VergleichderAbituraufgabeninMathematik: BayernundBerlindidaktik.mathematik.hu-berlin.de/user/filler/Masterarbeit_Wenzeck-Severin.pdf · 1 MotivationundEinleitung EndevorletztenJahres-MitteDezember2016-überschlugensichdieMeldungen,dass

Humboldt-Universität zu BerlinMathematisch-Naturwissenschaftliche FakultätInstitut für Mathematik

Vergleich der Abituraufgaben in Mathematik:Bayern und Berlin

Masterarbeit

zur Erlangung des akademischen GradesMaster of Education (M. Ed.)

eingereicht von: Severin Wenzeck

geboren am: 09.06.1992

geboren in: München

Gutachter/innen: Prof. Dr. Andreas Filler

Dr. Luise Fehlinger

eingereicht am: verteidigt am:

Inhaltsverzeichnis1 Motivation und Einleitung 1

2 Voraussetzungen 32.1 Schulische Voraussetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Formalien des Abiturs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Vergleich der Darstellung des Faches Mathematik . . . . . . . . . . . . 82.4 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Inhalte der Oberstufe 113.1 Analyse der Themen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.1 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.2 Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1.3 Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Vergleich der Rahmenlehrpläne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Analyse der Abituraufgaben 214.1 Abitur 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Abitur 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3 Abitur 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4 Abitur 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5 Abitur 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.6 Abitur 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.7 Abitur 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Auswertung und Vergleich der Abiture 66

6 Reflexion 776.1 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.3 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Literatur 83

A Anhang 87

Diese Arbeit wurde im Sommersemester 2018 zum Abschluss des Studiums und zurErlangung des akademischen Grades „Master of Education“ verfasst.Mit dieser Arbeit schließe ich das im Oktober 2013 begonnene Studium ab.

Zur Vereinfachung der Darstellung wird im weiteren Verlauf der Arbeit die weiblicheForm im Allgemeinen unterschlagen. In jedem Fall ist dabei jedoch implizit auch dieentsprechende weibliche Person gemeint. Durch diese Vereinfachung soll keinGeschlecht diskriminiert werden.

Die Selbstständigkeitserklärung findet sich auf der letzten Seite, im Anschluss desAnhangs, wieder.

1 Motivation und EinleitungEnde vorletzten Jahres - Mitte Dezember 2016 - überschlugen sich die Meldungen, dassdas Berliner Abitur „geschenkt“ sei und es in der Hauptstadt relativ einfach wäre -zumindest leichter als in anderen Bundesländern - , einen Abschluss mit der Note 1,0zu erzielen.Eine der ersten Meldungen fand jedoch bereits 2011 durch Focus Schule statt. DerAutor Thomas Röll betitelte seinen Artikel folgendermaßen: „Billig-Abi im Norden,Reifeprüfung im Süden?“. Immerhin wurde diese Aussage noch als Frage formuliert, indem Artikel wird jedoch deutlich, welche Nachteile ein Abiturient z.B. aus Bremen,bei der Immatrikulation an einer bayrischen Hochschule bekommen kann. Konkretschreibt Her Röll: „Wer in Bayern oder Baden-Württemberg ein Gymnasium besucht,muss für vergleichbare Noten deutlich mehr leisten als ein Abiturient in Bremen oderBrandenburg.“ (Rö11)In diversen Zeitungen1 wurde 2016 der Präsident des Deutschen Lehrerverbandes, JosefKraus2, mit der Forderung, dass „anspruchsvolle Länder wie Bayern die Abiturzeugnissevermeintlich anspruchsloser Länder wie Berlin nicht anerkennen sollen“ zitiert.Als Begründung liefert er unter anderem das häufige Vorkommen der Note 1,0. „Alleinin Berlin habe sich die Zahl der Abiturzeugnisse mit einem Notendurchschnitt von 1,0innerhalb von zehn Jahren vervierzehnfacht. Dies deute nicht auf eine Verbesserungder Schüler, sondern auf ein Nachlassen der Anforderungen hin.“ (ZEI16)Solch eine Verbesserung der Noten kann mehrere Ursachen haben. In dem Artikelwird unter anderem erwähnt, dass sich die Anzahl der Schüler, welche ein Gymnasiumbesuchen, deutlich unterscheiden. So gehen in Bayern weniger Schüler auf ein Gymna-sium als in Berlin oder Hamburg. Auch gibt es unterschiedliche Schulformen, wie z.B.Gemeinschaftsschulen, in denen ein Abitur abgelegt werden kann. (ZEI16)Eine wesentliche Verbesserung der Berliner Abiturnoten ist aber der lockeren Benotungvon Bayern zu verdanken. Hat man bis 2010 in Berlin noch 50 % der Aufgaben richtiglösen müssen, um eine 4,0 bzw. 5 Notenpunkte zu erhalten, so erhält man diese Zensurbereits ab 45 %. 15 Notenpunkte erhält man nun nach 95 % und nicht wie bisherbei 100 %. Berlin hat also um eine Vergleichbarkeit anzustreben, seine Notenskala anLänder wie Baden-Württemberg und Bayern angepasst. (Sen06, S. 6)Begründet wird diese Abstufung der Notenskala außerdem mit der Erreichbarkeit von15 Notenpunkten. Sobald eine Bewertungseinheit abgezogen wurde, konnten 100 %der Gesamtleistung nicht mehr erreicht werden. Solch eine nahezu unerreichbare Notewollte man verhindern und „schraubte“ deshalb die Bewertungsskala „runter“. (Sen06,

1Süddeutsche Zeitung: https://bit.ly/2Jkk9vP zuletzt aufgerufen am 17.06.2018Zeit Online: https://bit.ly/2HItC2E zuletzt aufgerufen am 17.06.2018Orange by Handelsblatt: https://bit.ly/2qSGGbi zuletzt aufgerufen am 17.06.2018Passauer Neue Presse: https://bit.ly/2F9vZXf zuletzt aufgerufen am 17.06.2018BZ Berlin: https://bit.ly/2HmSmyn zuletzt aufgerufen am 17.06.2018und noch weitere.

2Herr Kraus lebt in Niederbayern und war dort auch Schulleiter. Ohne ihm etwas unterstellen zuwollen, kann man eine gewisse Vorverurteilung nicht abstreiten, da seine Begründungen zum Teilhaltlos sind.

1

https://bit.ly/2Jkk9vP

https://bit.ly/2HItC2E

https://bit.ly/2qSGGbi

https://bit.ly/2F9vZXf

https://bit.ly/2HmSmyn

1 Motivation und Einleitung

S. 6)Des Weiteren wurde im Jahr 2006/07 das Zentralabitur für Mathematik mit Bran-denburg eingeführt. (Sen04, S. 7) Dadurch profitierten vor allem Schüler an starkenGymnasien, da die Erwartungshorizonte des Zentralabiturs an ein mittleres Niveau an-gepasst wurden. Werden an solchen Gymnasien mit Schülern weiterführende Aufgabenbearbeitet und dadurch das mathematische Verständnis gefördert, so entsprechen diemeisten Aufgaben eher repetitiven Kalkülaufgaben, die nach einem gewissen Schemabearbeitet werden können. (BK16)

Mit dieser Arbeit möchte ich nun diese Behauptungen bzw. Anschuldigungen überprü-fen und unterziehe dem Abitur im Fach Mathematik eine genauere Untersuchung undAnalyse. Wird in Berlin wirklich das Abitur „hergeschenkt“ und sind somit Aussagenà la: „Nur wer ABI in Bayern gemacht hat, darf sich hochschulberechtigt nennen“begründet oder sind Berliner Schüler durch schulische Voraussetzungen wie dem Berli-ner Lehrplan und der Wahl von Grund- und Leistungskursen lediglich besser vorbereitet.

Hierfür werden die Abiturjahrgänge von 2011 bis 2017 untersucht. Dabei wird derAblauf und der Schwerpunkt des Abiturs in den beiden Bundesländern näher beleuchtetsowie alle drei Themenbereiche - Analysis, Analytische Geometrie / Lineare Algebraund Stochastik - in ihren Voraussetzungen analysiert und verglichen. Anschließendwird im Themenbereich Analysis in den oben genannten Abiturjahrgängen eine Aufga-benanalyse durchgeführt.Die zwei Hauptgründe, weshalb die Abiturjahrgänge ab dem Jahre 2011 betrachtetwerden, sind die folgenden. Zum Einen gibt es in Berlin seit 2006/07 das Zentralabitur.Frühere Abituraufgaben würden für diese Untersuchung keinen Sinn machen, da dieseAufgaben nicht mehr relevant sind. Zum anderen gibt es in Bayern seit dem Jahr 2011keine Leistungs- und Grundkurse mehr, weshalb aus diesem Grund frühere Abiturenicht miteinbezogen werden.

Bevor nun aber die Aufgaben verglichen werden, werden zunächst die Vorausset-zungen und Festlegungen, welche nicht von den Schülern beeinflusst werden können,näher überprüft. Wie sind die Rahmenlehrpläne aufgebaut? Muss man als Schüler inMathematik Abitur schreiben? Gibt es im Abitur Auswahlmöglichkeiten für die Schüleroder werden die Aufgaben von der Lehrkraft ausgesucht?

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2 VoraussetzungenIn diesem Kapitel wird geklärt, welche festgelegten Voraussetzungen im Fach Mathema-tik Schüler aus Berlin verglichen mit solchen aus Bayern haben. Hierbei werden einmaldie schulischen Laufbahnen näher betrachtet, die vorgeschriebenen Rahmenlehrplänenäher untersucht und die Rahmenbedingungen des Abiturs erläutert.Diese Analyse der Voraussetzungen soll helfen, eine Vergleichbarkeit der beiden Bun-desländer zu ermöglichen. Dies wird im letzten Abschnitt in diesem Kapitel zusam-mengefasst.

Grund für solch eine eingehende Analyse ist der stetige Wandel in der Schulbüro-kratie.In Bayern ist es nicht möglich, in der Oberstufe Kurse zu wählen. Sollte das Abitur inBayern nun mit dem Grundkurs oder Leistungskurs Abitur in Berlin verglichen werden?Zunächst existierte im bayerischen Abitur kein hilfsmittelfreier Teil, seit mehrerenJahren aber nun doch. Welchen Anteil der Arbeit nimmt dieser Teil ein? Auch in Berlinändert sich stetig der höchstmögliche Schulabschluss. Seit mehr als zehn Jahren gibtes ein Zentralabitur. Ab dem Jahr 2019 soll auch in Berlin ein hilfsmittelfreier Teileingeführt werden. (Sen17, S. 4)

All diese Unterschiede und noch weitere gilt es aufzuarbeiten und miteinander inBeziehung zu setzen.

2.1 Schulische VoraussetzungBayern3

Das bayerische Gymnasium wirbt selbst mit einer gründlichen Vorbereitung auf einnachfolgendes Studium. „Wer ein Gymnasium erfolgreich besucht, wird nicht nur gründ-lich auf Studium bzw. Beruf vorbereitet, sondern gewinnt auch kulturelle Identität [...].In diesem Sinn bildet das Gymnasium junge Menschen zu Persönlichkeiten heran, dieüber eine breite Wissensbasis sowie die Fähigkeit zum Transfer verfügen, [...] die denAnforderungen des Studiums ebenso gewachsen sind wie dem sich ständig wandelndenProfil herausgehobener beruflicher Tätigkeiten und die nicht zuletzt das kulturelle undethische Fundament besitzen, das wesentlich zu einem erfüllten Leben beitragen kann.“(ISBb)

Schüler in Bayern besuchen in der Regel das Gymnasium ab der 5. Klasse, es bestehtjedoch auch die Möglichkeit, später auf ein Gymnasium zu wechseln. Das Schulgesetzin Bayern setzt hierfür ab Klasse 7 eine Aufnahmeprüfung und eine Probezeit voraus.

3Im Nachfolgenden wird als Quelle des Öfteren das gültige bayerische Schulgesetz von 2007 zitiert.Aktuelle Überarbeitungen des bayerischen Schulgesetzes wurden berücksichtigt und finden sichhier wieder: http://www.gesetze-bayern.de/Content/Document/BayGSO zuletzt aufgerufen am17.06.2018

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http://www.gesetze-bayern.de/Content/Document/BayGSO

2 Voraussetzungen

Für die unteren Jahrgänge, wie z.B. von einer 5. Klasse Realschule in selbigen Jahrgangeines Gymnasiums bzw. unmittelbar in eine 6. Klasse zu wechseln sowie für einen Wech-sel nach der 10. Klasse gelten besondere Bestimmungen für eine Aufnahme. (Bay07, S. 5)

In der Oberstufe wurde das vorherige Kurssystem mit Leistungskursen und Grund-kursen abgeschafft. Ersetzt wurden diese Begriffe, wie auch in anderen Bundesländernüblich, durch Kurse mit grundlegendem Anforderungsniveau und Kurse mit erhöhtemAnforderungsniveau. Dies beeinträchtigt nicht nur eine Spezialisierung in einem Fach,sondern auch die Wahl der Fächer, in denen die Abiturprüfungen abgelegt werdenmüssen.Mathematik (ebenso wie Deutsch) wurde somit zu einem verpflichtenden Abiturfachfür alle Schüler. (Bay07, S. 26)Dies führte zu einer Anpassung der wöchentlichen Stundenanzahl im Fach Mathematik.So wurde sich bezüglich der Stundenanzahl von vier Wochenstunden auf einen Kom-promiss zwischen Grund- und Leistungskurs geeinigt. (Bay07, S. 44f.)

Mit jedoch nur vier Wochenstunden Mathematik sowie der Abschaffung von Leis-tungskursen und der zusätzlichen Verpflichtung in Mathematik Abitur zu schreiben,dürfen die obigen Aussagen vom Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung(ISB) jedoch stark angezweifelt werden.

Berlin

Frau Sandra Scheeres, Senatorin für Bildung, Jugend und Familie, beschreibt die Berli-ner Oberstufe mit den Worten: „In der Qualifikationsphase - auch Kursphase genannt -können Sie mit Ihren Stärken und Interessen punkten. Mit der Wahl der Leistungs-kursfächer entscheiden Sie sich für Ihren individuellen fachlichen Schwerpunkt. In denLeistungskursen werden vertieftes Wissen und erweiterte Kenntnisse vermittelt, die Sieauf ein mögliches Studium vorbereiten.“ (Sen, S. 1)Diese Aussagen sind realitätsnäher und zurückhaltender formuliert, als die Beschreibungeines bayerischen Gymnasiums.

In Berlin besucht man das Gymnasium in der Regel erst ab der 7. Klasse. Es ist jedochan manchen Gymnasien möglich, bereits nach der 4. Klasse auf ein solches zu wechseln.4

In Berlin gibt es Wahlmöglichkeiten, in welchen Fächern man das Abitur schrei-ben möchte. Das bedeutet aber auch insbesondere, dass man das Mathematikabiturumgehen kann. Das erste Leistungskursfach muss entweder eine Sprache sein, diemindestens seit der 9. Klasse unterrichtet wurde, oder eine Naturwissenschaft. Daszweite Leistungskursfach ist frei wählbar. Mit zusätzlich dem dritten und vierten Prü-fungsfach müssen zwei der drei nachfolgenden Fächer Deutsch, eine Fremdsprache und

4Siehe hierfür die Auflistung aller Gymnasien ab Klasse 5: https://www.berlin.de/sen/bildung/schulverzeichnis_und_portraets/anwendung/SchulListe.aspx?IDKategorie=45&IDAngebot=336&Sort=BSN&TextID=35 zuletzt aufgerufen am 17.06.2018

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https://www.berlin.de/sen/bildung/schulverzeichnis_und_portraets/anwendung/SchulListe.aspx?IDKategorie=45&IDAngebot=336&Sort=BSN&TextID=35



2.2 Formalien des Abiturs

Mathematik geprüft werden. (Sen, S. 13)Alle drei Aufgabenfelder (sprachlich-literarischkünstlerisches Aufgabenfeld, gesellschafts-wissenschaftliches Aufgabenfeld, mathematisch-naturwissenschaftlich-technisches Auf-gabenfeld) müssen im Abitur belegt werden. (Sen, S. 13)Vereinfacht gesagt ist es möglich, mit folgender Kombination das Mathematikabitur zuumgehen:

Leistungskurse: Biologie Englisch

3. und 4. Prüfungsfach: Deutsch Geschichte

Somit ist die Wahl der fünften Prüfungskomponente völlig frei.Jedoch muss Mathematik in allen vier Semestern belegt werden. Die Anzahl derUnterrichtsstunden in Mathematik hängt je nach Wahl von Grund- und Leistungskursab. Der Grundkurs ist mit drei, der Leistungskurs mit fünf Wochenstunden angesetzt.(Sen, S. 12, S.14)

2.2 Formalien des AbitursIn diesem Abschnitt werden die äußeren Rahmenbedingungen des Abiturs näher be-trachtet. Hierzu zählen die Bearbeitungszeiten, die Gewichtung der einzelnen Themen-bereiche aber auch Besonderheiten, wie beispielsweise die Wahl der zu bearbeitendenAufgaben.

Bayern

Das Abitur in Bayern setzt sich seit 2014 aus zwei Teilen zusammen. Der erste Prü-fungsteil A „besteht aus mehreren kürzeren, nicht zusammenhängenden Aufgaben“ auseinem gemeinsamen Aufgabenpool von sechs Bundesländern. Die Bearbeitungszeit isthierfür 90 Minuten und geprüft werden die drei Themenbereiche Analysis, Stochastikund Lineare Algebra / Analytische Geometrie. (ISBe, S. 2ff.)Für den Prüfungsteil B sind 180 Minuten angesetzt. Dieser besteht aus „umfangreiche-ren, zusammenhängenden Aufgaben“ der drei oben genannten Themenbereiche. (ISBe,S. 2ff.) Seit 2017 finden sich ebenfalls im Teil B Aufgaben aus einem gemeinsamenAufgabenpool aller Länder wieder5.(Gre14, S. 1f.)Insgesamt schreiben die Schüler ein 270 minütiges Mathematikabitur, sofern sie sichdafür entscheiden, den hilfsmittelfreien Prüfungsteil A ohne Hilfsmittel zu bearbei-ten. Möchten die Schüler im Prüfungsteil A Hilfsmittel benutzen, so verkürzt sich dieGesamtbearbeitungszeit um 30 Minuten. Diese Regelung, den hilfsmittelfreien Teilmit Hilfsmittel zu bearbeiten, wurde 2014 eingeführt und bis 2018 fortgesetzt. Hierbeikann sich jeder Schüler individuell entscheiden und muss sich keiner Mehrheit beugen.(Gre13, Gre14, Prä17)

5Siehe hierfür auch: https://www.isb.bayern.de/gymnasium/materialien/abiturpruefung-mathematik-ab-2014/ zuletzt aufgerufen am 17.06.2018

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https://www.isb.bayern.de/gymnasium/materialien/abiturpruefung-mathematik-ab-2014/

https://www.isb.bayern.de/gymnasium/materialien/abiturpruefung-mathematik-ab-2014/

2 Voraussetzungen

In den Jahren 2011 - 2013 bestand das Abitur ausschließlich aus dem Teil, welchen manüberwiegend dem jetzigen Prüfungsteil B zuordnen kann. Lediglich im ThemengebietAnalysis gab es eine Besonderheit. Hier bearbeiteten die Schüler insgesamt zwei Teile.Der erste Teil bestand aus „mehreren einzelnen, kürzeren, unabhängigen Aufgaben“,wohingegen der zweite Teil „umfangreichere, zusammenhängende Aufgaben“ abdeckt.(ISB08, S. 23f.)Für die Bearbeitung des Abiturs standen den Schülern insgesamt 240 Minuten zurVerfügung.

Seit 2014 sind die drei mathematischen Themenbereiche Analysis, Analytische Geome-trie / Lineare Algebra und Stochastik je zweifach in beiden Prüfungsteilen vertreten.Insgesamt werden also 12 Abituraufgaben zur Verfügung gestellt, von denen sechsbearbeitet werden müssen. Man unterscheidet jeweils zwischen Aufgabengruppe 1 undAufgabengruppe 2, welche in beiden Prüfungsteilen abgelegt werden müssen. Gewähltwerden diese Aufgabengruppen von der Lehrkraft bzw. vom Fachausschuss. Die Schülerkönnen gegen die getroffene Wahl nichts unternehmen.Exemplarisch bedeutet dies, dass man in Analysis die Aufgabengruppe 1 in beidenTeilen bearbeiten muss und in Stochastik und Analytische Geometrie / Lineare Algebradie Aufgabengruppe 2 im Prüfungsteil A und B. Es ist somit ausdrücklich nicht erlaubt,in einem der drei Themenbereiche im Prüfungsteil A eine andere Aufgabengruppe alsim Prüfungsteil B zu bearbeiten. (ISBe)Auch in den vorherigen drei Jahren wurde aus insgesamt sechs Aufgabengruppen diejeweils im Themenbereich zu bearbeitende Aufgabengruppe von der Lehrkraft ausge-wählt. (ISB08, S. 23)

Seit 2012 ist es in Bayern möglich, ein Abitur unter Zuhilfenahme eines Computeral-gebrasystems (CAS) zu absolvieren. Mit der Veränderung des Abiturs im Jahr 2014wurden auch die CAS-Abituraufgaben überarbeitet. In den beiden vorherigen Jahren -2012 und 2013 - existierten zwischen einem CAS-Abitur und dem herkömmlichen Abiturnur minimale Unterschiede. So wurden dem CAS-Abitur sporadisch einzelne kleineTeilaufgaben angeheftet. 2014 führte man, zumindest im Themenbereich Analysis, imPrüfungsteil B, erstmals einen eigenen Aufgabenbereich ein. Somit bearbeiten Schülermit einem CAS-Taschenrechner in Analysis vollkommen andere Aufgaben als Schülerohne solch einen Taschenrechner.In Stochastik und Analytische Geometrie / Lineare Algebra fand keine grundlegen-de Veränderung statt. Hier decken sich die beiden Abiture weiterhin nahezu vollständig.

Die Gewichtung der einzelnen Themenbereiche zeigt den Stellenwert der Analysis.In beiden Prüfungsteilen A und B nimmt die Analysis die Hälfte der zu erreichendenPunkte ein. Aber auch in den vorherigen Jahren machte der Anteil von Analysis imAbitur 50 % aus. Die Summe in Analysis setzt sich aus Teil 1 und Teil 2 zusammen.

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2.2 Formalien des Abiturs

Abb. 2.1: 2011 - 2013 Abb. 2.2: 2014 - 20186

Berlin

Die Frage der Bearbeitungszeit des Mathematikabiturs in Berlin hängt davon ab,welchen Kurs man gewählt hat. Der Leistungskurs wird mit einer Bearbeitungszeitvon 270 Minuten angesetzt, wohingegen dem Grundkurs 210 Minuten zur Verfügunggestellt werden. Davon sind jeweils 30 Minuten zur individuellen Lese- und Auswahlzeitgedacht. (Sen08, S. 4f.)

Im Jahr 2019 werden in Berlin die Bearbeitungszeiten geändert. Grund hierfür ist dieerstmalige Einführung eines hilfsmittelfreien Teils im Abitur. Der Leistungskurs hatanschließend insgesamt 300 Minuten zur Verfügung, der Grundkurs 255 Minuten. Auchhier sind 30 Minuten für die Auswahl einer geeigneten Aufgabe gedacht. (Sen17, S. 6)Aufgaben aus dem länderübergreifenden Aufgabenpool werden jedoch seit dem Abiturim Jahr 2017 gestellt. Diese werden von der Form her angepasst, sodass sie sich nichtvon den anderen Aufgaben unterscheiden. (Sen16, S. 4f.)

Wie oben angesprochen, gibt es eine Lese- und Auswahlzeit. Diese wird benötigt,um sich aus den 6 Aufgaben, die für einen subjektiv gesehen „leichteren“ auszuwählen.Hierfür werden jeweils in jedem Themenbereich zwei Aufgaben vorgestellt, aus denen dieSchüler eine auswählen müssen. Es ist also nicht möglich beide Aufgaben der Analysiszu wählen und eine Aufgabe aus dem Bereich Analytische Geometrie / Lineare Algebra,da dann der Themenbereich Stochastik nicht abgedeckt wäre.Diese Regelung ist in Berlin seit dem Abitur 2010 so festgesetzt. Davor war es möglich- und wurde durchaus häufig so gehandhabt - den Themenbereich Stochastik außen vorzu lassen, da dieser nur durch den Lehrer gewählt werden konnte. (Sen09, S. 2)

Auch in Berlin ist der Einsatz eines CAS-Taschenrechners im Abitur nicht verpflichtend.7Seit der Einführung des Zentralabiturs 2006/07 wurde das Abitur in zweifacher Ausfer-tigung angeboten. Ein Abitur, in dem der Einsatz eines grafikfähigen Taschenrechnersgestattet ist und ein Abitur, in dem dessen Einsatz untersagt ist. Der Unterschiedder beiden Abiture ist jedoch minimal, sodass die Aufgaben fast in allen drei The-

6Tabelle entnommen aus (ISBe, S. 2).7Anders in Sachsen, Baden-Württemberg, Thüringen und Niedersachsen.

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2 Voraussetzungen

menbereichen identisch übereinstimmen. Es wurden im CAS-Abitur lediglich einzelneTeilaufgaben in den Themenbereichen hinzugefügt.

Die Gewichtung der Themenbereiche in den Jahren 2010 bis 2016 fiel anders ausals in den Jahrgängen 2017 und 2018 (siehe hierfür nachfolgende Tabelle). Für dieGewichtung der einzelnen Themenbereiche ab 2017 siehe (Sen17, S. 4) und für dieGewichtung der vorherigen Jahre siehe (Sen09, S. 2).

Abb. 2.3: 2010 - 2016 Abb. 2.4: 2017 - 2018

Wie man anhand der Abbildungen erkennen kann, hat der Themenbereich Analysisin den Jahren 2010 - 2016 nicht so einen hohen Stellenwert wie in den beiden Jahrendanach. Oder anders formuliert: Seit 2017 erreicht man 5 Notenpunkte allein durchden Themenbereich Analysis, wohingegen man früher für diese Note auch Kenntnisseder anderen Themenbereiche nachweisen musste.

2.3 Vergleich der Darstellung des Faches MathematikWie wird die Mathematik in den beiden Bundesländern wahrgenommen? Als kalkül-orientiertes Fach, dessen Ziel es ist, jedes erdenklich gegebene Problem mathematischdurch Algorithmen berechnen zu können? Oder als Fach, welches zur Entfaltung einereigenen Persönlichkeit beiträgt? Oder gar als Fach, dessen Daseinsberechtigung in Fragegestellt wird aufgrund z.B. der Omnipräsenz des Computers?8

Bayern

Das Fach Mathematik wird als „sich über Jahrtausende [entwickelte] Kulturleistungder Menschheit“ beschrieben. (ISBd)In den Naturwissenschaften und in der Technik dient die Mathematik als Sprache,wohingegen sie in der Wirtschaft, als auch in der Politik und den Sozialwissenschaftenmit ihren Vorhersagen „häufig die Grundlage für Entscheidungen von weitreichenderBedeutung“ bildet. (ISBd)Der Unterricht soll einerseits „mathematische Kenntnisse und Arbeitsweisen“ vermittelnund andererseits den Schülern dabei helfen, sich „aktiv und verantwortungsbewusst“

8Egal wie das Fach vom Bundesland gesehen wird, wichtig ist vor allem wie der Mathematiklehrerdas Fach vermitteln will. Jedoch würde eine negative Darstellung und Wahrnehmung des Fachesin der Öffentlichkeit es der Lehrkraft erschweren, den Sinn dieses Faches zu vermitteln.

8

2.4 Folgerung

in die Gesellschaft einzubringen. (ISBd)Hierbei muss vor allem das mathematische Denken geschult werden. Zusammenhängeerkennen und logische Schlussfolgerungen zu ziehen, aber auch sich systematisch an einProblem anzunähern sind Fähigkeiten, welche durch Übung im Mathematikunterrichtgefördert werden sollen. Somit lernen die Schüler Tugenden kennen, welche ihnen inihrer Persönlichkeitsfindung sowie auf dem Arbeitsmarkt helfen werden. (ISBd)

Berlin

Ziel der Mathematik ist es, Voraussetzungen zu schaffen, welche „strukturiertes Denken“und „eine lebenslange Auseinandersetzung mit mathematischen Anforderungen destäglichen Lebens und der Berufswelt“ ermöglichen. (LIS15, S. 3)Hierbei unterscheidet man folgende drei Schwerpunkte, welche in der gesamten Schulzeitaufgegriffen werden, um den Schülern so neue Fähigkeiten zu lehren. (LIS15, S. 3)

1. Wahrnehmung und Erforschung natürlicher, technischer, sozialer und kulturellerErscheinungen und Vorgänge mit Hilfe der Mathematik

2. Erkennung der Mathematik mit ihrer Sprache, ihren Formeln, Sprache, Symbolenund Bildern als eigenes Konstrukt

3. Auseinandersetzung mit alltäglichen Problemen und Entwicklung heuristischerStrategien

Des Weiteren „[muss sich] mathematische Bildung [...] daran messen lassen, inwieweitdie bzw. der Einzelne in der Lage und bereit ist, diese Bildung für ein wirksames undverantwortliches Handeln einzusetzen. Zur mathematischen Bildung gehört somit auchdie Fähigkeit, mathematische Fragestellungen im Alltag zu erkennen, mathematischesWissen funktional, flexibel und mit Einsicht zur Bearbeitung vielfältiger innermathe-matischer und kontextbezogener Probleme einzusetzen und begründete mathematischeUrteile abzugeben.“ (LIS14, S. 12)

Erfreulich ist, dass dieses Fach in beiden Bundesländern einer solch immensen Bedeu-tung beigemessen wird. Die Mathematik wird als Fähigkeit verstanden, sich in dieGesellschaft und in den Arbeitsmarkt einzubringen und die mathematischen Konzepte,wie Formeln und Symbole, werden als ihre Werkzeuge angesehen.

2.4 FolgerungDie in diesem Kapitel erforschten Ausgangsvoraussetzungen bestätigen die Schwierig-keit, einen 1:1 Vergleich zu vollziehen. Beide Bundesländer erachten, wie eben gesehen,das Fach Mathematik nicht nur als wichtig an, sondern sogar als unverzichtbar, um aufdem Arbeitsmarkt zurechtzukommen. Jedoch war dies fast die einzige Gemeinsamkeitder beiden Bundesländer.

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2 Voraussetzungen

Abiture, welche mit einem CAS-Taschenrechner zu bearbeiten sind, werden nichtnäher betrachtet. Der Grund hierfür ist die zu unterschiedliche Umsetzung des Ab-iturs. Während in Berlin in allen drei Themenbereichen lediglich einzelne Teilaufgabenangeknüpft werden, ist es in Bayern - im Themenbereich Analysis - ein auf den Ta-schenrechner zurecht geschnittenes Abitur, in dem Themeninhalte, wie die Skizzierungvon Graphen eher vernachlässigt werden.

Der hilfsmittelfreie Teil wird ebenfalls zunächst nicht näher betrachtet, da dieserbisher nur in einem der beiden Bundesländer eingesetzt wird.

Nach Aussagen des Staatsinstituts für Schulqualität und Bildungsforschung in Bayern -gemeint ist die optimale Vorbereitung auf ein mögliches Studium - liegt es nahe, dasbayerische Abitur mit dem Abitur zu vergleichen, welches in Berlin am besten auf einStudium vorbereitet. Jedoch sprechen einige Faktoren erstmal gegen so einen Vergleich.Das Abitur des Leistungskurses in Berlin hat eine reine Bearbeitungszeit von 240Minuten. Dieses Abitur entspricht eher dem bayerischen Prüfungsteil B, welches jedochmit einer Bearbeitungszeit von 180 Minuten angesetzt ist. Auch die Wochenstundenstimmen mit fünf in Berlin und lediglich vier in Bayern nicht überein.

Obwohl sich die Wochenstunden auch nicht mit einem Grundkurs vergleichen las-sen, gibt es zwischen diesen beiden Abituren zunächst die meisten Übereinstimmungen.So entspricht die reine Bearbeitungszeit im Grundkurs derselben Bearbeitungszeit desPrüfungsteils B. Seit 2017 stimmt sogar die Vergabe der Bewertungseinheiten in deneinzelnen Themenbereiche mit dem Prüfungsteil B in Bayern überein. Des Weiterensuggeriert die Pflicht für alle Schüler in Bayern, im Fach Mathematik das Abitur zuschreiben, ein eher an die Leistungsheterogenität der Schülerschaft angepassten Schwie-rigkeitsgrad.

Somit gelangt man zunächst zu dem Schluss, das Grundkurs Abitur (ohne CAS-Taschenrechner) von Berlin mit dem bayerischen Abitur (Prüfungsteil B; ohne CAS-Taschenrechner) zu vergleichen.

Es bleibt jedoch noch die Frage offen, welche Themeninhalte in Bayern geprüft undgelehrt werden. Stimmen diese Themeninhalte mit dem Leistungskurs überein, so machtein solcher Vergleich mehr Sinn.Anschließend könnte dann untersucht werden, ob das bayerische Abitur in wenigerBearbeitungszeit weniger, gleich oder mehr Wissen abprüft. Des Weiteren muss derhilfsmittelfreie Teil näher analysiert werden, da es möglich ist, diesen ebenfalls mitHilfsmitteln zu bearbeiten.

Deswegen werden im nachfolgenden Kapitel zusätzlich noch die Themeninhalte beiderBundesländer näher analysiert und miteinander verglichen.

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3 Inhalte der OberstufeBisher wurden lediglich äußere Rahmenbedingungen näher betrachtet. Wie sieht esaber mit den inneren Voraussetzungen aus? Welche Themeninhalte werden gelehrt,bzw. nicht unterrichtet?Aus diesem Grund werden die drei Themenbereiche Analysis, Analytische Geome-trie / Lineare Algebra9 und Stochastik analysiert. Zunächst werden grob die The-menschwerpunkte charakterisiert, während anschließend versucht wird, diese in denRahmenlehrplänen zu verordnen.

3.1 Analyse der ThemenHier kann keine Sachanalyse der Themenbereiche erwartet werden, da dies in diesemRahmen nicht möglich ist. Jedoch sollen einzelne Themenschwerpunkte aufgelistet,zum Teil näher klassifiziert und in den Rahmenlehrplänen verordnet werden.Die Mathematik in der Sekundarstufe II gliedert sich in Analysis, Analytische Geome-trie und Stochastik. Beide Bundesländer prüfen diese drei Themenbereiche im Abitur,weshalb diese in den Unterricht integriert werden müssen. Nachfolgende Auflistungbezieht sich überwiegend, aber nicht ausschließlich, auf die angegebenen Schulbücher.

Weshalb sich ausgerechnet auf diese angegebenen Schulbücher fokussiert wird, liegt dar-an, dass sie den Inhalt von einem Leistungskurs mit sechs Wochenstunden10 abdecken.

3.1.1 Analysis

(BK03, B+97b, B+97a)

1. Folgen, Reihen, Grenzwerte2. Asymptoten, rationale Funktionen3. mittlere Änderungsrate, h-Methode, lokale Änderungsrate4. Ableitungsfunktion und deren Regeln5. besondere Ableitungen (Winkelfunktionen, e-Funktionen, Logarithmusfunktionen,

Wurzelfunktionen, ...)6. Monotonie, Stetigkeit, lokale Extremwerte, Symmetrie, Tangentengleichungen,

Schnittwinkel7. besondere Verfahren, Umkehrfunktion, Ableitung der Umkehrfunktion8. Zusammenhänge zwischen einer Funktionen und deren Ableitungen9. Krümmungsverhalten, Wendepunkte, Terrassenpunkt / Sattelpunkt

9Im Folgenden wird nur noch die Bezeichnung Analytische Geometrie verwendet.10Siehe folgende Gymnasialschulordnung von 1983 (Bay83, S. 47 (727) ), welche erst 2007 vollständig

überarbeitet wurde.

11

3 Inhalte der Oberstufe

10. Funktionsscharen11. Extremwertprobleme, Rekonstruktion12. Stammfunktion, bestimmtes Integral13. Integration mit Substitution und Partieller Integration14. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Rotationsvolumen15. Wachstums- und Zerfallsprozesse16. Algebraische Relationen, Kegelschnitte17. Polarkoordinaten

3.1.2 Analytische Geometrie

(BBK94)

1. Lineare Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus, Determinanten und deren Eigen-schaften

2. Punkte und Vektoren im Raum, Elementare Vektorrechnung3. Lineare Abhängigkeit4. Vektorraum und dessen Eigenschaften5. Geraden im Raum, Lage von Geraden, Geradenscharen und -büschel, Abstände6. Ebenen, Lage von Ebenen, Ebenenscharen, Abstände7. Skalarprodukt, Eigenschaften des Skalarproduktes, Winkelberechnungen8. Vektorprodukt, Spatprodukt, Spatvolumen9. Normalform von Ebenen / Geraden, Hesseform, Parameterform, Koordinatenform

10. Kugel, Lage eines Punktes / einer Ebene / einer Kugel zu einer Kugel

3.1.3 Stochastik

(BH98)

1. Zufallsexperimente, Ereignisräume, Ergebnisräume2. Relative Häufigkeiten, Absolute Häufigkeiten3. Wahrscheinlichkeitsverteilungen und deren Eigenschaften4. Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten5. Laplace-Experimente6. Baumdiagramm, Vierfeldertafel7. Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit von Ereignissen8. Zufallsgrößen, Erwartungswert, Faires Spiel, Mittelwerte, Varianz, Standardab-

weichung

12

3.2 Vergleich der Rahmenlehrpläne

9. Bernoulli Kette, Binomialverteilung, Poisson-Näherung für Binomialverteilung10. Normalverteilung11. Urnenmodelle12. Testen von Hypothesen, Parameterschätzung

3.2 Vergleich der RahmenlehrpläneDie oben genannten Themen der einzelnen Themenbereiche decken im Großen undGanzen den gesamten Schulstoff der Sekundarstufe II ab. Manche von diesen Themenwerden in einigen Bundesländern intensiver betrachtet, andere teilweise vollständigvernachlässigt. Inwieweit sich die Themenbereiche zwischen Bayern und Berlin über-schneiden, wird nun anhand des Rahmenlehrplanes analysiert.Ebenso wird untersucht, wie stark sich diese beiden Bundesländer bei der Behandlungder einzelnen Themen unterscheiden.

