1m, L = 1,8 m)

Experimenteller Nachweis durch Weber 1969 (offiziell nicht anerkannt)

Neuere Anlagen (relative Meßgenauigkeit 10-19): kein Nachweis bis 1993

GRAVITATIONSROTVERSCHIEBUNG

• Ausgangssituation wie beim optischen Doppler-Effekt

• Quantenmechanik (Planck): Lichtwellen der Frequenz f

wird Lichtquant (Photon) der Energie E = h f zugeordnet

• E = m c² => Photon hat dynamische Masse m = h f/c²

=> Energieverlust bei Aufstieg in einem Gravitationsfeld: dE = dW

• Wellenzüge der zugeordneten Welle können nicht verschwinden

=> Energieverlust = Frequenzverringerung

• NGG (gute Näherung für schwache Felder): F(r) = – G M m/r²

• dE = c² dm und dW = F dr und m2/m1 = f2/f1

=> c² dm = – G M m/r² dr <=> dm/m = – G M/c² dr/r²

<=> Ln [m2/m1] = G M/c² [1/r2 – 1/r1]

• Bewegt sich ein Photon im (Newtonschen) G-Feld der Masse M, so

ändert sich seine Frequenz gemäß Ln[f2/f1] = G M/c² (1/r2 – 1/r1)

Max Planck

• Erdboden (1) und 20 m hoher Turm (2) => (f1 - f2)/f1 = 2,18 10-15

– experimentell bestätigt mit Hilfe des Mößbauer-Effekts

• Sonnenoberfläche (1) und Erde (2) => (f1 - f2)/f1 = 2,13 10-6

– Einstein-Turm (Potsdam): Bestätigung mißlungen, Überlagerung durch

andere Effekte an der Sonnenoberfläche

Mößbauer

Schwarzes Loch

• sehr große und dichte Massen bewirken in einem bestimmten Bereich eine G-Rotverschiebung auf f2 = 0 – unsichtbar

=> Aus dem Innern eines Schwarzen Loches entkommt kein Lichtquant und keine Information

• Bereich ist durch r < rS := 2 G M/c² gegeben, rS = Schwarzschild-Radius

„Es war eine große Freude für mich, Ihnen von den Mysterien zu

erzählen, vor die uns die Physik stellt.

Man hat als Mensch gerade noch soviel Verstand mitbekommen,

daß man von seiner Ohnmacht dem Seienden gegenüber eine

deutliche Vorstellung erlangen kann.

Die Welt des Menschengetriebes würde schöner aussehen, wenn

diese Demut allen mitgeteilt werden könnte.“

„Woher kommt es, daß mich niemand versteht und jeder mag?“

„Wo ich geh und wo ich steh

Stets ein Bild von mir ich seh,

Auf dem Schreibtisch, an der Wand,

Um den Hals am schwarzen Band.

Männlein, Weiblein wundersam

Holen sich ein Autogramm,

Jeder muß ein Kritzel haben

Von dem hochgelehrten Knaben.“

Zum Thema Socken: „Als ich jung war, fand ich heraus, daß die

große Zehe immer die Angewohnheit hat, ein Loch in die Socke

zu machen. Und so habe ich aufgehört, Socken zu tragen.“

ältestes Foto von EinsteinIm Alter von 6 Jahren mit

seiner Schwester Maja

Über seinen Hund Chico:„Der Hund ist intelligent.

Er hat Mitgefühl mit mir, weil ich immer soviel Post bekomme,

deswegen versucht er den Postboten zu beißen.“

Zum Thema Religion:

„Sie werden schwerlich einen tiefer schürfenden wissenschaftlichen Geist finden,

dem nicht eine eigentümliche Religiosität eigen ist. Diese Religiosität

unterscheidet sich aber von derjenigen des naiven Menschen. Letzterem ist Gott

ein Wesen, auf dessen Sorgfalt man hofft, dessen Strafe man fürchtet – ein

sublimiertes Gefühl von der Art der Beziehung des Kindes zum Vater.

Der Forscher aber ist von der Kausalität allen Geschehens durchdrungen...

Seine Religiosität liegt im verzückten Staunen über die Harmonie der Natur-

gesetzlichkeit, in der sich eine so überlegene Vernunft offenbart, daß alles Sinn-

volle menschlichen Denkens und Anordnens dagegen ein gänzlich nichtiger

Abglanz ist... Unzweifelhaft ist dies Gefühl nahe verwandt demjenigen, das die

religiös schöpferischen Naturen aller Zeiten erfüllt hat.“

An einen Schokoladenfabrikanten:

„Ich bewundere Ihre praktische Lebensweisheit. Denn um des

günstigen Respons der Menschen möglichst sicher zu sein,

ist es besser, ihrem Magen etwas zu bieten als ihrem Gehirn.“

Über die Quantenmechanik:

Von Einsteins Arbeitszimmer im Physikalischen Institut in Prag

konnte man den Garten der städtischen Irrenanstalt sehen.

Gegenüber einem Kollegen bemerkte er dazu:

„Sie sehen dort den Teil der Verrückten, der sich nicht mit der

Quantenmechanik beschäftigt.“

Julius Robert Oppenheimer,

leitender Wissenschaftler beider Entwicklung der erstenAtombombe in Los Alamos

Charlie Chaplin