Da die Rahmenlehrpläne einer stetigen Überarbeitung ausgesetzt sind, werden diebeiden aktuellsten miteinander verglichen. (Stand 06. Mai 2018)In Bayern ist der Rahmenlehrplan online verfügbar und kann unter folgender Quelleaufgerufen werden: (ISBc). In Berlin wird der Rahmenlehrplan von 2014 betrachtetund kann hier eingesehen werden: (LIS14)In der nachfolgenden Tabelle bezieht sich die Nummer auf die Auflistung im vorherigenUnterkapitel (siehe 3.1).Des Weiteren sind Lerninhalte des Leistungskurses zusätzlich zu den Grundkursinhaltenzu sehen.

Bei jedem Themenschwerpunkt wird verglichen, ob sich die bayerischen Voraussetzun-gen eher mit dem Grundkurs oder dem Leistungskurs decken.Die Kurse mit den größeren Gemeinsamkeiten werden grau hinterlegt.

Analysis Bayern Berlin

Grundkurs Leistungskurs

1

Grenzwerte vongebrochen-rationalen

Funktionen;Differentialquotient als

Grenzwert

Grenzwertbegriff zurBestimmung von

Ableitung und Integral

Grenzwerte (vonZahlenfolgen undFunktionen) zurBestimmung von

Ableitung und Integral

2

Polstellen, horizontale undvertikale Asymptoten von

Graphengebrochen-rationaler

Funktionen

ganzrationale Funktionenzur Beschreibung und

UntersuchungquantifizierbarerZusammenhänge

gebrochen-rationaleFunktionen zur

Beschreibung undUntersuchung

quantifizierbarerZusammenhänge;

Asymptoten ermitteln

13


3

Differenzenquotient undseine Deutung als

Sekantensteigung bzw.mittlere Änderungsrate;Differentialquotient und

seine Deutung alsTangentensteigung bzw.lokale Änderungsrate

Ableitung insbesondereals lokale Änderungsrate;

Sekanten- undTangentensteigungen zu

Funktionsgraphen

4

Ableitungsfunktion;Ableitung ganzrationalerFunktionen, Summenregel,Produktregel; Ableitungvon gebrochen-rationalen

Funktionen,Quotientenregel;Kettenregel

Änderungsratenberechnen;

Potenzfunktionen mitganzzahligen Exponenten,ganzrationale Funktionen

ableiten, auch unterVerwendung der

Konstanten-, Potenz-,Faktor- und Summenregel;die Produktregel und dieKettenregel (mit linearerbzw. quadratischer innerer

Funktion)

Quotientenregel

5

Ableitung der Sinus- undder Kosinusfunktion derWurzelfunktion und vonPotenzfunktionen mitrationalen Exponenten;natürliche Exponential-

und Logarithmusfunktionund ihre Ableitungen

Exponentialfunktionenableiten

Wurzelfunktionen,gebrochen-rationaleFunktionen und

Funktionen wie ln, sin,cos zur Beschreibung und

UntersuchungquantifizierbarerZusammenhänge

6

Monotonie und lokaleExtremwerte;

Untersuchung rationalerFunktionen;

Krümmungsverhalten undWendepunkte

Monotonie, Extrema undWendepunkte (notwendigeBedingung und inhaltlicheBegründungen für die

Existenz) von Funktionen

Ableitungen zurBestimmung von Extrema

und Wendepunkten(notwendige Bedingungund hinreichende) von

Funktionen

7 Newton-Verfahren

Ableitung mit Hilfe derApproximation durch

lineare Funktionen deuten;ln-Funktion als

Umkehrfunktion dere-Funktion

8

Zusammenhänge zwischenden Graphen von

Funktion,Ableitungsfunktion und

Integralfunktion

Änderungsraten deuten;Ableitungsgraphen aus

Funktionsgraphenentwickeln und umgekehrt;

bestimmtes Integraldeuten, insbesondere als

(re-)konstruierten Bestand

9 siehe 6 siehe 6 siehe 6

14


10Scharen von Funktionen

zur BeschreibungquantifizierbarerZusammenhänge

11Extremwertprobleme;

Anpassen von Funktionenan vorgegebeneBedingungen

Fragestellungen zuSachsituationen, welcheauf Rekonstruktion von

Funktionsgleichungen undExtremalprobleme

abzielen

12

Begriff derStammfunktion;Ermitteln von

Stammfunktionstermen;bestimmtes Integral,Integralfunktion;Berechnung vonFlächeninhalten

Integrale vonPotenzfunktionen mittels

Stammfunktionenbestimmen; bestimmtes

Integral deuten,insbesondere als (re-)konstruierten Bestand;Inhalte von Flächen, diedurch Funktionsgraphen

begrenzt sind

ln-Funktion alsStammfunktion von

x→ 1x

13

Inhalte von Flächen auchmit Hilfe uneigentlicherIntegrale und unterVerwendung der

Produktintegration

14 Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung

Hauptsatz als Beziehungzwischen Ableiten undIntegrieren geometrisch

begründen

Volumen von Körpernbestimmen, die durch

Rotation um dieAbszissenachse entstehen

15

Anwendungen,insbesondere beiWachstums- und

Zerfallsprozessen und beiFragen der Optimierung

Bestände ausÄnderungsraten undAnfangsbestand

berechnen

16

17

15


Analyt-ische

Geome-trie

Bayern Berlin


1Schnittprobleme werden

über lineareGleichungssysteme gelöst

geeignete Verfahren zurLösung von Gleichungenund Gleichungssystemen

auswählen;algorithmisches

Lösungsverfahren fürlineare Gleichungssysteme

erläutern und esanwenden; geometrische

Interpretation vonGleichungssystemen und

ihrer Lösungen

2

dreidimensionaleskartesisches

Koordinatensystem;Darstellen von Punktenund einfachen Körpern;

Vektoren imAnschauungsraum;

Rechnen mit Vektoren

geometrische Sachverhaltein Ebene und Raum

koordinatisieren und imKoordinatensystem

darstellen; elementareOperationen mit

geometrischen Vektorenausführen

3lineare Abhängigkeit bzw.lineare Unabhängigkeitvon Vektoren wirdanschaulich gedeutet

Vektoren auf Kollinearitätuntersuchen

4

einfache Sachverhalte mitTupeln (Listen, Vektoren)

bzw. Matrizen(Koeffizientenmatrizen,Tabellen) beschreiben

5

Beschreibung vonGeraden durch

Gleichungen; gegenseitigeLage von Geraden;

Abstandsbestimmungen

Streckenlängen; Geraden(durch Parameter-,Koordinaten- und

Normalenform) analytischbeschreiben undLagebeziehungen

untersuchen

Abstände (Punkt-Gerade,Gerade-Gerade);

Lagebeziehungen vonPunkten, Geraden undEbenen (auch Scharen)

16


6

Beschreibung von Ebenendurch Gleichungen;

gegenseitige Lage vonEbenen und Geraden undEbenen; Abstands- undWinkelbestimmungen,insbesondere unterVerwendung der

Hesse’schenNormalenform

Abstände vonPunkt-Punkt,Punkt-Ebene,Gerade-Ebene,Ebene-Ebene;

Lagebeziehungen vonEbenen untersuchen

Lagebeziehungen vonPunkten, Geraden undEbenen (auch Scharen)

7Anwendungen vonSkalarprodukt;

Winkelbestimmungen

Winkelgrößen im Raum(auch mit Hilfe desSkalarprodukts);Skalarprodukt

geometrisch deuten

8

Anwendungen vonVektorprodukt;

Berechnungen an Körpern,u. a. Flächeninhalte und

Volumina

9

Normalenform(Hesse’schen

Normalenform) vonEbenen; Koordinatenform

von Kugeln;Parameterform vonEbenen und Geraden

Geraden und Ebenen(durch Parameter-,Koordinaten- und

Normalenform) analytischbeschreiben

10 Koordinatenform vonKugeln

Stoch-astik Bayern Berlin


1 axiomatische Definitionvon Wahrscheinlichkeit

Zufallsgrößen zurBeschreibung

stochastischer Situationen

2exemplarisch statistischeErhebungen planen und

auswerten

17


3 verknüpfte Ereignisse undihre Wahrscheinlichkeiten

Zufallsgrößen undWahrscheinlichkeitsvertei-lungen zur Beschreibungstochastischer Situationen;

Simulationen zurUntersuchung

stochastischer Situationenverwenden

4Darstellung einesEreignisses als

Komplement-, Schnitt-oder Vereinigungsmenge

5 siehe 3. siehe 3. siehe 3.

6

Sachverhalte mit Hilfe vonBaumdiagrammen oder

Vierfeldertafelnuntersuchen und damitProblemstellungen imKontext bedingter

Wahrscheinlichkeiten lösen

7bedingte

Wahrscheinlichkeit;abhängige und

unabhängige Ereignisse

Teilvorgänge mehrstufigerZufallsexperimente auf

stochastischeUnabhängigkeit anhand

einfacher Beispieleuntersuchen;

Problemstellungen imKontext bedingter

Wahrscheinlichkeiten lösen

8

Bedeutung und Definitionder Begriffe

Zufallsvariable,Erwartungswert undStandardabweichung

Erwartungswert undStandardabweichung der

Binomialverteilungbestimmen und deuten;Lage- und Streumaße

einer Stichprobebestimmen und deuten

Erwartungswert undStandardabweichungdiskreter Zufallsgrößenbestimmen und deuten

9Bernoulli-Experiment und

Bernoulli-Kette;Binomialkoeffizient,Binomialverteilung

die Binomialverteilungund ihre Kenngrößen (n,p); die Binomialverteilung

zur Beschreibungstochastischer Situationen

18

3.3 Folgerung

10

exemplarisch diskrete undstetige Zufallsgrößenunterscheiden und die„Glockenform“ als

Grundvorstellung vonnormalverteiltenZufallsgrößen;

stochastische Situationenuntersuchen, die zu

annäherndnormalverteilten

Zufallsgrößen führen

11

Bernoulli-Experimentelassen sich mit dem

Urnenmodell „Ziehen mitZurücklegen“

veranschaulichen;Herausarbeitung derUnterschiede zum

Urnenmodell „Ziehenohne Zurücklegen“

Anwendungssituationenmit Hilfe des

Urnenmodells (mit undohne Zurücklegen)

12

Anwendung derBinomialverteilung

insbesondere am Beispieldes einseitigenSignifikanztests

in einfachen Fällenaufgrund von Stichproben

auf die Gesamtheitschließen (k-σ-Intervalle,

Signifikanzbegriff)

Hypothesentests beiBinomialverteilungeninterpretieren und dieUnsicherheit (Fehler 1.

und 2. Art) derErgebnisse begründen

Anmerkung:

Auch wenn sich die Inhalte der Rahmenlehrpläne auf den ersten Blick gut zuordnenlassen, ist Vorsicht geboten, da nicht alles was unterrichtet wird bzw. unterrichtetwerden soll, ein Themengebiet des Abiturs sein muss.In Berlin z.B. wird deshalb in den Fachbriefen informiert, welche Themen keine Beach-tung im Abitur finden werden. (siehe z.B. (Sen14, S. 3) oder (Sen16, S. 6))Solch eine Ausklammerung einzelner Themen birgt jedoch die Gefahr, dass die Lehrkraftdiese nicht konsequent im Unterricht behandeln wird, da sie ihre Klasse optimal auf dasAbitur vorbereiten will und deswegen den Fokus nur auf Themenaspekte legt, welcheauch geprüft werden könnten.

3.3 FolgerungAnhand der obigen Tabellen decken sich lediglich vier Inhalte des ThemenbereichsAnalysis eher mit dem Berliner Leistungskurs. Das Problem jedoch ist, dass Themen,welche mit dem Grundkurs übereinstimmen, oft weiteres Wissen aus dem Leistungskursbenötigen, damit sie tatsächlich gleichzusetzen sind.So behandelt man zwar in Bayern, ebenso wie im Berliner Grundkurs, Monotonie und

19


Extrema, allerdings können sich die zu untersuchenden Funktionstypen unterscheiden.Aus diesem Grund erweist sich ein Vergleich zwischen dem Berliner Leistungskursund dem bayerischen Abitur im Themenbereich Analysis als sinnvoller. Die Bearbei-tungszeiten der beiden Bundesländer unterscheiden sich zunächst deutlich, sodass sichein differenzierterer Blick auf die Abiture anbietet. Außerdem wird für nachfolgendeEinschätzung vorausgesetzt, dass man pro Bewertungseinheit die gleiche Zeit benötigt.Der ab 2014 in Bayern eingeführte hilfsmittelfreie Teil kann, je nach Schülerwunsch,auch mit Hilfsmitteln bearbeitet werden, was eine Verkürzung der Bearbeitungszeitauf 240 Minuten zur Folge hat11. In Kapitel 2 wurde beschrieben, dass die Hälfteder Punkte durch den Themenbereich Analysis abgedeckt wird, weshalb 120 MinutenBearbeitungszeit für diesen Teil angedacht sind.Im Berliner Leistungskurs haben die Schüler - nach Abzug der individuellen Lese- undAuswahlzeit - 240 Minuten Bearbeitungszeit.In den Jahren 2011 - 2016 konnte man insgesamt durch den Themenbereich Analysis40 von 100 Bewertungseinheiten erzielen, was einer Bearbeitungszeit von 96 Minutenentspricht. Ab 2017 ist es möglich im Themenbereich Analysis die Hälfte der Punktezu erreichen. Dies kommt - wie in Bayern - einer Bearbeitungszeit von 120 Minutengleich.

Deshalb wird im Themenbereich Analysis der Berliner Leistungskurs mit dem bayeri-schen Prüfungsteil A und B (ab 2014) bzw. Teil 1 und 2 (von 2011 - 2013) verglichen.In den anderen beiden Themenbereichen, Stochastik und Analytische Geometrie,

decken sich die Inhalte nahezu vollständig mit dem Grundkurs, sodass ein Vergleichzwischen diesen beiden Abituren vollzogen werden kann.Ebenfalls wird wieder angenommen, dass der hilfsmittelfreie Teil mit Hilfsmitteln be-arbeitet wird, was für Stochastik und Analytische Geometrie eine Bearbeitungszeitvon 60 Minuten bedeutet. Berliner Schülern wurde für die beiden Themenbereiche imJahre 2011 - 2016 eine Zeit von 54 Minuten eingeplant und in den Jahren 2017 und2018 45 Minuten.Da hier den Berliner Schülern zum Teil deutlich weniger Bearbeitungszeit zusteht,kann zusätzlich noch untersucht werden, ob Schülern in Berlin mit weniger verfügbarerBearbeitungszeit, gleich, mehr oder weniger Wissen abverlangt wird.

Des Weiteren ist noch anzumerken, dass jeweils das Abitur zum festgelegten Ter-min des Kultusministeriums bzw. des Prüfungsausschusses untersucht wird und nichtdas Abitur für diejenigen, welche den Termin nicht wahrnehmen konnten und deshalbnachschreiben durften.

11Dies entspricht der Bearbeitungszeit des Abiturs in den Jahren 2011 - 2013.

20

4 Analyse der AbituraufgabenIn Kapitel 2 und 3 wurden die gegebenen Rahmenbedingungen untersucht und es wurdeversucht, diese miteinander in Beziehung zu setzen. Dabei werden für die nachfolgendeAnalyse folgende Annahmen getroffen:

Analysis Berlin Bayern

Kurs: Leistungskurs -

HilfsmittelfreierTeil: - Bearbeitung mit Hilfsmitteln

CAS-Abitur: - -

Bearbeitungszeit: 96 bzw. 120 Minuten 120 Minuten

Da ein Zeitraum von sieben Jahren untersucht wird, beschränkt sich diese Arbeit aufden Themenbereich Analysis, da dieser in beiden Bundesländern - seit der Kürzungdes Gymnasiums auf sechs (in Berlin) bzw. acht (in Bayern) Jahre und somit derunmittelbaren Verlagerung großer Inhaltsbereiche der Analysis in die abiturrelevantenKlassenstufen der Sekundarstufe II - den größten Teil einnimmt.

Die obige Tabelle deckt zunächst die zu untersuchenden Abiture in den einzelnenBundesländern ab. Weiterhin werden folgende Schwerpunkte in der Analyse miteinbe-zogen, welche anschließend näher ausgeführt werden:

• Anzahl der Aufgaben (auch Teilaufgaben)• Schwierigkeit der Aufgaben• Themeninhalte sowie die Anzahl der verschiedenen Inhalte• Notwendigkeit von Vorkenntnissen zur Bearbeitung der Aufgaben• Kategorisierung / Klassifizierung der Aufgaben in die Anforderungsbereiche I -

III• Wiederholung der Themeninhalte in verschiedenen Abituren eines Bundeslandes

Der erste Punkt, Anzahl der Aufgaben, meint die absolute Zahl der Aufgaben, welchevon den Schülern beantwortet werden sollen. Insbesondere ist hiermit nicht die vorgege-bene Auflistung der Aufgaben in den Abituren gemeint, sondern die tatsächliche Anzahlan unterschiedlichen Aufgaben. Beispielhaft lautet die erste Aufgabe: a) UntersuchenSie die Symmetrie und die Krümmung der Funktion f . Obwohl dies als eine Aufgabeformuliert und verpackt wurde, wird es in dieser Analyse als zwei verschiedene gewertet.Dadurch wird erhofft, die Komplexität bzw. Schwierigkeit des Abiturs näher unter-suchen zu können. Setzt sich das Abitur aus vielen kleinen „leichteren“ Aufgabenzusammen oder aus weniger, aber „schwierigeren“ bzw. zeitaufwändigeren Aufgaben?

21

4 Analyse der Abituraufgaben

Im ersten Fall ist das Erreichen einer guten Note eher gegeben, da sich einem mehrMöglichkeiten bieten, Punkte zu erzielen. Werden bei Aufgaben Zwischenergebnisseangegeben, so werden diese zu ersteren gezählt, da man ohne dem vorherigen Wissen,mit Hilfe des Zwischenergebnisses weiterrechnen kann.Grund für die eben genannte Einschätzung der Schwierigkeit ist, dass den Schülern biszu 120 Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung gestellt werden. Besteht das Abiturnun aus angenommen 120 Aufgaben, so steht einem Prüfling eine Minute pro Aufgabezur Verfügung. Der Handlungsspielraum solcher Fragen, welche innerhalb einer Minutezu beantworten sind, ist eher klein und die Herausforderung solcher Aufgaben eher alsniedrig einzuschätzen.

Die Schwierigkeit der Aufgaben beschreibt eine innere Differenzierung der Aufgaben.Wird eine Kurvendiskussion bei einer Polynomfunktion dritten Grades gefordert oderbei einer Verkettung von z.B. gebrochen-rationalen Funktionen und Winkelfunktionen?Handelt es sich gar um Themeninhalte, welche im Rahmenlehrplan (siehe hierfür dieTabelle in Kapitel 3.2) nur am Rande erwähnt wurden? Da diese Schwierigkeit jedochdurch Faktoren, wie beispielsweise durch eine ständige Behandlung im Unterricht ein-gedämmt werden kann, je nachdem wie und wie oft es im Unterricht behandelt wurde,ist dies meine subjektive Einschätzung.

Erstreckt sich das Abitur lediglich über einzelne Themeninhalte oder wird der kom-plette Schulstoff aus der Oberstufe geprüft? So macht es einen Unterschied, ob jedezweite Aufgabe Wissen über Asymptoten abfragt oder, ob dieses Wissen nur einmalgezielt geprüft wird. Sollten, beispielhaft angedeutet, im gesamten Abitur nur zweiThemeninhalte abgeprüft werden, in denen ein Schüler Experte ist, so würde dieserSchüler einen guten Punkteschnitt erzielen. Daraus kann man aber nicht folgern, dassdies ein mathematikbegabtes Kind ist, geschweige denn, dass Schüler, die schlechtabgeschnitten haben, es nicht sind.Dies wird mit den abgefragten Themeninhalten und deren Anzahl untersucht. Hierfürwerden möglichst grobe Überbegriffe gebildet, welche einen Großteil des Stoffgebietesabdecken sollen, z.B. meint der Begriff Differential einerseits Extremwertuntersuchungund Steigungen sowie die zugehörigen Ableitungen zu bestimmen, andererseits aberauch Monotonie und Krümmung zu untersuchen oder hinter dem Begriff Berechnungverbergen sich elementare Umformungen, wie sie bei Parameterbestimmungen oderNullstellenberechnung anzuwenden sind, aber auch die Durchführung einer Punktprobezählt zu diesem Inhalt.Das Newton-Verfahren, welches als Algorithmus betrachtet im Inhalt Berechnen undvon der Vorgehensweise her dem Inhalt Differential zugeordnet werden könnte, zähltjedoch nicht zu diesen Themeninhalten, sondern bildet wegen der uneindeutigen Zu-ordnung einen eigenen.

Stößt man bei der Bearbeitung der Aufgaben an seine Grenzen, wenn man ledig-lich die Inhalte der Sekundarstufe II beherrscht oder erreicht man mit diesem Wissenrelativ einfach die maximale Punkteausbeute? Benötigt man die Satzgruppe des Pytha-

22

goras, Strahlensätze oder gar Kongruenzsätze, um Aufgaben bearbeiten zu können oderist es ausreichend, „nur“ die Differential- und Integralrechnung anwenden zu können?Dies ist unter dem vierten Punkt „Notwendigkeit von Vorkenntnissen“ zu verstehen.

Zusammenhängend mit der Schwierigkeit der Aufgaben sowie deren Anzahl wird desWeiteren noch eine Klassifizierung der einzelnen Teilaufgaben in die Anforderungs-bereiche I, II und III vollzogen. Hierfür wird sich an den Definitionen im BerlinerFachbrief (Sen14, S. 16) bzw. im Berliner Rahmenlehrplan der Sekundarstufe I (LIS15,S. 5) orientiert. In die Kategorisierung der Aufgaben zu den entsprechenden Anforde-rungsbereichen fließt die subjektive Einschätzung der Schwierigkeit der Aufgaben mitein, deshalb ist es möglich, dass sich diese Einschätzung nicht mit der vorgegebenenKategorisierung deckt.Anforderungsbereich I (kurz: AFB I): Reproduzieren beinhaltet ein Abfragenvon geübtem Wissen12. Dies sind kurze, schnell lösbare und vor allem bekannte Aufga-ben bzw. Aufgabenstellungen.AFB II: Zusammenhänge herstellen meint ein Abfragen von bekannten Aufgabenund Sachkontexten. Hier muss zur Bewältigung der Aufgabe Wissen aus der Mathema-tik verknüpft und richtig angewendet werden.AFB III: Verallgemeinern und Reflektieren schließt eine Interpretation des Er-gebnisses einer komplexen Aufgabe mit ein, ebenso wie das Lösen einer solchen. DieProblemstellung ist für die Schüler eine neue, weshalb sie sich zunächst eine geeigneteStrategie überlegen müssen. Aber auch Transferaufgaben, also Aufgaben in Sachkon-texten eingebettet, welche dem Schüler nicht bekannt sind, sind Teil dieses Anforde-rungsbereichs. Eigene Problemlösung und -formulierung, Bewertung, Begründung undFolgerungen stehen hier im Fokus.

Es wird ausdrücklich wiederholt darauf hingewiesen, dass sich lediglich an die oben ge-nannten Quellen bzgl. der Definitionen orientiert wurde und dies nicht die Definitionensind.

Der letzte Punkt beinhaltet eine Längsschnittuntersuchung der Abiture eines Bundes-landes. Gibt es Themeninhalte, die Jahr für Jahr auftreten? Kann man sich deshalbgut auf die nächste Abschlussprüfung vorbereiten, da die abgefragten Themen bekanntsind? Oder entdeckt man eher selten Überschneidungen vorangegangener Abiture undist somit jedes Abitur eine „Wundertüte“?

Man sieht, dass die zu untersuchenden Schwerpunkte alleine wenig aussagekräftigsind und deshalb als Gesamtes gedeutet werden müssen, da sie sich sonst zum Teilausschließen könnten.Es wurde beschrieben, dass die Schwierigkeit in Abituren eine gute Zensur zu erzielen,12Unter geübtem Wissen verstehe ich ein Wissen, das eingeübt wurde. Zum Beispiel können die Schüler

Funktionen ableiten und kennen auch den Zusammenhang: 1. Ableitung = Steigung der Funktion.Jedoch haben sie dann Probleme dieses Wissen bei weiterführenden Aufgaben anzuwenden. Mankönnte dies auch als auswendig gelernte Übung titulieren.

23


mit zunehmender Anzahl an Aufgaben herabgesenkt werden könnte. Jedoch ist esdadurch möglich, viele Themeninhalte abzufragen, was die Schwierigkeit, eine guteNote zu erreichen, erhöhen würde, da der Schüler ein breiteres Wissen benötigt und ggf.sein Wissen sogar vernetzen muss. Prüft man hingegen weniger Themeninhalte undbesteht das Abitur aus wenigen Aufgaben, so könnte man tief in die Materie eindringenund vermehrt Aufgaben des Anforderungsbereiches III wiederfinden.Ist die Anzahl der zu bearbeitenden Aufgaben hoch, so werden viele dieser dem AFB Izu verordnen sein. Prüft man aber hierbei auch Kenntnisse aus vorherigen Jahrgangs-stufen, so könnte die Schwierigkeit, eine gute Note im Abitur zu erzielen wieder steigen,da solch ein Wissen ggf. nicht mehr so präsent ist.

All dies sind Fragen bzw. Vermutungen, welche nun näher erforscht und beantwortetwerden sollen. Zunächst folgt jedoch eine kleine Anmerkung bzgl. des Abiturs desBerliner Grundkurses und bzgl. des weiteren Vorgehens.

Anmerkung 1: Da es, wie in Kapitel 2.1 beschrieben, in Bayern Pflicht ist, dasAbitur in Mathematik abzulegen, man in Berlin aber eine Wahlfreiheit hat, mitwelcher Intensität und mit welchem Umfang man Mathematik in der Oberstufe gelehrtbekommen möchte, scheint zunächst der Grundkursvergleich einleuchtender (wie inKapitel 2.4 geschehen).Eine Analyse der abgeprüften Themeninhalte der Berliner Grundkurs Abiture von2012 - 2016 im Themenbereich Analysis kann untenstehender Tabelle, welche ausfolgender Quelle stammt, entnommen werden: siehe (CF17, S. 3).Aufgrund dessen, dass nachfolgend die bayerischen Abiture von 2011 - 2017 näheranalysiert werden, erkennt man schnell die Unterschiede der beiden Abiture. Einerdieser Unterschiede zeichnet sich z.B. durch das Auftreten verschiedenerFunktionstypen (Winkel-, Logarithmus-, Exponentialfunktionen, etc.) in ein- unddemselben bayerischen Abitur aus, wohingegen man im Berliner Grundkursüberwiegend Polynomfunktionen behandelt (siehe nachfolgende Tabelle 1).

24

2012 2013 2014 2015 2016

Analysis 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2

Polynomfunktion X X X X X X X

Exponentialfunktion X X X X X

Funktionsgraphen, Nullstellen X X X X X X X X X X

Steigung, Wachstumsrate X X X X X X X X X X

Extremstellen X X X X X X X X X

Wendepunkte X X X X X X X

Integral, Fläche zwischen Graphen X X X X X X X X X

Winkel zwischen Tangenten X X X

Quadratische Gleichungen lösen X X X X X

Lineares Gleichungssystem (2x2) X X X

Tabelle 1: Themeninhalte der Berliner Grundkurs Abiture (siehe (CF17))

Anmerkung 2: Aufgrund dessen, dass eine genaue Untersuchung aller sieben Abiturebeider Bundesländer den hierfür vorgesehenen Rahmen „sprengen“ würde, werdenexemplarisch einzelne Abiturjahrgänge ausführlich betrachtet. Diejenigen Abiture,welche in dieser Arbeit nicht so detailliert ausgeführt werden, werden auf das Nötigstereduziert vorgestellt. Besonders betrachtet werden die Abiturjahrgänge 2011, 2014 und2017. Im Jahr 2011 wurde das erste bayerische Abitur nach Abschaffung der Grund-und Leistungskurse geschrieben, 2014 gab es die ersten bayerischen Abiture mit einem„hilfsmittelfreien“ Teil und 2017 war das Jahr in dem man im Berliner Abitur allein imThemenbereich Analysis, 50 % der Bewertungseinheiten erreichen konnte, und sichsomit die Bearbeitungszeit dieses Bereichs von 96 Minuten auf 120 Minuten erhöhte.

Anmerkung: 3 Des Weiteren sind die nachfolgenden Formulierungen derAufgabenstellungen und der Gegebenheiten nicht zwangsweise wortwörtlich sogegeben, sondern wurden bereits umformuliert.

Anmerkung: 4 Nach der ausführlichen Betrachtung der Abituraufgaben werdeneinzelne Aufgaben, Vorgaben und Herangehensweisen weiter ausgeführt.Es wird explizit darauf hingewiesen, dass - sofern sich Kommentare nicht ausschließlichauf konkrete Aufgaben beziehen - diese für alle untersuchten Abiture gelten.Exemplarisch bedeutet dies, dass im Berliner Abitur 1.2 aus dem Jahrgang 2014erörtert wird, warum schiefe Asymptoten nicht dem ThemeninhaltGrenzwertbetrachtung zugeordnet werden. Dies gilt konsequenterweise für alleAbiturjahrgänge der beiden Bundesländer.Aufgaben, welche nicht näher ausgeführt werden, sind entweder von derAufgabenstellung und den Gegebenheiten eindeutig und haben deshalb keinenBegründungsbedarf oder treten in einer ähnlichen Art und Weise in einem anderenAbitur auf und wurden dort näher erläutert.

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4.1 Abitur 2011Bayern: Aufgabengruppe I

Teil 1Aufgabe Gegeben Aufgabenstellung

1AFB I, I

gebrochen-rationale Funktion:f(x) = 2x+3

4x+5

1© Bestimme die Definitionsmenge;2© Bestimme die Ableitung von f

2AFB I, I

Produkt einer Logarithmusfunktion miteiner quadratischen Funktion:F (x) = 1

4x2 · (2 ln x− 1)

3© Bestimme die Ableitung einer gegebe-nen Stammfunktion; 4© Rekonstruiereeine bestimmte Stammfunktion

3AFB II

Text und Exponentialfunktion:N(x) = N0 · ek·(x−2000)

5© Ermittle die Parameter der Funktion

4 a), b)AFB I, I

Winkelfunktion:∫ π

0 sin(2x) dx = 0 6© Skizziere den Sachverhalt;7© Berechne das bestimmte Integral(Substitution bzw. Ausprobieren)


1 a)AFB I, I

Wurzelfunktion: f(x) =√x+ 3 8© Bestimme die Definitionsmenge;

9© Beschreibe, wie der Graph von f ausw(x) =

√x hervorgeht

1 b), c)AFB III,II, I

Punkt P (1, 5|0); Q(x|f(x)); Abstands-funktion: d(x) =

√x2 − 2x+ 5, 25;

Kontrollergebnis: x-Koordinate von QE

10© Weise die Abstandsfunktion d nach;11© Bestimme den Punkt QE , der von Pden kleinsten Abstand hat;12© Skizziere QE in die Abbildung

1 d), e)AFB II, I

s.o.Tangente t am Graphen von f am PunktQE ;Gf , x-Achse und Strecke [PQE ] begrenzeneine Fläche

13© Weise die Orthogonalität zwischender Tangente t und der Strecke [PQE ]nach;14© Berechne den Flächeninhalt

2 a)AFB II, II,II, II

Graph einer gebrochen-rationalen Funkti-on Gg mit drei, im Text erwähnten, Eigen-schaften: Polstelle ohne Vorzeichenwechsel,Nullstelle, Asymptote

15© Bestimme die Steigung im Punktx = −1 näherungsweise; 16© Zeichne dasVorgehen ins Koordinatensystem; 17© Be-stimme lim

x→∞g′(x) lim

x→−∞g′(x) mit Hilfe

der Asymptote; 18© Skizziere g′

2 b)AFB II, I

Drei Funktionsgleichungen von g mit Pa-rameter a; Hinweis, dass Gleichung I undII falsch sind

19© Begründe, weshalb I und II nicht inFrage kommen;20© Berechne den Parameter a

2 c)AFB II, II,I

s.o.h(x) = ln(g(x))

21© Bestimme die Definitionsmenge Dh;22© Untersuche das Verhalten von h anden Rändern von Dh; 23© Bestimme nä-herungsweise die Nullstelle von h

26

4.1 Abitur 2011

Teil 1 besteht aus insgesamt sieben Aufgaben, wobei sechs davon im Anforderungs-bereich I anzusiedeln sind, da hier lediglich mathematische Fertigkeiten überprüftwerden. Die 6. Aufgabe erfordert zwar die Fähigkeit, einen Zusammenhang zwischender Winkelfunktion und der graphischen Darstellung in einem Koordinatensystemherzustellen, jedoch ist nur die Anfertigung einer Skizze verlangt und keinerlei weitereBegründungen.In Aufgabe 3 müssen die Schüler den Zusammenhang zwischen einem gegebenen Textund der Funktion herstellen, um dann die gesuchten Parameter bestimmen zu können.Die Schwierigkeit ist bei den meisten Aufgaben aufgrund der Verwendung eines Ta-schenrechners als sehr gering anzusehen.Aufgabe 10 wird deshalb dem AFB III zugeordnet, da die Schüler hier den Satz desPythagoras als Vorkenntnis benötigen, um die gesuchte Funktion d bestimmen zukönnen. Des Weiteren sollten sie in Aufgabe 11 erkennen, dass man zur Bestimmungdes Minimums nur den Radikanden betrachten muss.13

Aufgabe 15 und 16 verlangen die näherungsweise graphische Berechnung der lokalenSteigung anhand eines Steigungsdreiecks, wobei die Hypotenuse ein Streckenabschnittder eingezeichnete Tangente im zu untersuchenden Punkt ist.Die Angabe einer Definitionsmenge ist im Allgemeinen vom Anforderungsbereich I.Aufgabe 21 erfordert jedoch eine Vereinigung zweier Mengen, weshalb diese dem AFBII zugeordnet wurde.Eine weitere Besonderheit ist die Aufgabe 22, in welcher der Grenzwert der Ränder be-trachtet werden muss. Dies wurde bewusst nicht auf einzelne Teilaufgaben aufgeteilt, dadurch die Aufgabenstellung klar ist, dass alle Ränder untersucht werden müssen. Aus die-sem Grund steigt jedoch der Umfang, weswegen diese Aufgabe ebenfalls vom AFB II ist.

Besondere Schwierigkeiten weist dieses Abitur jedoch nicht auf, wie man auch ander Verteilung der Anforderungsbereiche erkennen kann. Die Inhalte, die abgefragt wer-den, sind durchaus beachtlich, jedoch sind die Aufgaben oft beiläufig im Text erwähnt,nach dem Motto: „Was könnte man die Schüler an dieser Stelle noch fragen?“. Dieshat nicht den Charakter einer zusammenhängenden Aufgabe, sondern einer „schnellenkurzen Überprüfung“ von Wissen.

Insgesamt besteht das Abitur aus 23 Aufgaben, welche den folgenden acht Themenin-halten zugeordnet werden können:

13Gedanklich stellt man sich den Graphen der quadratische Funktion vor. d verringert jeden Funkti-onswert, somit bleibt das Minimum an der gleichen x-Koordinate: y1 ≤ y2 ⇒ d(y1) ≤ d(y2) mity1, y2 ≥ 0

27


Definitionsbereich & Wertebereich: 1, 8, 21Differential: 2, 3, 11, 15Berechnung: 4, 5, 20Rekonstruktion: 4, 5Wechsel der Darstellungsform: 6, 12, 16, 18, 19, 23Integration: 7, 14Math. Begründungen und Nachweise: 9, 10, 13, 17, 19Grenzwertbetrachtung: 17, 22

Manche Aufgaben lassen sich nicht immer eindeutig zuordnen. So verlangt Aufgabe 23eine näherungsweise Angabe der Nullstelle. Dies kann zum einen durch Rechnung ge-schehen, zum anderen anhand des gegebenen Graphen mathematisch begründet werden.Dies beinhaltet insgesamt die drei Themeninhalte Berechnung, math. Begründungenund Nachweise und Wechsel der Darstellungsform. Von den drei Themeninhalten wur-de die Aufgabe in Wechsel der Darstellungsform eingeordnet, da sich die Gleichungmit Mitteln, welche den Schülern zur Verfügung stehen, nicht mathematisch nach xauflösen lässt, weshalb sie nicht der Berechnung zugeordnet wurde. Da lediglich eineNullstelle angegeben werden soll, der Vorgang jedoch nicht weiter ausgeführt werdenmuss, handelt es sich auch nicht um eine math. Begründung bzw. Nachweis.

Es ergibt sich folgende Verteilung der Aufgaben auf die drei Anforderungsbereiche:Anforderungsbereich Anzahl der Aufgaben

AFB I 12AFB II 10AFB III 1

Bayern: Aufgabengruppe II


1AFB I, I

quadratische Funktion: f(x) = 4− x2 1© Skizziere den Graphen;2© Berechne den Flächeninhalt zwischenden beiden Nullstellen

2AFB I, I

Wurzelfunktion: f(x) = 3√x;

F (1) = 43© Bestimme die Definitionsmenge;4© Rekonstruiere eine bestimmteStammfunktion

3 a), b), c)AFB I, I, I,I

Verkettung einer gebrochen-rationalenFunktion und einer Winkelfunktion:f(x) = sin x

x2

5© Bestimme alle Nullstellen;6© Untersuche das Symmetrieverhalten;7© Bestimme lim

x→∞f(x);

8© Bestimme f ′

4AFB II

Informationen über Polstelle, Definitions-menge und Asymptote

9© Rekonstruiere eine gebrochen-rationale Funktion

28

4.1 Abitur 2011

Auch hier ist - analog zur Aufgabengruppe I - erstaunlich, wie viele verschiedeneFunktionstypen bereits in Teil 1 abgefragt werden. Da diese Funktionen jedoch kaumnäher untersucht werden, ist die Schwierigkeit als sehr niedrig anzusehen. Lediglichbei der 5. Aufgabe ist die Periodizität der Sinusfunktion zu beachten. Bei Aufgabe 9ist der Taschenrechner keine große Hilfe, da die Schüler hier zu gegebenem Text einenFunktionsterm rekonstruieren müssen, weshalb diese dem AFB II zugeordnet wird.


1 a), b)AFB I, I,II, I, I, II

Exponentialfunktion: f(x) = 6 ·e−0,5x+x;Kontrollergebnis: x-Koordinate des Ex-trempunktes;Kontrollergebnis: f ′′(x)

10© Untersuche das Monotonieverhalten;11© Untersuche das Krümmungsverhal-ten; 12© Bestimme Art des Extrempunk-tes; 13© Bestimme Lage des Extrempunk-tes; 14© Bestimme lim

x→−∞f(x);

15© Erläutere für limx→∞

f(x), dass y = x

die schiefe Asymptote von Gf ist

1 c)AFB II, II

s.o.Punkt (0|6)

16© Bestimme die Tangentengleichung andiesem Punkt;17© Skizziere Graphen von f

2 a)AFB II

Exponentialfunktion h(x) = 6·e−0,5x+1, 5;Graph von h und Graph der Asymptotey = 1, 5

18© Beschreibe, wie Gh aus dem Graphenvon ex hervorgeht

2 b), c)AFB III,II, II, III

Text: x-Achse ist Zeit in Minuten;h(x) ist momentane Schadstoffausstoßratein Milligramm pro Minute

19© Deute das Monotonieverhalten;20© Deute den Grenzwert lim

x→∞h(x);

21© Berechne das bestimmte Integral;22© Interpretiere das Ergebnis

3 a), b)AFB II, II,I, I

Funktionenschar: fa(x) = 6 · e−0,5x + ax;a > 0

23© Weise die Unabhängigkeit von a mitdem Schnittpunkt der y-Achse nach; 24©Weise für alle fa streng monoton fallendnach; 25© Weise lim

x→∞fa(x) = −∞ nach;

26© Wende das Newton-Verfahren an

Aufgabe 4 findet sich in zwei Bereichen wieder, da zum einen erst eine Stammfunktiongebildet werden muss und zum anderen die Konstante gezielt gewählt werden muss.Durch Aufgaben wie 10 und 11 werden die Bedeutungen der Ableitungen angesprochen.Die Schüler müssen hierfür wissen, dass die zweite Ableitung die Krümmung von fangibt.In Aufgabe 15 wird eine Begründung im Sinne von: „Für große x verhält sich f(x) wiey = x“ erwartet, was über die eigentliche Grenzwertbetrachtung hinaus geht.Aufgabe 17 verlangt die Skizze eines Graphen anhand eines Extrempunktes, einerTangente, dem Monotonieverhalten und einer Asymptote, was ein erhöhter Schwierig-keitsgrad ist als Punkte einzuzeichnen und diese zu verbinden.Die Aufgaben 19-22 sind Transferaufgaben, weshalb hier der AFB III gerechtfertigt

29


ist. Den Schülern wird ein Sachkontext vorgestellt, anhand dessen sie mathematischeAussagen tätigen und deuten müssen. Der Fokus dieser Aufgaben liegt eindeutig immathematischen Begründen.Aufgabe 24 erfordert die Betrachtung der ersten Ableitung. Den Schülern muss bewusstsein, dass diese die Steigung des Graphen angibt und sich somit stets unterhalb derx-Achse befinden muss, um den Nachweis einer monoton fallende Funktion zu erfüllen.

Definitionsbereich & Wertebereich: 3Differential: 8, 10, 11, 12Berechnung: 4, 5, 23Symmetrie: 6Rekonstruktion: 4, 9, 16Wechsel der Darstellungsform: 1, 17Integration: 2, 4, 21Math. Begründungen und Nachweise: 15, 18, 19, 20, 22, 24Grenzwertbetrachtung: 7, 14, 25Newton-Verfahren: 26

Zusammenfassend ist dieses Abitur schwieriger als das von Aufgabengruppe I. Sowurden sowohl mehr Themeninhalte abgeprüft, als auch der Schwerpunkt auf mathe-matische Begründungen gelegt.Insgesamt tauchten in diesem Abitur folgende Funktionstypen auf: Polynomfunktion,Wurzelfunktion, Winkelfunktion, gebrochen-rationale Funktion, Exponentialfunktion,Logarithmusfunktion und sogar eine Funktionenschar.



30

4.1 Abitur 2011

Berlin: Aufgabe 1.1

Aufgabe Gegeben Aufgabenstellung

a), b)AFB I, I, I,II

Produkt einer linearen Funktion und einerExponentialfunktion:f(x) = −(4x+ 80) · e− 1

20x + 80;Kontrollergebnis: f ′(x)

1© Untersuche f auf Extremstellen;2© Bestimme die Koordinaten des ein-zigen Wendepunktes; 3© Bestimmelimx→∞

f(x); 4© Zeichne f und dessenwaagrechte Asymptote in das vorgege-bene Koordinatensystem ein

c)AFB II, I,I

s.o.x ist Zeit in Sekunden; v = f(x) = m

s ;Beschleunigung a ist f ′(x)

5© Bestimme die maximale Beschleuni-gung nur mit notwendigem Kriterium;6© Berechne mindestens drei Funktions-werte; 7© Zeichne f ′ in vorgegebenesKoordinatensystem

d)AFB III, I,I

s.o.Text: Abnahme der Beschleunigung ist abx = 40 linear;Kontrollergebnis: g(x)

8© Bestimme die lineare Funktion g(x);9© Berechne Nullstelle von g(x);

10© Zeichne g in vorgegebenes Koordina-tensystem

e)AFB II, II

s.o.Text: Flächeninhalt von f ′(x) ist Ge-schwindigkeit

11© Berechne den Flächeninhalt;12© Gib die Geschwindigkeit in km

h an

Aufgabe 4 wurde nicht in zwei unterschiedliche Aufgaben aufgeteilt, da durch dieGrenzwertbetrachtung der vorherigen Aufgabe, die Gleichung der Asymptote bestimmtwurde. Aus diesem Grund wurde die Einzeichnung der beiden Funktionen zusammen-gefasst.

Das Aufstellen einer Tangente - in Aufgabe 8 gefordert - ist im Allgemeinen demAnforderungsbereich II zuzuordnen. In diesem Fall war zusätzlich zu einem Sachkontextgefordert, die Tangente einer Ableitungsfunktion aufzustellen. Das bedeutet für dieSchüler zu differenzieren, welche Funktionsgleichung die Steigung der Tangente liefertund welche man benötigt, um das konstante Glied auszurechnen.Auch wenn es als Hilfestellung gedacht ist, könnte manche Schüler der Ausdruck hinrei-chendes und notwendiges Kriterium verwirren. In Aufgabe 2 sowie in Aufgabe 5 wurdejeweils einer dieser Begriffe verwendet.Vorkenntnisse zum Lösen der Aufgaben werden lediglich in Aufgabe 12 benötigt. Hiermuss den Schülern der Umrechnungsfaktor von m

sauf km

hbekannt sein, bzw. müssen

sie in der Lage sein, diesen herzuleiten. In den insgesamt 12 Aufgaben betrachtet manlediglich zwei Funktionstypen: Polynomfunktion und Exponentialfunktion.

Diese Aufgaben erstrecken sich über folgende Themeninhalte:

31


Differential: 1, 2, 5Berechnung: 6, 9, 12Rekonstruktion: 8Wechsel der Darstellungsform: 4, 7, 10Integration: 11Grenzwertbetrachtung: 3



Berlin: Aufgabe 1.2


a)AFB I, I, I,I, I

Funktionenschar: fa(x) = ax+ 1ax−1 ;

a 6= 0;Graphen von f1, f2, f 1

5ohne Beschriftung

1© Bestimme den Definitionsbereich vonfa; 2©; Bestimme die Gleichung allerAsymptoten von fa 3© Bestimme allePolgeraden von fa; 4© Ordne den Gra-phen ihren Parameter zu;5© Begründe diese Zuordnung

b)AFB I, II,II, I, III

s.o.E(0|fa(0)) ist lok. Extrempunkt aller Gaf ′a(a− a

(ax−1)2 );Zweiter Extrempunkt ist ein Tiefpunkt;Kontrollergebnis: T ( 2

a |3)

6© Weise Extrempunkt E für alle Ganach; 7© Bestimme dessen Art; 8© Be-stimme die Koordinaten des zweitenExtremas; 9© Zeige, dass dies ein Tief-punkt ist; 10© Bestimme solche a, sodassd(E;T ) =

√17 ist

c)AFB II, II

s.o.Ursprungsgerade: g(x) = bx und Tangentet im Tiefpunkt G2 schließen einen Winkelein;y-Achse, t und y = x begrenzen ein Drei-eck

11© Bestimme b, sodass der Winkel 45◦ergibt;12© Berechne den Flächeninhalt des Drei-ecks

d)AFB III

s.o.Text und Bild einer Fläche

13© Berechne den Flächeninhalt

e)AFB III

s.o.Text: Ein Kassenhäuschen soll ein Dachbekommen, welches ein parabelförmigenQuerschnitt hat

14© Ermittle die Funktionsgleichung desDaches

Da insgesamt drei Aufgaben vom Anforderungsbereich III sind, möchte ich meineKlassifizierung näher ausführen.

32

4.1 Abitur 2011

Eine Möglichkeit, Aufgabe 10 zu lösen, ist die Anwendung des Satzes des Pytha-goras. Hierfür benötigen die Schüler Vorkenntnisse zur Lösung des Problems.Aufgabe 13 verlangt von den Schülern einen gewissen Kniff zur Lösung. Und zwar mussihnen bewusst sein, dass sie das Argument des Integrals - welches einer Logarithmus-funktion übergeben wird - in Betragsstriche setzen, da sie sonst eine negative Zahl alsArgument hätten. Ohne diesen Eingriff ist diese Aufgabe nicht lösbar.In Aufgabe 14 müssen sich die Schüler in einem relativ langen Text zurechtfinden unddiesen verstehen. Mit einer Skizze hätte man den eigentlichen Aufgabenzweck nichtwesentlich vereinfacht und doch könnte sie für den ein oder anderen Schüler hilfreichsein. Eine weitere Schwierigkeit ist, das Verhältnis des Streck- und Stauchfaktors mitdem konstanten Glied zu ermitteln, damit nach Einsetzung der Grenzen im Hauptsatzder Differential- und Integralrechnung die Gleichung rekonstruiert werden kann.

Die Aufgaben werden auf folgende sieben Themeninhalte verteilt:Definitionsbereich & Wertebereich: 1Differential: 7, 8, 9Berechnung: 12Rekonstruktion: 2, 3, 11, 14Wechsel der Darstellungsform: 4Integration: 13, 14Math. Begründungen und Nachweise: 5, 6, 10



33



Teil Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFB1 1 a), b) 1©; 2©; 3©; 4© I, I, I, I1 2 a), b) 5©; 6© I, I1 3 a), b) 7©; 8©; 9© II, I, II1 4 10© II2 1 a), b), c) 11©; 12©; 13©; 14©; 15© I, I, II, II, II2 1 d), e), f) 16©; 17©; 18©; 19©; 20©; 21© II, III, II, I, I, II2 2 a), b), c) 22©; 23©; 24©; 25©; 26©; II, I, I, III, III2 2 d), e), f) 27©; 28©; 29© III, III, II

In Aufgabe 7 soll zwar nicht begründet werden, jedoch sollen bei f(x) = sin(2x)zwei benachbarte Nullstellen angegeben werden. Den Schülern muss bewusst sein, wasdieser Parameter bewirkt, um anschließend zwei Nullstellen nennen zu können. Deshalbfindet sich diese Aufgabe im Inhalt Begründen wieder.Aufgabe 17 weist keine Schwierigkeiten im Verständnis, sondern in der Durchführungauf. Die Schüler müssen folgende Funktion integrieren: f(x) = 2ex

ex+9 , was sich alsrelativ einfach erweist, wenn man erkennt, dass der Zähler annähernd die Ableitungdes Nenners ergibt. Ohne diese Erkenntnis grenzt es an einen Akt der Unmöglichkeit,die Stammfunktion zu bilden, da man durch „Probieren, die Ableitung zu bilden undschauen was man nun wegkürzen muss“ zwar relativ einfach Exponentialfunktionenintegrieren kann, jedoch keine gebrochen-rationalen Exponentialfunktionen.Aufgabe 25 und 26 spielen auf die Bedeutung der Funktion und deren Ableitung an. Esist verlangt, den Zeitpunkt aus dem Graphen mit dem größten Wachstum abzulesen- in dem Fall der Wendepunkt - und anschließend die maximale Wachstumsrate zubestimmen. Anschließend soll das Ergebnis von Meter

Monatin Zentimeter

T agumgerechnet werden.

Definitionsbereich & Wertebereich: 1, 3, 19, 20Differential: 2, 4, 15, 26Berechnung: 11, 12, 22, 23, 27, 29Rekonstruktion: 5, 6Wechsel der Darstellungsform: 10, 21, 25Integration: 8, 17Math. Begründungen und Nachweise: 7, 9, 18, 24, 27, 28Grenzwertbetrachtung: 13, 14



34

4.2 Abitur 2012


Teil Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFB1 1 1©; 2© I, I1 2 a), b) 3©; 4©; 5© II, I, I1 3 a), b) 6©; 7© I, II1 4 a), b) 8©; 9©; 10© III, II, I2 1 a), b), c) 11©; 12©; 13©; 14©; 15© II, I, II, I, II2 1 d), e), f) 16©; 17©; 18©; 19© II, I, II, III2 2 a), b) 20©; 21©; 22©; 23©; 24© I, I, III, II, III,2 2 c) 25©; 26©; 27©; 28© I, I, II, III

Die 8. Aufgabe erwartet eine Begründung, weshalb jede Integralfunktion mindestenseine Nullstelle besitzt. Solch eine Aufgabe geht weit über das Reproduzieren hinausund aufgrund der Komplexität wurde es in den Anforderungsbereich III klassifiziert.Des Weiteren sollen die Schüler in der nächsten Aufgabe eine Funktion f bestimmen,dessen Integralfunktion mit den Grenzen −1 und x genau zwei Nullstellen besitzt.In Aufgabe 11 wird die Modellierung einer quadratischen Funktion durch drei ge-gebene Punkte gefordert. Eine Parabel lässt sich durch ihre drei möglichen Formen(Normalform, Scheitelpunktsform, Nullstellenform14) darstellen. Während bei der Schei-telpunktsform sowie der Nullstellenform der Rechenaufwand gering ist, ist es ebenfallsmöglich, durch das Aufstellen eines linearen Gleichungssystems die drei Parameter zuberechnen und somit die Normalform zu bestimmen.Aufgabe 19 erfordert zur Lösung des Problems eine geeignete, kommentierte Vorge-hensweise. Zusätzlich sollen hierfür Verhältnisse zweier Flächen bestimmt werden. Ausdiesem Grund findet sich diese Aufgabe in drei Themeninhalte wieder.In den Aufgaben 20 bis 28 wurde der Fokus auf die Bedeutung der Ableitungsfunktio-nen in einem Sachzusammenhang gelegt. Hochpunkte, Wendepunkte, Flächeninhaltemussten bestimmt und im Kontext interpretiert werden.

Definitionsbereich & Wertebereich: 1Differential: 3, 13, 16, 25, 26, 28Berechnung: 2, 10, 17, 19, 23Symmetrie: 12Rekonstruktion: 7, 9, 11Wechsel der Darstellungsform: 14, 20, 21, 27Integration: 18, 19Math. Begründungen und Nachweise: 6, 8, 15, 19, 22, 24, 28Grenzwertbetrachtung: 4, 5, 28

Es ergibt sich folgende Verteilung der Aufgaben auf die drei Anforderungsbereiche:

14Auch bekannt unter dem Namen Faktorisierte Form oder Produktform.

35


Anforderungsbereich Anzahl der AufgabenAFB I 13AFB II 10AFB III 5

Berlin: Aufgabe 1.1

Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFBa) 1©; 2©; 3© I, I, IIb) 4©; 5©; 6©; 7© II, I, I, IIc) 8©; 9© II, IId) 10©; 11© I, Ie) 12©; 13© I, IIIf) 14© III

In Aufgabe 3 muss durch eine Polynomdivision die mögliche schiefe Asymptote be-rechnet werden. Anschließend muss durch eine Grenzwertbetrachtung des Summanden,welcher ein Quotient ist, gebildet aus dem Rest der Division und dem ursprünglichenNenner, nachgewiesen werden, dass dieser für x→∞ und x→ −∞ gegen 0 konvergiert.Dieser Umfang der Rekonstruktion und des Nachweises der Asymptote rechtfertigt dieKlassifizierung als Aufgabengruppe II.Aufgabe 13 erfordert eine Flächenberechnung zwischen zwei Funktionen mit einerunbekannten obereren Grenze. Nachdem das Integral gebildet wurde und die Grenzeneingesetzt wurden, muss noch der Grenzwert dieses Terms betrachtet werden. Konver-giert dieser für x→∞ ebenfalls nach ∞, so bedeutet dies, dass die Fläche unendlichgroß ist.Um Aufgabe 14 lösen zu können, wird eine Modellierung der beschriebenen Situationgefordert. Hierfür müssen die Schüler eine Polynomfunktion von möglichst kleinemGrad angeben, bei der sich die Parameter durch das Aufstellen und Lösen eines linearenGleichungssystems ermitteln lassen.

Definitionsbereich & Wertebereich: 1Differential: 4Berechnung: 3, 5, 12Rekonstruktion: 3, 7, 14Wechsel der Darstellungsform: 8, 10, 11Integration: 13Math. Begründungen und Nachweise: 2, 6, 9, 13Grenzwertbetrachtung: 3, 13



36

4.2 Abitur 2012

Berlin: Aufgabe 1.2

Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFBa) 1©; 2©; 3© I, I, IIb) 4©; 5©; 6© II, II, IIc) 7©; 8© II, IId) 9©; 10© II, IIe) 11© III

In der 3. Aufgabe muss mit Hilfe des Satzes des Pythagoras eine gesuchte Streckenlängein Abhängigkeit von a berechnet werden. Hierfür müssen die Schüler zunächst dieAchsenabschnittspunkte bestimmen, um anschließend die Hypotenuse berechnen zukönnen.Aufgabe 8 verlangt die Berechnung des Schnittwinkels des Graphen. Generell ist solcheine Aufgabe eine einfache Reproduktion, jedoch müssen die Schüler in diesem Fall denWinkel, welcher mit der positiven Richtung der x-Achse eingeschlossen wird, bestimmen.Das bedeutet in diesem Fall, dass der Nebenwinkel gesucht ist.Nachdem die Schüler die Aufgabenstellung aus Aufgabe 11 verstanden haben, müs-sen sie zur Lösung dieser, die Stammfunktion von fa(x) = (a − x) · e

xa bestimmen.

Um dieses Integral bilden zu können, benötigen sie die Fertigkeit, partiell zu integrieren.

Differential: 4, 5, 7Berechnung: 3, 8Rekonstruktion: 9, 10Wechsel der Darstellungsform: 6Integration: 11Grenzwertbetrachtung: 1, 2



Die überwiegende Mehrheit der Aufgaben weist keinerlei größere Fallstricke auf, jedochbenötigt man zur Lösung dieser oft mathematische Zusammenhänge, weshalb die An-zahl der Aufgaben mit AFB II im Verhältnis zu denen mit ABF I so hoch ausfällt. Umeine Ortskurve aufstellen zu können, benötigt man mehrere Schritte, ebenso, um dieGleichung einer Wendetangente anzugeben.

37



Teil Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFB1 1 a), b) 1©; 2©; 3© I, I, II1 2 a), b) 4©; 5© I, I1 3 6© II1 4 7© II2 1 a), b), c) 8©; 9©; 10©; 11©; 12©; 13©; 14© I, I, II, I, I, I, I2 1 d), e) 15©; 16©; 17©; 18©; 19©; 20© II, I, II, II, I, II2 2 a), b), c) 21©; 22©; 23©; 24©; 25©; 26© II, II, II, II, II, III2 3 a), b), c) 27©; 28©; 29©; 30©; 31© II, I, III, III, III

In Aufgabe 5 muss der Term einer in ganz R definierten Funktion angegeben werden,welcher die Wertemenge [-2;2] besitzt. Diese Aufgabe spielt somit auf die Winkelfunk-tionen an.In Aufgabe 26 ist eine Begründung mit Anfertigung einer Skizze gefordert, welche zeigt,dass

∫ 30(f(x) + c) dx =

∫ 30 f(x) dx+ 3c gilt, für c > 0.

Aufgabe 31 fragt die Schüler nach einer Möglichkeit, rechnerisch nachzuweisen, dasseine Funktion ab einem gewissen Zeitpunkt stetig abnimmt. Man könnte also über dieMonotonie einer Funktion mit Betrachtung des Grenzwertes und unter Berücksichtigungvon Extrema argumentieren.

Definitionsbereich & Wertebereich: 1, 4, 5Differential: 10, 12, 13, 31Berechnung: 2, 6, 11, 14, 18, 23, 24, 25Symmetrie: 8Rekonstruktion: 3, 4, 5Wechsel der Darstellungsform: 7, 17, 19, 26, 27, 28, 30Integration: 15, 20Math. Begründungen und Nachweise: 21, 22, 26, 29, 31Grenzwertbetrachtung: 9, 16



38

4.3 Abitur 2013


Teil Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFB1 1 1©; 2©; 3© I, I, I1 2 4©; 5© I, II1 3 a), b) 6©; 7© II, II1 4 a), b) 8©; 9©; 10©; 11© II, II, II, II2 1 a), b) 12©; 13©; 14©; 15©; 16© I, I, I, II, I2 2 a), b) 17©; 18©; 19©; 20©; 21© II, I, II, II, II2 3 a), b), c) 22©; 23©; 24©; 25©; 26©; 27©; 28© I, I, III, II, III, II, II

Aufgabe 7 verlangt die einmalige Ausführung des Newton-Verfahrens. Da es sich indiesem Fall um eine Differenzfunktion handelt sowie die Ableitung noch bestimmtwerden muss, ist diese Aufgabe vom AFB II.Für die Aufgaben 8-11 ist der Graph einer Funktion gegeben, angegeben wird jedochdessen Integralfunktion: F (x) =

∫ x0 f(t) dt. Anhand der Abbildung und mit Kenntnis-

sen über Integralfunktionen sowie der Flächeninhaltsformel eines Kreises, sollen F (0),F (2) und F (−2) bestimmt werden. Dieser Zusammenhang zwischen Abbildung undIntegralfunktion klassifiziert diese Aufgaben für den AFB II.

Definitionsbereich & Wertebereich: 1Differential: 4, 5, 15Berechnung: 3, 13, 16, 22, 23, 28Symmetrie: 18Rekonstruktion: 12, 17Wechsel der Darstellungsform: 6, 8, 9, 10, 11, 14, 21, 25, 27Integration: 8, 9, 10, 19Math. Begründungen und Nachweise: 19, 20, 24, 25, 26Grenzwertbetrachtung: 2Newton-Verfahren: 7



39


Berlin: Aufgabe 1.1

Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFBa) 1©; 2©; 3© I, I, Ib) 4©; 5©; 6©; 7©; 8© II, II, I, I, Ic) 9©; 10© III, IId) 11©; 12© III, IIe) 13© II

Da in Aufgabe 9 die Stammfunktion mittels partieller Integration ermittelt werdenmuss, ist sie dem AFB III zuzuordnen.Aufgabe 11 erfordert eine Mathematisierung des Problems. Hierfür müssen die Schülerden Sachkontext mathematisch in eine Abbildung übertragen. Anschließend solltensie zu der Erkenntnis gelangen, dass sich eine gesuchte Fläche der beiden Teilflächenmit Hilfe von Aufgabe 10 durch Flächenstückelung bestimmen lässt. Es muss nochdie Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks addiert und der Anteil dieser Fläche zurGesamtfläche berechnet werden.In Aufgabe 13 ist zwar „lediglich“ ein Schnittpunkt gefordert, jedoch muss zur dessenBestimmung die Gleichung einer Tangente rekonstruiert werden.

Definitionsbereich & Wertebereich: 1Differential: 4, 5Berechnung: 2, 7, 12, 13Rekonstruktion: 13Wechsel der Darstellungsform: 6, 8Integration: 9, 10, 11Grenzwertbetrachtung: 3



40

4.3 Abitur 2013

Berlin: Aufgabe 1.2

Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFBa) 1©; 2©; 3© II, I, Ib) 4©; 5©; 6©; 7© II, II, I, IIc) 8©; 9© I, IId) 10©; 11©; 12© II, III, IIe) 13©; 14©; 15© II, II, II

Aufgabe 1 erfordert die Berechnung der Achsenabschnittspunkte, obwohl der Graphausschließlich die y-Achse schneidet. Die Schüler werden also gezielt aufs „Glatteis“geführt und versuchen eventuell, auch mit Hilfe des Logarithmuses, die Gleichungea(x−3) = −ea(3−x) in Abhängigkeit von a zu lösen.In Aufgabe 9 sollen die Schüler die Exponentialfunktion durch eine Polynomfunktionzweiten Grades annähern. Da drei Punkte gegeben sind, existieren zwei Möglichkeiten,diese Funktion zu bestimmen. Zum einen über die Scheitelpunktsform und zum anderenüber ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen.Um den Schnittwinkel zu berechnen, bestimmen die Schüler zunächst die Steigungder Tangente, um anschließend im Steigungsdreieck mit der Winkelfunktion Tangensden dazugehörigen Winkel zu ermitteln. In Aufgabe 11 ist dieses Vorgehen zunächstidentisch mit ihrer gelernten Routine, jedoch müssen sie den Betrag ihres Ergebnissesvon 90◦ abziehen, da der „untere“ Schnittwinkel gesucht ist.Der Nachweis einer Symmetrie ist im Allgemeinen vom Anforderungsbereich I. Handeltes sich jedoch um eine verschobene Funktion, so muss für dessen Nachweis die Funk-tion zunächst in die gewünschte Postion verschoben werden. Dies ist bei Aufgabe 15gefordert.

Differential: 4, 5Berechnung: 1, 6, 10, 11Rekonstruktion: 9Symmetrie: 15Wechsel der Darstellungsform: 8, 13, 14Integration: 12Math. Begründungen und Nachweise: 4, 7Grenzwertbetrachtung: 2, 3



41



Prüfungsteil AAufgabe Gegeben Aufgabenstellung

1AFB II, I

Quotient mit einer Logarithmusfunktion:f(x) = x

ln x

1© Bestimme Art des Extrempunktes2© Bestimme Lage des Extrempunktes

2 a), b)AFB I, I, I

Exponentialfunktion: f(x) = ex ·(2x+x2);F (x) = x2 · ex; P (1|2e)

3© Bestimme die Nullstellen von f ; 4©Zeige, dass F eine Stammfunktion ist; 5©Gib die Gleichung einer weiteren Stamm-funktion an, welche den Punkt P enthält

3 a), b)AFB I, I,II

Winkelfunktion: ga,c(x) = sin(ax) + c;a, c ≥ 0

6© Bestimme a, c so, dass ga,c die Wer-temenge [0;2] besitzt; 7© Bestimme a, cso, dass ga,c im Intervall [0;π] genaudrei Nullstellen besitzt; 8© Ermittle inAbhängigkeit von a, welche Werte dieAbleitung von ga,c annehmen kann

4 a), b)AFB I, II

Abbildung mit einem Graphen der Funk-tion f ; eingezeichnetes Intervall [a; b]

9© Beschreibe für a ≤ x ≤ b den Verlaufvon F ; 10© Skizziere F in die Abbildung

Prüfungsteil BAufgabe Gegeben Aufgabenstellung

1 a), b), c),d)AFB I, I, I,I, I, I, II, I,I, I, II

Wurzelfunktion: f(x) = 2−√

12− 2x;Definitionsmenge: [−∞; 6];Kontrollergebnis: f ′(x) = 1√

12−2x

11© Bestimme die Achsenabschnittspunk-te; 12© Bestimme lim

x→−∞f(x); 13© Bestim-

me f(6); 14© Bestimme f ′(x); 15© Bestim-me Definitionsmenge von f ′(x); 16© Be-stimme lim

x→6f ′(x); 17© Begründe, welche

Eigenschaft von Gf aus diesem Ergebnisfolgt; 18© Untersuche das Monotoniever-halten von Gf ; 19© Bestimme die Werte-menge von f ; 20© Bestimme f(−2); 21©Skizziere Gf in ein Koordinatensystem

1 e)AFB I, I

Funktion f ist umkehrbar;f−1(x) = − 1

2x2 + 2x+ 4

22© Bestimme die Definitionsmenge vonf−1; 23© Zeige, dass f−1 die Umkehrfunk-tion ist

2 a), b)AFB I, II,II

Gh ist Graph der Funktionh(x) = − 1

2x2 + 2x+ 4; f−1 aus e) ist Teil

dieser Parabel;Kontrollergebnis: x-Koordinaten derSchnittpunkte

24© Bestimme die Koordinaten derSchnittpunkte von Gh mit y = x;25© Skizziere Gh im Intervall [-2;4];26© Spiegle Gh an y = x

42

4.4 Abitur 2014

3 a), b), c)AFB II, I,II, II, III,III

s.o.1 LE =̂ 1 cm;k ist eine Funktion dritten GradesI: k(0) = h(0)II: k′(0) = h′(0)III: k(−2) = h(−2)IV: k′(−2) = 1, 5

27© Bestimme den Flächeninhalt, der vonGh und y = x eingeschlossen wird;28© Bestimme den doppelten Flächenin-halt; 29© Bestimme die Gleichung derTangente im Punkt (−2|h(−2));30© Berechne den Winkel an der Spitze;31© Begründe, dass die Gleichungen I-IIIsinnvoll sind; 32© Begründe, dass die Glei-chung IV die Spitze genauer darstellt

Bis auf die letzten drei Aufgaben weist dieses Abitur keinerlei größere Schwierigkeitenauf, da es sich überwiegend um kleinere Kalkülaufgaben handelt.Aufgabe 30 ist zwar ebenfalls eine Rechenaufgabe, bei der Schüler lediglich in die Formeleinsetzen könnten, jedoch besteht auch die Möglichkeit, diese Aufgabe mit Kenntnissenaus der Analytischen Geometrie zu lösen, indem man die Richtungsvektoren der beidenGeraden ermittelt und den Winkel mit Hilfe der Umkehrfunktion des Kosinus bestimmt.Die letzten beiden Aufgaben können nur mit dem Wissen über die Aussagekraft dergegebenen Gleichungen gelöst werden. Der nahtlose Übergang, die „Knickfreiheit“ undder Schnittpunkt mit der gespiegelten Funktion wären eine Argumentationsmöglichkeit.Die letzte Gleichung, welche einen kleineren Schnittwinkel bewirkt, modelliert das Blattbesser.

32 Aufgaben verteilt auf acht Themeninhalte:Definitionsbereich & Wertebereich: 8, 15, 19, 22Differential: 1, 4, 14, 18Berechnung: 2, 3, 11, 13, 20, 24, 28, 30Rekonstruktion: 5, 6, 7, 29Wechsel der Darstellungsform: 10, 21, 25, 26Integration: 27Math. Begründungen und Nachweise: 9, 17, 23, 31, 32Grenzwertbetrachtung: 12, 16

Während in diesem Abitur die Berechnung klar im Fokus steht, ist es bei einer Aufgaben-anzahl von 32 erstaunlich, dass Integration, also ein Stoffgebiet aus der SekundarstufeII, lediglich bei einer Aufgabe gefordert wurde.



43




1 a), b), c)AFB I, I, I

i) Spiegelung der Funktion f(x) = sin xan der y-Achse;ii) Funktion h hat den Wertebereich [1;3];iii) Funktion k besitzt die Periode π

1© Gib den Term einer periodischenFunktion mit Eigenschaft i) an; 2© Gibden Term einer periodischen Funktionmit Eigenschaft ii) an; 3© Gib den Termeiner periodischen Funktion mit Eigen-schaft iii) an

2 a), b)AFB I, I, I

Identisch zu Aufgabe 2 in Aufgabengruppe I Prüfungsteil A: 4©; 5©; 6©

3AFB I, II

g(x) besitzt im Intervall [-5;5] zwei Wen-depunkte;drei mögliche Abbildungen von g′′(x)

7© Entscheide, welcher der drei Grapheng′′(x) ist;8© Begründe deine Entscheidung

4AFB III

Abbildung eines Graphen Gf mitf(x) = − ln x; Rechtecke erfüllen folgendeEigenschaften: Zwei Seiten liegen auf denAchsen & ein Eckpunkt liegt auf f

9© Bestimme die Seitenlängen des Recht-ecks mit maximalen Flächeninhalt

5 a), b)AFB I, II

Identisch zu Aufgabe 4 in Aufgabengruppe I Prüfungsteil A: 10©; 11©

Aufgabe 7 zeigt zwei Graphen, welche im Intervall [-5;5] zwei Nullstellen besitzen.Jedoch sind es bei einem Graphen Berührpunkte, weshalb diese Stellen bei einer weite-ren Ableitung wieder 0 ergeben würden. Da dies aber der hinreichenden Bedingungwiderspricht, entspricht dieser Graph nicht g′′(x). Solch oder eine ähnliche Begründungwird von Schülern bei Aufgabe 8 erwartet.Aufgabe 9 ist eine sogenannte Extremalaufgabe, welche erstaunlicherweise im Prü-fungsteil A gestellt wurde. Das Aufstellen von Haupt- und Nebenbedingung, sowie daszugehörige Extremum zu berechnen, könnte den Schülern Zeit kosten.


1 a), b), c)AFB I, I, I,II, II, II, II

gebrochen-rationale Funktion:f(x) = 20x

x2−25 ;Abbildung eines Ausschnittes des GraphenGf ;Definitionsmenge: Df = R \ {−5; 5}

12© Zeige, dass Df die Definitionsmen-ge ist; 13© Zeige, Gf ist Punktsymme-trisch; 14© Bestimme die Nullstellen vonf ; 15© Bestimme die Gleichungen derdrei Asymptoten von Gf ; 16©Weise nach,dass die Steigung von Gf für alle x nega-tiv ist; 17© Bestimme den Schnittwinkelvon Gf und der x-Achse;18© Skizziere in die Abbildung den feh-lenden Teil von Gf

44

4.4 Abitur 2014

1 d)AFB II, II,II

f∗(x) = f(x) mit Definitionsbereich]5;∞[;f∗ ist umkehrbar

19© Begründe, dass f nicht umkehrbarist; 20© Begründe, dass f∗ umkehrbar ist;21© Skizziere den Graphen der Umkehr-funktion von f∗ in die Abbildung

1 e), f), g)AFB III, I,I

Gf , x-Achse, x = 10 und x = s mit s > 10schließen eine Fläche im Inhalt A(s) ein;Kontrollergebnis: A(s)

22© Bestimme A(s); 23© Ermittle s so, dassder Flächeninhalt 100 ist;24© Bestimme lim

s→∞A(s)

2 a), b), c),d), e)AFB I, I,III, III, I,III, II

x ist konstante Geschwindigkeit des Boo-tes in km

h mit x > 5;Wassergeschwindigkeit ist 5 km

h ;Hin- und Rückfahrt mit einem Boot dau-ert t(x) = 10

x+5 + 10x−5 Stunden;

Abbildung aus Aufgabe 1

25© Bestimme f(10) in Minuten; 26© Be-stimme f(20) in Minuten; 27© Begründe,dass der 1. Summand die Hinfahrt undder 2. Summand die Rückfahrt ist;28© Begründe, dass t(x) für 0 < x < 5nicht als Fahrzeit interpretiert werdenkann; 29© Zeige die Äquivalenz von f(x)und t(x); 30© Beschreibe mit Hilfe derAbbildung, wie sich bei einer Fahrtzeitzwischen 2 und 14 Stunden, näherungs-weise die Geschwindigkeit des Bootesbestimmen lässt; 31© Berechne die Ge-schwindigkeit für eine Fahrt von 4 Stun-den

Um die Monotonie, wie in Aufgabe 16 verlangt, zu untersuchen, wird die erste Ab-leitung der Funktion benötigt. Erstaunlicherweise wird in der Aufgabenstellung keinKontrollergebnis der Funktion f ′ angegeben, was dazu führen könnte, dass Schüler dieAufgabe fehlerhaft bearbeiten, obwohl ihre Vorgehensweise korrekt ist.Aufgabe 22 ist vom Anforderungsbereich III, da sie mehrere Gebiete in der Mathematikvernetzt. So ist dies eine Rekonstruktionsaufgabe in Abhängigkeit eines Parametersmit Verwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.Aufgabe 27 benötigt ein Verständnis des umfangreichen Textes. Hier muss die Strömungdes Flusses, sowie die Länge der zurückgelegten Strecke berücksichtigt und miteinanderin Beziehung gesetzt werden.

In diesem Abitur wurden 31 Aufgaben gestellt, welche sich auf folgende neun Themen-inhalte verteilen lassen:Definitionsbereich & Wertebereich: 12Differential: 5Berechnung: 4, 9, 14, 17, 23, 25, 26, 29, 31Symmetrie: 13Rekonstruktion: 1, 2, 3, 6, 15, 22Wechsel der Darstellungsform: 7, 11, 18, 21, 30Integration: 22Math. Begründungen und Nachweise: 8, 10, 16, 19, 20, 27, 28Grenzwertbetrachtung: 24

45


Zusammenfassend ist dieses Abitur schwieriger als das von Aufgabengruppe I. So ist dieabsolute Anzahl der zu bearbeitenden Aufgaben niedriger, jedoch ist die Schwierigkeitder Aufgaben als höher einzuschätzen, als bei dem vorherigen Abitur.Begründungsaufgaben sowie der Nachweis der Monotonie sind solche Aufgaben miterhöhter Schwierigkeit.Dies spiegelt sich ebenfalls in den Anforderungsbereichen wider. AFB III ist in diesemAbitur fünffach vertreten, während in dem anderen Abitur zwei Aufgaben von diesemTyp sind.



Berlin: Aufgabe 1.1


a), b)AFB I, I, I,II, II

Funktionsschar: fa(x) = (ax+ 1) · e−ax;Ga sind Graphen von fa

1© Bestimme die Nullstellen von fa;2© Bestimme a so, dass fa keine Nullstel-len hat; 3© Gib diese Funktionsgleichungan; 4© Bestimme für a 6= 0 lim

x→∞fa(x);

5© Bestimme für a 6= 0 limx→−∞

fa(x)

c)AFB I, II

Ga (a 6= 0) besitzt den lokalen Extrem-punkt E(0|1);f ′′(x) ist angegeben;Alle Wendepunkte liegen auf einer zur x-Achse parallelen Geraden g;Hinreichende Bedingung kann vernachläs-sigt werden

6© Weise den Extrempunkt E für alleGa nach;7© Bestimme die Funktionsgleichungg(x)

d)AFB I

Fa(x) = (−x− 2a ) · e−ax 8© Zeige, dass Fa eine Stammfunktion

von f ist

e)AFB II, II,II, II, II

Abbildung zeigt Graphen G2 und G−2;Text: Betrachte G2 und G−2 oberhalb derx-Achse. Diese Graphen werden an derx-Achse gespiegelt

9© Begründe, dass die abgebildeten Gra-phen G2 undG−2 sind; 10© Beschrifte dieGraphen in der Abbildung; 11© Bestimmedie gespiegelten Funktionsgleichungen;12© Zeichne die gespiegelten Graphen indie Abbildung;13© Berechne die schraffierte Fläche

f)AFB I, III

Text: Die gefärbte Fläche oberhalb derx-Achse soll durch p(x) = −bx2 + c mo-delliert werden; Der Flächeninhalt soll e-2betragen, das Maximum ist der Punkt E

14© Bestimme das konstante Glied vonp;15© Stelle eine Gleichung auf, um b zubestimmen

46

4.4 Abitur 2014

Einfache Grenzwertbetrachtungen gehören aufgrund der Verwendung von Taschen-rechnern zum Anforderungsbereich I. Aufgabe 4 bildet hierbei eine Ausnahme, da dieGrenzwerte in Abhängigkeit des Parameters a betrachtet werden sollen.Generell erwarten einem in diesem Abitur eher keine komplexen bzw. zeitaufwändigenAufgaben.Der einzigen Aufgabe, der man einen erhöhten Schwierigkeitsgrad zuweisen kann, istAufgabe 15. Hier muss eine Gleichung zur Bestimmung des Parameters b mit Hilfedes Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung und den Grenzen, welche nochabhängig vom gesuchten Parameter sind, aufgestellt werden. Aus diesem Grund istAufgabe 15 in drei Themeninhalten vertreten.

15 Aufgaben verteilen sich auf folgende sieben Themeninhalte:Differential: 6, 7, 8Berechnung: 1, 2, 15Rekonstruktion: 3, 7, 11, 14, 15Wechsel der Darstellungsform: 10, 12Integration: 13, 15Math. Begründungen und Nachweise: 9Grenzwertbetrachtung: 4, 5



Berlin: Aufgabe 1.2


a), b)AFB I, I,II, II

Funktionsschar: fa(x) = xx2+a ;

a ∈ R \ {0};Ga sind Graphen dieser Funktion; AlleGraphen schneiden sich in einem Punkt Sund besitzen eine gemeinsame Asymptote;Alle Graphen haben einen gemeinsamenWendepunkt;f ′a(x) ist gegeben; Hinreichende Bedin-gung wird nicht verlangt

1© Bestimme die Koordinaten von S;2© Bestimme die Gleichung der gemein-samen Asymptote;3© Ermittle, für welche reellen Zahlen adie Graphen Ga zwei senkrechte Asym-ptoten besitzen;4© Bestimme die Koordinaten des Wen-depunkts

c), d)AFB I, I, I,II

Graph G10 dient als Profillinie einer Stre-cke;G10 besitzt genau einen Hochpunkt undeinen Tiefpunkt

5© Bestimme die Koordinaten des Hoch-punkts; 6© Bestimme die Koordinatendes Tiefpunkts; 7© Berechne für G10 imIntervall [-3,5;3,5] die durchschnittlicheSteigung; 8© Berechne für G10 den Stei-gungswinkel im Ursprung

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e)AFB I, I,II

Skizze von f ′−3 9© Zeige, dass f ′−3 symmetrisch zur y-Achse ist; 10© Zeige, dass f ′−3(1) = −1ist; 11© Berechne die markierte Fläche

f)AFB III

Modellierung durch Polynom 4. Grades,welches gegebene Eigenschaften erfüllt

12© Stelle ein Gleichungssystem mit dreiGleichungen und drei Variablen auf

Wie in den anderen Abituren gesehen, sind manche Aufgaben nicht eindeutig inThemeninhalte einzuordnen. Asymptoten, wie in Aufgabe 2 und 3, sind hierfür eingutes Beispiel.Um Polasymptoten bestimmen zu können, muss der Definitionsbereich betrachtetwerden, wohingegen bei schiefen Asymptoten die Polynomdivision mit anschließenderBetrachtung des Grenzwertes gegen ±∞ durchgeführt werden muss. Trotzdem ist z.B.bei erstgenannten der Themeninhalt Definitionsbereich nicht vertreten. Der Grundhierfür besteht darin, dass es einen Unterschied macht, ob man nur die Definitionslückebetrachtet oder den gesamten Definitionsbereich angibt.Ähnlich bei schiefen Asymptoten, welche man in den Abituraufgaben ablesen kann,da sie als Summand in der Funktionsgleichung auftreten. Solche Asymptoten findensich deshalb auch nicht in der Grenzwertbetrachtung bzw. Berechnung wieder. Musseine angegebene Asymptote nachgewiesen werden, so findet sich solch eine Aufgabezusätzlich im Themenbereich Nachweise wieder.

Insgesamt wurden 12 Aufgaben gestellt, welche sich auf folgende fünf Themeninhalteverteilen:Differential: 4, 5, 6, 7Berechnung: 1, 3, 8, 10Symmetrie: 9Rekonstruktion: 2, 12Integration: 11

Grundlegende Unterschiede zu Aufgabe 1.1 sucht man vergeblich. Dieses Abitur hat eineähnlich leichte Schwierigkeit, sowie Anzahl an Aufgaben. Lediglich die letzte Aufgabeist keine bekannte und somit vom Anforderungsbereich III, wenngleich die Gleichungennicht begründet werden müssen.Es werden in diesem Abitur jedoch weniger Themeninhalte als im vorherigen Abiturgeprüft.



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4.5 Abitur 2015

4.5 Abitur 2015

Bayern: Aufgabengruppe I

Teil Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFBA 1 a), b) 1©; 2© I, IA 2 a), b) 3©; 4©; 5© I, II, IA 3 a), b), c) 6©; 7©; 8© I, I, IIA 4 9© IIA 5 a), b) 10©; 11© II, IIB 1 a), b) 12©; 13©; 14©; 15©; 16©; 17© I, I, I, II, I, IB 1 c) 18©; 19©; 20©; 21©; 22© II, III, III, II, IB 1 d) 23©; 24©; 25© I, I, IIB 2 a), b) 26©; 27©; 28©; 29© I, II, II, IIB 2 c) 30©; 31©; 32©; 33© I, II, II, IIB 3 a), b), c) 34©; 35©; 36©; 37© III, II, II, III

Aufgabe 9 erwartet eine Begründung, weshalb es bei der Annäherung einer Nullstelledurch das Newton-Verfahren nicht möglich ist, die x-Koordinate eines Extremas zubenutzen. Das bedeutet eine Argumentation über die Formel hinaus, da sich die Schülerbewusst werden müssen, welchen Wert die Steigung in einem Extrema annimmt.Eine Begründung über die Existenz einer horizontalen Asymptote - Aufgabe 15 - erfolgtüber eine Grenzwertbetrachtung. Dadurch ist es nicht legitim, die vermutete Gleichungder Asymptote abzulesen, weshalb solch eine Aufgabe vom AFB II ist.In Aufgabe 19 und 20 muss das Monotonieverhalten von f in ausgewählten Interval-len ohne Berechnung bestimmt werden. Hierfür stehen dem Schüler die Beziehungf ′(x) = − p′(x)

(p(x))2 sowie die Abbildung von p zur Verfügung. Anhand des Quotientenmuss ihnen also bewusst sein, dass der Nenner nie negativ sein kann und deshalbausschließlich der Zähler betrachtet werden muss.

Definitionsbereich & Wertebereich: 1, 7, 8Differential: 10, 21Berechnung: 2, 12, 13, 14, 17, 22, 23, 24, 27, 31,

32, 34Rekonstruktion: 6, 7, 11, 16Wechsel der Darstellungsform: 3, 25, 31, 32, 33Integration: 5, 36Math. Begründungen und Nachweise: 4, 8, 9, 15, 18, 19, 20, 27, 28, 29, 30,

35, 37Grenzwertbetrachtung: 15, 26Newton-Verfahren: 9


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Teil Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFBA 1 a), b) 1©; 2©; 3© I, I, IIA 2 a), b) 4©; 5© II, IIA 3 a), b) 6©; 7© I, IIA 4 8© IIB 1 a), b), c), d) 9©; 10©; 11©; 12©; 13©; 14©; 15© II, II, I, I, I, II, IIB 2 a), b) 16©; 17©; 18© II, II, IIB 3 a), b), c) 19©; 20©; 21©; 22©; 23©; 24© I, III, II, II, II, IIIB 3 d), e) 25©; 26©; 27© III, III, II

Aufgaben 4 und 5 sind identisch zu den Aufgaben 10 und 11 aus der Aufgaben-gruppe I.Aufgabe 15 erwartet neben der Flächenberechnung noch das Bestimmen eines Verhält-nisses zweier Flächen.In Aufgabe 16 sollen die Schüler vier Graphen einer Funktionenschar richtig zuordnen.Laut Aufgabenstellung soll ihre Begründung mindestens einen der folgenden Punkteenthalten: Symmetrieeigenschaften, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen oderdem Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs. Deshalb findet sich diese Auf-gabe in relativ vielen Themeninhalten wieder.Auch wenn in Aufgabe 17 und 18 „nur“ Grenzwerte betrachtet werden, so geschieht diesmit einer Funktionenschar in Abhängigkeit des Exponenten. Den Schülern wird eineFallunterscheidung bzgl. der Parität des Exponenten zugemutet, weshalb sie insgesamt4 Fälle betrachten müssen. Aus diesem Grund ist diese Grenzwertaufgabe vom AFB II.

Definitionsbereich & Wertebereich: 1, 2, 6Differential: 4, 8, 10Berechnung: 8, 11, 19, 26Symmetrie: 16Rekonstruktion: 3, 5, 9, 14, 27Wechsel der Darstellungsform: 12, 13, 16, 22, 25, 25Integration: 15, 23Math. Begründungen und Nachweise: 16, 20, 21, 24Grenzwertbetrachtung: 7, 16, 17, 18


50

4.5 Abitur 2015


Berlin: Aufgabe 1.1

Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFBa) 1©; 2©; 3©; 4© II, I, I, Ib) 5©; 6©; 7©; 8© II, II, II, IIc) 9©; 10©; 11© I, II, IId) 12© III

In Aufgabe 3 muss ein Wendepunkt in Abhängigkeit der Parameter bestimmt werden,jedoch genügt es, die notwendige Bedingung nachzuweisen. Aus diesem Grund ist dieseAufgabe vom AFB I.Um die Aufgabe 7 und 8 lösen zu können, benötigen die Schüler Vorkenntnisse aus derSekundarstufe I, da die Formel zur Berechnung eines Umfangs und einer Fläche einesKreises benötigt wird.Aufgabe 12, welche die Berechnung eines Rotationskörpers verlangt, ist aufgrund vonSchwierigkeiten in der Ausführung durch die Verknüpfung einer Wurzel- und Logarith-musfunktion vom Anforderungsbereich III. Eine der oben genannten Schwierigkeitenist z.B. die Gefahr, beim Quadrieren der Funktionsgleichung, aufgrund der Flächenin-haltsformel eines Kreises, Klammern zu vergessen:

(√

8 ·√

ln(12)− ln(−x))2 6= 8 · ln(12)− ln(−x)

.

Differential: 1, 3Berechnung: 2, 4, 6, 7, 8Rekonstruktion: 5, 11Wechsel der Darstellungsform: 9, 10Integration: 12



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Berlin: Aufgabe 1.2

Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFBa) 1©; 2© I, IIb) 3©; 4©; 5©; 6©; 7© II, I, II, I, IIc) 8©; 9© I, IId) 10©; 11© II, IIe) 12© III

Aufgabe 12 ist eine Beweisaufgabe. Im gegebenen Kontext ist zu zeigen, dass fürzwei Punkte x1, x2 mit gleicher Steigung in der angegebenen Polynomfunktion drittenGrades gilt: x1 + x2 = 28

3 .Um diese Gleichheit zeigen zu können, benötigen sie Kenntnisse der binomischen For-meln sowie ein grundlegendes Verständnis dessen, was zu zeigen ist. Solch eine Aufgabeist vom Anforderungsbereich III.

Differential: 1, 3, 7, 9Berechnung: 2, 4, 8, 11Rekonstruktion: 2, 6, 7Integration: 10Math. Begründungen und Nachweise: 5, 12



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4.6 Abitur 2016

4.6 Abitur 2016


Teil Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFBA 1 a), b) 1©; 2© I, IA 2 3©; 4© I, IIA 3 5© IIA 4 a), b) 6©; 7© II, IIA 5 a), b), c) 8©; 9©; 10© II, I, IIB 1 a), b), c) 11©; 12©; 13©; 14©; 15©; 16©; 17© I, I, I, I, I, II, IIB 1 d), e), f) 18©; 19©; 20©; 21©; 22©; 23©; 24© I, I, I, I, II, I, IIB 1 g), h) 25©; 26© II, IIIB 2 a), b), c), d) 27©; 28©; 29©; 30©; 31© II, II, I, II, III

Obwohl Aufgabe 4 die Bestimmung eines Flächeninhaltes vorsieht, kann dieser nichtberechnet, sondern lediglich begründet werden. Zunächst wird der Nachweis der Punkt-symmetrie im Ursprung von folgender Funktion verlangt: f(x) = x2 ·sin x. Anschließendsoll die Fläche zwischen−π und π bestimmt werden. Da bayerische Schüler laut Lehrplankeine partielle Integration beherrschen, müssen sie über die Eigenschaft der Symmetriezum Ergebnis gelangen.Im Allgemeinen ist die Bestimmung der Art eines Extrempunktes vom Anforderungs-bereich II. Da jedoch in Aufgabe 16 beide Ableitungen bestimmt wurden sowie inAufgabe 17 die Linkskrümmung nachgewiesen wurde, ist Aufgabe 18 vom AFB I.In Aufgabe 25 müssen die Schüler mit Hilfe von Potenzregeln folgende Gleichheitnachweisen: 1

4 [f(x)]2 − [f ′(x)]2 = 1. Da Kenntnisse aus der Sekundarstufe I gefordertsind, ist diese Aufgabe vom AFB II. Mit Hilfe obiger Gleichheit soll in Aufgabe 26 dieKurvenlänge L0;b =

∫ b0

√1 + [f ′(x)]2 dx - also das Integral - bestimmt werden.

In Aufgabe 31 soll ein Vorgehen beschrieben werden, wie man den größten Abstandzweier Funktionen in einem bestimmten Intervall bestimmen kann.

Definitionsbereich & Wertebereich: 1, 12Differential: 16, 17, 18, 20Berechnung: 2, 8, 11, 19, 23, 25, 27, 28, 29Symmetrie: 3, 13Rekonstruktion: 30Wechsel der Darstellungsform: 5, 9, 21, 22, 24Integration: 26Math. Begründungen und Nachweise: 4, 6, 7, 10, 25, 31Grenzwertbetrachtung: 14, 15


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Teil Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFBA 1 a), b) 1©; 2©; 3©; 4© I, I, I, IIA 2 a), b) 5©; 6©; 7©; 8© II, I, II, IA 3 a), b), c) 9©; 10©; 11© II, I, IIA 4 12© IIB 1 a), b), c) 13©; 14©; 15©; 16©; 17© I, II, III, II, IB 2 a), b) 18©; 19©; 20© I, II, IIB 3 a), b), c) 21©; 22©; 23©; 24©; 25©; 26©; 27© II, I, II, II, I, II, IIB 3 d), e) 28©; 29©; 30©; 31© II, II, I, III

Aufgaben 9, 10 und 11 sind identisch zu den Aufgaben 8, 9 und 10 aus der Auf-gabengruppe I.In Aufgabe 15 muss mit Hilfe des Satzes des Pythagoras der Abstand eines Funktions-wertes zum Koordinatenursprung nachgewiesen werden. Anschließend muss der kleinsteAbstand bestimmt werden, weshalb jedoch nur der Radikand betrachtet werden muss.(Diese Aufgaben sind analog zu den Aufgaben 10 und 11 in Aufgabengruppe I aus demJahrgang 2011.)Aufgabe 31 erfordert eine Beschreibung wesentlicher Schritte, um den Abstand zweierparalleler Geraden zu bestimmen. Zunächst sollte den Schülern bewusst sein, dassAbstände durch das Lot definiert sind und das Lot einer Tangente einer Normalenentspricht. Anschließend sollen sie den Schnittpunkt der Normalen mit der parallelenGeraden bestimmen, um dann mit dem Satz des Pythagoras die gesuchte Länge zu be-stimmen. Dieser Umfang rechtfertigt eine Klassifikation in den Anforderungsbereich III.

Definitionsbereich & Wertebereich: 1, 6, 8Differential: 4, 16Berechnung: 2, 9, 14, 17, 24, 27Rekonstruktion: 5, 7, 18, 28Wechsel der Darstellungsform: 10, 12, 22, 24, 25, 29, 30Integration: 5, 19Math. Begründungen und Nachweise: 11, 13, 15, 20, 21, 23, 26, 28, 31Grenzwertbetrachtung: 3



54

4.6 Abitur 2016

Berlin: Aufgabe 1.1

Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFBa) 1©; 2©; 3©; 4© I, I, I, Ib) 5©; 6©; 7© I, II, IIc) 8©; 9©; 10©; 11© II, I, II, Id) 12©; 13© II, Ie) 14© IIf) 15© III

Aufgabe 15 erfordert die Bestimmung derjenigen x-Koordinate, welche sich auf demGraphen von f2 befindet und mit dem Punkt R(16|6) ein Quadrat bildet. Nachdemdie Schüler die Gleichheit beider Seiten als Gleichung formuliert haben, müssen sie denWert für x bestimmen. Eine Möglichkeit wäre, in der Gleichung 0 = 2x−4

√x−10 das x

durch a2 zu substituieren und mit Hilfe der PQ-Formel das zugehörige a auszurechnen.Durch Rücksubstitution erhält man anschließend den gesuchten Wert für x.

Definitionsbereich & Wertebereich: 2, 4Differential: 3, 6, 7Berechnung: 5, 15Rekonstruktion: 1, 9, 11, 12Wechsel der Darstellungsform: 8, 10, 13Integration: 14Math. Begründungen und Nachweise: 7



55


Berlin: Aufgabe 1.2

Aufgabe im Abitur zu bearbeitende Aufgaben AFBa) 1©; 2©; 3© I, I, Ib) 4©; 5©; 6©; 7© II, II, II, Ic) 8©; 9© I, IId) 10© IIe) 11© III

In Aufgabe 4 ist die Ableitung einer Funktionenschar vorgegeben. Verlangt ist nun,drei Regeln (Kettenregel, Faktorregel, Summenregel) zu nennen, nach denen man dieseAbleitung gebildet hat. Schüler, die diese Schar zwar ableiten, aber nicht die Regelnbenennen können, hätten in dieser Aufgabe keine Punkte erzielt.Aufgabe 9 hat die Schwierigkeit, dass zur Berechnung eines Volumens lediglich dieLängeneinheit gegeben ist. Nachdem integriert und die Grenzen eingesetzt wurden,muss der Wert der Längeneinheit noch in Flächeneinheiten angegeben werden, damit esmit dem Ergebnis, welches aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnunggewonnen wurde, multipliziert werden kann.

Differential: 6Berechnung: 1, 7, 8, 10, 11Integration: 9Math. Begründungen und Nachweise: 4, 5Grenzwertbetrachtung: 2, 3



56

4.7 Abitur 2017

4.7 Abitur 2017In diesem Abiturjahrgang haben die Berliner Schüler 120 Minuten Zeit und der Anteilvon Analysis beträgt 50 % des Gesamtabiturs.



1 a), b)AFB I, I,II, I

Wurzelfunktion: g(x) = 2 ·√

4 + x− 1 1© Bestimme die Definitionsmenge;2© Schnittpunkt mit y-Achse;3© Beschreibe, wie der Graph von g ausw(x) =

√x hervorgeht;

4© Bestimme die Wertemenge von g

2 a), b)AFB I, II

Exponentialfunktion: f(x) = 2 · e 12x − 1;

Tangente am Punkt S(0|1) begrenzt mitden Achsen ein Dreieck

5© Bestimme die Nullstellen von f ;6© Weise ein gleichschenkliges Dreiecknach

3 a), b)AFB II, II

f ist achsensymmetrisch zur y-Achse &x = 2 ist eine senkrechte Asymptote;g ist nicht konstant &

∫ 20 g(x) dx = 0

7© Rekonstruiere die Funktionsgleichungf ;8© Rekonstruiere die Funktionsgleichungg

4 a), b)AFB I, I

quadratische Funktion:n(t) = 3t2 − 60t+ 500

9© Bestimme die mittlere Änderungsrateder ersten beiden Stunden;10© Bestimme t so, dass die momentaneÄnderungsrate −30 1

h beträgt

In Aufgabe 6 wird von den Schülern der Nachweis zweier gleich langer Seiten einesDreiecks gefordert. Ihnen muss also aus der Sekundarstufe I der Begriff gleichschenkligklar sein, um die Aufgabe bearbeiten zu können. Weiterhin müssen sie nun eineTangentengleichung aufstellen und die Länge der einzelnen Dreiecksseiten bestimmen,um die Behauptung zu verifizieren.Bemerkenswert ist, dass solch eine Aufgabe bereits im Prüfungsteil A gestellt wird,welcher für kurze Aufgaben konzipiert und angedacht ist.

57



1 a), b), c)AFB II, II,II, I, II, I, I,I

Produkt einer linearen Funktion und einerLogarithmusfunktion:h(x) = 3x · (−1 + ln x); Ausschnitt einesGraphen Gh für 0, 75 ≤ x ≤ 4;Kontrollergebnis von h′(x)

11© Gib die Tangentengleichung imPunkt (e|0) an; 12© Bestimme denSchnittwinkel mit der x-Achse; 13© Un-tersuche das Monotonieverhalten vonGh; 14© Bestimme lim

x→∞h(x); 15© Begrün-

de, dass [-3; ∞[ die Wertemenge ist;16© Bestimme lim

x→0h(x); 17© Bestimme

limx→0

h′(x); 18© Skizziere Gh im Bereich0 < x < 0, 75

1 d), e)AFB I, I,II, II

h∗(x) = h(x) mit Definitionsmengex ∈ [1;∞[;h∗ ist umkehrbar;Kontrollergebnis: x-Koordinate desSchnittpunktes

19© Bestimme Definitionsmenge vonh∗−1; 20© Bestimme Wertemenge vonh∗−1; 21© Berechne Schnittpunkt S vonh∗ mit y = x; 22© Skizziere Umkehrfunk-tion h∗−1 in Abbildung 1

1 f)AFB II,III

s.o.A0 =

∫ e 43

e(x− h∗(x)) dx;

Gh∗ , Gh∗−1 , x- und y-Achse schließen im1. Quadranten eine Fläche mit Inhalt Aein

23© Schraffiere A0;24© Bestimme unter Verwendung von A0einen Term zur Berechnung der FlächeA

2 a), b), c)AFB I, I,II, III, II

Graph von V (t), welcher Zu- und Abflussvon Wasser in einem Becken beschreibt;t sind Stunden, V (t) ist Volumen in m3

25© Lies V (5) ab; 26© Bestimme den Zeit-raum t für V (t) ≥ 450; 27© Bestimme dielokale Steigung näherungsweise; 28© Er-läutere den Sachzusammenhang, wenngilt: V (t+6) = V (t)−350; 29© Begründe,ob dieser Zusammenhang für t = 5 gilt

2 d), f)AFB II,III, I, III

Funktion der momentanen Änderungsrateg(t) = 0, 4·(2t3−39t2+180t) für t ∈ [0; 12];t ist Zeit in Stunden; g(t) ist Änderungs-rate des Volumens in m3

h

30© Begründe, dass g(t) > 0 für t ∈]0; 7, 5[und g(t) < 0 für t ∈]7, 5; 12[; 31© Bedeu-tung von

∫ bag(t) dt in diesem Kontext;

32© Berechne das Volumen nach 7,5 Stun-den; 33© Begründe, dass dies das maxi-male Volumen in diesem Zeitraum ist

Besitzt man in diesem Abitur wenig Kenntnisse über Umkehrfunktionen, so wird dieBearbeitung für einen Teil (Aufgaben 19-21) des Abiturs fast unmöglich. Für Aufgabe22 benötigt man die Kenntnis, dass der Graph der Umkehrfunktion durch Spiegelungan der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten hervorgeht. Rückwirkend könnteman dann die vorherigen Aufgaben beantworten.Ebenfalls unmöglich ist die Bearbeitung der Aufgabe 24, falls die beiden vorherigenAufgaben nicht gelöst wurden. Ohne eine korrekte Einzeichnung der Umkehrfunktion indie Abbildung, wird der gesuchte eingeschlossene Flächeninhalt schwer zu bestimmen

58

4.7 Abitur 2017

sein. Dadurch, dass in dieser Aufgabe verlangt wird, einen Term unter Verwendung dervorher skizzierten Fläche zu bestimmen, der 1. Quadrant bekannt sein muss, weiterhinder Inhalt der Fläche, welcher durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. und3. Quadranten entsteht, betrachtet werden muss, ist diese Aufgabe vom AFB III.Aufgabe 27 verlangt die graphische Berechnung der lokalen Steigung, anhand einesSteigungsdreiecks der eingezeichneten Tangente im zu untersuchenden Punkt.

Ein Großteil der Aufgaben benutzt den Operator: Begründe.Für die Schüler ist jedoch schwer abzuschätzen, ab wann eine Begründung ausreichendist. So bietet es sich z.B. bei Aufgabe 30 an, die Nullstellen des Polynoms drittenGrades zu bestimmen. Anschließend könnte man die Funktionswerte zwischen denNullstellen berechnen, um die Aussage damit zu begründen. Man könnte aber auchlediglich über den Verlauf des Graphen argumentieren: „von links unten nach rechtsoben, dazwischen drei Nullstellen.“Es ist trotzdem erfreulich, dass die Anzahl der Begründungsaufgaben, in denen zumTeil keinerlei Rechnungen gefordert sind, hoch ist. Hier werden mathematische Ge-gebenheiten zum Teil in Sachkontexte eingebettet, welche von den Schülern näheranalysiert und gedeutet werden müssen.

Die beachtliche Anzahl von 33 Aufgaben erstrecken sich über folgende Themenin-halte:Definitionsbereich & Wertebereich: 1, 4, 19, 20Differential: 9, 10, 13, 27Berechnung: 2, 5, 12, 21Rekonstruktion: 7, 8, 11Wechsel der Darstellungsform: 18, 22, 23, 25, 26Integration: 24, 32Math. Begründungen und Nachweise: 3, 6, 15, 28, 29, 30, 31, 33Grenzwertbetrachtung: 14, 16, 17

Zusammenfassend ergibt sich folgende Verteilung der Aufgaben auf die drei Anforde-rungsbereiche:Anforderungsbereich Anzahl der Aufgaben


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1 a), b)AFB I, I, I,I

gebrochen-rationale Funktion:f(x) = (3+x)2

x−1 ; Graph von f ist Gf ;f(x) ist äquivalent zu x+ 7 + 16

x−1 ;Lineare Funktion: g(x) = x+ 7

1© Bestimme die Definitionsmenge vonf ; 2© Bestimme die Achsenabschnitts-punkte von f ;3© Zeige die gegebene Äquivalenz;4© Erläutere die Bedeutung von g fürGf

2 a), b)AFB I, II


3 a), b)AFB II, II

Abbildung einer konkreten Winkelfunkti-on: g(x) = p+ q · sin(π2x), p, q, r ∈ N;Gh ist ein um 2 Einheiten in positiverx-Richtung verschobener Graph der Funk-tion g

7© Gib p, q, r an;8© Gib einen möglichen Funktionstermfür h an

4 a), b)AFB I, I



1 a), b)AFB I, II,I

Exponentialfunktion:f(x) = 2e−x · (2e−x − 1);Gf ist Graph von f ; Gf als Abbildung 1zeigt einzige Nullstelle bei x = ln 2;f ′(x) = 2e−x · (1− 4e−x);Kontrollergebnis: x-Koordinate des Extre-mums

11© Zeige, dass die Ableitung von f kor-rekt ist;12© Bestimme Art des Extremums;13© Bestimme Lage des Extremums

1 c), d), e)AFB I, II,II, II, I, I

s.o.Stammfunktion F (x) = 2e−x − 2e−2x;GF verläuft durch den Punkt (ln 2|0,5)

14© Zeige, dass F die Stammfunktionvon f ist; 15© Begründe anhand desTerms von F, dass lim

x→∞F (x) = 0 gilt;

16© Begründe, dass F (x) ≤ 0, 5; 17© Be-gründe, dass F (x) bei x = ln 4 einenWendepunkt besitzt; 18© Berechne die y-Koordinate des Wendepunktes;19© Zeichne F in Abbildung 1

1 f)AFB III

Gf schließt mit der x- und y-Achse einFlächenstück ein; Das Dreieck ∆OPQ mitO(0|0), P (ln 2|0), Q(0|2) nähert sich anden Flächeninhalt an

20© Berechne die prozentuale Abwei-chung des Flächeninhaltes vom Dreieckmit der tatsächlichen Fläche

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4.7 Abitur 2017

1 g), h)AFB II, II,III

Integralfunktion: F0(x) =∫ x

0 f(t) dt 21© Begründe, dass F0 mit F überein-stimmt; 22© Interpretiere geometrischden Wert F0(2) ≈ 0, 234 mit Markie-rungen in Abbildung 1; 23© Gib eine in Rdefinierte Funktion an, die eine Stamm-funktion, aber keine Integralfunktion ist

2 a), b),c), d)AFB II,III, III, I,III

Chemische Stoff Bi211 wandelt sich nacheiner gewissen Zeit in Stoff TI207 und die-ser irgendwann in Pb207 um;Bi211: B(x) = e−2x;TI207: F (x) aus Aufgabe 1;Pb207: P (x) = 1−B(x)− F (x);Eine Einheit =̂ 6 Minuten; P (1) ≈ 0, 4 be-deutet: Nach 6 Minuten sind 40 % Pb207

24© Bestimme auf zehntel Prozent genaudie Anteile der drei Stoffe nach 12 Mi-nuten; 25© Ermittle den Zeitpunkt aufSekunden genau, wann der Anteil vonTI207 am größten ist; 26© Begründe rech-nerisch, dass zu keinem Zeitpunkt diedrei Anteile gleich groß sind; 27© Weisenach, dass lim

x→∞P (x) = 1 gilt; 28© Inter-

pretiere diesen Grenzwert im Kontext

Auch in dieser Aufgabengruppe steht das Begründen im Vordergrund. Im Abitur Auf-gabe d) wird sogar ausdrücklich gefordert, nicht zu rechnen: „Begründe, ohne Rechnung,dass ...“. Dies birgt für Schüler jedoch die gleiche Gefahr, welche in AufgabengruppeI geschildert wurde. Eine Neuerung in dieser Gruppe sind die Zusammenhänge derFunktionen und deren Ableitungen. So muss den Schülern bewusst sein, dass die Null-stelle der 1. Ableitung, die x-Koordinate des Wendepunktes der Stammfunktion ist.Insbesondere in Aufgabe 16 und 17 wird auf diese Zusammenhänge angespielt.Bei Aufgabe 20 reicht es nicht aus, „nur“ zu integrieren, die Dreiecksfläche zu berechnenund den Unterschied der beiden zu bestimmen, man muss auch den prozentualenAnteil des Unterschieds bestimmen. Dies erfordert für die Schüler die Fähigkeit desProzentrechnens. Aus diesem Grund, ist diese Aufgabe auch in zwei Themeninhaltevertreten: Berechnung und Integration.Aufgabe 23 verdeutlicht zudem noch den Unterschied zwischen Integralfunktionen undStammfunktionen, während bei Aufgabe 25 wieder Ergebnisse aus den Aufgaben 1a)-h)benötigt werden.

Insgesamt müssen die Schüler hier 28 Aufgaben bewältigen, welche sich auf 8 Themen-inhalte erstrecken:Definitionsbereich & Wertebereich: 1Differential: 9, 10, 11, 12, 14Berechnung: 2, 5, 13, 18, 20, 24, 26Rekonstruktion: 8Wechsel der Darstellungsform: 7, 19, 22Integration: 20Math. Begründungen und Nachweise: 3, 4, 6, 15, 16, 17, 21, 25, 28Grenzwertbetrachtung: 27


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Berlin: Aufgabe 1.1


a), b)AFB I, I, I,I, I, II, II

Abbildung 1 zeigt in einem Koordinaten-system eine Wurzelfunktion; Wurzelfunk-tion: f(x) = k ·

√a− x2, k, a > 0;

f ′′(x) = −k·a√(a−x2)3

1© Bestimme die Nullstellen von f ;2© Weise nach, dass Gf genau einenHochpunkt bei x = 0 besitzt; 3© Berech-ne die Koordinaten des Hochpunkts;4© Bestimme die Definitionsmenge vonf ; 5© Bestimme die Definitionsmengevon f ′; 6© Nenne drei Bedingungen, dieder Graph von f mind. erfüllen muss,um als Modell geeignet zu sein; 7© Be-rechne die Parameterwerte für a und k

c)AFB II, I,II, II

Wurzelfunktion v(x) = 0, 4 ·√

100− x2;Punkt R(−10|yR);Tangente t am Punkt B(−6|v(6));R liegt auf t

8© Ermittle die Tangentengleichung t;9© Bestimme den Steigungswinkel derTangente;10© Bestimme die y-Koordinate von R;11© Bestimme den Abstand d(R;B)

d)AFB III,III

Drahtseil zwischen den PunktenP (−√

96|0, 5) und Q(√

96|0, 5); LaterneL wird mittig befestigt und bildet einDreieck ∆PQL; In P und Q trifft dasDrahtseil orthogonal von unten auf denGewölbebogen

12© Bestimme die Koordinaten von L;13© Bestimme den Winkel des Seils beiL

e)AFB II

Graph von v rotiert um die x-Achse 14© Berechne das Rotationsvolumen

f)AFB III,III, III

Der Bogen kann auch mit der Funktiong(x) = ax4 + bx2 + c modelliert werden;a, b, c ∈ R; a, b 6= 0

15© Untersuche Gg auf Extrema in Ab-hängigkeit von a und b; 16© Entscheideund Begründe, welche Eigenschaften aund b erfüllen müssen, damit g nur einenHochpunkt besitzt; 17© Bestimme die Ko-ordinaten des Hochpunkts

Aufgabe 11 benötigt den Satz Pythagoras als Vorkenntnis, um die gesuchte Hypote-nuse des Steigungsdreiecks zu berechnen.Laut Aufgabenstellung ist Aufgabe 12 nicht dem AFB III zuzuordnen, jedoch ist derUmfang und das Verständnis dieser Aufgabe nicht zu vernachlässigen. So wird ver-langt, zwei Normalengleichungen aufzustellen, welche sich in einem Punkt schneiden.

62

4.7 Abitur 2017

Zusätzlich müssen die Schüler mit dem Begriff orthogonal umgehen können.Des Weiteren müssen sie begründen, warum die x-Koordinate von L 0 ist, damit sieden Schnittpunkt der Normalen mit der y-Achse bestimmen können. Auch für Aufgabe13 gibt es mindestens zwei Lösungen, welche nicht sofort ersichtlich sind. Hat man inder vorherigen Aufgabe die zwei Normalen bestimmt, so kann man den Schnittwinkelmit Hilfe der Formel berechnen. Es ist aber auch möglich, die Hälfte des Winkels zubetrachten und mit Hilfe der Tangente, der Normalen sowie der y-Achse ein rechtwink-liges Dreieck zu erstellen. Anschließend kann mit den Winkelfunktionen der Winkelberechnet werden.Die Aufgaben 15, 16 und 17 erfordern von den Schülern abstraktes Denken. Sie müssenüber die Definitionsbereiche der Wurzelfunktionen Parameterwerte ausschließen unddie Funktion so verändern, sodass sie den gewünschten Anforderungen genügt. All dasmachen sie ausschließlich in Abhängigkeit von Parametern.

Insgesamt sind 17 Aufgaben auf sechs Themeninhalte verteilt:Definitionsbereich & Wertebereich: 4, 5Differential: 2, 15Berechnung: 1, 3, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 17Rekonstruktion: 8, 12Integration: 14Math. Begründungen und Nachweise: 6, 12, 16, 17

Auch wenn es den Anschein erweckt, als würde der Fokus dieses Abiturs nur aufBerechnung liegen, so ist ein Großteil der Aufgaben Begründen. Dies wurde oft nicht alseigene Aufgabe gestellt, ist aber für die Schüler unverzichtbar, um ihren Rechnungennachgehen zu können. Die Schüler müssen sich eine geeignete Strategie überlegen undsomit für sich begründen und ergründen, wie sie das Problem lösen können (siehe c)und d)).



63


Berlin: Aufgabe 1.2


a), b)AFB I, I, I,I, I, I, II

Funktionsschar: fa(x) = e2ax + e−2ax

a, x ∈ R, a 6= 0;Ga sind zugehörige Graphen

1© Bestimme für a > 0: limx→∞

fa(x);2© Bestimme für a > 0: lim

x→−∞fa(x);

3© Begründe, dass kein fa eine Nullstellebesitzt; 4© Weise die AchsensymmetrieallerGa zur y-Achse nach; 5© Zeige, dassalle Ga dasselbe Extrema besitzen;6© Bestimme die Koordinaten des Ex-tremas;7© Untersuche Ga auf Wendepunkte

c)AFB II,III, III, III

Graph G0,15 wird von y = k, 2 < k < 6in den Punkten Ak und Bk geschnitten;Abbildung von G0,15;Ak, Bk und C(0|6) bilden ein Dreieck

8© Zeichne ein mögliches ∆AkBkC indie Abbildung; 9© Begründe, dass kein∆AkBkC einen minimalen Flächenin-halt haben kann; 10© Begründe, dass ein∆AkBkC mit maximalen Flächeninhaltexistiert;11© Stelle eine Gleichung in Abhängig-keit von x auf, um den Flächeninhaltdes Dreiecks zu bestimmen

d)AFB II

1 LE =̂ 150 m; Intervall [-2;4] von G0,15entspricht einer Landstraße;In P (4|f0,15(4)) mündet sie tangential ineine Schnellstraße

12© Zeige, dass diese Tangente näherungs-weise durch y = 0, 9x modelliert werdenkann

e)AFB III, II

s.o.Text: Eine Schnellstraße verläuft geradli-nig ab Punkt P für 2,1 km bis zum PunktS; Anschließend führt sie knickfrei durcheine Rechtskurve auf eine Bundesstraße;Diese Kurve kann durch eine quadratischeParabel beschrieben werden, auf welcherder Punkt Q(15, 5|13, 3) liegt;Kontrollergebnis: Koordinaten von PunktS

13© Bestimme die Koordinaten von S;14© Stelle ein LGS zur Ermittlung derParabelgleichung auf

f)AFB II, I

Die Koordinatenachsen, die beiden Stra-ßen sowie die Gerade x = 7 schließen eineFläche ein

15© Bestimme 80 % dieser Fläche;16© Gib die Fläche in Hektar an

Aufgabe 9 und 10 beinhalten wortwörtlich die Aufforderung: „Begründe, ohne Be-rechnung“. Die hier geforderten Begründungen zielen unter anderem auf geometrischeGrenzwertbetrachtung ab, also die Abhängigkeit der Fläche des Dreiecks durch Ver-schiebung der zur x-Achse parallelen Gerade. Solch eine Herangehensweise findet maneher selten im Schulunterricht, weshalb diese Aufgabe vom AFB III ist.

64

4.7 Abitur 2017

Aus dem Text in Aufgabe 13 und 14 wird den Schülern das Problem sowie die zurLösung benötigten Informationen vorgestellt.Jedoch lässt sich das Problem nicht direkt lösen, sondern benötigt eine gewisse Vorarbeitdurch die Schüler. Um die Koordinaten zu berechnen, wäre es eine Möglichkeit, einSteigungsdreieck zu skizzieren, darauf den Satz des Pythagoras in Abhängigkeit derbeiden Koordinaten aufzustellen, die y-Koordinate durch die Funktionsgleichung zuersetzen und anschließend die x-Koordinate mit Hilfe der PQ-Formel zu lösen. AmEnde ist nur eines der Ergebnisse sinnvoll, weshalb die Schüler das andere, für sichbegründet, ausschließen müssen.Eine Alternative wäre es, über die Winkelfunktion Kosinus die x-Koordinate des ge-suchten Punktes zu bestimmen.Aufgrund des Umfangs und der nötigen Entwicklung einer Strategie ist diese Aufgabevom AFB III.Das Wort „knickfrei“ in Aufgabe 14 könnte für Schüler eine Schwierigkeit bergen. Hiermuss ihnen bewusst sein, dass damit eine identische Steigung gemeint ist.

Acht Themeninhalte und 16 Aufgaben verteilen sich folgendermaßen:Differential: 5Berechnung: 6, 13, 16Symmetrie: 4Rekonstruktion: 11, 12, 14Wechsel der Darstellungsform: 8Integration: 15Math. Begründungen und Nachweise: 3, 7, 9, 10Grenzwertbetrachtung: 1, 2



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5 Auswertung und Vergleich der Abiture

5 Auswertung und Vergleich der AbitureVorkenntnisse:

Der Satz des Pythagoras ist eine der Kenntnisse aus der Sekundarstufe I, welche inbeiden Abituren geprüft wurde. Des Weiteren ist es für manche Teilaufgaben vorteilhaft,den Dreisatz zu beherrschen. Im konkreten Fall wurden in den Abituren nachfolgendeVorkenntnisse geprüft, welche jedoch je nach Herangehensweise variieren könnten. Diesist somit eine Auflistung an Fertigkeiten aus der SEK I, um die Abiture erfolgreichbestehen zu können.

Vorkenntnisse Berlin:

Inhalt Abitur

Satz des Pythagoras: 2011 1.2; 2012 1.2; 2017 1.1; 2017 1.2

Substitution zur Nullstellenbe-rechnung:

2016 1.1

Umrechnung von Einheiten /Dreisatz / Prozentrechnung:

2011 1.1; 2013 1.1; 2017 1.2

Formen einer quadratischenFunktion:

2013 1.2; 2017 1.2

Formel zur Flächen-und Umfangsberechnung:

2011 1.2; 2013 1.1; 2015 1.1; 2016 1.1; 2017 1.2

Winkelfunktionen: 2017 1.1; 2017 1.2

Volumenberechnung: 2016 1.2

Binomische Formeln: 2015 1.2

Steigungsdreieck 2017 1.2

In Berlin wurden vermehrt in den späteren Abiturjahrgängen Vorkenntnisse benö-tigt. So ist das Jahr 2017 in sechs von neun verschiedenen Inhalten vertreten.Der Fokus der Vorkenntnisse konzentriert sich auf Flächenberechnungen - meist vonDreiecken -, gefolgt von Abstandsberechnungen, welche mit Hilfe des Satzes des Pytha-goras gelöst werden können.Das Abiturjahr 2014 ist das einzige, welches ohne weitere Vorkenntnisse der vorherigenSchuljahre bewältigt werden konnte.

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Vorkenntnisse Bayern:

Inhalt Abitur

Satz des Pythagoras: 2011 AG I; 2016 AG II

Steigungsdreieck: 2011 AG I; 2012 AG I; 2016 AG I; 2017 AG I

Umrechnung von Einheiten /Dreisatz / Prozentrechnung:

2012 AG I; 2012 AG II; 2013 AG I; 2014 AG II;2015 AG II; 2016 AG II; 2017 AG II

Formen einer quadratischenFunktion:

2012 AG II

Formel zur Flächen-und Umfangsberechnung:

2011 AG I; 2012 AG II; 2013 AG II; 2014 AG II;2016 AG I; 2016 AG II; 2017 AG II

Potenzregeln: 2016 AG I

Zu diesen Vorkenntnissen wurde im Abiturjahrgang 2017 des Weiteren die Begrifflich-keit gleichschenkliges Dreieck verwendet.

Anders als in Berlin ist die Verteilung der Abituraufgaben, welche Vorkenntnissebenötigen, durchwachsener und gemischter. Es existiert kein Jahr, in dem nicht Fer-tigkeiten aus der Sekundarstufe I benötigt werden, selbst wenn nur die Frage nachVerhältnissen zweier Größen gestellt wurde.

Häufig treten einem Aufgaben zur Bestimmung von Anteilen und Verhältnissen inErscheinung, aber auch die Berechnung von Flächen ist stark vertreten. Beispielsweisesoll die eingeschlossene Fläche zwischen der x-Achse und eines Graphen in einemIntervall näherungsweise durch die Flächenformel eines Trapezes berechnet werden.

Anzahl der Aufgaben & Anforderungsbereiche

Einer der größten Unterschiede ist die tatsächlich zu bearbeitende Aufgabenanzahl.Während Schüler in Bayern im Durchschnitt 29,64, also ca. 30 Aufgaben zu bearbeitenhaben, sind es für die Berliner Schüler im Schnitt 13,5 ≈ 14 Aufgaben. Wobei die zubearbeitende Aufgabenzahl in Berlin durch die höhere Gewichtung des Anteils vonAnalysis im Abitur vermutlich steigen wird. Im Jahr 2017 betrug die absolute Anzahl17 (1.1) und 16 (1.2), welche über dem ausgerechneten Berliner Schnitt liegt.Die meisten Aufgaben - 37 in der Zahl - in Bayern hatten Schüler im Jahr 2015 in derAufgabengruppe I zu lösen. Dem gegenüber stehen 17 Aufgaben des Berliner Abiturs2017 1.1.Die geringste absolute Anzahl an Aufgaben (11) im Jahr 2016 im Berliner Abitur1.2 sowie im Jahr 2012 1.2 ist weniger als die Hälfte des bayerischen Abiturs mit derkleinsten Aufgabenanzahl (23) im Jahr 2011 AG I.

67


Nichtsdestotrotz ist dieser Unterschied in beiden Bundesländern gewaltig. Aus diesemGrund wird untersucht, wie schwer die einzelnen Aufgaben in der Bearbeitung tatsäch-lich waren. Hierfür wird die Verteilung der drei Anforderungsbereiche in einem Abiturermittelt.Die nachfolgende Tabelle listet den prozentualen Anteil der Aufgaben in den drei Anfor-derungsbereichen auf. Aufgrund von Rundungsungenauigkeiten besteht die Möglichkeitnach Summierung der Prozentwerte nicht vollständig 100 % zu erzielen.

Bayern AG I Bayern AG II Berlin 1.1 Berlin 1.2

AFB I II III I II III I II III I II III

2011 52 43 4 54 38 8 58 33 8 50 29 21

2012 45 38 17 46 36 18 50 36 14 18 73 9

2013 42 45 13 39 54 7 46 38 15 27 67 7

2014 63 31 6 52 32 16 40 53 7 58 33 8

2015 43 46 11 26 59 15 33 58 8 33 58 8

2016 48 45 6 39 55 6 53 40 7 45 45 9

2017 45 42 12 46 36 18 35 35 29 44 31 25

Hier fällt der Unterschied nun nicht mehr so deutlich aus, weshalb man die Aussagefällen kann, dass bayerische und Berliner Schüler einen ähnlichen Anteil an schwerensowie leichten Aufgaben zu bearbeiten haben.Hervorstechend sind hiervon insbesondere die Berliner Abiture 2011 1.2, 2017 1.1 und2017 1.2, welche einen großen Anteil an Aufgaben des Anforderungsbereichs III besitzen.

Abiture mit einem hohen Anteil an AFB II bzw. AFB III haben den Fokus mehrauf mathematische Begründung gelegt, bzw. enthalten Aufgaben, welche zur Lösungeines Problems eine geeignete Strategie benötigen.

Themeninhalte

Mit deutlich weniger Aufgaben im Berliner Abitur ist es schwieriger, mehr Themenin-halte abzuprüfen. Um das Unterrichtsgebiet der Analysis durch möglichst schnittfreieInhalte abzudecken, wurden folgende zehn Themeninhalte bestimmt:Definitionsbereich & Wertebereich, Differential, Berechnung, Symmetrie, Rekonstrukti-on, Wechsel der Darstellungsform, Integration, math. Begründungen und Nachweise,Grenzwertbetrachtung, Newton-VerfahrenDabei lässt sich eine gewisse Überschneidung nicht vollständig vermeiden. Eine Re-konstruktion wird selten ohne Berechnungen und Ableitungen zu bestimmen sein,aber auch mathematische Begründungen basieren meist auf Argumente der anderen

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Inhalte. Nichtsdestotrotz hat solch eine Unterteilung ihren Sinn, da versucht wurde,den Schwerpunkt der Aufgabe zu klassifizieren, um ihn dann einordnen zu können.Selbstverständlich muss bei einer Polynomrekonstruktion gerechnet werden, der Fokusliegt aber auf der Bestimmung einer Funktionsgleichung.Generell ist es sinnvoll, in der Mathematik Verknüpfungen verschiedener Inhalte zuerkennen und herzustellen.Die Verteilung der Anzahl an unterschiedlichen Inhalten ist in folgender Tabelle aufge-listet:

Bayern Berlin

JahrgängeAbiture

I II 1.1 1.2

2011 8 10 6 7

2012 8 9 8 6

2013 9 10 7 8

2014 8 9 7 5

2015 9 9 5 5

2016 9 8 7 5

2017 8 8 6 8

Das Maximum an zu erreichenden Themeninhalten in Berlin ist neun, da dieser Lehrplannicht das Newton-Verfahren vorsieht.Während man in Bayern höchstens zwei Themeninhalte weniger betrachtet als dasmögliche Maximum, so schwankt diese Anzahl in Berlin doch stärker. Von neunmöglichen Inhalten wurden viermal nur fünf abgeprüft.Der Schwerpunkt der Themeninhalte schwankt von Abitur zu Abitur, jedoch stehenAufgaben, welche mathematische Begründungen und Nachweise sowie Berechnungenerfordern in Bayern eher im Fokus. In Berlin gibt es sogar Abiture, welche im ganzenAbitur keine einzige mathematische Begründung verlangen. Hier liegt der Schwerpunkteher auf Berechnung, Differential und Rekonstruktion.

Zusammenfassend

Zusammenfassend kann konstatiert werden, dass die Anzahl der Abiture, in denenUnterrichtsstoff aus der Sekundarstufe I abgefragt wurde, ähnlich ist. Welche Themenjedoch geprüft wurden, ist unterschiedlich. So gab es in Bayern eine Aufgabe, bei derman die Potenzregeln beherrschen musste, wohingegen in Berlin die dritte BinomischeFormel präsent sein musste.Eine weitere Ähnlichkeit ist die Verteilung der Aufgaben mit ihren Anforderungsberei-chen in den Abituren, während sich die tatsächlich zu bearbeitende Aufgabenanzahl

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deutlich voneinander unterscheidet.Auch wurden in Bayern mehr unterschiedliche Themeninhalte abgefragt als in Berlin,was in der Summe für Bayern spricht. Somit könnten Kenntnisse und Fertigkeitengeprüft werden, um die sich die Berliner Schüler drücken könnten.

Eine innere Differenzierung der Aufgaben gestaltet sich als schwierig zu vergleichen, dasich die beiden Bundesländer hier ebenfalls deutlich unterscheiden.In Berlin ist es möglich, dass partiell integriert werden muss (2012 1.2; 2013 1.1).Auch werden in den Berliner Abituren Fachtermini wie hinreichendes / notwendigesKriterium oder orthogonal verwendet.Bayern hingegen verlangt von seinen Schülern den Unterschied einer Stammfunktionzu einer Integralfunktion zu kennen, welcher in Berlin wiederum keine Rolle spielt.

Insgesamt lässt dies jedoch zunächst die Schlussfolgerung zu, dass das bayerischeAbitur schwieriger zu bewerkstelligen ist als das Berliner Abitur. Jedoch fehlt nocheine Längsschnittuntersuchung und eine Untersuchung, welche Funktionstypen jeweilsbearbeitet werden mussten.Unmittelbar daraus folgt dann, ob man sich auf ein Abitur eines Bundeslandes besservorbereiten kann, da ggf. immer wieder dieselben Themen geprüft wurden.

Längsschnitt der Abiture

Sinn der Einteilung der Aufgaben in relativ wenig Themeninhalte ist der, dass manerkennt worauf der Fokus des Abiturs liegt. Liegt das Hauptaugenmerk eher auf Berech-nung oder aufmath. Begründung und Nachweise. Tendenziell sind reine Rechenaufgabenleichter zu lösen, da sie überwiegend einem Algorithmus folgen. Möchte man z.B. einenSchnittwinkel bestimmen, einen Schnittpunkt errechnen oder Nullstellen ermitteln, soexistieren jeweils Formeln, wohingegen es im Allgemeinen keine Formeln für Begrün-dungen gibt.Insbesondere beim Themeninhalt math. Begründung und Nachweise greift man jenach Argumentation auf Kenntnisse aus anderen mathematischen Gebieten zurück. Eswurde so gut es geht versucht, mögliche Alternativlösungen miteinzubeziehen und zubeschreiben. Das bedeutet jedoch auch, dass je nach Argumentation weitere Kreuzchenin der nachfolgenden Tabelle gesetzt werden könnten.

Um jedoch eine genauere Analyse bzw. Vorhersage treffen zu können, welche Themen-inhalte eher vertreten sind und welche nicht, werden die zehn Themeninhalte aus derAnalyse der Abituraufgaben in nachfolgender Tabelle weiter verfeinert. Hierdurch kanneine Längsschnittuntersuchung der Jahre 2011 bis 2017 durchgeführt werden.

Man hätte die nachfolgende Tabelle auch anders aufstellen können, z.B. Asymptoten alseigenen Punkt oder Definitions- und Wertebereich zusammen als einen Themeninhalt,anstatt zwei verschiedene.

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Da es ausufern würde, jeden einzelnen Inhaltspunkt zu erläutern, werden die beideneben genannten näher erörtert.Auch wenn Definitions- und Wertebereich oft gleichzeitig gelehrt und in Aufgabenbestimmt werden müssen, so ist die Herangehensweise der Angabe einer solchen Mengekomplett unterschiedlich. Bei Wertemengen betrachtet man, welche Funktionswerteüberhaupt entstehen können. Man fokussiert sich somit auf die y-Achse, wohingegenElemente der Definitionsmenge angeben, für welche Werte diese Funktion existiert,also welche Werte eingesetzt werden dürfen (x-Achse).Asymptoten bzw. Gleichungen von Asymptoten sind in den Abituraufgaben Poly-nomfunktionen höchstens vom Grad 1, welche bestimmt werden müssen. Aus diesemGrund wurden Asymptoten gleichgesetzt mit Rekonstruktion und dem Aufstellen einerGleichung einer Tangente.

Diese Tabellen geben einen Überblick über Themeninhalte und Fertigkeiten die grund-legend im jeweiligen Abitur des jeweiligen Bundeslandes gefragt wurden und die zurBearbeitung nötig waren. Kennzeichnend für das bayerische Abitur ist die Aufga-bengruppe I und II, wohingegen das Berliner Abitur seine Aufgaben mit 1.1 und 1.2bezeichnet.

Anschließend finden sich zwei weitere Tabellen, welche die auftretenden Funktionstypendes jeweiligen Abiturs auflisten.

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Analysis Abiturjahrgänge 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Aufgabengruppe (Insgesamt) I II I II I II I II I II I II I II

Definitionsbereich X X X X X X X X X X X X X X

Wertebereich X X X X X X X X

Mittlere Steigung X X X X

Momentane Steigung durch Tangente annähern X X X X

Ableitung bilden; lok. Steigung berechnen X X X X X X X X X X X X X X

Extrempunkte X X X X X X X X X X X X

Monotonieverhalten X X X X X X X X

Wendepunkte X X X X X X X X

Krümmungsverhalten X X X X X

Symmetrien X X X X X X X X

Extremalaufgabe X

Schnittwinkel X X X X X

Parameterbestimmungen X X X X X X X X X X X X

Schnitt- und Achsenabschnittspunkte berechnen;Koordinaten bestimmen

X X X X X X X X X X X X X X

Gleichungen / Gleichungssystem aufstellen X X

Grenzwertbetrachtung X X X X X X X X X X X X X X

Integration und Flächenberechnung X X X X X X X X X X X X X X

Rekonstruktion; Tangente aufstellen; Asymptoten


Einzeichnung in ein KOSY / Abbildung; Anfertigung einer Skizze


Funktionen ihren Graphen zuordnen und umgekehrt

X X X X

Begründungs- und Nachweisaufgaben X X X X X X X X X X X X X X

Beschreibe wie Graph f, aus Graph h hervorgeht X X X X X

Newton-Verfahren X X X

Einheiten umrechnen X X X


Themeninhalte Bayern

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Abituraufgabe 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2

Definitionsbereich X X X X X

Mittlere Steigung X

Ableitung bilden; lok. Steigung berechnen


Extrempunkte X X X X X X X X X X X X X X

Wendepunkte X X X X X X X X X X X

Symmetrien X X X

Schnittwinkel; Steigungswinkel X X X X X X

Parameterbestimmungen X X X X X X X X X X X X

Schnitt- und Achsenabschnittspunkte berechnen; Koordinaten bestimmen


Gleichungen / Gleichungssystemaufstellen

X X X X X X X

Grenzwertbetrachtung X X X X X X X X

Integration und Flächenberechnung


Entfernung zweier Punkte berechnen

X X

Rekonstruktion; Tangente aufstellen; Asymptoten

X X X X X X X X X X X X X

Einzeichnung in ein KOSY / eine Abbildung

X X X X X X X X X

Funktionen ihren Graphen zuordnen und umgekehrt

X X X X X

Begründungs- und Nachweisaufgaben

X X X X X X X X X

Rotationskörper -volumen X X

Einheiten umrechnen X X X

Themeninhalte Berlin

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Funktionstypen in den Aufgabengruppen I II I II I II I II I II I II I II

Polynomfunktion X X X X X X X X X X X X X X

Wurzelfunktion X X X X X X X X

Winkelfunktion (Sinus) X X X X X X X X X X X

Winkelfunktion (Kosinus) X

Gebrochen-rationale Funktion X X X X X X X X X X X X X

Exponentialfunktion X X X X X X X X X X X X X

Logarithmusfunktion X X X X X X X X X X X X

Funktionenschar X X X


Funktionstypen in den Abituraufgaben

1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2

Polynomfunktion X X X X X X X X X X X X X X

Wurzelfunktion X X X

Gebrochen-rationale Funktion X X X

Exponentialfunktion X X X X X X X

Logarithmusfunktion X X

Funktionenschar X X X X X X X X X X X


Die beiden obigen Tabellen listen Funktionen auf, welche aufgetreten sind bzw.rekonstruiert werden mussten. Somit wurde ein Kreuzchen bei Polynomfunktiongesetzt, sobald „nur“ eine Tangenten- bzw. Asymptotengleichung rekonstruiert werdensollte, da dies Kenntnisse einer solchen Funktion voraussetzt.

Auch wenn ein bayerisches Abitur viele Funktionstypen beinhaltet, so ist es durchausmöglich, dass einige von diesen nur in Teilaufgaben á lá: „Bestimme eineFunktionsgleichung, welche bei x = 2 eine Polstelle besitzt“ behandelt werden. Hierbeiwird dann eine gebrochen-rationale Funktion erwartet, welche jedoch möglicherweiseim weiteren Verlauf des Abiturs nicht wieder auftritt.Beispielsweise deckt das bayerische Abitur 2013 I annähernd jeden bekanntenFunktionstyp ab. Jedoch tritt die Logarithmusfunktion sowie die gebrochen-rationaleFunktion in einem Produkt auf, bei welchem lediglich die Nullstellen bestimmt werden

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müssen: (ln x− 1) · (ex − 2) · ( 1x− 3) = 0. Anschließend finden diese beiden

Funktionstypen im weiteren Abitur keine Beachtung mehr.Somit ist diese Tabelle durchaus mit Vorsicht zu genießen.

Man erkennt am Auftreten der Funktionstypen immense Unterschiede der beidenBundesländer. Winkelfunktionen spielen im Berliner Abitur überhaupt keine Rolle,weshalb diese auch nicht in der Tabelle wiederzufinden sind. Ähnlich ist es bei den Loga-rithmusfunktionen, welche lediglich zweimal auftraten. Aber auch gebrochen-rationaleFunktionen sind in Berlin weniger oft in Erscheinung getreten als in Bayern.Mit einer hohen Wahrscheinlichkeit treten im Berliner Abitur Polynomfunktionen oderExponentialfunktionen - auch als Funktionenscharen - auf.

Im bayerischen Abitur erkennt man zwar in der Tabelle einzelne Lücken, jedoch könnenSchüler die zu bearbeitende Aufgabengruppe nicht selbstständig wählen, weshalb sienicht gezielt Funktionstypen vermeiden können.Jedoch existieren Funktionstypen, welche eher unwahrscheinlich erscheinen werden. DieKosinusfunktion ist bisher einmal aufgetreten und Funktionenscharen sind mit dreimalauch eher selten.

Über jeden Funktionstyp benötigen bayerische Schüler vor allem Wissen über De-finitionsmenge, Achsenabschnittspunkte, deren Ableitungen und diese zu bilden unddas Verhalten im Unendlichen zu beschreiben, da dies Themeninhalte sind, welche innahezu jedem Abitur geprüft wurden.

Im Gegensatz zum Berliner Abitur stehen Begründungsaufgaben deutlicher im Fokus,während das Aufstellen eines Gleichungssystems weniger häufig auftrat.Eine Wertemenge anzugeben, eine momentane Steigung näherungsweise durch dasAnlegen einer Tangente in dem gesuchten Punkt zu bestimmen, das Monotonie- oderKrümmungsverhalten einer Funktion zu beschreiben sind einzelne Beispiele, welche inBerlin in diesem Zeitraum nie abgefragt wurden.

Des Weiteren gibt es Themeninhalte, wie Grenzwertbetrachtung, Integration undExtrema, welche in nahezu beiden Bundesländern in mindestens einen der beidenAufgaben jährlich zu erwarten sind.

Man kann auf jeden Fall in beiden Bundesländern erkennen, welche Inhalte mit einerhöheren Wahrscheinlichkeit erwartet werden können als andere. Der Funktionstypbleibt jedoch in Bayern eine Überraschung.Anders in Berlin, da hier die Schüler selbst ihre Aufgaben und somit die dazugehörigenFunktionstypen wählen können, haben sie die Möglichkeit sich mit einer hohen Wahr-scheinlichkeit für Exponentialfunktionen zu entscheiden, da diese bisher in jedem Jahrin einem der beiden Aufgaben vorkamen.

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Die Auflistung der Themen der Rahmenlehrpläne aus der Tabelle in Kapitel 3.2,finden sich im bayerischen Abitur gut wieder.In Berlin fehlen im Abitur vor allem Winkelfunktionen, welche laut Rahmenlehrplanjedoch vorgesehen sind und somit behandelt werden sollten.

Dem Themeninhalt Newton-Verfahren kann Berlin zwar die Berechnung eines Ro-tationskörpers entgegensetzen, jedoch ist in der Summe betrachtet, das bayerischeAbitur schwieriger zu bewerkstelligen. Den Schülern erwarten in einem Abitur deutlichmehr Funktionstypen, mehr Aufgaben und mehr Themeninhalte. Erschwerend kommtnoch hinzu, dass sie nicht wählen können, welche Aufgabengruppe sie bearbeiten möch-ten und sich somit umfangreicher auf das Abitur vorbereiten müssen. Man hat imBerliner Abitur deutlich bessere Chancen, auf Lücken zu lernen als im bayerischen.

Dank Tabelle 1 aus Kapitel 4, sieht man nach der Analyse von sieben Abiturjahrgängendeutlich, dass das bayerische Abitur nicht mit dem Berliner Grundkurs Abitur zuvergleichen ist.Der abgefragte Umfang, die Vorhersagbarkeit, welche Aufgaben erscheinen werden,die wenigen Funktionstypen, etc., sind solch gravierende Unterschiede zwischen denbeiden Bundesländer, welche im Vergleich mit dem Grundkurs noch deutlicher ausfallenwürden.

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6 ReflexionZunächst möchte ich klarstellen, dass sich eine gewisse Subjektivität trotz gemachterVorkehrungen nicht ganz vermeiden lässt. Ich selbst habe im Jahr 2011 mein Abitur inBayern abgelegt und war somit der letzte Jahrgang mit Grund- und Leistungskursen,da es sich in diesem Jahr um einen Doppeljahrgang - ein Jahr, in dem zwei Jahrgängeihren Abschluss erzielen - handelte.In Erinnerung blieben mir Aussagen der Lehrkräfte, welche Edmund Stoiber beschuldig-ten, das bayerische Abitur durch das G8 in seiner Wertigkeit herabzustufen.15 Aussagenwie: „Wenn jeder in Mathematik Abitur schreiben muss und gleichzeitig aber die Durch-fallquote nicht zu hoch sein darf für den Ländervergleich, dann kann man sich selbstzusammenreimen was jetzt noch geprüft wird“, oder „Wahnsinn! Von ursprünglich 6Wochenstunden Leistungskurs auf 4 Wochenstunden verpflichtenden Kursunterricht“.Die Lehrer meines Gymnasiums machten keinen Hehl daraus, ihren Unmut über diedamalige Reform zu äußern und je näher das erste G8 Abitur rückte, desto genervterreagierten sie auf diese Thematik. Es fielen Sätze wie: „Nicht jeden interessiert dieMathematik“ und sie haben „auch nicht die Zeit bis jeder Schüler den kompletten Stoffdurchdrungen hat“, vor allem dem Leistungskurs trauerten sie hinterher: „Kleine Kursemit mathematisch begeisterten und mathematisch begabteren Schüler wird es nichtmehr geben.“Aus diesem Grund war es interessant, zu analysieren, wie sich das „neue“ Abiturgestaltet. Was sind die Charakteristika dieses Abiturs und sind die Sorgen der Lehrerberechtigt gewesen?Trotz all der Subjektivität wurde dennoch versucht, die beiden Abiture so objektiv wiemöglich zu betrachten und zu vergleichen, weshalb gewisse Kriterien und Vorkehrungengetroffen und eingehalten wurden.

Die Kategorisierung der Aufgabenteile in die Anforderungsbereiche sowie in die The-meninhalte habe ich selbstständig und nach bestem Gewissen vollzogen. Hierfür habeich alle 28 Abiture gerechnet und Lösungen angefertigt.

6.1 DiskussionEs hat den Anschein als möchte das bayerische Abitur durch seine große Anzahl anAufgaben ein möglichst breites Wissensspektrum abfragen.Wissen ist aber nicht gleich Können! Durch die große Anzahl an Fragen bekommt dasbayerische Abitur oft eher den Charakter eines Vokabeltests. Die Schüler müssen fürden Großteil der Aufgaben nicht nachdenken, welcher Schritt zu erledigen ist, da diesdie Aufgabenstellung vorgibt.15Am 5. November 2003 erklärte Herr Stoiber wie aus dem Nichts, dass das

Gymnasium mit sofortiger Wirkung auf acht Jahre verkürzt werde. (sie-he http://www.donaukurier.de/nachrichten/bayern/G8-G9-DKmobil-dkonline_PMG-0815-Die-Geschichte-einer-missglueckten-Reform;art155371,3333989 zuletztaufgerufen am 17.06.2018)

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http://www.donaukurier.de/nachrichten/bayern/G8-G9-DKmobil-dkonline_PMG-0815-Die-Geschichte-einer-missglueckten-Reform;art155371,3333989

http://www.donaukurier.de/nachrichten/bayern/G8-G9-DKmobil-dkonline_PMG-0815-Die-Geschichte-einer-missglueckten-Reform;art155371,3333989

6 Reflexion

Das Fach Mathematik, wie in Kapitel 2.3 beschrieben, soll aber fördern, Wissen zuvernetzen, um somit gezielt gegen Probleme vorzugehen. Man verlässt also das reineFaktenwissen, da dies nur ein Werkzeug sein sollte, um eine gegebene Problematiklösen zu können. Hierbei sollte der Schüler selbst zu den Erkenntnissen gelangen,welche über die Jahre aufgebauten Fertigkeiten er nun verwenden muss bzw. kannund sich somit eine geeignete Strategie zur Lösung überlegen. Solche Aufgaben sindim bayerischen Abitur eher weniger vertreten, dafür finden sich aber oft Aufgaben ineinem Sachzusammenhang wieder. Dies ist aber nicht als grundlegend negative Kritikzu verstehen, da durch Begründungsaufgaben versucht wird, dem Wissen dahinter einwenig „Leben einzuhauchen“.

Ohne das bayerische Abitur schlecht reden zu wollen, gleichen einige Aufgaben, wieoben angesprochen, eher einem Vokabeltest: kurzes, schnell abprüfbares Wissen. InBerlin hingegen analysiert man häufig eine Funktion, über das ganze Abitur hinweg,was die Abschlussprüfung „vollständig“, als eine lange zusammenhängende Aufgabewirken lässt.Dies wirkt somit wie ein Vergleich zwischen einem Vokabeltest und einem Aufsatz.Beide können schwerer als das jeweils andere sein. Ein Vokabeltest mit Fachvokabularoder eher ungebräuchlichen Vokabeln ist in der Beantwortung schwieriger als dasVerfassen einer Erlebniserzählung.Dieser Vergleich auf die Abiture in Mathematik der jeweiligen Bundesländer bezogen,zeigt die Schwierigkeit einer Gegenüberstellung solcher.Manchen Schülern könnte es leichter fallen, viele unterschiedliche Aufgaben, anstatt we-niger aber dafür „langatmigeren“ Aufgaben zu bearbeiten. Dieses Breiten- vs. Tiefenwis-sen variiert somit von Schüler zu Schüler. Betrachtet man verschiedene Funktionstypenin einer Vielzahl an Aufgaben, so birgt dies die Gefahr, dass man nur an der Oberflächeder Mathematik kratzt (Ableitung bilden, Achsenabschnittspunkte berechnen, etc.).Andererseits benötigt man aber auch Kenntnisse über diese Funktionen (Existenz vonNullstellen? Definitionsbereich einzelner Funktionstypen?).

Es ist jedoch sinnvoll, viel abzuprüfen (Bayern), dabei aber den Charakter eines Vokabel-testes abzulegen (Berlin), also eine Mischung der Abiture aus den beiden Bundesländern.

Außerdem wäre es wünschenswert, wenn sich in Berlin der Fokus mehr von Kal-külaufgaben zu Begründungsaufgaben verlagern würde. Die Berechnung soll nichtvollständig vernachlässigt werden, aber es sollte im Abitur ein gesundes Maß und nichtden Großteil einnehmen.Das Abitur 2017 macht einen riesigen Schritt in die richtige Richtung.Hier ist der Anteil an Berechnungsaufgaben ziemlich hoch, jedoch stehen andere Fer-tigkeiten, wie das Überlegen einer geeigneten Strategie, im Fokus. Die Berechnungensind somit lediglich das Mittel zum Zweck.Hinzugefügt werden sollten noch Deutungen einer Funktion, deren Ableitungen und

78

6.2 Ausblick

Integrale, sowie das Skizzieren16 solcher.

Themen, welche in beiden Bundesländern auftreten, wurden innerhalb der siebenJahre oft unterschiedlich abgeprüft.Die Untersuchung von Asymptoten, auch schiefen Asymptoten, ist ein solches Beispiel.Während es in Berlin möglich ist, dass Schüler die Gleichung einer Asymptote beieiner gebrochen-rationalen Funktion ermitteln müssen - Polynomdivision sowie einerGrenzwertbetrachtung des Restquotienten - ist in Bayern solch eine Aufgabe meistin zwei Teile gegliedert. Im Allgemeinen wird den Schülern ein anderer äquivalenterFunktionsterm vorgestellt, dessen Äquivalenz die Schüler zeigen müssen. Anschließendsollen sie die schiefe Asymptote bestimmen, welche man am neuen Funktionstermablesen kann.

Beide Abiture der Bundesländer haben, nach Betrachtung des Gesamtbildes, Vor-und Nachteile, wobei ganz klar zu sagen ist, dass sich Berlin eher an dem bayerischenAbitur orientieren sollte. Obwohl man als Schüler in Bayern nur vier WochenstundenMathematik gelehrt bekommt, ist das Abitur in Analysis umfangreicher als das Abiturdes Leistungskurses in Berlin.

Dass sich der Umfang des bayerischen Abitures so immens von dem Berliner Abiturunterscheidet, ist erstaunlich, da für das erste Abitur im Jahre 2011 das Staatsinstitutfür Schulqualität und Bildungsforschung empfahl, sich zur Vorbereitung am ehemaligenGrundkurs zu orientieren:

„Die Lehrkräfte stehen bei der Vorbereitung ihrer Schülerinnen und Schüler auf das ersteAbitur am achtjährigen Gymnasium grundsätzlich vor der Frage nach ausreichendemÜbungsmaterial. Dazu ist anzumerken, dass die Grundkursaufgaben der letzten Jahreals Übungsaufgaben in weiten Teilen gut geeignet sind. Diese Handreichung erläutert,dass die bisherigen Anforderungen an einzelnen Stellen aufgrund neuer Inhalte oderneuer Schwerpunktsetzungen modifiziert werden und bietet exemplarisch Aufgaben-material an. Die neuen Schulbücher werden hierzu weiteres Übungsmaterial bringen.“(ISB08, S. 23)

Man soll sich also an einem Kurs orientieren, welcher einen Turnus von drei Wo-chenstunden besaß. Hier wäre es äußerst interessant gewesen, das bayerische GrundkursAbitur näher zu analysieren.

6.2 AusblickDie Noten, die im Abiturzeugnis wiederzufinden sind, werden dann interessant, wennman sich um einen Studienplatz bewirbt.

16Vorausgesetzt es handelt sich um ein Abitur, in dem der Einsatz eines CAS-Taschenrechnersuntersagt ist.

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6 Reflexion

Hier setzt die in der Einleitung zitierte Äußerung des deutschen Lehrerpräsidenten,Josef Kraus, an.In einem Studiengang, welcher durch einen Numerus clausus beschränkt ist, habendiejenigen Bewerber einen Vorteil, die einen besseren Abschluss vorweisen können. Einleichteres Abitur hilft hierbei, einen solchen zu erzielen.17

Wie können nun solche Ungleichheiten angegangen werden?Der derzeitig eingeschlagene Weg der beiden Bundesländer führt derweil zu einer bes-seren Vergleichbarkeit. Zum einen erwarten den zukünftigen Berliner Abiturienten abnächstem Jahr, 2019, in Mathematik der erste hilfsmittelfreie Teil. Hier muss Bayernansetzen und diesen ebenfalls verpflichtend - ohne Bearbeitung von Hilfsmitteln -einführen. Zum anderen ist die Punkteverteilung sowie die Zeiteinteilung annäherndgleich kalkuliert.Des Weiteren, und dies ist meiner Meinung nach die größte Errungenschaft, werden seit2017 in beiden Bundesländern Aufgaben aus einem gemeinsamen Pool in das jeweiligeAbitur integriert. Hierbei wäre es schön, wenn der Umfang und die Schwierigkeit dergemeinsam entwickelten Aufgaben, welche in den Abituren eingesetzt werden, ungefährgleich wären, um eine Vergleichbarkeit zu erhöhen.

Das Beste auf lange Sicht wäre, wenn irgendwann sogar ein einheitliches, deutschland-weit gleiches Abitur existieren würde, damit solche Benachteiligungen in der Bewerbungum einen Studienplatz minimiert würden.18

Auch sollte das Berliner CAS-Abitur überarbeitet werden. Es ist völlig inakzeptabel,ein nahezu identisches Abitur zu präsentieren.

Ein weiterer Blick in die nahe Zukunft offenbart die erneute Einführung des neun-jährigen Gymnasiums in Bayern. Das G8 wird weiterhin für leistungsstarke Schülerangeboten, welche die 11. Jahrgangsstufe überspringen können, jedoch soll das Abiturin der Regel nun wieder nach neun Jahren erworben werden können. Das Kurssystemwird in der Beschreibung jedoch nicht vorgestellt, weshalb davon auszugehen ist, dasses nicht wieder eingeführt wird. Geltend ist diese Regelung für Schüler der 5. Klassedes kommenden Schuljahres 2018/19. (Bay18)

6.3 FazitIch werde es mir nicht anmaßen zu sagen, dass das eine Abitur besser ist als dasandere, da sie dafür zu unterschiedlich sind. Es kann aber festgehalten werden, dassder Fokus mehr auf die Mathematik an sich - also die Theorie hinter der Anwendungsowie Beschreibungen zu Durchführungen - gelegt werden sollte, wie es das bayerischeAbitur löblicherweise versucht.17Siehe hierfür auch: https://bit.ly/2Jkk9vP (Quelle der Süddeutschen Zeitung von Seite 1.)18Oder es entscheiden sich mehr Menschen für ein Studium in der Mathematik und Informatik, da

hier die Beschränkungen - sofern sie denn existieren - ziemlich liberal sind.

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https://bit.ly/2Jkk9vP

6.3 Fazit

Eine optimale Vorbereitung durch das bayerische Gymnasium auf ein mögliches Studi-um, wie in Kapitel 2.1 erwähnt wird, ist nicht ganz falsch, jedoch auch nicht vollendskorrekt. Auch wenn die Schüler laut Rahmenlehrplan im Themenbereich Analysis einegute Ausbildung genießen, besteht eine optimale Vorbereitung meiner Meinung nachebenfalls aus einer kleineren Klassengröße anstatt einer „Massenabfertigung“. VieleKinder in einer Klasse bedeuten vor allem viele potenzielle Ausbremsungen19. Nichtjeder Schüler versteht mathematische Zusammenhänge gleich schnell, jedoch möchteman als Lehrkraft - in einem gewissen Rahmen zumindest - jeden Schüler auf einengleichen Wissenstand befördern. Dies geht vor allem auf Kosten der mathematischbegabten Schüler. Eine kleinere, leistungshomogenere Klasse beugt diesem Problem vor.

In Analysis werden auf jeden Fall gute Grundlagen, vor allem durch die Behand-lung unterschiedlicher Funktionstypen und einer Untersuchung dieser, geschaffen.

Die Abituraufgaben, bezogen auf Mathematik, sind meiner Meinung nach schwermiteinander zu vergleichen, wenngleich ich, subjektiv betrachtet, das bayerische Abiturals umfangreicher und schwieriger empfand.Entgegen der Behauptung von Herrn Kraus, denke ich jedoch nicht, dass das BerlinerMathematikabitur geschenkt ist.

Interessant wäre es hierbei zu erforschen, inwieweit bayerische Schüler das Abiturdes Berliner Leistungskurses und Berliner Schüler das bayerische Abitur bearbeiten kön-nen, klammert man unbekannte Themen, wie Rotationskörper und Newton-Verfahrenaus.Auch die anderen beiden Themenbereiche, Stochastik und Analytische Geometrie, giltes noch zu analysieren, um ein vollständiges Bild zu erhalten, da ein nachfolgendesMathematikstudium nicht nur aus Analysis besteht.Stehen hier ebenfalls mathematische Begründungen und Nachweise im Vordergrundoder liegt der Fokus auf andere Themeninhalte?Ebenfalls wäre eine Analyse der Punkteverteilung noch interessant, um die Schwierig-keit im Abitur eine gute Note zu erreichen, zu bestimmen. Welchen Anteil machenschwierige und leichte Aufgaben in der Punkteverteilung aus? Da in dieser Arbeitjedoch ein Vergleich der Abiture der beiden Bundesländer gezogen wurde und nichtverglichen wurde, „in welchem Abitur man mit größerer Wahrscheinlichkeit eine bessereNote erzielen könnte“, wurde dieser Punkt nicht weiter berücksichtigt.

Festgehalten werden kann, dass das bayerische Abitur seinen Charme nicht gänz-lich verloren hat. Trotz dem, dass jeder bayerische Schüler in Mathematik das Abiturabsolvieren muss, werden viele weiterführende Fragen gestellt sowie auf die Bedeutungder einzelnen Funktionen und deren Ableitungen eingegangen. Die Sorge meiner da-maligen Lehrer kann ich verstehen und ist sicherlich nicht ganz unberechtigt gewesen,

19Gemeint ist ein träges Voranschreiten im Unterricht durch gehäufte Verständnisprobleme.

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6 Reflexion

jedoch wurde versucht das Mathematikabitur-für-jedermann auf ein akzeptables Maßanzulegen.

Des Weiteren muss bei der ganzen Analyse bedacht werden, dass ein Abitur „nur“eine Abschlussprüfung ist, auf die man sich gezielt vorbereiten kann. Viel wichtiger alsPrüfungen ist jedoch der Unterrichtsstoff, der unterrichtet wurde und das liegt einzigund allein an der Lehrkraft. Der Rahmenlehrplan gibt zwar Richtlinien des zu unter-richteten Materials vor, jedoch wird dies in der Praxis kaum überprüft. Eine Klasse,die im 4. Semester nur noch für das Abitur übt (teaching to the test), könnte bessereNoten erzielen, als Klassen, die sich bis zu Letzt mit der Mathematik auseinandersetzen.Ob sich solch eine abiturvorbereitende Klasse jedoch mehr Wissen angeeignet hat alseine Klasse mit einem gewissenhaften Lehrer, darf bezweifelt werden!

Es bleibt auf jeden Fall spannend, wie sich Deutschlands höchster Bildungsabschlussweiterentwickelt. Zieht Berlin - auch durch die Einführung eines hilfsmittelfreien Teils- vom Niveau her weiter an oder war das Jahr 2017 eine Ausnahme? Entfernt sichBayern durch die erneute Einführung des neunjährigen Gymnasiums möglicherweiseweiter von Berlin? Existiert in absehbarer Zeit ein einheitliches Abitur?Da dies jedoch Zukunftsmusik ist, kann man sich zurücklehnen und abwarten.

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Literatur[B+97a] Baierlein, Marianne u. a.: Anschauliche Analysis 1. Oldenbourg Schul-

buchverlag GmbH, 1997

[B+97b] Baierlein, Marianne u. a.: Anschauliche Analysis 2 Leistungskurs. Olden-bourg Schulbuchverlag GmbH, 1997

[Bay83] Bayerisches Gesetz- und Verordnungsblatt: Schulordnungfür die Gymnasien in Bayern. (1983). https://www.verkuendung-bayern.de/files/gvbl/1983/23/gvbl-1983-23.pdf. – zuletzt aufgerufen am17.06.2018

[Bay07] Bayerische Staatskanzlei: Schulordnung für die Gymnasien inBayern (Gymnasialschulordnung – GSO). In: Gesetz- und Verordnungsblatt- GVBl. (2007), S. 67 - S. 130. http://www.gesetze-bayern.de/Content/Pdf/BayGSO?all=True. – zuletzt aufgerufen am 17.06.2018. (ÜberarbeiteteVersion).

[Bay18] Bayerisches Staatsministerium für Unterrichtund Kultus: So entwickelt sich das Gymnasium zeitge-mäß weiter. https://www.km.bayern.de/lehrer/meldung/5082/so-entwickelt-sich-das-gymnasium-zeitgemaess-weiter.html.Version: 2018. – zuletzt aufgerufen am 17.06.2018

[BBK94] Barth, Elisabeth ; Barth, Friedrich ; Krumbacher, Gert: Anschau-liche Analytische Geometrie. Ehrenwirth Verlag GmbH, 1994

[BH98] Barth, Friedrich ; Haller, Rudolf: Stochastik Leistungskurs. OldenbourgVerlag GmbH, 1998

[BK03] Barth, Friedrich ; Krumbacher, Gert: Analysis anschaulich 1. Olden-bourg Schulbuchverlag GmbH, 2003

[BK16] Burchard, Amory ; Kühne, Anja: Streit um Qualität vonSchulabschlüssen: Was das Berliner Abitur wert ist. In: DerTagesspiegel (2016). https://www.tagesspiegel.de/wissen/streit-um-qualitaet-von-schulabschluessen-was-das-berliner-abitur-wert-ist/14968282.html. – zuletzt aufgerufen am 17.06.2018

[CF17] Csapodi, Csaba ; Filler, Andreas: How much knowledge do stu-dents need for the high school final exams in mathematics? A compari-son between Hungary and Germany. In: Beiträge zum Mathematikunter-richt (2017). https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/36418/1/BzMU-2017-CSAPODI.pdf. – zuletzt aufgerufen am 17.06.2018

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https://www.verkuendung-bayern.de/files/gvbl/1983/23/gvbl-1983-23.pdf

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https://www.km.bayern.de/lehrer/meldung/5082/so-entwickelt-sich-das-gymnasium-zeitgemaess-weiter.html

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https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/36418/1/BzMU-2017-CSAPODI.pdf

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Literatur

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[Gre14] Gremm, Walter: Abiturprüfungen 2015 und 2016; hier: Varianten inder Abiturprüfung Mathematik. (2014). https://www.isb.bayern.de/download/15598/abiturpruefungen_2015_und_2016_hier_varianten_in_der_abiturpruefung_mathematik.pdf. – zuletzt aufgerufen am17.06.2018

[ISBa] ISB: Das bayerische Mathematikabitur. https://www.isb.bayern.de/schulartspezifisches/leistungserhebungen/abiturpruefung-gymnasium/mathematik/. – zuletzt aufgerufen am17.06.2018

[ISBb] ISB: Das Gymnasium in Bayern. http://www.isb-gym8-lehrplan.de/contentserv/3.1.neu/g8.de/index.php?StoryID=26350. – zuletzt aufge-rufen am 17.06.2018

[ISBc] ISB: Jahrgangsstufen-Lehrplan: Jahrgangsstufen 11/12: Mathema-tik. http://www.isb-gym8-lehrplan.de/contentserv/3.1.neu/g8.de/index.php?StoryID=26192. – zuletzt aufgerufen am 17.06.2018

[ISBd] ISB: Mathematik. http://www.isb-gym8-lehrplan.de/contentserv/3.1.neu/g8.de/index.php?StoryID=26378. – zuletzt aufgerufen am 17.06.2018

[ISBe] ISB: Mathematik am Gymnasium: Abiturprüfung ab dem Jahr2014. https://www.isb.bayern.de/download/13105/abiturpruefung_ab_dem_jahr_2014_wesentliche_rahmenbedingungen.pdf. – zuletzt aufgeru-fen am 17.06.2018

[ISB08] ISB: Das Abitur im Fach Mathematik am achtjährigenGymnasium. https://www.isb.bayern.de/download/1766/das-abitur-im-fach-mathematik-am-achtjaehrigen-gymnasium.pdf.Version: 2008. – zuletzt aufgerufen am 17.06.2018

[LIS] LISUM: Zentralabitur Berlin und Brandenburg in Mathema-tik. http://bildungsserver.berlin-brandenburg.de/unterricht/pruefungen/zentralabitur/abituraufgaben-2011/. – zuletzt aufgerufenam 17.06.2018

[LIS14] LISUM: Rahmenlehrplan für den Unterricht in der gymnasia-len Oberstufe: Mathematik. (2014). https://www.berlin.de/sen/bildung/unterricht/faecher-rahmenlehrplaene/rahmenlehrplaene/mdb-sen-bildung-unterricht-lehrplaene-sek2_mathematik_neu2014.pdf. – zuletzt aufgerufen am 17.06.2018

84

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Literatur

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[Prä17] Präbst, Adolf: Abiturprüfung 2018 im Fach Mathematik; hier: Wahl-möglichkeiten. (2017). https://www.isb.bayern.de/download/19502/abiturpruefung_2018_im_fach_mathematik_hier_wahlmoeglichkeiten.pdf. – zuletzt aufgerufen am 17.06.2018

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[Sen] SenBJF: Auf Kurs zum Abitur Wegweiser für die gymnasiale OberstufeSchuljahr 2018/2019. https://www.berlin.de/sen/bildung/schule/bildungswege/gymnasium/wegweiser-gymnasiale-oberstufe-2018_2019.pdf. – zuletzt aufgerufen am 17.06.2018

[Sen04] SenBJF: Fachbrief Nr. 1 Mathematik. (2004). http://bildungsserver.berlin-brandenburg.de/fileadmin/bbb/unterricht/fachbriefe_berlin/mathematik/fachbrief_mathematik_01.pdf. – zuletzt aufgerufenam 17.06.2018




[Sen14] SenBJF: Fachbrief Nr. 18 Mathematik. (2014). http://bildungsserver.berlin-brandenburg.de/fileadmin/bbb/unterricht/fachbriefe_berlin/mathematik/Fachbrief_Mathematik_18.pdf. – zuletzt aufgerufenam 17.06.2018

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Literatur



[ZEI16] ZEITONLINE: Lehrerverband gegen Berliner Ab-itur. (2016). http://www.zeit.de/studium/2016-12/notenvergabe-abitur-josef-kraus-lehrerverband. – zuletzt aufge-rufen am 17.06.2018

86







http://www.zeit.de/studium/2016-12/notenvergabe-abitur-josef-kraus-lehrerverband

http://www.zeit.de/studium/2016-12/notenvergabe-abitur-josef-kraus-lehrerverband

A AnhangIm Nachfolgenden die Abituraufgaben aus dem Themenbereich Analysis.

Die bayerischen Mathematikabiture können unter folgender Quelle gefunden werden:(ISBa)

Die Zentralabiture für Berlin und Brandenburg wurden aus folgender Quelle ent-nommen: (LIS)

87

3

Analysis

Aufgabengruppe I

BE Teil 1

4 1 Gegeben ist die Funktion 2x 3

f : x4x 5

mit maximaler Definitionsmenge D.

Geben Sie D an und ermitteln Sie einen möglichst einfachen Funktionsterm

für die Ableitung f ' von f.

5 2 Zeigen Sie, dass 214

F : x x (2lnx 1) mit Definitionsmenge IR eine

Stammfunktion der in IR definierten Funktion f : x x lnx ist.

Bestimmen Sie einen Term derjenigen Stammfunktion von f, die in x 1 eine

Nullstelle hat.

5 3 Die Anzahl der auf der Erde lebenden Menschen wuchs von 6,1 Milliarden

zu Beginn des Jahres 2000 auf 6,9 Milliarden zu Beginn des Jahres 2010.

Dieses Wachstum lässt sich näherungsweise durch eine Exponentialfunk-

tion mit einem Term der Form k (x 2000)0N(x) N e beschreiben, wobei N(x)

die Anzahl der Menschen zu Beginn des Jahres x ist.

Bestimmen Sie 0N und k.

4 Betrachtet wird die Aussage

π

0

sin(2x)dx 0 .

3 a) Machen Sie ohne Rechnung anhand einer sorgfältigen Skizze plausibel,

dass die Aussage wahr ist.

3 b) Weisen Sie mithilfe einer Stammfunktion die Gültigkeit der Aussage durch

Rechnung nach.

20

(Fortsetzung nächste Seite)

A Anhang

2011 Bayern

88

4

BE Teil 2

1 Gegeben ist die Funktion f : x x 3

mit Definitionsmenge fD . Abbildung 1

zeigt den Graphen fG von f, einen

beliebigen Punkt Q(x | f(x)) auf fG

sowie den Punkt P(1,5 | 0) auf der

x-Achse.

Abb. 1

2 a) Begründen Sie, dass fD [ 3; [ die maximale Definitionsmenge von f

ist. Wie geht fG aus dem Graphen der in 0IR definierten Funktion

w : x x hervor?

4 b) Zeigen Sie, dass für die Entfernung d(x) des Punkts Q(x | f(x)) vom

Punkt P(1,5 | 0) gilt: 2d(x) x 2x 5,25 .

7 c) Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten desjenigen Graphenpunkts

E E EQ (x | y ), der von P den kleinsten Abstand hat. Tragen Sie EQ in

Abbildung 1 ein.

(zur Kontrolle: Ex 1)

5 d) Weisen Sie nach, dass die Verbindungsstrecke E[PQ ] und die Tangente

an fG im Punkt EQ senkrecht zueinander sind.

6 e) Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von fG , der x-Achse

und der Strecke E[PQ ] begrenzt wird.

2 Abbildung 2 zeigt den Graphen gG einer in IR \ {1} definierten gebrochen-

rationalen Funktion g mit folgenden Eigenschaften:

Die Funktion g hat in x 1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel;

gG verläuft stets oberhalb seiner schrägen Asymptote, die durch die

Gleichung 12

y x 1 gegeben ist;

die einzige Nullstelle von g ist x 1 .


89

5

Abb. 2

6 a) Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 näherungsweise den Wert der

Ableitung g' von g an der Stelle x 1 ; veranschaulichen Sie Ihr Vor-

gehen durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.

Aus der Gleichung der schrägen Asymptote ergibt sich unmittelbar das

Verhalten der Ableitung g' für x und x . Geben Sie dieses

Verhalten an und skizzieren Sie den Graphen von g' in Abbildung 2.

5 b) Die Funktion g hat eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III

mit a IR \ {0} :

I 2

ay x 1

(x 1)

II 1

2

ay x 1

x 1

III 1

2 2

ay x 1

(x 1)

Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der

Form II als Funktionsgleichung von g infrage kommt.

Die Funktionsgleichung von g hat also die Form III. Bestimmen Sie den

passenden Wert von a.

5 c) Betrachtet wird nun die Funktion h mit h(x) ln g(x) . Geben Sie mithilfe

des Verlaufs von gG die maximale Definitionsmenge hD von h, das Ver-

halten von h an den Grenzen von hD sowie einen Näherungswert für die

Nullstelle von h an.

40

A Anhang

90

6

Analysis

Aufgabengruppe II

BE Teil 1

5 1 Skizzieren Sie den Graphen der in IR definierten Funktion 2f : x 4 x .

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von f mit der

x-Achse einschließt.

4 2 Geben Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion f : x 3 x an und

bestimmen Sie den Term derjenigen Stammfunktion von f, deren Graph den

Punkt (1| 4) enthält.

3 Betrachtet wird die Funktion

2

sinxf : x

x mit Definitionsmenge IR \ {0} .

3 a) Geben Sie die Nullstellen von f an.

3 b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f und geben Sie

den Grenzwert von f für x an.

2 c) Bestimmen Sie den Term der Ableitung von f.

3 4 Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion f mit Definitions-

menge IR \ { 1} an, deren Graph die Gerade mit der Gleichung y 2 als

Asymptote besitzt und in x 1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.

20

BE Teil 2

1 Gegeben ist die in IR definierte Funktion 0,5xf : x 6 e x . Der Graph

von f wird mit fG bezeichnet.

10 a) Untersuchen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von fG .

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts E EE(x | y ) von fG .

(zur Kontrolle: Ex 2 ln3 ; 0,5xf ''( x ) 1,5 e )

3 b) Geben Sie das Verhalten von f für x an. Machen Sie plausibel,

dass fG für x die Gerade mit der Gleichung y x als schräge

Asymptote besitzt.

6 c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an fG im Punkt (0 | 6) .

Skizzieren Sie fG unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein

geeignet anzulegendes Koordinatensystem.


91

7

2 Gegeben ist die in IR definierte

Funktion 0,5xh : x 6 e 1,5 .

Die Abbildung zeigt den in IR

streng monoton fallenden

Graphen hG von h sowie dessen

Asymptote, die durch die

Gleichung y 1,5 gegeben ist.

4 a) Beschreiben Sie, wie hG aus

dem Graphen der in IR

definierten natürlichen

Exponentialfunktion xx e

hervorgeht.

Für x 0 beschreibt die Funktion h modellhaft die zeitliche Entwicklung des

momentanen Schadstoffausstoßes einer Maschine. Dabei ist x die seit dem

Start der Maschine vergangene Zeit in Minuten und h(x) die momentane

Schadstoffausstoßrate in Milligramm pro Minute.

3 b) Geben Sie in diesem Sachzusammenhang die Bedeutung des Monoto-

nieverhaltens von hG sowie des Grenzwerts von h für x an.

6 c) Bestimmen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das hG , die Koordinaten-

achsen und die Gerade mit der Gleichung x 5 einschließen. Interpre-

tieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

3 Gegeben ist die Schar der Funktionen 0,5xaf : x 6 e a x mit a IR und

Definitionsmenge IR.

5 a) Weisen Sie nach, dass die Graphen aller Funktionen der Schar die

y-Achse im selben Punkt schneiden und in IR streng monoton fallend

sind. Zeigen Sie, dass axlim f (x)

gilt.

3 b) Aus den Ergebnissen der Aufgabe 3a ergibt sich, dass jede Funktion der

Schar genau eine Nullstelle besitzt. Bestimmen Sie für diese Nullstelle in

Abhängigkeit von a einen Näherungswert 1x , indem Sie den ersten

Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert 0x 0 durchführen.

40

A Anhang

92

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2011 Länder Berlin und Brandenburg

Aufgabe 1.1: Testfahrt

Eine Funktion f ist für RIx∈ definiert durch: 80)804()( 20

1

+⋅+−=− x

exxf .

a) Untersuchen Sie den Graphen von f auf relative Extrempunkte und deren Art.

Der Graph von f besitzt genau einen Wendepunkt. Ermitteln Sie seine Koordinaten. Auf die Verwendung eines hinreichenden Kriteriums zur Bestimmung des Wendepunktes wird verzichtet. Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte für ∞+→x an.

[ Zur Kontrolle: x

exxf 20

1

5

1)(

−⋅=′ ]

b) Zeichnen Sie den Graphen von f für 15010 <<− x einschließlich seiner

waagerechten Asymptote in das vorgegebene Koordinatensystem 1 ein.

Ein Schienenfahrzeug fährt aus dem Stand an. Die Geschwindigkeit des Schienenfahrzeugs

wird für 0≥x durch 80)804()( 20

1

+⋅+−=− x

exxf beschrieben.

Dabei wird die Zeit x in Sekunden und die Geschwindigkeit )(xfv = in s

m gemessen.

c) Die erste Ableitung von )(xfv = ist die Beschleunigung a des Fahrzeugs: )(xfa ′= .

Geben Sie nur mithilfe des notwendigen Kriteriums den Zeitpunkt maxx an, für den die

Beschleunigung maximal wird.

Berechnen Sie mindestens drei Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen von f ′ für 400 ≤≤ x in das Koordinatensystem 2 ein.

d) Bei einer anderen Testfahrt wird die Beschleunigung zum Zeitpunkt 40=x so

geändert, dass sie nunmehr linear abnimmt und sich der Graph der linearen Funktion

g tangential an den Graphen von f ′ anschließt.

Bestimmen Sie den Funktionsterm )(xg dieser linearen Funktion und berechnen Sie

den Zeitpunkt 0x , zu dem die Beschleunigung )(xg auf null abgenommen hat.

Ergänzen Sie Ihre graphische Darstellung der Beschleunigung um den linearen Anteil.

[Kontrollergebnis: 22 162,0)( −− +⋅−= exexg ]

e) Der Inhalt der Fläche über dem Intervall ]80;0[ zwischen der x-Achse und den bei

40=x zusammen gefügten beiden Graphen von f ′ und g entspricht der zum

Zeitpunkt 800 =x erreichten Endgeschwindigkeit.

Berechnen Sie diesen Flächeninhalt und geben Sie die bei der zweiten Testfahrt nach

80 Sekunden erreichte Endgeschwindigkeit in h

km an.

Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile

Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe

BE 17 5 5 7 6 40

Anlage

Seite 2 von 12 Mathematik

Leistungskurs

11_Ma_Aufgaben_LK

2011 Berlin

93


Anlage zu Aufgabe 1.1: Testfahrt Koordinatensystem 1

Koordinatensystem 2


Leistungskurs

11_Ma_Aufgaben_LK

A Anhang

94


Aufgabe 1.2: Kassenhäuschen

Gegeben ist die Funktionenschar af mit der Gleichung 0,;1

1)( ≠∈

−+= aRIaax

axxfa .

Die Graphen dieser Funktionen sind aG . Die Graphen der Schar mit 51;2;1=a sind in der

Anlage vorgegeben.

a) Geben Sie den Definitionsbereich von af und die Gleichungen aller Asymptoten

einschließlich der Polgeraden von aG an.

Ordnen Sie den vorgegebenen Graphen die zugehörigen Parameterwerte a zu und begründen Sie Ihre Entscheidung.

b) Zeigen Sie, dass ( )( )0|0 afE lokaler Extrempunkt aller Graphen aG ist und ermitteln Sie

dessen Art. Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden: ( )( )21−

−=′ax

aaxfa .

Neben E hat jeder Graph aG einen weiteren lokalen Extrempunkt T . Bestimmen Sie

dessen Koordinaten und weisen Sie nach, dass dieser stets ein lokaler Tiefpunkt des

Graphen ist. [Kontrollergebnis: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3|2

aT ]

Berechnen Sie diejenigen Werte a , für die die Punkte E und T einen Abstand von

LE17 haben.

c) Eine Ursprungsgerade g mit der Gleichung xby = mit 0>b und die Tangente t im

Tiefpunkt von 2G schließen einen Winkel von °45 ein. Bestimmen Sie b für diesen Fall.

Die y-Achse, die Gerade mit der Gleichung xy = und die Tangente t begrenzen ein

Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

d) Der Graph 51G schließt mit der Geraden mit der Gleichung

3=x und den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein

(siehe Darstellung). Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

e) Die in Aufgabe d) beschriebene Fläche wird um den Koordinatenursprung um 90° im Uhrzeigersinn gedreht. Der Körper, der durch Rotation dieser Fläche um die y-Achse entsteht, entspricht modellhaft der Form eines

Kassenhäuschens mit kreisförmiger Grund- und Deckfläche ( m1LE1 = ).

Der größere der beiden Kreise beschreibt die Grundfläche. Ein Architekturbüro plant für das Kassenhäuschen ein Dach, welches einen parabelförmigen Querschnitt besitzt. Das passgenau aufgesetzte Dach soll eine

Querschnittsfläche von 2

31 m besitzen. Ermitteln Sie die Gleichung eines möglichen

Graphen, der die obere Begrenzung des Dachquerschnittes beschreibt.



BE 7 17 6 5 5 40

Anlage


Leistungskurs

11_Ma_Aufgaben_LK

95


Anlage zu Aufgabe 1.2: Kassenhäuschen


Leistungskurs

11_Ma_Aufgaben_LK

A Anhang

96

3

Analysis

Aufgabengruppe I

BE Teil 1

1 Geben Sie zu den Funktionstermen jeweils den maximalen Definitions-

bereich sowie einen Term der Ableitungsfunktion an.

2 a) f x ln x 3

3 b) 2

3g x

x 1

2 Geben Sie jeweils den Term einer in IR definierten Funktion an, die die angegebene Eigenschaft besitzt.

2 a) Der Graph der Funktion f hat den Hochpunkt 0 | 5 .

2 b) Die Funktion g ist an der Stelle x 5 nicht differenzierbar.

3 Gegeben ist die in IR definierte Funktion f : x sin 2x .

2 a) Geben Sie zwei benachbarte Nullstellen von f an.

5 b) Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals 2

0

f x dx .

Warum stimmt der Wert dieses Integrals nicht mit dem Inhalt der Fläche überein, die für 0 x 2 zwischen dem Graphen von f und der x-Achse liegt?

4 4 Abbildung 1 zeigt den Graphen fG einer in ;5 definierten Funktion f. Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion f . Be-rücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für f 0 , die Nullstelle von f und das Verhalten von f für x 5 .

20 Abb. 1


2012 Bayern

97

4

BE Teil 2

Gegeben ist die Funktion

x

x

2ef : x

e 9 mit Definitionsbereich IR. Abbildung 2

zeigt den Graphen fG von f.

Abb. 2

2 1 a) Zeigen Sie rechnerisch, dass fG genau einen Achsenschnittpunkt S be-sitzt, und geben Sie die Koordinaten von S an.

2 b) Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms von f, dass xlim f x 0

und

xlim f x 2

gilt.

3 c) Weisen Sie rechnerisch nach, dass fG in IR streng monoton steigt.

(zur Kontrolle:

x

x 2

18ef ( x )

(e 9))

2 d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an fG im Achsenschnitt-punkt S.

(Ergebnis: y 0,18x 0,2 )

4 e) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die fG mit den Koordinatenachsen und der Geraden x 4 einschließt.

6 f) Begründen Sie, dass f in IR umkehrbar ist. Geben Sie den Definitionsbe-reich und den Wertebereich der Umkehrfunktion 1f an und zeichnen Sie den Graphen von 1f in Abbildung 2 ein.


A Anhang

98

5

2 Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Alba lässt sich modellhaft mit-hilfe der Funktion f beschreiben. Beginnt man die Beobachtung zwei Wo-chen nach der Auskeimung einer Sonnenblume dieser Sorte, so liefert f x für x 0;4 im Modell die Höhe der Blume in Metern. Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Monaten. In den Aufgaben 2a bis 2d werden ausschließlich Sonnenblumen der Sorte Alba betrachtet.

2 a) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, um wie viele Zentimeter eine Sonnenblume innerhalb der ersten zwei Monate nach Beobach-tungsbeginn wächst.

5 b) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, wie viele Monate nach Beobachtungsbeginn eine Sonnenblume eine Höhe von 1,5 Metern er-reicht. Beschreiben Sie, wie man den berechneten Wert graphisch über-prüfen kann.

5 c) Im Modell gibt es einen Zeitpunkt Mx , zu dem die Blumen am schnellsten wachsen. Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für Mx . Ermitteln Sie anschließend einen Näherungswert für die maxima-le Wachstumsrate in Zentimetern pro Tag.

4 d) Ein Biologe nimmt an, dass sich das Wachstum der Blumen vor Beobach-tungsbeginn näherungsweise durch die Gleichung der Tangente aus Auf-gabe 1d beschreiben lässt. Untersuchen Sie mithilfe einer Rechnung, ob diese Annahme damit in Einklang steht, dass vom Zeitpunkt des Auskei-mens bis zum Beobachtungsbeginn etwa zwei Wochen vergehen.

Haben zu Beobachtungsbeginn Sonnenblumen der Sorte Tramonto die glei-che Höhe wie Sonnenblumen der Sorte Alba, so erreichen von da an die Sonnenblumen der Sorte Tramonto im Vergleich zu denen der Sorte Alba jede Höhe in der Hälfte der Zeit.

Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Tramonto lässt sich modellhaft mithilfe einer in IR definierten Funktion g beschreiben, die eine Funktions-gleichung der Form I, II oder III mit k IR besitzt:

I x+k

x+k

2ey

e 9

II

x

x

2ey k

e 9

III

kx

kx

2ey

e 9

Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Monaten und y ein Näherungswert für die Höhe einer Blume in Metern.

4 e) Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von g infrage kommt.

1 f) Die Funktionsgleichung von g hat also die Form III. Geben Sie den pas-senden Wert von k an.

40

99

7

Analysis

Aufgabengruppe II

BE Teil 1

3 1 Gegeben ist die Funktion 2

2x 3f : x

x 4x 3

mit maximaler Definitions-

menge D. Bestimmen Sie D sowie die Nullstelle von f.

2 Gegeben ist die in IR definierte Funktion 2xg : x x e .

5 a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, in dem der Graph von g eine waagrechte Tangente hat.

2 b) Geben Sie das Verhalten von g für x und x an.

3 Betrachtet wird die in IR definierte Funktion h : x lnx 3 .

2 a) Geben Sie an, wie der Graph von h schrittweise aus dem Graphen der in IR definierten Funktion x lnx hervorgeht.

4 b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von h im Punkt 1| h 1 .

1 4 a) Warum hat jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle?

3 b) Geben Sie den Term einer in IR definierten Funktion f an, sodass die

in IR definierte Integralfunktion x

1

F : x f t dt

genau zwei Nullstellen

besitzt. Geben Sie die Nullstellen von F an.

20


A Anhang

100

8

BE Teil 2

1 An einer Wand im Innenhof der von Antoni Gaudi gestalteten Casa Batlló in Barcelona findet man ein Keramikkunstwerk (vgl. Abbildung 1).

Der annähernd parabelförmige obere Rand des Kunstwerks soll durch den Graphen einer ganz-

rationalen Funktion modellhaft dargestellt werden. Auf dem Graphen sollen bei Verwendung des ein-gezeichneten Koordinatensystems die Punkte A 2 | 0 , B 2 | 0 und C 0 | 5 liegen (1 LE ent-

spricht 1 m, d. h. das Kunstwerk ist 5 m hoch).

Abb. 1

3 a) Ermitteln Sie den Term einer in IR definierten quadratischen Funktion p, deren Graph durch die Punkte A, B und C verläuft.

(zur Kontrolle: 2p( x ) 1,25x 5 )

Ein den oberen Rand des Kunstwerks genauer darstellendes Modell liefert der Graph der in IR definierten ganzrationalen Funktion q vierten Grades mit 4 2q x 0,11x 0,81x 5 . Der Graph von q wird mit qG bezeichnet.

7 b) Weisen Sie rechnerisch nach, dass qG symmetrisch bezüglich der y-Achse ist, durch die Punkte A und B verläuft und genau einen Extrem-punkt besitzt.

Abbildung 2 zeigt die Graphen von p und q.

2 c) Welcher der beiden dargestellten Graphen ist qG ? Begründen Sie Ihre Antwort.

5 d) Im Intervall 0;2 gibt es eine Stelle 0x , an der der Wert der Differenz d x q x p x maximal wird. Berechnen Sie 0x sowie den Wert der zugehörigen Differenz.

4 e) Berechnen Sie mithilfe der Funktion q einen Näherungswert für den Flächeninhalt A des vom Kunstwerk eingenommenen Teils der Wand. Abb. 2


101

9

4 f) Die Gerade mit der Gleichung y 1,1 teilt im Modell den vom Kunstwerk eingenommenen Teil der Wand in zwei unterschiedlich gestaltete Berei-che. Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Funktion q das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Bereiche näherungsweise bestimmen kann. Geben Sie dazu geeignete Ansätze an und kommentieren Sie diese.

2 Unter dem Wasserdurchfluss eines Bachs an einer bestimmten Stelle ver-steht man das Volumen des Wassers, das an dieser Stelle in einer bestimm-ten Zeit vorbeifließt. Die Funktion f beschreibt die zeitliche Entwicklung des Wasserdurchflusses eines Bachs an einer Messstelle, nachdem zum Zeit-punkt t 0 eine bachaufwärts gelegene Schleuse geöffnet wurde. Abbil-dung 3 zeigt den Graphen fG von f.

Abb. 3

5 a) Entnehmen Sie Abbildung 3 im Bereich t 1 Näherungswerte für die Ko-ordinaten des Hochpunkts sowie für die t-Koordinaten der beiden Wen-depunkte von fG und geben Sie unter Berücksichtigung dieser Nähe-rungswerte die jeweilige Bedeutung der genannten Punkte im Sachzu-sammenhang an.

5 b) Bestimmen Sie 4

1

f t dt näherungsweise mithilfe von Abbildung 3. Deuten

Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.

5 c) Bestimmen Sie mithilfe von fG für t 4 und t 3 jeweils einen Nähe-rungswert für die mittlere Änderungsrate von f im Zeitintervall 2;t . Ver-anschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 3 durch geeignete Stei-gungsdreiecke. Welche Bedeutung hat der Grenzwert der mittleren Ände-rungsraten für t 2 im Sachzusammenhang?

40

A Anhang

102


Mathematik Leistungskurs

Aufgabe 1.1: Eisenbahntrasse Im nebenstehenden Bild sind drei Graphen der Funktionenschar af mit

ax

axxfa −

−=

2)3()( , RIa∈ , 0>a gegeben.

a) Geben Sie den Definitionsbereich der Funktionen af an.

Begründen Sie, dass ax = eine Polstelle ist. Bestimmen Sie eine Gleichung für die schräge Asymptote.

b) Ermitteln Sie die Koordinaten und Art der lokalen Extrempunkte der Graphen von af .

Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden: ( )( )2

22 32

ax

aaxxxfa

−−−

=′ .

[Kontrollergebnisse: ( )aaHa 8| −− , ( )0|3aTa ]

Begründen Sie, dass keiner der Graphen einen Wendepunkt besitzt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, auf der die lokalen Hochpunkte der Graphen von af liegen.

c) Geben Sie an, für welche Werte des Parameters a die Graphen gezeichnet worden sind und begründen Sie Ihre Entscheidung.

d) Zeichnen Sie für 1=a alle Asymptoten und den Graphen der Funktion 1f mindestens für

das Intervall [ ]8;6− .

e) Zeigen Sie, dass die Funktionsgleichung von 1f in der Form ( )1

451 −+−=

xxxf

geschrieben werden kann. Der Graph von 1f , die Gerade mit der Gleichung 5−= xy sowie die Senkrechte 3=x

schließen eine Fläche ein, die ins Unendliche reicht. Prüfen Sie, ob dieser Fläche ein endlicher Flächeninhalt zugeordnet werden kann.

f) Die beiden Graphenteile von 1f sind Bestandteile eines Eisenbahnnetzes. Zwischen den

beiden Extrempunkten des Graphen soll eine neue Gleisverbindung gebaut werden. Der Übergang an den beiden Punkten soll jeweils „ohne Knick“ erfolgen, das heißt, in diesen beiden Punkten muss es jeweils einen gleichen Anstieg geben. Modellieren Sie die neue Gleisverbindung durch eine ganzrationale Funktion von möglichst geringem Grad.


Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe

BE 7 13 3 6 6 5 40

Seite 2 von 11 12_Ma_Aufgaben_L

2012 Berlin

103



Aufgabe 1.2: Anhänger einer Halskette

Gegeben ist die Funktionenschar af mit ( ) ( ) a

x

a exaxf ⋅−= ; RIx∈ ; 0, ≠∈ aRIa .

Ihre Graphen heißen aG .

a) Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte von af für ±∞→x in Abhängigkeit

von a . Berechnen Sie die Länge der Strecke in Abhängigkeit von a , die durch die jeweiligen beiden Achsenschnittpunkte von aG festgelegt ist.

b) Zeigen Sie, dass für jeden Graphen aG der lokale Extrempunkt auf der y-Achse liegt

und bestimmen Sie in Abhängigkeit von a dessen Art.

[Kontrollergebnis: ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−=′′

2a

xaexf a

x

a ]

Stellen Sie 2G mindestens im Intervall [ ]3;7− in einem Koordinatensystem graphisch

dar.

c) Ein Graph der Schar aG hat an der Stelle 1=x den Anstieg em −= . Ermitteln Sie den

zugehörigen Parameterwert a durch inhaltliche Überlegung. Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Tangente an diesen Graphen an der Stelle 1=x mit der positiven Richtung der x-Achse einschließt.

d) Ermitteln Sie eine Gleichung der Kurve, auf der alle Wendepunkte von aG liegen.

Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente an den Graphen der Funktion 2f .

Hinweis: Auf den Nachweis der Existenz der Wendepunkte mithilfe einer hinreichenden Bedingung wird verzichtet.

e) Jeweils ein Graph aG für 0>a und der

zugehörige an der x-Achse gespiegelte Graph sowie die Gerade kx = sollen die Form eines Kettenanhängers begrenzen. Um den Materialbedarf zu ermitteln, wird der Inhalt der Querschnittsfläche benötigt. Bestimmen Sie für alle 0<k den Inhalt der Querschnittsfläche des Kettenanhängers.



BE 8 12 6 9 5 40


A Anhang

104

BE

3

4

2

2

3

6

20

1 Gegemeng

a) Be

b) ErPu

2 Gebegegeb

a) W

b) W

3 Gebe

4 Abbildin IR d

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1

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ie Lösung

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3

Analysis

gabengru

Teil 1

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x

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(Fortsetz

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Abb. 1

ste Seite))

2013 Bayern

105

BE

2

6

4

6

6

Gegebeden Gra

1 a) WeKovo

b) Be

c) Be

0Be

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(zur K

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4

Teil 2

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Kontrolle:

nderungsrnderungsrozent Sm

und die Gk mit dem

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x 2x e

punktsymn Sie anha.

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f ( x ) 2e

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drei Schnin Abbildun

-Koordina

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ttpunkte dng 2 ein. B

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(Fortsetz

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Abb

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21 x ) ;

Hochpun

ntervall der Stelle ht.

u IR sch

A u an

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Schnittpu

zung näch

2 zeigt

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ch des terms

fG .

kts: 2

e)

x 0 .

hließen

und

f für

den h en

unkts: 2)

ste Seite))

A Anhang

106

5

Im Folgenden wird die Schar der in IR definierten Funktionen cg : x f x c mit c IR betrachtet.

2 2 a) Geben Sie in Abhängigkeit von c ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von cg sowie das Verhalten von cg für x an.

3 b) Die Anzahl der Nullstellen von cg hängt von c ab. Geben Sie jeweils ei-nen möglichen Wert von c an, sodass gilt:

α) cg hat keine Nullstelle.

) cg hat genau eine Nullstelle.

) cg hat genau zwei Nullstellen.

2 c) Begründen Sie für c 0 anhand einer geeigneten Skizze, dass

3 3

c0 0

g x dx f x dx 3c gilt.

3 Die Anzahl der Kinder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die jedes Jahr statistisch ermittelt wird.

Die Funktion 20,5x

1,4g : x 2x e 1,4 beschreibt für x 0 modellhaft die zeitliche Entwicklung der Geburtenziffer in einem europäischen Land. Dabei ist x die seit dem Jahr 1955 vergangene Zeit in Jahrzehnten (d. h. x 1 entspricht dem Jahr 1965) und 1,4g x die Geburtenziffer. Damit die Bevöl-kerungszahl in diesem Land langfristig näherungsweise konstant bleibt, ist dort eine Geburtenziffer von etwa 2,1 erforderlich.

4 a) Zeichnen Sie den Graphen von 1,4g in Abbildung 2 ein und ermitteln Sie graphisch mit angemessener Genauigkeit, in welchem Zeitraum die Ge-burtenziffer mindestens 2,1 beträgt.

2 b) Welche künftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort.

3 c) Im betrachteten Zeitraum gibt es ein Jahr, in dem die Geburtenziffer am stärksten abnimmt. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Nähe-rungswert für dieses Jahr an. Beschreiben Sie, wie man auf der Grundla-ge des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird.

40

107

BE

5

4

2

4

3

2

20

1 Gebe

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2 Der G

Koord

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Sie den G

1.

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e in 2;2

x

0

F : x f

2 und F

Graphen v

7

Analysis

gabengru

Teil 1

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f mit den

Funktion f

n Sie f 0on f in unm

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ben.

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1 besit-

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2 an.

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2013 xn Grenze

Koordina

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Abb. 1

ste Seite))

A Anhang

108

BE

6

8

6

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1 a) Ge

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b) Be

2 Abbild

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2

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8

Teil 2

1 8x

2 x

von f.

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chräge As

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age und A

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des Koord

8

1 mit De

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(Fortsetz

bereich IR

Abb. 2

und zeige

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fG .

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Sym-

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1 8

x2 x

)

ste Seite))

109

9

8 b) Zeigen Sie, dass 4

0

f x dx 2 8 ln5 gilt.

Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des

Integrals 2

6

f x dx

; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete

Eintragungen in Abbildung 2.

3 Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form

eines geraden Zylinders. Die Lage des gemeinsamen

Schwerpunkts S von Dose und enthaltener Flüssig-

keit hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit über dem

Dosenboden ab. Ist die Dose vollständig gefüllt, so

beträgt die Füllhöhe 15 cm.

Die bisher betrachtete Funktion f gibt für 0 x 15

die Höhe von S über dem Dosenboden in Zentime-

tern an; dabei ist x die Füllhöhe in Zentimetern

(vgl. Abbildung 3).

Abb. 3

3 a) Berechnen Sie f 0 und f 15 . Interpretieren Sie die beiden Ergebnisse

im Sachzusammenhang.

3 b) Die zunächst leere Dose wird langsam mit Flüssigkeit gefüllt, bis die ma-

ximale Füllhöhe von 15 cm erreicht ist. Beschreiben Sie mithilfe von Ab-

bildung 2 die Bewegung des Schwerpunkts S während des Füllvorgangs.

Welche Bedeutung im Sachzusammenhang hat die Tatsache, dass

x-Koordinate und y-Koordinate des Tiefpunkts von fG übereinstimmen?

6 c) Für welche Füllhöhen x liegt der Schwerpunkt S höchstens 5 cm hoch?

Beantworten Sie diese Frage zunächst näherungsweise mithilfe von Ab-

bildung 2 und anschließend durch Rechnung.

40

x

f(x)

S

15

A Anhang

110



Aufgabe 1.1: Naherholungsgebiet

Gegeben ist die Funktionenschar

⋅=

2ln

4

3)(

a

xxxfa mit 0>a . Ihre Graphen seien aG .

a) Geben Sie den Definitionsbereich von af an und bestimmen Sie die Nullstelle von af .

Bestimmen Sie für 3=a das Verhalten der Funktionswerte von af für 0→x .

b) Weisen Sie nach, dass

−

e

a

e

aTa

4

3 22

lokaler Tiefpunkt von aG ist.

Ohne Nachweis können Sie x

xfa4

3)( =′′ verwenden.

[Zur Kontrolle: 4

3ln

4

3)(

2+

⋅=′

a

xxfa ]

Zeigen Sie, dass keiner der Graphen aG einen Wendepunkt besitzt.

In der Anlage sind drei Graphen der Kurvenschar dargestellt. Geben Sie an, um welche Scharkurven es sich handelt, geben Sie die Koordinaten des jeweiligen Extrempunktes an und zeichnen Sie die Extrempunkte ein.

c) Ermitteln Sie eine Stammfunktion von af .

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von 3f und die x-Achse für

96 ≤≤ x einschließen.

[Zur Kontrolle: 2

2

2

16

3ln

8

3)( x

a

xxxFa −

⋅= und 0,3≈A FE]

Die Orte Altfeld und Burghausen sind durch eine gerade Landstraße verbunden, an der ein

gemeinsames Naherholungsgebiet mit 2km2,15 Fläche liegt. Das Naherholungsgebiet wird

durch die Landstraße und durch einen Fahrweg eingeschlossen, der modellhaft durch den

Graphen von 3G beschrieben werden kann. Die beiden Orte werden durch die Punkte

)0|0(A und )0|9(B dargestellt, km1LE1 = .

d) In )8,1|6( −C liegt ein Ausflugslokal direkt am Fahrweg am unteren Rand des

Naherholungsgebietes. Von A aus führt ein Radweg geradlinig nach C. Er teilt das Naherholungsgebiet in zwei Teilflächen, wobei die größere Fläche als Naturschutzgebiet ausgewiesen ist. Berechnen Sie die Fläche des Naturschutzgebietes. Ermitteln Sie, wie viel Prozent der Anteil des Naturschutzgebietes am gesamten Naherholungsgebiet beträgt.

e) Die den Radweg enthaltende Gerade durch )0|0(A und )8,1|6( −C schneidet jeden

Graphen aG in einem Punkt aP . Bestimmen Sie die Koordinaten von aP .



BE 7 13 9 6 5 40

Anlage


2013 Berlin

111



Anlage zu Aufgabe 1.1: Naherholungsgebiet


A Anhang

112



Aufgabe 1.2: Kettenlinien

Gegeben ist die Funktionenschar af mit ( ) ( ) ( )xaxaa eexf −⋅−⋅ += 33 ; IRx ∈ ; 0, ≠∈ aIRa .

Ihre Graphen heißen aG und werden Kettenlinien genannt, weil sie die Form einer

hängenden Kette haben.

a) Untersuchen Sie aG auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und geben Sie das

Verhalten der Funktionswerte von af für ∞+→x und ∞−→x an .

b) Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Graphen aG den gleichen lokalen Extrempunkt haben

und ermitteln Sie dessen Koordinaten und Art.

Begründen Sie, dass aG keine Wendepunkte besitzt.

c) Zeichnen Sie 5,0G mindestens im Intervall [ ]7;1− in ein Koordinatensystem.

Im Intervall [ ]6;0 lässt sich 5,0G durch eine Parabel zweiten Grades annähern, die im

Tiefpunkt und den beiden Randpunkten mit 5,0G identisch ist.

Bestimmen Sie für die zu dieser Parabel gehörende Funktion p die Funktionsgleichung. Runden Sie am Ende die Koeffizienten auf eine Stelle nach dem Komma.

d) Damit sich beispielsweise an Theater- oder Kinokassen geordnete Menschenschlangen bilden, nutzt man verschiebbare und variabel zusammenstellbare Absperrketten oder -seile. Ein Kettensegment besteht aus zwei senkrecht auf dem Fußboden stehenden Pfosten und einer Kette. Der Fußpunkt des linken Pfostens sei der Koordinatenursprung eines kartesischen

Koordinatensystems mit m5,0LE1 = .

Die Kette kann durch 2,0G modelliert werden.

Bestimmen Sie, in welcher Höhe und unter welchem Winkel die Kette am linken Pfosten befestigt ist. Berechnen Sie die Größe der Fläche, die von der Kette, den beiden Pfosten und der Verbindungsstrecke zwischen den Fußpunkten der Pfosten eingeschlossen wird.

e) Eine Kettenlinie ist stets symmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse, die durch den Extrempunkt der Kettenlinie verläuft.

Zeichnen Sie die Symmetrieachse sowie zwei Punkte ( ))(| 5,01 txftxP EE ++ und

( ))(| 5,02 txftxP EE −− mit 3<t in Ihre Darstellung aus Teilaufgabe c) ein.

Weisen Sie nach, dass für 5,0G die beschriebene Symmetrie gilt.



BE 5 10 10 10 5 40


113

2

Analysis

Aufgabengruppe 1

Diese Aufgaben dürfen nur in Verbindung mit den zur selben Aufgabengruppe gehörenden Aufgaben im Prüfungsteil B bearbeitet werden.

BE

5 1 Gegeben ist die Funktion x

f : xln x

mit Definitionsmenge IR \ 1 . Be-

stimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f.

2 Gegeben ist die in IR definierte Funktion f mit x 2f x e 2x x .

2 a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f.

3 b) Zeigen Sie, dass die in IR definierte Funktion F mit 2 xF x x e eine

Stammfunktion von f ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren

Stammfunktion G von f an, für die G 1 2e gilt.

3 Gegeben sind die in IR definierten Funktionen a,cg : x sin ax c mit

0a,c IR .

3 a) Geben Sie für jede der beiden folgenden Eigenschaften einen möglichen

Wert für a und einen möglichen Wert für c so an, dass die zugehörige

Funktion a,cg diese Eigenschaft besitzt.

α Die Funktion a,cg hat die Wertemenge 0;2 .

β) Die Funktion a,cg hat im Intervall 0;π genau drei Nullstellen.

2 b) Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a, welche Werte die Ableitung von a,cg

annehmen kann.


A Anhang

2014 Bayern

114

3

4 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f.

2 a) Beschreiben Sie für a x b den Verlauf des Graphen einer Stammfunk-

tion von f.

3 b) Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von f

im gesamten dargestellten Bereich.

20

115

2

Analysis

Aufgabengruppe 1

BE

Gegeben ist die Funktion f : x 2 12 2x mit maximaler Definitionsmenge

fD ;6 . Der Graph von f wird mit fG bezeichnet.

5 1 a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von fG mit den Koordi-

natenachsen. Bestimmen Sie das Verhalten von f für x und geben

Sie f 6 an.

5 b) Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion f von f und geben Sie

die maximale Definitionsmenge von f an.

Bestimmen Sie x 6lim f x

und beschreiben Sie, welche Eigenschaft

von fG aus diesem Ergebnis folgt.

(zur Kontrolle: 1

f x12 2x

)

2 c) Geben Sie das Monotonieverhalten von fG und die Wertemenge von f

an.

3 d) Geben Sie f 2 an und zeichnen Sie fG unter Berücksichtigung der

bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hin-

blick auf die folgenden Aufgaben: 3 y 7 ).

4 e) Die Funktion f ist in fD umkehrbar. Geben Sie die Definitionsmenge der

Umkehrfunktion 1f von f an und zeigen Sie, dass 1 212

f x x 2x 4

gilt.

Der Graph der in IR definierten Funktion 212

h : x x 2x 4 ist die Para-

bel hG . Der Graph der in Aufgabe 1e betrachteten Umkehrfunktion 1f ist ein

Teil dieser Parabel.

3 2 a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von hG mit der durch

die Gleichung y x gegebenen Winkelhalbierenden w des I. und

III. Quadranten.

(Teilergebnis: x-Koordinaten der Schnittpunkte: 2 und 4)

4 b) Zeichnen Sie die Parabel hG – unter Berücksichtigung des Scheitels – im

Bereich 2 x 4 in Ihre Zeichnung aus Aufgabe 1d ein. Spiegelt man

diesen Teil von hG an der Winkelhalbierenden w, so entsteht eine herz-

förmige Figur; ergänzen Sie Ihre Zeichnung dementsprechend.


A Anhang

116

3

3 Durch die in Aufgabe 2 entstandene herzförmige Figur

soll das abgebildete Blatt modellhaft beschrieben wer-

den. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem aus Auf-

gabe 1d soll dabei 1 cm in der Wirklichkeit entsprechen.

5 a) Berechnen Sie den Inhalt des von hG und der

Winkelhalbierenden w eingeschlossenen Flächen-

stücks. Bestimmen Sie unter Verwendung dieses

Werts den Flächeninhalt des Blatts auf der Grund-

lage des Modells.

6 b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an hG im Punkt 2 | h 2 .

Berechnen Sie den Wert, den das Modell für die Größe des Winkels lie-

fert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen.

3 c) Der Verlauf des oberen Blattrands wird in der Nähe der Blattspitze durch

das bisher verwendete Modell nicht genau genug dargestellt. Daher soll

der obere Blattrand im Modell für 2 x 0 nicht mehr durch hG , son-

dern durch den Graphen kG einer in IR definierten ganzrationalen Funk-

tion k dritten Grades beschrieben werden. Für die Funktion k werden die

folgenden Bedingungen gewählt (k und h sind die Ableitungsfunktionen

von k bzw. h):

I k 0 h 0

II k 0 h 0

III k 2 h 2

IV k 2 1,5

Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass die Wahl der Bedingungen

I, II und III sinnvoll ist. Machen Sie plausibel, dass die Bedingung IV dazu

führt, dass die Form des Blatts in der Nähe der Blattspitze im Vergleich

zum ursprünglichen Modell genauer dargestellt wird.

40

117

4

Analysis

Aufgabengruppe 2


BE

1 Geben Sie jeweils den Term einer in IR definierten periodischen Funktion an,

die die angegebene Eigenschaft hat.

1 a) Der Graph der Funktion g geht aus dem Graphen der in IR definierten

Funktion x sin x durch Spiegelung an der y-Achse hervor.

1 b) Die Funktion h hat den Wertebereich 1;3 .

1 c) Die Funktion k besitzt die Periode π.

2 Gegeben ist die in IR definierte Funktion f mit x 2f x e 2x x .

2 a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f.

3 b) Zeigen Sie, dass die in IR definierte Funktion F mit 2 xF x x e eine

Stammfunktion von f ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren

Stammfunktion G von f an, für die G 1 2e gilt.

2 3 Der Graph einer in IR definierten Funktion g : x g x besitzt für 5 x 5

zwei Wendepunkte. Entscheiden Sie, welcher der Graphen I, II und III zur

zweiten Ableitungsfunktion g von g gehört. Begründen Sie Ihre Entschei-

dung.

5 4 In einem Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) werden alle

Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:

Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen.

Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen fG der Funktion

f : x ln x mit 0 x 1 .

Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck. Abb. 1

Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt.

Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.


A Anhang

118

5

5 Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion f.

Abb. 2

2 a) Beschreiben Sie für a x b den Verlauf des Graphen einer Stammfunk-

tion von f.

3 b) Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen einer Stammfunktion von f im

gesamten dargestellten Bereich.

20

119

4

Analysis

Aufgabengruppe 2

BE

Gegeben ist die Funktion f mit

2

20xf x

x 25

und maximalem Definitionsbe-

reich fD . Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen fG von f.

5 1 a) Zeigen Sie, dass fD IR \ 5;5 gilt und dass fG symmetrisch bezüglich

des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von f sowie die

Gleichungen der drei Asymptoten von fG an.

4 b) Weisen Sie nach, dass die Steigung von fG in jedem Punkt des Graphen

negativ ist. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem fG die

x-Achse schneidet.

3 c) Skizzieren Sie in der Abbildung den darin fehlenden Teil von fG unter

Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.

4 d) Die Funktion f* : x f x mit Definitionsbereich 5; unterscheidet

sich von der Funktion f nur hinsichtlich des Definitionsbereichs. Begrün-

den Sie, dass die Funktion f nicht umkehrbar ist, die Funktion f* dagegen

schon. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von f* in die Ab-

bildung ein.


A Anhang

120

5

5 e) Der Graph von f, die x-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen

x 10 und x s mit s 10 schließen ein Flächenstück mit dem In-

halt A s ein. Bestimmen Sie A s .

(Ergebnis:

2s 25

A(s ) 10 ln75

)

3 f) Ermitteln Sie s so, dass das Flächenstück aus Aufgabe 1e den Inhalt 100

besitzt.

2 g) Bestimmen Sie das Verhalten von A s für s .

2 Ein Motorboot fährt mit konstanter Motorleistung auf einem Fluss eine Stre-

cke der Länge 10 km zuerst flussabwärts und unmittelbar anschließend

flussaufwärts zum Ausgangspunkt zurück. Mit der Eigengeschwindigkeit des

Motorboots wird der Betrag der Geschwindigkeit bezeichnet, mit der sich

das Boot bei dieser Motorleistung auf einem stehenden Gewässer bewegen

würde.

Im Folgenden soll modellhaft davon ausgegangen werden, dass die Eigen-

geschwindigkeit des Boots während der Fahrt konstant ist und das Wasser

im Fluss mit der konstanten Geschwindigkeit kmh

5 fließt. Die für das Wen-

demanöver erforderliche Zeit wird vernachlässigt.

Die Gesamtfahrtzeit in Stunden, die das Boot für Hinfahrt und Rückfahrt ins-

gesamt benötigt, wird im Modell für x 5 durch den Term 10 10t x

x 5 x 5

angegeben. Dabei ist x die Eigengeschwindigkeit des Boots in km

h.

2 a) Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells für eine Fahrt mit einer

Eigengeschwindigkeit von kmh

10 und für eine Fahrt mit einer Eigenge-

schwindigkeit von kmh

20 jeweils die Gesamtfahrtzeit in Minuten.

3 b) Begründen Sie, dass der erste Summand des Terms t x die für die Hin-

fahrt, der zweite Summand die für die Rückfahrt erforderliche Zeit in

Stunden angibt.

2 c) Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass t x für 0 x 5 nicht als

Gesamtfahrtzeit interpretiert werden kann.

2 d) Zeigen Sie, dass die Terme f x und t x äquivalent sind.

5 e) Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung für eine Fahrt mit einer

Gesamtfahrtzeit zwischen zwei und vierzehn Stunden die zugehörige Ei-

gengeschwindigkeit des Boots näherungsweise ermitteln kann. Berech-

nen Sie auf der Grundlage des Modells die Eigengeschwindigkeit des

Boots für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrtzeit von vier Stunden.

40

121


Abbildung zu e) und f)

Aufgabe 1.1: Hosentasche

Gegeben ist die Funktionsschar af mit .;;)1()( IRaIRxeaxxf axa ∈∈⋅+= −

Die Graphen dieser Funktionsschar af sind aG .

a) Ermitteln Sie die Nullstellen von af in Abhängigkeit von a.

Bestimmen Sie den Wert des Parameters a, für den die Scharfunktion keine Nullstelle hat, und geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.

b) Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von af für ∞→x und −∞→x in

Abhängigkeit von a ( 0≠a ) an.

c) Weisen Sie nach, dass alle Graphen aG ( 0≠a ) den lokalen Extrempunkt )1|0(E

haben. Ohne Herleitung dürfen Sie verwenden: )()( 23'' axaexf axa −= − .

Alle Wendepunkte der Graphen aG ( 0≠a ) liegen auf einem parallel zur x-Achse

verlaufenden Graphen einer Funktion g. Geben Sie die Funktionsgleichung von g an.

Auf die Untersuchung der hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden.

d) Zeigen Sie, dass 0;;;2

)( ≠∈∈⋅

−−= − aIRaIRxe

axxF ax

a eine Stammfunktion von af ist.

e) In der Anlage sind zwei Graphen der

Funktionsschar af dargestellt.

Begründen Sie, dass es sich dabei um

die Graphen 2G und 2−G handelt und

beschriften Sie die Graphen in der Anlage.

Eine Bekleidungsfirma möchte Gesäßtaschen von Jeans wie rechts abgebildet besticken. Zur Modellierung des

Motivs werden die Graphen 2G und 2−G

genutzt (vgl. Anlage). Der untere Rand des Motivs soll ebenfalls durch 2 Graphen dargestellt werden, so dass die x- bzw. y-Achse Symmetrieachsen des Motivs sind. Geben Sie jeweils eine Funktionsgleichung an und zeichnen Sie die Graphen möglichst vollständig in der Anlage.

Der in der Abbildung schraffiert dargestellte Teil des Motivs soll bestickt werden. Berechnen Sie die Größe dieser Fläche im Intervall [–3; 3].

f) Der Teil der in der Abbildung grau gefärbten Fläche, der oberhalb der x-Achse liegt, soll nun durch den Graphen einer quadratischen Funktion p mit der Gleichung

),()( 2 RIcbcbxxp ∈+−= so dargestellt werden, dass die Größe dieser Teilfläche

unverändert (e – 2) FE beträgt. Der lokale Extrempunkt bleibt der Punkt )1|0(E .

Ermitteln Sie den Wert für c und stellen Sie eine Gleichung auf, aus der b berechnet werden kann.

Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben

Teilaufgabe a) b) c) d) e) f) Summe

BE 3 4 10 3 15 5 40

Anlage


Leistungskurs

14_Ma_Aufgaben_LK

A Anhang

2014 Berlin

122


Anlage zu Aufgabe 1.1: Hosentasche


Leistungskurs

14_Ma_Aufgaben_LK

123


Aufgabe 1.2: Modelleisenbahn

Gegeben sind die Funktionen af mit der Gleichung ax

xxfa +

=2

)( ; 0, ≠∈ aIRa .

Die Graphen dieser Funktionen sind aG .

a) Alle Graphen aG schneiden einander in einem Punkt S und besitzen eine gemeinsame

Asymptote. Geben Sie die Koordinaten von S und die Gleichung der gemeinsamen Asymptote an.

Ermitteln Sie, für welche reellen Zahlen a die Graphen aG zwei senkrechte Asymptoten

(Polasymptoten) besitzen.

b) Alle Graphen aG haben einen gemeinsamen Wendepunkt.

Ermitteln Sie dessen Koordinaten. Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden, dass die

Ableitungsfunktionen af ′ die Gleichung ( ) ( )22

2

ax

xaxfa

+

−=′ haben.

Auf den Nachweis der Existenz des Wendepunktes wird verzichtet.

Ein Spielzeughersteller plant, für Modelleisenbahnanlagen neue Landschaftsprofile und

Brückenteile zu produzieren, für deren Modellierung sowohl Graphen der Funktionen af als

auch Graphen der Ableitungsfunktionen af ′ herangezogen werden.

c) Es wird zunächst der Graph 10G der Funktion 10f als Profillinie für einen

Streckenabschnitt in einem bergigen Gelände ausgewählt. Dieser besitzt genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser beiden Punkte.

d) Berechnen Sie für den mit 10G modellierten Streckenabschnitt aus Teilaufgabe c) die

durchschnittliche Steigung im Intervall [ ]5,3;5,3− und die Größe des Steigungswinkels im

Koordinatenursprung.

e) Zur Modellierung eines Brückenbogens

wird der Graph der Ableitungsfunktion 3−′f

genutzt (siehe Skizze).

Weisen Sie nach, dass der Graph von 3−′f

symmetrisch zur y-Achse verläuft und der

Punkt ( )1|1 −Q auf diesem Graphen liegt.

Ermitteln Sie den Inhalt der für die Durchfahrt zur Verfügung stehenden

Querschnittsfläche, die oben von 3−′G und unten von der Geraden mit der Gleichung

1−=y begrenzt wird.

f) Man kann den in e) beschriebenen symmetrischen Brückenbogen auch durch den Graphen einer Funktion 4. Grades modellieren. Dabei sollen die symmetrische Querschnittsfläche der Größe 1 FE, die Durchfahrtshöhe und die Durchfahrtsbreite erhalten bleiben. Stellen Sie ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen auf, das zur Ermittlung der zugehörigen Funktionsgleichung genutzt werden kann.



BE 5 9 9 4 8 5 40


Leistungskurs

14_Ma_Aufgaben_LK

A Anhang

124

2

Analysis

Aufgabengruppe 1


BE

1 Gegeben ist die Funktion 3f : x x 8 2 lnx mit maximalem Defini-

tionsbereich D.

1 a) Geben Sie D an.

2 b) Bestimmen Sie die Nullstellen von f.

2 Gegeben sind die in IR definierten Funktionen f, g und h mit

2f x x x 1 , 3g x x x 1 und 4 2h x x x 1 .

3 a) Abbildung 1 zeigt den Graphen einer der drei

Funktionen. Geben Sie an, um welche Funktion

es sich handelt. Begründen Sie, dass der Graph

die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.

2 b) Die erste Ableitungsfunktion von h ist h .

Bestimmen Sie den Wert von 1

0

h x dx .

1 3 a) Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter a an, sodass die in IR

definierte Funktion f : x sin ax eine Nullstelle in π6

x hat.

2 b) Ermitteln Sie den Wert des Parameters b, sodass die Funktion

2g : x x b den maximalen Definitionsbereich IR \ 2;2 besitzt.

2 c) Erläutern Sie, dass die in IR definierte Funktion xh : x 4 e den Werte-

bereich ;4 besitzt.

2 4 Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in IR

definierten differenzierbaren Funktion

g : x g x . Mithilfe des Newton-Verfahrens

soll ein Näherungswert für die Nullstelle a von g

ermittelt werden. Begründen Sie, dass weder

die x-Koordinate des Hochpunkts H noch die

x-Koordinate des Tiefpunkts T als Startwert des

Newton-Verfahrens gewählt werden kann.


Abb. 1

Abb. 2

2015 Bayern

125

3

5 Gegeben ist die Funktion f mit 3 2f x x 6x 11x 6 und x IR .

3 a) Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von f auf der

Geraden mit der Gleichung y x 2 liegt.

2 b) Der Graph von f wird verschoben. Der Punkt 2 | 0 des Graphen der

Funktion f besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten 3 | 2 . Der

verschobene Graph gehört zu einer Funktion h. Geben Sie eine Glei-

chung von h an.

20

A Anhang

126

2

Analysis

Aufgabengruppe 1

BE

1 Gegeben ist die Funktion f mit 1 1

f xx 1 x 3

und Definitionsbereich

fD IR \ 3; 1 . Der Graph von f wird mit fG bezeichnet.

4 a) Zeigen Sie, dass f x zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:

2 2

2 2 1; ;

x 1 x 3 x 4x 3 0,5 x 2 0,5

3 b) Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von fG ist, und

geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von fG an. Be-

stimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von fG mit der y-Achse.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in IR definierten Funktion

2p : x 0,5 x 2 0,5 , die die Nullstellen x 3 und x 1 hat.

Für fx D gilt 1

f xp x

.

5 c) Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen f und p die

Beziehung 2

p xf x

p x

für fx D .

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung

von f x und p x , dass x 2 einzige Nullstelle von f ist und dass fG

in 3; 2 streng monoton steigend sowie in 2; 1 streng monoton fal-

lend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von fG an.


Abb. 1

127

3

4 d) Berechnen Sie f 5 und f 1,5 und skizzieren Sie fG unter Berück-

sichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1.

2 Gegeben ist die Funktion

x 1

3h : x

e 1 mit Definitionsbereich

hD 1; . Abbildung 2 zeigt den Graphen hG von h.

4 a) Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass xlim h x 0

gilt.

Zeigen Sie rechnerisch für hx D , dass für die Ableitung h von h gilt:

h x 0 .

Gegeben ist ferner die in hD definierte Integralfunktion

x

0

0

H : x h t dt .

4 b) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr

sind:

α) Der Graph von 0H ist streng monoton steigend.

β) Der Graph von 0H ist rechtsgekrümmt.

6 c) Geben Sie die Nullstelle von 0H an und bestimmen Sie näherungsweise

mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte 0H 0,5 sowie 0H 3 . Skiz-

zieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von 0H im Bereich 0,5 x 3 .


Abb. 2

A Anhang

128

4

3 In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kon-

taminiertem Wasser getestet. Die Funktion h aus Aufgabe 2 beschreibt für

x 0 modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffab-

baus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h x die mo-

mentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn

des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.

3 a) Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem

die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurück-

gegangen ist.

Die in IR \ 3; 1 definierte Funktion

1 1k : x 3 0,2

x 1 x 3

stellt im

Bereich 0,5 x 2 eine gute Näherung für die Funktion h dar.

2 b) Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der

Funktion f aus Aufgabe 1 hervorgeht.

5 c) Berechnen Sie einen Näherungswert für 1

0

h x dx , indem Sie den Zu-

sammenhang 1 1

0 0

h x dx k x dx verwenden. Geben Sie die Bedeutung

dieses Werts im Sachzusammenhang an.

40

129

4

Analysis

Aufgabengruppe 2


BE

1 Gegeben ist die Funktion g: x ln 2x 3 mit maximaler Definitions-

menge D und Wertemenge W. Der Graph von g wird mit gG bezeichnet.

2 a) Geben Sie D und W an.

4 b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an gG im Schnittpunkt von gG

mit der x-Achse.

2 Gegeben ist die Funktion f mit 3 2f x x 6x 11x 6 und x IR .

3 a) Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von f auf der

Geraden mit der Gleichung y x 2 liegt.

2 b) Der Graph von f wird verschoben. Der Punkt 2 | 0 des Graphen der

Funktion f besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten 3 | 2 . Der

verschobene Graph gehört zu einer Funktion h. Geben Sie eine Glei-

chung von h an.

3 Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die die angegebene(n)

Eigenschaft(en) besitzt.

2 a) Die Funktion g hat die maximale Definitionsmenge ; 5 .

3 b) Die Funktion k hat in x 2 eine Nullstelle und in x 3 eine Polstelle

ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von k hat die Gerade mit der Glei-

chung y 1 als Asymptote.

4 4 Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen axaf : x xe mit

a IR \ 0 . Ermitteln Sie, für welchen Wert von a die erste Ableitung von af

an der Stelle x 2 den Wert 0 besitzt.

20

A Anhang

130

6

Analysis

Aufgabengruppe 2

BE

1 Der Graph fG einer in IR definierten Funktion 4 3f : x ax bx mit a,b IR

besitzt im Punkt O 0 | 0 einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

4 a) W 1| 1 ist ein weiterer Wendepunkt von fG . Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von a und b.

(Ergebnis: a 1 , b 2 )

4 b) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von fG .

Die Gerade g schneidet fG in den Punkten W und 2 | 0 .

4 c) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse fG sowie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein. Geben Sie die Gleichung der Geraden g an.

6 d) fG und die x-Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade g in zwei Teilflächen zerlegt wird. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen.

2 Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen 4 nnf : x x 2x mit

n IN sowie die in IR definierte Funktion 40f : x x 2 .

4 a) Die Abbildungen 1 bis 4 zeigen die Graphen der Funktionen 0f , 1f , 2f bzw. 4f . Ordnen Sie jeder dieser Funktionen den passenden Graphen zu und begründen Sie drei Ihrer Zuordnungen durch Aussagen zur Symmetrie, zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen oder dem Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs des jeweiligen Gra-phen.

Abb. 1 Abb. 2 Abb. 3 Abb. 4

3 b) Betrachtet werden nun die Funktionen nf mit n 4 . Geben Sie in Abhän-gigkeit von n das Verhalten dieser Funktionen für x und für x an.


131

7

3 In der Lungenfunktionsdiagnostik spielt der Begriff der Atemstromstärke eine wichtige Rolle. Im Folgenden wird die Atemstromstärke als die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge betrachtet, d. h. insbesondere, dass der Wert der Atemstromstärke beim Einatmen positiv ist. Für eine ruhende Test-person mit normalem Atemrhythmus wird die Atemstromstärke in Abhängig-

keit von der Zeit modellhaft durch die Funktion π π8 2g : t sin t mit Defini-

tionsmenge 0IR beschrieben. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn ver-gangene Zeit in Sekunden und g t die Atemstrom-stärke in Litern pro Sekun-de. Abbildung 5 zeigt den durch die Funktion g be-schriebenen zeitlichen Ver-lauf der Atemstromstärke.

2 a) Berechnen Sie g 1,5 und interpretieren Sie das Vorzeichen dieses Werts im Sachzusammenhang.

2 b) Beim Atmen ändert sich das Luftvolumen in der Lunge. Geben Sie auf der Grundlage des Modells einen Zeitpunkt an, zu dem das Luftvolumen in der Lunge der Testperson minimal ist, und machen Sie Ihre Antwort mithilfe von Abbildung 5 plausibel.

4 c) Berechnen Sie 4

2

g t dt und deuten Sie den Wert des Integrals im Sach-

zusammenhang. (Teilergebnis: Wert des Integrals: 0,5 )

3 d) Zu Beginn eines Ausatemvorgangs befinden sich 3,5 Liter Luft in der Lunge der Testperson. Skizzieren Sie auf der Grundlage des Modells un-ter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Aufgabe 3c in einem Koordina-tensystem für 0 t 8 den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt.

Die Testperson benötigt für einen vollständigen Atemzyklus 4 Sekunden. Die Anzahl der Atemzyklen pro Minute wird als Atemfrequenz bezeichnet.

4 e) Geben Sie zunächst die Atemfrequenz der Testperson an. Die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemfrequenz um 20 % höher ist als die der bisher betrachteten Testperson, soll durch eine Sinusfunktion der Form h : t a sin b t mit t 0 und b 0 be-schrieben werden. Ermitteln Sie den Wert von b.

40

Abb. 5

A Anhang

132


Aufgabe 1.1: Kelchglas

In der Abbildung 1 ist ein Trinkglas in Kelchform ohne Stiel und Fuß dargestellt. Die seitliche Profillinie eines solchen Glases lässt sich mathematisch mithilfe einer Exponentialfunktion f der Form

2

)( bxeaxf −⋅−= modellieren, RIba ∈, , 0,0 >> ba .

Das Koordinatensystem wird gemäß der Abbildung 1 festgelegt, für die Achseneinheiten gilt: 1 LE = 1 cm.

Die Profillinie des Glases ändert ihr Krümmungsverhalten bei 2−=x und bei 2=x . Außerdem ist ein Tiefpunkt )12|0( −T

erkennbar.

a) Untersuchen Sie die Graphen aller möglichen Funktionen f in Abhängigkeit von a und b auf relative Extrempunkte und deren Art sowie auf Wendepunkte. Für die Berechnung der Wendestellen genügt die Verwendung der notwendigen Bedingung. Abbildung 1

[Kontrollergebnis für die Berechnung der zweiten Ableitung: ( ) 2

)42( 22 bxexababxf −⋅−=′′ ]

b) Geben Sie alle Bedingungen an, die von der Funktion f erfüllt werden müssen, damit der Graph von f die Profillinie des Glases darstellen kann.

Berechnen Sie für die Profillinie des Glases die Parameter a und b.

[Kontrollergebnis: 2125,012)( x

Glas exf −⋅−= ]

Das Kelchglas hat eine Höhe von 10 cm. Berechnen Sie den Umfang und die Größe der Kreisfläche der Öffnung.

c) Für 0≥x ist der Graph von Glasf in der Anlage eingezeichnet.

Für 0≥x besitzt Glasf eine Umkehrfunktion *Glasf .

Zeichnen Sie als Spiegelachse die Gerade zu xy = in die Anlage ein und zeichnen Sie

den Graphen der Umkehrfunktion *Glasf .

Bestimmen Sie eine Gleichung der Umkehrfunktion *Glasf .

[Kontrollergebnis: )ln()12ln(8)(* xxfGlas −−⋅= mit 012 <≤− x ]

d) Der Graph von *Glasf rotiert für 212 −≤≤− x um

die x-Achse. Dabei entsteht als Rotationskörper das Kelchglas in waagerechter Lage (siehe Abbildung 2).

Berechnen Sie das Volumen des Glases. Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden, dass

für 0<x gilt: Cxxxdxx +−⋅+−=−∫ )ln()ln( .

Abbildung 2


Teilaufgabe a) b) c) d) Summe

BE 13 11 8 8 40

Anlage


Leistungskurs

15_Ma_LK_Aufgaben

2015 Berlin

133


Anlage zu Aufgabe 1.1: Kelchglas


Leistungskurs

15_Ma_LK_Aufgaben

A Anhang

134


Aufgabe 1.2: Designersessel

Gegeben ist die Funktionenschar af mit

( ) xaxaxxfa 42,314 23 +−= ; 0, >∈ aIRa .

Drei Graphen der Schar sind in der Abbildung dargestellt.

a) Weisen Sie nach, dass alle Graphen der Schar bei 0=nx dieselbe Steigung haben.

Einer der Graphen der Schar hat außer 0=nx

genau eine weitere Nullstelle. Berechnen Sie den Parameterwert dieser Funktion gerundet auf zwei Nachkommastellen.

b) Jeder Graph der Schar hat genau einen Wendepunkt. Bestimmen Sie seine Koordinaten und weisen Sie damit nach, dass alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur y-Achse liegen. Geben Sie die Gleichung dieser Geraden an. Einer der Graphen der Schar hat an der Stelle 3=ex einen Hochpunkt.

Bestimmen Sie für die zu diesem Graphen gehörende Funktion af die Funktions-

gleichung.

Der abgebildete Designersessel hat Seiten- flächen, die für 90 ≤≤ x aus der Fläche unter dem Graphen von 06,0f der gegebenen

Funktionenschar (oberster Graph in der oberen Abbildung) und für 5,99 ≤< x aus einem angesetzten Rechteck von 5 cm Breite bestehen (1 LE = 10 cm).

c) Bestimmen Sie die Gesamthöhe des Sessels und ermitteln Sie, wie hoch der Sessel an der niedrigsten Stelle der Sitzfläche ist (Angaben in cm).

d) Berechnen Sie die Größe der in der Abbildung sichtbaren Seitenfläche (Angabe in 2m ). Diese Seitenfläche enthält auch die 5 cm breite Rechteckfläche am hinteren Rand. Die Seitenfläche soll grafisch neu gestaltet werden. Für die Grafik wird ein achsenparalleles Rechteck der Größe 85 cm x 30 cm benötigt. Untersuchen Sie, ob ein solches Rechteck auf die Seitenfläche passt.

e) Für jede Stelle 1x im Fußbereich ( 31 <x ) gibt es eine Stelle 2x im Lehnenbereich

( 3,62 >x ) mit gleicher Steigung.

Weisen Sie für 06,0f nach, dass für je zwei x-Werte 1x und 2x , bei denen die Steigung

gleich ist, gilt: 3

2821 =+ xx .


Teilaufgabe a) b) c) d) e) Summe

BE 9 11 7 8 5 40

y

x

5 cm


Leistungskurs

15_Ma_LK_Aufgaben

135

2

Analysis

Aufgabengruppe 1


BE

1 Gegeben ist die Funktion f : x 1 ln x mit maximaler Definitionsmenge D.

2 a) Bestimmen Sie D.

2 b) Bestimmen Sie den Wert x D mit f x 2 .

3 2 Zeigen Sie, dass der Graph der in IR definierten Funktion 2g : x x sinx

punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und geben Sie

den Wert des Integrals

π2

π

x sin x dx

an.

3 3 Skizzieren Sie im Bereich 1 x 4 den Graphen einer in IR definierten

Funktion f mit den folgenden Eigenschaften:

f ist nur an der Stelle x 3 nicht differenzierbar.

f 0 2 und für die Ableitung f von f gilt: f 0 1 .

Der Graph von f ist im Bereich 1 x 3 linksgekrümmt.

4 Gegeben ist eine in IR definierte ganzrationale Funktion f dritten Grades,

deren Graph fG an der Stelle x 1 einen Hochpunkt und an der Stelle x 4

einen Tiefpunkt besitzt.

3 a) Begründen Sie, dass der Graph der Ableitungsfunktion f von f eine

Parabel ist, welche die x-Achse in den Punkten 1| 0 und 4 | 0 schnei-

det und nach oben geöffnet ist.

2 b) Begründen Sie, dass 2,5 die x-Koordinate des Wendepunkts von fG ist.


A Anhang

2016 Bayern

136

3

5 Die Abbildung zeigt den Graphen der in IR definierten Funktion f.

2 a) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für 5

3

f x dx .

Die Funktion F ist die in IR definierte Stammfunktion von f mit F 3 0 .

1 b) Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung

von F an der Stelle x 2 an.

2 c) Zeigen Sie, dass b

3

F b f x dx mit b IR gilt.

20

137

2

Analysis

Aufgabengruppe 1

BE

1 Gegeben ist die in IR definierte Funktion 1 12 2x x

f : x e e . Der Graph von f

wird mit fG bezeichnet.

2 a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von fG mit der

y-Achse und begründen Sie, dass fG oberhalb der x-Achse verläuft.

3 b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von fG sowie das Verhalten von f

für x und für x .

4 c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f von f die Beziehung

14

f x f x für x IR gilt. Weisen Sie nach, dass fG linksgekrümmt

ist.

(zur Kontrolle: 1 12 2

x x12

f x e e )

3 d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von fG .

3 e) Berechnen Sie die Steigung der Tangente g an fG im Punkt P 2 | f 2

auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt P und die Gerade g in

ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende:

4 x 4 , 1 y 9 ).

4 f) Berechnen Sie f 4 , im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf

zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bis-

herigen Ergebnisse fG im Bereich 4 x 4 in das Koordinatensystem

aus Aufgabe 1e ein.

3 g) Zeigen Sie durch Rechnung, dass für x IR die Beziehung

2 214

f x f x 1 gilt.

Die als Kurvenlänge a;bL bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von f

zwischen den Punkten a | f a und b | f b mit a b lässt sich mithilfe

der Formel b

2

a;b

a

L 1 f x dx berechnen.

4 h) Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge

0;bL des Graphen von f zwischen den Punkten 0 | f 0 und b | f b mit

b 0 .

(Ergebnis:

1 12 2b b

0;bL e e )


A Anhang

138

3

2 Die Enden eines Seils werden

an zwei vertikalen Masten, die

8,00 m voneinander entfernt

sind, in gleicher Höhe über

dem Erdboden befestigt. Der

Graph fG aus Aufgabe 1 be-

schreibt im Bereich 4 x 4 modellhaft den Verlauf des

Seils, wobei die Fußpunkte 1F

und 2F der Masten durch die

Punkte 4 | 0 bzw. 4 | 0

dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinaten-

system entspricht einem Meter in der Realität.

2 a) Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten

Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der

Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau.

5 b) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels,

den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der

Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten

hängenden Seils auf Zentimeter genau.

Der Graph von f soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden.

Dazu wird die in IR definierte quadratische Funktion q betrachtet, deren

Graph den Scheitelpunkt 0 | 2 hat und durch den Punkt 4 | f 4 verläuft.

4 c) Ermitteln Sie den Term q x der Funktion q, ohne dabei zu runden.

3 d) Für jedes x 0;4 wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden

Punkte x | q x und x | f x der Graphen von q bzw. f betrachtet,

wobei in diesem Bereich q x f x gilt. Der größte dieser Abstände ist

ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen fG im Bereich 0 x 4

annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man

diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann.

40

139

4

Analysis

Aufgabengruppe 2


BE

1 Gegeben ist die Funktion

2

lnxf : x

x mit maximalem Definitionsbereich D.

3 a) Geben Sie D sowie die Nullstelle von f an und bestimmen Sie x 0

lim f x .

4 b) Ermitteln Sie die x-Koordinate des Punkts, in dem der Graph von f eine

waagrechte Tangente hat.

2 Geben Sie jeweils den Term und den Definitionsbereich einer Funktion an,

die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

2 a) Der Punkt 2 | 0 ist ein Wendepunkt des Graphen von g.

2 b) Der Graph der Funktion h ist streng monoton fallend und rechtsge-

krümmt.

3 Abbildung 1 zeigt den Graphen der in IR definierten Funktion f.


Abb. 1

A Anhang

140

5

2 a) Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 1 einen Näherungswert für

5

3

f x dx .

Die Funktion F ist die in IR definierte Stammfunktion von f mit F 3 0 .

1 b) Geben Sie mithilfe von Abbildung 1 einen Näherungswert für die

Ableitung von F an der Stelle x 2 an.

2 c) Zeigen Sie, dass b

3

F b f x dx mit b IR gilt.

4 4 Abbildung 2 zeigt den Graphen kG einer in IR definierten Funktion k.

Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Ableitungs-

funktion k . Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert

für die Steigung des Graphen kG an dessen Wendepunkt 0 | 3 sowie die

Nullstelle von k .

Abb. 2

20

141

4

Analysis

Aufgabengruppe 2

BE

Im Rahmen eines W-Seminars modellieren Schülerinnen und Schüler einen Tunnelquerschnitt, der senkrecht zum Tunnelverlauf liegt. Dazu beschreiben sie den Querschnitt der Tunnelwand durch den Graphen einer Funktion in ei-nem Koordinatensystem. Der Querschnitt des Tunnelbodens liegt dabei auf der x-Achse, sein Mittelpunkt M im Ursprung des Koordinatensystems; eine Längen-einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Für den Tunnelquerschnitt sollen folgende Bedingungen gelten:

I Breite des Tunnelbodens: b 10 m II Höhe des Tunnels an der höchsten

Stelle: h 5 m III Der Tunnel ist auf einer Breite von

mindestens 6 m mindestens 4 m hoch.

1 Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktion 2p : x 0,2 x 5 mit Definitionsbereich pD 5;5 .

6 a) Zeigen Sie, dass die Bedingungen I und II in diesem Modell erfüllt sind. Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft.

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand d x der Graphenpunkte xP x | p x vom Ursprung des Koordinatensystems.

3 b) Zeigen Sie, dass 4 2d x 0,04x x 25 gilt.

5 c) Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu M minimal ist. Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte xP , für die d x minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an.

2 Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ k : x 5 cos c x mit c IR und Definitions-bereich kD 5;5 , bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

5 a) Bestimmen Sie c so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels.

(zur Kontrolle: π10

c , Inhalt der Querschnittsfläche: 2100π m )

2 b) Zeigen Sie, dass Bedingung III weder bei einer Modellierung mit p aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit k erfüllt ist.


A Anhang

142

5

3 Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion

2f : x 25 x mit Definitionsbereich fD 5;5 .

5 a) Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand 5 m hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbe-darf im Hinblick auf spätere Aufgaben: 5 x 9 , 1 y 13 ) und be-gründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist.

Betrachtet wird nun die Integralfunktion

x

0

F : x f t dt mit Definitions-bereich FD 5;5 .

5 b) Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass 254

F 5 π

gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen.

2 c) Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit f von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht.

Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade g mit der Gleichung 4

3y x 12 modelliert.

4 d) Zeigen Sie, dass die Tangente t an den Graphen von f im Punkt

R 4 | f 4 parallel zu g verläuft. Zeichnen Sie g und t in das Koordi-natensystem aus Aufgabe 3a ein.

3 e) Der Punkt R aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnel-wand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Ab-stand e in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung von e.

40

143


Aufgabe 1.1: IGA 2017

Die Vorbereitungen der internationalen Gartenbauausstellung 2017 in Berlin sind in vollem Gange. Eine Gärtnerei hat sich um ein 6 m × 16 m großes rechteckiges Blumenbeet beworben, auf dem sie ihre Neuzüchtungen präsentieren wird. Die Unterteilung des

Blumenbeetes erfolgt durch Funktionsgraphen der Schar xxaxfa −= 2)( ; 0>a .

a) Geben Sie für die Funktion 2f die Funktionsgleichung und den Definitionsbereich an.

Bestimmen Sie die Gleichung der Ableitungsfunktion 2f ′ .

Ermitteln Sie den Definitionsbereich der Ableitungsfunktion 2f ′ .

b) Berechnen Sie die Nullstellen von af und bestimmen Sie die Lage der Hochpunkte in

Abhängigkeit vom Scharparameter a. Auf die Untersuchung einer hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden.

Weisen Sie nach, dass keiner der Schargraphen einen Wendepunkt hat.

c) Bestimmen Sie die Werte des Parameters a für die in der Abbildung dargestellten Scharkurven III und IV und geben Sie die zugehörigen Funktionsgleichungen an.

d) Für die Besucher soll ein Weg durch das Blumenbeet angelegt werden. Es ist geplant, den Weg durch die Hochpunkte der Funktionsgraphen zu legen.

Ermitteln Sie die Gleichung einer Funktion w, deren Graph diesen Weg darstellt.

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion w in die obere Graphik ein.

e) Schargraph I hat den Parameterwert 2=a , Schargraph II den Parameterwert 5,1=a .

Auf der Fläche, die von diesen beiden Graphen sowie der x-Achse begrenzt wird, soll roter Phlox (Flammenblume) gepflanzt werden.

Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche. Es gilt: m1LE1 = .

f) P ist ein Punkt auf dem Graphen von 2f . Die diagonal liegenden Eckpunkte eines

achsenparallelen Rechtecks sind ( ))(| 2 xfxP und ( )6|16R .

Ermitteln Sie, für welchen Wert von x mit 4>x das Rechteck zum Quadrat wird.



BE 6 12 5 3 8 6 40

______________________________________________________________________________________________________Seite 2 von 8 Mathematik

Leistungskurs

16_Ma_LK_Aufgaben

A Anhang

2016 Berlin

144


Aufgabe 1.2: Bremsschuh

Gegeben ist die Funktionenschar af mit ( ) RIaeexf xaxa ∈+−= − ;2 .

Die Graphen der Schar af sind aG .

a) Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von aG mit den beiden

Koordinatenachsen in Abhängigkeit von a .

Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von 1f für ∞+→x und ∞−→x an.

b) Jeder Graph aG hat im Punkt ( ))2ln(|2ln −−−− afaE aa eine zur x-Achse parallele

Tangente. Zur Ermittlung des x-Wertes dieses Punktes hat ein Schüler den folgenden Lösungsweg korrekt angegeben:

( ) xaxa eexf 22)1( +−=′ −

xaxxax eeee 22 220)2( =⇔+−= −−

2)3( =−− axe

2ln)4( −−= ax

Geben Sie drei Regeln an, die beim Ableiten des Funktionsterms von af genutzt worden

sind und begründen Sie die Umformung von Gleichung (2) zu Gleichung (3).

Zeigen Sie, dass für 0=a der Punkt 0E ein lokaler Extrempunkt von 0G ist.

Bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Art des Extremums.

c) Der Graph 1G und die Gerade g mit der Gleichung

exy

114 −+−= begrenzen gemeinsam mit der

x-Achse eine Fläche, die dem Querschnitt eines Bremsschuhs entspricht, der das Wegrollen von

Fahrzeugen verhindert ( cm25LE1 = ).

Die „Tiefe“ des Bremsschuhs beträgt 20 cm.

Zeigen Sie, dass sich 1G und g auf der y-Achse

schneiden. Berechnen Sie das Volumen eines solchen Bremsschuhs.

d) Ermitteln Sie die Größe des Winkels, den 1G und g im Punkt

−

eA

11|0 einschließen.

e) Der Produzent der Bremsschuhe möchte auf der Querschnittsfläche des Bremsschuhs sein rechteckiges Firmenlogo mit den Seitenlängen 5 cm und 15 cm so einstanzen lassen, dass die längere der beiden Seiten parallel zur x-Achse verläuft. Untersuchen Sie, ob das möglich ist.


Teilaufgabe a) b) c) d) e) Summe

BE 6 11 13 5 5 40

______________________________________________________________________________________________________Seite 3 von 8 Mathematik

Leistungskurs

16_Ma_LK_Aufgaben

145

Prüfungsteil A Stand 10.01.2017 10:32:39

2

Analysis

Aufgabengruppe 1


BE

1 Gegeben ist die Funktion g : x 2 4 x 1 mit maximaler Definitions-menge gD . Der Graph von g wird mit gG bezeichnet.

2 a) Geben Sie gD und die Koordinaten des Schnittpunkts von gG mit der y-Achse an.

4 b) Beschreiben Sie, wie gG schrittweise aus dem Graphen der in 0IR definierten Funktion w : x x hervorgeht, und geben Sie die Wertemenge von g an.

2 Eine Funktion f ist durch 12xf x 2 e 1 mit x IR gegeben.

2 a) Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion f.

3 b) Die Tangente an den Graphen von f im Punkt S 0 |1 begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.

3 Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die über ihrer maximalen Definitionsmenge die angegebenen Eigenschaften besitzt.

2 a) Der Graph der Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse und die Gerade mit der Gleichung x 2 ist eine senkrechte Asymptote.

2 b) Die Funktion g ist nicht konstant und es gilt 2

0

g x dx 0 .

4 An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pol-len in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt t (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung 2n t 3t 60t 500 beschrieben werden.

3 a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft während der ersten beiden Stunden der Messung.

2 b) Ermitteln Sie den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft 1

h30 beträgt.

20

A Anhang

2017 Bayern

146

Prüfungsteil B Stand 03.05.2017 10:09:27

3

Analysis

Aufgabengruppe 1

BE

1 Gegeben ist die in IR definierte Funktion h : x 3x 1 ln x . Abbildung 1 zeigt den Graphen hG von h im Bereich 0,75 x 4 .

4 a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an hG im Punkt e | 0 und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die x-Achse schneidet.

(zur Kontrolle: h x 3 ln x )

4 b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von hG . Geben Sie den Grenzwert von h für x an und begründen Sie, dass 3; die Wertemenge von h ist.

3 c) Geben Sie für die Funktion h und deren Ableitungsfunktion h jeweils das Verhalten für x 0 an und zeichnen Sie hG im Bereich 0 x 0,75 in Abbildung 1 ein.

Die Funktion h* : x h x mit Definitionsmenge 1; unterscheidet sich von der Funktion h nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu h ist die Funktion h* umkehrbar.


Abb. 1

147


4

4 d) Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehr-funktion von h* an. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S des Graphen von h* und der Geraden mit der Gleichung y x .

(Teilergebnis: x-Koordinate des Schnittpunkts: 43e )

3 e) Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von h* unter Verwen-dung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere der Lage von Punkt S, in Abbildung 1 ein.

4 f) Schraffieren Sie in Abbildung 1 ein Flächenstück, dessen Inhalt 0A dem

Wert des Integrals sx

e

x h* x dx entspricht, wobei Sx die x-Koordinate

von Punkt S ist. Der Graph von h* , der Graph der Umkehrfunktion von h* sowie die beiden Koordinatenachsen schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit Inhalt A ein. Geben Sie unter Verwendung von 0A einen Term zur Berechnung von A an.

2 Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in 0;16 definierten Funktion

V : t V t . Sie beschreibt modellhaft das sich durch Zu- und Abfluss ändernde Volumen von Wasser in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei bezeichnen t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und V t das Volumen in Kubikmetern.


Abb. 2

A Anhang

148


5

2 a) Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 jeweils näherungsweise das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn sowie den Zeitraum an, in dem das Volumen mindestens 3450m beträgt.

3 b) Bestimmen Sie anhand des Graphen der Funktion V näherungsweise die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn.

3 c) Erläutern Sie, was es im Sachzusammenhang bedeutet, wenn für ein

t 0;10 die Beziehung V t 6 V t 350 gilt. Entscheiden Sie mit-hilfe von Abbildung 2, ob für t 5 diese Beziehung gilt, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für 0 t 12 modellhaft durch die in IR definierte Funk-tion 3 2g : t 0,4 2t 39t 180t beschrieben. Dabei ist t die seit Beobach-tungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und g t die momentane Ände-rungsrate des Volumens in

3mh .

4 d) Begründen Sie, dass die Funktionswerte von g für 0 t 7,5 positiv und für 7,5 t 12 negativ sind.

6 e) Erläutern Sie die Bedeutung des Werts des Integrals b

a

g t dt für

0 a b 12 im Sachzusammenhang. Berechnen Sie das Volumen des Wassers, das sich 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet, wenn zu Beobachtungsbeginn 3150m Wasser im Becken wa-ren. Begründen Sie, dass es sich hierbei um das maximale Wasser-volumen im Beobachtungszeitraum handelt.

40

149


4

Analysis

Aufgabengruppe 2


BE

1 Gegeben ist die Funktion f mit 23 x

f xx 1

und maximalem Definitionsbe-

reich D. Der Graph von f wird mit fG bezeichnet.

3 a) Geben Sie D und die Koordinaten der Schnittpunkte von fG mit den Koordinatenachsen an.

3 b) Zeigen Sie, dass f x zum Term 16x 7x 1

äquivalent ist, und geben

Sie die Bedeutung der Geraden g mit der Gleichung y x 7 für fG an.

2 Eine Funktion f ist durch 12xf x 2 e 1 mit x IR gegeben.

2 a) Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion f.

3 b) Die Tangente an den Graphen von f im Punkt S 0 |1 begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.

3 Die Abbildung zeigt den Graphen der in IR definierten Funktion

πrg : x p q sin x mit p,q, r IN .

3 a) Geben Sie p, q und r an.

1 b) Der Graph der Funktion h geht aus dem Graphen der Funktion g durch Verschiebung um zwei Einheiten in positive x-Richtung hervor. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm von h an.


A Anhang

150


5

4 An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pol-len in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt t (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung 2n t 3t 60t 500 beschrieben werden.

3 a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft während der ersten beiden Stunden der Messung.

2 b) Ermitteln Sie den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft 1

h30 beträgt.

20

151


6

Analysis

Aufgabengruppe 2

BE

1 Gegeben ist die Funktion f mit

x xf x 2e 2e 1 und x IR .

Abbildung 1 zeigt den Graphen

fG von f sowie die einzige Null-

stelle x ln2 von f.

3 a) Zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion f von f gilt:

x xf x 2e 1 4e .

4 b) Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von fG .

(Teilergebnis: x-Koordinate des Extrempunkts: ln4 )

Zusätzlich ist die Funktion F mit x 2xF x 2e 2e und x IR gegeben.

3 c) Zeigen Sie, dass F eine Stammfunktion von f ist, und begründen Sie

anhand des Terms von F, dass xlim F x 0

gilt.

5 d) Der Graph von F verläuft durch den Punkt ln2 | 0,5 . Begründen Sie

ohne weitere Rechnung, dass F keine größeren Werte als 0,5 annehmen

kann und bei x ln4 eine Wendestelle besitzt. Berechnen Sie die

y-Koordinate des zugehörigen Wendepunkts.

4 e) Zeichnen Sie den Graphen von F unter Berücksichtigung der bisherigen

Ergebnisse sowie des Funktionswerts F 0 im Bereich 0,3 x 3,5 in

Abbildung 1 ein.

4 f) Der Graph von f schließt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück

ein, das durch das Dreieck mit den Eckpunkten O 0 | 0 , P ln 2 | 0 und

Q 0 | 2 angenähert werden kann. Berechnen Sie, um wie viel Prozent

der Flächeninhalt des Dreiecks OPQ vom Inhalt des Flächenstücks ab-

weicht.


Abb. 1

A Anhang

152


7

Betrachtet wird nun die Integralfunktion 0F mit

x

00

F x f t dt und x IR .

4 g) Begründen Sie, dass 0F mit der betrachteten Stammfunktion F von f

übereinstimmt. Interpretieren Sie geometrisch den Wert 0F 2 0,234

mithilfe von in Abbildung 1 geeignet zu markierenden Flächenstücken.

2 h) Geben Sie den Term einer in IR definierten Funktion an, die eine Stamm-

funktion, aber keine Integralfunktion von f ist.

2 Zur Modellierung einer Zerfallsreihe wird vereinfachend davon ausgegangen,

dass sich in einem Gefäß zu Beginn eines Beobachtungszeitraums

ausschließlich der radioaktive Stoff Bi 211 befindet. Jeder Atomkern dieses

Stoffs Bi 211 wandelt sich irgendwann in einen Kern des radioaktiven Stoffs

Tl 207 um und dieser wiederum irgendwann in einen Kern des Stoffs Pb 207.

Abbildung 2 zeigt diese Zerfallsreihe schematisch.

Der zeitliche Verlauf des Bi 211-Anteils, des Tl 207-Anteils und des Pb 207-

Anteils der Kerne im Gefäß lässt sich durch die in IR definierten Funktionen

B, F bzw. P beschreiben, deren Terme der folgenden Tabelle zu entnehmen

sind. Dabei ist F die in Aufgabe 1 betrachtete Funktion.

Bi 211 Tl 207 Pb 207

2xB x e F x P x 1 B x F x

Für jede der drei Funktionen bezeichnet x 0 die seit Beobachtungsbeginn

vergangene Zeit in der Einheit 6 Minuten. Beispielsweise bedeutet

P 1 0,400 , dass sechs Minuten nach Beginn der Beobachtung etwa

40,0% aller Kerne im Gefäß Pb 207-Kerne sind.

4 a) Bestimmen Sie jeweils auf zehntel Prozent genau die Anteile der drei

Kernsorten zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn.

2 b) Ermitteln Sie unter Verwendung von Ergebnissen aus Aufgabe 1 den

Zeitpunkt auf Sekunden genau, zu dem der Anteil von Tl 207-Kernen im

Gefäß am größten ist.

3 c) Begründen Sie rechnerisch, dass zu keinem Zeitpunkt die Anteile der drei

Kernsorten gleich groß sind.

2 d) Weisen Sie mithilfe des Terms der Funktion P nach, dass xlim P x 1

gilt, und interpretieren Sie diesen Grenzwert im Sachzusammenhang.

40

Abb. 2

153

Aufgabe 1.1: Verbindungsbrücke

Abbildung 1 Abbildung 2

Die Abbildung 2 zeigt eine Überbauung der Französischen Straße zwischen zwei Bürogebäuden aus der Kaiserzeit vor 1914. Der Bogen des Gewölbes, das den darüber liegenden Gang trägt, hat eine Breite von 20 m und in der Mitte eine Höhe von 4 m, gemessen ab der Höhe der Sockel, die das Gewölbe an den Häuserwänden halten.

Ein Koordinatensystem wird entsprechend der Abbildung 1 so festgelegt, dass die x-Achse in Höhe der Sockel liegt, m1LE1 = .

Der Bogen wird mit einer Wurzelfunktion f mit 2)( xakxf −⋅= , 0>k , 0>a , modelliert.

a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen in Abhängigkeit von a . Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Graphen von f genau einen Hochpunkt an der Stelle 0=x besitzen und berechnen Sie dessen Koordinaten. Bestimmen Sie die Definitionsbereiche für f und für f '.

Ohne Nachweis dürfen Sie die zweite Ableitung verwenden: 32 )(

)(''xa

akxf

−

⋅−=

b) Nennen Sie die drei Bedingungen, die der Graph von f mindestens erfüllen muss, um den Gewölbebogen zu modellieren und berechnen Sie die Parameterwerte für a und k.

Im Folgenden wird die Funktion v mit 21004,0)( xxv −⋅= verwendet.

c) Im Inneren der Brücke laufen die Fußgänger vom Punkt )|10( RyR − aus auf einer

schiefen Ebene nach oben, die von der Seite gesehen wie eine Tangente auf dem Bogen aufliegt. Diese Tangente berührt den Bogen im Punkt ))6(|6( −− vB .

Berechnen Sie die Größe des Winkels, mit dem die Ebene ansteigt. Ermitteln Sie eine Gleichung für die Tangente und y-Koordinate des Punktes R. Berechnen Sie die Entfernung von Punkt R bis zum Punkt B.

d) Am Gewölbe wird zwischen den Punkten )8,0|96(−P und )8,0|96(Q ein Drahtseil

gespannt, an dem in der Mitte eine schwere Straßenlaterne im Punkt L angebracht wird. Das Drahtseil hängt durch und bildet ein Dreieck mit den Eckpunkten P, Q und L. In P und Q trifft das Drahtseil orthogonal von unten auf den Gewölbebogen. Bestimmen Sie die Koordinaten von L und den Winkel des Drahtes bei L.

e) Der Graph von v rotiert um die x-Achse. Dabei entsteht ein Rotationskörper. Ermitteln Sie das Volumen des Rotationskörpers.

Fortsetzung auf der nächsten Seite

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Zentrale schiftliche Abiturprüfung 2017 Länder Berlin und Brandenburg


Leistungskurs

17_Ma_LK_Aufgaben

A Anhang

2017 Berlin

154

f) Der Bogen kann auch mit einer Funktion g mit cbxaxxg ++= 24)( modelliert werden;

RIcba ∈,, mit a und b ungleich null.

Untersuchen Sie den Graphen von g auf Punkte mit waagerechter Tangente in Abhängigkeit von a und b. Entscheiden und begründen Sie, welche Eigenschaften a und b erfüllen müssen, damit der Graph von g nur einen Extrempunkt besitzt und dies ein Hochpunkt ist. Geben Sie dessen Koordinaten an.



BE 12 6 9 8 6 9 50

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Leistungskurs

17_Ma_LK_Aufgaben

155

Aufgabe 1.2: Straßenverlauf

Gegeben ist die Funktionenschar af mit ( ) 0,,;22 ≠∈∈+= − aRIaRIxeexf axaxa .

Die zugehörigen Graphen sind aG .

a) Geben Sie für 0>a das Verhalten der Funktionswerte von af für ∞+→x und

∞−→x an.

Begründen Sie, dass keine Funktion af eine Nullstelle hat und weisen Sie nach, dass alle

Graphen aG achsensymmetrisch zur y-Achse verlaufen.

b) Zeigen Sie, dass alle Graphen aG denselben lokalen Extrempunkt besitzen und ermitteln

Sie dessen Art und Koordinaten.

Untersuchen Sie aG auf mögliche Wendepunkte.

c) Der Graph 15,0G wird von den Parallelen zur x-Achse mit der Gleichung 62; <<= kky

in den Punkten kA und kB geschnitten. kA , kB und der Punkt ( )6|0C bilden ein Dreieck.

Zeichnen Sie in das Koordinatensystem (siehe nächste Seite) eines der möglichen

Dreiecke CBA kk ein.

Begründen Sie ohne Rechnung, dass keines der möglichen Dreiecke CBA kk einen

minimalen Flächeninhalt haben kann, aber ein solches Dreieck mit maximalem

Flächeninhalt existiert.

Ermitteln Sie eine Gleichung, mit der man in Abhängigkeit vom x-Wert des im

I. Quadranten liegenden Eckpunktes den Flächeninhalt des Dreiecks CBA kk bestimmen

kann.

Für die folgenden Teilaufgaben gilt: m150LE1 = .

d) Eine langgezogene Kurve auf einer Landstraße kann im Intervall [ ]4;2− in sehr guter

Näherung durch den Graphen 15,0G modelliert werden.

Im Punkt ( ))4(|4 15,0fP mündet sie tangential, d.h. ohne Knick, in eine zunächst geradlinig

verlaufende Schnellstraße.

Zeigen Sie, dass ein Teil dieser Schnellstraße für 4≥x näherungsweise durch einen Teil

der Geraden g mit der Gleichung xy 9,0= modelliert werden kann.

e) Die Schnellstraße verläuft ab dem Punkt P aus Teilaufgabe d) für eine Strecke von

2,1 km bis zum Punkt S geradlinig und führt dann knickfrei durch eine scharfe

Rechtskurve auf eine Bundesstraße. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes S.

[Zur Kontrolle: ( )13|4,14S ]

Die Rechtskurve kann durch eine quadratische Parabel beschrieben werden, auf der

unter anderem der Punkt ( )3,13|5,15Q liegt.

Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Ermittlung der Parabelgleichung auf.

Fortsetzung auf der nächsten Seite

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Leistungskurs

17_Ma_LK_Aufgaben

A Anhang

156

f) Die Fläche, die von den beiden Koordinatenachsen, der Landstraße, der Schnellstraße und der Geraden 7=x eingeschlossen wird, nutzt ein Landwirt zu 80 % für den Anbau von Getreide. Ermitteln Sie die Größe der Getreideanbaufläche und geben Sie diese in Hektar an.



BE 6 10 9 6 10 9 50

Koordinatensystem zu Aufgabe 1.2 c)

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Leistungskurs

17_Ma_LK_Aufgaben

157

SelbständigkeitserklärungIch erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und noch nichtfür andere Prüfungen eingereicht habe. Sämtliche Quellen einschließlich Internetquellen,die unverändert oder abgewandelt wiedergegeben werden, insbesondere Quellen fürTexte, Grafiken, Tabellen und Bilder, sind als solche kenntlich gemacht. Mir ist bekannt,dass bei Verstößen gegen diese Grundsätze ein Verfahren wegen Täuschungsversuchsbzw. Täuschung eingeleitet wird.

Berlin, den 12. August 2018

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